Hotuba ya 6. Njia ya kuanzishwa kwa hisabati.
Ujuzi mpya katika sayansi na maisha hupatikana kwa njia tofauti, lakini zote (ikiwa huna kwenda kwa maelezo) zimegawanywa katika aina mbili - mpito kutoka kwa jumla hadi maalum na kutoka kwa maalum hadi kwa ujumla. Ya kwanza ni kupunguzwa, ya pili ni induction. Mawazo ya kupunguza uzito ndiyo yanayojulikana sana katika hisabati. hoja yenye mantiki, na katika sayansi ya hisabati kukata ni njia pekee halali ya uchunguzi. Kanuni za hoja za kimantiki zilitungwa milenia mbili na nusu zilizopita na mwanasayansi wa kale wa Uigiriki Aristotle. Aliunda orodha kamili ya hoja rahisi zaidi, sillogisms- "vizuizi vya ujenzi" vya mantiki, wakati huo huo kuonyesha mawazo ya kawaida ambayo yanafanana sana na sahihi, lakini yasiyo sahihi (mara nyingi tunakutana na mawazo kama hayo ya "pseudological" kwenye vyombo vya habari).
Uingizaji (induction - kwa Kilatini mwongozo) inaonyeshwa waziwazi na hekaya maarufu ya jinsi Isaac Newton alivyotunga sheria ya uvutano wa ulimwengu wote baada ya tufaha kumwangukia kichwani. Mfano mwingine kutoka kwa fizikia: katika hali kama vile induction ya sumakuumeme, uwanja wa umeme huunda, "hushawishi" uwanja wa sumaku. "Newton's apple" ni mfano wa kawaida wa hali ambapo kesi moja au zaidi maalum, ambayo ni, uchunguzi, "pendekeza" taarifa ya jumla; Njia ya kufata neno ndiyo kuu ya kupata mifumo ya jumla katika sayansi asilia na binadamu. Lakini ina drawback muhimu sana: kulingana na mifano fulani, hitimisho lisilo sahihi linaweza kutolewa. Dhana zinazotokana na uchunguzi wa kibinafsi sio sahihi kila wakati. Hebu fikiria mfano kutokana na Euler.
Tutahesabu thamani ya trinomial kwa baadhi ya thamani za kwanza n:
|
|
Kumbuka kuwa nambari zilizopatikana kama matokeo ya mahesabu ni kuu. Na mtu anaweza kuthibitisha hilo moja kwa moja kwa kila moja n 1 hadi 39 thamani ya polinomia 
ni nambari kuu. Hata hivyo, lini n=40 tunapata nambari 1681=41 2, ambayo sio mkuu. Kwa hivyo, nadharia ambayo inaweza kutokea hapa, ambayo ni, nadharia ambayo kwa kila mmoja n nambari 
ni rahisi, inageuka kuwa ya uwongo.
Leibniz alithibitisha katika karne ya 17 kwamba kwa kila jambo chanya n nambari 
kugawanywa na 3, nambari 
kugawanywa na 5, nk. Kulingana na hili, alidhani kwamba kwa isiyo ya kawaida yoyote k na asili yoyote n nambari 
kugawanywa na k, lakini punde niliona hilo 
haijagawanywa na 9.
Mifano zilizozingatiwa zinatuwezesha kupata hitimisho muhimu: taarifa inaweza kuwa ya haki katika idadi ya matukio maalum na wakati huo huo usio wa haki kwa ujumla. Swali la uhalali wa taarifa katika kesi ya jumla inaweza kutatuliwa kwa kutumia njia maalum ya hoja inayoitwa kwa kuanzishwa kwa hisabati(uingizaji kamili, uingizaji kamili).
6.1. Kanuni ya uingizaji wa hisabati.
♦ Njia ya uingizaji wa hisabati inategemea kanuni ya introduktionsutbildning hisabati , ambayo ni kama ifuatavyo:
1) uhalali wa taarifa hii umeangaliwan=1 (msingi wa utangulizi) ,
2) uhalali wa taarifa hii unachukuliwan= k, Wapik- nambari ya asili ya kiholela 1(wazo la utangulizi) , na kwa kuzingatia dhana hii, uhalali wake umeanzishwa kwan= k+1.
Ushahidi. Hebu tuchukulie kinyume chake, yaani, tuseme kwamba taarifa hiyo si ya kweli kwa kila asili n. Kisha kuna asili kama hiyo m, Nini:
1) taarifa kwa n=m sio haki,
2) kwa kila mtu n, ndogo m, taarifa hiyo ni kweli (kwa maneno mengine, m ni nambari asilia ya kwanza ambayo taarifa hiyo si ya kweli).
Ni dhahiri kwamba m> 1, kwa sababu Kwa n=1 taarifa hiyo ni kweli (sharti 1). Kwa hivyo, 
- nambari ya asili. Inageuka kuwa kwa nambari ya asili 
taarifa hiyo ni kweli, na kwa nambari ya asili inayofuata m sio haki. Hii inapingana na sharti la 2. ■
Kumbuka kwamba uthibitisho ulitumia axiom kwamba mkusanyiko wowote wa nambari asilia una nambari ndogo zaidi.
Uthibitisho unaozingatia kanuni ya induction ya hisabati inaitwa kwa njia ya uingizaji kamili wa hisabati .
Mfano6.1.
Thibitisha hilo kwa asili yoyote n nambari 
kugawanywa na 3.
Suluhisho.
1) Wakati n=1, hivyo a 1 inaweza kugawanywa na 3 na taarifa ni kweli wakati n=1.
2) Tuseme kwamba taarifa hiyo ni kweli kwa n=k,
, yaani, nambari hiyo 
inaweza kugawanywa na 3, na sisi kuthibitisha kwamba wakati n=k Nambari +1 inaweza kugawanywa na 3.
Hakika,
Kwa sababu Kila neno linagawanywa na 3, basi jumla yao pia inaweza kugawanywa na 3. ■
Mfano6.2. Thibitisha kuwa jumla ya kwanza n nambari za asili isiyo ya kawaida ni sawa na mraba wa nambari yao, ambayo ni.
Suluhisho. Hebu tumia njia ya uingizaji kamili wa hisabati.
1) Tunaangalia uhalali wa taarifa hii wakati n=1: 1=1 2 - hii ni kweli.
2) Tuseme kwamba jumla ya ya kwanza k
(
) ya nambari zisizo za kawaida ni sawa na mraba wa nambari ya nambari hizi, yaani. Kulingana na usawa huu, tunathibitisha kuwa jumla ya kwanza k+1 nambari zisizo za kawaida ni sawa na 
, hiyo ni .
Tunatumia dhana yetu na kupata
. ■
Njia ya introduktionsutbildning kamili ya hisabati hutumiwa kuthibitisha ukosefu wa usawa. Hebu tuthibitishe ukosefu wa usawa wa Bernoulli.
Mfano6.3.
Thibitisha hilo lini 
na asili yoyote n usawa ni kweli 
(kukosekana kwa usawa kwa Bernoulli).
Suluhisho. 1) Wakati n=1 tunapata 
, ambayo ni kweli.
2) Tunadhani kwamba wakati n=k kuna ukosefu wa usawa 
(*). Kwa kutumia dhana hii, tunathibitisha hilo 
. Kumbuka kwamba wakati 
usawa huu unashikilia na kwa hivyo inatosha kuzingatia kesi hiyo 
.
Wacha tuzidishe pande zote mbili za ukosefu wa usawa (*) kwa nambari 
na tunapata:
Hiyo ni (1+ 
.■
Uthibitisho kwa mbinu utangulizi usio kamili wa hisabati
kauli fulani kulingana na n, Wapi 
inafanywa kwa njia sawa, lakini mwanzoni haki imeanzishwa kwa thamani ndogo zaidi n.
Baadhi ya matatizo hayasemi kwa uwazi taarifa ambayo inaweza kuthibitishwa na utangulizi wa hisabati. Katika hali hiyo, unahitaji kuanzisha muundo mwenyewe na kufanya hypothesis kuhusu uhalali wa muundo huu, na kisha utumie njia ya uingizaji wa hisabati ili kupima hypothesis iliyopendekezwa.
Mfano6.4.
Tafuta kiasi 
.
