Wahariri wa NNN kwa bahati mbaya walipata nyenzo ya kupendeza sana iliyowasilishwa kwenye blogi ya mtumiaji xtsarx, iliyowekwa kwa vipengele vya nadharia. fractals na matumizi yake ya vitendo. Kama inavyojulikana, theria ya fractal ina jukumu muhimu katika fizikia na kemia ya nanosystems. Baada ya kuchangia nyenzo hii nzuri, iliyowasilishwa kwa lugha inayopatikana kwa wasomaji anuwai na kuungwa mkono na nyenzo nyingi za picha na hata video, tunawasilisha kwa uangalifu wako. Tunatumahi kuwa wasomaji wa NNN watapata nyenzo hii ya kuvutia.
Asili ni ya kushangaza sana kwamba unapoisoma zaidi, maswali zaidi yanaonekana ... Umeme wa usiku - "jeti" za bluu za kutokwa kwa matawi, mifumo ya theluji kwenye dirisha, theluji, milima, mawingu, gome la miti - yote haya yanapita zaidi ya kawaida. Jiometri ya Euclidean. Hatuwezi kueleza mwamba au mipaka ya kisiwa kwa kutumia mistari iliyonyooka, miduara, na pembetatu. Na hapa wanakuja kutusaidia fractals. Hawa wageni wanaojulikana ni nini?
"Chini ya darubini, aligundua hilo kwenye kiroboto
Kiroboto anayeuma huishi;
Juu ya kiroboto huyo kuna kiroboto mdogo,
Jino hutoboa kiroboto kwa hasira
Flea, na hivyo ad infinitum." D. Mwepesi.
Historia kidogo
Mawazo ya kwanza jiometri ya fractal ilitokea katika karne ya 19. Cantor, kwa kutumia utaratibu rahisi wa kujirudia (kurudia), akageuza mstari kuwa mkusanyiko wa pointi zisizounganishwa (kinachojulikana kama Cantor Dust). Angeweza kuchukua mstari na kuondoa ya tatu ya kati na kisha kurudia sawa na sehemu zilizobaki.
Mchele. 1. Peano Curve 1.2-5 marudio.
Peano alichora aina maalum ya mstari. Peano alifanya yafuatayo:: Katika hatua ya kwanza, alichukua mstari wa moja kwa moja na akaibadilisha na sehemu 9 mara 3 mfupi kuliko urefu wa mstari wa awali. Kisha akafanya vivyo hivyo kwa kila sehemu ya mstari uliosababisha. Na kadhalika ad infinitum. Upekee wake ni kwamba inajaza ndege nzima. Imethibitishwa kuwa kwa kila nukta kwenye ndege mtu anaweza kupata uhakika wa mstari wa Peano. Mviringo wa Peano na vumbi la Cantor vilipita zaidi ya vitu vya kawaida vya kijiometri. Hawakuwa na mwelekeo wazi. Vumbi la Cantor lilionekana kujengwa kwa msingi wa mstari wa moja kwa moja wa mwelekeo mmoja, lakini ulikuwa na pointi (mwelekeo 0). Na curve ya Peano ilijengwa kwa msingi wa mstari wa mwelekeo mmoja, na matokeo yake yalikuwa ndege. Katika maeneo mengine mengi ya sayansi, matatizo yalionekana ambayo ufumbuzi wake ulisababisha matokeo ya ajabu sawa na yale yaliyoelezwa hapo juu (mwendo wa Brownian, bei za hisa). Kila mmoja wetu anaweza kufanya utaratibu huu ...
Baba wa Fractals
Hadi karne ya 20, data kuhusu vitu hivyo vya ajabu ilikusanywa, bila jaribio lolote la kuvipanga. Hiyo ilikuwa hadi nilipozichukua Benoit Mandelbrot – baba wa jiometri ya kisasa ya fractal na neno fractal.
Mchele. 2. Benoit Mandelbrot.
Alipokuwa akifanya kazi kama mchambuzi wa hisabati katika IBM, alisoma kelele katika saketi za kielektroniki ambazo hazingeweza kuelezewa kwa kutumia takwimu. Hatua kwa hatua kulinganisha ukweli, alikuja ugunduzi wa mwelekeo mpya katika hisabati - jiometri ya fractal.
Neno "fractal" lilianzishwa na B. Mandelbrot mnamo 1975. Kulingana na Mandelbrot, fractal(kutoka Kilatini "fractus" - sehemu, iliyovunjika, iliyovunjika) inaitwa muundo unaojumuisha sehemu zinazofanana na zima. Sifa ya kujifananisha hutofautisha kwa kasi fractals kutoka kwa vitu vya jiometri ya classical. Muda kujifananisha maana yake uwepo wa muundo mzuri, unaorudia, wote kwenye mizani ndogo ya kitu na kwenye macroscale.
Mchele. 3. Kuelekea ufafanuzi wa dhana "fractal".
Mifano ya kujifananisha ni: Koch, Levy, curves za Minkowski, pembetatu ya Sierpinski, sifongo cha Menger, mti wa Pythagorean, nk.
Kwa mtazamo wa hisabati, fractal- hii ni, kwanza kabisa, iliyowekwa na kipimo cha sehemu (ya kati, "sio kamili"). Ingawa mstari laini wa Euclidean hujaza nafasi ya mwelekeo mmoja haswa, mkunjo wa fractal huvuka mipaka ya nafasi ya mwelekeo mmoja, na kuingilia nje ya mipaka katika nafasi ya pande mbili. Kwa hivyo, mwelekeo wa fractal wa curve ya Koch itakuwa kati ya 1 na 2 Hii, kwanza kabisa, ina maana kwamba Kwa kitu cha fractal, haiwezekani kupima kwa usahihi urefu wake! Kati ya hizi fractals za kijiometri, ya kwanza ni ya kuvutia sana na maarufu kabisa - Snowflake ya Koch.
Mchele. 4. Kuelekea ufafanuzi wa dhana "fractal".
Imejengwa kwa msingi pembetatu ya usawa. Kila mstari ambao hubadilishwa na mistari 4, kila 1/3 ya urefu wa awali. Kwa hivyo, kwa kila iteration, urefu wa curve huongezeka kwa theluthi. Na ikiwa tutafanya idadi isiyo na kipimo ya marudio, tutapata fractal - theluji ya Koch ya urefu usio na kipimo. Inabadilika kuwa curve yetu isiyo na mwisho inashughulikia eneo ndogo. Jaribu kufanya vivyo hivyo kwa kutumia njia na takwimu kutoka kwa jiometri ya Euclidean.
Kipimo cha theluji ya Koch(wakati theluji inapoongezeka kwa mara 3, urefu wake huongezeka kwa mara 4) D=logi(4)/logi(3)=1.2619.
Kuhusu fractal yenyewe
Fractals wanapata matumizi zaidi na zaidi katika sayansi na teknolojia. Sababu kuu ya hii ni kwamba wanaelezea ulimwengu wa kweli wakati mwingine bora zaidi kuliko fizikia ya jadi au hisabati. Unaweza kutoa mifano ya vitu vya asili katika maumbile - haya ni mawingu, na theluji za theluji, na milima, na mwanga wa umeme, na mwishowe, kolifulawa. Fractal kama kitu cha asili ni harakati ya milele inayoendelea, malezi mpya na maendeleo.
Mchele. 5. Fractals katika uchumi.
Mbali na hilo, fractals hupata matumizi katika mitandao ya kompyuta iliyogatuliwa Na "Antena za fractal" . Kinachojulikana kama "brownian fractals" ni ya kuvutia sana na ya kuahidi kwa kuiga michakato mbalimbali ya stochastic (isiyo ya kuamua) "random". Katika kesi ya nanoteknolojia, fractals pia ina jukumu muhimu , kwa sababu kutokana na mpangilio wao wa kihierarkia wengi mifumo ya nano ina mwelekeo usio kamili, yaani, ni fractals katika asili yao ya kijiometri, physicochemical au kazi. Kwa mfano, Mfano wa kushangaza wa mifumo ya kemikali ya fractal ni molekuli za "dendrimers" . Kwa kuongezea, kanuni ya fractality (inayofanana, muundo wa kuongeza) ni onyesho la muundo wa hali ya juu wa mfumo na kwa hivyo ni ya jumla na ya ulimwengu wote kuliko njia za kawaida za kuelezea muundo na mali ya mifumo ya nano.
Mchele. 6. Molekuli za "Dendrimer".
Mchele. 7. Mfano wa mchoro wa mawasiliano katika mchakato wa usanifu na ujenzi. Ngazi ya kwanza ya mwingiliano kutoka kwa mtazamo wa microprocesses.
Mchele. 8. Mfano wa mchoro wa mawasiliano katika mchakato wa usanifu na ujenzi. Ngazi ya pili ya mwingiliano kutoka kwa mtazamo wa michakato ya jumla (kipande cha mfano).
Mchele. 9. Mfano wa mchoro wa mawasiliano katika mchakato wa usanifu na ujenzi. Kiwango cha pili cha mwingiliano kutoka kwa mtazamo wa michakato ya jumla (mfano mzima)
Mchele. 10. Ukuzaji wa mpangilio wa mfano wa picha. Hali ya kwanza ya homeostatic.
Nyumba ya sanaa ya picha ya fractals nzuri na isiyo ya kawaida
Mchele. kumi na moja.
Mchele. 12.
Mchele. 13.
Mchele. 14.
Mchele. 15.
Mchele. 16.
Mchele. 17.
Mchele. 18.
Mchele. 19.
Mchele. 20.
Mchele. 21.
Mchele. 22.
Mchele. 23.
Mchele. 24.
Mchele. 25.
Mchele. 26.
Mchele. 27.
Mchele. 28.
Mchele. 29.
Mchele. thelathini.
Mchele. 31.
Mchele. 32.
Mchele. 33.
Mchele. 34.
Mchele. 35.
Urekebishaji na uhariri umekamilika Filippov Yu.P.
Fractal
Fractal (lat. fractus- kupondwa, kuvunjwa, kuvunjwa) ni takwimu ya kijiometri ambayo ina mali ya kufanana binafsi, yaani, linajumuisha sehemu kadhaa, ambayo kila moja ni sawa na takwimu nzima Katika hisabati, fractals inaeleweka kama seti ya pointi katika Euclidean nafasi ambayo ina kipimo cha kipimo cha sehemu (kwa maana ya Minkowski au Hausdorff), au kipimo cha metric tofauti na kile cha topolojia. Fractasm ni sayansi inayojitegemea ya kusoma na kutunga fractals.
Kwa maneno mengine, fractals ni vitu vya kijiometri vilivyo na mwelekeo wa sehemu. Kwa mfano, mwelekeo wa mstari ni 1, eneo ni 2, na kiasi ni 3. Kwa fractal, thamani ya mwelekeo inaweza kuwa kati ya 1 na 2 au kati ya 2 na 3. Kwa mfano, mwelekeo wa fractal wa crumpled. mpira wa karatasi ni takriban 2.5. Katika hisabati, kuna formula maalum tata ya kuhesabu ukubwa wa fractals. Matawi ya zilizopo za tracheal, majani kwenye miti, mishipa mkononi, mto - haya ni fractals. Kwa maneno rahisi, fractal ni takwimu ya kijiometri, sehemu fulani ambayo inarudiwa tena na tena, kubadilisha ukubwa - hii ndiyo kanuni ya kufanana kwa kibinafsi. Fractals ni sawa na wao wenyewe, ni sawa na wao wenyewe katika ngazi zote (yaani kwa kiwango chochote). Kuna aina nyingi tofauti za fractal. Kimsingi, inaweza kuwa na hoja kwamba kila kitu kilichopo katika ulimwengu wa kweli ni fractal, iwe ni wingu au molekuli ya oksijeni.
Neno "machafuko" hufanya mtu kufikiria jambo lisilotabirika, lakini kwa kweli, machafuko ni ya utaratibu kabisa na hutii sheria fulani. Lengo la kusoma machafuko na fractals ni kutabiri mifumo ambayo, kwa mtazamo wa kwanza, inaweza kuonekana kuwa haitabiriki na ya machafuko kabisa.
Mwanzilishi katika uwanja huu wa ujuzi alikuwa mwanahisabati Mfaransa-Amerika, Profesa Benoit B. Mandelbrot. Katikati ya miaka ya 1960, alitengeneza jiometri ya fractal, ambayo madhumuni yake yalikuwa kuchambua maumbo yaliyovunjika, yaliyokunjwa na ya fuzzy. Seti ya Mandelbrot (iliyoonyeshwa kwenye takwimu) ni ushirika wa kwanza unaotokea kwa mtu wakati anaposikia neno "fractal". Kwa njia, Mandelbrot aliamua kuwa mwelekeo wa fractal wa ukanda wa pwani wa Kiingereza ni 1.25.
Fractals zinazidi kutumika katika sayansi. Wanaelezea ulimwengu wa kweli bora zaidi kuliko fizikia ya jadi au hisabati. Mwendo wa Brownian ni, kwa mfano, mwendo wa nasibu na wa fujo wa chembe za vumbi zilizosimamishwa ndani ya maji. Aina hii ya harakati labda ni kipengele cha jiometri ya fractal ambayo ina matumizi ya vitendo zaidi. Mwendo wa Brownian nasibu una majibu ya marudio ambayo yanaweza kutumika kutabiri matukio yanayohusisha kiasi kikubwa cha data na takwimu. Kwa mfano, Mandelbrot alitabiri mabadiliko ya bei ya pamba kwa kutumia mwendo wa Brownian.
Neno "fractal" linaweza kutumika sio tu kama neno la hisabati. Katika vyombo vya habari na fasihi maarufu ya sayansi, fractal inaweza kuitwa takwimu ambayo ina mali yoyote yafuatayo:
Ina muundo usio na maana katika mizani yote. Hii ni tofauti na takwimu za kawaida (kama vile mduara, duaradufu, grafu ya kazi laini): ikiwa tutazingatia kipande kidogo cha takwimu ya kawaida kwa kiwango kikubwa sana, kitaonekana kama kipande cha mstari wa moja kwa moja. Kwa fractal, kuongeza kiwango haileti kurahisisha muundo; kwenye mizani yote tutaona picha ngumu sawa.
Inafanana yenyewe au takriban inafanana.
Ina kipimo cha kipimo cha sehemu au kipimo kinachozidi kile cha kitopolojia.
Matumizi muhimu zaidi ya fractal katika teknolojia ya kompyuta ni compression ya data ya fractal. Wakati huo huo, picha zinasisitizwa bora zaidi kuliko inafanywa kwa njia za kawaida - hadi 600: 1. Faida nyingine ya ukandamizaji wa fractal ni kwamba wakati wa kuongezeka, hakuna athari ya pixelation, ambayo inazidisha sana picha. Zaidi ya hayo, picha iliyoshinikizwa kwa kiasi mara nyingi inaonekana bora zaidi baada ya upanuzi kuliko hapo awali. Wanasayansi wa kompyuta pia wanajua kwamba fractals ya utata usio na kikomo na uzuri inaweza kuzalishwa na fomula rahisi. Sekta ya filamu hutumia sana teknolojia ya picha za fractal kuunda vipengele vya kweli vya mazingira (mawingu, miamba na vivuli).
Utafiti wa misukosuko katika mtiririko hubadilika vizuri sana kwa fractals. Hii inaruhusu sisi kuelewa vyema mienendo ya mtiririko changamano. Kwa kutumia fractals unaweza pia kuiga miale ya moto. Vifaa vya porous vinawakilishwa vizuri katika fomu ya fractal kutokana na ukweli kwamba wana jiometri ngumu sana. Ili kusambaza data kwa umbali, antena zilizo na maumbo ya fractal hutumiwa, ambayo hupunguza sana ukubwa na uzito wao. Fractals hutumiwa kuelezea curvature ya nyuso. Uso usio na usawa una sifa ya mchanganyiko wa fractals mbili tofauti.
Vitu vingi katika asili vina mali ya fractal, kwa mfano, pwani, mawingu, taji za miti, theluji za theluji, mfumo wa mzunguko na mfumo wa alveolar wa wanadamu au wanyama.
Fractals, hasa kwenye ndege, ni maarufu kutokana na mchanganyiko wa uzuri na urahisi wa ujenzi kwa kutumia kompyuta.
Mifano ya kwanza ya seti zinazofanana na mali zisizo za kawaida zilionekana katika karne ya 19 (kwa mfano, kazi ya Bolzano, kazi ya Weierstrass, seti ya Cantor). Neno "fractal" lilianzishwa na Benoit Mandelbrot mnamo 1975 na kupata umaarufu mkubwa kwa kuchapishwa kwa kitabu chake "Fractal Geometry of Nature" mnamo 1977.
Picha iliyo upande wa kushoto inaonyesha mfano rahisi wa Darer Pentagon fractal, ambayo inaonekana kama kundi la pentagoni zilizopigwa pamoja. Kwa kweli, huundwa kwa kutumia pentagoni kama mwanzilishi na pembetatu za isosceles, ambapo uwiano wa upande mkubwa hadi mdogo ni sawa na ile inayoitwa uwiano wa dhahabu (1.618033989 au 1/(2cos72 °)) jenereta. Pembetatu hizi hukatwa kutoka katikati ya kila pentagoni, na kusababisha umbo linalofanana na pentagoni 5 ndogo zilizounganishwa kwa moja kubwa. 
Nadharia ya machafuko inasema kwamba mifumo ngumu isiyo ya kawaida haitabiriki kwa urithi, lakini wakati huo huo inadai kwamba njia ya kuelezea mifumo kama hiyo isiyotabirika inageuka kuwa sahihi sio kwa usawa kamili, lakini katika uwakilishi wa tabia ya mfumo - katika grafu za kushangaza. vivutio, ambavyo vina fomu ya fractals. Kwa hivyo, nadharia ya machafuko, ambayo wengi hufikiria kuwa haitabiriki, inageuka kuwa sayansi ya kutabirika hata katika mifumo isiyo thabiti zaidi. Utafiti wa mifumo inayobadilika unaonyesha kuwa milinganyo rahisi inaweza kusababisha tabia ya machafuko ambayo mfumo haurudi katika hali thabiti na hakuna muundo unaoonekana. Mara nyingi mifumo kama hiyo ina tabia ya kawaida hadi thamani fulani ya parameta muhimu, kisha hupata mabadiliko ambayo kuna uwezekano mbili wa maendeleo zaidi, kisha nne, na hatimaye seti ya machafuko ya uwezekano.
Mipango ya michakato inayotokea katika vitu vya kiufundi ina muundo wazi wa fractal. Muundo wa mfumo mdogo wa kiufundi (TS) unamaanisha tukio ndani ya TS ya aina mbili za michakato - moja kuu na zile zinazounga mkono, na mgawanyiko huu ni wa masharti na jamaa. Mchakato wowote unaweza kuwa kuu kuhusiana na michakato inayounga mkono, na michakato yoyote inayounga mkono inaweza kuzingatiwa kuwa kuu kuhusiana na michakato ya "yake" inayounga mkono. Duru kwenye mchoro zinaonyesha athari za mwili ambazo zinahakikisha kutokea kwa michakato hiyo ambayo sio lazima kuunda magari "yako mwenyewe". Michakato hii ni matokeo ya mwingiliano kati ya vitu, mashamba, dutu na mashamba. Kwa usahihi, athari ya kimwili ni gari ambalo kanuni ya uendeshaji hatuwezi kuathiri, na hatutaki au hatuna fursa ya kuingilia kati na muundo wake. 
Mtiririko wa mchakato kuu unaoonyeshwa kwenye mchoro unahakikishwa na kuwepo kwa michakato mitatu ya kusaidia, ambayo ndiyo kuu kwa TS inayowazalisha. Ili kuwa wa haki, tunaona kwamba kwa kazi ya hata TS ndogo, taratibu tatu ni wazi haitoshi, i.e. Mpango huo umezidishwa sana.
Kila kitu ni mbali na kuwa rahisi kama inavyoonyeshwa kwenye mchoro. Mchakato ambao ni muhimu (unaohitajika na mtu) hauwezi kufanywa kwa ufanisi wa asilimia mia moja. Nishati iliyoharibiwa hutumiwa kuunda michakato hatari - inapokanzwa, vibration, nk. Kama matokeo, zile zenye madhara huibuka sambamba na mchakato wa faida. Si mara zote inawezekana kuchukua nafasi ya mchakato "mbaya" na "nzuri", kwa hiyo ni muhimu kuandaa taratibu mpya zinazolenga kulipa fidia kwa matokeo mabaya kwa mfumo. Mfano wa kawaida ni hitaji la kupambana na msuguano, ambao unamlazimisha mtu kupanga mipango ya ustadi wa kulainisha, kutumia vifaa vya gharama kubwa vya kuzuia msuguano, au kutumia wakati wa kulainisha vifaa na sehemu au uingizwaji wake wa mara kwa mara.
Kutokana na ushawishi usioepukika wa Mazingira yanayobadilika, mchakato muhimu unaweza kuhitaji kusimamiwa. Udhibiti unaweza kufanywa kwa kutumia vifaa vya kiotomatiki au moja kwa moja na mtu. Mchoro wa mchakato ni kweli seti ya amri maalum, i.e. algorithm. Kiini (maelezo) ya kila amri ni jumla ya mchakato mmoja muhimu, michakato hatari inayoambatana nayo, na seti ya michakato muhimu ya udhibiti. Katika algorithm kama hiyo, seti ya michakato inayounga mkono ni utaratibu mdogo wa kawaida - na hapa pia tunagundua fractal. Iliundwa robo ya karne iliyopita, njia ya R. Koller inafanya uwezekano wa kuunda mifumo yenye seti ndogo ya jozi 12 tu za kazi (michakato).
Seti zinazofanana na mali zisizo za kawaida katika hisabati
Tangu mwisho wa karne ya 19, mifano ya vitu vinavyofanana na mali ambayo ni ya pathological kutoka kwa mtazamo wa uchambuzi wa classical imeonekana katika hisabati. Hizi ni pamoja na zifuatazo:
Seti ya Cantor ni seti kamilifu isiyoweza kuhesabika popote pale. Kwa kurekebisha utaratibu, mtu anaweza pia kupata seti mnene ya urefu mzuri.
pembetatu ya Sierpinski ("meza ya meza") na carpet ya Sierpinski ni analogi za Cantor iliyowekwa kwenye ndege.
Sponge ya Menger ni analog ya Cantor iliyowekwa katika nafasi ya tatu-dimensional;
mifano ya Weierstrass na Van der Waerden ya utendaji endelevu usioweza kutofautishwa popote.
Mkunjo wa Koch ni mkunjo unaoendelea usiojipinda wa urefu usio na kikomo ambao hauna tanjiti wakati wowote;
Mviringo wa Peano ni mkunjo unaoendelea kupita sehemu zote za mraba.
mwelekeo wa chembe ya Brownian pia hakuna mahali panayoweza kutofautishwa na uwezekano 1. Kipimo chake cha Hausdorff ni mbili
Utaratibu wa kujirudia wa kupata curves fractal
Ujenzi wa Curve ya Koch
Kuna utaratibu rahisi wa kujirudia wa kupata curves fractal kwenye ndege. Hebu tufafanue mstari uliovunjika kiholela na idadi ndogo ya viungo, inayoitwa jenereta. Ifuatayo, hebu tubadilishe kila sehemu ndani yake na jenereta (zaidi kwa usahihi, mstari uliovunjika sawa na jenereta). Katika mstari uliovunjika unaosababishwa, tunabadilisha tena kila sehemu na jenereta. Kuendelea kwa infinity, katika kikomo tunapata curve fractal. Mchoro wa kulia unaonyesha hatua nne za kwanza za utaratibu huu kwa curve ya Koch.
Mifano ya mikunjo kama hii ni:
Joka Curve,
Curve ya Koch (Kitambaa cha theluji cha Koch),
Lewy Curve,
Curve ya Minkowski,
Mzunguko wa Hilbert,
Imevunjika (curve) ya joka (Harter-Haithway Fractal),
Curve ya peano.
Kutumia utaratibu sawa, mti wa Pythagorean unapatikana.
Fractals kama sehemu zisizobadilika za upangaji wa mgandamizo
Sifa ya kujifananisha inaweza kuonyeshwa kihisabati madhubuti kama ifuatavyo. Wacha iwe ramani za mikataba za ndege. Zingatia upangaji ramani ufuatao kwenye seti ya sehemu ndogo ndogo za ndege (iliyofungwa na iliyofungwa):
Inaweza kuonyeshwa kuwa uchoraji wa ramani ni ramani ya upunguzaji kwenye seti ya kompakt kwa kipimo cha Hausdorff. Kwa hivyo, kwa nadharia ya Banach, uchoraji wa ramani hii ina uhakika wa kipekee. Hatua hii ya kudumu itakuwa fractal yetu.
Utaratibu wa kujirudia wa kupata curves fractal ilivyoelezwa hapo juu ni kesi maalum ya ujenzi huu. Ramani zote ndani yake ni ramani za kufanana, na - idadi ya viungo vya jenereta.
Kwa pembetatu ya Sierpinski na ramani , , ni homotheties na vituo katika wima ya pembetatu ya kawaida na mgawo 1/2. Ni rahisi kuona kwamba pembetatu ya Sierpinski inajigeuza yenyewe inapoonyeshwa.
Katika hali ambapo michoro ni mabadiliko ya mfanano na coefficients, kipimo cha fractal (chini ya hali zingine za ziada za kiufundi) kinaweza kuhesabiwa kama suluhisho la mlingano. Kwa hivyo, kwa pembetatu ya Sierpinski tunapata 
.
Kwa nadharia hiyo hiyo ya Banach, tukianza na seti yoyote ya kompakt na kutumia marudio ya ramani kwake, tunapata mlolongo wa seti fupi zinazobadilika (kwa maana ya kipimo cha Hausdorff) hadi fractal yetu.
Fractals katika mienendo changamano
Julia kuweka
Seti nyingine ya Julia
Fractals hutokea kwa kawaida wakati wa kusoma mifumo ya nguvu isiyo ya mstari. Kesi iliyosomwa zaidi ni wakati mfumo wa nguvu unabainishwa na marudio ya polinomia au kazi ya holomorphic ya kigezo changamano kwenye ndege. Masomo ya kwanza katika eneo hili yalianza mwanzoni mwa karne ya 20 na yanahusishwa na majina ya Fatou na Julia.
Hebu F(z) - polynomial, z 0 ni nambari changamano. Fikiria mlolongo ufuatao: z 0 , z 1 =F(z 0), z 2 =F(F(z 0)) = F(z 1),z 3 =F(F(F(z 0)))=F(z 2), …
Tunavutiwa na tabia ya mlolongo huu jinsi inavyoelekea n kwa ukomo. Mlolongo huu unaweza:
jitahidi kuelekea ukomo,
jitahidi kufikia kikomo cha mwisho
onyesha tabia ya mzunguko katika kikomo, kwa mfano: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …
fanya machafuko, yaani, usionyeshe yoyote kati ya aina tatu za tabia zilizotajwa.
Seti za maadili z 0, ambayo mlolongo unaonyesha aina moja ya tabia, pamoja na sehemu nyingi za upatanisho kati ya aina tofauti, mara nyingi huwa na sifa za fractal.
Kwa hivyo, seti ya Julia ni seti ya pointi za bifurcation kwa polynomial F(z)=z 2 +c(au kazi nyingine sawa), yaani, maadili hayo z 0 ambayo tabia ya mlolongo ( z n) inaweza kubadilika sana kwa mabadiliko madogo kiholela z 0 .
Chaguo jingine la kupata seti za fractal ni kuanzisha parameter kwenye polynomial F(z) na kuzingatia seti ya maadili hayo ya parameta ambayo mlolongo ( z n) huonyesha tabia fulani kwa mpangilio maalum z 0 . Kwa hivyo, seti ya Mandelbrot ni seti ya yote , ambayo ( z n) Kwa F(z)=z 2 +c Na z 0 haiendi kwa ukomo.
Mfano mwingine maarufu wa aina hii ni mabwawa ya Newton.
Ni maarufu kuunda picha nzuri za picha kulingana na mienendo tata kwa kuchorea pointi za ndege kulingana na tabia ya mifumo ya nguvu inayofanana. Kwa mfano, ili kukamilisha seti ya Mandelbrot, unaweza kupaka rangi alama kulingana na kasi ya kutamani ( z n) hadi infinity (imefafanuliwa, sema, kama nambari ndogo zaidi n, ambapo | z n| itazidi thamani kubwa isiyobadilika A.
Biomorphs ni fractals iliyojengwa kwa misingi ya mienendo tata na kukumbusha viumbe hai.
Vipande vya Stochastic
Fractal iliyobadilishwa bila mpangilio kulingana na seti ya Julia
Vitu vya asili mara nyingi vina sura ya fractal. Fractals za Stochastic (nasibu) zinaweza kutumika kuziiga. Mifano ya fractal stochastic:
trajectory ya mwendo wa Brownian kwenye ndege na katika nafasi;
mpaka wa trajectory ya mwendo wa Brownian kwenye ndege. Mnamo 2001, Lawler, Schramm na Werner walithibitisha nadharia ya Mandelbrot kwamba mwelekeo wake ni 4/3.
Mageuzi ya Schramm-Löwner ni mikunjo ya fractal isiyobadilika kulingana na ambayo hujitokeza katika miundo muhimu ya pande mbili ya mechanics ya takwimu, kwa mfano, katika muundo wa Ising na utoboaji.
aina mbalimbali za fractals randomized, yaani, fractals kupatikana kwa kutumia utaratibu wa kujirudia ambayo parameter random ni kuletwa katika kila hatua. Plasma ni mfano wa matumizi ya fractal vile katika graphics za kompyuta.
Katika asili
Mtazamo wa mbele wa trachea na bronchi
Mti wa bronchial
Mtandao wa mishipa ya damu
Maombi
Sayansi Asilia
Katika fizikia, fractals hutokea wakati wa kuunda michakato isiyo ya mstari, kama vile mtiririko wa maji yenye msukosuko, michakato changamano ya uenezaji-adsorption, miali ya moto, mawingu, n.k. Fractals hutumiwa wakati wa kuunda nyenzo za porous, kwa mfano, katika petrokemia. Katika biolojia, hutumiwa kuiga idadi ya watu na kuelezea mifumo ya viungo vya ndani (mfumo wa mishipa ya damu).
Uhandisi wa redio
Antena za Fractal
Matumizi ya jiometri ya fractal katika kubuni ya vifaa vya antenna ilitumiwa kwanza na mhandisi wa Marekani Nathan Cohen, ambaye wakati huo aliishi katika jiji la Boston, ambapo ufungaji wa antenna za nje kwenye majengo ulipigwa marufuku. Nathan alikata umbo la curve la Koch kutoka kwenye karatasi ya alumini na kuibandika kwenye kipande cha karatasi, kisha akakiambatanisha na kipokezi. Cohen alianzisha kampuni yake mwenyewe na kuanza uzalishaji wao wa serial.
Sayansi ya kompyuta
Ukandamizaji wa picha
Makala kuu: Fractal compression algorithm
Mti wa Fractal
Kuna algorithms ya ukandamizaji wa picha kwa kutumia fractals. Wao ni msingi wa wazo kwamba badala ya picha yenyewe, mtu anaweza kuhifadhi ramani ya ukandamizaji ambayo picha hii (au baadhi ya karibu) ni hatua ya kudumu. Moja ya lahaja za algorithm hii ilitumika [ chanzo hakijabainishwa siku 895] na Microsoft wakati wa kuchapisha ensaiklopidia yake, lakini algoriti hizi hazikutumiwa sana.
Picha za kompyuta
Mti mwingine wa fractal
Fractals hutumiwa sana katika michoro ya kompyuta kuunda picha za vitu asilia, kama vile miti, vichaka, mandhari ya milima, nyuso za bahari, na kadhalika. Kuna programu nyingi zinazotumiwa kuzalisha picha za fractal, angalia Jenereta ya Fractal (mpango).
Mitandao iliyogatuliwa
Mfumo wa ugawaji wa anwani ya IP katika mtandao wa Netsukuku hutumia kanuni ya mfinyazo wa taarifa zisizo na kifani ili kuhifadhi kwa ufupi taarifa kuhusu nodi za mtandao. Kila nodi kwenye mtandao wa Netsukuku huhifadhi 4 KB tu ya habari kuhusu hali ya nodi za jirani, wakati nodi yoyote mpya inaunganisha kwenye mtandao wa kawaida bila hitaji la udhibiti mkuu wa usambazaji wa anwani za IP, ambayo, kwa mfano, ni ya kawaida kwa Mtandao. Kwa hivyo, kanuni ya ukandamizaji wa habari ya fractal inahakikisha ugatuzi kabisa, na kwa hivyo, operesheni thabiti zaidi ya mtandao mzima.
Hisabati,
ukiiangalia kwa usahihi,
haiakisi ukweli tu,
lakini pia uzuri usio na kifani.
Bertrand Russell.
Umesikia, bila shaka, kuhusu fractals. Hakika umeona picha hizi za kusisimua kutoka kwa Bryce3d ambazo ni halisi zaidi kuliko ukweli wenyewe. Milima, mawingu, gome la miti - yote haya huenda zaidi ya jiometri ya Euclidean ya kawaida. Hatuwezi kueleza mwamba au mipaka ya kisiwa kwa kutumia mistari iliyonyooka, miduara, na pembetatu. Na hapa fractals kuja msaada wetu. Hawa wageni wanaojulikana ni nini? Walionekana lini?
Historia ya kuonekana.
Mawazo ya kwanza ya jiometri ya fractal yalitokea katika karne ya 19. Cantor, kwa kutumia utaratibu rahisi wa kujirudia (kurudia), akageuza mstari kuwa mkusanyiko wa pointi zisizounganishwa (kinachojulikana kama Cantor Dust). Angeweza kuchukua mstari na kuondoa ya tatu ya kati na kisha kurudia sawa na sehemu zilizobaki. Peano alichora aina maalum ya mstari (Mchoro Na. 1). Ili kuchora, Peano alitumia algorithm ifuatayo.
Katika hatua ya kwanza, alichukua mstari wa moja kwa moja na akaibadilisha na sehemu 9 mara 3 mfupi kuliko urefu wa mstari wa awali (Sehemu ya 1 na 2 ya Mchoro 1). Kisha akafanya vivyo hivyo kwa kila sehemu ya mstari uliosababisha. Na kadhalika ad infinitum. Upekee wake ni kwamba inajaza ndege nzima. Imethibitishwa kuwa kwa kila nukta kwenye ndege mtu anaweza kupata uhakika wa mstari wa Peano. Mviringo wa Peano na vumbi la Cantor vilipita zaidi ya vitu vya kawaida vya kijiometri. Hawakuwa na mwelekeo wazi. Vumbi la Cantor lilionekana kujengwa kwa msingi wa mstari wa moja kwa moja wa mwelekeo mmoja, lakini ulikuwa na pointi (mwelekeo 0). Na curve ya Peano ilijengwa kwa msingi wa mstari wa mwelekeo mmoja, na matokeo yake yalikuwa ndege. Katika maeneo mengine mengi ya sayansi, matatizo yalionekana ambayo ufumbuzi wake ulisababisha matokeo ya ajabu sawa na yale yaliyoelezwa hapo juu (mwendo wa Brownian, bei za hisa).
Baba wa Fractals
Hadi karne ya 20, data juu ya vitu vya kushangaza kama hivyo vilikusanywa, bila jaribio lolote la kuvipanga. Hiyo ilikuwa hadi Benoit Mandelbrot, baba wa jiometri ya kisasa ya fractal na neno fractal, alipoichukua. Alipokuwa akifanya kazi kama mchambuzi wa hisabati katika IBM, alisoma kelele katika saketi za kielektroniki ambazo hazingeweza kuelezewa kwa kutumia takwimu. Hatua kwa hatua kulinganisha ukweli, alikuja ugunduzi wa mwelekeo mpya katika hisabati - jiometri ya fractal.
Fractal ni nini? Mandelbrot mwenyewe alipata neno fractal kutoka kwa neno la Kilatini fractus, ambalo linamaanisha kuvunjwa (kugawanywa katika sehemu). Na moja ya ufafanuzi wa fractal ni takwimu ya kijiometri inayojumuisha sehemu na ambayo inaweza kugawanywa katika sehemu, ambayo kila mmoja itawakilisha nakala ndogo ya nzima (angalau takriban).
Ili kufikiria fractal kwa uwazi zaidi, hebu tuchunguze mfano uliotolewa katika kitabu cha B. Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature", ambacho kimekuwa classic - "Ni urefu gani wa pwani ya Uingereza?" Jibu la swali hili sio rahisi kama inavyoonekana. Yote inategemea urefu wa chombo tutakachotumia. Kwa kupima pwani kwa kutumia mtawala wa kilomita, tutapata urefu fulani. Hata hivyo, tutakosa bay nyingi ndogo na peninsula ambazo ni ndogo zaidi kwa ukubwa kuliko mstari wetu. Kwa kupunguza ukubwa wa mtawala, sema, mita 1, tutazingatia maelezo haya ya mazingira, na, ipasavyo, urefu wa pwani utakuwa mkubwa. Hebu tuende zaidi na kupima urefu wa pwani kwa kutumia mtawala wa millimeter, tutazingatia maelezo ambayo ni kubwa kuliko millimeter, urefu utakuwa mkubwa zaidi. Kama matokeo, jibu la swali linaloonekana kuwa rahisi linaweza kumshangaza mtu yeyote - urefu wa pwani ya Briteni hauna mwisho.
Kidogo kuhusu vipimo.
Katika maisha yetu ya kila siku tunakutana na vipimo kila wakati. Tunakadiria urefu wa barabara (250 m), tafuta eneo la ghorofa (78 m2) na utafute kiasi cha chupa ya bia kwenye kibandiko (0.33 dm3). Wazo hili ni angavu kabisa na, inaweza kuonekana, hauhitaji ufafanuzi. Mstari una mwelekeo wa 1. Hii ina maana kwamba kwa kuchagua hatua ya kumbukumbu, tunaweza kufafanua hatua yoyote kwenye mstari huu kwa kutumia nambari 1 - chanya au hasi. Kwa kuongeza, hii inatumika kwa mistari yote - mduara, mraba, parabola, nk.
Dimension 2 ina maana kwamba tunaweza kufafanua kwa njia ya kipekee nukta yoyote kwa nambari mbili. Usifikiri kwamba mbili-dimensional ina maana gorofa. Uso wa tufe pia una pande mbili (inaweza kufafanuliwa kwa kutumia maadili mawili - pembe kama upana na longitudo).
Ikiwa tunaiangalia kutoka kwa mtazamo wa hisabati, basi mwelekeo umedhamiriwa kama ifuatavyo: kwa vitu vyenye mwelekeo mmoja, mara mbili ya ukubwa wao wa mstari husababisha kuongezeka kwa ukubwa (katika kesi hii, urefu) kwa sababu ya mbili (2). ^1).
Kwa vitu vyenye sura mbili, vipimo vya mstari mara mbili husababisha kuongezeka kwa saizi (kwa mfano, eneo la mstatili) kwa mara nne (2 ^ 2).
Kwa vitu vya 3-dimensional, mara mbili ya vipimo vya mstari husababisha ongezeko la nane la kiasi (2 ^ 3) na kadhalika.
Kwa hivyo, mwelekeo D unaweza kuhesabiwa kulingana na utegemezi wa ongezeko la "ukubwa" wa kitu S juu ya ongezeko la vipimo vya mstari L. D = logi (S) / logi (L). Kwa mstari D=logi(2)/logi(2)=1. Kwa ndege D=logi(4)/logi(2)=2. Kwa juzuu D=logi(8)/logi(2)=3. Inaweza kuchanganyikiwa kidogo, lakini kwa ujumla sio ngumu na inaeleweka.
Kwa nini nasema haya yote? Na ili kuelewa jinsi ya kutenganisha fractals kutoka, sema, sausage. Wacha tujaribu kuhesabu kipimo cha curve ya Peano. Kwa hiyo, tuna mstari wa awali, unaojumuisha sehemu tatu za urefu wa X, kubadilishwa na sehemu 9 mara tatu fupi. Kwa hivyo, wakati sehemu ya chini inapoongezeka kwa mara 3, urefu wa mstari mzima huongezeka kwa mara 9 na D=logi(9)/logi(3)=2 ni kitu chenye pande mbili!!!
Kwa hiyo, wakati mwelekeo wa takwimu iliyopatikana kutoka kwa baadhi ya vitu rahisi (sehemu) ni kubwa zaidi kuliko mwelekeo wa vitu hivi, tunashughulika na fractal.
Fractals imegawanywa katika vikundi. Vikundi vikubwa zaidi ni:
Fractal za kijiometri.
Hapa ndipo historia ya fractals ilianza. Aina hii ya fractal inapatikana kwa njia ya ujenzi rahisi wa kijiometri. Kawaida, wakati wa kuunda fractals hizi, hufanya hivi: wanachukua "mbegu" - axiom - seti ya sehemu kwa msingi ambao fractal itajengwa. Ifuatayo, seti ya sheria hutumiwa kwa "mbegu" hii, ambayo huibadilisha kuwa aina fulani ya takwimu za kijiometri. Ifuatayo, seti sawa ya sheria inatumika tena kwa kila sehemu ya takwimu hii. Kwa kila hatua, takwimu itakuwa ngumu zaidi na zaidi, na ikiwa tutafanya (angalau katika akili zetu) idadi isiyo na kipimo ya mabadiliko, tutapata fractal ya kijiometri.
Curve ya Peano iliyojadiliwa hapo juu ni fractal ya kijiometri. Takwimu hapa chini inaonyesha mifano mingine ya fractals ya kijiometri (kutoka kushoto kwenda kulia Koch's Snowflake, Liszt, Sierpinski Triangle).
Snowflake Koch
Laha
Pembetatu ya Sierra
Kati ya hizi fractals za kijiometri, ya kwanza, theluji ya theluji ya Koch, inavutia sana na inajulikana sana. Imejengwa kwa msingi wa pembetatu ya usawa. Kila mstari ambao ___ inabadilishwa na mistari 4 kila 1/3 ya urefu wa _/\_ ya asili. Kwa hivyo, kwa kila iteration, urefu wa curve huongezeka kwa theluthi. Na ikiwa tutafanya idadi isiyo na kipimo ya marudio, tutapata fractal - theluji ya Koch ya urefu usio na kipimo. Inabadilika kuwa curve yetu isiyo na mwisho inashughulikia eneo ndogo. Jaribu kufanya vivyo hivyo kwa kutumia njia na takwimu kutoka kwa jiometri ya Euclidean.
Kipimo cha theluji ya Koch (wakati kitambaa cha theluji kinapoongezeka kwa mara 3, urefu wake huongezeka kwa mara 4) D=logi(4)/logi(3)=1.2619...
Mifumo inayojulikana kama L-Systems inafaa kwa ajili ya kujenga fractals za kijiometri. Kiini cha mifumo hii ni kwamba kuna seti fulani ya alama za mfumo, ambayo kila moja inaashiria hatua maalum na seti ya sheria za mabadiliko ya ishara. Kwa mfano, maelezo ya theluji ya Koch kwa kutumia L-Systems katika mpango wa Fractint
; Adrian Mariano kutoka The Fractal Jiometri of Nature na Mandelbrot Koch1 ( ;weka pembe ya mzunguko hadi digrii 360/6=60 Pembe 6 ; Mchoro wa awali kwa ajili ya ujenzi Axiom F--F--F ; Kanuni ya Kubadilisha Tabia F=F+F--F+F )Katika maelezo haya, maana za kijiometri za alama ni kama ifuatavyo.
F ina maana ya kuchora mstari + kugeuka saa - kugeuka kinyume cha saa
Sifa ya pili ya fractals ni kujifananisha. Chukua, kwa mfano, pembetatu ya Sierpinski. Ili kuijenga, "tunakata" pembetatu kutoka katikati ya pembetatu ya usawa. Hebu kurudia utaratibu sawa kwa pembetatu tatu zilizoundwa (isipokuwa kwa moja ya kati) na kadhalika ad infinitum. Ikiwa sasa tunachukua pembetatu yoyote inayotokana na kuipanua, tutapata nakala halisi ya yote. Katika kesi hii tunashughulika na kufanana kamili kwa kibinafsi.
Acha nihifadhi mara moja kwamba michoro nyingi za fractal katika nakala hii zilipatikana kwa kutumia programu ya Fractint. Ikiwa una nia ya fractals, basi hii ni lazima iwe na programu kwako. Kwa msaada wake, unaweza kujenga mamia ya fractals tofauti, kupata taarifa kamili juu yao, na hata kusikiliza jinsi fractals sauti;).
Kusema kwamba programu ni nzuri ni kusema chochote. Ni nzuri, isipokuwa kwa jambo moja - toleo la hivi punde la 20.0 linapatikana tu katika toleo la DOS:(. Unaweza kupata programu hii (toleo la hivi punde la 20.0) katika http://spanky.fractint.org/www/fractint/fractint.html .
Acha maoni
Maoni
Kweli, kwa wanaoanza, mfano wa kuvutia kutoka kwa Microsoft Excel. Seli A2 na B2 zina maadili sawa kati ya 0 na 1. na thamani ya 0.5 hakuna athari.
Halo kwa kila mtu ambaye aliweza kutengeneza programu kwa kutumia picha ya jamaa. Nani anaweza kuniambia ni njia gani ya mzunguko ambayo ni bora kwangu kutumia ili kujenga uondoaji wa ferns fractal kwa msaada wa 3d max na dt iteration ya 100,000 kwenye jiwe na 2800 mH
Kuna msimbo wa chanzo na mpango wa kuchora Joka Curve, pia fractal.
Makala ni ya kushangaza. Na Excel labda ni kosa la processor (kwenye nambari za mwisho za mpangilio wa chini)
Jambo kila mtu! Jina langu ni, Ribenek Valeria, Ulyanovsk na leo nitachapisha nakala zangu kadhaa za kisayansi kwenye wavuti ya LCI.
Nakala yangu ya kwanza ya kisayansi katika blogi hii itatolewa kwa fractals. Nitasema mara moja kwamba nakala zangu zimeundwa kwa karibu watazamaji wowote. Wale. Natumai yatakuwa ya kupendeza kwa watoto wa shule na wanafunzi.
Hivi majuzi nilijifunza juu ya vitu vya kupendeza vya ulimwengu wa hesabu kama fractals. Lakini hazipo tu katika hisabati. Wanatuzunguka kila mahali. Fractals ni asili. Nitazungumza juu ya nini fractals ni, kuhusu aina za fractals, kuhusu mifano ya vitu hivi na matumizi yao katika makala hii. Kuanza, nitakuambia kwa ufupi ni nini fractal.
Fractal(Kilatini fractus - iliyovunjika, iliyovunjika, iliyovunjika) ni takwimu ngumu ya kijiometri ambayo ina mali ya kufanana kwa kibinafsi, yaani, inajumuisha sehemu kadhaa, ambayo kila mmoja ni sawa na takwimu nzima. Kwa maana pana, fracti hueleweka kama seti za pointi katika nafasi ya Euclidean ambazo zina kipimo cha sehemu (kwa maana ya Minkowski au Hausdorff), au kipimo cha metric tofauti na kile cha topolojia. Kama mfano, nitaingiza picha inayoonyesha vipande vinne tofauti.
Nitakuambia kidogo juu ya historia ya fractals. Dhana za jiometri ya fractal na fractal, ambayo ilionekana mwishoni mwa miaka ya 70, imekuwa imara kati ya wanahisabati na waandaaji wa programu tangu katikati ya miaka ya 80. Neno "fractal" lilianzishwa na Benoit Mandelbrot mnamo 1975 kurejelea miundo isiyo ya kawaida lakini inayofanana ambayo alihusika nayo. Kuzaliwa kwa jiometri ya fractal kawaida huhusishwa na uchapishaji wa kitabu cha Mandelbrot The Fractal Geometry of Nature mnamo 1977. Kazi zake zilitumia matokeo ya kisayansi ya wanasayansi wengine ambao walifanya kazi katika kipindi cha 1875-1925 katika uwanja huo (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff). Lakini tu katika wakati wetu imewezekana kuchanganya kazi zao katika mfumo mmoja.
Kuna mifano mingi ya fractals, kwa sababu, kama nilivyosema, wanatuzunguka kila mahali. Kwa maoni yangu, hata Ulimwengu wetu wote ni fractal moja kubwa. Baada ya yote, kila kitu ndani yake, kutoka kwa muundo wa atomi hadi muundo wa Ulimwengu yenyewe, hurudia kila mmoja. Lakini kuna, bila shaka, mifano maalum zaidi ya fractals kutoka maeneo mbalimbali. Fractals, kwa mfano, zipo katika mienendo tata. Huko kwa asili huonekana katika utafiti wa nonlinear mifumo yenye nguvu. Kesi iliyosomwa zaidi ni wakati mfumo wa nguvu umebainishwa na marudio polynomial au holomorphic kazi ya mchanganyiko wa vigezo juu ya uso. Baadhi ya fractals maarufu zaidi za aina hii ni seti ya Julia, seti ya Mandelbrot na mabwawa ya Newton. Chini, kwa mpangilio, picha zinaonyesha kila moja ya fractals hapo juu.
Mfano mwingine wa fractals ni curves fractal. Ni bora kuelezea jinsi ya kuunda fractal kwa kutumia mfano wa curves fractal. Moja ya curves hizi ni kinachojulikana Koch Snowflake. Kuna utaratibu rahisi wa kupata curves fractal kwenye ndege. Hebu tufafanue mstari uliovunjika kiholela na idadi ndogo ya viungo, inayoitwa jenereta. Ifuatayo, tunabadilisha kila sehemu ndani yake na jenereta (zaidi kwa usahihi, mstari uliovunjika sawa na jenereta). Katika mstari uliovunjika unaosababishwa, tunabadilisha tena kila sehemu na jenereta. Kuendelea kwa infinity, katika kikomo tunapata curve fractal. Chini ni Snowflake ya Koch (au Curve).
Pia kuna aina kubwa ya curves fractal. Maarufu zaidi kati yao ni Snowflake ya Koch iliyotajwa tayari, pamoja na Curve ya Levy, Curve ya Minkowski, mstari uliovunjika wa Joka, curve ya Piano na mti wa Pythagorean. Nadhani unaweza kupata kwa urahisi taswira ya fracti hizi na historia yao kwenye Wikipedia ukitaka.
Mfano wa tatu au aina ya fractal ni stochastic fractals. Fractals kama hizo ni pamoja na trajectory ya mwendo wa Brownian kwenye ndege na angani, mageuzi ya Schramm-Löwner, aina mbalimbali za fractals zisizo na mpangilio, yaani, vipande vilivyopatikana kwa kutumia utaratibu wa kujirudia ambapo parameta nasibu huletwa katika kila hatua.
Pia kuna fractals rena hisabati. Hizi ni, kwa mfano, seti ya Cantor, sifongo cha Menger, Triangle ya Sierpinski na wengine.
Lakini labda fractals ya kuvutia zaidi ni ya asili. Fractals asili ni vitu katika asili ambavyo vina mali ya fractal. Na hapa orodha tayari ni kubwa. Sitaorodhesha kila kitu, kwa sababu labda haiwezekani kuorodhesha yote, lakini nitakuambia kuhusu baadhi. Kwa mfano, katika asili hai, fractals vile ni pamoja na mfumo wetu wa mzunguko na mapafu. Na pia taji na majani ya miti. Hii pia inajumuisha starfish, urchins bahari, matumbawe, shells bahari, na baadhi ya mimea kama vile kabichi au brokoli. Fractals kadhaa za asili kutoka kwa asili hai zinaonyeshwa wazi hapa chini.
Ikiwa tunazingatia asili isiyo hai, basi kuna mifano ya kuvutia zaidi kuliko katika asili hai. Umeme, theluji, mawingu, inayojulikana kwa kila mtu, mifumo kwenye madirisha siku za baridi, fuwele, safu za milima - yote haya ni mifano ya fractals asili kutoka kwa asili isiyo hai.
Tuliangalia mifano na aina za fractals. Kuhusu matumizi ya fractals, hutumiwa katika nyanja mbalimbali za ujuzi. Katika fizikia, fractals hutokea wakati wa kuunda michakato isiyo ya mstari, kama vile mtiririko wa maji yenye msukosuko, michakato changamano ya uenezaji-adsorption, miali ya moto, mawingu, n.k. Fractals hutumiwa wakati wa kuunda nyenzo za porous, kwa mfano, katika petrokemia. Katika biolojia, hutumiwa kuiga idadi ya watu na kuelezea mifumo ya viungo vya ndani (mfumo wa mishipa ya damu). Baada ya kuundwa kwa Curve ya Koch, ilipendekezwa kuitumia katika kuhesabu urefu wa ukanda wa pwani. Fractals pia hutumiwa kikamilifu katika uhandisi wa redio, sayansi ya habari na teknolojia ya kompyuta, mawasiliano ya simu na hata uchumi. Na, bila shaka, maono ya fractal hutumiwa kikamilifu katika sanaa ya kisasa na usanifu. Hapa kuna mfano mmoja wa mifumo ya fractal:
Na kwa hivyo, na hii nadhani kukamilisha hadithi yangu juu ya jambo lisilo la kawaida la kihesabu kama fractal. Leo tumejifunza kuhusu fractal ni nini, jinsi ilionekana, kuhusu aina na mifano ya fractals. Pia nilizungumza juu ya maombi yao na kuonyesha baadhi ya fractals kuibua. Natumaini ulifurahia msafara huu mdogo katika ulimwengu wa vitu vya ajabu na vya kuvutia vya fractal.
Mfano wa Fractal
"Fractal" ilianzishwa katika matumizi ya wanahisabati chini ya nusu karne iliyopita, na hivi karibuni ikawa, pamoja na synergetics na kivutio, moja ya "nguzo tatu" za Nadharia ya Vijana ya Machafuko ya Deterministic, na leo tayari inatambuliwa kama moja ya nadharia. vipengele vya msingi vya muundo wa ulimwengu.
NA neno la Kilatini fractus limetafsiriwa kama "iliyovunjika", lugha za Kilatini za kisasa ziliipa maana "iliyovunjika". Fractal ni kitu ambacho ni sawa na nzima/kubwa ambayo ni sehemu yake, na, wakati huo huo, kunakili kila sehemu yake ya msingi. Kwa hivyo, "fractality" ni kufanana usio na mwisho wa "kila kitu" kwa vipengele vyake, yaani, ni kujifananisha kwa kiwango chochote. Kila ngazi ya tawi la fractal inaitwa "kurudia"; kadiri mfumo uliofafanuliwa au unaoonyeshwa kwa picha unavyoendelea, ndivyo mtazamaji anavyoona marudio madogo zaidi. Katika kesi hii, hatua ambayo mgawanyiko hutokea (kwa mfano, shina ndani ya matawi, mto ndani ya mito miwili, nk) inaitwa hatua ya bifurcation.
Neno fractus alichaguliwa na mwanahisabati Benoit Mandelbrot mwaka wa 1975 kuelezea ugunduzi wa kisayansi na akawa maarufu miaka michache baadaye baada ya kuendeleza mada hiyo kwa hadhira kubwa zaidi katika kitabu chake The Fractal Geometry of Nature.
Leo, fractal inajulikana sana kama mifumo ya ajabu ya kile kinachoitwa "sanaa ya fractal" iliyoundwa na programu za kompyuta. Lakini kwa msaada wa kompyuta unaweza kuzalisha sio tu picha nzuri za abstract, lakini pia mazingira ya asili ya kuaminika sana - milima, mito, misitu. Hapa, kwa kweli, ni hatua ya mpito kati ya sayansi na maisha halisi, au kinyume chake, ikiwa tunadhani kwamba kwa ujumla inawezekana kuwatenganisha.
Ukweli ni kwamba kanuni ya fractal yanafaa sio tu kwa kuelezea uvumbuzi katika sayansi halisi. Hii ni, kwanza kabisa, kanuni ya muundo na maendeleo ya asili yenyewe. Kila kitu karibu nasi ni fractals! Kundi la wazi zaidi la mifano ni mito yenye tawimito, mfumo wa venous na capillaries, umeme, mifumo ya baridi, miti ... Hivi karibuni, wanasayansi, kupima nadharia ya fractal, wamethibitisha kwa majaribio kwamba, kwa kuzingatia mchoro wa mti mmoja, mtu anaweza kupata hitimisho kuhusu eneo la msitu ambapo miti hii hukua. Mifano mingine ya vikundi vya fractal: atomi - molekuli - mfumo wa sayari - mfumo wa jua - galaksi - ulimwengu... Dakika - saa - siku - wiki - mwezi - mwaka - karne... Hata jumuiya ya watu hujipanga kulingana na kanuni za fractality: I - familia - ukoo - utaifa - mataifa - rangi... Mtu binafsi - kikundi - chama - jimbo. Mfanyakazi - idara - idara - biashara - wasiwasi ... Hata miungu ya kimungu ya dini tofauti imejengwa juu ya kanuni moja, ikiwa ni pamoja na Ukristo: Mungu Baba - Utatu - watakatifu - kanisa - waumini, bila kusahau shirika la pantheons za Mungu. dini za kipagani.
Hadithi inasema kwamba seti zinazofanana ziligunduliwa kwa mara ya kwanza katika karne ya 19 katika kazi za wanasayansi - Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff, lakini ukweli ni kwamba tayari Waslavs wa kipagani walituachia uthibitisho kwamba watu walielewa uwepo wa mtu binafsi kama maelezo madogo. katika ukomo wa ulimwengu. Hii ni kitu cha kitamaduni cha watu kinachoitwa "buibui", kilichosomwa na wanahistoria wa sanaa wa Belarusi na Ukraine. Ni aina ya mfano wa sanamu katika mtindo wa kisasa wa "simu" (sehemu ziko katika mwendo wa kila wakati kuhusiana na kila mmoja). "Buibui" mara nyingi hutengenezwa kwa majani, huwa na vipengele vidogo, vya kati na vikubwa vya sura sawa, kusimamishwa kutoka kwa kila mmoja ili kila sehemu ndogo inarudia moja kubwa na muundo mzima kwa ujumla. Ubunifu huu ulitundikwa kwenye kona kuu ya nyumba, kana kwamba inaashiria nyumba ya mtu kama sehemu ya ulimwengu wote.
Nadharia ya fractality inafanya kazi kila mahali leo, ikiwa ni pamoja na katika falsafa, ambayo inasema kwamba wakati wa kila maisha, na maisha yoyote na yote kwa ujumla ni fractal, kuna "pointi za bifurcation" wakati maendeleo yanaweza kuchukua njia tofauti kwa viwango vya juu na wakati ambapo mtu "hujikuta kabla ya chaguo", ni "hatua ya kueneza" halisi katika fractals ya maisha yake.
Nadharia ya Deterministic Chaos inasema kwamba maendeleo ya kila fractal sio ya mwisho. Wanasayansi wanaamini kuwa kwa wakati fulani kuna kikomo zaidi ya ambayo ukuaji wa iterations unasimama na fractal huanza "nyembamba", hatua kwa hatua kufikia kipimo chake cha kitengo cha asili, na kisha mchakato unakwenda tena kwenye mduara - sawa na kuvuta pumzi na kutolea nje, mabadiliko ya asubuhi na usiku, majira ya baridi na majira ya joto katika asili.