Shida ya kupata muunganisho usiojulikana wa chaguo za kukokotoa kimantiki huja chini ya kuunganisha sehemu rahisi. Kwa hivyo, tunapendekeza kwamba kwanza ujijulishe na sehemu ya nadharia ya mtengano wa sehemu kuwa rahisi zaidi.

Mfano.

Pata muunganisho usio na kikomo.

Suluhisho.

Kwa kuwa kiwango cha nambari ya nambari kamili ni sawa na kiwango cha dhehebu, kwanza tunachagua sehemu nzima kwa kugawanya nambari ya polynomial na safu wima:

Ndiyo maana, .

Mtengano wa sehemu inayofaa ya kimantiki inayosababisha kuwa sehemu rahisi zaidi ina fomu . Kwa hivyo,

Muhimu unaotokana ni kiungo cha sehemu rahisi zaidi ya aina ya tatu. Kuangalia mbele kidogo, tunaona kuwa unaweza kuichukua kwa kuiweka chini ya ishara tofauti.

Kwa sababu , Hiyo . Ndiyo maana

Kwa hivyo,

Sasa hebu tuendelee kuelezea mbinu za kuunganisha sehemu rahisi za kila aina nne.

Ujumuishaji wa sehemu rahisi za aina ya kwanza

Njia ya ujumuishaji wa moja kwa moja ni bora kwa kutatua shida hii:

Mfano.

Pata seti ya vizuia derivative vya chaguo za kukokotoa

Suluhisho.

Wacha tupate kiunga kisicho na kipimo kwa kutumia mali ya antiderivative, meza ya antiderivatives na sheria ya ujumuishaji.

Juu ya ukurasa

Ujumuishaji wa sehemu rahisi za aina ya pili

Njia ya ujumuishaji wa moja kwa moja pia inafaa kwa kutatua shida hii:

Mfano.

Suluhisho.

Juu ya ukurasa

Ujumuishaji wa sehemu rahisi za aina ya tatu

Kwanza tunawasilisha kiunga kisicho na kikomo kama jumla:

Tunachukua kiunga cha kwanza kwa kukiweka chini ya ishara tofauti:

Ndiyo maana,

Wacha tubadilishe dhehebu la kiunga kinachosababisha:

Kwa hivyo,

Njia ya kuunganisha sehemu rahisi za aina ya tatu inachukua fomu:

Mfano.

Pata muunganisho usio na kikomo .

Suluhisho.

Tunatumia formula inayosababisha:

Ikiwa hatukuwa na fomula hii, tungefanya nini:

Juu ya ukurasa

Ushirikiano wa sehemu rahisi za aina ya nne

Hatua ya kwanza ni kuiweka chini ya ishara tofauti:

Hatua ya pili ni kupata kiunga cha fomu . Viunga vya aina hii hupatikana kwa kutumia fomula za kurudia. (Angalia sehemu ya ujumuishaji kwa kutumia fomula za kujirudia.) Fomula ifuatayo ya kawaida inafaa kwa kesi yetu:

Mfano.

Pata muunganisho usio na kikomo

Suluhisho.

Kwa aina hii ya integrand tunatumia njia ya uingizwaji. Wacha tuanzishe utofauti mpya (tazama sehemu ya ujumuishaji wa kazi zisizo na maana):

Baada ya uingizwaji tunayo:

Tulikuja kupata muunganisho wa sehemu ya aina ya nne. Kwa upande wetu tuna coefficients M = 0, p = 0, q = 1, N = 1 Na n=3. Tunatumia formula ya kawaida:

Baada ya uingizwaji wa nyuma tunapata matokeo:

Kuunganisha vipengele vya trigonometric

1.Muunganisho wa fomu huhesabiwa kwa kubadilisha bidhaa ya kazi za trigonometric kuwa jumla kwa kutumia fomula: Kwa mfano, 2. Viunga vya fomu , Wapi m au n- nambari chanya isiyo ya kawaida, iliyohesabiwa kwa kuiweka chini ya ishara ya kutofautisha. Kwa mfano, 3.Muunganisho wa fomu , Wapi m Na n-hata nambari chanya huhesabiwa kwa kutumia fomula za kupunguza digrii: Kwa mfano, 4.Viunganishi ambapo huhesabiwa kwa kubadilisha kutofautisha: au Kwa mfano, 5. Viunganishi vya fomu hupunguzwa hadi viunga vya sehemu za busara kwa kutumia uingizwaji wa trigonometric wa ulimwengu wote wakati huo (kwa kuwa =[baada ya kugawanya nambari na denominator kwa ]= ; Kwa mfano, Ikumbukwe kwamba matumizi ya uingizwaji wa ulimwengu mara nyingi husababisha mahesabu magumu.

§5. Ujumuishaji wa makosa rahisi zaidi

Wacha tuchunguze njia za kuunganisha aina rahisi zaidi za kutokuwa na akili. 1. Kazi za aina hii zimeunganishwa kwa njia sawa na sehemu rahisi zaidi za busara za aina ya 3: katika denominator, mraba kamili umetengwa kutoka kwa trinomial ya mraba na kutofautiana mpya huletwa. Mfano. 2. (chini ya ishara muhimu - kazi ya busara ya hoja). Viunga vya aina hii vinahesabiwa kwa kutumia uingizwaji. Hasa, katika viambatanisho vya fomu tunaashiria . Ikiwa integrand ina mizizi ya digrii tofauti: , kisha onyesha wapi n- idadi ndogo zaidi ya kawaida m,k. Mfano 1. Mfano 2. -sehemu isiyofaa ya busara, chagua sehemu nzima: – – – 3.Muunganisho wa fomu huhesabiwa kwa kutumia mbadala za trigonometric:

44

45 Muhimu dhahiri

Dhahiri muhimu- nyongeza ya monotone ya kawaida ya kazi iliyofafanuliwa kwenye seti ya jozi, sehemu ya kwanza ambayo ni kazi inayoweza kuunganishwa au kazi, na ya pili ni kikoa katika seti ya kubainisha kazi hii (inayofanya kazi).