Suluhisho. Wacha tupate hesabu S 1 ,
S 2 ,
S 3. Tuna 
,
,
. Tunakisia hiyo kwa asili yoyote n fomula ni halali 
. Ili kupima hypothesis hii, tutatumia njia ya uingizaji kamili wa hisabati.
1) Wakati n=1 hypothesis ni sahihi, kwa sababu 
.
2) Tuseme kwamba nadharia ni kweli kwa n=k,
, hiyo ni 
. Kutumia fomula hii, tutathibitisha kwamba nadharia ni kweli hata wakati gani n=k+1, yaani
Hakika,
Kwa hivyo, kwa kuzingatia dhana kwamba nadharia ni kweli wakati n=k,
, imethibitishwa kuwa ni kweli pia kwa n=k+1, na kulingana na kanuni ya uingizaji wa hisabati tunahitimisha kuwa fomula ni halali kwa nambari yoyote asilia n.
■
Mfano6.5.
Katika hisabati, inathibitishwa kuwa jumla ya kazi mbili zinazoendelea kwa usawa ni kazi inayoendelea kwa usawa. Kulingana na taarifa hii, unahitaji kuthibitisha kwamba jumla ya idadi yoyote 
ya kazi zinazoendelea kwa usawa ni kazi inayoendelea kwa usawa. Lakini kwa kuwa bado hatujaanzisha dhana ya "kazi inayoendelea kwa usawa," hebu tueleze tatizo kwa njia ya kufikirika zaidi: ifahamike kuwa jumla ya kazi mbili ambazo zina mali fulani. S, yenyewe ina mali S. Wacha tuthibitishe kuwa jumla ya idadi yoyote ya chaguo za kukokotoa ina mali S.
Suluhisho. Msingi wa introduktionsutbildning hapa ni zilizomo katika uundaji wa tatizo yenyewe. Baada ya kufanya dhana ya utangulizi, fikiria 
kazi f 1 ,
f 2 ,
…, f n ,
f n+1 ambazo zina mali S. Kisha. Kwa upande wa kulia, muhula wa kwanza una mali hiyo S kwa nadharia ya utangulizi, muhula wa pili una mali S kwa masharti. Kwa hivyo, jumla yao ina mali S- kwa maneno mawili msingi wa induction "kazi".
Hii inathibitisha kauli hiyo na tutaitumia zaidi. ■
Mfano6.6. Pata yote ya asili n, ambayo ukosefu wa usawa ni kweli
.
Suluhisho. Hebu tuzingatie n=1, 2, 3, 4, 5, 6. Tuna: 2 1 >1 2, 2 2 =2 2, 2 3<3 2 ,
2 4 =4 2 ,
2 5 >5 2, 2 6 >6 2. Kwa hivyo, tunaweza kufanya hypothesis: usawa 
ina nafasi kwa kila mtu 
. Ili kuthibitisha ukweli wa dhana hii, tutatumia kanuni ya induction isiyo kamili ya hisabati.
1) Kama ilivyoanzishwa hapo juu, dhana hii ni kweli wakati n=5.
2) Chukulia kuwa ni kweli kwa n=k,
, yaani, ukosefu wa usawa ni halali 
. Kwa kutumia dhana hii, tunathibitisha kwamba ukosefu wa usawa 
.
Kwa sababu 
na kwa 
kuna ukosefu wa usawa 
katika 
,
basi tunapata hiyo 
. Kwa hivyo, ukweli wa nadharia katika n=k+1 inafuata kutokana na dhana kwamba ni kweli wakati n=k,
.
Kutoka kwa aya. 1 na 2, kwa kuzingatia kanuni ya kutokamilika kwa ujanibishaji wa hisabati, inafuata kwamba ukosefu wa usawa. 
kweli kwa kila asili 
.
■
Mfano6.7.
Thibitisha hilo kwa nambari yoyote ya asili n fomula ya utofautishaji ni halali 
.
Suluhisho. Katika n=1 fomula hii inaonekana kama 
, au 1=1, yaani, ni sahihi. Kufanya dhana ya utangulizi, tunayo:
Q.E.D. ■
Mfano6.8.
Thibitisha kuwa seti inayojumuisha n vipengele, ina 
seti ndogo
Suluhisho. Seti inayojumuisha kipengele kimoja A, ina sehemu ndogo mbili. Hii ni kweli kwa sababu sehemu zake zote ndogo ni seti tupu na seti tupu yenyewe, na 2 1 =2.
Wacha tufikirie kuwa kila seti ya n vipengele ina 
seti ndogo Ikiwa seti A inajumuisha n Vipengele vya +1, kisha tunarekebisha kipengele kimoja ndani yake - tunaashiria d, na ugawanye seti ndogo zote katika madarasa mawili - zisizo na d na zenye d. Seti ndogo zote kutoka kwa darasa la kwanza ni seti ndogo ya B iliyopatikana kutoka kwa A kwa kuondoa kipengee d.
Seti B inajumuisha n vipengele, na kwa hiyo, kwa uingizaji, ana 
subsets, hivyo katika darasa la kwanza 
seti ndogo
Lakini katika darasa la pili kuna idadi sawa ya subsets: kila moja yao hupatikana kutoka kwa sehemu ndogo ya darasa la kwanza kwa kuongeza kipengee. d. Kwa hivyo, kwa jumla seti A 
seti ndogo
Hivyo kauli hiyo inathibitishwa. Kumbuka kuwa ni kweli pia kwa seti inayojumuisha vitu 0 - seti tupu: ina kitengo kidogo - yenyewe, na 2 0 = 1. ■
Njia ya induction ya hisabati
Utangulizi
Sehemu kuu
- Uingizaji kamili na usio kamili
- Kanuni ya induction ya hisabati
- Njia ya induction ya hisabati
- Kutatua Mifano
- Usawa
- Nambari za kugawa
- Kutokuwa na usawa
Hitimisho
Orodha ya fasihi iliyotumika
Utangulizi
Msingi wa utafiti wowote wa hisabati ni njia za kupunguza na kufata neno. Njia ya upunguzaji wa hoja ni hoja kutoka kwa jumla hadi maalum, i.e. hoja, hatua ya kuanzia ambayo ni matokeo ya jumla, na hatua ya mwisho ni matokeo fulani. Induction hutumiwa wakati wa kusonga kutoka kwa matokeo fulani hadi kwa jumla, i.e. ni kinyume cha njia ya kukata.
Njia ya induction ya hisabati inaweza kulinganishwa na maendeleo. Tunaanza kutoka chini kabisa, na kama matokeo ya mawazo ya kimantiki tunafika juu zaidi. Mwanadamu amejitahidi kila wakati kupata maendeleo, kwa uwezo wa kukuza mawazo yake kimantiki, ambayo ina maana kwamba asili yenyewe ilimkusudia kufikiria kwa kufata.
Ingawa wigo wa utumiaji wa njia ya ufundishaji wa hisabati umeongezeka, wakati mdogo hutolewa kwake katika mtaala wa shule. Kweli, niambie kwamba masomo hayo mawili au matatu yatakuwa na manufaa kwa mtu, wakati ambapo atasikia maneno matano ya nadharia, kutatua matatizo matano ya awali, na, kwa sababu hiyo, atapokea A kwa ukweli kwamba hajui chochote.
Lakini ni muhimu sana kuwa na uwezo wa kufikiri kwa kufata neno.
Sehemu kuu
Katika maana yake ya asili, neno "introduktionsutbildning" hutumiwa kwa hoja ambayo hitimisho la jumla hupatikana kwa kuzingatia idadi ya taarifa maalum. Njia rahisi zaidi ya kufikiria ya aina hii ni induction kamili. Hapa kuna mfano wa hoja kama hiyo.
Wacha iwe muhimu kubaini kuwa kila nambari ya asili n ndani ya 4< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:
4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;
14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.
Usawa huu tisa unaonyesha kwamba kila moja ya nambari tunayopendezwa nayo inawakilishwa kama jumla ya maneno mawili rahisi.
Kwa hivyo, introduktionsutbildning kamili inajumuisha kuthibitisha taarifa ya jumla tofauti katika kila idadi ya finite ya kesi iwezekanavyo.
Wakati mwingine matokeo ya jumla yanaweza kutabiriwa baada ya kuzingatia sio yote, lakini idadi kubwa ya kesi fulani (kinachojulikana kama introduktionsutbildning).
