Michakato ya kipekee ya Markov. Mchakato wa Markov: mifano

Michakato ya bahati nasibu ya Markov imepewa jina la mwanahisabati bora wa Urusi A.A. Markov (1856-1922), ambaye alianza kwa mara ya kwanza utafiti wa uhusiano wa uwezekano wa vigezo vya nasibu na kuunda nadharia ambayo inaweza kuitwa "mienendo ya uwezekano". Baadaye, misingi ya nadharia hii ikawa msingi wa awali wa nadharia ya jumla ya michakato ya nasibu, na vile vile sayansi muhimu inayotumika kama nadharia ya michakato ya uenezaji, nadharia ya kuegemea, nadharia ya foleni, n.k. Hivi sasa, nadharia ya michakato ya Markov na matumizi yake hutumiwa sana katika nyanja mbali mbali za sayansi kama mechanics, fizikia, kemia, n.k.

Kwa sababu ya unyenyekevu wa kulinganisha na uwazi wa vifaa vya hisabati, kuegemea juu na usahihi wa suluhisho zilizopatikana, michakato ya Markov imepokea umakini maalum kutoka kwa wataalam wanaohusika katika utafiti wa shughuli na nadharia ya kufanya maamuzi bora.

Licha ya unyenyekevu na uwazi uliotajwa hapo juu, matumizi ya vitendo ya nadharia ya minyororo ya Markov inahitaji ujuzi wa baadhi ya maneno na kanuni za msingi ambazo zinapaswa kujadiliwa kabla ya kuwasilisha mifano.

Kama inavyoonyeshwa, michakato ya bahati nasibu ya Markov inarejelea kesi maalum za michakato ya nasibu (SP). Kwa upande mwingine, michakato ya nasibu inategemea dhana ya kazi ya nasibu (SF).

Chaguo za kukokotoa nasibu ni chaguo za kukokotoa ambazo thamani yake, kwa thamani yoyote ya hoja, ni kigezo cha nasibu (RV). Kwa maneno mengine, SF inaweza kuitwa kazi ambayo, katika kila mtihani, inachukua fomu isiyojulikana hapo awali.

Mifano hiyo ya SF ni: kushuka kwa voltage katika mzunguko wa umeme, kasi ya gari kwenye sehemu ya barabara yenye kikomo cha kasi, ukali wa uso wa sehemu katika sehemu fulani, nk.

Kama sheria, inaaminika kuwa ikiwa hoja ya SF ni wakati, basi mchakato kama huo unaitwa nasibu. Kuna ufafanuzi mwingine wa michakato ya nasibu, karibu na nadharia ya uamuzi. Katika kesi hii, mchakato wa nasibu unaeleweka kama mchakato wa mabadiliko ya nasibu katika hali ya mfumo wowote wa kimwili au wa kiufundi kwa heshima na wakati au hoja nyingine.

Ni rahisi kuona kwamba ukiteua jimbo na kuonyesha utegemezi, basi utegemezi kama huo utakuwa kazi ya nasibu.

Michakato ya nasibu imeainishwa kulingana na aina za majimbo na hoja t. Katika kesi hii, michakato ya nasibu inaweza kuwa na hali au wakati usio na maana au unaoendelea.

Mbali na mifano hapo juu ya uainishaji wa michakato ya nasibu, kuna mali nyingine muhimu. Sifa hii inaelezea muunganisho wa uwezekano kati ya majimbo ya michakato ya nasibu. Kwa hiyo, kwa mfano, ikiwa katika mchakato wa random uwezekano wa mpito wa mfumo kwa kila hali inayofuata inategemea tu hali ya awali, basi mchakato huo unaitwa mchakato bila matokeo.

Wacha tukumbuke, kwanza, kwamba mchakato wa nasibu na majimbo na wakati tofauti unaitwa mlolongo wa nasibu.

Ikiwa mlolongo wa nasibu una mali ya Markov, basi inaitwa mnyororo wa Markov.

Kwa upande mwingine, ikiwa katika mchakato wa nasibu majimbo ni tofauti, wakati unaendelea na mali ya athari huhifadhiwa, basi mchakato kama huo unaitwa mchakato wa Markov na wakati unaoendelea.

Mchakato wa nasibu wa Markov unasemekana kuwa sawa ikiwa uwezekano wa mpito utabaki thabiti wakati wa mchakato.

Mlolongo wa Markov unazingatiwa kutolewa ikiwa masharti mawili yanatolewa.

1. Kuna seti ya uwezekano wa mpito katika mfumo wa matrix:

2. Kuna vector ya uwezekano wa awali

kuelezea hali ya awali ya mfumo.

Mbali na fomu ya tumbo, mfano wa mnyororo wa Markov unaweza kuwakilishwa kama grafu iliyoelekezwa (Mchoro 1).

Mchele. 1

Seti ya majimbo ya mfumo wa mnyororo wa Markov imeainishwa kwa njia fulani, kwa kuzingatia tabia zaidi ya mfumo.

1. Seti isiyoweza kurekebishwa (Mchoro 2).

Mtini.2.

Katika kesi ya seti isiyorejesha, mabadiliko yoyote ndani ya seti hii yanawezekana. Mfumo unaweza kuondoka kwenye seti hii, lakini hauwezi kurudi kwake.

2. Kurudi kuweka (Mchoro 3).

Mchele. 3.

Katika kesi hii, mabadiliko yoyote ndani ya seti pia yanawezekana. Mfumo unaweza kuingiza seti hii, lakini hauwezi kuiacha.

3. Seti ya Ergodic (Mchoro 4).

Mchele. 4.

Katika kesi ya seti ya ergodic, mabadiliko yoyote ndani ya seti yanawezekana, lakini mabadiliko kutoka na kwa seti hayajajumuishwa.

4. Seti ya kunyonya (Mchoro 5)

Mchele. 5.

Wakati mfumo unapoingia kwenye seti hii, mchakato unaisha.

Katika baadhi ya matukio, licha ya nasibu ya mchakato, inawezekana kudhibiti sheria za usambazaji au vigezo vya uwezekano wa mpito kwa kiasi fulani. Minyororo kama hiyo ya Markov inaitwa kudhibitiwa. Ni wazi, kwa msaada wa minyororo ya Markov iliyodhibitiwa (MCC), mchakato wa kufanya maamuzi unakuwa mzuri sana, kama itakavyojadiliwa baadaye.

Sifa kuu ya mnyororo wa Markov (DMC) ni uamuzi wa vipindi vya wakati kati ya hatua za mtu binafsi (hatua) za mchakato. Walakini, mara nyingi katika michakato halisi mali hii haizingatiwi na vipindi vinageuka kuwa nasibu na sheria fulani ya usambazaji, ingawa mali ya Markov ya mchakato huo imehifadhiwa. Mlolongo kama huo wa nasibu huitwa nusu-Markov.

Kwa kuongezea, kwa kuzingatia uwepo na kutokuwepo kwa seti fulani za majimbo zilizotajwa hapo juu, minyororo ya Markov inaweza kunyonya ikiwa kuna angalau hali moja ya kunyonya, au ergodic ikiwa uwezekano wa mpito huunda seti ya ergodic. Kwa upande wake, minyororo ya ergodic inaweza kuwa ya kawaida au ya mzunguko. Minyororo ya mzunguko hutofautiana na ya kawaida kwa kuwa wakati wa mabadiliko kupitia idadi fulani ya hatua (mizunguko) kurudi kwa hali fulani hutokea. Minyororo ya kawaida haina mali hii.

Nadharia ya kupanga foleni ni mojawapo ya matawi ya nadharia ya uwezekano. Nadharia hii inazingatia uwezekano matatizo na mifano ya hisabati (kabla ya hapo tulizingatia mifano ya hesabu ya kuamua). Hebu tukumbushe kwamba:

Mfano wa hisabati wa kuamua huonyesha tabia ya kitu (mfumo, mchakato) kutoka kwa mtazamo uhakika kamili kwa sasa na siku zijazo.

Mfano wa hisabati unaowezekana inazingatia ushawishi wa mambo ya nasibu juu ya tabia ya kitu (mfumo, mchakato) na, kwa hiyo, inatathmini siku zijazo kutoka kwa mtazamo wa uwezekano wa matukio fulani.

Wale. hapa, kama, kwa mfano, katika matatizo ya nadharia ya mchezo yanazingatiwa katika halikutokuwa na uhakika.

Hebu kwanza tuchunguze baadhi ya dhana zinazobainisha "kutokuwa na uhakika wa stochastic," wakati vipengele visivyo na uhakika vilivyojumuishwa katika tatizo ni viwezo vya nasibu (au utendakazi nasibu), sifa za uwezekano ambazo ama zinajulikana au zinaweza kupatikana kutokana na uzoefu. Kutokuwa na uhakika kama huo pia huitwa "nzuri", "nzuri".