Ufafanuzi

Wacha ifafanuliwe. Hebu tugawanye katika sehemu na pointi kadhaa za kiholela. Kisha wanasema kwamba sehemu hiyo imegawanywa. Kisha, chagua hatua ya kiholela , ,

Muunganisho dhahiri wa chaguo za kukokotoa kwenye muda ni kikomo cha hesabu kamili kwani kiwango cha kizigeu kinaelekea kuwa sifuri, ikiwa kipo bila kutegemea kizigeu na uchaguzi wa pointi, yaani.

Ikiwa kikomo kilichobainishwa kipo, basi chaguo la kukokotoa linasemekana kuwa Riemann linaweza kuunganishwa.

Uteuzi

· - kikomo cha chini.

· - kikomo cha juu.

· - kazi ya kuunganisha.

· - urefu wa sehemu ya sehemu.

· - Jumla muhimu ya chaguo za kukokotoa kwenye kizigeu kinacholingana.

· - urefu wa juu wa sehemu ya sehemu.

Mali

Ikiwa chaguo la kukokotoa linaweza kuunganishwa na Riemann kwenye , basi imefungwa juu yake.

Maana ya kijiometri

Sahihi muhimu kama eneo la takwimu

Muhimu dhahiri ni sawa na eneo la takwimu iliyopunguzwa na mhimili wa abscissa, mistari ya moja kwa moja na grafu ya kazi.

Nadharia ya Newton-Leibniz

[hariri]

(imeelekezwa upya kutoka "Newton-Leibniz Formula")

Fomula ya Newton-Leibniz au nadharia kuu ya uchambuzi inatoa uhusiano kati ya operesheni mbili: kuchukua kiunganishi dhahiri na kuhesabu kizuia derivative.

Ushahidi

Acha kazi inayoweza kuunganishwa itolewe kwa muda. Hebu tuanze kwa kuzingatia hilo

yaani, haijalishi ni herufi gani (au) iliyo chini ya ishara katika kiunganishi hakika juu ya sehemu hiyo.

Wacha tuweke thamani ya kiholela na tufafanue chaguo la kukokotoa mpya . Inafafanuliwa kwa thamani zote za , kwa sababu tunajua kwamba ikiwa kuna kiunganishi cha on , basi kuna pia kiungo cha on , wapi . Hebu tukumbuke kwamba tunazingatia kwa ufafanuzi

(1)

taarifa, hiyo

Wacha tuonyeshe kuwa ni endelevu kwa muda. Kwa kweli, basi; Kisha

na ikiwa, basi

Kwa hivyo, ni endelevu bila kujali ina au haina mitoko; ni muhimu kwamba inaweza kuunganishwa kwenye .

Mchoro unaonyesha grafu. Eneo la takwimu ya kutofautiana ni. Ongezeko lake ni sawa na eneo la takwimu , ambayo, kwa sababu ya mipaka yake, ni wazi inaelekea sifuri, bila kujali ikiwa ni hatua ya kuendelea au kutoendelea, kwa mfano hatua.

Wacha sasa kitendakazi kisiwe tu cha kuunganishwa kwenye , lakini kiendelee kwa uhakika. Hebu tuthibitishe kwamba basi derivative katika hatua hii ni sawa na

(2)

Kwa kweli, kwa hatua iliyoonyeshwa

(1) , (3)

Tunaweka, na kwa kuwa ni mara kwa mara kuhusiana na ,TO . Zaidi ya hayo, kwa sababu ya mwendelezo katika hatua, kwa mtu yeyote anaweza kutaja vile kwa .

ambayo inathibitisha kuwa upande wa kushoto wa usawa huu ni o(1) kwa .

Kupita hadi kikomo katika (3) at inaonyesha kuwepo kwa derivative ya katika uhakika na uhalali wa usawa (2). Tunapozungumza hapa juu ya derivatives ya kulia na kushoto, kwa mtiririko huo.

Ikiwa kipengele cha kukokotoa kinaendelea kwenye , basi, kulingana na kile kilichothibitishwa hapo juu, kazi inayolingana

(4)

ina derivative sawa na . Kwa hiyo, kazi ni antiderivative kwa.

Hitimisho hili wakati mwingine huitwa nadharia shirikishi inayobadilika inayofungamana na juu au nadharia ya Barrow.

Tumethibitisha kuwa chaguo la kukokotoa kiholela linaloendelea kwa muda lina kizuia derivative kwenye muda huu uliofafanuliwa kwa usawa (4). Hii inathibitisha kuwepo kwa kizuia derivative kwa utendakazi wowote unaoendelea kwa muda.

Hebu sasa kuwe na kipingamizi kiholela cha chaguo za kukokotoa kwenye . Tunajua kwamba, ambapo ni baadhi ya mara kwa mara. Kwa kuzingatia usawa huu na kwa kuzingatia kwamba, tunapata.

Hivyo,. Lakini

Muunganisho usiofaa

[hariri]

Nyenzo kutoka Wikipedia - ensaiklopidia ya bure

Dhahiri muhimu kuitwa si yako, ikiwa angalau moja ya masharti yafuatayo yametimizwa:

· Kikomo a au b (au mipaka yote miwili) haina kikomo;

· Chaguo za kukokotoa f(x) ina sehemu moja au zaidi za kukatika ndani ya sehemu.

[hariri] Viunga visivyofaa vya aina ya kwanza

. Kisha:

1. Ikiwa na muhimu inaitwa . Kwa kesi hii inaitwa muunganisho.

, au tofauti tu.

Hebu ifafanuliwe na iendelee kwenye seti kutoka kwa na . Kisha:

1. Ikiwa , kisha nukuu inatumiwa na muhimu inaitwa isiyofaa ya Riemann muhimu ya aina ya kwanza. Kwa kesi hii inaitwa muunganisho.