Matokeo yaliyopatikana kwa introduktionsutbildning incomplete bado, hata hivyo, hypothesis tu mpaka ni kuthibitishwa na hoja sahihi hisabati, kufunika kesi zote maalum. Kwa maneno mengine, uingizaji usio kamili katika hisabati hauzingatiwi njia halali ya uthibitisho mkali, lakini ni njia yenye nguvu ya kugundua ukweli mpya.
Hebu, kwa mfano, unataka kupata jumla ya nambari zisizo za kawaida n za kwanza mfululizo. Hebu fikiria kesi maalum:
1+3+5+7+9=25=5 2
Baada ya kuzingatia kesi hizi chache maalum, hitimisho la jumla lifuatalo linajipendekeza:
1+3+5+…+(2n-1)=n 2
hizo. jumla ya nambari zisizo za kawaida n za kwanza mfululizo ni n 2
Bila shaka, uchunguzi uliofanywa bado hauwezi kutumika kama uthibitisho wa uhalali wa fomula iliyotolewa.
Uingizaji kamili una matumizi machache tu katika hisabati. Taarifa nyingi za kuvutia za hisabati hufunika idadi isiyo na kikomo ya kesi maalum, lakini hatuwezi kuzijaribu kwa idadi isiyo na kikomo ya kesi. Uingizaji usio kamili mara nyingi husababisha matokeo yenye makosa.
Katika hali nyingi, njia ya kutoka kwa aina hii ya ugumu ni kuamua njia maalum ya kufikiria, inayoitwa njia ya induction ya hisabati. Ni kama ifuatavyo.
Tuseme unahitaji kuthibitisha uhalali wa taarifa fulani kwa nambari yoyote ya asili n (kwa mfano, unahitaji kuthibitisha kwamba jumla ya nambari za kwanza n isiyo ya kawaida ni sawa na n 2). Uthibitishaji wa moja kwa moja wa taarifa hii kwa kila thamani ya n hauwezekani, kwani seti ya nambari za asili hazina kikomo. Ili kuthibitisha kauli hii, kwanza angalia uhalali wake kwa n=1. Kisha wanathibitisha kuwa kwa thamani yoyote asilia ya k, uhalali wa taarifa inayozingatiwa ya n=k inamaanisha uhalali wake kwa n=k+1.
Kisha taarifa hiyo inachukuliwa kuwa imethibitishwa kwa wote n. Kwa kweli, taarifa hiyo ni kweli kwa n=1. Lakini basi ni kweli pia kwa nambari inayofuata n=1+1=2. Uhalali wa taarifa ya n=2 unamaanisha uhalali wake kwa n=2+
1=3. Hii inamaanisha uhalali wa taarifa ya n=4, nk. Ni wazi kwamba, mwishoni, tutafikia nambari yoyote ya asili n. Hii ina maana kwamba taarifa ni kweli kwa yoyote n.
Kwa muhtasari wa kile ambacho kimesemwa, tunaunda kanuni ifuatayo ya jumla.
Kanuni ya uingizaji wa hisabati.
Ikiwa sentensi A(n), kulingana na nambari asilia n, ni kweli kwa n=1 na kutokana na ukweli kwamba ni kweli kwa n=k (ambapo k ni nambari yoyote asilia), inafuata kwamba ni kweli pia kwa nambari inayofuata n=k +1, kisha dhana A(n) ni kweli kwa nambari yoyote asilia n.
Katika idadi ya matukio, inaweza kuwa muhimu kuthibitisha uhalali wa taarifa fulani si kwa nambari zote za asili, lakini tu kwa n> p, ambapo p ni nambari ya asili isiyobadilika. Katika kesi hii, kanuni ya induction ya hisabati imeundwa kama ifuatavyo.
Ikiwa pendekezo A(n) ni kweli kwa n=p na kama A(k)ÞA(k+1) kwa k>p yoyote, basi pendekezo A(n) ni kweli kwa n>p yoyote.
Uthibitisho wa kutumia njia ya induction ya hisabati unafanywa kama ifuatavyo. Kwanza, taarifa ya kuthibitishwa inaangaliwa kwa n = 1, i.e. ukweli wa kauli A(1) umethibitishwa. Sehemu hii ya uthibitisho inaitwa msingi wa induction. Kisha inakuja sehemu ya uthibitisho inayoitwa hatua ya induction. Katika sehemu hii, zinathibitisha uhalali wa taarifa ya n=k+1 chini ya dhana ya uhalali wa taarifa ya n=k (dhahania ya utangulizi), i.e. thibitisha kwamba A(k)ÞA(k+1).
Thibitisha kuwa 1+3+5+…+(2n-1)=n 2.
Suluhisho: 1) Tuna n=1=1 2 . Kwa hivyo,
taarifa ni kweli kwa n = 1, i.e. A(1) ni kweli.
2) Hebu tuthibitishe kwamba A(k)ÞA(k+1).
Acha k iwe nambari yoyote asilia na kauli iwe ya kweli kwa n=k, i.e.
1+3+5+…+(2k-1)=k 2 .
Hebu tuthibitishe kwamba basi taarifa hiyo pia ni kweli kwa nambari asilia inayofuata n=k+1, i.e. Nini
1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .
Hakika,
1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .
Kwa hivyo, A(k)ÞA(k+1). Kulingana na kanuni ya utangulizi wa hisabati, tunahitimisha kuwa dhana A(n) ni kweli kwa nÎN yoyote.
Thibitisha hilo
1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1), ambapo x¹1
Suluhisho: 1) Kwa n=1 tunapata
1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1
kwa hivyo, kwa n=1 fomula ni sahihi; A(1) ni kweli.
2) Acha k iwe nambari yoyote asilia na fomula iwe kweli kwa n=k, i.e.
1+x+x 2 +x 3 +…+x k =(x k+1 -1)/(x-1).
Hebu tuthibitishe kwamba basi usawa unashikilia
1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).
Hakika
1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =
=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).
Kwa hivyo, A(k)ÞA(k+1). Kulingana na kanuni ya uingizaji wa hisabati, tunahitimisha kuwa fomula ni kweli kwa nambari yoyote ya asili n.
Thibitisha kuwa idadi ya mishororo ya n-gon ni sawa na n(n-3)/2.
Suluhisho: 1) Kwa n=3 taarifa hiyo ni kweli
Na 3 ni ya maana, kwa sababu katika pembetatu
A 3 =3(3-3)/2=0 diagonals;
A 2 A(3) ni kweli.
2) Wacha tuchukue hiyo kwa hali yoyote
k-gon mbonyeo ina-
A 1 x A k =k(k-3)/2 diagonals.
Na k Tuthibitishe hilo basi katika mbonyeo
(k+1) - nambari ya goni
diagonal A k+1 =(k+1)(k-2)/2.
Acha A 1 A 2 A 3 …A k A k+1 iwe mbonyeo (k+1)-gon. Hebu tuchore diagonal A 1 A k ndani yake. Ili kuhesabu idadi ya jumla ya diagonals ya hii (k+1)-gon, unahitaji kuhesabu idadi ya diagonals katika k-gon A 1 A 2 ...A k , ongeza k-2 kwa nambari inayosababisha, i.e. idadi ya diagonals ya (k+1)-gon inayotoka kwenye vertex A k+1, na, kwa kuongeza, diagonal A 1 A k inapaswa kuzingatiwa.
Hivyo,
k+1 = k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.
Kwa hivyo, A(k)ÞA(k+1). Kwa sababu ya kanuni ya uingizaji wa hisabati, taarifa hiyo ni kweli kwa n-gon yoyote ya convex.
Thibitisha kuwa kwa yoyote n taarifa ifuatayo ni kweli:
1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.
Suluhisho: 1) Acha n=1, basi
X 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1.
Hii inamaanisha kuwa kwa n=1 taarifa hiyo ni kweli.
2) Chukulia kuwa n=k
X k =k 2 =k(k+1)(2k+1)/6.
3) Zingatia kauli hii ya n=k+1
X k+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6.
X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k) (k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+
6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+)
2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.
Tumethibitisha usawa kuwa kweli kwa n=k+1, kwa hivyo, kwa mujibu wa mbinu ya utangulizi wa hisabati, taarifa hiyo ni kweli kwa nambari yoyote asilia n.
Thibitisha kuwa kwa nambari yoyote asilia n usawa ni kweli:
1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2/4.
Suluhisho: 1) Acha n=1.
Kisha X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1.
Tunaona kwamba kwa n=1 taarifa hiyo ni kweli.