Dhana ya mchakato wa nasibu

Kwa kusema kweli, usumbufu wa nasibu ni asili katika mchakato wowote. Ni rahisi kutoa mifano ya mchakato wa nasibu kuliko mchakato "usio wa nasibu". Hata, kwa mfano, mchakato wa kuendesha saa (inaonekana kuwa kazi iliyorekebishwa madhubuti - "inafanya kazi kama saa") inategemea mabadiliko ya nasibu (kusonga mbele, kubaki nyuma, kuacha). Lakini maadamu usumbufu huu ni mdogo na una athari ndogo kwa vigezo vya maslahi kwetu, tunaweza kuvipuuza na kuzingatia mchakato kama wa kuamua, usio wa nasibu.

Hebu kuwe na mfumo fulani S(kifaa cha kiufundi, kikundi cha vifaa vile, mfumo wa kiteknolojia - mashine, tovuti, warsha, biashara, sekta, nk). Katika mfumo S uvujaji mchakato wa nasibu, ikiwa inabadilisha hali yake kwa muda (hupita kutoka hali moja hadi nyingine), zaidi ya hayo, kwa namna isiyojulikana hapo awali.

Mifano: 1. Mfumo S- mfumo wa kiteknolojia (sehemu ya mashine). Mashine huharibika mara kwa mara na hutengenezwa. Mchakato unaofanyika katika mfumo huu ni wa nasibu.

2. Mfumo S- ndege inayoruka kwa urefu fulani kando ya njia maalum. Mambo ya kutatanisha - hali ya hewa, makosa ya wafanyakazi, nk, matokeo - bumpiness, ukiukaji wa ratiba ya ndege, nk.

Mchakato wa bahati nasibu wa Markov

Mchakato wa nasibu unaotokea kwenye mfumo unaitwa Markovsky, ikiwa ni kwa muda wowote t Sifa 0 za uwezekano wa mchakato katika siku zijazo zinategemea tu hali yake kwa sasa t 0 na haitegemei lini na jinsi mfumo ulifikia hali hii.

Wacha mfumo uwe katika hali fulani kwa sasa t 0 S 0 . Tunajua sifa za hali ya mfumo kwa sasa, kila kitu kilichotokea wakati t<t 0 (historia ya mchakato). Je, tunaweza kutabiri (kutabiri) siku zijazo, i.e. nini kitatokea lini t>t 0 ? Sio haswa, lakini sifa zingine za uwezekano wa mchakato zinaweza kupatikana katika siku zijazo. Kwa mfano, uwezekano kwamba baada ya muda fulani mfumo S wataweza S 1 au itasalia katika jimbo S 0, nk.

Mfano. Mfumo S- kundi la ndege zinazoshiriki katika mapigano ya anga. Hebu x- idadi ya ndege "nyekundu", y- idadi ya ndege "bluu". Wakati ulipoasili t 0 idadi ya ndege zilizosalia (zisizopigwa chini), mtawalia - x 0 ,y 0 . Tunavutiwa na uwezekano kwamba wakati wa wakati ubora wa nambari utakuwa upande wa "nyekundu". Uwezekano huu unategemea mfumo ulikuwa katika hali gani wakati huo t 0, na sio lini na katika mlolongo gani waliopigwa risasi walikufa hadi sasa t 0 ndege.

Kwa mazoezi, michakato ya Markov katika fomu yao safi kawaida haipatikani. Lakini kuna taratibu ambazo ushawishi wa "prehistory" unaweza kupuuzwa. Na wakati wa kusoma michakato kama hii, mifano ya Markov inaweza kutumika (nadharia ya foleni haizingatii mifumo ya foleni ya Markov, lakini vifaa vya hesabu vinavyoelezea ni ngumu zaidi).

Katika utafiti wa shughuli, michakato ya bahati nasibu ya Markov na majimbo tofauti na wakati unaoendelea ni muhimu sana.

Mchakato huo unaitwa mchakato wa serikali tofauti, ikiwezekana majimbo yake S 1 ,S 2, ... inaweza kuamua mapema, na mabadiliko ya mfumo kutoka hali hadi hali hutokea "kwa kuruka," karibu mara moja.

Mchakato huo unaitwa mchakato wa muda unaoendelea, ikiwa nyakati za mabadiliko yanayowezekana kutoka hali hadi hali hazijawekwa mapema, lakini hazina uhakika, bila mpangilio na zinaweza kutokea wakati wowote.

Mfano. Mfumo wa kiteknolojia (sehemu) S lina mashine mbili, ambayo kila moja inaweza kushindwa (kushindwa) kwa wakati wa random kwa wakati, baada ya hapo ukarabati wa kitengo huanza mara moja, ambayo pia inaendelea kwa muda usiojulikana, wa random. Hali zifuatazo za mfumo zinawezekana:

S 0 - mashine zote mbili zinafanya kazi;

S 1 - mashine ya kwanza inatengenezwa, ya pili inafanya kazi;

S 2 - mashine ya pili inatengenezwa, ya kwanza inafanya kazi;

S 3 - mashine zote mbili zinatengenezwa.

Mabadiliko ya mfumo S kutoka jimbo hadi jimbo hutokea karibu mara moja, wakati wa random wakati mashine fulani inashindwa au ukarabati umekamilika.

Wakati wa kuchambua michakato ya nasibu na majimbo tofauti, ni rahisi kutumia mpango wa kijiometri - grafu ya serikali. Vipeo vya grafu ni majimbo ya mfumo. Grafu arcs - mabadiliko iwezekanavyo kutoka hali hadi

Mtini.1. Grafu ya hali ya mfumo

jimbo. Kwa mfano wetu, grafu ya serikali imeonyeshwa kwenye Mchoro 1.

Kumbuka. Mpito kutoka jimbo S 0 ndani S 3 haijaonyeshwa kwenye takwimu, kwa sababu inachukuliwa kuwa mashine zinashindwa kwa kujitegemea. Tunapuuza uwezekano wa kushindwa kwa wakati mmoja wa mashine zote mbili.

Hotuba ya 9

Mchakato wa Markov
Hotuba ya 9
Mchakato wa Markov

1

Mchakato wa Markov

Mchakato wa Markov
Mchakato wa nasibu unaotokea kwenye mfumo unaitwa
Markovian ikiwa haina matokeo. Wale.
ikiwa tunazingatia hali ya sasa ya mchakato (t 0) - kama
sasa, seti ya majimbo iwezekanavyo ( (s), s t) - kama
zamani, seti ya majimbo iwezekanavyo ( (u), u t) - kama
baadaye, basi kwa mchakato wa Markov wa kusasishwa
sasa, wakati ujao hautegemei zamani, lakini imedhamiriwa
kwa sasa tu na haitegemei lini na jinsi mfumo huo
alikuja katika hali hii.
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
2

Mchakato wa Markov

Mchakato wa Markov
Michakato ya bahati nasibu ya Markov imepewa jina la mwanahisabati bora wa Kirusi A.A. Markov, ambaye kwanza alianza kusoma uunganisho wa uwezekano wa anuwai za nasibu.
na kuunda nadharia ambayo inaweza kuitwa "mienendo
uwezekano." Baadaye, misingi ya nadharia hii ilikuwa
msingi wa awali wa nadharia ya jumla ya michakato ya nasibu, na vile vile sayansi muhimu inayotumika kama nadharia ya michakato ya uenezi, nadharia ya kuegemea, nadharia ya foleni, n.k.
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
3

Markov Andrey Andreevich Markov Andrey Andreevich Markov Andrey Andreevich

Mchakato wa Markov
Markov Andrey Andreevich
1856-1922
mwanahisabati wa Kirusi.
Aliandika kazi 70 hivi
nadharia
namba,
nadharia
makadirio ya kazi, nadharia
uwezekano. Kwa kiasi kikubwa kupanua wigo wa sheria
idadi kubwa na kati
kikomo nadharia. Je!
mwanzilishi wa nadharia ya michakato ya nasibu.
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
4

Mchakato wa Markov

Mchakato wa Markov
Kwa mazoezi, michakato ya Markov katika fomu yao safi ni kawaida
msikutane. Lakini kuna michakato ambayo ushawishi wa "historia" unaweza kupuuzwa, na wakati wa kusoma
Kwa michakato kama hiyo, mifano ya Markov inaweza kutumika. KATIKA
Hivi sasa, nadharia ya michakato ya Markov na matumizi yake hutumiwa sana katika nyanja mbali mbali.
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
5