2. Ikiwa hakuna mwisho ( au ), basi kiungo kinasemekana kutofautiana , au tofauti tu.

Ikiwa kipengele cha kukokotoa kinafafanuliwa na kinaendelea kwenye mstari mzima wa nambari, basi kunaweza kuwa na muunganisho usiofaa wa chaguo hili la kukokotoa na mipaka miwili isiyo na kikomo ya ujumuishaji, iliyofafanuliwa na fomula:

, ambapo c ni nambari ya kiholela.

[hariri] Maana ya kijiometri ya kiungo kisichofaa cha aina ya kwanza

Muunganisho usiofaa unaonyesha eneo la trapezoid iliyopinda kwa muda mrefu.

[hariri] Mifano

[hariri] Viunga visivyofaa vya aina ya pili

Wacha ifafanuliwe juu ya , pata kutokuwepo kwa ukomo kwa uhakika x=a na . Kisha:

1. Ikiwa , kisha nukuu inatumiwa na muhimu inaitwa

inayoitwa tofauti , au tofauti tu.

Wacha ifafanuliwe , inakabiliwa na kutoendelea kabisa kwa x=b na . Kisha:

1. Ikiwa , kisha nukuu inatumiwa na muhimu inaitwa isiyofaa ya Riemann ya aina ya pili. Katika kesi hii, kiunga huitwa convergent.

2. Ikiwa au, basi uteuzi unabaki sawa, na inayoitwa tofauti , au tofauti tu.

Ikiwa kitendakazi kinakabiliwa na kutoendelea katika sehemu ya mambo ya ndani ya sehemu , basi kiunganishi kisichofaa cha aina ya pili imedhamiriwa na fomula:

[hariri] Maana ya kijiometri ya viungo visivyofaa vya aina ya pili

Muunganisho usiofaa unaonyesha eneo la trapezoid ndefu isiyo na kikomo

[hariri] Mfano

[hariri]Kesi iliyotengwa

Wacha kazi ifafanuliwe kwenye safu nzima ya nambari na iwe na kutoendelea kwa vidokezo.

Kisha tunaweza kupata muunganisho usiofaa

[hariri] Kigezo cha Cauchy

1. Hebu ifafanuliwe kwenye seti kutoka na .

Kisha huungana

2. Hebu ifafanuliwe na .

Kisha huungana

[hariri] Muunganiko kamili

Muhimu kuitwa kuunganika kabisa, Kama huungana.
Ikiwa kiunga kinaungana kabisa, basi kinaungana.

[hariri] Muunganiko wa masharti

Muhimu inaitwa kuunganika kwa masharti, ikiwa inaungana, lakini inatofautiana.

48 12. Viunga visivyofaa.

Wakati wa kuzingatia viunganisho dhahiri, tulidhani kuwa eneo la ujumuishaji ni mdogo (haswa zaidi, ni sehemu [ a ,b ]); Kwa uwepo wa kiunganishi dhahiri, muunganisho lazima uzingatie [ a ,b ]. Tutaita viambatanisho dhahiri ambavyo masharti haya yote yametimizwa (mpaka wa kikoa cha ujumuishaji na muunganisho) kumiliki; viambatanisho ambavyo mahitaji haya yamekiukwa (yaani, muunganisho au kikoa cha ujumuishaji hakina kikomo, au zote mbili) si yako. Katika sehemu hii tutasoma viambatanisho visivyofaa.

• 12.1. Viunga visivyofaa kwa muda usio na mipaka (viungo visivyofaa vya aina ya kwanza).
• 12.1.1. Ufafanuzi wa kiungo kisichofaa kwa muda usio na kikomo. Mifano.
• 12.1.2. Fomula ya Newton-Leibniz ya kiunganishi kisichofaa.
• 12.1.3. Vigezo vya kulinganisha vya kazi zisizo hasi.
• 12.1.3.1. Ishara ya kulinganisha.
• 12.1.3.2. Ishara ya kulinganisha katika fomu yake kali.
• 12.1.4. Muunganiko kamili wa viambatanisho visivyofaa kwa muda usio na kikomo.
• 12.1.5. Majaribio ya muunganiko wa Abel na Dirichlet.
• 12.2. Viungo visivyofaa vya kazi zisizo na mipaka (viungo visivyofaa vya aina ya pili).
• 12.2.1. Ufafanuzi wa kiungo kisichofaa cha chaguo za kukokotoa zisizo na mipaka.
• 12.2.1.1. Umoja uko kwenye mwisho wa kushoto wa muda wa ujumuishaji.
• 12.2.1.2. Utumiaji wa fomula ya Newton-Leibniz.
• 12.2.1.3. Umoja katika mwisho wa kulia wa muda wa ujumuishaji.
• 12.2.1.4. Umoja katika sehemu ya ndani ya muda wa ujumuishaji.
• 12.2.1.5. Vipengele kadhaa kwenye muda wa ujumuishaji.
• 12.2.2. Vigezo vya kulinganisha vya kazi zisizo hasi.
• 12.2.2.1. Ishara ya kulinganisha.
• 12.2.2.2. Ishara ya kulinganisha katika fomu yake kali.
• 12.2.3. Muunganisho kamili na wa masharti wa viunga visivyofaa vya kazi zisizoendelea.
• 12.2.4. Majaribio ya muunganiko wa Abel na Dirichlet.

12.1. Viunga visivyofaa kwa muda usio na mipaka

(viungo visivyofaa vya aina ya kwanza).

12.1.1. Ufafanuzi wa kiungo kisichofaa kwa muda usio na kikomo. Hebu kazi f (x ) imefafanuliwa kwenye mhimili nusu na inaweza kuunganishwa kwa muda wowote [ kutoka, ikimaanisha katika kila kesi hizi kuwepo na ukomo wa mipaka inayolingana. Sasa suluhisho za mifano zinaonekana rahisi zaidi: .

