Hebu tufanye kazi na milinganyo ya quadratic. Hizi ni equations maarufu sana! Katika hali yake ya jumla, equation ya quadratic inaonekana kama hii:
Kwa mfano:
Hapa A =1; b = 3; c = -4
Hapa A =2; b = -0,5; c = 2,2
Hapa A =-3; b = 6; c = -18
Kweli, unaelewa ...
Jinsi ya kutatua equations za quadratic? Ikiwa una equation ya quadratic mbele yako katika fomu hii, basi kila kitu ni rahisi. Kumbuka neno la uchawi kibaguzi . Ni mara chache mwanafunzi wa shule ya upili hajasikia neno hili! Maneno "tunasuluhisha kupitia ubaguzi" yanatia moyo kujiamini na uhakikisho. Kwa sababu hakuna haja ya kutarajia ujanja kutoka kwa mbaguzi! Ni rahisi na haina shida kutumia. Kwa hivyo, formula ya kupata mizizi ya equation ya quadratic inaonekana kama hii:
Usemi chini ya ishara ya mzizi ni moja kibaguzi. Kama unaweza kuona, kupata X, tunatumia tu a, b na c. Wale. mgawo kutoka kwa mlinganyo wa quadratic. Badilisha tu maadili kwa uangalifu a, b na c Hii ndio formula tunayohesabu. Hebu tubadilishe kwa ishara zako mwenyewe! Kwa mfano, kwa equation ya kwanza A =1; b = 3; c= -4. Hapa tunaandika:
Mfano unakaribia kutatuliwa:
Ni hayo tu.
Ni kesi gani zinazowezekana wakati wa kutumia fomula hii? Kuna kesi tatu tu.
1. Mwenye ubaguzi ni chanya. Hii inamaanisha kuwa mzizi unaweza kutolewa kutoka kwake. Ikiwa mzizi umetolewa vizuri au vibaya ni swali lingine. Kilicho muhimu ni kile kinachotolewa kwa kanuni. Kisha equation yako ya quadratic ina mizizi miwili. Suluhisho mbili tofauti.
2. Kibaguzi ni sifuri. Kisha una suluhisho moja. Kwa kweli, hii sio mzizi mmoja, lakini mbili zinazofanana. Lakini hii ina jukumu katika usawa, ambapo tutajifunza suala hilo kwa undani zaidi.
3. Mbaguzi ni hasi. Mzizi wa mraba wa nambari hasi hauwezi kuchukuliwa. Naam, sawa. Hii inamaanisha kuwa hakuna suluhisho.
Kila kitu ni rahisi sana. Na nini, unafikiri kuwa haiwezekani kufanya makosa? Kweli, ndio, jinsi ...
Makosa ya kawaida ni kuchanganyikiwa na maadili ya ishara a, b na c. Au tuseme, sio kwa ishara zao (wapi kuchanganyikiwa?), lakini kwa uingizwaji wa maadili hasi katika fomula ya kuhesabu mizizi. Kinachosaidia hapa ni rekodi ya kina ya fomula na nambari maalum. Ikiwa kuna shida na mahesabu, fanya hivyo!
Tuseme tunahitaji kutatua mfano ufuatao:
Hapa a = -6; b = -5; c = -1
Hebu tuseme unajua kwamba ni nadra kupata majibu mara ya kwanza.
Naam, usiwe wavivu. Itachukua kama sekunde 30 kuandika mstari wa ziada. Na idadi ya makosa itapungua kwa kasi. Kwa hivyo tunaandika kwa undani, na mabano na ishara zote:
Inaonekana ni ngumu sana kuandika kwa uangalifu sana. Lakini inaonekana hivyo tu. Jaribu. Naam, au chagua. Nini bora, haraka au sawa? Zaidi ya hayo, nitakufanya uwe na furaha. Baada ya muda, hakutakuwa na haja ya kuandika kila kitu kwa uangalifu sana. Itafanya kazi peke yake. Hasa ikiwa unatumia mbinu za vitendo ambazo zimeelezwa hapa chini. Mfano huu mbaya na rundo la minuses inaweza kutatuliwa kwa urahisi na bila makosa!
Kwa hiyo, jinsi ya kutatua milinganyo ya quadratic kupitia kwa kibaguzi tuliyemkumbuka. Au walijifunza, ambayo pia ni nzuri. Unajua jinsi ya kuamua kwa usahihi a, b na c. Je, unajua jinsi gani? kwa makini kuzibadilisha katika fomula ya mizizi na kwa makini hesabu matokeo. Unaelewa kuwa neno kuu hapa ni kwa makini?
Walakini, equations za quadratic mara nyingi huonekana tofauti kidogo. Kwa mfano, kama hii:
Hii milinganyo ya quadratic isiyokamilika . Wanaweza pia kutatuliwa kwa njia ya kibaguzi. Unahitaji tu kuelewa kwa usahihi ni nini wao ni sawa na hapa. a, b na c.
Je, umeifahamu? Katika mfano wa kwanza a = 1; b = -4; A c? Haipo kabisa! Naam ndiyo, hiyo ni sawa. Katika hisabati hii ina maana kwamba c = 0 ! Ni hayo tu. Badala yake, badilisha sifuri kwenye fomula c, na tutafanikiwa. Sawa na mfano wa pili. Ni sisi tu hatuna sifuri hapa Na, A b !
Lakini milinganyo ya quadratic isiyokamilika inaweza kutatuliwa kwa urahisi zaidi. Bila ubaguzi wowote. Wacha tuzingatie mlinganyo wa kwanza ambao haujakamilika. Unaweza kufanya nini kwa upande wa kushoto? Unaweza kuchukua X kutoka kwa mabano! Hebu tutoe nje.
Na nini kutoka kwa hii? Na ukweli kwamba bidhaa ni sawa na sifuri ikiwa tu ikiwa sababu yoyote ni sawa na sifuri! Usiniamini? Sawa, basi njoo na nambari mbili zisizo za sifuri ambazo, zikizidishwa, zitatoa sifuri!
Haifanyi kazi? Ni hayo tu...
Kwa hivyo, tunaweza kuandika kwa ujasiri: x = 0, au x = 4
Wote. Hizi zitakuwa mizizi ya equation yetu. Zote mbili zinafaa. Wakati wa kubadilisha yoyote yao kwenye equation ya asili, tunapata utambulisho sahihi 0 = 0. Kama unaweza kuona, suluhisho ni rahisi zaidi kuliko kutumia kibaguzi.
Equation ya pili pia inaweza kutatuliwa kwa urahisi. Hoja 9 kwa upande wa kulia. Tunapata:
Yote iliyobaki ni kutoa mzizi kutoka 9, na ndivyo hivyo. Itageuka:
Pia mizizi miwili . x = +3 na x = -3.
Hivi ndivyo milinganyo yote ya quadratic ambayo haijakamilika hutatuliwa. Ama kwa kuweka X nje ya mabano, au kwa kusogeza nambari kulia na kisha kutoa mzizi.
Ni ngumu sana kuchanganya mbinu hizi. Kwa sababu tu katika kesi ya kwanza italazimika kutoa mzizi wa X, ambao haueleweki kwa njia fulani, na katika kesi ya pili hakuna kitu cha kuchukua kutoka kwa mabano ...
Sasa angalia mbinu za vitendo ambazo hupunguza kwa kiasi kikubwa idadi ya makosa. Yale yale yanayotokana na kutokujali... Ambayo baadae inakuwa chungu na kuudhi...
Uteuzi wa kwanza. Usiwe wavivu kabla ya kutatua equation ya quadratic na uilete kwa fomu ya kawaida. Hii ina maana gani?
Wacha tuseme kwamba baada ya mabadiliko yote unapata equation ifuatayo:
Usikimbilie kuandika formula ya mizizi! Kwa hakika utapata odds zilizochanganyika a, b na c. Tengeneza mfano kwa usahihi. Kwanza, X mraba, kisha bila mraba, kisha neno bure. Kama hii:
Na tena, usikimbilie! Minus mbele ya X yenye mraba inaweza kukukasirisha sana. Ni rahisi kusahau... Ondoa minus. Vipi? Ndio, kama ilivyofundishwa katika mada iliyotangulia! Tunahitaji kuzidisha mlinganyo mzima kwa -1. Tunapata:
Lakini sasa unaweza kuandika kwa usalama formula ya mizizi, kuhesabu kibaguzi na kumaliza kutatua mfano. Amua mwenyewe. Unapaswa sasa kuwa na mizizi 2 na -1.
Mapokezi ya pili. Angalia mizizi! Kulingana na nadharia ya Vieta. Usiogope, nitaelezea kila kitu! Kuangalia jambo la mwisho mlinganyo. Wale. ile tuliyotumia kuandika kanuni ya mizizi. Ikiwa (kama katika mfano huu) mgawo a = 1, kuangalia mizizi ni rahisi. Inatosha kuwazidisha. Matokeo yanapaswa kuwa mwanachama huru, i.e. kwa upande wetu -2. Tafadhali kumbuka, sio 2, lakini -2! Mwanachama wa bure na ishara yako
. Ikiwa haifanyi kazi, inamaanisha kuwa tayari wamejipanga mahali fulani. Tafuta hitilafu. Ikiwa inafanya kazi, unahitaji kuongeza mizizi. Cheki ya mwisho na ya mwisho. Mgawo unapaswa kuwa b Na kinyume
inayojulikana. Kwa upande wetu -1+2 = +1. Mgawo b, ambayo ni kabla ya X, ni sawa na -1. Kwa hivyo, kila kitu ni sawa!
Inasikitisha kwamba hii ni rahisi sana kwa mifano tu ambapo x squared ni safi, na mgawo a = 1. Lakini angalau angalia hesabu kama hizo! Kutakuwa na makosa machache na machache.