Mchakato wa Markov

Mchakato wa Markov
Biolojia: michakato ya kuzaliwa na kifo - idadi ya watu, mabadiliko,
magonjwa ya mlipuko.
Fizikia:
mionzi
kuoza,
nadharia
vihesabio
chembe za msingi, michakato ya uenezi.
Kemia:
nadharia
athari
V
nyuklia
emulsions ya picha,
mifano ya uwezekano wa kinetiki za kemikali.
Images.jpg
Astronomia: nadharia ya kushuka kwa thamani
mwangaza wa Milky Way.
Nadharia ya kupanga foleni: kubadilishana simu,
maduka ya kukarabati, ofisi za tikiti, madawati ya habari,
mashine na mifumo mingine ya kiteknolojia, mifumo ya udhibiti
mifumo rahisi ya uzalishaji, usindikaji wa habari na seva.
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
6

Mchakato wa Markov

Mchakato wa Markov
Wacha mfumo uwe ndani kwa sasa
hali fulani S0. Tunajua sifa
hali ya mfumo kwa sasa na kila kitu kilichotokea katika t< t0
(msingi wa mchakato). Tunaweza kutabiri siku zijazo,
hizo. nini kinatokea saa t > t0?
Sio haswa, lakini sifa zingine za uwezekano
mchakato unaweza kupatikana katika siku zijazo. Kwa mfano, uwezekano huo
kwamba baada ya muda
mfumo S utakuwa katika hali
S1 au itasalia katika hali ya S0, nk.
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
7

Mchakato wa Markov. Mfano.

Mchakato wa Markov
Mchakato wa Markov. Mfano.
Mfumo S ni kundi la ndege zinazoshiriki katika mapigano ya anga. Wacha x iwe wingi
ndege "nyekundu", y - idadi ya ndege "bluu". Wakati t0, idadi ya kuishi (si risasi chini) ndege
kwa mtiririko huo - x0, y0.
Tunavutiwa na uwezekano kwamba kwa wakati huu
t 0 ubora wa nambari utakuwa upande wa "nyekundu". Uwezekano huu unategemea hali ambayo mfumo ulikuwa
kwa wakati wa t0, na sio wakati na katika mlolongo gani ndege zilianguka kabla ya wakati t0 kufa.
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
8

Minyororo ya Discrete Markov

Mchakato wa Markov
Minyororo ya Discrete Markov
Mchakato wa Markov na nambari ya mwisho au inayoweza kuhesabika
majimbo na nyakati za wakati huitwa discrete
Mnyororo wa Markov. Mabadiliko kutoka jimbo hadi jimbo yanawezekana tu kwa wakati kamili.
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
9

10. Minyororo ya Discrete Markov. Mfano

Mchakato wa Markov

Tuseme
Nini
hotuba
kuja
O
kurusha sarafu mfululizo
mchezo wa kutupwa; sarafu inatupwa ndani
muda wa masharti t =0, 1, ... na saa
kila hatua mchezaji anaweza kushinda ±1 s
sawa
uwezekano
1/2,
kama hii
Kwa hivyo, kwa sasa t, faida yake ya jumla ni kutofautisha bila mpangilio ξ(t) na maadili yanayowezekana j = 0, ±1, ... .
Isipokuwa kwamba ξ(t) = k, katika hatua inayofuata malipo yatakuwa
tayari ni sawa na ξ(t+1) = k ± 1, kuchukua maadili j = k ± 1 na uwezekano sawa 1/2. Tunaweza kusema kwamba hapa, pamoja na uwezekano unaofanana, mpito hutokea kutoka kwa hali ξ(t) = k hadi hali ξ(t+1) = k ± 1.
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
10

11. Minyororo ya Discrete Markov

Mchakato wa Markov
Minyororo ya Discrete Markov
Kujumlisha mfano huu, tunaweza kufikiria mfumo na
idadi ya kuhesabika ya majimbo iwezekanavyo, ambayo baada ya muda
muda maalum t = 0, 1, ... husogea bila mpangilio kutoka jimbo hadi jimbo.
Acha ξ(t) iwe nafasi yake kwa wakati t kama matokeo ya mlolongo wa mabadiliko ya nasibu
ξ(0) -> ξ(1) -> ... -> ξ(t) -> ξ(t+1) ->...-> ... .
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
11

12. Minyororo ya Discrete Markov

Mchakato wa Markov
Minyororo ya Discrete Markov
Wakati wa kuchambua michakato ya nasibu na majimbo tofauti, ni rahisi kutumia mpango wa kijiometri - grafu
majimbo. Vipeo vya grafu ni majimbo ya mfumo. Arcs ya grafu
- mabadiliko yanayowezekana kutoka jimbo hadi jimbo.
Mchezo wa kutupwa.
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
12

13. Minyororo ya Discrete Markov

Mchakato wa Markov
Minyororo ya Discrete Markov
Wacha tuonyeshe majimbo yote yanayowezekana kwa nambari i = 0, ±1, ...
Wacha tufikirie kuwa kwa hali inayojulikana ξ(t) =i, katika hatua inayofuata mfumo huenda kwa hali ξ(t+1) = j na uwezekano wa masharti.
P ( (t 1) j (t) i)
bila kujali tabia yake ya zamani, au tuseme, bila kujali
kutoka kwa mlolongo wa mabadiliko hadi wakati t:
P( (t 1) j (t) i; (t 1) ni 1;...; (0) i0)
P ( (t 1) j (t) i)
Mali hii inaitwa Markovian.
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
13

14. Minyororo ya Discrete Markov

Mchakato wa Markov
Minyororo ya Discrete Markov
Nambari
pij P( (t 1) j (t) i)
inayoitwa uwezekano
mpito wa mfumo kutoka hali i hadi hali j katika hatua moja ndani
muda t1.
Ikiwa uwezekano wa mpito hautegemei t, basi mzunguko
Markov anaitwa homogeneous.
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
14

15. Minyororo ya Discrete Markov

Mchakato wa Markov
Minyororo ya Discrete Markov
Matrix P, ambayo vipengele vyake ni uwezekano
mpito pij inaitwa matrix ya mpito:
p11...p1n
P p 21 ... uk 2n
uk
n1...pnn
Ni stochastic, i.e.
pij 1;
i
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
p ij 0.
15

16. Minyororo ya Discrete Markov. Mfano

Mchakato wa Markov
Minyororo ya Discrete Markov. Mfano
Matrix ya mpito kwa mchezo wa kutupa
...
k 2
k 2
0
k 1
1/ 2
k
0
k 1
k
k 1
k 2
0
1/ 2
0
0
1/ 2
0
1/ 2
0
1/ 2
0
0
0
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
...
k 1 k2
0
0
0
1/ 2
0
1/ 2
...
0
0
1/ 2
0
16

17. Minyororo ya Discrete Markov. Mfano

Mchakato wa Markov
Minyororo ya Discrete Markov. Mfano
Kama matokeo ya uchambuzi wa kemikali wa udongo, mtunza bustani anatathmini
hali yake ni moja ya nambari tatu - nzuri (1), ya kuridhisha (2) au mbaya (3). Kama matokeo ya uchunguzi kwa miaka mingi, mtunza bustani aligundua
kwamba tija ya udongo katika mkondo
mwaka inategemea tu hali yake
mwaka uliopita. Kwa hivyo uwezekano
mpito wa udongo kutoka jimbo moja hadi
mwingine anaweza kuwakilishwa kama ifuatavyo
Mnyororo wa Markov na matrix P1:
0.20 0.50 0.30
0.00 0.50 0.50
0.00 0.00 1.00
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
17

18. Minyororo ya Discrete Markov. Mfano

Mchakato wa Markov
Minyororo ya Discrete Markov. Mfano
Walakini, kama matokeo ya mazoea ya kilimo, mtunza bustani anaweza kubadilisha uwezekano wa mpito kwenye tumbo P1.
Kisha matrix P1 itabadilishwa
kwa matrix P2:
0.30 0.60 0.10
0.10 0.60 0.30
0.05 0.40 0.55
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
18

19. Minyororo ya Discrete Markov

Mchakato wa Markov
Minyororo ya Discrete Markov
Wacha tuangalie jinsi hali za mchakato hubadilika kwa wakati. Tutazingatia mchakato kwa nyakati zinazofuatana kwa wakati, kuanzia dakika 0. Wacha tuweke usambazaji wa uwezekano wa awali p(0) ( p1 (0),..., pm (0)), ambapo m ni idadi ya majimbo. ya mchakato, pi (0) ni uwezekano wa kupatikana
mchakato katika hali i wakati wa mwanzo wa wakati. Uwezekano wa pi(n) unaitwa uwezekano usio na masharti wa serikali
mimi wakati n 1.
Vipengele vya vector p (n) vinaonyesha ni ipi kati ya majimbo yanayowezekana ya mzunguko kwa wakati n ni zaidi
inawezekana.
m
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
pk(n) 1
k 1
19

20. Minyororo ya Discrete Markov

Mchakato wa Markov
Minyororo ya Discrete Markov
Kujua mlolongo ( p (n)) kwa n 1,... hukuruhusu kupata wazo la tabia ya mfumo kwa wakati.
Katika mfumo wa serikali 3
p11 p12 p13
uk 21
uk
31
p22
p32
p23
p33
p2 (1) p1 (0) p12 p2 (0) p22 p3 (0) p32
p2 (n 1) p1 (n) p12 p2 (n) p22 p3 (n) p32
Kwa ujumla:
p j (1) pk (0) pkj
p j (n 1) pk (n) pkj
k
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
k
p(n 1) p(n) P
20

21. Minyororo ya Discrete Markov. Mfano

Mchakato wa Markov
Minyororo ya Discrete Markov. Mfano
Matrix
0.20 0.50 0.30
0.00 0.50 0.50
0.00 0.00 1.00
Hatua
(p(n))
n
0
1, 0, 0
n
1
0.2 , 0.5 , 0.3
n
2
0.04 , 0.35 , 0.61
n
3
0.008 , 0.195 , 0.797
n
4
0.0016 , 0.1015 , 0.8969
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
21

22. Minyororo ya Discrete Markov

Mchakato wa Markov
Minyororo ya Discrete Markov
n
Matrix ya mpito kwa hatua n P(n) P .
0.20 0.50 0.30
0.00 0.50 0.50
0.00 0.00 1.00
uk(2) uk(0) uk
2
p(2)
P(2) P2
1, 0, 0
0.0016
0.
0.
0.0016
0.
0.
0.1015
0.0625
0.
0.1015
0.0625
0.
0.8969
0.9375
1.
0.8969
0.9375
1.
0.04 , 0.35 , 0.61
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
22

23. Minyororo ya Discrete Markov

Mchakato wa Markov
Minyororo ya Discrete Markov
Minyororo ya Markov inafanyaje kwa n?
Kwa mlolongo wa Markov wa homogeneous, chini ya hali fulani, mali ifuatayo inashikilia: p (n) kwa n.
Uwezekano 0 hautegemei usambazaji wa awali
p(0) , na imedhamiriwa tu na matrix P . Katika kesi hii, inaitwa usambazaji wa stationary, na mlolongo yenyewe huitwa ergodic. Sifa ya ergodicity inamaanisha kuwa n huongezeka
uwezekano wa majimbo huacha kubadilika, na mfumo huenda kwenye hali ya uendeshaji imara.
i
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
23

24. Minyororo ya Discrete Markov. Mfano

Mchakato wa Markov
Minyororo ya Discrete Markov. Mfano
0.20 0.50 0.30
0.00 0.50 0.50
0.00 0.00 1.00
0 0 1
P() 0 0 1
0 0 1
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
p()(0,0,1)
24

25. Minyororo ya Discrete Markov. Mfano

Mchakato wa Markov
Minyororo ya Discrete Markov. Mfano
0.30 0.60 0.10
0.10 0.60 0.30
0.05 0.40 0.55
0.1017 0.5254 0.3729
P() 0.1017 0.5254 0.3729
0.1017 0.5254 0.3729
p() (0.1017,0.5254,0.3729)
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
25

26. Mchakato wa Markov kwa wakati unaoendelea

Mchakato wa Markov

Mchakato unaitwa mchakato wa wakati unaoendelea ikiwa
nyakati za mabadiliko yanayowezekana kutoka jimbo hadi jimbo hazijawekwa mapema, lakini hazina uhakika, ni za nasibu na zinaweza kutokea.
wakati wowote.
Mfano. Mfumo wa kiteknolojia S una vifaa viwili,
kila moja ambayo kwa wakati nasibu inaweza kutoka
jengo, baada ya hapo ukarabati wa kitengo huanza mara moja, pia unaendelea kwa muda usiojulikana, wa random.
Hali zifuatazo za mfumo zinawezekana:
S0 - vifaa vyote viwili vinafanya kazi;
S1 - kifaa cha kwanza kinatengenezwa, pili kinafanya kazi vizuri;
S2 - kifaa cha pili kinatengenezwa, cha kwanza kinafanya kazi vizuri;
S3 - vifaa vyote viwili vinarekebishwa.
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
26

27. Mchakato wa Markov kwa wakati unaoendelea

Mchakato wa Markov
Michakato ya Markov ya wakati unaoendelea
Mabadiliko ya mfumo S kutoka hali hadi hali hutokea
karibu mara moja, katika nyakati za bahati nasibu za kushindwa
kifaa kimoja au kingine au
kukamilika kwa matengenezo.
Uwezekano wa wakati huo huo
kushindwa kwa vifaa vyote viwili
inaweza kupuuzwa.
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
27

28. Mito ya matukio

Mchakato wa Markov
Mipasho ya Tukio
Mtiririko wa matukio ni mfuatano wa matukio ya jinsi moja yanayofuata moja baada ya jingine kwa nyakati fulani za nasibu.
ni wastani wa idadi ya matukio
Kiwango cha mtiririko wa tukio
kwa muda wa kitengo.
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
28

29. Mito ya matukio

Mchakato wa Markov
Mipasho ya Tukio
Mtiririko wa matukio huitwa stationary ikiwa sifa zake za uwezekano hazitegemei wakati.
Hasa, kiwango
mtiririko thabiti ni thabiti. Mtiririko wa matukio bila shaka huwa na ufupisho au nadra, lakini sio asili ya kawaida, na wastani wa idadi ya matukio kwa kila kitengo cha wakati ni mara kwa mara na hautegemei wakati.
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
29

30. Mito ya matukio

Mchakato wa Markov
Mipasho ya Tukio
Mtiririko wa matukio unaitwa mtiririko bila matokeo ikiwa ni kwa
vipindi viwili vya wakati visivyoingiliana na idadi ya matukio yanayoangukia moja wapo haitegemei ni matukio ngapi yanaangukia mengine. Kwa maneno mengine, hii ina maana kwamba matukio yanayounda mtiririko huonekana wakati fulani
muda wa kujitegemea na kila mmoja unasababishwa na sababu zake.
Mtiririko wa matukio huitwa kawaida ikiwa uwezekano wa kutokea kwa matukio mawili au zaidi katika sehemu ya msingi t haukubaliki ikilinganishwa na uwezekano wa kutokea kwa moja.
matukio, i.e. matukio yanaonekana ndani yake moja kwa moja, na si katika makundi ya kadhaa mara moja
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
30

31. Mito ya matukio

Mchakato wa Markov
Mipasho ya Tukio
Mtiririko wa matukio unaitwa Poisson rahisi zaidi (au stationary) ikiwa ina mali tatu mara moja: 1) stationary, 2) ya kawaida, 3) haina matokeo.
Mtiririko rahisi zaidi una maelezo rahisi zaidi ya hisabati. Anacheza kati ya mito maalum sawa
jukumu, kama sheria ya usambazaji wa kawaida kati ya zingine
sheria za usambazaji. Yaani, wakati wa kuongeza idadi kubwa ya kutosha ya kujitegemea, ya stationary na ya kawaida
mtiririko (kulinganishwa na kila mmoja kwa nguvu), matokeo yake ni mtiririko karibu na rahisi zaidi.
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
31

32. Mito ya matukio

Mchakato wa Markov
Mipasho ya Tukio
Kwa mtiririko rahisi na ukali
muda
wakati T kati ya matukio ya jirani ina kielelezo
usambazaji na wiani
p(x) e x , x 0 .
Kwa utofauti wa nasibu T kuwa na usambazaji wa kielelezo, matarajio ya hisabati ni ulinganifu wa kigezo.
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
32

33. Mchakato wa Markov kwa wakati unaoendelea

Mchakato wa Markov
Michakato ya Markov ya wakati unaoendelea
Kwa kuzingatia michakato iliyo na hali tofauti na wakati unaoendelea, tunaweza kudhani kuwa mabadiliko yote ya mfumo wa S kutoka jimbo hadi jimbo hufanyika chini ya ushawishi.
mtiririko wa tukio rahisi (mitiririko ya simu, mtiririko wa kushindwa, mtiririko wa kurejesha, nk).
Ikiwa mtiririko wote wa matukio ambayo huhamisha mfumo wa S kutoka jimbo hadi jimbo ni rahisi zaidi, basi mchakato unaotokea
mfumo utakuwa Markovian.
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
33

34. Mchakato wa Markov kwa wakati unaoendelea

Mchakato wa Markov
Michakato ya Markov ya wakati unaoendelea
Wacha mfumo wa serikali ufanyiwe kazi
mtiririko rahisi zaidi wa matukio. Mara tu tukio la kwanza la mtiririko huu linaonekana, mfumo "unaruka" kutoka kwa serikali
katika hali.
- ukubwa wa mtiririko wa matukio ya kuhamisha mfumo
kutoka jimboni
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
V
.
34

35. Mchakato wa Markov kwa wakati unaoendelea

Mchakato wa Markov
Michakato ya Markov ya wakati unaoendelea
Wacha mfumo S unaozingatiwa uwe nao
mataifa yanayowezekana
. Uwezekano p ij (t) ni uwezekano wa mpito kutoka hali i hadi hali j kwa wakati t.
Uwezekano wa hali ya i -th
ni uwezekano huo
kwamba wakati t mfumo utakuwa katika hali
. Ni wazi, kwa wakati wowote kwa wakati kiasi
ya uwezekano wote wa serikali ni sawa na moja:
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
35

36. Mchakato wa Markov kwa wakati unaoendelea

Mchakato wa Markov
Michakato ya Markov ya wakati unaoendelea
Ili kupata uwezekano wote wa serikali
Vipi
kazi za wakati, hesabu za tofauti za Kolmogorov zinakusanywa na kutatuliwa - aina maalum ya equation ambayo kazi zisizojulikana ni uwezekano wa majimbo.
Kwa uwezekano wa mpito:
p ij (t) p ik (t) kj
k
Kwa uwezekano usio na masharti:
p j (t) p k (t) kj
k
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
36

37. Kolmogorov Andrey Nikolaevich

Mchakato wa Markov
Kolmogorov Andrey Nikolaevich
1903-1987
Kirusi kubwa
mtaalamu wa hisabati.
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
37

38. Mchakato wa Markov kwa wakati unaoendelea

Mchakato wa Markov
Michakato ya Markov ya wakati unaoendelea
- ukubwa wa mtiririko wa kushindwa;
- nguvu ya mtiririko wa kurejesha.
Wacha mfumo uwe katika serikali
S0. Inahamishwa hadi hali S1 kwa mtiririko
kushindwa kwa kifaa cha kwanza. Ukali wake ni
Wapi
- muda wa wastani wa kifaa.
Mfumo huhamishwa kutoka hali ya S1 hadi S0 na mtiririko wa marejesho
kifaa cha kwanza. Ukali wake ni
Wapi
- muda wa wastani wa kutengeneza mashine ya kwanza.
Uzito wa mtiririko wa tukio ambao huhamisha mfumo kwenye safu zote za grafu huhesabiwa kwa njia sawa.
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
38

39. Mifumo ya foleni

Mchakato wa Markov

Mifano ya mifumo ya huduma ya foleni (QS): kubadilishana simu, maduka ya ukarabati,
tiketi
madaftari ya fedha,
kumbukumbu
Ofisi,
zana za mashine na mifumo mingine ya kiteknolojia,
mifumo
usimamizi
kunyumbulika
mifumo ya uzalishaji,
usindikaji wa habari na seva, nk.
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
39

40. Mifumo ya kupanga foleni

Mchakato wa Markov
Mifumo ya foleni
QS inajumuisha idadi fulani ya huduma
vitengo vinavyoitwa njia za huduma (hizi ni
mashine, roboti, mistari ya mawasiliano, keshia, n.k.). SMO yoyote
imeundwa ili kuhudumia mtiririko wa maombi (mahitaji) yanayofika kwa nyakati nasibu.
Huduma ya ombi inaendelea kwa muda nasibu, baada ya hapo kituo kimeachiliwa na tayari kupokea kinachofuata
maombi.
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
40

41. Mifumo ya kupanga foleni

Mchakato wa Markov
Mifumo ya foleni
Mchakato wa uendeshaji wa QS ni mchakato wa nasibu na tofauti
majimbo na wakati unaoendelea. Hali ya QS inabadilika ghafla wakati wa kutokea kwa baadhi ya matukio
(kuwasili kwa ombi jipya, mwisho wa huduma, wakati,
wakati maombi ambayo yamechoka kusubiri yanaondoka kwenye foleni).
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
41

42. Mifumo ya kupanga foleni

Mchakato wa Markov
Mifumo ya foleni
Uainishaji wa mifumo ya foleni
1. QS na kushindwa;
2. Panga foleni na foleni.
Katika QS iliyokataliwa, ombi lililopokelewa wakati ambapo vituo vyote vina shughuli nyingi hupokea kukataliwa, huacha QS na haipo tena.
aliwahi.
Katika QS yenye foleni, ombi linalofika wakati ambapo chaneli zote ziko busy haliondoki, bali huingia kwenye foleni na kusubiri fursa ya kuhudumiwa.
QS zilizo na foleni zimegawanywa katika aina tofauti kulingana na
inategemea jinsi foleni imepangwa - ndogo au isiyo na kikomo. Vizuizi vinaweza kutumika kwa urefu na wakati wa foleni
matarajio, "nidhamu ya utumishi."
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
42

43. Mifumo ya kupanga foleni

Mchakato wa Markov
Mifumo ya foleni
Mada ya nadharia ya kupanga foleni ni ujenzi
mifano ya hisabati inayounganisha hali fulani
uendeshaji wa QS (idadi ya chaneli, utendaji wao, sheria
kazi, asili ya mtiririko wa maombi) na sifa zinazotuvutia - viashiria vya ufanisi wa QS. Viashiria hivi vinaelezea uwezo wa QS kukabiliana na mtiririko
maombi. Wanaweza kuwa: wastani wa idadi ya maombi yanayotolewa na QS kwa kila kitengo cha muda; idadi ya wastani ya chaneli zenye shughuli nyingi; wastani wa idadi ya maombi kwenye foleni; wastani wa muda wa kusubiri huduma, nk.
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"
43

44.

ASANTE
KWA TAHADHARI!!!
44

45. Tengeneza grafu ya mpito

Mchakato wa Markov
Tengeneza grafu ya mpito
0.30
0.70
0.0
0.10
0.60
0.30
0.50
0.50
0.0
KHNURE, idara PM, mhadhiri Kirichenko L.O.
"Nadharia ya uwezekano, hisabati
takwimu na michakato ya nasibu"

Operesheni nyingi ambazo zinapaswa kuchanganuliwa wakati wa kuchagua suluhisho bora hukua kama michakato ya nasibu kulingana na idadi ya sababu za nasibu.

Kwa maelezo ya hisabati ya shughuli nyingi zinazoendelea katika mfumo wa mchakato wa nasibu, vifaa vya hisabati vilivyotengenezwa katika nadharia ya uwezekano kwa kinachojulikana michakato ya bahati nasibu ya Markov inaweza kutumika kwa mafanikio.

Wacha tueleze wazo la mchakato wa bahati nasibu wa Markov.

Hebu kuwe na mfumo fulani S, ambaye hali yake inabadilika kwa wakati (chini ya mfumo S inaweza kumaanisha chochote: biashara ya viwanda, kifaa cha kiufundi, duka la ukarabati, nk). Ikiwa hali ya mfumo S mabadiliko ya muda kwa njia random, haitabiriki mapema, wanasema kwamba katika mfumo S uvujaji mchakato wa nasibu.

Mifano ya michakato ya nasibu:

mabadiliko ya bei katika soko la hisa;

huduma ya wateja katika saluni ya nywele au duka la ukarabati;

utekelezaji wa mpango wa ugavi kwa kundi la makampuni ya biashara, nk.

Kozi maalum ya kila moja ya michakato hii inategemea idadi ya mambo ya nasibu, ambayo hapo awali hayatabiriki, kama vile:

kuwasili kwa habari zisizotabirika kuhusu mabadiliko ya kisiasa kwenye soko la hisa;

asili ya nasibu ya mtiririko wa maombi (mahitaji) kutoka kwa wateja;

usumbufu wa nasibu katika utekelezaji wa mpango wa usambazaji, nk.

UFAFANUZI. Mchakato wa nasibu unaotokea kwenye mfumo unaitwa Markovian(au mchakato bila matokeo), ikiwa ina mali ifuatayo: kwa kila wakati wa wakati t 0 uwezekano wa hali yoyote ya mfumo katika siku zijazo (na t > t 0) inategemea tu hali yake kwa sasa (na t = t 0) na haitegemei lini na jinsi mfumo ulikuja kwa hali hii (yaani, jinsi mchakato ulivyoendelea hapo awali).

Kwa maneno mengine, katika mchakato wa bahati nasibu wa Markov, maendeleo yake ya baadaye inategemea tu hali ya sasa na haitegemei "historia" ya mchakato.

Hebu tuangalie mfano. Wacha mfumo S inawakilisha soko la hisa ambalo limekuwepo kwa muda mrefu. Tunavutiwa na jinsi mfumo utafanya kazi katika siku zijazo. Ni wazi, angalau kwa makadirio ya kwanza, kwamba sifa za utendaji wa siku zijazo (uwezekano wa kushuka kwa bei ya hisa fulani katika wiki) hutegemea hali ya mfumo kwa sasa (sababu mbalimbali kama hizo). kwani maamuzi ya serikali au matokeo ya uchaguzi yanaweza kuingilia kati hapa) na haitegemei lini na jinsi mfumo huo ulifikia hali yake ya sasa (haitegemei asili ya harakati za bei za hisa hizi hapo awali).

Katika mazoezi, mara nyingi tunakutana na michakato ya nasibu ambayo, kwa viwango tofauti vya kukadiria, inaweza kuchukuliwa kuwa Markovian.

Nadharia ya michakato ya nasibu ya Markov ina anuwai ya matumizi tofauti. Tutapendezwa sana na utumiaji wa nadharia ya michakato ya bahati nasibu ya Markov kwa ujenzi wa mifano ya kihesabu ya shughuli, kozi na matokeo ambayo hutegemea kwa kiasi kikubwa sababu za nasibu.

Michakato ya bahati nasibu ya Markov imegawanywa katika madarasa kulingana na jinsi na kwa wakati gani mfumo wa S" unaweza kubadilisha majimbo yake.

UFAFANUZI. Mchakato wa nasibu unaitwa mchakato na majimbo tofauti, ikiwezekana majimbo ya mfumo s x , s 2 , s v... inaweza kuorodheshwa (kuhesabiwa) moja baada ya nyingine, na mchakato yenyewe ni kwamba mara kwa mara mfumo S anaruka ghafla (papo hapo) kutoka hali moja hadi nyingine.

Kwa mfano, maendeleo ya mradi S inayofanywa kwa pamoja na idara mbili, ambayo kila moja inaweza kufanya makosa. Hali zifuatazo za mfumo zinawezekana:

5, - idara zote mbili zinafanya kazi kwa kawaida;

s 2 - idara ya kwanza ilifanya makosa, ya pili inafanya kazi vizuri;

s 3 - idara ya pili ilifanya makosa, ya kwanza inafanya kazi vizuri;

s 4 - idara zote mbili zilifanya makosa.

Mchakato unaofanyika katika mfumo ni kwamba kwa nasibu wakati fulani husogea ("kuruka") kutoka jimbo hadi jimbo. Mfumo huo una jumla ya majimbo manne yanayowezekana. Mbele yetu ni mchakato wenye majimbo tofauti.

Mbali na michakato iliyo na majimbo tofauti, kuna michakato ya nasibu na majimbo yanayoendelea: michakato hii ina sifa ya mabadiliko ya taratibu, laini kutoka hali hadi hali. Kwa mfano, mchakato wa kubadilisha voltage katika mtandao wa taa ni mchakato wa random na majimbo ya kuendelea.

Tutazingatia michakato ya nasibu tu na majimbo tofauti.

Wakati wa kuchambua michakato ya nasibu na majimbo tofauti, ni rahisi sana kutumia mpango wa kijiometri - kinachojulikana kama grafu ya serikali. Grafu ya serikali kijiometri inaonyesha hali zinazowezekana za mfumo na mabadiliko yake yanayowezekana kutoka jimbo hadi jimbo.

Hebu kuwe na mfumo S na hali tofauti:

Kila jimbo litawakilishwa na mstatili, na mabadiliko yanayowezekana ("kuruka") kutoka hali hadi hali yatawakilishwa na mishale inayounganisha mistatili hii. Mfano wa mchoro wa serikali unaonyeshwa kwenye Mtini. 4.1.

Kumbuka kwamba mishale inaashiria tu mabadiliko ya moja kwa moja kutoka hali hadi hali; ikiwa mfumo unaweza kuhama kutoka kwa serikali s 2 saa 5 3 tu kupitia s y kisha mishale inaashiria mabadiliko tu s 2-> na l, 1 -> 5 3, lakini sivyo s 2 -» s y Hebu tuangalie mifano michache:

1. Mfumo S- kampuni ambayo inaweza kuwa katika mojawapo ya majimbo matano iwezekanavyo: s]- inafanya kazi na faida;

s 2- ilipoteza matarajio yake ya maendeleo na ikaacha kutoa faida;

5 3 - ikawa kitu cha uwezekano wa kuchukua;

s 4- iko chini ya udhibiti wa nje;

s 5- mali ya kampuni iliyofutwa inauzwa kwa mnada.

Grafu ya hali ya kampuni imeonyeshwa kwenye Mtini. 4.2.

Mchele. 4.2

2. Mfumo S- benki yenye matawi mawili. Hali zifuatazo za mfumo zinawezekana:
5, - matawi yote mawili hufanya kazi kwa faida;

s 2 - tawi la kwanza linafanya kazi bila faida, la pili linafanya kazi kwa faida;

5 3 - tawi la pili linafanya kazi bila faida, la kwanza linafanya kazi kwa faida;

s 4 - matawi yote mawili yanafanya kazi bila faida.

Inachukuliwa kuwa hakuna uboreshaji katika hali hiyo.

Grafu ya serikali imeonyeshwa kwenye Mtini. 4.3. Kumbuka kwamba grafu haionyeshi mabadiliko yanayowezekana kutoka kwa jimbo s] moja kwa moja kwa s4, ambayo yatatimia ikiwa benki mara moja itafanya kazi kwa hasara. Uwezekano wa tukio kama hilo unaweza kupuuzwa, kama mazoezi yanathibitisha.

Mchele. 4.3

3. Mfumo S- kampuni ya uwekezaji inayojumuisha wafanyabiashara wawili (idara): I na II; kila mmoja wao anaweza wakati fulani kuanza kufanya kazi kwa hasara. Ikiwa hii itatokea, usimamizi wa kampuni mara moja huchukua hatua za kurejesha uendeshaji wa faida wa idara.

Mfumo unaowezekana unasema: s- shughuli za idara zote mbili ni faida; s 2- idara ya kwanza inarejeshwa, ya pili inafanya kazi kwa faida;

s 3- idara ya kwanza inafanya kazi kwa faida, ya pili inarejeshwa;

s 4- idara zote mbili zinarejeshwa.

Grafu ya hali ya mfumo imeonyeshwa kwenye Mtini. 4.4.

4. Katika hali ya mfano uliopita, shughuli za kila mfanyabiashara, kabla ya kuanza kurejesha kazi ya faida ya idara, ni chini ya utafiti na usimamizi wa kampuni ili kuchukua hatua za kuboresha.

Kwa urahisi, tutahesabu majimbo ya mfumo sio kwa moja, lakini kwa fahirisi mbili; ya kwanza itamaanisha hali ya mfanyabiashara wa kwanza (1 - anafanya kazi na faida, 2 - shughuli zake zinasomwa na usimamizi, 3 - kurejesha shughuli za faida za idara); pili - majimbo sawa kwa mfanyabiashara wa pili. Kwa mfano, S23 itamaanisha: shughuli za mfanyabiashara wa kwanza zinasomwa, ya pili ni kurejesha kazi yenye faida.

Majimbo ya mfumo unaowezekana S:

s u- shughuli za wafanyabiashara wote huleta faida;

s l2- mfanyabiashara wa kwanza anafanya kazi na faida, shughuli za pili zinasomwa na usimamizi wa kampuni;

5 13 - mfanyabiashara wa kwanza anafanya kazi na faida, pili kurejesha shughuli ya faida ya idara;

s 2l- shughuli za mfanyabiashara wa kwanza zinasomwa na usimamizi, wa pili hufanya kazi na faida;

s 22 - shughuli za wafanyabiashara wote wawili zinasomwa na usimamizi;

5 23 - kazi ya mfanyabiashara wa kwanza inasomwa, mfanyabiashara wa pili anarejesha shughuli za faida za idara;
5 31 - mfanyabiashara wa kwanza anarejesha shughuli za faida za idara, ya pili inafanya kazi na faida;
5 32 - shughuli ya faida ya idara inarejeshwa na mfanyabiashara wa kwanza, kazi ya mfanyabiashara wa pili inasoma;
5 33 - wafanyabiashara wote wawili kurejesha kazi ya faida ya idara yao.

Kuna majimbo tisa kwa jumla. Grafu ya serikali imeonyeshwa kwenye Mtini. 4.5.

Mageuzi ambayo baada ya thamani yoyote ya parameta ya wakati t haitegemei mageuzi yaliyoitangulia. t, mradi thamani ya mchakato kwa wakati huu imewekwa (kwa kifupi: "baadaye" na "zamani" ya mchakato hazitegemei kila mmoja na "sasa" inayojulikana).

Mali ambayo hufafanua uwanja wa sumaku kawaida huitwa Markovian; iliundwa kwanza na A. A. Markov. Hata hivyo, tayari katika kazi ya L. Bachelier mtu anaweza kutambua jaribio la kutafsiri mwendo wa Brownian kama mchakato wa sumaku, jaribio ambalo lilipata uhalali baada ya utafiti wa N. Wiener (N. Wiener, 1923). Misingi ya nadharia ya jumla ya michakato ya sumaku inayoendelea ya wakati iliwekwa na A. N. Kolmogorov.

Mali ya Markov. Kuna ufafanuzi wa M. ambao hutofautiana kwa kiasi kikubwa kutoka kwa kila mmoja. Mojawapo ya kawaida zaidi ni yafuatayo. Acha mchakato wa nasibu wenye thamani kutoka kwa nafasi inayoweza kupimika itolewe kwenye nafasi ya uwezekano ambapo T - sehemu ndogo ya mhimili halisi Let NT(mtawalia NT).kuna s-algebra ndani yanayotokana na kiasi X(za).at Wapi Kwa maneno mengine, NT(mtawalia NT) ni seti ya matukio yanayohusiana na mageuzi ya mchakato hadi wakati t (kuanzia t) . Mchakato X(t).unaitwa Mchakato wa Markov ikiwa (karibu hakika) mali ya Markov inashikilia kwa wote:

au, ni nini sawa, ikiwa kwa yoyote

M. p., ambayo T iko katika seti ya nambari za asili, inayoitwa. Mnyororo wa Markov(hata hivyo, neno la mwisho mara nyingi huhusishwa na kesi ya E isiyohesabika zaidi) . Ikiwa ni muda katika zaidi ya kuhesabika, M. inaitwa. wakati unaoendelea mnyororo wa Markov. Mifano ya michakato ya sumaku ya wakati unaoendelea hutolewa na michakato ya uenezaji na michakato yenye nyongeza huru, ikijumuisha michakato ya Poisson na Wiener.

Ifuatayo, kwa uhakika, tutazungumza tu juu ya kesi ya Fomula (1) na (2) kutoa tafsiri ya wazi ya kanuni ya uhuru wa "zamani" na "baadaye" na "sasa" inayojulikana, lakini ufafanuzi wa M. p. kwa msingi wao uligeuka kuwa rahisi kubadilika katika hali hizo nyingi wakati inahitajika kuzingatia sio moja, lakini seti ya masharti ya aina (1) au (2), inayolingana na tofauti, ingawa ilikubaliwa. kwa namna fulani, hatua.Mazingatio ya aina hii yalipelekea kupitishwa kwa ufafanuzi ufuatao (tazama,).

Wacha yafuatayo yapewe:

a) nafasi inayoweza kupimika ambapo s-algebra ina seti zote za nukta moja katika E;

b) nafasi inayoweza kupimika iliyo na familia ya s-algebra ili ikiwa

c) kazi ("trajectory") x t =xt(w) , kufafanua kwa ramani yoyote inayoweza kupimika

d) kwa kila kipimo cha uwezekano kwenye s-algebra ili kwamba chaguo la kukokotoa linaweza kupimika kwa kuzingatia kama na

Seti ya majina (isiyo ya kusitisha) Mchakato wa Markov umefafanuliwa kama -karibu hakika

chochote kinaweza kuwa Hapa - nafasi ya hafla za kimsingi, - nafasi ya awamu au nafasi ya serikali, P( s, x, t, V)- kazi ya mpito au uwezekano wa mpito wa mchakato X(t) . Ikiwa E imejaliwa topolojia, na ni mkusanyiko wa Borel seti E, basi ni kawaida kusema kwamba M. p. imetolewa E. Kwa kawaida, ufafanuzi wa M. p. unajumuisha hitaji kwamba na kisha kufasiriwa kama uwezekano, mradi tu x s =x.

Swali linatokea: ni kila kazi ya mpito ya Markov P( s, x;t, V), ikitolewa katika nafasi inayoweza kupimika inaweza kuzingatiwa kama kitendakazi cha mpito cha nafasi fulani ya M. Jibu ni chanya ikiwa, kwa mfano, E ni nafasi ya ndani inayoweza kutenganishwa, na ni mkusanyiko wa seti za Borel. E. Zaidi ya hayo, basi E - kipimo kamili nafasi na kuruhusu

kwa yeyote pale

A - inayosaidia ya e-jirani ya uhakika X. Kisha uwanja wa sumaku unaolingana unaweza kuzingatiwa kuwa unaendelea kulia na kuwa na mipaka upande wa kushoto (ambayo ni, trajectories zake zinaweza kuchaguliwa kama hivyo). Kuwepo kwa uwanja wa magnetic unaoendelea huhakikishwa na hali ya (tazama,). Katika nadharia ya michakato ya mitambo, tahadhari kuu hulipwa kwa taratibu ambazo ni homogeneous (kwa wakati). Ufafanuzi unaolingana unachukua mfumo fulani vitu a) - d) na tofauti ambayo kwa vigezo s na u vilivyoonekana katika maelezo yake, ni thamani 0 pekee ndiyo inaruhusiwa sasa. Nukuu pia imerahisishwa:

Zaidi ya hayo, homogeneity ya nafasi W inawekwa, yaani, inahitajika kwamba kwa yoyote kuna vile (w) kwa Kutokana na hili, kwenye s-algebra. N, ndogo zaidi kati ya s-algebra katika W iliyo na tukio lolote la fomu, waendeshaji zamu ya saa q wamepewa t, ambayo huhifadhi shughuli za muungano, makutano na uondoaji wa seti na kwa ajili gani

Seti ya majina (isiyo ya kusitisha) mchakato wa Markov wa homogeneous umefafanuliwa ikiwa -karibu hakika

kwa kazi ya Mpito ya mchakato X(t).inazingatiwa P( t, x, V), na, isipokuwa kuna kutoridhishwa maalum, zinahitaji pia kwamba Ni muhimu kukumbuka kuwa wakati wa kuangalia (4) inatosha kuzingatia tu seti za fomu wapi na nini katika (4) kila wakati. Ft inaweza kubadilishwa na s-algebra sawa na makutano ya kukamilika Ft kwa hatua zote zinazowezekana. Mara nyingi, kipimo cha uwezekano m ("usambazaji wa awali") hurekebishwa na chaguo la kukokotoa la Markov huzingatiwa ambapo kipimo kinatolewa na usawa.

M. p. alipiga simu. inaweza kupimika hatua kwa hatua ikiwa kwa kila t>0 chaguo za kukokotoa huleta ramani inayoweza kupimika ambapo s-algebra iko

Borel inaingia ndani . Wabunge wanaoendelea kulia wanaweza kupimika hatua kwa hatua. Kuna njia ya kupunguza kesi tofauti hadi ya homogeneous (tazama), na katika ifuatayo tutazungumza juu ya Wabunge wenye usawa.

Mali ya Markov kabisa. Acha nafasi inayoweza kupimika itolewe na m.

Kazi inaitwa Wakati wa Markov, Kama kwa wote Katika kesi hii, seti imeainishwa kama F t ya familia ikiwa saa (mara nyingi F t inafasiriwa kama seti ya matukio yanayohusiana na mabadiliko ya X(t) hadi wakati t). Kwa kuamini

Inaweza kupimika hatua kwa hatua M. p. Xnaz. mchakato madhubuti wa Markov (s.m.p.), ikiwa kwa wakati wowote wa Markov m na yote na uhusiano

(madhubuti mali ya Markov) inashikilia karibu kabisa kwenye seti W t . Wakati wa kuangalia (5), inatosha kuzingatia tu seti za fomu ambapo katika kesi hii nafasi ya ulinganifu ni, kwa mfano, nafasi yoyote ya usawa ya Fellerian inayoendelea katika topolojia. nafasi E. M. p. alipiga simu. Mchakato wa Feller Markov ikiwa kitendakazi

ni endelevu wakati f inapoendelea na kuwekewa mipaka.

Katika darasa na. m.p. aina fulani ndogo zinatofautishwa. Acha mabadiliko ya Markov ifanye kazi P ( t, x, V), imefafanuliwa katika nafasi ya kipimo cha ndani iliyoshikana E, kuendelea stochastically:

kwa kitongoji chochote cha U cha kila nukta. Kisha ikiwa waendeshaji watachukua ndani yao darasa la utendaji unaoendelea ambao hutoweka kwa ukomo, basi kazi P( t, x, V) hukutana na kiwango cha M. p. X, yaani kuendelea kulia na. m.p., kwa ajili yake

na - karibu hakika juu ya kuweka - Pmarkov wakati kwamba si kupungua kwa ukuaji.

Kukomesha mchakato wa Markov. Mara nyingi kimwili Inashauriwa kuelezea mifumo kwa kutumia uwanja wa sumaku usiomaliza, lakini kwa muda wa muda wa urefu wa nasibu. Kwa kuongezea, hata mabadiliko rahisi ya michakato ya sumaku inaweza kusababisha mchakato na trajectories zilizoainishwa kwa muda wa nasibu (ona. "Inafanya kazi" kutoka kwa mchakato wa Markov). Kwa kuongozwa na mazingatio haya, dhana ya mbunge aliyevunjika inaletwa.

Wacha iwe uwanja wa sumaku wa homogeneous katika nafasi ya awamu iliyo na kitendakazi cha mpito na iwe na uhakika na kazi kama hiyo kwa na vinginevyo (ikiwa hakuna uhifadhi maalum, fikiria). Njia mpya xt(w) imeainishwa tu kwa ajili ya ) kwa njia ya usawa a Ft hufafanuliwa kama ufuatiliaji katika seti

Weka mahali palipoitwa kwa kusitisha mchakato wa Markov (o.m.p.), uliopatikana kutoka kwa kukomesha (au kuua) kwa wakati z. Thamani ya z inaitwa wakati wa mapumziko, au wakati wa maisha, o. m.p. Nafasi ya awamu ya mchakato mpya ni pale ambapo kuna alama ya s-algebra ndani E. Kitendaji cha mpito o. m.p. ni kizuizi kwa Mchakato uliowekwa X(t). mchakato madhubuti wa Markov, au mchakato wa kawaida wa Markov, ikiwa una mali inayolingana. Mbunge asiyemaliza anaweza kuzingatiwa kama o. m.p. ikiwa na wakati wa kuvunjika Tofauti na o. m.p. imedhamiriwa kwa njia sawa. M.

Michakato ya Markov na milinganyo tofauti. Wabunge wa aina ya mwendo wa Brownian wanahusiana kwa karibu na milinganyo ya kimfano tofauti. aina. Uzito wa mpito p(s, x, t, y) ya mchakato wa uenezaji inakidhi, chini ya mawazo fulani ya ziada, hesabu za tofauti na za moja kwa moja za Kolmogorov:

Kazi p( s, x, t, y).ni kazi ya Kijani ya milinganyo (6) - (7), na mbinu za kwanza zinazojulikana za kuunda michakato ya uenezi zilitokana na nadharia juu ya kuwepo kwa chaguo hili la kukokotoa kwa milinganyo tofauti (6) - (7). Kwa mchakato unaofanana kwa wakati, opereta L( s, x)= L(x).kwenye vitendaji laini hupatana na sifa. mwendeshaji M. p. (tazama "Semigroup ya waendeshaji wa mpito").

Hisabati. matarajio ya utendakazi mbalimbali kutoka kwa michakato ya uenezaji hutumika kama suluhu kwa matatizo yanayolingana ya thamani ya mpaka kwa mlinganyo wa kutofautisha (1). Hebu - hisabati. matarajio kwa kipimo Kisha chaguo la kukokotoa linatosheleza saa s equation (6) na hali

Vivyo hivyo, kazi

inatosheleza na s equation

na hali na 2 ( T, x) = 0.

Hebu iwe wakati wa kwanza kufikia mpaka DD mkoa mchakato wa trajectory Kisha, chini ya hali fulani, kazi

inatosheleza equation

na inachukua maadili cp kwenye seti

Suluhisho la tatizo la 1 la thamani ya mpaka kwa kimfano cha mstari wa jumla. Milinganyo ya mpangilio wa 2

chini ya mawazo ya jumla ya haki yanaweza kuandikwa katika fomu

Katika kesi wakati operator L na kazi s, f usitegemee s, Uwakilishi sawa na (9) pia inawezekana kwa kutatua mviringo wa mstari. milinganyo Kwa usahihi zaidi, kazi

chini ya mawazo fulani kuna suluhisho la tatizo

Katika kesi wakati opereta L inapungua (del b( s, x) = 0 ).au mpaka DD si "nzuri" ya kutosha; thamani za mipaka haziwezi kukubaliwa na chaguo za kukokotoa (9), (10) katika pointi mahususi au kwa seti nzima. Wazo la mahali pa mpaka wa kawaida kwa mwendeshaji L ina tafsiri ya uwezekano. Katika sehemu za kawaida za mpaka, maadili ya mipaka yanapatikana kwa kazi (9), (10). Kutatua shida (8), (11) inaturuhusu kusoma mali ya michakato inayolingana ya uenezaji na utendaji wao.

Kuna mbinu za kuunda wabunge ambazo hazitegemei kuunda suluhu za milinganyo (6), (7), kwa mfano. njia milinganyo ya tofauti ya stochastic, mabadiliko yanayoendelea kabisa ya kipimo, n.k. Hali hii, pamoja na fomula (9), (10), inaturuhusu kwa uwezekano wa kujenga na kusoma sifa za matatizo ya thamani ya mpaka kwa mlinganyo (8), pamoja na sifa za suluhisho la elliptic inayolingana. milinganyo

Kwa kuwa suluhu ya mlinganyo wa tofauti wa kistochastiki haujali na kuzorota kwa matrix b( s, x), Hiyo mbinu za uwezekano zilitumiwa kuunda suluhu za kuzorota kwa milinganyo ya utofauti ya duaradufu na kimfano. Upanuzi wa kanuni ya wastani ya N. M. Krylov na N. N. Bogolyubov hadi milinganyo ya tofauti ya stochastic ilifanya iwezekane, kwa kutumia (9), kupata matokeo yanayolingana ya milinganyo ya utofauti ya duaradufu na kimfano. Ilibadilika kuwa inawezekana kutatua shida fulani ngumu za kusoma mali ya suluhisho la hesabu za aina hii na parameta ndogo kwenye derivative ya juu zaidi kwa kutumia mazingatio ya uwezekano. Suluhisho la tatizo la thamani ya mpaka wa 2 kwa mlingano (6) pia lina maana ya uwezekano. Uundaji wa matatizo ya thamani ya mipaka kwa kikoa kisicho na mipaka inahusiana kwa karibu na kurudiwa kwa mchakato unaolingana wa uenezaji.

Katika kesi ya mchakato wa wakati-homogeneous (L haitegemei s), suluhisho chanya la equation, hadi mara kwa mara ya kuzidisha, sanjari chini ya mawazo fulani na msongamano wa usambazaji wa mbunge. Mawazo ya uwezekano pia yanajitokeza kwa kuwa na manufaa wakati wa kuzingatia matatizo ya thamani ya mipaka kwa vielezi visivyo vya mstari. milinganyo. R. 3. Khasminsky.

Mwangaza.: Markov A. A., "Izvestia. Phys.-Mathematics Society ya Chuo Kikuu cha Kazan", 1906, vol. 15, No. 4, p. 135-56; V a s h e l i e r L., "Ann. kisayansi. Ecole kawaida, super.", 1900, v. 17, uk. 21-86; Kolmogorov A.N., "Math. Ann.", 1931, Bd 104, S. 415-458; rus. Transl - "Uspekhi Matematicheskikh Nauk", 1938, karne. 5, uk. 5-41; Zhun Kai-lai, minyororo ya Markov yenye homogeneous, trans. kutoka kwa Kiingereza, M., 1964; R e 1 1 e r W., "Ann. Math.", 1954, v. 60, uk. 417-36; Dynkin E.B., Yushkevich A.A., “Nadharia ya uwezekano na matumizi yake,” 1956, gombo la 1, karne. 1, uk. 149-55; Xant J.-A., Markov michakato na uwezo, trans. kutoka kwa Kiingereza, M., 1962; D e l l a s h e r i K., Uwezo na michakato ya nasibu, trans. kutoka Kifaransa, M., 1975; Dynk na E.V., Misingi ya nadharia ya michakato ya Markov, M., 1959; yeye, Michakato ya Markov, M., 1963; G na h mtu I. I., S k o r o x o d A. V., Nadharia ya michakato ya nasibu, juzuu ya 2, M., 1973; Freidlin M.I., katika kitabu: Matokeo ya Sayansi. Nadharia ya uwezekano, takwimu za hisabati. - Cybernetics ya kinadharia. 1966, M., 1967, p. 7-58; X a sminskiy R. 3., “Nadharia ya uwezekano na matumizi yake,” 1963, gombo la 8, katika . 1, uk. 3-25; Ventzel A.D., Freidlin M.I., Kubadilika kwa mifumo ya nguvu chini ya ushawishi wa usumbufu mdogo wa random, M., 1979; Blumenthal R. M., G e t o r R. K., michakato ya Markov na nadharia inayowezekana, N.Y.-L., 1968; Getоor R. K., taratibu za Markov: Michakato ya Ray na taratibu sahihi, V., 1975; Kuznetsov S.E., “Nadharia ya Uwezekano na matumizi yake,” 1980, gombo la 25, karne. 2, uk. 389-93.