12.1.3. Vigezo vya kulinganisha vya kazi zisizo hasi. Katika sehemu hii tutachukulia kuwa viambatanisho vyote si hasi juu ya kikoa kizima cha ufafanuzi. Hadi sasa, tumeamua muunganisho wa muunganisho kwa kuhesabu: ikiwa kuna kikomo cha kipingamizi na tabia inayolingana ( au ), basi kiunganishi hubadilika, vinginevyo hutofautiana. Wakati wa kutatua shida za vitendo, hata hivyo, ni muhimu kwanza kuanzisha ukweli wa muunganisho yenyewe, na kisha tu kuhesabu muhimu (zaidi ya hayo, antiderivative mara nyingi haijaonyeshwa kwa suala la kazi za msingi). Hebu tuunde na tuthibitishe idadi ya nadharia zinazoturuhusu kuanzisha muunganiko na mseto wa viambatanisho visivyofaa vya vitendaji visivyo hasi bila kuvihesabu.
12.1.3.1. Ishara ya kulinganisha. Wacha kazi f (x ) Na g (x ) muhimu

Yote hapo juu katika aya zilizopita inaturuhusu kuunda sheria za msingi za ujumuishaji wa sehemu za busara.

1. Ikiwa sehemu ya kimantiki si sahihi, basi inawakilishwa kama jumla ya sehemu nyingi na sehemu sahihi ya kimantiki (tazama aya ya 2).

Hii inapunguza ujumuishaji wa sehemu isiyofaa ya kimantiki kwa ujumuishaji wa sehemu nyingi na sehemu sahihi ya kimantiki.

2. Factor denominator ya sehemu sahihi.

3. Sehemu sahihi ya kimantiki imetenganishwa kuwa jumla ya sehemu rahisi. Hii inapunguza ujumuishaji wa sehemu sahihi ya busara kwa ujumuishaji wa sehemu rahisi.

Hebu tuangalie mifano.

Mfano 1. Tafuta .

Suluhisho. Chini ya kiungo ni sehemu isiyofaa ya kimantiki. Kuchagua sehemu nzima, tunapata

Kwa hivyo,

Kwa kuzingatia hilo, wacha tupanue sehemu inayofaa ya busara

kwa sehemu rahisi:

(tazama fomula (18)). Ndiyo maana

Hivyo, hatimaye tuna

Mfano 2. Tafuta

Suluhisho. Chini ya kiunga ni sehemu inayofaa ya busara.

Kuipanua katika sehemu rahisi (tazama fomula (16)), tunapata

MADA: Ujumuishaji wa sehemu za busara.

Makini! Wakati wa kusoma moja ya njia za msingi za ujumuishaji: ujumuishaji wa sehemu za busara, inahitajika kuzingatia polynomials katika kikoa ngumu kutekeleza uthibitisho mkali. Kwa hiyo ni lazima jifunze mapema baadhi ya mali ya namba changamano na shughuli juu yao.

Ujumuishaji wa sehemu rahisi za busara.

Kama P(z) Na Q(z) ni polynomials katika kikoa changamano, basi ni sehemu za busara. Inaitwa sahihi, ikiwa shahada P(z) shahada kidogo Q(z) , Na vibaya, ikiwa shahada R si chini ya shahada Q.

Sehemu yoyote isiyofaa inaweza kuwakilishwa kama: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

a R(z) – polynomial ambaye shahada yake ni chini ya shahada Q(z).

Kwa hivyo, ujumuishaji wa sehemu za busara huja kwa ujumuishaji wa polynomials, ambayo ni, kazi za nguvu, na sehemu zinazofaa, kwani ni sehemu inayofaa.

Ufafanuzi 5. Sehemu rahisi zaidi (au za msingi) ni aina zifuatazo za sehemu:

1) , 2) , 3) , 4) .

Wacha tujue jinsi wanavyounganisha.

3) (alisoma hapo awali).

Nadharia 5. Kila sehemu inayofaa inaweza kuwakilishwa kama jumla ya sehemu rahisi (bila uthibitisho).

Corollary 1. Ikiwa ni sehemu sahihi ya busara, na ikiwa kati ya mizizi ya polynomial kuna mizizi rahisi tu ya kweli, basi katika mtengano wa sehemu katika jumla ya sehemu rahisi kutakuwa na sehemu rahisi tu za aina ya 1:

Mfano 1.

Corollary 2. Ikiwa ni sehemu inayofaa ya busara, na ikiwa kati ya mizizi ya polynomial kuna mizizi mingi tu ya kweli, basi katika mtengano wa sehemu katika jumla ya sehemu rahisi kutakuwa na sehemu rahisi tu za aina ya 1 na 2. :

Mfano 2.

Corollary 3. Ikiwa ni sehemu sahihi ya busara, na ikiwa kati ya mizizi ya polynomial kuna mizizi rahisi tu ya kuunganisha, basi katika mtengano wa sehemu katika jumla ya sehemu rahisi kutakuwa na sehemu rahisi tu za aina ya 3:

Mfano 3.

Corollary 4. Ikiwa ni sehemu inayofaa ya kimantiki, na ikiwa kati ya mizizi ya polynomial kuna mizizi mingi changamani changamani, basi katika mtengano wa sehemu katika jumla ya sehemu rahisi kutakuwa na sehemu rahisi tu za 3 na 4. aina:

Kuamua coefficients haijulikani katika upanuzi uliotolewa endelea kama ifuatavyo. Pande za kushoto na za kulia za upanuzi zilizo na coefficients zisizojulikana zinazidishwa na Usawa wa polynomials mbili hupatikana. Kutoka kwake, hesabu za coefficients zinazohitajika hupatikana kwa kutumia:

1. usawa ni kweli kwa thamani zozote za X (mbinu ya sehemu ya thamani). Katika kesi hii, idadi yoyote ya equations hupatikana, m yoyote ambayo inaruhusu mtu kupata coefficients haijulikani.