2) Tuseme kwamba usawa ni kweli kwa n=k
X k =k 2 (k+1) 2/4.
3) Hebu tuthibitishe ukweli wa kauli hii kwa n=k+1, i.e.
X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2/4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4.
Kutokana na uthibitisho huo hapo juu ni wazi kwamba taarifa hiyo ni kweli kwa n=k+1, kwa hivyo, usawa ni kweli kwa nambari yoyote asilia n.
Thibitisha hilo
((2 3 +1)/(2 3 -1))’((3 3 +1)/(3 3 -1))’…´((n 3 +1)/(n 3 -1))= 3n(n+1)/2(n 2 +n+1), ambapo n>2.
Suluhisho: 1) Kwa n=2 utambulisho unaonekana kama: (2 3 +1)/(2 3 -1)=(3′2′3)/2(2 2 +2+1),
hizo. Ni kweli.
2) Chukulia kuwa usemi huo ni kweli kwa n=k
(2 3 +1)/(2 3 -1)′…´(k 3 +1)/(k 3 -1)=3k(k+1)/2(k 2 +k+1).
3) Wacha tuthibitishe usahihi wa usemi wa n=k+1.
(((2 3 +1)/(2 3 -1))’…´(k 3 +1)/(k 3 -1)))’((k+1) 3 +
1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1))’((k+2)((k+)
1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2´
´((k+1) 2 +(k+1)+1).
Tumethibitisha usawa kuwa kweli kwa n=k+1, kwa hivyo, kwa mujibu wa mbinu ya utangulizi wa hisabati, taarifa hiyo ni kweli kwa n>2 yoyote.
Thibitisha hilo
1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3)
kwa asili yoyote n.
Suluhisho: 1) Acha n=1, basi
1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7.
2) Tuseme kwamba n=k, basi
1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3).
3) Hebu tuthibitishe ukweli wa kauli hii kwa n=k+1
(1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3)+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-k 2 (4k+3)+
+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3).
Uhalali wa usawa wa n=k+1 pia umethibitishwa, kwa hivyo taarifa hiyo ni kweli kwa nambari yoyote asilia n.
Thibitisha utambulisho ni sahihi
(1 2 /1´3)+(2 2 /3´5)+…+(n 2 /(2n-1)´(2n+1))=n(n+1)/2(2n+1)
kwa asili yoyote n.
1) Kwa n=1 kitambulisho ni kweli 1 2 /1'3=1(1+1)/2(2+1).
2) Tuseme kwamba kwa n=k
(1 2 /1´3)+…+(k 2 /(2k-1)´(2k+1))=k(k+1)/2(2k+1).
3) Hebu tuthibitishe kwamba utambulisho ni kweli kwa n=k+1.
(1 2 /1´3)+…+(k 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+1) )/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)))=((k+1)/(2k+1))’((k/2) +((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2)′ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1) (k+2)/2(2(k+1)+1).
Kutokana na uthibitisho hapo juu ni wazi kwamba taarifa hiyo ni kweli kwa nambari yoyote asilia n.
Thibitisha kuwa (11 n+2 +12 2n+1) inaweza kugawanywa na 133 bila salio.
Suluhisho: 1) Acha n=1, basi
11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23'133.
Lakini (23'133) inaweza kugawanywa na 133 bila salio, ambayo ina maana kwamba kwa n=1 taarifa hiyo ni kweli; A(1) ni kweli.
2) Tuseme kwamba (11 k+2 +12 2k+1) inaweza kugawanywa na 133 bila salio.
3) Hebu tuthibitishe hilo katika kesi hii
(11 k+3 +12 2k+3) inaweza kugawanywa na 133 bila salio. Hakika, 11 k+3 +12 2l+3 =11'11 k+2 +12 2′ 12 2k+1 =11'11 k+2 +
+(11+133)’12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133′12 2k+1 .
Jumla inayotokana imegawanywa na 133 bila salio, kwa kuwa muda wake wa kwanza unagawanywa na 133 bila salio kwa kudhaniwa, na katika pili moja ya mambo ni 133. Kwa hiyo, A(k)ÞA(k+1). Kwa mujibu wa njia ya uingizaji wa hisabati, taarifa imethibitishwa.
Thibitisha kuwa kwa n 7 n -1 yoyote inaweza kugawanywa na 6 bila salio.
Suluhisho: 1) Acha n=1, kisha X 1 =7 1 -1=6 imegawanywa na 6 bila salio. Hii ina maana kwamba wakati n=1 taarifa hiyo ni kweli.
2) Tuseme kwamba kwa n=k
7 k -1 inaweza kugawanywa na 6 bila salio.
3) Hebu tuthibitishe kuwa taarifa hiyo ni ya kweli kwa n=k+1.
X k+1 =7 k+1 -1=7´7 k -7+6=7(7 k -1)+6.
Neno la kwanza linagawanywa na 6, kwa kuwa 7 k -1 inaweza kugawanywa na 6 kwa dhana, na neno la pili ni 6. Hii ina maana 7 n -1 ni nyingi ya 6 kwa n yoyote ya asili. Kwa mujibu wa njia ya uingizaji wa hisabati, taarifa hiyo imethibitishwa.
Thibitisha kuwa 3 3n-1 +2 4n-3 kwa n asilia kiholela inaweza kugawanywa na 11.
Suluhisho: 1) Acha n=1, basi
X 1 =3 3-1 +2 4-3 =3 2 +2 1 =11 imegawanywa na 11 bila salio. Hii inamaanisha kuwa kwa n=1 taarifa hiyo ni kweli.
2) Tuseme kwamba kwa n=k
X k =3 3k-1 +2 4k-3 inaweza kugawanywa na 11 bila salio.
3) Hebu tuthibitishe kwamba taarifa hiyo ni ya kweli kwa n=k+1.
X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3′ 3 3k-1 +2 4´ 2 4k-3 =
27'3 3k-1 +16'2 4k-3 =(16+11)'3 3k-1 +16'2 4k-3 =16'3 3k-1 +
11'3 3k-1 +16'2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11´3 3k-1 .
Neno la kwanza linaweza kugawanywa na 11 bila salio, kwa kuwa 3 3k-1 +2 4k-3 inaweza kugawanywa na 11 kwa dhana, pili inaweza kugawanywa na 11, kwa sababu moja ya mambo yake ni namba 11. Hii ina maana kwamba jumla inagawanywa na 11 bila salio kwa nambari yoyote asilia n. Kwa mujibu wa njia ya uingizaji wa hisabati, taarifa hiyo imethibitishwa.
Thibitisha kuwa 11 2n -1 kwa n asilia kiholela inaweza kugawanywa na 6 bila salio.
Suluhisho: 1) Acha n=1, kisha 11 2 -1=120 inaweza kugawanywa na 6 bila salio. Hii ina maana kwamba wakati n=1 taarifa hiyo ni kweli.
2) Tuseme kwamba kwa n=k
11 2k -1 inaweza kugawanywa na 6 bila salio.
11 2(k+1) -1=121′11 2k -1=120′11 2k +(11 2k -1).
Maneno yote mawili yanagawanywa na 6 bila salio: ya kwanza ina kizidishio cha 6, nambari 120, na ya pili inaweza kugawanywa na 6 bila salio kwa kudhaniwa. Hii inamaanisha kuwa jumla inaweza kugawanywa na 6 bila salio. Kwa mujibu wa njia ya uingizaji wa hisabati, taarifa hiyo imethibitishwa.
Thibitisha kuwa 3 3n+3 -26n-27 kwa nambari asilia isiyo na mpangilio inaweza kugawanywa na 26 2 (676) bila salio.
Suluhisho: Kwanza tunathibitisha kuwa 3 3n+3 -1 inaweza kugawanywa na 26 bila salio.
- Wakati n=0
- Tuseme hiyo kwa n=k
- Hebu tuthibitishe kwamba kauli hiyo
3 3 -1=26 imegawanywa na 26
3 3k+3 -1 inaweza kugawanywa na 26
kweli kwa n=k+1.
3 3k+6 -1=27'3 3k+3 -1=26′3 3л+3 +(3 3k+3 -1) - imegawanywa na 26
Sasa hebu tuthibitishe kauli iliyoandaliwa katika taarifa ya tatizo.
1) Ni wazi, wakati n=1 taarifa hiyo ni kweli
3 3+3 -26-27=676
2) Tuseme kwamba kwa n=k
usemi 3 3k+3 -26k-27 umegawanywa na 26 2 bila salio.
3) Hebu tuthibitishe kwamba taarifa hiyo ni ya kweli kwa n=k+1
3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27).
Maneno yote mawili yanagawanywa na 26 2; ya kwanza inaweza kugawanywa na 26 2 kwa sababu tumethibitisha usemi katika mabano unaweza kugawanywa na 26, na ya pili inaweza kugawanywa na hypothesis introduktionsutbildning. Kwa mujibu wa njia ya uingizaji wa hisabati, taarifa hiyo imethibitishwa.
Thibitisha kuwa ikiwa n>2 na x>0, basi ukosefu wa usawa ni kweli
(1+x) n >1+n´x.
Suluhisho: 1) Kwa n=2 ukosefu wa usawa ni halali, kwani
(1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x.
Kwa hivyo A(2) ni kweli.
2) Hebu tuthibitishe kwamba A(k)ÞA(k+1), ikiwa k> 2. Tuchukulie kwamba A(k) ni kweli, yaani, ukosefu wa usawa.
(1+x) k >1+k´x. (3)
Hebu tuthibitishe kwamba basi A(k+1) pia ni kweli, yaani, kwamba ukosefu wa usawa
(1+x) k+1 >1+(k+1)′x.
Kwa kweli, kuzidisha pande zote mbili za usawa (3) kwa nambari chanya 1+x, tunapata
(1+x) k+1 >(1+k´x)(1+x).
Wacha tuzingatie upande wa kulia wa ukosefu wa usawa wa mwisho
stva; tuna
(1+k´x)(1+x)=1+(k+1)′x+k´x 2 >1+(k+1)′x.
Kama matokeo, tunapata hiyo
(1+x) k+1 >1+(k+1)′x.
Kwa hivyo, A(k)ÞA(k+1). Kulingana na kanuni ya induction ya hisabati, inaweza kusemwa kuwa usawa wa Bernoulli ni kweli kwa mtu yeyote.
Thibitisha kuwa ukosefu wa usawa ni kweli
(1+a+a 2) m > 1+ma+(m(m+1)/2)´a 2 kwa a> 0.
Suluhisho: 1) Wakati m=1
(1+a+a 2) 1 > 1+a+(2/2)'a 2 pande zote mbili ni sawa.
2) Tuseme kwamba kwa m=k
(1+a+a 2) k >1+k´a+(k(k+1)/2)´a 2
3) Hebu tuthibitishe kwamba kwa m=k+1 ukosefu wa usawa ni kweli
(1+a+a 2) k+1 =(1+a+a 2)(1+a+a+2) k >(1+a+a 2)(1+ka+
+(k(k+1)/2)’a 2)=1+(k+1)′a+((k(k+1)/2)+k+1)´a 2 +
+((k+1)/2)+k)´a 3 +(k+1)/2)´a 4 > 1+(k+1)´a+
+((k+1)(k+2)/2)´a 2 .
Tumethibitisha uhalali wa kutokuwepo kwa usawa kwa m=k+1, kwa hiyo, kwa mujibu wa mbinu ya uingizaji wa hisabati, ukosefu wa usawa ni halali kwa m yoyote ya asili.
Thibitisha kuwa kwa n>6 ukosefu wa usawa ni kweli
3 n >n´2 n+1 .
Suluhisho: Wacha tuandike tena ukosefu wa usawa katika fomu
- Kwa n=7 tunayo
- Tuseme hiyo kwa n=k
3 7 /2 7 =2187/128>14=2´7
ukosefu wa usawa ni kweli.
3) Hebu tuthibitishe uhalali wa ukosefu wa usawa wa n=k+1.
3 k+1 /2 k+1 =(3 k /2 k)´(3/2)>2k´(3/2)=3k>2(k+1).
Tangu k> 7, usawa wa mwisho ni dhahiri.
Kwa mujibu wa njia ya uingizaji wa hisabati, usawa ni halali kwa nambari yoyote ya asili n.
Thibitisha kuwa kwa n>2 ukosefu wa usawa ni kweli
1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/n 2)<1,7-(1/n).
Suluhisho: 1) Kwa n=3 ukosefu wa usawa ni kweli
1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180<246/180=1,7-(1/3).
- Tuseme hiyo kwa n=k
1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/k 2)=1.7-(1/k).
3) Hebu tuthibitishe uhalali wa yasiyo ya
usawa kwa n=k+1
(1+(1/2 2)+…+(1/k 2))+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2).
Hebu tuthibitishe kwamba 1.7-(1/k)+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1)Û
Û(1/(k+1) 2)+(1/k+1)<1/kÛ(k+2)/(k+1) 2 <1/kÛ
Ûk(k+2)<(k+1) 2Û k 2 +2k Mwisho ni dhahiri, na kwa hiyo 1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1). Kwa mujibu wa njia ya uingizaji wa hisabati, usawa unathibitishwa. Hitimisho Hasa, kwa kusoma njia ya uingizaji wa hisabati, niliongeza ujuzi wangu katika eneo hili la hisabati, na pia nilijifunza kutatua matatizo ambayo hapo awali yalikuwa zaidi ya uwezo wangu. Hizi zilikuwa hasa kazi za mantiki na za burudani, i.e. zile tu zinazoongeza shauku katika hisabati yenyewe kama sayansi. Kutatua matatizo kama haya inakuwa shughuli ya burudani na inaweza kuvutia watu zaidi na zaidi wanaotamani kwenye labyrinths ya hisabati. Kwa maoni yangu, hii ndiyo msingi wa sayansi yoyote. Kuendelea kujifunza njia ya uingizaji wa hisabati, nitajaribu kujifunza jinsi ya kuitumia sio tu katika hisabati, lakini pia katika kutatua matatizo katika fizikia, kemia na maisha yenyewe. HISABATI: MHADHARA, MATATIZO, SULUHU Kitabu cha maandishi / V.G. Boltyansky, Yu.V. Sidorov. Potpourri LLC 1996. ALGEBRA NA MWANZO WA UCHAMBUZI Kitabu cha maandishi / I.T. Demidov, A.N. Shvartsburg, O.S. Ivashev-Musatov. "Mwangaza" 1975. Ikiwa sentensi A(n), kulingana na nambari asilia n, ni kweli kwa n=1 na kutokana na ukweli kwamba ni kweli kwa n=k (ambapo k ni nambari yoyote asilia), inafuata kwamba ni kweli pia kwa nambari inayofuata n=k +1, kisha dhana A(n) ni kweli kwa nambari yoyote asilia n. Katika idadi ya matukio, inaweza kuwa muhimu kuthibitisha uhalali wa taarifa fulani si kwa nambari zote za asili, lakini tu kwa n> p, ambapo p ni nambari ya asili isiyobadilika. Katika kesi hii, kanuni ya induction ya hisabati imeundwa kama ifuatavyo. Ikiwa pendekezo A(n) ni kweli kwa n=p na kama A(k) ≈ A(k+1) kwa k>p yoyote, basi pendekezo A(n) ni kweli kwa n>p yoyote. Uthibitisho wa kutumia njia ya induction ya hisabati unafanywa kama ifuatavyo. Kwanza, taarifa ya kuthibitishwa inaangaliwa kwa n = 1, i.e. ukweli wa kauli A(1) umethibitishwa. Sehemu hii ya uthibitisho inaitwa msingi wa induction. Kisha inakuja sehemu ya uthibitisho inayoitwa hatua ya induction. Katika sehemu hii, zinathibitisha uhalali wa taarifa ya n=k+1 chini ya dhana ya uhalali wa taarifa ya n=k (dhahania ya utangulizi), i.e. thibitisha kuwa A(k) 1 A(k+1) Thibitisha kuwa 1+3+5+…+(2n-1)=n 2. Acha k iwe nambari yoyote asilia na kauli iwe ya kweli kwa n=k, i.e. 1+3+5+…+(2k-1)=k 2 Hebu tuthibitishe kwamba basi taarifa hiyo pia ni kweli kwa nambari asilia inayofuata n=k+1, i.e. Nini Kwa hivyo, A(k) 1 A(k+1). Kulingana na kanuni ya utangulizi wa hisabati, tunahitimisha kuwa dhana A(n) ni kweli kwa n O N yoyote. Thibitisha hilo 1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1), ambapo x Na. 1 kwa hivyo, kwa n=1 fomula ni sahihi; A(1) kweli Hebu tuthibitishe kwamba basi usawa unashikilia =(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1) Kwa hivyo, A(k) 1 A(k+1). Kulingana na kanuni ya uingizaji wa hisabati, tunahitimisha kuwa fomula ni kweli kwa nambari yoyote ya asili n Thibitisha kwamba idadi ya mishororo ya n-gon ni n(n-3)/2 Suluhisho: 1) Kwa n=3 taarifa ni kweli, kwa sababu katika pembetatu A 3 =3(3-3)/2=0 diagonals; A 2 A(3) kweli 2) Tuseme kwamba katika kila k-gon mbonyeo kuna A 1 x A k =k(k-3)/2 diagonals. A k Hebu na tuthibitishe kwamba basi katika convex A k+1 (k+1)-gon idadi ya diagonals A k+1 =(k+1)(k-2)/2. Acha A 1 A 2 A 3 …A k A k+1 iwe mbonyeo (k+1)-gon. Hebu tuchore diagonal A 1 A k ndani yake. Ili kuhesabu idadi ya jumla ya diagonals ya hii (k+1)-gon, unahitaji kuhesabu idadi ya diagonals katika k-gon A 1 A 2 ...A k , ongeza k-2 kwa nambari inayosababisha, i.e. idadi ya diagonal ya (k+1)-gon inayotoka kwenye vertex A k+1, na, kwa kuongeza, diagonal A 1 A k inapaswa kuzingatiwa. Hivyo, G k+1 =G k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2 Kwa hivyo, A(k) 1 A(k+1). Kwa sababu ya kanuni ya uingizaji wa hisabati, taarifa hiyo ni kweli kwa n-gon yoyote ya convex. Thibitisha kuwa kwa yoyote n taarifa ifuatayo ni kweli: 1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6 Suluhisho: 1) Acha n=1, basi X 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1 2) Chukulia kuwa n=k X k =k 2 =k(k+1)(2k+1)/6 3) Zingatia kauli hii ya n=k+1 X k+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6 X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k(k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+ 6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+) 2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6 Tumethibitisha usawa kuwa kweli kwa n=k+1, kwa hivyo, kwa mujibu wa mbinu ya utangulizi wa hisabati, taarifa hiyo ni kweli kwa nambari yoyote asilia n. Thibitisha kuwa kwa nambari yoyote asilia n usawa ni kweli: 1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2/4 Suluhisho: 1) Acha n=1 Kisha X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1. Tunaona kwamba kwa n=1 taarifa hiyo ni kweli. 2) Tuseme kwamba usawa ni kweli kwa n=k X k =k 2 (k+1) 2/4 3) Hebu tuthibitishe ukweli wa kauli hii kwa n=k+1, i.e. X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2/4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4 Kutoka kwa uthibitisho hapo juu ni wazi kuwa taarifa hiyo ni kweli kwa n=k+1, kwa hivyo, usawa ni kweli kwa nambari yoyote asilia n. Thibitisha hilo ((2 3 +1)/(2 3 -1)) ґ ((3 3 +1)/(3 3 -1)) ґ ... ґ ((n 3 +1)/(n 3 -1) )= 3n(n+1)/2(n 2 +n+1), ambapo n>2 Suluhisho: 1) Kwa n=2 kitambulisho kinaonekana kama: 1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1)) ґ ((k+2)((k+) 1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2 ґ ґ ((k+1) 2 +(k+1)+1) Tumethibitisha usawa kuwa kweli kwa n=k+1, kwa hivyo, kwa mujibu wa mbinu ya utangulizi wa hisabati, taarifa hiyo ni kweli kwa n>2 yoyote. Thibitisha hilo 1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3) kwa nambari yoyote asilia n Suluhisho: 1) Acha n=1, basi +(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3) Uhalali wa usawa wa n=k+1 pia umethibitishwa, kwa hivyo taarifa hiyo ni kweli kwa nambari yoyote asilia n. Thibitisha utambulisho ni sahihi (1 2 /1 ґ 3)+(2 2 /3 ґ 5)+…+(n 2 /(2n-1) ґ (2n+1))=n(n+1)/2(2n+1) kwa asili yoyote n Kutokana na uthibitisho hapo juu ni wazi kwamba taarifa hiyo ni kweli kwa nambari yoyote asilia n. Thibitisha kuwa (11 n+2 +12 2n+1) inaweza kugawanywa na 133 bila salio. Suluhisho: 1) Acha n=1, basi 11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23 ґ 133 Lakini (23 ґ 133) inaweza kugawanywa na 133 bila salio, ambayo ina maana kwamba kwa n=1 taarifa hiyo ni kweli; A(1) ni kweli. +(11+133) ґ 12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133 ґ 12 2k+1 Jumla inayotokana imegawanywa na 133 bila salio, kwa kuwa muda wake wa kwanza unagawanywa na 133 bila salio kwa dhana, na katika pili moja ya mambo ni 133. Kwa hiyo, A(k) 1 A(k+1). Kwa mujibu wa njia ya uingizaji wa hisabati, taarifa hiyo imethibitishwa Thibitisha kuwa kwa n 7 n -1 yoyote inaweza kugawanywa na 6 bila salio X k+1 =7 k+1 -1=7 ґ 7 k -7+6=7(7 k -1)+6 Neno la kwanza linagawanywa na 6, kwa kuwa 7 k -1 inaweza kugawanywa na 6 kwa dhana, na neno la pili ni 6. Hii ina maana 7 n -1 ni nyingi ya 6 kwa nambari yoyote ya asili n. Kwa mujibu wa njia ya uingizaji wa hisabati, taarifa hiyo imethibitishwa. Thibitisha kuwa 3 3n-1 +2 4n-3 kwa nambari asilia isiyo na mpangilio inaweza kugawanywa na 11. 1) Acha n=1, basi X 1 =3 3-1 +2 4-3 =3 2 +2 1 =11 imegawanywa na 11 bila salio. Hii inamaanisha kuwa kwa n=1 taarifa hiyo ni kweli X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 ґ 3 3k-1 +2 4 ґ 2 4k-3 = 27 ґ 3 3k-1 +16 ґ 2 4k-3 =(16+11) ґ 3 3k-1 +16 ґ 2 4k-3 =16 ґ 3 3k-1 + 11 ґ 3 3k-1 +16 ґ 2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11 ґ 3 3k-1 Neno la kwanza linaweza kugawanywa na 11 bila salio, kwa kuwa 3 3k-1 +2 4k-3 inaweza kugawanywa na 11 kwa dhana, pili inaweza kugawanywa na 11, kwa sababu moja ya mambo yake ni namba 11. Hii ina maana kwamba jumla inagawanywa na 11 bila salio kwa nambari yoyote asilia n. Kwa mujibu wa njia ya uingizaji wa hisabati, taarifa hiyo imethibitishwa. Thibitisha kuwa 11 2n -1 kwa nambari asilia ya kiholela n inaweza kugawanywa na 6 bila salio. Maneno yote mawili yanaweza kugawanywa na 6 bila salio: ya kwanza ina kizidishio cha 6, 120, na ya pili inaweza kugawanywa na 6 bila salio kwa kudhaniwa. Hii inamaanisha kuwa jumla inaweza kugawanywa na 6 bila salio. Kwa mujibu wa njia ya uingizaji wa hisabati, taarifa hiyo imethibitishwa. Thibitisha kuwa 3 3n+3 -26n-27 kwa nambari asilia isiyo halali n inaweza kugawanywa na 26 2 (676) bila salio. Hebu kwanza tuthibitishe kwamba 3 3n+3 -1 inaweza kugawanywa na 26 bila salio Sasa hebu tuthibitishe kauli iliyoandaliwa katika taarifa ya tatizo Maneno yote mawili yanagawanywa na 26 2; ya kwanza inaweza kugawanywa na 26 2 kwa sababu tumethibitisha usemi katika mabano unaweza kugawanywa na 26, na ya pili inaweza kugawanywa na hypothesis introduktionsutbildning. Kwa mujibu wa njia ya uingizaji wa hisabati, taarifa hiyo imethibitishwa Thibitisha kwamba ikiwa n>2 na x>0, basi ukosefu wa usawa (1+x) n >1+n ґ x ni kweli. Kwa hivyo A(2) ni kweli Hebu tuthibitishe kwamba basi A(k+1) pia ni kweli, yaani, kwamba ukosefu wa usawa (1+x) k+1 >1+(k+1) ґ x Kwa kweli, kuzidisha pande zote mbili za usawa (3) kwa nambari chanya 1+x, tunapata (1+x) k+1 >(1+k ґ x)(1+x) Fikiria upande wa kulia wa usawa wa mwisho; tuna (1+k ґ x)(1+x)=1+(k+1) ґ x+k ґ x 2 >1+(k+1) ґ x Kwa matokeo, tunapata kwamba (1+x) k+1 >1+(k+1) ґ x Kwa hivyo, A(k) 1 A(k+1). Kulingana na kanuni ya ujanibishaji wa hisabati, inaweza kubishaniwa kuwa ukosefu wa usawa wa Bernoulli ni halali kwa n> 2 yoyote. Thibitisha kuwa ukosefu wa usawa (1+a+a 2) m > 1+m ґ a+(m(m+1)/2) ґ a 2 kwa a> 0 ni kweli. Suluhisho: 1) Wakati m=1 +(k(k+1)/2) ґ a 2)=1+(k+1) ґ a+((k+1)/2)+k+1) ґ a 2 + +((k+1)/2)+k) ґ a 3 +(k+1)/2) ґ a 4 > 1+(k+1) ґ a+ +((k+1)(k+2)/2) ґ a 2 Tumethibitisha kukosekana kwa usawa kuwa kweli kwa m=k+1, kwa hivyo, kwa mujibu wa mbinu ya uingizaji wa hisabati, ukosefu wa usawa ni halali kwa m yoyote asilia. Thibitisha kwamba kwa n>6 ukosefu wa usawa 3 n > n ґ 2 n+1 ni kweli Hebu tuandike upya ukosefu wa usawa katika fomu (3/2) n > 2n Tangu k> 7, usawa wa mwisho ni dhahiri. Kwa mujibu wa njia ya uingizaji wa hisabati, usawa ni halali kwa nambari yoyote ya asili n Thibitisha kuwa kwa n>2 ukosefu wa usawa ni kweli 1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/n 2)<1,7-(1/n) Hebu tuthibitishe kwamba 1.7-(1/k)+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1) Ы S (1/(k+1) 2)+(1/k+1)<1/k Ы (k+2)/(k+1) 2 <1/k Ы ы k(k+2)<(k+1) 2 Ы k 2 +2k Mwisho ni dhahiri, na kwa hiyo 1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1) Kwa mujibu wa njia ya uingizaji wa hisabati, usawa unathibitishwa. Lyceum ya Jiji la Bryansk No. 1 Kazi ya utafiti juu ya mada: Njia ya Uingizaji wa Hisabati Imekamilika
M kidogo KWA Constantine mwanafunzi wa 10 Fizikia na Hisabati Lyceum ya Jiji la Bryansk No. 1 Imechaguliwa
T Yukacheva KUHUSU uongo NA vanovna Utangulizi_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3 Sehemu kuu Uingizaji kamili na usio kamili_ _ _ _ _ _ _ _ _ _3-4 Kanuni ya uingizaji wa hisabati_ _ _ _ _4-5 Mbinu ya utangulizi wa hisabati_ _ _ _ _ _ 6 Suluhisho kwa Uingizaji wa Hisabati Kwa matatizo ya muhtasari_ _ _ _ _ _ _ _ 7 Kwa matatizo ya kuthibitisha ukosefu wa usawa_ _8 Kwa shida za mgawanyiko _ _ _ _ _ _ _ _ _ _11 Kwa matatizo ya kuthibitisha utambulisho _ _ _12 Kwa kazi zingine _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 13 Hitimisho_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 16 Orodha ya fasihi iliyotumika _ _ _ _17 Utangulizi
Neno induction kwa Kirusi inamaanisha mwongozo, na kwa kufata neno wito hitimisho kufanywa kwa misingi ya uchunguzi, majaribio, i.e. kupatikana kwa makisio kutoka kwa mahususi hadi kwa jumla. Jukumu la hitimisho kwa kufata neno katika sayansi ya majaribio ni kubwa sana. Wanatoa masharti ambayo mahitimisho zaidi yanatolewa kwa kukatwa. Na ingawa mechanics ya kinadharia inategemea sheria tatu za mwendo za Newton, sheria hizi zenyewe zilikuwa matokeo ya kufikiria kwa kina kupitia data ya majaribio, haswa sheria za Kepler za mwendo wa sayari, ambazo alizipata kutokana na usindikaji wa uchunguzi wa miaka mingi na mwanaanga wa Denmark Tycho. Brahe. Uchunguzi na introduktionsutbildning kugeuka kuwa muhimu katika siku zijazo kwa ajili ya kufafanua mawazo yaliyotolewa. Baada ya majaribio ya Michelson juu ya kupima kasi ya mwanga katika kati ya kusonga, iligeuka kuwa muhimu kufafanua sheria za fizikia na kuunda nadharia ya uhusiano. Katika hisabati, jukumu la introduktionsutbildning ni kwa kiasi kikubwa kwamba ni msingi wa axiomatics iliyochaguliwa. Baada ya mazoezi ya muda mrefu kuonyesha kuwa njia iliyonyooka kila wakati ni fupi kuliko iliyopinda au iliyovunjika, ilikuwa asili kuunda axiom: kwa alama tatu A, B na C, usawa. Wazo la "kufuata", ambayo ni msingi wa hesabu, pia ilionekana kutoka kwa uchunguzi wa malezi ya askari, meli na seti zingine zilizoamriwa. Walakini, mtu haipaswi kufikiria kuwa hii inamaliza jukumu la ujanibishaji katika hisabati. Kwa kweli, hatupaswi kujaribu nadharia zilizotolewa kimantiki kutoka kwa axioms kwa majaribio: ikiwa hakuna makosa ya kimantiki yaliyofanywa wakati wa uchanganuzi, basi ni za kweli kwa kadiri misemo tuliyokubali ni kweli. Lakini taarifa nyingi zinaweza kutolewa kutoka kwa mfumo huu wa axioms. Na uteuzi wa taarifa hizo zinazohitaji kuthibitishwa tena unapendekezwa na introduktionsutbildning. Ni hii ambayo hukuruhusu kutenganisha nadharia muhimu kutoka kwa zisizo na maana, inaonyesha ni nadharia gani zinaweza kugeuka kuwa kweli, na hata kusaidia kuelezea njia ya uthibitisho. Kiini cha Uingizaji wa Hisabati Wacha tuonyeshe mfano wa kutumia M njia M asiyeaminika NA induction na mwisho tutafanya hitimisho la jumla. 4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5; 14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7. Usawa huu tisa unaonyesha kwamba kila moja ya nambari tunayopendezwa nayo inawakilishwa kama jumla ya maneno mawili rahisi. Kwa hivyo, introduktionsutbildning kamili inajumuisha kuthibitisha taarifa ya jumla tofauti katika kila idadi ya finite ya kesi iwezekanavyo. Wakati mwingine matokeo ya jumla yanaweza kutabiriwa baada ya kuzingatia sio yote, lakini idadi kubwa ya kesi fulani (kinachojulikana kama introduktionsutbildning). Matokeo yaliyopatikana kwa introduktionsutbildning incomplete bado, hata hivyo, hypothesis tu mpaka ni kuthibitishwa na hoja sahihi hisabati, kufunika kesi zote maalum. Kwa maneno mengine, uingizaji usio kamili katika hisabati hauzingatiwi njia halali ya uthibitisho mkali, lakini ni njia yenye nguvu ya kugundua ukweli mpya. Hebu, kwa mfano, unataka kupata jumla ya nambari zisizo za kawaida n za kwanza mfululizo. Hebu fikiria kesi maalum: 1+3+5+7+9=25=5 2 Baada ya kuzingatia kesi hizi chache maalum, hitimisho la jumla lifuatalo linajipendekeza: 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 hizo. jumla ya nambari zisizo za kawaida n za kwanza mfululizo ni n 2 Bila shaka, uchunguzi uliofanywa bado hauwezi kutumika kama uthibitisho wa uhalali wa agizo hilo. fomula iliyopewa. Uingizaji kamili una matumizi machache tu katika hisabati. Taarifa nyingi za kuvutia za hisabati hufunika idadi isiyo na kikomo ya kesi maalum, lakini hatuwezi kuzijaribu kwa idadi isiyo na kikomo ya kesi. Uingizaji usio kamili mara nyingi husababisha matokeo yenye makosa. Katika hali nyingi, njia ya kutoka kwa aina hii ya ugumu ni kuamua njia maalum ya kufikiria, inayoitwa njia ya induction ya hisabati. Ni kama ifuatavyo. Tuseme unahitaji kuthibitisha uhalali wa taarifa fulani kwa nambari yoyote asilia n (kwa mfano, unahitaji kuthibitisha kuwa jumla ya nambari za n isiyo ya kawaida ni sawa na n 2). Uthibitishaji wa moja kwa moja wa taarifa hii kwa kila thamani ya n hauwezekani, kwani seti ya nambari za asili hazina kikomo. Ili kuthibitisha kauli hii, kwanza angalia uhalali wake kwa n=1. Kisha wanathibitisha kuwa kwa thamani yoyote asilia ya k, uhalali wa taarifa inayozingatiwa ya n=k inamaanisha uhalali wake kwa n=k+1. Kisha taarifa hiyo inachukuliwa kuwa imethibitishwa kwa wote n. Kwa kweli, taarifa hiyo ni kweli kwa n=1. Lakini basi ni kweli pia kwa nambari inayofuata n=1+1=2. Uhalali wa taarifa ya n=2 unamaanisha uhalali wake kwa n=2+ 1=3. Hii inamaanisha uhalali wa taarifa ya n=4, nk. Ni wazi kwamba, mwishoni, tutafikia nambari yoyote ya asili n. Hii ina maana kwamba taarifa ni kweli kwa yoyote n. Kwa muhtasari wa kile ambacho kimesemwa, tunaunda kanuni ifuatayo ya jumla. Kanuni ya uingizaji wa hisabati. Ikiwa pendekezo A (
n
), kulingana na nambari ya asili
n
, kweli kwa
n
=1 na kutokana na ukweli kwamba ni kweli kwa
n
=
k
(wapi
k
-nambari yoyote asilia), inafuata kwamba ni kweli kwa nambari inayofuata
n
=
k
+1, kisha dhana A(
n
) kweli kwa nambari yoyote ya asili
n
.