Mapokezi ya tatu. Ikiwa equation yako ina mgawo wa sehemu, ondoa sehemu! Zidisha mlingano kwa kiashiria cha kawaida kama ilivyoelezwa katika sehemu iliyotangulia. Wakati wa kufanya kazi na sehemu, makosa yanaendelea kuingia kwa sababu fulani ...
Kwa njia, niliahidi kurahisisha mfano mbaya na rundo la minuses. Tafadhali! Huyu hapa.
Ili sio kuchanganyikiwa na minuses, tunazidisha equation kwa -1. Tunapata:
Ni hayo tu! Kutatua ni furaha!
Kwa hiyo, hebu tufanye muhtasari wa mada.
Vidokezo vya vitendo:
1. Kabla ya kutatua, tunaleta equation ya quadratic kwa fomu ya kawaida na kuijenga Haki.
2. Ikiwa kuna mgawo hasi mbele ya X ya mraba, tunaiondoa kwa kuzidisha equation nzima kwa -1.
3. Ikiwa mgawo ni wa sehemu, tunaondoa sehemu kwa kuzidisha equation nzima kwa sababu inayolingana.
4. Ikiwa x mraba ni safi, mgawo wake ni sawa na moja, suluhisho linaweza kuthibitishwa kwa urahisi kwa kutumia nadharia ya Vieta. Fanya!
Milinganyo ya sehemu. ODZ.
Tunaendelea kusimamia milinganyo. Tayari tunajua jinsi ya kufanya kazi na milinganyo ya mstari na quadratic. Mtazamo wa mwisho kushoto - milinganyo ya sehemu. Au pia huitwa kwa heshima zaidi - milinganyo ya kimantiki ya sehemu. Ni sawa.
Milinganyo ya sehemu.
Kama jina linamaanisha, milinganyo hii lazima iwe na sehemu. Lakini sio tu sehemu, lakini sehemu ambazo zina haijulikani katika dhehebu. Angalau katika moja. Kwa mfano:
Acha nikukumbushe kwamba ikiwa madhehebu ni tu nambari, hizi ni milinganyo ya mstari.
Jinsi ya kuamua milinganyo ya sehemu? Kwanza kabisa, ondoa sehemu! Baada ya hayo, equation mara nyingi hubadilika kuwa mstari au quadratic. Na kisha tunajua la kufanya... Katika hali nyingine inaweza kugeuka kuwa kitambulisho, kama vile 5=5 au usemi usio sahihi, kama vile 7=2. Lakini hii hutokea mara chache. Nitataja hii hapa chini.
Lakini jinsi ya kujiondoa sehemu!? Rahisi sana. Kutumia mabadiliko yanayofanana.
Tunahitaji kuzidisha mlinganyo mzima kwa usemi sawa. Ili madhehebu yote yapunguzwe! Kila kitu kitakuwa rahisi mara moja. Acha nieleze kwa mfano. Wacha tujaribu kutatua equation:
Ulifundishwa vipi katika shule ya msingi? Tunasonga kila kitu kwa upande mmoja, kuleta kwa dhehebu la kawaida, nk. Kusahau kama ndoto mbaya! Hivi ndivyo unahitaji kufanya unapoongeza au kupunguza sehemu. Au unafanya kazi bila usawa. Na katika equations, mara moja tunazidisha pande zote mbili kwa kujieleza ambayo itatupa fursa ya kupunguza madhehebu yote (yaani, kwa asili, kwa kawaida). Na usemi huu ni nini?
Kwa upande wa kushoto, kupunguza denominator inahitaji kuzidisha kwa x+2. Na upande wa kulia, kuzidisha kwa 2 inahitajika. Hii ina maana kwamba equation lazima iongezwe na 2(x+2). Zidisha:
Huu ni mzidisho wa kawaida wa sehemu, lakini nitaelezea kwa undani:
Tafadhali kumbuka kuwa sifungui mabano bado (x + 2)! Kwa hivyo, kwa ujumla, ninaandika:
Upande wa kushoto ni mikataba kabisa (x+2), na upande wa kulia 2. Ambayo ndiyo ilitakiwa! Baada ya kupunguzwa tunapata mstari mlinganyo:
Na kila mtu anaweza kutatua equation hii! x = 2.
Wacha tusuluhishe mfano mwingine, ngumu zaidi:
Ikiwa tunakumbuka kwamba 3 = 3/1, na 2x = 2x/ 1, tunaweza kuandika:
Na tena tunaondoa kile ambacho hatupendi kabisa - sehemu.
Tunaona kwamba ili kupunguza dhehebu na X, tunahitaji kuzidisha sehemu kwa (x - 2). Na wachache sio kikwazo kwetu. Naam, hebu tuzidishe. Wote upande wa kushoto na zote upande wa kulia:
Mabano tena (x - 2) Mimi si kufichua. Ninafanya kazi na mabano kwa ujumla kana kwamba ni nambari moja! Hii lazima ifanyike kila wakati, vinginevyo hakuna kitakachopunguzwa.
Kwa hisia ya kuridhika kwa kina tunapunguza (x - 2) na tunapata equation bila sehemu yoyote, na mtawala!
Sasa hebu tufungue mabano:
Tunaleta zinazofanana, songa kila kitu kwa upande wa kushoto na upate:
Mlinganyo wa kawaida wa quadratic. Lakini minus iliyo mbele sio nzuri. Unaweza kuiondoa kila wakati kwa kuzidisha au kugawanya kwa -1. Lakini ukiangalia kwa karibu mfano huo, utaona kwamba ni bora kugawanya equation hii kwa -2! Katika swoop moja iliyoanguka, minus itatoweka, na tabia mbaya itakuwa ya kuvutia zaidi! Gawanya kwa -2. Upande wa kushoto - muhula kwa muda, na kulia - gawanya sifuri na -2, sifuri na tunapata:
Tunasuluhisha kupitia kibaguzi na kuangalia kwa kutumia nadharia ya Vieta. Tunapata x = 1 na x = 3. Mizizi miwili.
Kama unaweza kuona, katika kesi ya kwanza equation baada ya mabadiliko ikawa ya mstari, lakini hapa inakuwa quadratic. Inatokea kwamba baada ya kuondoa sehemu, X zote hupunguzwa. Kitu kinasalia, kama 5=5. Ina maana kwamba x inaweza kuwa chochote. Chochote ni, bado itapunguzwa. Na ikawa ukweli mtupu, 5=5. Lakini, baada ya kuondoa sehemu, inaweza kugeuka kuwa sio kweli kabisa, kama 2=7. Na hii ina maana kwamba hakuna masuluhisho! X yoyote inageuka kuwa sio kweli.
Imegundua suluhisho kuu milinganyo ya sehemu? Ni rahisi na yenye mantiki. Tunabadilisha usemi wa asili ili kila kitu ambacho hatupendi kipotee. Au inaingilia kati. Katika kesi hii, hizi ni sehemu. Tutafanya vivyo hivyo na kila aina ya mifano ngumu na logarithms, sines na vitisho vingine. Sisi Kila mara Tuachane na haya yote.
Walakini, tunahitaji kubadilisha usemi wa asili katika mwelekeo tunaohitaji kwa mujibu wa kanuni, ndio... Ustadi ambao ni maandalizi ya Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati. Hivyo sisi ni mastering yake.
Sasa tutajifunza jinsi ya kukwepa moja ya shambulio kuu kwenye Mtihani wa Jimbo la Umoja! Lakini kwanza, hebu tuone ikiwa unaanguka ndani yake au la?
Hebu tuangalie mfano rahisi:
Jambo hilo tayari linajulikana, tunazidisha pande zote mbili (x - 2), tunapata:
Nakukumbusha, na mabano (x - 2) Tunafanya kazi kana kwamba kwa usemi mmoja, muhimu!
Hapa sikuandika tena moja katika madhehebu, haina heshima ... Na sikuchora mabano katika madhehebu, isipokuwa kwa x -2 hakuna kitu, sio lazima kuchora. Hebu tufupishe:
Fungua mabano, songa kila kitu kushoto, na upe sawa:
Tunatatua, angalia, tunapata mizizi miwili. x = 2 Na x = 3. Kubwa.
Tuseme mgawo unasema kuandika mzizi, au jumla yao ikiwa kuna mizizi zaidi ya moja. Tutaandika nini?
Ukiamua jibu ni 5, wewe waliviziwa. Na kazi haitahesabiwa kwako. Walifanya kazi bure... Jibu sahihi ni 3.
Kuna nini?! Na unajaribu kufanya ukaguzi. Badilisha maadili ya wasiojulikana ndani asili mfano. Na ikiwa ni x = 3 kila kitu kitakua pamoja kwa kushangaza, tunapata 9 = 9, basi lini x = 2 Itakuwa mgawanyiko kwa sifuri! Kile ambacho huwezi kabisa kufanya. Maana x = 2 sio suluhisho, na haijazingatiwa katika jibu. Huu ndio unaoitwa mzizi wa ziada au wa ziada. Tunaitupa tu. Mzizi wa mwisho ni mmoja. x = 3.
Jinsi gani?! - Nasikia kelele za hasira. Tulifundishwa kuwa mlinganyo unaweza kuzidishwa kwa usemi! Haya ni mabadiliko yanayofanana!
Ndio, sawa. Chini ya hali ndogo - usemi ambao tunazidisha (kugawanya) - tofauti na sifuri. A x -2 katika x = 2 sawa na sifuri! Kwa hivyo kila kitu ni sawa.
Na sasa ninaweza kufanya nini?! Je, usizidishe kwa kujieleza? Je, niangalie kila wakati? Tena haijulikani!
Kwa utulivu! Usiwe na wasiwasi!
Katika hali hii ngumu, barua tatu za uchawi zitatuokoa. Najua unachofikiria. Haki! Hii ODZ . Eneo la Maadili Yanayokubalika.
Katika jamii ya kisasa, uwezo wa kufanya shughuli na milinganyo iliyo na kutofautisha kwa mraba inaweza kuwa muhimu katika maeneo mengi ya shughuli na hutumiwa sana katika mazoezi katika maendeleo ya kisayansi na kiufundi. Ushahidi wa hili unaweza kupatikana katika muundo wa vyombo vya baharini na mto, ndege na makombora. Kutumia mahesabu hayo, trajectories ya harakati ya aina mbalimbali za miili, ikiwa ni pamoja na vitu vya nafasi, imedhamiriwa. Mifano na ufumbuzi wa equations quadratic hutumiwa si tu katika utabiri wa kiuchumi, katika kubuni na ujenzi wa majengo, lakini pia katika hali ya kawaida ya kila siku. Huenda zikahitajika kwenye safari za kupanda mlima, kwenye hafla za michezo, madukani unapofanya ununuzi na katika hali nyinginezo za kawaida.
Wacha tuvunje usemi huo katika vipengele vyake vya vipengele
Kiwango cha mlingano hubainishwa na thamani ya juu zaidi ya kiwango cha kigezo ambacho usemi huwa. Ikiwa ni sawa na 2, basi equation kama hiyo inaitwa quadratic.
Ikiwa tunazungumza kwa lugha ya fomula, basi maneno yaliyoonyeshwa, haijalishi yanaonekanaje, yanaweza kuletwa kwa fomu wakati upande wa kushoto wa usemi una maneno matatu. Miongoni mwao: shoka 2 (yaani, kutofautisha kwa mraba na mgawo wake), bx (isiyojulikana bila mraba na mgawo wake) na c (sehemu ya bure, ambayo ni, nambari ya kawaida). Yote hii upande wa kulia ni sawa na 0. Katika kesi wakati polynomial kama hiyo inakosa moja ya masharti yake ya msingi, isipokuwa shoka 2, inaitwa equation ya quadratic isiyo kamili. Mifano na suluhisho la shida kama hizo, maadili ya anuwai ambayo ni rahisi kupata, inapaswa kuzingatiwa kwanza.
Ikiwa usemi unaonekana kama una istilahi mbili upande wa kulia, kwa usahihi zaidi shoka 2 na bx, njia rahisi zaidi ya kupata x ni kwa kuweka utofautishaji nje ya mabano. Sasa equation yetu itaonekana kama hii: x(ax+b). Ifuatayo, inakuwa dhahiri kuwa ama x=0, au shida inakuja kupata kigezo kutoka kwa usemi ufuatao: ax+b=0. Hii inaagizwa na moja ya sifa za kuzidisha. Sheria inasema kuwa bidhaa ya mambo mawili husababisha 0 tu ikiwa moja yao ni sifuri.
Mfano
x=0 au 8x - 3 = 0
Kama matokeo, tunapata mizizi miwili ya equation: 0 na 0.375.
Equations za aina hii zinaweza kuelezea harakati za miili chini ya ushawishi wa mvuto, ambayo ilianza kusonga kutoka kwa hatua fulani kuchukuliwa kama asili ya kuratibu. Hapa nukuu ya hisabati inachukua fomu ifuatayo: y = v 0 t + gt 2 /2. Kwa kubadilisha maadili muhimu, kusawazisha upande wa kulia hadi 0 na kutafuta haijulikani iwezekanavyo, unaweza kujua wakati unaopita kutoka wakati mwili unapoinuka hadi unapoanguka, pamoja na idadi nyingine nyingi. Lakini tutazungumza juu ya hili baadaye.
Kuanzisha Kujieleza
Sheria iliyoelezwa hapo juu inafanya uwezekano wa kutatua matatizo haya katika kesi ngumu zaidi. Wacha tuangalie mifano ya kutatua milinganyo ya quadratic ya aina hii.
X 2 - 33x + 200 = 0
Utatu huu wa quadratic umekamilika. Kwanza, hebu tubadilishe usemi huo na kuuzingatia. Kuna mbili kati yao: (x-8) na (x-25) = 0. Matokeo yake, tuna mizizi miwili 8 na 25.
Mifano na kutatua equations za quadratic katika daraja la 9 kuruhusu njia hii kupata kutofautiana kwa maneno sio tu ya pili, lakini hata ya amri ya tatu na ya nne.
Kwa mfano: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Wakati wa kuzingatia upande wa kulia katika vipengele na kutofautiana, kuna tatu kati yao, yaani, (x+1), (x-3) na (x+) 3).
Matokeo yake, inakuwa dhahiri kwamba equation hii ina mizizi mitatu: -3; -1; 3.
Kipeo
Kesi nyingine ya mlingano wa mpangilio wa pili ambao haujakamilika ni usemi unaowakilishwa katika lugha ya herufi kwa njia ambayo upande wa kulia umeundwa kutoka kwa vipengee vya ax 2 na c. Hapa, ili kupata thamani ya kutofautiana, neno la bure linahamishiwa upande wa kulia, na baada ya hapo mzizi wa mraba hutolewa kutoka pande zote mbili za usawa. Ikumbukwe kwamba katika kesi hii kuna kawaida mizizi miwili ya equation. Vighairi pekee vinaweza kuwa usawa ambao hauna neno na neno kabisa, ambapo kigezo ni sawa na sufuri, pamoja na vibadala vya misemo wakati upande wa kulia unageuka kuwa hasi. Katika kesi ya mwisho, hakuna ufumbuzi kabisa, kwani vitendo hapo juu haviwezi kufanywa na mizizi. Mifano ya ufumbuzi wa equations ya quadratic ya aina hii inapaswa kuzingatiwa.
Katika kesi hii, mizizi ya equation itakuwa nambari -4 na 4.
Uhesabuji wa eneo la ardhi
Uhitaji wa aina hii ya mahesabu ilionekana katika nyakati za kale, kwa sababu maendeleo ya hisabati katika nyakati hizo za mbali ilitambuliwa kwa kiasi kikubwa na haja ya kuamua kwa usahihi mkubwa maeneo na mzunguko wa mashamba ya ardhi.
Tunapaswa pia kuzingatia mifano ya kutatua milinganyo ya quadratic kulingana na matatizo ya aina hii.
Kwa hiyo, hebu sema kuna njama ya mstatili wa ardhi, ambayo urefu wake ni mita 16 zaidi ya upana. Unapaswa kupata urefu, upana na mzunguko wa tovuti ikiwa unajua kuwa eneo lake ni 612 m2.
Ili kuanza, hebu kwanza tutengeneze mlinganyo unaohitajika. Hebu tuonyeshe kwa x upana wa eneo hilo, basi urefu wake utakuwa (x + 16). Kutoka kwa kile kilichoandikwa inafuata kwamba eneo hilo limedhamiriwa na msemo x(x+16), ambayo, kwa mujibu wa masharti ya tatizo letu, ni 612. Hii ina maana kwamba x(x+16) = 612.
Kutatua milinganyo kamili ya quadratic, na usemi huu ndio hasa, hauwezi kufanywa kwa njia sawa. Kwa nini? Ingawa upande wa kushoto bado una mambo mawili, bidhaa zao sio sawa na 0 hata kidogo, kwa hivyo njia tofauti hutumiwa hapa.
Mbaguzi
Kwanza kabisa, tutafanya mabadiliko muhimu, kisha kuonekana kwa usemi huu kutaonekana kama hii: x 2 + 16x - 612 = 0. Hii ina maana kwamba tumepokea usemi huo kwa fomu inayofanana na kiwango kilichowekwa hapo awali, ambapo a=1, b=16, c= -612.
Huu unaweza kuwa mfano wa kusuluhisha milinganyo ya quadratic kwa kutumia kibaguzi. Hapa mahesabu muhimu yanafanywa kulingana na mpango: D = b 2 - 4ac. Kiasi hiki cha msaidizi sio tu kinachowezekana kupata kiasi kinachohitajika katika usawa wa pili, huamua idadi ya chaguo iwezekanavyo. Ikiwa D>0, kuna mbili kati yao; kwa D=0 kuna mzizi mmoja. Katika kesi ya D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
Kuhusu mizizi na muundo wao
Kwa upande wetu, kibaguzi ni sawa na: 256 - 4(-612) = 2704. Hii inaonyesha kwamba tatizo letu lina jibu. Ikiwa unajua k, suluhu ya milinganyo ya quadratic lazima iendelee kwa kutumia fomula iliyo hapa chini. Inakuwezesha kuhesabu mizizi.
Hii ina maana kwamba katika kesi iliyowasilishwa: x 1 =18, x 2 =-34. Chaguo la pili katika shida hii haiwezi kuwa suluhisho, kwa sababu vipimo vya njama ya ardhi haiwezi kupimwa kwa kiasi hasi, ambayo ina maana x (yaani, upana wa njama) ni m 18. Kutoka hapa tunahesabu urefu: 18 +16=34, na mzunguko 2(34+ 18)=104(m2).
Mifano na kazi
Tunaendelea na utafiti wetu wa milinganyo ya quadratic. Mifano na ufumbuzi wa kina wa kadhaa wao utapewa hapa chini.
1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1
Hebu tuhamishe kila kitu kwa upande wa kushoto wa usawa, tufanye mabadiliko, yaani, tutapata aina ya equation ambayo kawaida huitwa kiwango, na kuifananisha na sifuri.
15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0
Kuongeza sawa, tunaamua kibaguzi: D = 49 - 48 = 1. Hii inamaanisha kuwa equation yetu itakuwa na mizizi miwili. Wacha tuzihesabu kulingana na fomula hapo juu, ambayo inamaanisha kuwa ya kwanza itakuwa sawa na 4/3, na ya pili hadi 1.
2) Sasa hebu tutatue mafumbo ya aina tofauti.
Wacha tujue ikiwa kuna mizizi yoyote hapa x 2 - 4x + 5 = 1? Ili kupata jibu la kina, hebu tupunguze polynomial kwa fomu inayolingana ya kawaida na tuhesabu kibaguzi. Katika mfano hapo juu, si lazima kutatua equation ya quadratic, kwa sababu hii sio kiini cha tatizo kabisa. Katika kesi hii, D = 16 - 20 = -4, ambayo inamaanisha kuwa hakuna mizizi.
Nadharia ya Vieta
Ni rahisi kutatua milinganyo ya quadratic kwa kutumia fomula zilizo hapo juu na kibaguzi, wakati mzizi wa mraba unachukuliwa kutoka kwa thamani ya mwisho. Lakini hii haifanyiki kila wakati. Walakini, kuna njia nyingi za kupata maadili ya anuwai katika kesi hii. Mfano: kutatua milinganyo ya quadratic kwa kutumia nadharia ya Vieta. Amepewa jina la ambaye aliishi katika karne ya 16 huko Ufaransa na akafanya kazi nzuri sana kutokana na talanta yake ya hisabati na uhusiano mahakamani. Picha yake inaweza kuonekana katika makala.
Mfano ambao Mfaransa huyo maarufu aliona ulikuwa kama ifuatavyo. Alithibitisha kuwa mizizi ya mlinganyo huongezwa kwa nambari hadi -p=b/a, na bidhaa yake inalingana na q=c/a.
Sasa hebu tuangalie kazi maalum.
3x 2 + 21x - 54 = 0
Kwa unyenyekevu, wacha tubadilishe usemi:
x 2 + 7x - 18 = 0
Hebu tumia nadharia ya Vieta, hii itatupa zifuatazo: jumla ya mizizi ni -7, na bidhaa zao ni -18. Kuanzia hapa tunapata kwamba mizizi ya equation ni nambari -9 na 2. Baada ya kuangalia, tutahakikisha kwamba maadili haya ya kutofautiana yanafaa kabisa katika usemi.
Parabola grafu na equation
Dhana za utendakazi wa quadratic na milinganyo ya quadratic zinahusiana kwa karibu. Mifano ya hii tayari imetolewa mapema. Sasa hebu tuangalie baadhi ya mafumbo ya hisabati kwa undani zaidi. Equation yoyote ya aina iliyoelezwa inaweza kuwakilishwa kwa macho. Uhusiano kama huo, unaotolewa kama grafu, unaitwa parabola. Aina zake mbalimbali zinawasilishwa kwenye takwimu hapa chini.
Parabola yoyote ina vertex, yaani, hatua ambayo matawi yake yanatoka. Ikiwa a>0, huenda juu hadi isiyo na mwisho, na wakati a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
Uwasilishaji unaoonekana wa chaguo za kukokotoa husaidia kutatua milinganyo yoyote, ikijumuisha zile za quadratic. Njia hii inaitwa graphical. Na thamani ya utofauti wa x ni uratibu wa abscissa katika sehemu ambazo mstari wa grafu huingiliana na 0x. Viwianishi vya kipeo vinaweza kupatikana kwa kutumia fomula iliyotolewa hivi punde x 0 = -b/2a. Na kwa kubadilisha thamani inayosababisha katika equation ya awali ya kazi, unaweza kujua y 0, yaani, uratibu wa pili wa vertex ya parabola, ambayo ni ya mhimili wa kuratibu.
Makutano ya matawi ya parabola na mhimili wa abscissa
Kuna mifano mingi ya kusuluhisha hesabu za quadratic, lakini pia kuna mifumo ya jumla. Hebu tuwaangalie. Ni wazi kwamba makutano ya grafu na mhimili 0x kwa a>0 inawezekana tu ikiwa 0 inachukua maadili hasi. Na kwa a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Vinginevyo D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
Kutoka kwenye grafu ya parabola unaweza pia kuamua mizizi. Kinyume chake pia ni kweli. Hiyo ni, ikiwa si rahisi kupata uwakilishi wa kuona wa kazi ya quadratic, unaweza kusawazisha upande wa kulia wa kujieleza kwa 0 na kutatua equation inayosababisha. Na kujua pointi za makutano na mhimili wa 0x, ni rahisi zaidi kuunda grafu.
Kutoka kwa historia
Kwa kutumia equations zenye kutofautiana kwa mraba, katika siku za zamani hawakufanya tu mahesabu ya hisabati na kuamua maeneo ya takwimu za kijiometri. Wazee walihitaji hesabu kama hizo kwa uvumbuzi mkubwa katika nyanja za fizikia na unajimu, na vile vile kufanya utabiri wa unajimu.
Kama wanasayansi wa kisasa wanavyopendekeza, wakaaji wa Babeli walikuwa kati ya wa kwanza kutatua milinganyo ya quadratic. Hii ilitokea karne nne kabla ya zama zetu. Kwa kweli, mahesabu yao yalikuwa tofauti kabisa na yale yaliyokubaliwa kwa sasa na yaligeuka kuwa ya zamani zaidi. Kwa mfano, wanahisabati wa Mesopotamia hawakujua kuhusu kuwepo kwa nambari hasi. Pia hawakujua hila zingine ambazo mtoto yeyote wa kisasa wa shule anajua.
Labda hata mapema zaidi ya wanasayansi wa Babeli, mwenye hekima kutoka India Baudhayama alianza kutatua milinganyo ya roboduara. Hii ilitokea karibu karne nane kabla ya enzi ya Kristo. Kweli, hesabu za mpangilio wa pili, njia za kusuluhisha ambazo alitoa, zilikuwa rahisi zaidi. Mbali na yeye, wanahisabati wa China pia walipendezwa na maswali kama hayo katika siku za zamani. Huko Uropa, hesabu za quadratic zilianza kutatuliwa tu mwanzoni mwa karne ya 13, lakini baadaye zilitumiwa katika kazi zao na wanasayansi wakubwa kama Newton, Descartes na wengine wengi.
Quadratic equation - rahisi kutatua! *Hapa inajulikana kama "KU". Marafiki, inaweza kuonekana kuwa hakuna kitu rahisi katika hisabati kuliko kutatua equation kama hiyo. Lakini kuna kitu kiliniambia kwamba watu wengi wana matatizo naye. Niliamua kuona ni maoni ngapi ya mahitaji ambayo Yandex hutoa kwa mwezi. Hiki ndicho kilichotokea, angalia:
Ina maana gani? Hii ina maana kwamba karibu watu 70,000 kwa mwezi wanatafuta habari hii, na hii ni majira ya joto, na nini kitatokea wakati wa mwaka wa shule - kutakuwa na maombi mara mbili zaidi. Hii haishangazi, kwa sababu wale wavulana na wasichana ambao walihitimu shuleni muda mrefu uliopita na wanajiandaa kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja wanatafuta habari hii, na watoto wa shule pia wanajitahidi kuburudisha kumbukumbu zao.
Licha ya ukweli kwamba kuna tovuti nyingi zinazokuambia jinsi ya kutatua equation hii, niliamua pia kuchangia na kuchapisha nyenzo. Kwanza, ninataka wageni waje kwenye tovuti yangu kulingana na ombi hili; pili, katika makala nyingine, wakati mada ya "KU" inakuja, nitatoa kiungo kwa makala hii; tatu, nitakuambia zaidi kidogo juu ya suluhisho lake kuliko inavyosemwa kwenye tovuti zingine. Tuanze! Yaliyomo katika kifungu:
Equation ya quadratic ni equation ya fomu:
ambapo mgawo a,bna c ni nambari za kiholela, zenye a≠0.
Katika kozi ya shule, nyenzo hutolewa kwa fomu ifuatayo - hesabu zimegawanywa katika madarasa matatu:
1. Wana mizizi miwili.
2. *Kuwa na mzizi mmoja tu.
3. Hawana mizizi. Inastahili kuzingatia hapa kwamba hawana mizizi halisi
Je, mizizi huhesabiwaje? Tu!
Tunahesabu ubaguzi. Chini ya neno hili "mbaya" kuna fomula rahisi sana:
Njia za mizizi ni kama ifuatavyo:
*Unahitaji kujua fomula hizi kwa moyo.
Unaweza kuandika mara moja na kutatua:
Mfano:
1. Ikiwa D > 0, basi equation ina mizizi miwili.
2. Ikiwa D = 0, basi equation ina mizizi moja.
3. Ikiwa D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Wacha tuangalie equation:
Katika suala hili, wakati kibaguzi ni sawa na sifuri, kozi ya shule inasema kwamba mzizi mmoja unapatikana, hapa ni sawa na tisa. Kila kitu ni sawa, ni hivyo, lakini ...
Wazo hili si sahihi kwa kiasi fulani. Kwa kweli, kuna mizizi miwili. Ndio, ndio, usishangae, unapata mizizi miwili sawa, na kuwa sahihi kihesabu, basi jibu linapaswa kuandika mizizi miwili:
x 1 = 3 x 2 = 3
Lakini hii ni hivyo - digression ndogo. Shuleni unaweza kuiandika na kusema kwamba kuna mzizi mmoja.
Sasa mfano unaofuata:
Kama tunavyojua, mzizi wa nambari hasi hauwezi kuchukuliwa, kwa hivyo hakuna suluhisho katika kesi hii.
Huo ndio mchakato mzima wa maamuzi.
Utendaji wa Quadratic.
Hii inaonyesha jinsi suluhisho linaonekana kama kijiometri. Hii ni muhimu sana kuelewa (katika siku zijazo, katika moja ya vifungu tutachambua kwa undani suluhisho la usawa wa quadratic).
Hii ni kazi ya fomu:
ambapo x na y ni vigezo
a, b, c - nambari zilizotolewa, na ≠ 0
Grafu ni parabola:
Hiyo ni, zinageuka kuwa kwa kutatua equation ya quadratic na "y" sawa na sifuri, tunapata pointi za makutano ya parabola na mhimili wa x. Kunaweza kuwa na pointi mbili kati ya hizi (kibaguzi ni chanya), moja (kibaguzi ni sifuri) na hakuna (kibaguzi ni hasi). Maelezo kuhusu kitendakazi cha quadratic Unaweza kutazama makala na Inna Feldman.
Hebu tuangalie mifano:
Mfano 1: Tatua 2x 2 +8 x–192=0
a=2 b=8 c= -192
D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Jibu: x 1 = 8 x 2 = -12
*Iliwezekana kugawanya pande za kushoto na kulia za equation mara moja na 2, ambayo ni, kurahisisha. Mahesabu yatakuwa rahisi zaidi.
Mfano 2: Amua x 2–22 x+121 = 0
a=1 b=–22 c=121
D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
Tuligundua kuwa x 1 = 11 na x 2 = 11
Inaruhusiwa kuandika x = 11 katika jibu.
Jibu: x = 11
Mfano 3: Amua x 2 –8x+72 = 0
a=1 b= -8 c=72
D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
Ubaguzi ni hasi, hakuna suluhisho kwa idadi halisi.
Jibu: hakuna suluhisho
Mbaguzi ni hasi. Kuna suluhisho!
Hapa tutazungumzia juu ya kutatua equation katika kesi wakati ubaguzi mbaya unapatikana. Je! unajua chochote kuhusu nambari changamano? Sitaingia kwa undani hapa juu ya kwanini na wapi waliibuka na jukumu lao maalum na hitaji katika hisabati ni nini; hii ni mada ya nakala kubwa tofauti.
Dhana ya nambari changamano.
Nadharia kidogo.
Nambari changamano z ni nambari ya fomu
z = a + bi
ambapo a na b ni nambari halisi, i ni kile kinachoitwa kitengo cha kufikiria.
a+bi - hii ni NAMBA MOJA, sio nyongeza.
Sehemu ya kufikiria ni sawa na mzizi wa minus moja:
Sasa fikiria equation:
Tunapata mizizi miwili ya kuunganisha.
Mlinganyo wa quadratic usio kamili.
Hebu tuzingatie kesi maalum, hii ni wakati mgawo "b" au "c" ni sawa na sifuri (au zote mbili ni sawa na sifuri). Wanaweza kutatuliwa kwa urahisi bila ubaguzi wowote.
Kesi 1. Mgawo b = 0.
Equation inakuwa:
Wacha tubadilishe:
Mfano:
4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2
Kesi ya 2. Coefficient c = 0.
Equation inakuwa:
Wacha tubadilishe na tuimarishe:
*Bidhaa ni sawa na sifuri wakati angalau moja ya vipengele ni sawa na sifuri.
Mfano:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 au x–5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
Kesi ya 3. Viwiliwili b = 0 na c = 0.
Hapa ni wazi kuwa suluhisho la equation litakuwa x = 0 kila wakati.
Mali muhimu na mifumo ya coefficients.
Kuna mali ambayo inakuwezesha kutatua equations na coefficients kubwa.
Ax 2 + bx+ c=0 usawa unashikilia
a + b+ c = 0, Hiyo
- ikiwa kwa coefficients ya equation Ax 2 + bx+ c=0 usawa unashikilia
a+ s =b, Hiyo
Tabia hizi husaidia kutatua aina fulani ya equation.
Mfano 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0
Jumla ya uwezekano ni 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, ambayo ina maana
Mfano 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0
Usawa unashikilia a+ s =b, Maana
Kanuni za coefficients.
1. Ikiwa katika shoka ya equation 2 + bx + c = 0 mgawo "b" ni sawa na (a 2 +1), na mgawo "c" ni nambari sawa na mgawo "a", basi mizizi yake ni sawa.
shoka 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.
Mfano. Fikiria mlinganyo 6x 2 + 37x + 6 = 0.
x 1 = –6 x 2 = –1/6.
2. Ikiwa katika shoka ya equation 2 - bx + c = 0 mgawo "b" ni sawa na (2 +1), na mgawo "c" ni nambari sawa na mgawo "a", basi mizizi yake ni sawa.
shoka 2 - (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.
Mfano. Fikiria mlinganyo 15x 2 -226x +15 = 0.
x 1 = 15 x 2 = 1/15.
3. Ikiwa katika Eq. shoka 2 + bx - c = 0 mgawo "b" ni sawa na (a 2 - 1), na mgawo "c" kwa nambari ni sawa na mgawo "a", basi mizizi yake ni sawa
shoka 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.
Mfano. Fikiria mlinganyo 17x 2 +288x - 17 = 0.
x 1 = - 17 x 2 = 1/17.
4. Ikiwa katika shoka ya equation 2 - bx - c = 0 mgawo "b" ni sawa na (a 2 - 1), na mgawo c ni nambari sawa na mgawo "a", basi mizizi yake ni sawa.
shoka 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.
Mfano. Fikiria mlinganyo 10x 2 - 99x -10 = 0.
x 1 = 10 x 2 = - 1/10
Nadharia ya Vieta.
Nadharia ya Vieta imepewa jina la mwanahisabati maarufu wa Ufaransa Francois Vieta. Kwa kutumia nadharia ya Vieta, tunaweza kueleza jumla na bidhaa ya mizizi ya KU kiholela kulingana na viambajengo vyake.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
Kwa jumla, nambari 14 inatoa 5 na 9 tu. Hizi ni mizizi. Kwa ustadi fulani, kwa kutumia nadharia iliyowasilishwa, unaweza kutatua hesabu nyingi za quadratic kwa mdomo mara moja.
Nadharia ya Vieta, kwa kuongeza. Ni rahisi kwa kuwa baada ya kutatua equation ya quadratic kwa njia ya kawaida (kwa njia ya kibaguzi), mizizi inayotokana inaweza kuchunguzwa. Ninapendekeza kufanya hivi kila wakati.
NJIA YA USAFIRI
Kwa njia hii, mgawo "a" unazidishwa na neno la bure, kana kwamba "kutupwa" kwake, ndiyo sababu inaitwa. njia ya "uhamisho". Njia hii hutumiwa wakati mizizi ya equation inaweza kupatikana kwa urahisi kwa kutumia nadharia ya Vieta na, muhimu zaidi, wakati kibaguzi ni mraba halisi.
Kama A± b+c≠ 0, basi mbinu ya uhamishaji inatumika, kwa mfano:
2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)
Kwa kutumia nadharia ya Vieta katika mlinganyo (2), ni rahisi kubainisha kuwa x 1 = 10 x 2 = 1
Mizizi inayotokana ya equation lazima igawanywe na 2 (kwani hizo mbili "zilitupwa" kutoka x 2), tunapata.
x 1 = 5 x 2 = 0.5.
Mantiki ni nini? Tazama kinachoendelea.
Wabaguzi wa milinganyo (1) na (2) ni sawa:
Ukiangalia mizizi ya hesabu, unapata tu madhehebu tofauti, na matokeo inategemea haswa juu ya mgawo wa x 2:
Ya pili (iliyorekebishwa) ina mizizi ambayo ni mara 2 zaidi.
Kwa hivyo, tunagawanya matokeo na 2.
*Ikiwa tutasajili upya watatu, tutagawanya matokeo kwa 3, nk.
Jibu: x 1 = 5 x 2 = 0.5
Sq. ur-ie na Uchunguzi wa Jimbo Moja.
Nitakuambia kwa ufupi juu ya umuhimu wake - LAZIMA UWEZE KUAMUA haraka na bila kufikiria, unahitaji kujua kanuni za mizizi na ubaguzi kwa moyo. Matatizo mengi yaliyojumuishwa katika majukumu ya Mitihani ya Jimbo Iliyounganishwa hujitokeza hadi kutatua mlingano wa robo tatu (zimejumuishwa kijiometri).
Kitu cha kuzingatia!
1. Njia ya kuandika equation inaweza kuwa "implicit". Kwa mfano, kiingilio kifuatacho kinawezekana:
15+ 9x 2 - 45x = 0 au 15x+42+9x 2 - 45x=0 au 15 -5x+10x 2 = 0.
Unahitaji kuleta kwa fomu ya kawaida (ili usichanganyike wakati wa kutatua).
2. Kumbuka kwamba x ni kiasi kisichojulikana na inaweza kuonyeshwa kwa barua nyingine yoyote - t, q, p, h na wengine.
Tunaendelea kusoma mada " kutatua milinganyo" Tayari tumefahamu milinganyo ya mstari na tunaendelea kuzoeana milinganyo ya quadratic.
Kwanza, tutaangalia equation ya quadratic ni nini, jinsi imeandikwa kwa fomu ya jumla, na kutoa ufafanuzi unaohusiana. Baada ya hayo, tutatumia mifano kuchunguza kwa undani jinsi milinganyo ya quadratic isiyokamilika inatatuliwa. Ifuatayo, tutaendelea kusuluhisha milinganyo kamili, kupata fomula ya mizizi, kufahamiana na kibaguzi cha mlinganyo wa quadratic, na kuzingatia masuluhisho kwa mifano ya kawaida. Hatimaye, hebu tufuate miunganisho kati ya mizizi na coefficients.
Urambazaji wa ukurasa.
Mlinganyo wa quadratic ni nini? Aina zao
Kwanza unahitaji kuelewa wazi equation ya quadratic ni nini. Kwa hiyo, ni jambo la busara kuanza mazungumzo kuhusu equations za quadratic na ufafanuzi wa equation ya quadratic, pamoja na ufafanuzi unaohusiana. Baada ya hayo, unaweza kuzingatia aina kuu za equations za quadratic: kupunguzwa na kupunguzwa, pamoja na usawa kamili na usio kamili.
Ufafanuzi na mifano ya milinganyo ya quadratic
Ufafanuzi.
Mlinganyo wa Quadratic ni mlinganyo wa fomu a x 2 +b x+c=0, ambapo x ni kigezo, a, b na c ni baadhi ya nambari, na a si sifuri.
Wacha tuseme mara moja kwamba equations za quadratic mara nyingi huitwa equations ya shahada ya pili. Hii ni kutokana na ukweli kwamba equation ya quadratic ni mlinganyo wa algebra shahada ya pili.
Ufafanuzi uliotajwa unaturuhusu kutoa mifano ya milinganyo ya quadratic. Kwa hivyo 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, nk. Hizi ni milinganyo ya quadratic.
Ufafanuzi.
Nambari a, b na c huitwa mgawo wa mlinganyo wa quadratic a·x 2 +b·x+c=0, na mgawo a unaitwa wa kwanza, au wa juu zaidi, au mgawo wa x 2, b ni mgawo wa pili, au mgawo wa x, na c ni neno huria. .
Kwa mfano, hebu tuchukue equation ya quadratic ya fomu 5 x 2 -2 x -3=0, hapa mgawo unaoongoza ni 5, mgawo wa pili ni sawa na -2, na neno la bure ni sawa na -3. Tafadhali kumbuka kuwa wakati viambatanisho b na/au c ni hasi, kama ilivyo katika mfano uliotolewa hivi karibuni, aina fupi ya mlinganyo wa quadratic ni 5 x 2 -2 x−3=0 , badala ya 5 x 2 +(−2 ) ·x+(−3)=0 .
Inafaa kumbuka kuwa wakati viambatanisho a na/au b ni sawa na 1 au −1, kwa kawaida hazipo wazi katika mlinganyo wa quadratic, ambayo inatokana na sifa za kipekee za kuandika vile . Kwa mfano, katika mlinganyo wa quadratic y 2 -y+3=0 mgawo unaoongoza ni mmoja, na mgawo wa y ni sawa na -1.
Milinganyo ya quadratic iliyopunguzwa na isiyopunguzwa
Kulingana na thamani ya mgawo wa kuongoza, equations za quadratic zilizopunguzwa na zisizopunguzwa zinajulikana. Wacha tutoe ufafanuzi unaolingana.
Ufafanuzi.
Mlinganyo wa quadratic ambao mgawo unaoongoza ni 1 unaitwa kutokana na mlinganyo wa quadratic. Vinginevyo equation ya quadratic ni haijaguswa.
Kulingana na ufafanuzi huu, milinganyo ya quadratic x 2 -3·x+1=0, x 2 -x-2/3=0, nk. - ikipewa, katika kila mmoja wao mgawo wa kwanza ni sawa na moja. A 5 x 2 −x−1=0, nk. - milinganyo ya quadratic ambayo haijapunguzwa, coefficients yao inayoongoza ni tofauti na 1.
Kutoka kwa usawa wowote wa quadratic ambao haujapunguzwa, kwa kugawanya pande zote mbili kwa mgawo wa kuongoza, unaweza kwenda kwa moja iliyopunguzwa. Kitendo hiki ni mageuzi sawa, yaani, equation iliyopunguzwa ya quadratic iliyopatikana kwa njia hii ina mizizi sawa na equation ya quadratic ya awali isiyopunguzwa, au, kama hiyo, haina mizizi.
Hebu tuangalie mfano wa jinsi mpito kutoka kwa equation ya quadratic isiyopunguzwa hadi iliyopunguzwa inafanywa.
Mfano.
Kutoka kwa mlingano wa 3 x 2 +12 x−7=0, nenda kwa mlingano wa quadratic uliopunguzwa.
Suluhisho.
Tunahitaji tu kugawanya pande zote mbili za mlinganyo wa asili kwa mgawo wa 3 unaoongoza, sio sifuri, ili tuweze kutekeleza kitendo hiki. Tuna (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, ambayo ni sawa, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, na kisha (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, kutoka wapi. Hivi ndivyo tulivyopata equation ya quadratic iliyopunguzwa, ambayo ni sawa na ile ya awali.
Jibu:
Milinganyo kamili na isiyo kamili ya quadratic
Ufafanuzi wa mlingano wa quadratic una hali a≠0. Hali hii ni muhimu ili equation a x 2 + b x + c = 0 ni quadratic, tangu wakati = 0 inakuwa kweli equation linear ya fomu b x + c = 0.
Kama kwa coefficients b na c, wanaweza kuwa sawa na sifuri, mmoja mmoja na kwa pamoja. Katika kesi hizi, equation ya quadratic inaitwa haijakamilika.
Ufafanuzi.
Mlinganyo wa quadratic a x 2 +b x+c=0 unaitwa haijakamilika, ikiwa angalau moja ya mgawo b, c ni sawa na sifuri.
Kwa upande wake
Ufafanuzi.
Mlinganyo kamili wa quadratic ni mlinganyo ambapo coefficients zote ni tofauti na sufuri.
Majina kama haya hayakutolewa kwa bahati. Hili litakuwa wazi kutokana na mijadala ifuatayo.
Ikiwa mgawo b ni sifuri, basi mlinganyo wa quadratic huchukua fomu a·x 2 +0·x+c=0, na ni sawa na mlinganyo a·x 2 +c=0. Ikiwa c=0, yaani, mlinganyo wa quadratic una umbo a·x 2 +b·x+0=0, basi unaweza kuandikwa upya kama a·x 2 +b·x=0. Na kwa b=0 na c=0 tunapata equation ya quadratic a·x 2 =0. Milinganyo inayotokana inatofautiana na mlinganyo kamili wa quadratic kwa kuwa pande zao za mkono wa kushoto hazina neno lenye mabadiliko ya x, au neno lisilolipishwa, au zote mbili. Kwa hivyo jina lao - milinganyo ya quadratic isiyo kamili.
Kwa hivyo milinganyo x 2 +x+1=0 na -2 x 2 -5 x+0.2=0 ni mifano ya milinganyo kamili ya quadratic, na x 2 =0, -2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 ni milinganyo ya quadratic isiyokamilika.
Kutatua milinganyo ya quadratic isiyokamilika
Kutoka kwa habari katika aya iliyotangulia inafuata kuwa kuna aina tatu za milinganyo ya quadratic isiyokamilika:
- a·x 2 =0, viambajengo b=0 na c=0 vinalingana nayo;
- a x 2 +c=0 wakati b=0 ;
- na a·x 2 +b·x=0 wakati c=0.
Wacha tuchunguze ili jinsi milinganyo ya quadratic isiyokamilika ya kila aina hizi hutatuliwa.
a x 2 =0
Wacha tuanze na kusuluhisha milinganyo ya quadratic isiyokamilika ambayo coefficients b na c ni sawa na sifuri, ambayo ni, na milinganyo ya fomu x 2 =0. Mlinganyo a·x 2 =0 ni sawa na mlinganyo x 2 =0, ambao hupatikana kutoka kwa asili kwa kugawanya sehemu zote mbili na nambari isiyo ya sifuri a. Kwa wazi, mzizi wa equation x 2 =0 ni sifuri, tangu 0 2 =0. Mlinganyo huu hauna mizizi mingine, ambayo inaelezewa na ukweli kwamba kwa nambari yoyote isiyo ya sifuri p usawa p 2 >0 inashikilia, ambayo ina maana kwamba kwa p≠0 usawa p 2 =0 haipatikani kamwe.
Kwa hivyo, equation ya quadratic isiyokamilika a·x 2 =0 ina mzizi mmoja x=0.
Kama mfano, tunatoa suluhu kwa mlinganyo wa quadratic ambao haujakamilika -4 x 2 =0. Ni sawa na equation x 2 =0, mzizi wake pekee ni x = 0, kwa hiyo, equation ya awali ina mizizi sifuri moja.
Suluhisho fupi katika kesi hii linaweza kuandikwa kama ifuatavyo.
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0 .
a x 2 +c=0
Sasa hebu tuangalie jinsi milinganyo ya quadratic isiyokamilika inatatuliwa ambapo mgawo b ni sifuri na c≠0, yaani, milinganyo ya fomu a x 2 +c=0. Tunajua kwamba kuhamisha neno kutoka upande mmoja wa mlinganyo hadi mwingine kwa ishara kinyume, na pia kugawanya pande zote mbili za mlinganyo kwa nambari isiyo ya sifuri, kunatoa mlingano sawa. Kwa hivyo, tunaweza kutekeleza mabadiliko sawa yafuatayo ya equation ya quadratic isiyokamilika x 2 +c=0:
- hoja c kwa upande wa kulia, ambayo inatoa equation a x 2 =-c,
- na kugawanya pande zote mbili kwa a, tunapata .
Equation inayotokana inatuwezesha kupata hitimisho kuhusu mizizi yake. Kulingana na maadili ya a na c, thamani ya usemi inaweza kuwa hasi (kwa mfano, ikiwa a=1 na c=2, basi ) au chanya (kwa mfano, ikiwa a=−2 na c=6, basi ), sio sifuri , kwani kwa hali c≠0. Wacha tuangalie kesi tofauti.
Ikiwa , basi equation haina mizizi. Taarifa hii inafuatia ukweli kwamba mraba wa nambari yoyote ni nambari isiyo hasi. Inafuata kutoka kwa hili kwamba when , basi kwa nambari yoyote p usawa hauwezi kuwa kweli.
Ikiwa , basi hali na mizizi ya equation ni tofauti. Katika kesi hii, ikiwa tunakumbuka kuhusu , basi mzizi wa equation huwa wazi mara moja; ni nambari, kwani . Ni rahisi kukisia kuwa nambari pia ndio mzizi wa equation, kwa kweli,. Equation hii haina mizizi mingine, ambayo inaweza kuonyeshwa, kwa mfano, kwa kupingana. Hebu tufanye.
Wacha tuonyeshe mizizi ya mlinganyo uliotangazwa hivi punde kama x 1 na −x 1 . Tuseme kwamba equation ina mzizi mmoja zaidi x 2, tofauti na mizizi iliyoonyeshwa x 1 na -x 1. Inajulikana kuwa kubadilisha mizizi yake katika mlinganyo badala ya x hugeuza mlinganyo kuwa usawa sahihi wa nambari. Kwa x 1 na −x 1 tuna , na kwa x 2 tuna . Sifa za usawa wa nambari huturuhusu kufanya uondoaji wa muda kwa muda wa usawa sahihi wa nambari, kwa hivyo kuondoa sehemu zinazolingana za usawa hutoa x 1 2 -x 2 2 =0. Sifa za utendakazi zilizo na nambari huturuhusu kuandika upya usawa unaotokana kama (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Tunajua kuwa bidhaa ya nambari mbili ni sawa na sifuri ikiwa na tu ikiwa angalau moja yao ni sawa na sifuri. Kwa hivyo, kutokana na usawa unaotokana inafuata kwamba x 1 -x 2 =0 na/au x 1 +x 2 =0, ambayo ni sawa, x 2 =x 1 na/au x 2 =−x 1. Kwa hivyo tulikuja kwa mkanganyiko, kwani mwanzoni tulisema kwamba mzizi wa equation x 2 ni tofauti na x 1 na -x 1. Hii inathibitisha kwamba equation haina mizizi zaidi na .
Wacha tufanye muhtasari wa habari katika aya hii. Mlinganyo wa quadratic ambao haujakamilika a x 2 +c=0 ni sawa na mlinganyo ambao
- haina mizizi ikiwa,
- ina mizizi miwili na, ikiwa.
Hebu tuzingatie mifano ya kusuluhisha milinganyo ya robota isiyokamilika ya fomu a·x 2 +c=0.
Hebu tuanze na mlingano wa roboduara 9 x 2 +7=0. Baada ya kuhamisha neno la bure kwa upande wa kulia wa equation, itachukua fomu 9 x 2 = -7. Kugawanya pande zote mbili za equation inayosababishwa na 9, tunafika kwenye . Kwa kuwa upande wa kulia una nambari hasi, usawa huu hauna mizizi, kwa hiyo, usawa wa awali wa quadratic usio kamili 9 x 2 +7 = 0 hauna mizizi.
Wacha tusuluhishe mlinganyo mwingine wa kiduara usiokamilika −x 2 +9=0. Tunasonga tisa kwa upande wa kulia: −x 2 =-9. Sasa tunagawanya pande zote mbili kwa -1, tunapata x 2 =9. Kwa upande wa kulia kuna nambari nzuri, ambayo tunahitimisha kuwa au. Kisha tunaandika jibu la mwisho: equation ya quadratic isiyo kamili -x 2 +9=0 ina mizizi miwili x=3 au x=-3.
a x 2 +b x=0
Inabakia kushughulikia suluhisho la aina ya mwisho ya milinganyo ya quadratic isiyokamilika kwa c=0. Milinganyo isiyokamilika ya quadratic ya fomu x 2 + b x = 0 inakuwezesha kutatua njia ya factorization. Kwa wazi, tunaweza, iko upande wa kushoto wa equation, ambayo inatosha kuchukua sababu ya kawaida x nje ya mabano. Hili huturuhusu kuhama kutoka kwa mlinganyo wa awali wa quadratic usio kamili hadi mlinganyo sawa wa fomu x·(a·x+b)=0. Na mlinganyo huu ni sawa na seti ya milinganyo miwili x=0 na a·x+b=0, ambayo ya mwisho ni ya mstari na ina mzizi x=-b/a.
Kwa hivyo, equation ya quadratic isiyokamilika a·x 2 +b·x=0 ina mizizi miwili x=0 na x=−b/a.
Ili kuunganisha nyenzo, tutachambua suluhisho kwa mfano maalum.
Mfano.
Tatua mlinganyo.
Suluhisho.
Kuchukua x kutoka kwa mabano kunatoa mlingano . Ni sawa na milinganyo miwili x=0 na . Tunasuluhisha usawa wa mstari unaosababishwa: , na kwa kugawa nambari iliyochanganywa na sehemu ya kawaida, tunapata . Kwa hivyo, mizizi ya equation ya asili ni x=0 na .
Baada ya kupata mazoezi muhimu, suluhisho za hesabu kama hizo zinaweza kuandikwa kwa ufupi:
Jibu:
x=0 , .
Ubaguzi, fomula ya mizizi ya equation ya quadratic
Ili kutatua equations za quadratic, kuna formula ya mizizi. Hebu tuandike formula kwa mizizi ya equation ya quadratic:, wapi D=b 2 −4 a c- kinachojulikana kibaguzi wa mlinganyo wa quadratic. Kuingia kimsingi kunamaanisha kuwa.
Ni muhimu kujua jinsi fomula ya mizizi ilitolewa na jinsi inavyotumiwa katika kutafuta mizizi ya milinganyo ya quadratic. Hebu tufikirie hili.
Utoaji wa fomula ya mizizi ya equation ya quadratic
Hebu tuhitaji kutatua mlingano wa quadratic a·x 2 +b·x+c=0. Wacha tufanye mabadiliko sawa:
- Tunaweza kugawanya pande zote mbili za mlingano huu kwa nambari isiyo ya sifuri a, na hivyo kusababisha mlingano wa quadratic ufuatao.
- Sasa chagua mraba kamili upande wake wa kushoto:. Baada ya hayo, equation itachukua fomu.
- Katika hatua hii, inawezekana kuhamisha maneno mawili ya mwisho kwa upande wa kulia na ishara kinyume, tuna .
- Na hebu pia tubadilishe usemi ulio upande wa kulia:.
Kwa hivyo, tunafika kwenye mlinganyo ambao ni sawa na mlinganyo wa awali wa quadratic a·x 2 +b·x+c=0.
Tayari tumetatua hesabu zinazofanana katika fomu katika aya zilizopita, tulipochunguza. Hii inaruhusu sisi kupata hitimisho zifuatazo kuhusu mizizi ya equation:
- ikiwa , basi equation haina ufumbuzi halisi;
- ikiwa, basi equation ina fomu, kwa hiyo,, ambayo mizizi yake pekee inaonekana;
- ikiwa , basi au , ambayo ni sawa na au, yaani, equation ina mizizi miwili.
Kwa hivyo, uwepo au kutokuwepo kwa mizizi ya equation, na kwa hiyo equation ya awali ya quadratic, inategemea ishara ya kujieleza upande wa kulia. Kwa upande wake, ishara ya usemi huu imedhamiriwa na ishara ya nambari, kwa kuwa denominator 4 · a 2 daima ni chanya, yaani, kwa ishara ya kujieleza b 2 -4 · a · c. Usemi huu b 2 −4 a c uliitwa kibaguzi wa mlinganyo wa quadratic na kuteuliwa na barua D. Kuanzia hapa kiini cha ubaguzi ni wazi - kulingana na thamani yake na ishara, wanahitimisha ikiwa equation ya quadratic ina mizizi halisi, na ikiwa ni hivyo, ni nini idadi yao - moja au mbili.
Wacha turudi kwenye mlinganyo na tuiandike upya kwa kutumia nukuu ya kibaguzi: . Na tunatoa hitimisho:
- ikiwa D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
- ikiwa D=0, basi equation hii ina mzizi mmoja;
- hatimaye, ikiwa D>0, basi equation ina mizizi miwili au, ambayo inaweza kuandikwa tena kwa fomu au, na baada ya kupanua na kuleta sehemu kwa denominator ya kawaida tunayopata.
Kwa hivyo tulipata fomula za mizizi ya equation ya quadratic, zinaonekana kama , ambapo kibaguzi D huhesabiwa kwa fomula D=b 2 -4·a·c.
Kwa msaada wao, kwa ubaguzi mzuri, unaweza kuhesabu mizizi halisi ya equation ya quadratic. Wakati kibaguzi ni sawa na sifuri, fomula zote mbili hutoa thamani sawa ya mzizi, inayolingana na suluhisho la kipekee kwa mlingano wa quadratic. Na kwa ubaguzi mbaya, tunapojaribu kutumia fomula ya mizizi ya equation ya quadratic, tunakabiliwa na kutoa mzizi wa mraba wa nambari hasi, ambayo hutupeleka nje ya upeo wa mtaala wa shule. Kwa ubaguzi mbaya, usawa wa quadratic hauna mizizi halisi, lakini ina jozi mchanganyiko tata mizizi, ambayo inaweza kupatikana kwa kutumia kanuni sawa za mizizi tuliyopata.
Algorithm ya kutatua milinganyo ya quadratic kwa kutumia kanuni za mizizi
Katika mazoezi, wakati wa kutatua equations za quadratic, unaweza kutumia mara moja formula ya mizizi ili kuhesabu maadili yao. Lakini hii inahusiana zaidi na kutafuta mizizi ngumu.
Walakini, katika kozi ya algebra ya shule kawaida hatuzungumzii juu ya ngumu, lakini juu ya mizizi halisi ya equation ya quadratic. Katika kesi hii, inashauriwa, kabla ya kutumia kanuni za mizizi ya equation ya quadratic, kwanza kupata kibaguzi, hakikisha kuwa sio hasi (vinginevyo, tunaweza kuhitimisha kuwa equation haina mizizi halisi), na kisha tu kuhesabu maadili ya mizizi.
Hoja iliyo hapo juu inaruhusu sisi kuandika algorithm ya kutatua equation ya quadratic. Ili kutatua mlinganyo wa quadratic a x 2 +b x+c=0, unahitaji:
- kwa kutumia fomula ya kibaguzi D=b 2 −4·a·c, hesabu thamani yake;
- hitimisha kwamba mlinganyo wa quadratic hauna mizizi halisi ikiwa kibaguzi ni hasi;
- hesabu mzizi pekee wa equation kwa kutumia fomula ikiwa D=0;
- tafuta mizizi miwili halisi ya mlinganyo wa quadratic ukitumia fomula ya mzizi ikiwa kibaguzi ni chanya.
Hapa tunaona tu kwamba ikiwa kibaguzi ni sawa na sifuri, unaweza pia kutumia fomula; itatoa thamani sawa na .
Unaweza kuendelea na mifano ya kutumia algoriti kusuluhisha milinganyo ya quadratic.
Mifano ya kutatua milinganyo ya quadratic
Hebu tuzingatie suluhu za milinganyo mitatu ya quadratic yenye kibaguzi chanya, hasi na sufuri. Baada ya kushughulikiwa na suluhisho lao, kwa mlinganisho itawezekana kutatua equation nyingine yoyote ya quadratic. Hebu tuanze.
Mfano.
Tafuta mizizi ya equation x 2 +2·x−6=0.
Suluhisho.
Katika kesi hii, tuna coefficients zifuatazo za equation ya quadratic: a=1, b=2 na c=-6. Kulingana na algoriti, kwanza unahitaji kukokotoa kibaguzi; ili kufanya hivyo, tunabadilisha a, b na c iliyoonyeshwa kwenye fomula ya kibaguzi. D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Tangu 28>0, yaani, ubaguzi ni mkubwa kuliko sifuri, equation ya quadratic ina mizizi miwili halisi. Wacha tuwapate kwa kutumia fomula ya mizizi, tunapata, hapa unaweza kurahisisha misemo inayosababishwa kwa kufanya kusonga kizidisha zaidi ya ishara ya mizizi ikifuatiwa na kupunguzwa kwa sehemu:
Jibu:
Wacha tuendelee kwenye mfano unaofuata wa kawaida.
Mfano.
Tatua mlingano wa quadratic −4 x 2 +28 x−49=0 .
Suluhisho.
Tunaanza kwa kutafuta ubaguzi: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Kwa hivyo, equation hii ya quadratic ina mzizi mmoja, ambao tunapata kama, ambayo ni,
Jibu:
x=3.5.
Inabakia kuzingatia kusuluhisha milinganyo ya quadratic na kibaguzi hasi.
Mfano.
Tatua mlingano 5·y 2 +6·y+2=0.
Suluhisho.
Hapa kuna viambajengo vya mlinganyo wa quadratic: a=5, b=6 na c=2. Tunabadilisha maadili haya kwa fomula ya kibaguzi, tunayo D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Ubaguzi ni hasi, kwa hivyo, usawa huu wa quadratic hauna mizizi halisi.
Ikiwa unahitaji kuonyesha mizizi ngumu, basi tunatumia fomula inayojulikana ya mizizi ya equation ya quadratic, na kutekeleza. shughuli na nambari changamano:
Jibu:
hakuna mizizi halisi, mizizi tata ni:.
Hebu tuangalie tena kwamba ikiwa ubaguzi wa equation ya quadratic ni mbaya, basi shuleni mara moja huandika jibu ambalo linaonyesha kuwa hakuna mizizi halisi, na mizizi tata haipatikani.
Fomula ya mizizi kwa mgawo wa pili
Fomula ya mizizi ya mlinganyo wa quadratic, ambapo D=b 2 −4·a·c hukuruhusu kupata fomula ya fomu iliyoshikana zaidi, hukuruhusu kusuluhisha milinganyo ya quadratic na mgawo hata wa x (au kwa urahisi mgawo kuwa na fomu 2·n, kwa mfano, au 14· ln5=2·7·ln5 ). Tumtoe nje.
Wacha tuseme tunahitaji kutatua mlinganyo wa quadratic wa fomu x 2 +2 n x+c=0. Wacha tupate mizizi yake kwa kutumia fomula tunayoijua. Ili kufanya hivyo, tunahesabu kibaguzi D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), na kisha tunatumia formula ya mizizi:
Wacha tuonyeshe usemi n 2 −a c kama D 1 (wakati mwingine huashiria D "). Kisha fomula ya mizizi ya mlinganyo wa quadratic inayozingatiwa na mgawo wa pili 2 n itachukua fomu. 
, ambapo D 1 =n 2 −a·c.
Ni rahisi kuona kwamba D=4·D 1, au D 1 =D/4. Kwa maneno mengine, D 1 ni sehemu ya nne ya kibaguzi. Ni wazi kwamba ishara ya D 1 ni sawa na ishara ya D. Hiyo ni, ishara D 1 pia ni kiashiria cha kuwepo au kutokuwepo kwa mizizi ya equation ya quadratic.
Kwa hivyo, ili kutatua equation ya quadratic na mgawo wa pili 2 · n, unahitaji
- Kokotoa D 1 =n 2 −a·c ;
- Ikiwa D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
- Ikiwa D 1 =0, basi uhesabu mzizi pekee wa equation kwa kutumia formula;
- Ikiwa D 1 >0, basi pata mizizi miwili halisi kwa kutumia fomula.
Wacha tufikirie kusuluhisha mfano kwa kutumia fomula ya mizizi iliyopatikana katika aya hii.
Mfano.
Tatua mlingano wa quadratic 5 x 2 −6 x -32=0 .
Suluhisho.
Mgawo wa pili wa mlinganyo huu unaweza kuwakilishwa kama 2·(-3) . Hiyo ni, unaweza kuandika upya mlinganyo wa awali wa quadratic katika fomu 5 x 2 +2 (-3) x-32=0, hapa a=5, n=−3 na c=−32, na kukokotoa sehemu ya nne ya kibaguzi: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Kwa kuwa thamani yake ni chanya, equation ina mizizi miwili halisi. Wacha tuwapate kwa kutumia formula inayofaa ya mizizi:
Kumbuka kwamba iliwezekana kutumia fomula ya kawaida kwa mizizi ya equation ya quadratic, lakini katika kesi hii kazi zaidi ya computational ingepaswa kufanywa.
Jibu:
Kurahisisha namna ya milinganyo ya quadratic
Wakati mwingine, kabla ya kuanza kuhesabu mizizi ya equation ya quadratic kwa kutumia formula, hainaumiza kuuliza swali: "Inawezekana kurahisisha fomu ya equation hii?" Kubali kwamba kwa upande wa hesabu itakuwa rahisi kutatua mlingano wa quadratic 11 x 2 -4 x-6=0 kuliko 1100 x 2 -400 x-600=0.
Kwa kawaida, kurahisisha umbo la mlinganyo wa quadratic hupatikana kwa kuzidisha au kugawanya pande zote mbili kwa nambari fulani. Kwa mfano, katika aya iliyotangulia iliwezekana kurahisisha mlingano 1100 x 2 −400 x -600=0 kwa kugawanya pande zote mbili na 100.
Mabadiliko sawa yanafanywa na equations za quadratic, coefficients ambayo sio . Katika kesi hii, pande zote mbili za equation kawaida hugawanywa na maadili kamili ya coefficients yake. Kwa mfano, hebu tuchukue mlingano wa quadratic 12 x 2 -42 x+48=0. maadili kamili ya coefficients yake: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Kugawanya pande zote mbili za mlinganyo wa awali wa quadratic na 6, tunafika kwenye mlingano wa quadratic sawa 2 x 2 -7 x+8=0.
Na kuzidisha pande zote mbili za equation ya quadratic kawaida hufanywa ili kuondoa mgawo wa sehemu. Katika kesi hii, kuzidisha kunafanywa na denominators ya coefficients yake. Kwa mfano, ikiwa pande zote mbili za mlinganyo wa quadratic zimezidishwa na LCM(6, 3, 1)=6, basi itachukua fomu rahisi zaidi x 2 +4·x−18=0.
Kwa kumalizia hatua hii, tunaona kuwa karibu kila wakati huondoa minus kwenye mgawo wa juu zaidi wa equation ya quadratic kwa kubadilisha ishara za maneno yote, ambayo yanalingana na kuzidisha (au kugawa) pande zote mbili kwa -1. Kwa mfano, kwa kawaida mtu husogea kutoka kwa mlinganyo wa quadratic -2 x 2 -3 x+7=0 hadi suluhisho 2 x 2 +3 x-7=0 .
Uhusiano kati ya mizizi na coefficients ya equation ya quadratic
Fomula ya mizizi ya equation ya quadratic inaelezea mizizi ya equation kupitia coefficients yake. Kulingana na fomula ya mizizi, unaweza kupata uhusiano mwingine kati ya mizizi na coefficients.
Fomula zinazojulikana zaidi na zinazotumika kutoka kwa nadharia ya Vieta ni za fomu na . Hasa, kwa usawa uliopewa wa quadratic, jumla ya mizizi ni sawa na mgawo wa pili na ishara kinyume, na bidhaa ya mizizi ni sawa na neno la bure. Kwa mfano, kwa kuangalia fomu ya equation ya quadratic 3 x 2 -7 x + 22 = 0, tunaweza kusema mara moja kwamba jumla ya mizizi yake ni sawa na 7/3, na bidhaa ya mizizi ni sawa na 22. /3.
Kwa kutumia fomula zilizoandikwa tayari, unaweza kupata idadi ya miunganisho mingine kati ya mizizi na mgawo wa mlinganyo wa quadratic. Kwa mfano, unaweza kueleza jumla ya miraba ya mizizi ya equation ya quadratic kupitia coefficients yake:.
Bibliografia.
- Aljebra: kitabu cha kiada kwa daraja la 8. elimu ya jumla taasisi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; imehaririwa na S. A. Telyakovsky. - Toleo la 16. - M.: Elimu, 2008. - 271 p. : mgonjwa. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A.G. Aljebra. darasa la 8. Katika masaa 2. Sehemu ya 1. Kitabu cha maandishi kwa wanafunzi wa taasisi za elimu ya jumla / A. G. Mordkovich. Toleo la 11, limefutwa. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: mgonjwa. ISBN 978-5-346-01155-2.