2. coefficients sanjari kwa digrii sawa za X (mbinu ya coefficients isiyojulikana). Katika kesi hii, mfumo wa m - equations na m - haijulikani hupatikana, ambayo coefficients haijulikani hupatikana.

3. njia ya pamoja.

Mfano 5. Panua sehemu kwa rahisi zaidi.

Suluhisho:

Wacha tupate coefficients A na B.

Njia ya 1 - njia ya dhamana ya kibinafsi:

Njia ya 2 - njia ya coefficients isiyojulikana:

Jibu:

Kuunganisha sehemu za busara.

Nadharia 6. Muunganisho usio na kikomo wa sehemu yoyote ya kimantiki katika muda wowote ambao kiashiria chake si sawa na sufuri upo na unaonyeshwa kupitia vitendaji vya msingi, yaani visehemu vya busara, logariti na arctangents.

Ushahidi.

Wacha tufikirie sehemu ya busara katika fomu: . Katika kesi hii, neno la mwisho ni sehemu inayofaa, na kulingana na Theorem 5 inaweza kuwakilishwa kama mchanganyiko wa mstari wa sehemu rahisi. Kwa hivyo, ushirikiano wa sehemu ya busara hupunguzwa kwa ushirikiano wa polynomial S(x) na sehemu rahisi, antiderivatives ambazo, kama imeonyeshwa, zina fomu iliyoonyeshwa katika theorem.

Maoni. Ugumu kuu katika kesi hii ni mtengano wa denominator katika mambo, yaani, utafutaji wa mizizi yake yote.

Mfano 1. Tafuta muhimu

Integrand ni sehemu sahihi ya busara. Upanuzi wa dhehebu katika mambo yasiyoweza kupunguzwa ina fomu Hii ina maana kwamba upanuzi wa integrand katika jumla ya sehemu rahisi ina fomu ifuatayo:

Wacha tupate mgawo wa upanuzi kwa kutumia njia iliyojumuishwa:

Hivyo,

Mfano 2. Tafuta kiunga

Mchanganyiko ni sehemu isiyofaa, kwa hivyo tunatenga sehemu nzima:

Ya kwanza ya viambatanisho ni tabular, na tunahesabu ya pili kwa kutenganisha sehemu inayofaa kuwa rahisi:

Kutumia njia ya coefficients isiyojulikana, tunayo:

Hivyo,

Ujumuishaji wa kipengele cha kukokotoa cha kimantiki.
Mbinu isiyo na uhakika ya mgawo

Tunaendelea kufanya kazi katika kuunganisha sehemu. Tayari tumeangalia muunganisho wa aina fulani za sehemu kwenye somo, na somo hili, kwa maana fulani, linaweza kuzingatiwa kuwa mwendelezo. Ili kuelewa vizuri nyenzo, ustadi wa msingi wa ujumuishaji unahitajika, kwa hivyo ikiwa umeanza kusoma viunga, ambayo ni, wewe ni mwanzilishi, basi unahitaji kuanza na kifungu. Muhimu usio na kikomo. Mifano ya ufumbuzi.

Cha ajabu, sasa tutajishughulisha sio sana katika kutafuta viambatanisho, lakini ... katika kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari. Katika suala hili haraka Ninapendekeza kuhudhuria somo.Yaani, unahitaji kuwa mjuzi katika mbinu mbadala (mbinu ya “shule” na mbinu ya kuongeza muhula baada ya muhula (kutoa) ya milinganyo ya mfumo).

Je, kazi ya kimantiki ya sehemu ni nini? Kwa maneno rahisi, kazi ya kukokotoa ya kimantiki ni sehemu ambayo nambari na dhehebu huwa na polimanomia au bidhaa za polimanomia. Kwa kuongezea, sehemu hizo ni za kisasa zaidi kuliko zile zilizojadiliwa katika nakala hiyo Kuunganisha Baadhi ya Sehemu.

Kuunganisha Kazi Sahihi ya Kimaudhui

Mara moja mfano na algorithm ya kawaida ya kutatua muunganisho wa kazi ya kimantiki ya kimantiki.

Mfano 1

Hatua ya 1. Jambo la kwanza tunalofanya DAIMA wakati wa kusuluhisha muunganisho wa kazi ya busara ya sehemu ni kufafanua swali lifuatalo: sehemu ni sawa? Hatua hii inafanywa kwa maneno, na sasa nitaelezea jinsi:

Kwanza tunaangalia nambari na kujua shahada ya juu polynomial:

Nguvu inayoongoza ya nambari ni mbili.

Sasa tunaangalia denominator na kujua shahada ya juu dhehebu. Njia dhahiri ni kufungua mabano na kuleta masharti sawa, lakini unaweza kuifanya rahisi zaidi, ndani kila mmoja pata digrii ya juu zaidi kwenye mabano

na kuzidisha kiakili: - kwa hivyo, kiwango cha juu cha denominator ni sawa na tatu. Ni dhahiri kabisa kwamba ikiwa kweli tutafungua mabano, hatutapata digrii zaidi ya tatu.

Hitimisho: Shahada kuu ya nambari MADHUBUTI ni chini ya nguvu ya juu zaidi ya denominator, ambayo ina maana sehemu ni sahihi.

Ikiwa katika mfano huu nambari ina nambari nyingi 3, 4, 5, nk. digrii, basi sehemu itakuwa vibaya.

Sasa tutazingatia tu kazi sahihi za busara za sehemu. Kisa ambapo kiwango cha nambari ni kikubwa kuliko au sawa na kiwango cha kiashiria kitajadiliwa mwishoni mwa somo.