Katika idadi ya matukio, inaweza kuwa muhimu kuthibitisha uhalali wa taarifa fulani si kwa nambari zote za asili, lakini tu kwa n> p, ambapo p ni nambari ya asili isiyobadilika. Katika kesi hii, kanuni ya induction ya hisabati imeundwa kama ifuatavyo. Uthibitisho wa kutumia njia ya induction ya hisabati unafanywa kama ifuatavyo. Kwanza, taarifa ya kuthibitishwa inaangaliwa kwa n = 1, i.e. ukweli wa kauli A(1) umethibitishwa. Sehemu hii ya uthibitisho inaitwa msingi wa induction. Kisha inakuja sehemu ya uthibitisho inayoitwa hatua ya induction. Katika sehemu hii, zinathibitisha uhalali wa taarifa ya n=k+1 chini ya dhana ya uhalali wa taarifa ya n=k (dhahania ya utangulizi), i.e. thibitisha kwamba A(k)ÞA(k+1). Utumiaji wa njia ya utangulizi wa hisabati katika shida za muhtasari
Utumiaji wa njia ya utangulizi wa hisabati katika shida za muhtasari Ili kufanya hivyo, kwanza angalia ukweli wa taarifa namba 1 - msingi wa induction, na kisha inathibitishwa kwamba ikiwa taarifa yenye nambari ni kweli n, basi taarifa ifuatayo yenye nambari pia ni kweli n + 1 - hatua ya induction, au mpito wa induction. Uthibitisho kwa introduktionsutbildning inaweza kuwasilishwa kwa uwazi katika mfumo wa kinachojulikana kanuni ya domino. Acha idadi yoyote ya vigae vya domino ziwekwe kwa safu kwa njia ambayo kila kigae cha domino, kinapoanguka, lazima kipindue jiwe la domino linalolifuata (huu ndio mpito wa kufata neno). Kisha, ikiwa tunasukuma mfupa wa kwanza (hii ni msingi wa induction), basi mifupa yote katika safu itaanguka. Msingi wa kimantiki wa njia hii ya uthibitisho ni ile inayoitwa axiom ya induction, ya tano ya axioms ya Peano inayofafanua nambari asilia. Usahihi wa njia ya uingizaji ni sawa na ukweli kwamba katika sehemu yoyote ya nambari za asili kuna kipengele kidogo. Pia kuna tofauti, kanuni inayoitwa ya induction kamili ya hisabati. Hapa kuna uundaji wake madhubuti: Kanuni ya uingizaji kamili wa hisabati pia ni sawa na axiom ya induction katika axioms ya Peano. Kazi. Ili kuthibitisha hilo, chochote cha asili n na halisi q≠ 1, usawa unashikilia Ushahidi. Utangulizi umewashwa n. Msingi, n = 1: Mpito: Wacha tujifanye hivyo Q.E.D. Maoni: usahihi wa taarifa P n katika uthibitisho huu - sawa na ukweli wa usawa Wikimedia Foundation. 2010. Uingizaji wa hisabati katika hisabati ni mojawapo ya mbinu za kuthibitisha. Inatumika kuthibitisha ukweli wa taarifa fulani kwa nambari zote za asili. Ili kufanya hivyo, ukweli wa taarifa iliyo na nambari 1 huangaliwa kwanza kulingana na introduktionsutbildning, na kisha ... ... Wikipedia Njia ya kuunda nadharia, ambayo inategemea baadhi ya vifungu vyake - axioms au postulates - ambayo masharti mengine yote ya nadharia (nadharia) hutolewa kwa hoja, inayoitwa uthibitisho m i. Sheria kulingana na Crimea ... ... Encyclopedia ya Falsafa Induction (lat. inductio direction) ni mchakato wa uelekezaji wa kimantiki kulingana na mpito kutoka hali fulani hadi ya jumla. Maoni ya kufata neno huunganisha majengo fulani na hitimisho sio sana kupitia sheria za mantiki, lakini kupitia baadhi ... ... Wikipedia. NJIA YA KIJINI- njia ya kufafanua yaliyomo na kiini cha somo linalosomwa sio kwa makusanyiko, ukamilifu au hitimisho la kimantiki, lakini kwa kusoma asili yake (kulingana na utafiti wa sababu zilizosababisha kuibuka kwake, utaratibu wa malezi). Pana... ... Falsafa ya Sayansi: Kamusi ya Masharti ya Msingi Njia ya kuunda nadharia ya kisayansi ambayo inategemea vifungu vya awali (hukumu) za axiom (Angalia Axiom), au Postulates, ambayo taarifa zingine zote za sayansi hii (nadharia (Angalia Theorem)) lazima zitolewe. .. Encyclopedia kubwa ya Soviet njia ya axiomatic- NJIA YA AXIOMATIC (kutoka axioma ya Kigiriki) ni nafasi inayokubalika - njia ya kujenga nadharia ya kisayansi, ambayo tu axioms, postulates na kauli zilizotolewa hapo awali kutoka kwao hutumiwa katika uthibitisho. Kwa mara ya kwanza imejidhihirisha wazi.... Encyclopedia ya Epistemology na Falsafa ya Sayansi Mojawapo ya mbinu za makosa ya nadharia ya kukadiria idadi isiyojulikana kutoka kwa matokeo ya kipimo yenye makosa ya nasibu. N.K.M pia hutumika kukadiria uwakilishi wa kitendakazi ulichopewa na vitendaji vingine (rahisi) na mara nyingi huwa... Encyclopedia ya hisabati Uingizaji wa hisabati ni mojawapo ya mbinu za uthibitisho wa hisabati, unaotumiwa kuthibitisha ukweli wa taarifa fulani kwa nambari zote za asili. Ili kufanya hivyo, kwanza angalia ... Wikipedia Neno hili lina maana zingine, angalia Utangulizi. Induction (lat. inductio direction) ni mchakato wa uelekezaji wa kimantiki kulingana na mpito kutoka hali fulani hadi ya jumla. Maelekezo kwa kufata neno huunganisha majengo fulani... ... WikipediaMifano
,
Angalia pia
Tofauti na generalizations
Fasihi
Tazama "Njia ya utangulizi wa hisabati" ni nini katika kamusi zingine: