Mfululizo wa utendaji. Mfululizo wa nguvu.
Msururu wa muunganiko wa mfululizo
Kicheko bila sababu ni ishara ya d'Alembert
Saa ya safu za kazi imefika. Ili kufanikiwa mada, na, haswa, somo hili, unahitaji kuwa na ufahamu mzuri wa safu za nambari za kawaida. Unapaswa kuwa na ufahamu mzuri wa mfululizo ni nini na uweze kutumia vigezo vya kulinganisha ili kuchunguza mfululizo kwa muunganisho. Kwa hivyo, ikiwa umeanza kusoma mada au ni mwanzilishi katika hisabati ya juu, muhimu fanyia kazi masomo matatu kwa mfuatano: Safu kwa dummies,Ishara ya D'Alembert. Ishara za Cauchy Na Safu mlalo zinazopishana. Mtihani wa Leibniz. Hakika zote tatu! Ikiwa una ujuzi na ujuzi wa msingi katika kutatua matatizo na mfululizo wa nambari, basi kukabiliana na mfululizo wa kazi itakuwa rahisi sana, kwani hakuna nyenzo nyingi mpya.
Katika somo hili, tutaangalia dhana ya safu ya kazi (ni nini hata), jijulishe na safu ya nguvu, ambayo hupatikana katika 90% ya kazi za vitendo, na ujifunze jinsi ya kutatua shida ya kawaida ya kupata radius. ya muunganiko, muda wa muunganiko na eneo la muunganisho wa mfululizo wa nishati. Ifuatayo, ninapendekeza kuzingatia nyenzo kuhusu upanuzi wa vitendakazi katika mfululizo wa nishati, na huduma ya kwanza itatolewa kwa anayeanza. Baada ya kushika pumzi yetu kidogo, tunaendelea hadi ngazi inayofuata:
Pia katika sehemu ya safu ya kazi kuna mengi yao maombi kwa takriban kompyuta, na kwa njia fulani hujitokeza Mfululizo wa Fourier, ambao, kama sheria, hupewa sura tofauti katika fasihi ya elimu. Nina makala moja tu, lakini ni ndefu na kuna mifano mingi ya ziada!
Kwa hivyo, alama za eneo zimewekwa, wacha tuende:
Dhana ya mfululizo wa kazi na mfululizo wa nguvu
Ikiwa kikomo kinageuka kuwa kisicho na mwisho, basi algorithm ya suluhisho pia inamaliza kazi yake, na tunatoa jibu la mwisho kwa kazi: "Mfululizo hubadilika kwa " (au kwa "). Tazama kesi namba 3 ya aya iliyotangulia.
Ikiwa kikomo kinageuka kuwa si sifuri au infinity, basi tuna kesi ya kawaida katika mazoezi No. 1 - mfululizo hubadilika kwa muda fulani.
Katika kesi hii, kikomo ni. Jinsi ya kupata muda wa muunganisho wa safu? Tunatengeneza usawa:
KATIKA KAZI YOYOTE ya aina hii upande wa kushoto wa usawa unapaswa kuwa matokeo ya hesabu ya kikomo, na upande wa kulia wa ukosefu wa usawa - madhubuti kitengo. Sitaeleza hasa kwa nini kuna ukosefu huo wa usawa na kwa nini kuna mmoja upande wa kulia. Masomo yanaelekezwa kivitendo, na tayari ni nzuri sana kwamba hadithi zangu hazikutegemea wafanyikazi wa kufundisha na nadharia zingine zikawa wazi zaidi.
Mbinu ya kufanya kazi na moduli na kutatua usawa mara mbili ilijadiliwa kwa undani katika mwaka wa kwanza katika makala hiyo Kikoa cha Kazi, lakini kwa urahisi, nitajaribu kutoa maoni juu ya vitendo vyote kwa undani zaidi iwezekanavyo. Kupanua ukosefu wa usawa na moduli kulingana na sheria ya shule 
. Kwa kesi hii:
Nusu ya njia imekwisha.
Katika hatua ya pili, inahitajika kuchunguza muunganisho wa safu kwenye miisho ya muda uliopatikana.
Kwanza, tunachukua mwisho wa kushoto wa muda na kuubadilisha katika mfululizo wetu wa nguvu:
Katika 
Tumepata mfululizo wa nambari, na tunahitaji kuuchunguza kwa muunganiko (kazi ambayo tayari inajulikana kutoka kwa masomo yaliyotangulia).
1) Mfululizo unabadilika.
2) 
- masharti ya mfululizo hupungua kwa moduli. Kwa kuongezea, kila mshiriki anayefuata wa safu ni chini ya ile iliyotangulia kwa dhamana kamili: 
, ambayo ina maana kupungua ni monotonous.
Hitimisho: mfululizo unaungana.
Kutumia safu iliyoundwa na moduli, tutajua jinsi gani:
- huungana (mfululizo "wa kawaida" kutoka kwa familia ya mfululizo wa jumla wa harmonic).
Kwa hivyo, mfululizo wa nambari unaotokana huungana kabisa.
katika 
- huungana.
! Nakukumbusha kwamba mfululizo wowote chanya unaounganika pia unaunganika kabisa.
Kwa hivyo, mfululizo wa nguvu huungana, na kabisa, katika ncha zote mbili za muda uliopatikana.
Jibu: eneo la muunganisho wa safu ya nguvu chini ya masomo:
Aina nyingine ya jibu ina haki ya kuishi: Msururu huungana ikiwa
Wakati mwingine taarifa ya tatizo inakuhitaji uonyeshe eneo la muunganiko. Ni dhahiri kwamba katika mfano unaozingatiwa.
Mfano 2
Tafuta eneo la muunganisho wa mfululizo wa nishati
Suluhisho: tunapata muda wa muunganiko wa mfululizo kwa kutumia ishara ya d'Alembert (lakini si KWA sifa! - sifa kama hiyo haipo kwa safu ya utendaji):
Mfululizo unaungana saa
Kushoto tunahitaji kuondoka pekee, kwa hivyo tunazidisha pande zote mbili za ukosefu wa usawa kwa 3:
- Mfululizo unabadilika.
– 
- masharti ya mfululizo hupungua kwa moduli. Kila mwanachama anayefuata wa mfululizo ni chini ya ile ya awali kwa thamani kamili: 
, ambayo ina maana kupungua ni monotonous.
Hitimisho: mfululizo unaungana.
Wacha tuchunguze kwa asili ya muunganisho: 
Hebu tulinganishe mfululizo huu na mfululizo tofauti.
Tunatumia kigezo cha kulinganisha kikomo: 
Nambari ya mwisho hupatikana ambayo ni tofauti na sifuri, ambayo ina maana kwamba mfululizo hutofautiana kutoka kwa mfululizo.
Kwa hivyo, mfululizo hukutana kwa masharti.
2) Wakati 
- hutofautiana (kulingana na kile kilichothibitishwa).
Jibu: Eneo la muunganiko wa mfululizo wa nguvu chini ya utafiti: . Wakati mfululizo unakutana kwa masharti.
Katika mfano unaozingatiwa, eneo la muunganisho wa safu ya nguvu ni nusu ya muda, na katika sehemu zote za muda safu ya nguvu. huungana kabisa, na kwa uhakika, kama ilivyotokea - kwa masharti.
Mfano 3
Tafuta muda wa muunganisho wa mfululizo wa nishati na uchunguze muunganisho wake katika miisho ya muda uliopatikana.
Huu ni mfano kwako kutatua peke yako.
Hebu tuangalie mifano michache ambayo ni nadra, lakini hutokea.
Mfano 4
Pata eneo la muunganisho wa safu: 
Suluhisho: Kutumia jaribio la d'Alembert tunapata muda wa muunganisho wa safu hii: 
(1) Tunaunda uwiano wa mshiriki anayefuata wa safu na ile iliyotangulia.
(2) Tunaondoa sehemu ya hadithi nne.
(3) Kulingana na sheria ya utendakazi na mamlaka, tunaleta cubes chini ya nguvu moja. Katika nambari tunapanua digrii kwa ujanja, i.e. Tunapanga kwa njia ambayo katika hatua inayofuata tunaweza kupunguza sehemu kwa . Tunaelezea factorials kwa undani.
(4) Chini ya mchemraba, tunagawanya nambari kwa neno denominator kwa neno, kuonyesha kwamba . Kwa sehemu tunapunguza kila kitu ambacho kinaweza kupunguzwa. Tunachukua sababu zaidi ya ishara ya kikomo; inaweza kutolewa nje, kwani hakuna kitu ndani yake ambacho kinategemea utofauti wa "nguvu" "en". Tafadhali kumbuka kuwa ishara ya moduli haijachorwa - kwa sababu inachukua maadili yasiyo hasi kwa "x" yoyote.
Katika kikomo, sifuri hupatikana, ambayo inamaanisha tunaweza kutoa jibu la mwisho:
Jibu: Mfululizo unaungana saa
Lakini mwanzoni ilionekana kuwa safu hii na "kujaza kutisha" itakuwa ngumu kutatua. Zero au infinity katika kikomo ni karibu zawadi, kwa sababu ufumbuzi ni noticeably kupunguzwa!
Mfano 5
Tafuta eneo la muunganisho wa safu 
Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Kuwa mwangalifu;-) Suluhisho kamili liko mwishoni mwa somo.
Hebu tuangalie mifano michache zaidi ambayo ina kipengele cha riwaya katika suala la matumizi ya mbinu za kiufundi.
Mfano 6
Tafuta muda wa muunganiko wa mfululizo na uchunguze muunganiko wake katika miisho ya muda uliopatikana. 
Suluhisho: Neno la kawaida la mfululizo wa nguvu ni pamoja na kipengele kinachohakikisha ubadilishanaji wa ishara. Algorithm ya suluhisho imehifadhiwa kabisa, lakini wakati wa kuchora kikomo, tunapuuza (usiandike) jambo hili, kwani moduli huharibu "minuses" zote.
Tunapata muda wa muunganisho wa safu kwa kutumia jaribio la d'Alembert: 
Wacha tuunda usawa wa kawaida:
Mfululizo unaungana saa
Kushoto tunahitaji kuondoka moduli pekee, kwa hivyo tunazidisha pande zote mbili za ukosefu wa usawa kwa 5:
Sasa tunafungua moduli kwa njia inayojulikana:
Katikati ya usawa mara mbili, unahitaji kuacha "X" tu; kwa kusudi hili, tunatoa 2 kutoka kwa kila sehemu ya usawa:
- muda wa muunganisho wa mfululizo wa nishati chini ya utafiti.
Tunachunguza muunganisho wa mfululizo kwenye miisho ya muda uliopatikana:
1) Badilisha thamani kwenye mfululizo wetu wa nishati 
:
Kuwa mwangalifu sana, kizidishi hakitoi ubadilishaji wa ishara kwa "en" yoyote ya asili. Tunachukua minus inayosababishwa nje ya safu na kuisahau, kwani (kama sababu yoyote ya kudumu) haiathiri kwa njia yoyote muunganisho au mgawanyiko wa safu ya nambari.
Tafadhali kumbuka tena kwamba wakati wa kubadilisha thamani katika muda wa jumla wa mfululizo wa nishati, kipengele chetu kilipunguzwa. Ikiwa hii haikufanyika, itamaanisha kwamba tulihesabu kikomo vibaya au kupanua moduli vibaya.
Kwa hivyo, tunahitaji kuchunguza mfululizo wa nambari kwa muunganisho. Hapa njia rahisi ni kutumia kigezo cha ulinganisho chenye kikomo na kulinganisha mfululizo huu na mfululizo wa sauti tofauti. Lakini, kuwa waaminifu, nimechoka sana na ishara ya kikomo ya kulinganisha, kwa hivyo nitaongeza aina kadhaa kwenye suluhisho.
Kwa hivyo, mfululizo hukutana
Tunazidisha pande zote mbili za ukosefu wa usawa kwa 9:
Tunatoa mzizi kutoka kwa sehemu zote mbili, huku tukikumbuka utani wa shule ya zamani:
Kupanua moduli:
na ongeza moja kwa sehemu zote:
- muda wa muunganisho wa mfululizo wa nishati chini ya utafiti.
Wacha tuchunguze muunganisho wa safu ya nishati kwenye miisho ya muda uliopatikana:
1) Ikiwa , basi safu zifuatazo za nambari zinapatikana:
Mzidishaji alitoweka bila kuwaeleza, kwani kwa thamani yoyote ya asili "en" .
Mfululizo wa nguvu inaitwa mfululizo wa kazi wa fomu
Hapa x - tofauti halisi. Nambari a n (n = 0, 1, 2, … ) zinaitwa coefficients ya mfululizo. Katika kile kinachofuata tutajizuia kwa kesi wakati kila kitu a n na ukubwa x 0 - nambari za kweli. Mfululizo wa nguvu (9.5) pia huitwa karibu na digrii za tofautix x 0 .
Kama x 0 = 0 , basi tunapata mfululizo wa nguvu wa fomu
,
(9.6)
ambayo inaitwa ijayo kwa shahadax .
Mfululizo wa nguvu (9.5) umepunguzwa kwa fomu (9.6) kwa kutumia mabadiliko rahisi x x 0 = t (hamisha asili kwenye mhimili wa nambari). Kwa sababu ya hii, nadharia ya nguvu
mfululizo (9.5) na (9.6) ni ya kawaida. Kwa hiyo, katika siku zijazo tutajizuia kwa kuzingatia mali kuu ya mfululizo wa fomu (9.6).
Wakati wa kuzingatia mfululizo wa nguvu, suala kuu ni kuwaamua maeneo ya muunganiko, yaani, seti za maadili hayo x , ambapo mfululizo hukutana.
Tatizo hili linatatuliwa kwa misingi Nadharia za Abeli .
Ikiwa safu ya nishati (9.6) itaungana kwa thamani fulanix = x 1 0 , basi inabadilika kabisa kwa maadili yotex , kutosheleza ukosefu wa usawa x < x 1 .
Ikiwa mfululizo unatofautiana kwa thamani fulani x = x 2 , basi inatofautiana na kwa wotex ,kutosheleza ukosefu wa usawa x > x 2 .
Nadharia ya Abeli inaturuhusu kuhukumu eneo la pointi za muunganisho na mseto wa mfululizo wa nguvu (9.6).
Kweli, ikiwa x 1 ni hatua ya muunganisho, kisha muda wote ( x 1 , x 1 ) imejaa alama za muunganiko kabisa.
Kama x 2 ni hatua ya kutofautisha, kisha vipindi ( , x 2 ) na ( x 2 , + ) inajumuisha pointi za tofauti.
Kutoka kwa hili tunaweza kuhitimisha kuwa kuna idadi kama hiyo R , nini x < R mfululizo wa nguvu unaunganika kabisa, na kwa x > R - inatofautiana.
Muda ( R , R ) inaitwa muda wa muunganiko mfululizo wa nguvu (9.6). Nambari R kuitwa radius ya muunganisho mfululizo wa nguvu.
Kumbuka kuwa muda wa muunganisho wa baadhi ya mfululizo unawakilisha mstari mzima wa nambari (katika kesi hii R = ), kwa wengine inabadilika kuwa nukta moja (kesi R = 0 ) Katika x = R , yaani, katika miisho ya muda wa muunganiko, mfululizo unaweza kuungana kabisa, kwa masharti, au kutofautiana. Ili kufafanua tabia ya mfululizo katika sehemu za mwisho, ni muhimu kuchukua nafasi ya usemi wa mfululizo x maadili R na uchunguze mfululizo wa nambari mbili unaotokana na muunganiko. Suala hili linatatuliwa kwa kila safu mahususi kibinafsi.
Inapotumika kwa safu ya nguvu ya fomu (9.5), matokeo yaliyopatikana yanarekebishwa tu kwa kuwa kituo cha muunganisho kiko kwenye hatua. x = x 0 , sio kwa uhakika x = 0 , yaani muda wa muunganisho wa mfululizo wa nishati (9.5) ni linganifu kuhusiana na uhakika x = x 0 na inawakilisha muda x 0 R < x < x 0 + R .
Kumbuka kwamba ili kupata muda wa muunganisho wa mfululizo wa nguvu (9.6), tunaweza kuchunguza mfululizo
,
(9.7)
iliyoundwa na moduli za washiriki wa safu fulani, kwa kuwa vipindi vya muunganisho wa safu hizi vinalingana.
Kuamua muunganiko wa mfululizo (9.7), masharti ambayo ni chanya, majaribio ya muunganiko wa D'Alembert au Cauchy kawaida hutumiwa.
Wacha tufikirie kuwa kuna kikomo 
.
Kisha, kwa kigezo cha d'Alembert, mfululizo (9.7) huungana kwa 
, yaani ikiwa 
, na inatofautiana 
, yaani ikiwa 
. Kwa hivyo, mfululizo huu hukutana ndani ya muda 
na hutofautiana nje yake, yaani, radius ya muunganiko ni sawa na 
.
Vidokezo.
1) Kama A = 0 , kisha mfululizo asili huungana kabisa kwa maadili yote ya nambari x , kwani katika kesi hii tuna x A = 0 < 1 kwa mtu yeyote x . Katika kesi hii, radius ya muunganisho R = .
2) Kama A = , Hiyo mfululizo asili huungana katika hatua moja x = 0 . Ilikubaliwa hapo awali kuwa katika kesi hii R = 0 .
3) Vile vile, kuamua muda wa muunganisho, unaweza kutumia mtihani wa Cauchy ikiwa kuna 
. Kwa kesi hii 
.
4) Muda wa muunganisho unaweza kupatikana kwa kutumia majaribio ya D’Alembert au Cauchy moja kwa moja.
Mfano 9.11.
Amua eneo la muunganisho wa safu 
.
Suluhisho. Hapa 
. Ndiyo maana,
.
Hivyo muda 
ni muda wa muunganiko wa mfululizo uliotolewa.
Wacha tujifunze tabia ya safu kwenye miisho ya muda wa muunganisho. Katika 
mfululizo utachukua fomu 
. Huu ni mfululizo wa harmonic, hutofautiana. Katika 
mfululizo utachukua fomu 
. Mfululizo huu mbadala hubadilika kwa masharti, kwani ni rahisi kuangalia kuwa masharti ya kigezo cha Leibniz yameridhika, na safu ya moduli. 
inatofautiana.
Kwa hiyo, lini 
Mfululizo hukutana kabisa wakati 
Mfululizo huungana kwa masharti; katika sehemu nyingine zote mfululizo hutofautiana.
Mfano 9.12.
Tafuta eneo la muunganisho wa safu 
.
Suluhisho. Wacha tutumie mtihani wa Cauchy. Tuna
Kwa hivyo, mfululizo hukutana kabisa wakati tu x = 1 , na katika sehemu nyingine zote za mhimili wa nambari mfululizo hutofautiana. Radi ya muunganisho R = 0 .
Mfano 1. Pata eneo la muunganisho wa safu ya nguvu:
A); b) 
;
V) 
; G) 
;
d) 
.
A) Wacha tupate radius ya muunganisho R. Kwa sababu 
,
, Hiyo
.
x
, yaani, muda wa muunganisho wa mfululizo 
.
Katika 
tunapata mfululizo wa nambari 
. Mfululizo huu hukutana kwa sababu ni mfululizo wa uelewano wa jumla 
katika 
.
Katika 
tunapata mfululizo wa nambari 
. Mfululizo huu unaunganika kabisa, kwani safu inayojumuisha maadili kamili ya masharti yake 
, kuungana.
.
b) Wacha tupate radius ya muunganisho R. Kwa sababu 
, Hiyo 
.
Kwa hivyo, muda wa muunganisho wa safu 
.
Tunachunguza muunganiko wa mfululizo huu katika miisho ya muda wa muunganiko.
Katika 
tuna mfululizo wa nambari 
.
Katika 
tuna mfululizo wa nambari 
. Mfululizo huu ni tofauti kwa sababu 
haipo.
Kwa hivyo, eneo la muunganisho wa safu hii 
.
V) Wacha tupate radius ya muunganisho R. Kwa sababu 
,
Hiyo 
.
Kwa hivyo, muda wa muunganisho 
. Eneo la muunganiko la mfululizo huu linaambatana na muda wa muunganiko, yaani, mfululizo huungana kwa thamani yoyote ya kigeugeu. x.
G) Wacha tupate radius ya muunganisho R. Kwa sababu 
,
Hiyo 
.
Kwa sababu 
, basi mfululizo huungana tu kwa uhakika 
. Hii ina maana kwamba eneo la muunganiko wa mfululizo huu ni nukta moja 
.
d) Wacha tupate radius ya muunganisho R.
Kwa sababu 
,
, Hiyo
.
Kwa hivyo, mfululizo unabadilika kwa kila mtu kabisa x, kutosheleza ukosefu wa usawa 
, hiyo ni 
.
Kutoka hapa 
- muda wa muunganiko, 
− eneo la muunganiko.
Hebu tuchunguze mfululizo huu kwa muunganiko katika miisho ya muda wa muunganiko.
Katika 
tunapata mfululizo wa nambari
,
ambayo hutofautiana (mfululizo wa harmonic).
Katika 
tunapata mfululizo wa nambari 
, ambayo hubadilika kwa masharti (mfululizo hubadilika kulingana na kigezo cha Leibniz, na safu inayojumuisha maadili kamili ya washiriki wake hutofautiana, kwani ni ya usawa).
Kwa hivyo, eneo la muunganisho wa safu 
.
2.3. Taylor na Maclaurin mfululizo.
Upanuzi wa chaguo za kukokotoa katika mfululizo wa nishati.
Utumiaji wa mfululizo wa nguvu kwa makadirio ya mahesabu
Mifano ya kutatua matatizo
Mfano 1. Panua chaguo la kukokotoa katika mfululizo wa nguvu:
A) 
; b) 
;
V) 
; G) 
.
A) Kubadilisha katika formula 
x juu 
, tunapata upanuzi unaotaka:
Wapi 
b) Kubadilisha kwa usawa
Wapi 
x juu 
, tunapata upanuzi unaotaka:
V) Kazi hii inaweza kuandikwa kama hii: 
. Ili kupata mfululizo unaotaka, inatosha kupanua
Wapi 
mbadala 
. Kisha tunapata:
G) Kazi hii inaweza kuandikwa upya kama hii: .
Kazi 
inaweza kupanuliwa kuwa safu ya nguvu kwa kuweka mfululizo wa binomial 
, tutapokea.
Wapi 
.
Ili kupata upanuzi unaohitajika, inatosha kuzidisha mfululizo unaosababishwa (kwa sababu ya muunganisho kamili wa safu hizi).
Kwa hivyo,
, Wapi 
.
Mfano 2. Pata takriban maadili ya kazi hizi:
A) 
kwa usahihi wa 0.0001;
b) 
kwa usahihi wa 0.00001.
A) Kwa sababu 
, kisha ndani ya upanuzi wa kazi, wapi 
tubadilishe 
:
au 
Kwa sababu 
, basi usahihi unaohitajika utahakikishwa ikiwa tutajiwekea kikomo kwa masharti mawili ya kwanza tu ya upanuzi unaotokana.
.
Tunatumia mfululizo wa binomial
Wapi 
.
Kuamini 
Na 
, tunapata upanuzi ufuatao:
Ikiwa katika mfululizo wa mwisho wa kubadilishana maneno mawili ya kwanza tu yanazingatiwa na mengine yanatupwa, basi kosa katika hesabu. 
haitazidi 0.000006 kwa thamani kamili. Kisha kosa katika hesabu 
haitazidi idadi. Kwa hivyo,
Mfano 3. Hesabu hadi 0.001 iliyo karibu zaidi:
A) 
; b) 
.
A)
.
Wacha tupanue kiunga katika safu ya nguvu. Ili kufanya hivyo, wacha tubadilishe safu ya binomial 
na kuchukua nafasi x juu 
:
.
Tangu sehemu ya ushirikiano 
ni ya eneo la muunganiko wa mfululizo unaotokana 
, basi tutaunganisha muhula baada ya muda ndani ya mipaka maalum:
.
Katika mfululizo unaotokana wa ishara zinazopishana, muhula wa nne ni chini ya 0.001 kwa thamani kamili. Kwa hivyo, usahihi unaohitajika utahakikishwa ikiwa tu masharti matatu ya kwanza ya mfululizo yatazingatiwa.
.
Kwa kuwa neno la kwanza kati ya masharti yaliyotupwa lina ishara ya kuondoa, thamani inayotokana na takriban itazidi. Kwa hivyo, jibu la ndani ya 0.001 ni 0.487.
b) Hebu kwanza tuwakilishe integrand kama mfululizo wa nguvu. Wacha tubadilishe katika upanuzi wa kazi
Wapi 
x juu 
, tunapata:
Kisha 
.
Mfululizo mbadala unaotokana unakidhi masharti ya kigezo cha Leibniz. Muda wa nne wa mfululizo ni chini ya 0.001 kwa thamani kamili. Ili kuhakikisha usahihi unaohitajika, inatosha kupata jumla ya maneno matatu ya kwanza.
Kwa hivyo, 
.