Hatua ya 2. Wacha tufanye dhehebu. Wacha tuangalie madhehebu yetu:

Kwa ujumla, hii tayari ni bidhaa ya mambo, lakini, hata hivyo, tunajiuliza: inawezekana kupanua kitu kingine? Kitu cha mateso bila shaka kitakuwa trinomial ya mraba. Kutatua equation ya quadratic:

Ubaguzi ni mkubwa kuliko sufuri, ambayo inamaanisha kuwa utatu unaweza kuainishwa:

Kanuni ya jumla: KILA KITU katika dhehebu INAWEZA kuainishwa - kuhesabiwa

Wacha tuanze kuunda suluhisho:

Hatua ya 3. Kutumia njia ya coefficients isiyojulikana, tunapanua integrand katika jumla ya sehemu rahisi (za msingi). Sasa itakuwa wazi zaidi.

Wacha tuangalie kazi yetu ya integrand:

Na, unajua, kwa njia fulani wazo la angavu linaibuka kwamba itakuwa vizuri kugeuza sehemu yetu kubwa kuwa ndogo kadhaa. Kwa mfano, kama hii:

Swali linatokea, je, inawezekana hata kufanya hivyo? Hebu tupumue kwa utulivu, nadharia inayofanana ya uchambuzi wa hisabati inasema - INAWEZEKANA. Mtengano kama huo upo na ni wa kipekee.

Kuna samaki mmoja tu, uwezekano ni Kwaheri Hatujui, kwa hiyo jina - njia ya coefficients isiyojulikana.

Kama ulivyokisia, harakati za mwili zinazofuata ni kama hiyo, usiogope! itakuwa na lengo la KUWATAMBUA tu - kujua wao ni sawa na nini.

Kuwa mwangalifu, nitaelezea kwa undani mara moja tu!

Kwa hivyo, wacha tuanze kucheza kutoka:

Kwa upande wa kushoto tunapunguza usemi kuwa dhehebu la kawaida:

Sasa tunaweza kuondoa madhehebu kwa usalama (kwani ni sawa):

Kwenye upande wa kushoto tunafungua mabano, lakini usiguse coefficients isiyojulikana kwa sasa:

Wakati huo huo, tunarudia sheria ya shule ya kuzidisha polynomials. Nilipokuwa mwalimu, nilijifunza kutamka sheria hii kwa uso ulionyooka: Ili kuzidisha polynomial kwa polynomial, unahitaji kuzidisha kila neno la polynomia moja kwa kila neno la polynomial nyingine..

Kwa mtazamo wa maelezo wazi, ni bora kuweka coefficients kwenye mabano (ingawa mimi binafsi huwa sifanyi hivyo ili kuokoa muda):

Tunaunda mfumo wa milinganyo ya mstari.
Kwanza tunatafuta digrii za juu:

Na tunaandika coefficients sambamba katika equation ya kwanza ya mfumo:

Kumbuka jambo lifuatalo vizuri. Nini kingetokea ikiwa hakuna s upande wa kulia hata kidogo? Wacha tuseme, ingejionyesha tu bila mraba wowote? Katika kesi hii, katika equation ya mfumo itakuwa muhimu kuweka sifuri upande wa kulia:. Kwa nini sifuri? Lakini kwa sababu upande wa kulia unaweza kugawa mraba sawa na sifuri kila wakati: Ikiwa upande wa kulia hakuna vigezo na/au neno la bure, basi tunaweka zero kwenye pande za kulia za milinganyo inayolingana ya mfumo.

Tunaandika coefficients sambamba katika equation ya pili ya mfumo:

Na hatimaye, maji ya madini, tunachagua wanachama wa bure.

Eh...nilikuwa natania. Utani kando - hisabati ni sayansi kubwa. Katika kikundi chetu cha taasisi, hakuna mtu aliyecheka wakati profesa msaidizi alisema kwamba atatawanya maneno kwenye mstari wa nambari na kuchagua kubwa zaidi. Hebu tuwe serious. Ingawa ... yeyote anayeishi kuona mwisho wa somo hili bado atatabasamu kimya kimya.

Mfumo uko tayari:

Tunatatua mfumo:

(1) Kutoka kwa mlingano wa kwanza tunaieleza na kuibadilisha katika milinganyo ya 2 na 3 ya mfumo. Kwa kweli, iliwezekana kuelezea (au barua nyingine) kutoka kwa equation nyingine, lakini katika kesi hii ni faida kuielezea kutoka kwa equation ya 1, kwani kuna. tabia mbaya ndogo zaidi.

(2) Tunawasilisha maneno sawa katika milinganyo ya 2 na ya 3.

(3) Tunaongeza milinganyo ya 2 na 3 kwa muhula, kupata usawa, ambayo inafuata kwamba

(4) Tunabadilisha katika mlingano wa pili (au wa tatu), kutoka ambapo tunapata hiyo

(5) Badilisha na katika mlingano wa kwanza, kupata .

Ikiwa una shida na njia za kutatua mfumo, zifanyie darasani. Jinsi ya kutatua mfumo wa equations za mstari?

Baada ya kutatua mfumo, daima ni muhimu kuangalia - kubadilisha maadili yaliyopatikana kila equation ya mfumo, kwa sababu hiyo kila kitu kinapaswa "kuungana".

Karibu huko. Coefficients ilipatikana, na:

Kazi iliyokamilishwa inapaswa kuonekana kama hii:

Kama unaweza kuona, ugumu kuu wa kazi ilikuwa kutunga (kwa usahihi!) na kutatua (kwa usahihi!) Mfumo wa equations za mstari. Na katika hatua ya mwisho, kila kitu sio ngumu sana: tunatumia sifa za mstari wa ujumuishaji usio na kipimo na kuunganisha. Tafadhali kumbuka kuwa chini ya kila moja ya viunga vitatu tunayo kazi ngumu ya "bure"; Nilizungumza juu ya sifa za ujumuishaji wake kwenye somo. Njia ya kubadilisha inayoweza kubadilika katika muunganisho usiojulikana.

Angalia: Tofautisha jibu:

Kazi ya awali ya integrand imepatikana, ambayo ina maana kwamba kiungo kimepatikana kwa usahihi.
Wakati wa uthibitishaji, tulilazimika kupunguza usemi kwa dhehebu la kawaida, na hii sio bahati mbaya. Mbinu ya mgawo usio na kikomo na kupunguza usemi kwa dhehebu la kawaida ni vitendo vya kinyume.

Mfano 2

Pata muunganisho usio na kikomo.

Wacha turudi kwenye sehemu kutoka kwa mfano wa kwanza: . Ni rahisi kutambua kwamba katika denominator mambo yote ni TOFAUTI. Swali linatokea, nini cha kufanya ikiwa, kwa mfano, sehemu ifuatayo imepewa: ? Hapa tuna digrii katika dhehebu, au, kihisabati, nyingi. Kwa kuongezea, kuna utatu wa quadratic ambao hauwezi kuzingatiwa (ni rahisi kudhibitisha kuwa kibaguzi cha equation ni hasi, hivyo trinomial haiwezi kuwa factorized). Nini cha kufanya? Upanuzi katika jumla ya sehemu za msingi utaonekana kama kitu na coefficients isiyojulikana juu au kitu kingine?

Mfano 3

Tambulisha kipengele cha kukokotoa

Hatua ya 1. Kuangalia ikiwa tuna sehemu inayofaa
Nambari kuu: 2
Kiwango cha juu cha denominator: 8
, ambayo ina maana kwamba sehemu ni sahihi.

Hatua ya 2. Je, inawezekana kuangazia kitu katika dhehebu? Ni wazi sivyo, kila kitu tayari kimewekwa. Utatu wa mraba hauwezi kupanuliwa kuwa bidhaa kwa sababu zilizotajwa hapo juu. Hood. Kazi ndogo.

Hatua ya 3. Wacha tufikirie kazi ya kimantiki-ya kimantiki kama jumla ya sehemu za msingi.
Katika kesi hii, upanuzi una fomu ifuatayo:

Wacha tuangalie madhehebu yetu:
Wakati wa kutenganisha kitendakazi cha kimantiki katika jumla ya sehemu za msingi, mambo matatu ya msingi yanaweza kutofautishwa:

1) Ikiwa denominator ina kipengele cha "pweke" kwa nguvu ya kwanza (kwa upande wetu), basi tunaweka mgawo usio na kipimo juu (kwa upande wetu). Mifano No. 1, 2 ilihusisha tu mambo hayo "ya upweke".

2) Ikiwa denominator ina nyingi multiplier, basi unahitaji kuitenganisha kama hii:
- yaani, pitia digrii zote za "X" kutoka kwa kwanza hadi digrii ya nth. Katika mfano wetu kuna mambo mawili mengi: na, angalia tena upanuzi niliotoa na uhakikishe kuwa zimepanuliwa haswa kulingana na sheria hii.

3) Ikiwa denominator ina polynomial isiyoweza kuharibika ya shahada ya pili (kwa upande wetu), basi wakati wa kuoza katika nambari unahitaji kuandika kazi ya mstari na coefficients isiyojulikana (kwa upande wetu na coefficients isiyojulikana na ).

Kwa kweli, kuna kesi nyingine ya 4, lakini nitakaa kimya juu yake, kwani katika mazoezi ni nadra sana.

Mfano 4

Tambulisha kipengele cha kukokotoa kama jumla ya sehemu za msingi na coefficients haijulikani.

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa somo.
Fuata algorithm madhubuti!

Ikiwa unaelewa kanuni ambazo unahitaji kupanua kazi ya kimantiki-ya kimantiki kuwa jumla, unaweza kutafuna karibu kiunganishi chochote cha aina inayozingatiwa.

Mfano 5

Pata muunganisho usio na kikomo.

Hatua ya 1. Ni wazi kwamba sehemu ni sahihi:

Hatua ya 2. Je, inawezekana kuangazia kitu katika dhehebu? Unaweza. Hapa kuna jumla ya cubes . Weka alama kwenye kiashiria kwa kutumia fomula iliyofupishwa ya kuzidisha

Hatua ya 3. Kutumia njia ya mgawo usio na kipimo, tunapanua kiunganishi katika jumla ya sehemu za msingi:

Tafadhali kumbuka kuwa polynomial haiwezi kuwa factorized (angalia kwamba kibaguzi ni hasi), hivyo juu sisi kuweka kazi linear na coefficients haijulikani, na si tu herufi moja.

Tunaleta sehemu hiyo kwa dhehebu la kawaida:

Wacha tuunde na tusuluhishe mfumo:

(1) Tunaeleza kutoka kwa mlingano wa kwanza na kuuweka katika mlinganyo wa pili wa mfumo (hii ndiyo njia ya busara zaidi).

(2) Tunawasilisha istilahi zinazofanana katika mlingano wa pili.

(3) Tunaongeza milinganyo ya pili na ya tatu ya muda wa mfumo kwa muda.

Mahesabu yote zaidi ni, kimsingi, ya mdomo, kwani mfumo ni rahisi.

(1) Tunaandika jumla ya sehemu kwa mujibu wa coefficients kupatikana.

(2) Tunatumia sifa za mstari wa kiunganishi kisichojulikana. Ni nini kilifanyika katika muunganisho wa pili? Unaweza kujijulisha na njia hii katika aya ya mwisho ya somo. Kuunganisha Baadhi ya Sehemu.

(3) Kwa mara nyingine tena tunatumia sifa za mstari. Katika kiunga cha tatu tunaanza kutenga mraba kamili (aya ya mwisho ya somo Kuunganisha Baadhi ya Sehemu).

(4) Tunachukua kiungo cha pili, katika tatu tunachagua mraba kamili.

(5) Chukua kiungo cha tatu. Tayari.

Mifano ya kuunganisha kazi za busara (vipande) na ufumbuzi wa kina huzingatiwa.

Maudhui

Angalia pia: Mizizi ya equation ya quadratic

Hapa tunatoa suluhisho la kina kwa mifano mitatu ya kuunganisha sehemu zifuatazo za busara:
, , .

Mfano 1

Kuhesabu sehemu muhimu:
.

Hapa, chini ya ishara muhimu kuna kazi ya busara, kwani integrand ni sehemu ya polynomials. Dinominata shahada ya polynomial ( 3 ) ni chini ya kiwango cha nambari nyingi za nambari ( 4 ) Kwa hiyo, kwanza unahitaji kuchagua sehemu nzima ya sehemu.

1. Wacha tuchague sehemu nzima ya sehemu. Gawanya x 4 kwa x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:


Kutoka hapa
.

2. Wacha tuangalie dhehebu la sehemu. Ili kufanya hivyo, unahitaji kutatua equation ya ujazo:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Wacha tubadilishe x = 1 :
.

1 . Gawanya kwa x - 1 :

Kutoka hapa
.
Kutatua equation ya quadratic.
.
Mizizi ya equation ni:,.
Kisha
.

3. Wacha tugawanye sehemu hiyo kwa fomu yake rahisi.

.

Kwa hivyo tulipata:
.
Hebu kuunganisha.

Mfano 2

Kuhesabu sehemu muhimu:
.

Hapa nambari ya sehemu ni polynomial ya digrii sifuri ( 1 = x 0) Denominator ni polynomial ya shahada ya tatu. Kwa sababu ya 0 < 3 , basi sehemu ni sahihi. Wacha tuigawanye katika sehemu rahisi.

1. Wacha tuangalie dhehebu la sehemu. Ili kufanya hivyo, unahitaji kutatua equation ya shahada ya tatu:
.
Wacha tuchukue kuwa ina angalau mzizi mmoja mzima. Kisha ni kigawanyaji cha nambari 3 (mwanachama asiye na x). Hiyo ni, mzizi mzima unaweza kuwa moja ya nambari:
1, 3, -1, -3 .
Wacha tubadilishe x = 1 :
.

Kwa hivyo, tumepata mzizi mmoja x = 1 . Gawanya x 3 + 2 x - 3 kwenye x - 1 :

Kwa hiyo,
.

Kutatua equation ya quadratic:
x 2 + x + 3 = 0.
Tafuta kibaguzi: D = 1 2 - 4 3 = -11. Tangu D< 0 , basi equation haina mizizi halisi. Kwa hivyo, tulipata uainishaji wa dhehebu:
.

2.
.
(x - 1)(x 2 + x + 3):
(2.1) .
Wacha tubadilishe x = 1 . Kisha x - 1 = 0 ,
.

Hebu tubadilishe (2.1) x = 0 :
1 = 3 A - C;
.

Wacha tulinganishe (2.1) mgawo wa x 2 :
;
0 = A + B;
.

.

3. Hebu kuunganisha.
(2.2) .
Ili kuhesabu kiungo cha pili, tunachagua derivative ya denominator katika nambari na kupunguza denominator kwa jumla ya mraba.

;
;
.

Kuhesabu I 2 .


.
Tangu equation x 2 + x + 3 = 0 haina mizizi halisi, basi x 2 + x + 3 > 0. Kwa hivyo, ishara ya moduli inaweza kuachwa.

Tunatuma kwa (2.2) :
.

Mfano 3

Kuhesabu sehemu muhimu:
.

Hapa chini ya ishara muhimu kuna sehemu ya polynomials. Kwa hiyo, integrand ni kazi ya busara. Kiwango cha polynomial katika nambari ni sawa na 3 . Kiwango cha polynomial ya denominator ya sehemu ni sawa na 4 . Kwa sababu ya 3 < 4 , basi sehemu ni sahihi. Kwa hivyo, inaweza kugawanywa katika sehemu rahisi. Lakini kwa kufanya hivyo unahitaji factorize denominator.

1. Wacha tuangalie dhehebu la sehemu. Ili kufanya hivyo, unahitaji kutatua equation ya shahada ya nne:
.
Wacha tuchukue kuwa ina angalau mzizi mmoja mzima. Kisha ni kigawanyaji cha nambari 2 (mwanachama asiye na x). Hiyo ni, mzizi mzima unaweza kuwa moja ya nambari:
1, 2, -1, -2 .
Wacha tubadilishe x = -1 :
.

Kwa hivyo, tumepata mzizi mmoja x = -1 . Gawanya kwa x - (-1) = x + 1:


Kwa hiyo,
.

Sasa tunahitaji kutatua equation ya shahada ya tatu:
.
Ikiwa tunadhania kwamba equation hii ina mzizi kamili, basi ni kigawanyiko cha nambari 2 (mwanachama asiye na x). Hiyo ni, mzizi mzima unaweza kuwa moja ya nambari:
1, 2, -1, -2 .
Wacha tubadilishe x = -1 :
.

Kwa hiyo, tulipata mzizi mwingine x = -1 . Itawezekana, kama katika kesi iliyopita, kugawanya polynomial na , lakini tutaweka masharti:
.

Tangu equation x 2 + 2 = 0 haina mizizi halisi, basi tunapata uainishaji wa dhehebu:
.

2. Wacha tugawanye sehemu hiyo kwa fomu yake rahisi. Tunatafuta upanuzi katika fomu:
.
Tunaondoa dhehebu la sehemu, kuzidisha kwa (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Wacha tubadilishe x = -1 . Kisha x + 1 = 0 ,
.

Tutofautishe (3.1) :

;

.
Wacha tubadilishe x = -1 na kuzingatia kwamba x + 1 = 0 :
;
; .

Hebu tubadilishe (3.1) x = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D;
.

Wacha tulinganishe (3.1) mgawo wa x 3 :
;
1 = B + C;
.

Kwa hivyo, tumepata mtengano katika sehemu rahisi:
.

3. Hebu kuunganisha.


.

Angalia pia: