Ni umbali gani kati ya mistari miwili iliyonyooka. Taasisi ya elimu ya manispaa "Shule ya Msingi ya Upshinskaya"

Umbali

kutoka hatua hadi mstari

Umbali kati ya mistari sambamba

Jiometri, daraja la 7

Kwa kitabu cha maandishi na L.S. Atanasyan

mwalimu wa hisabati wa kitengo cha juu zaidi

Taasisi ya elimu ya manispaa "Shule ya Msingi ya Upshinskaya"

Wilaya ya Orsha ya Jamhuri ya Mari El

Urefu wa perpendicular inayotolewa kutoka kwa uhakika hadi mstari, kuitwa umbali kutoka hatua hii hadi moja kwa moja.

AN ⏊ A

M є a, M ni tofauti na N

Perpendicular , inayochorwa kutoka kwa uhakika hadi mstari, kidogo yoyote kutega , inayotolewa kutoka sehemu moja hadi kwenye mstari huu.

AM – elekea, Imechorwa kutoka hatua A hadi mstari a

AN AM

AN - kutega

AN AN

AN AK

AK - kutega

Umbali kutoka hatua hadi mstari

Umbali kutoka kwa uhakika M hadi mstari wa moja kwa moja c ni...

Umbali kutoka nukta N hadi mstari c ni...

Umbali kutoka kwa uhakika K hadi mstari wa moja kwa moja c ni...

Umbali kutoka kwa uhakika F hadi mstari wa moja kwa moja c ni...

Umbali kutoka hatua hadi mstari

AN ⏊ A

AN= 5.2 cm

VC ⏊ A

VC= 2.8 cm

Nadharia.

Pointi zote za kila moja ya mistari miwili inayofanana ziko sawa kutoka kwa mstari mwingine

Imetolewa: a ǁ b

A є a, B є a,

Thibitisha: umbali kutoka kwa pointi A na B hadi mstari a ni sawa.

AN ⏊ b,BK ⏊ b,

Thibitisha: AH = BK

Δ ANK = ΔVKA(Kwa nini?)

Kutoka kwa usawa wa pembetatu inafuata AN = BK

Umbali kutoka kwa hatua ya kiholela ya moja ya mistari inayofanana hadi mstari mwingine inaitwa umbali kati ya mistari hii.

Nadharia ya mazungumzo.

Pointi zote za ndege ziko upande mmoja wa mstari uliopewa na usawa kutoka kwake ziko kwenye mstari unaofanana na uliopewa.

AN ⏊ b,BK ⏊ b,

AH = BK

Thibitisha: AB ǁ b

Δ ANK = ΔKVA(Kwa nini?)

Kutoka kwa usawa wa pembetatu ifuatavyo … , lakini hizi ni pembe za ndani zilizoundwa … , ina maana AB ǁ NK

Ni umbali gani kati ya mistari b na c, ikiwa umbali kati ya mistari A na b ni sawa na 4, na kati ya mistari A na c sawa na 5?

A ǁ b ǁ c

Ni umbali gani kati ya mistari b na a, ikiwa umbali kati ya mistari b na c ni 7, na kati ya mistari A na c sawa na 2?

Ni umbali gani kati ya mistari A na c, ikiwa umbali kati ya mistari b na c ni 10, na kati ya mistari b Na a sawa na 6?

Ni seti gani ya alama zote kwenye ndege ambazo ni za usawa kutoka kwa mistari miwili iliyopeanwa inayofanana?

A ǁ b

Jibu: Mstari sambamba na mistari hii na iko katika umbali sawa kutoka kwao.

Ni seti gani ya alama zote kwenye ndege iliyo umbali fulani kutoka kwa mstari fulani?

Jibu: Mistari miwili inayowiana na mstari uliopeanwa na iko kwenye umbali uliopeanwa kwa pande tofauti.

Oh-oh-oh-oh-oh ... vizuri, ni ngumu, kana kwamba alikuwa akijisomea sentensi =) Hata hivyo, kupumzika kutasaidia baadaye, hasa tangu leo nilinunua vifaa vinavyofaa. Kwa hivyo, wacha tuendelee kwenye sehemu ya kwanza, natumai kuwa mwisho wa kifungu nitadumisha hali ya furaha.

Nafasi ya jamaa ya mistari miwili iliyonyooka

Hivi ndivyo hali ya hadhira inapoimba kwa pamoja. Mistari miwili iliyonyooka inaweza:

1) mechi;

2) kuwa sambamba:;

3) au vuka katika sehemu moja: .

Msaada kwa dummies : Tafadhali kumbuka ishara ya makutano ya hisabati, itaonekana mara nyingi sana. Nukuu ina maana kwamba mstari unaingiliana na mstari kwa uhakika.

Jinsi ya kuamua msimamo wa jamaa wa mistari miwili?

Wacha tuanze na kesi ya kwanza:

Mistari miwili inalingana ikiwa na ikiwa tu migawo inayolingana ni sawia, yaani, kuna nambari "lambda" kiasi kwamba usawa unaridhika

Hebu fikiria mistari ya moja kwa moja na kuunda equations tatu kutoka kwa coefficients sambamba:. Kutoka kwa kila equation inafuata kwamba, kwa hiyo, mistari hii inafanana.

Hakika, ikiwa coefficients yote ya equation zidisha kwa -1 (badilisha ishara), na coefficients zote za equation kata na 2, unapata equation sawa:.

Kesi ya pili, wakati mistari inafanana:

Mistari miwili ni sambamba ikiwa na ikiwa tu mgawo wao wa vigeuzo ni sawia: , Lakini.

Kwa mfano, fikiria mistari miwili iliyonyooka. Tunaangalia uwiano wa coefficients sambamba kwa vigezo:

Hata hivyo, ni dhahiri kabisa kwamba.

Na kesi ya tatu, wakati mistari inapita:

Mistari miwili huingiliana ikiwa na ikiwa tu migawo yao ya vigeuzo HAINA uwiano, yaani, HAKUNA thamani kama hiyo ya "lambda" ambayo usawa unaridhika

Kwa hivyo, kwa mistari iliyonyooka tutaunda mfumo:

Kutoka kwa equation ya kwanza inafuata kwamba , na kutoka kwa equation ya pili: , ambayo ina maana mfumo hauendani(hakuna masuluhisho). Kwa hivyo, coefficients ya vigezo si sawia.

Hitimisho: mistari huingiliana

Katika matatizo ya vitendo, unaweza kutumia mpango wa ufumbuzi uliojadiliwa hivi karibuni. Kwa njia, inawakumbusha sana algorithm ya kuangalia veta kwa collinearity, ambayo tuliiangalia darasani. Wazo la utegemezi wa mstari (katika) wa vekta. Msingi wa vectors. Lakini kuna kifurushi cha kistaarabu zaidi:

Mfano 1

Jua msimamo wa jamaa wa mistari:

Suluhisho kulingana na utafiti wa kuelekeza vekta za mistari iliyonyooka:

a) Kutoka kwa hesabu tunapata veta za mwelekeo wa mistari: .

, ambayo ina maana kwamba vekta si collinear na mistari intersect.

Ikiwezekana, nitaweka jiwe lenye ishara kwenye njia panda:

Wengine wanaruka juu ya jiwe na kufuata zaidi, moja kwa moja hadi Kashchei the Immortal =)

b) Tafuta veta za mwelekeo wa mistari:

Mistari hiyo ina vekta ya mwelekeo sawa, ambayo inamaanisha kuwa ni sawa au sanjari. Hakuna haja ya kuhesabu kiashiria hapa.

Ni dhahiri kwamba coefficients ya haijulikani ni sawia, na.

Wacha tujue ikiwa usawa ni kweli:

Hivyo,

c) Tafuta veta za mwelekeo wa mistari:

Wacha tuhesabu kibainishi kinachoundwa na kuratibu za veta hizi:
, kwa hiyo, vekta za mwelekeo ni collinear. Mistari ni ama sambamba au sanjari.

Mgawo wa uwiano "lambda" ni rahisi kuona moja kwa moja kutoka kwa uwiano wa vekta za mwelekeo wa collinear. Walakini, inaweza pia kupatikana kupitia coefficients ya equations zenyewe: .

Sasa hebu tujue kama usawa ni kweli. Masharti yote mawili ya bure ni sifuri, kwa hivyo:

Thamani inayotokana inatosheleza mlingano huu (nambari yoyote kwa ujumla inatosheleza).

Kwa hivyo, mistari inalingana.

Jibu:

Hivi karibuni utajifunza (au hata tayari umejifunza) kutatua tatizo lililojadiliwa kwa maneno halisi katika suala la sekunde. Katika suala hili, sioni hatua yoyote ya kutoa chochote kwa ufumbuzi wa kujitegemea ni bora kuweka matofali mengine muhimu katika msingi wa kijiometri:

Jinsi ya kuunda mstari sambamba na uliyopewa?

Kwa kutojua kazi hii rahisi zaidi, Nightingale the Robber inaadhibu vikali.

Mfano 2

Mstari wa moja kwa moja hutolewa na equation. Andika mlinganyo wa mstari sambamba unaopita kwenye nukta.

Suluhisho: Hebu tuonyeshe mstari usiojulikana kwa herufi. Je, hali inasema nini juu yake? Mstari wa moja kwa moja hupitia hatua. Na ikiwa mistari inafanana, basi ni dhahiri kwamba vector ya mwelekeo wa mstari wa moja kwa moja "tse" pia inafaa kwa ajili ya kujenga mstari wa moja kwa moja "de".

Tunachukua vekta ya mwelekeo kutoka kwa equation:

Jibu:

Mfano wa jiometri inaonekana rahisi:

Mtihani wa uchambuzi unajumuisha hatua zifuatazo:

1) Tunaangalia kuwa mistari ina vekta ya mwelekeo sawa (ikiwa equation ya mstari haijarahisishwa vizuri, basi vekta zitakuwa collinear).

2) Angalia ikiwa nukta inakidhi mlinganyo unaotokana.

Katika hali nyingi, uchunguzi wa uchambuzi unaweza kufanywa kwa mdomo kwa urahisi. Angalia hesabu mbili, na wengi wenu mtaamua haraka usawa wa mistari bila kuchora yoyote.

Mifano ya ufumbuzi wa kujitegemea leo itakuwa ya ubunifu. Kwa sababu bado utalazimika kushindana na Baba Yaga, na yeye, unajua, ni mpenzi wa kila aina ya vitendawili.

Mfano 3

Andika mlinganyo wa mstari unaopita kwenye nukta sambamba na mstari kama

Kuna njia ya busara na sio ya busara ya kuisuluhisha. Njia fupi zaidi iko mwisho wa somo.

Tulifanya kazi kidogo na mistari inayofanana na tutarudi kwao baadaye. Kesi ya mistari inayolingana haipendezi sana, kwa hivyo hebu tuzingatie shida ambayo unaifahamu sana kutoka kwa mtaala wa shule:

Jinsi ya kupata hatua ya makutano ya mistari miwili?

Ikiwa moja kwa moja intersect at point , basi kuratibu zake ndio suluhisho mifumo ya milinganyo ya mstari

Jinsi ya kupata hatua ya makutano ya mistari? Tatua mfumo.

Haya basi maana ya kijiometri ya mfumo wa milinganyo miwili ya mstari na mbili zisizojulikana- hizi ni mistari miwili inayoingiliana (mara nyingi) kwenye ndege.

Mfano 4

Tafuta mahali pa makutano ya mistari

Suluhisho: Kuna njia mbili za kutatua - graphical na uchambuzi.

Njia ya picha ni kuchora tu mistari hii na kujua sehemu ya makutano moja kwa moja kutoka kwa mchoro:

Hapa kuna hoja yetu:. Kuangalia, unapaswa kubadilisha viwianishi vyake katika kila mlinganyo wa mstari zinapaswa kutoshea pale na pale. Kwa maneno mengine, kuratibu za uhakika ni suluhisho kwa mfumo. Kimsingi, tuliangalia suluhisho la picha mifumo ya milinganyo ya mstari na equations mbili, mbili haijulikani.

Njia ya graphical ni, bila shaka, si mbaya, lakini kuna hasara zinazoonekana. Hapana, suala sio kwamba wanafunzi wa darasa la saba wanaamua hivi, uhakika ni kwamba itachukua muda kuunda mchoro sahihi na SAHIHI. Kwa kuongeza, baadhi ya mistari ya moja kwa moja si rahisi sana kujenga, na hatua ya makutano yenyewe inaweza kuwa iko mahali fulani katika ufalme wa thelathini nje ya karatasi ya daftari.

Kwa hiyo, ni vyema zaidi kutafuta hatua ya makutano kwa kutumia njia ya uchambuzi. Wacha tusuluhishe mfumo:

Ili kutatua mfumo, njia ya kuongeza muda kwa muda wa equations ilitumiwa. Ili kukuza ustadi unaofaa, chukua somo Jinsi ya kutatua mfumo wa equations?

Jibu:

Cheki ni kidogo - viwianishi vya sehemu ya makutano lazima vikidhi kila equation ya mfumo.

Mfano 5

Tafuta sehemu ya makutano ya mistari ikiwa inaingiliana.

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Ni rahisi kugawanya kazi katika hatua kadhaa. Uchambuzi wa hali hiyo unaonyesha kuwa ni muhimu:
1) Andika equation ya mstari wa moja kwa moja.
2) Andika equation ya mstari wa moja kwa moja.
3) Jua msimamo wa jamaa wa mistari.
4) Ikiwa mistari inaingiliana, basi pata hatua ya makutano.

Uendelezaji wa algorithm ya hatua ni ya kawaida kwa matatizo mengi ya kijiometri, na nitazingatia mara kwa mara juu ya hili.

Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa somo:

Hata jozi ya viatu haikuchakaa kabla ya kufika sehemu ya pili ya somo:

Mistari ya perpendicular. Umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari.
Pembe kati ya mistari iliyonyooka

Hebu tuanze na kazi ya kawaida na muhimu sana. Katika sehemu ya kwanza, tulijifunza jinsi ya kujenga mstari wa moja kwa moja sambamba na hii, na sasa kibanda kwenye miguu ya kuku kitageuka digrii 90:

Jinsi ya kuunda mstari wa perpendicular kwa uliyopewa?

Mfano 6

Mstari wa moja kwa moja hutolewa na equation. Andika equation perpendicular kwa mstari unaopita kwenye uhakika.

Suluhisho: Kwa sharti inajulikana kuwa. Itakuwa nzuri kupata vector inayoongoza ya mstari. Kwa kuwa mistari ni ya perpendicular, hila ni rahisi:

Kutoka kwa equation sisi "kuondoa" vector ya kawaida: , ambayo itakuwa vector inayoongoza ya mstari wa moja kwa moja.

Wacha tutunge hesabu ya mstari wa moja kwa moja kwa kutumia nukta na vekta ya mwelekeo:

Jibu:

Wacha tupanue mchoro wa kijiometri:

Hmmm ... Anga ya machungwa, bahari ya machungwa, ngamia ya machungwa.

Uthibitishaji wa uchambuzi wa suluhisho:

1) Tunachukua vekta za mwelekeo kutoka kwa hesabu na kwa msaada bidhaa ya scalar ya vekta tunafikia hitimisho kwamba mistari ni ya kawaida: .

Kwa njia, unaweza kutumia vectors ya kawaida, ni rahisi zaidi.

2) Angalia ikiwa nukta inakidhi mlinganyo unaotokana .

Mtihani, tena, ni rahisi kufanya kwa mdomo.

Mfano 7

Pata hatua ya makutano ya mistari ya perpendicular ikiwa equation inajulikana na kipindi.

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Kuna vitendo kadhaa katika shida, kwa hivyo ni rahisi kuunda suluhisho kwa hatua.

Safari yetu ya kusisimua inaendelea:

Umbali kutoka hatua hadi mstari

Mbele yetu kuna ukanda ulionyooka wa mto na kazi yetu ni kuufikia kwa njia fupi zaidi. Hakuna vikwazo, na njia bora zaidi itakuwa kusonga kando ya perpendicular. Hiyo ni, umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari ni urefu wa sehemu ya perpendicular.

Umbali katika jiometri kwa jadi unaonyeshwa na barua ya Kigiriki "rho", kwa mfano: - umbali kutoka kwa uhakika "em" hadi mstari wa moja kwa moja "de".

Umbali kutoka hatua hadi mstari iliyoonyeshwa na fomula

Mfano 8

Tafuta umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari

Suluhisho: unachohitaji kufanya ni kubadilisha nambari kwa uangalifu kwenye fomula na kufanya mahesabu:

Jibu:

Wacha tufanye mchoro:

Umbali uliopatikana kutoka kwa uhakika hadi kwenye mstari ni urefu kamili wa sehemu nyekundu. Ikiwa utachora mchoro kwenye karatasi iliyotiwa alama kwenye mizani ya kitengo 1. = 1 cm (seli 2), basi umbali unaweza kupimwa na mtawala wa kawaida.

Wacha tuchunguze kazi nyingine kulingana na mchoro sawa:

Kazi ni kupata kuratibu za hatua ambayo ni ulinganifu kwa uhakika kuhusiana na mstari wa moja kwa moja . Ninapendekeza kufanya hatua mwenyewe, lakini nitaelezea algorithm ya suluhisho na matokeo ya kati:

1) Tafuta mstari ambao ni perpendicular kwa mstari.

2) Tafuta mahali pa makutano ya mistari: .

Vitendo vyote viwili vimejadiliwa kwa kina katika somo hili.

3) Hatua ni katikati ya sehemu. Tunajua kuratibu za katikati na moja ya mwisho. Na fomula za kuratibu za sehemu ya kati ya sehemu tunapata.

Itakuwa wazo nzuri kuangalia kuwa umbali pia ni vitengo 2.2.

Ugumu unaweza kutokea katika mahesabu hapa, lakini microcalculator ni msaada mkubwa katika mnara, hukuruhusu kuhesabu sehemu za kawaida. Nimekushauri mara nyingi na nitakupendekeza tena.

Jinsi ya kupata umbali kati ya mistari miwili inayofanana?

Mfano 9

Tafuta umbali kati ya mistari miwili inayofanana

Huu ni mfano mwingine kwako kuamua mwenyewe. Nitakupa kidokezo kidogo: kuna njia nyingi za kutatua hili. Kujadiliana mwishoni mwa somo, lakini ni bora kujaribu kujikisia mwenyewe, nadhani ujanja wako ulikuzwa vizuri.

Pembe kati ya mistari miwili iliyonyooka

Kila kona ni jamb:

Katika jiometri, pembe kati ya mistari miwili ya moja kwa moja inachukuliwa kuwa angle ndogo, ambayo inafuata moja kwa moja kwamba haiwezi kuwa butu. Katika takwimu, pembe iliyoonyeshwa na arc nyekundu haizingatiwi pembe kati ya mistari ya kuingiliana. Na jirani yake "kijani" au yenye mwelekeo kinyume kona ya "raspberry".

Ikiwa mistari ni perpendicular, basi yoyote ya pembe 4 inaweza kuchukuliwa kama pembe kati yao.

Je, pembe ni tofautije? Mwelekeo. Kwanza, mwelekeo ambao pembe "imezungushwa" ni muhimu sana. Pili, pembe yenye mwelekeo hasi imeandikwa kwa ishara ya kuondoa, kwa mfano ikiwa .

Kwa nini nilikuambia hivi? Inaonekana kwamba tunaweza kupata na dhana ya kawaida ya pembe. Ukweli ni kwamba fomula ambazo tutapata pembe zinaweza kusababisha matokeo hasi kwa urahisi, na hii haipaswi kukushangaza. Pembe iliyo na ishara ya minus sio mbaya zaidi, na ina maana maalum ya kijiometri. Katika kuchora, kwa pembe mbaya, hakikisha unaonyesha mwelekeo wake na mshale (saa ya saa).

Jinsi ya kupata pembe kati ya mistari miwili iliyonyooka? Kuna fomula mbili za kufanya kazi:

Mfano 10

Tafuta pembe kati ya mistari

Suluhisho Na Mbinu ya kwanza

Wacha tuchunguze mistari miwili iliyonyooka iliyofafanuliwa na hesabu kwa fomu ya jumla:

Ikiwa moja kwa moja sio perpendicular, Hiyo iliyoelekezwa Pembe kati yao inaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula:

Hebu tuzingalie kwa makini denominator - hii ni hasa bidhaa ya scalar kuelekeza vekta za mistari iliyonyooka:

Ikiwa , basi denominator ya formula inakuwa sifuri, na vectors itakuwa orthogonal na mistari itakuwa perpendicular. Ndio maana uhifadhi ulifanywa kuhusu kutokuwa na usawa wa mistari iliyonyooka katika uundaji.

Kulingana na hapo juu, ni rahisi kurasimisha suluhisho katika hatua mbili:

1) Wacha tuhesabu bidhaa ya scalar ya veta za mwelekeo wa mistari:
, ambayo ina maana kwamba mistari sio perpendicular.

2) Tafuta pembe kati ya mistari iliyonyooka kwa kutumia formula:

Kutumia kazi ya inverse, ni rahisi kupata angle yenyewe. Katika kesi hii, tunatumia hali isiyo ya kawaida ya arctangent (tazama. Grafu na mali ya kazi za msingi):

Jibu:

Katika jibu lako, tunaonyesha thamani kamili, pamoja na thamani ya takriban (ikiwezekana katika digrii zote mbili na radiani), iliyohesabiwa kwa kutumia kikokotoo.

Kweli, minus, minus, hakuna jambo kubwa. Hapa kuna kielelezo cha kijiometri:

Haishangazi kwamba pembe iligeuka kuwa ya mwelekeo mbaya, kwa sababu katika taarifa ya tatizo nambari ya kwanza ni mstari wa moja kwa moja na "kufungua" kwa pembe ilianza kwa usahihi.

Ikiwa unataka kupata pembe chanya, unahitaji kubadilishana mistari, ambayo ni, kuchukua coefficients kutoka kwa equation ya pili. , na uchukue coefficients kutoka kwa mlinganyo wa kwanza. Kwa kifupi, unahitaji kuanza na moja kwa moja .

Nakala hii inaangazia kutafuta umbali kati ya mistari ya kuvuka kwa kutumia njia ya kuratibu. Kwanza, ufafanuzi wa umbali kati ya mistari ya kuingiliana hutolewa. Ifuatayo, algorithm inapatikana ambayo inaruhusu mtu kupata umbali kati ya mistari ya kuvuka. Kwa kumalizia, suluhisho la mfano linachambuliwa kwa undani.

Urambazaji wa ukurasa.

Umbali kati ya mistari ya kuvuka - ufafanuzi.

Kabla ya kutoa ufafanuzi wa umbali kati ya mistari ya skew, hebu tukumbuke ufafanuzi wa mistari ya skew na kuthibitisha nadharia inayohusiana na mistari ya skew.

Ufafanuzi.

- huu ni umbali kati ya moja ya mistari inayoingiliana na ndege inayofanana nayo ikipitia mstari mwingine.

Kwa upande wake, umbali kati ya mstari wa moja kwa moja na ndege inayofanana nayo ni umbali kutoka kwa sehemu fulani ya mstari wa moja kwa moja hadi kwenye ndege. Kisha uundaji wafuatayo wa ufafanuzi wa umbali kati ya mistari ya kuvuka ni halali.

Ufafanuzi.

Umbali kati ya mistari ya kuvuka ni umbali kutoka sehemu fulani ya moja ya mistari inayokatiza hadi kwenye ndege inayopita kwenye mstari mwingine sambamba na mstari wa kwanza.

Fikiria mistari ya kuvuka a na b. Hebu tuweke alama ya uhakika M 1 kwenye mstari a, kuchora ndege sambamba na mstari wa kupitia mstari b, na kutoka kwa uhakika M 1 chini ya perpendicular M 1 H 1 kwa ndege. Urefu wa perpendicular M 1 H 1 ni umbali kati ya mistari ya kuvuka a na b.

Kutafuta umbali kati ya mistari ya kuvuka - nadharia, mifano, ufumbuzi.

Wakati wa kupata umbali kati ya mistari ya kuvuka, ugumu kuu mara nyingi ni kuona au kujenga sehemu ambayo urefu wake ni sawa na umbali unaohitajika. Ikiwa sehemu hiyo imejengwa, basi, kulingana na hali ya tatizo, urefu wake unaweza kupatikana kwa kutumia theorem ya Pythagorean, ishara za usawa au kufanana kwa pembetatu, nk. Hivi ndivyo tunavyofanya tunapopata umbali kati ya mistari inayoingiliana katika masomo ya jiometri katika darasa la 10-11.

Ikiwa Oxyz imetambulishwa katika nafasi ya tatu-dimensional na mistari ya kuingiliana a na b hutolewa ndani yake, basi njia ya kuratibu inatuwezesha kukabiliana na kazi ya kuhesabu umbali kati ya mistari iliyopewa ya kuingiliana. Hebu tuangalie kwa undani.

Hebu iwe ndege inayopitia mstari b, sambamba na mstari a. Kisha umbali unaohitajika kati ya mistari ya kuvuka a na b ni, kwa ufafanuzi, sawa na umbali kutoka kwa hatua fulani M 1 iliyo kwenye mstari a hadi ndege. Kwa hivyo, ikiwa tunaamua kuratibu za hatua fulani M 1 iliyo kwenye mstari a, na kupata equation ya kawaida ya ndege katika fomu, basi tunaweza kuhesabu umbali kutoka kwa uhakika. kwa ndege kwa kutumia fomula (fomula hii ilipatikana katika kifungu kutafuta umbali kutoka kwa uhakika hadi ndege). Na umbali huu ni sawa na umbali unaohitajika kati ya mistari ya kuvuka.

Sasa kwa undani.

Shida inakuja kupata kuratibu za hatua M 1 iliyo kwenye mstari a na kupata usawa wa kawaida wa ndege.

Hakuna matatizo katika kuamua kuratibu za uhakika M 1 ikiwa unajua vizuri aina za msingi za equations za mstari wa moja kwa moja kwenye nafasi. Lakini inafaa kukaa kwa undani zaidi juu ya kupata equation ya ndege.

Ikiwa tunaamua kuratibu za hatua fulani M 2 ambayo ndege hupita, na pia kupata vector ya kawaida ya ndege katika fomu. , basi tunaweza kuandika mlinganyo wa jumla wa ndege kama .

Kama hatua ya M 2, unaweza kuchukua hatua yoyote iliyo kwenye mstari b, kwani ndege hupitia mstari b. Kwa hivyo, kuratibu za uhakika M 2 zinaweza kuzingatiwa kupatikana.

Inabakia kupata kuratibu za vector ya kawaida ya ndege. Hebu tufanye.

Ndege hupitia mstari b na ni sambamba na mstari a. Kwa hivyo, vekta ya kawaida ya ndege ni ya kawaida kwa vekta ya mwelekeo wa mstari a (wacha tuonyeshe) na vekta ya mwelekeo wa mstari b (wacha tuonyeshe). Kisha tunaweza kuchukua na kama vekta, yaani,. Baada ya kuamua kuratibu na vekta za mwelekeo wa mistari ya moja kwa moja a na b na iliyohesabiwa , tutapata kuratibu za vector ya kawaida ya ndege.

Kwa hivyo, tunayo usawa wa jumla wa ndege:.

Kinachobaki ni kuleta usawa wa jumla wa ndege kwa fomu ya kawaida na kuhesabu umbali unaohitajika kati ya mistari ya kuvuka a na b kwa kutumia fomula.

Hivyo, kupata umbali kati ya kuvuka mistari a na b unahitaji:

Wacha tuangalie suluhisho la mfano.

Mfano.

Katika nafasi ya tatu-dimensional katika mfumo wa kuratibu wa mstatili Oxyz, mistari miwili ya moja kwa moja inayoingiliana a na b hutolewa. Mstari wa moja kwa moja a umedhamiriwa

Haikupita hata dakika moja kabla ya kuunda faili mpya ya Verdov na kuendelea na mada ya kupendeza kama hii. Unahitaji kunasa wakati wa hali ya kufanya kazi, kwa hivyo hakutakuwa na utangulizi wa sauti. Kutakuwa na kupigwa kwa prosaic =)

Nafasi mbili za moja kwa moja zinaweza:

1) kuzaliana;

2) kuingilia kati kwa uhakika;

3) kuwa sambamba;

4) mechi.

Kesi nambari 1 kimsingi ni tofauti na kesi zingine. Mistari miwili iliyonyooka hukatiza ikiwa haijalala kwenye ndege moja. Inua mkono mmoja juu na upanue mkono mwingine mbele - hapa kuna mfano wa kuvuka mistari. Katika pointi No 2-4 mistari ya moja kwa moja lazima uongo katika ndege moja.

Jinsi ya kujua nafasi za jamaa za mistari kwenye nafasi?

Fikiria nafasi mbili za moja kwa moja:

- mstari wa moja kwa moja unaoelezwa na uhakika na vector ya mwelekeo;
- mstari wa moja kwa moja unaoelezwa na uhakika na vector ya mwelekeo.

Kwa ufahamu bora, wacha tufanye mchoro wa kimkakati:

Mchoro unaonyesha mistari iliyonyooka inayokatiza kama mfano.

Jinsi ya kukabiliana na mistari hii moja kwa moja?

Kwa kuwa pointi zinajulikana, ni rahisi kupata vector.

Ikiwa moja kwa moja kuchana, kisha vekta sio coplanar(tazama somo Utegemezi wa mstari (usio) wa vekta. Msingi wa vectors), na, kwa hiyo, kiashiria kinachojumuisha kuratibu zao sio sifuri. Au, ambayo kwa kweli ni kitu kimoja, itakuwa sio sifuri: .

Katika kesi No 2-4, muundo wetu "huanguka" kwenye ndege moja, na vectors coplanar, na bidhaa iliyochanganywa ya vekta zinazotegemea mstari ni sawa na sifuri: .

Hebu kupanua algorithm zaidi. Hebu kujifanya hivyo Kwa hiyo, mistari ama inaingiliana, ni sambamba, au sanjari.

Ikiwa veta za mwelekeo colinear, basi mistari ni ama sambamba au sanjari. Kwa msumari wa mwisho, napendekeza mbinu ifuatayo: kuchukua hatua yoyote kwenye mstari mmoja na ubadilishe kuratibu zake katika equation ya mstari wa pili; ikiwa kuratibu "zinafaa," basi mistari inafanana;

Algorithm ni rahisi, lakini mifano ya vitendo bado itasaidia:

Mfano 11

Jua msimamo wa jamaa wa mistari miwili

Suluhisho: kama ilivyo katika shida nyingi za jiometri, ni rahisi kuunda suluhisho kwa nukta:

1) Tunachukua vidokezo na viboreshaji vya mwelekeo kutoka kwa hesabu:

2) Tafuta vekta:

Kwa hivyo, vekta ni coplanar, ambayo ina maana kwamba mistari iko kwenye ndege moja na inaweza kuingiliana, kuwa sambamba, au sanjari.

4) Wacha tuangalie vekta za mwelekeo kwa collinearity.

Wacha tuunde mfumo kutoka kwa kuratibu zinazolingana za veta hizi:

Kutoka kila mtu equations ifuatavyo kwamba, kwa hiyo, mfumo ni thabiti, kuratibu sambamba za vectors ni sawia, na vectors ni collinear.

Hitimisho: mistari ni sambamba au sanjari.

5) Jua ikiwa mistari ina alama za kawaida. Wacha tuchukue hatua ya mstari wa kwanza na tubadilishe kuratibu zake katika hesabu za mstari:

Kwa hivyo, mistari haina pointi za kawaida, na hawana chaguo ila kuwa sambamba.

Jibu:

Mfano wa kuvutia wa kutatua peke yako:

Mfano 12

Jua nafasi za jamaa za mistari

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Tafadhali kumbuka kuwa mstari wa pili una herufi kama kigezo. Mantiki. Kwa ujumla, hizi ni mistari miwili tofauti, hivyo kila mstari una parameter yake.

Na tena nakuomba usiruke mifano, kazi ninazopendekeza ni mbali na nasibu ;-)

Matatizo na mstari katika nafasi

Katika sehemu ya mwisho ya somo, nitajaribu kuzingatia idadi kubwa ya shida tofauti na mistari ya anga. Katika kesi hii, utaratibu wa asili wa hadithi utazingatiwa: kwanza tutazingatia matatizo na mistari ya kuvuka, kisha kwa mistari ya kuingiliana, na mwisho tutazungumzia juu ya mistari inayofanana katika nafasi. Walakini, lazima niseme kwamba kazi zingine za somo hili zinaweza kutengenezwa kwa visa kadhaa vya eneo la mistari mara moja, na katika suala hili, mgawanyiko wa sehemu hiyo katika aya ni ya kiholela. Kuna mifano rahisi, kuna mifano ngumu zaidi, na tunatumai kila mtu atapata kile anachohitaji.

Kuvuka mistari

Acha nikukumbushe kwamba mistari iliyonyooka hukatiza ikiwa hakuna ndege ambayo wote wawili wamelala. Nilipokuwa nikifikiria mazoezi hayo, tatizo la mnyama mkubwa lilikuja akilini mwangu, na sasa ninafurahi kuwasilisha kwako joka lenye vichwa vinne:

Mfano 13

Imepewa mistari iliyonyooka. Inahitajika:

a) thibitisha kuwa mistari inakatiza;

b) kupata equations ya mstari kupita kwa uhakika perpendicular kwa mistari iliyotolewa;

c) kutunga milinganyo ya mstari ulionyooka ambao una kawaida perpendicular kuvuka mistari;

d) pata umbali kati ya mistari.

Suluhisho: Anayetembea atamiliki barabara:

a) Hebu tuthibitishe kwamba mistari inapishana. Wacha tupate vidokezo na viboreshaji vya mwelekeo wa mistari hii:

Wacha tupate vekta:

Hebu tuhesabu bidhaa mchanganyiko wa vekta:

Hivyo, vectors sio coplanar, ambayo ina maana kwamba mistari huingiliana, ambayo ndiyo iliyohitajika kuthibitishwa.

Labda kila mtu amegundua kwa muda mrefu kuwa kwa kuvuka mistari algorithm ya uthibitishaji ndio fupi zaidi.

b) Tafuta milinganyo ya mstari unaopita kwenye nukta na ni sawa na mistari. Wacha tufanye mchoro wa kimkakati:

Kwa mabadiliko nilituma moja kwa moja NYUMA moja kwa moja, angalia jinsi inavyofutwa kidogo kwenye sehemu za kuvuka. Ufugaji mseto? Ndiyo, kwa ujumla, mstari wa moja kwa moja "de" utavuka na mistari ya awali ya moja kwa moja. Ingawa hatupendezwi na wakati huu, tunahitaji tu kuunda mstari wa pembeni na ndivyo hivyo.

Ni nini kinachojulikana kuhusu "de" ya moja kwa moja? Hatua ya mali yake inajulikana. Hakuna vekta ya mwongozo ya kutosha.

Kwa mujibu wa hali hiyo, mstari wa moja kwa moja lazima uwe perpendicular kwa mistari ya moja kwa moja, ambayo ina maana kwamba mwelekeo wake vector itakuwa orthogonal kwa vectors mwelekeo. Tayari unajulikana kutoka kwa Mfano wa 9, hebu tupate bidhaa ya vector:

Wacha tutunge hesabu za mstari wa moja kwa moja "de" kwa kutumia nukta na vekta ya mwelekeo:

Tayari. Kimsingi, unaweza kubadilisha ishara katika denominators na kuandika jibu katika fomu , lakini hakuna haja ya hii.

Ili kuangalia, unahitaji kubadilisha viwianishi vya uhakika katika milinganyo ya mstari wa moja kwa moja inayosababisha, kisha utumie bidhaa ya scalar ya vekta hakikisha kwamba vekta ni ya orthogonal kwa vekta za mwelekeo "pe moja" na "pe mbili".

Jinsi ya kupata hesabu za mstari ulio na perpendicular ya kawaida?

c) Tatizo hili litakuwa gumu zaidi. Ninapendekeza kwamba dummies iruke hatua hii, sitaki kupoza huruma yako ya dhati kwa jiometri ya uchambuzi =) Kwa njia, inaweza kuwa bora kwa wasomaji walioandaliwa zaidi kushikilia pia, ukweli ni kwamba kwa suala la ugumu mfano. inapaswa kuwekwa mwisho katika kifungu, lakini kulingana na mantiki ya uwasilishaji inapaswa kuwa hapa.

Kwa hivyo, unahitaji kupata equations ya mstari ambayo ina perpendicular ya kawaida ya mistari ya skew.

- hii ni sehemu inayounganisha mistari hii na perpendicular kwa mistari hii:

Hapa kuna mtu wetu mzuri: - perpendicular ya kawaida ya mistari inayoingiliana. Yeye ndiye pekee. Hakuna mwingine kama hayo. Tunahitaji kuunda milinganyo ya mstari ulio na sehemu hii.

Ni nini kinachojulikana kuhusu "um" moja kwa moja? Vector yake ya mwelekeo inajulikana, iliyopatikana katika aya iliyotangulia. Lakini, kwa bahati mbaya, hatujui hatua moja ya mstari wa moja kwa moja "em", wala hatujui mwisho wa perpendicular - pointi . Je, mstari huu wa pembeni unaingiliana wapi na mistari miwili ya asili? Katika Afrika, katika Antaktika? Kutoka kwa mapitio ya awali na uchambuzi wa hali hiyo, haijulikani kabisa jinsi ya kutatua tatizo ... Lakini kuna hila ngumu inayohusishwa na utumiaji wa hesabu za parametric za mstari wa moja kwa moja.

Tutaunda hatua kwa hatua:

1) Wacha tuandike tena hesabu za mstari wa kwanza katika fomu ya parametric:

Hebu tufikirie jambo hilo. Hatujui kuratibu. LAKINI. Ikiwa nukta ni ya mstari uliopeanwa, basi viwianishi vyake vinalingana na , wacha tuiashiria kwa . Kisha kuratibu za uhakika zitaandikwa kwa fomu:

Maisha yanazidi kuwa bora, mtu asiyejulikana bado sio watatu wasiojulikana.

2) Hasira sawa lazima ifanyike kwenye hatua ya pili. Wacha tuandike tena hesabu za mstari wa pili katika fomu ya parametric:

Ikiwa hatua ni ya mstari fulani, basi yenye maana maalum sana viwianishi vyake lazima vikidhi milinganyo ya parametric:

Au:

3) Vekta, kama vekta iliyopatikana hapo awali, itakuwa vekta inayoelekeza ya mstari wa moja kwa moja. Jinsi ya kujenga vekta kutoka kwa pointi mbili ilijadiliwa katika kumbukumbu ya wakati darasani Vectors kwa dummies. Sasa tofauti ni kwamba kuratibu za vekta zimeandikwa na maadili yasiyojulikana ya parameter. Kwa hiyo? Hakuna mtu anayekataza kutoa kuratibu zinazolingana za mwanzo wa vekta kutoka kwa kuratibu za mwisho wa vekta.

Kuna pointi mbili: .

Kupata vector:

4) Kwa kuwa vekta za mwelekeo ni collinear, vekta moja inaonyeshwa kwa mstari kupitia nyingine kwa mgawo fulani wa uwiano "lambda":

Au ratibu-kwa-kuratibu:

Iligeuka kuwa ya kawaida zaidi mfumo wa milinganyo ya mstari na tatu zisizojulikana, ambazo zinaweza kutatuliwa kwa kawaida, kwa mfano, Njia ya Cramer. Lakini hapa inawezekana kuondoka kwa hasara kidogo; kutoka kwa equation ya tatu tutaelezea "lambda" na kuibadilisha katika hesabu za kwanza na za pili:

Hivyo: , na hatuhitaji "lambda". Ukweli kwamba maadili ya parameta yaligeuka kuwa sawa ni ajali tu.

5) Anga inasafisha kabisa, wacha tubadilishe maadili yaliyopatikana kwa pointi zetu:

Vector ya mwelekeo haihitajiki hasa, kwani mwenzake tayari amepatikana.

Daima inavutia kuangalia baada ya safari ndefu.

:

Usawa sahihi hupatikana.

Wacha tubadilishe viwianishi vya nukta kwenye milinganyo :

Usawa sahihi hupatikana.

6) Chord ya mwisho: wacha tuunda hesabu za mstari wa moja kwa moja kwa kutumia nukta (unaweza kuichukua) na vekta ya mwelekeo:

Kimsingi, unaweza kuchagua hatua "nzuri" na kuratibu kamili, lakini hii ni mapambo.

Jinsi ya kupata umbali kati ya mistari inayoingiliana?

d) Tunakata kichwa cha nne cha joka.

Mbinu ya kwanza. Sio hata njia, lakini kesi ndogo maalum. Umbali kati ya mistari ya kuvuka ni sawa na urefu wa perpendicular yao ya kawaida: .

Pointi zilizokithiri za perpendicular ya kawaida kupatikana katika aya iliyotangulia, na kazi ni ya msingi:

Mbinu ya pili. Katika mazoezi, mara nyingi mwisho wa perpendicular ya kawaida haijulikani, hivyo mbinu tofauti hutumiwa. Ndege sambamba zinaweza kuchorwa kupitia mistari miwili ya moja kwa moja inayokatiza, na umbali kati ya ndege hizi ni sawa na umbali kati ya mistari hii iliyonyooka. Hasa, perpendicular ya kawaida hujitokeza kati ya ndege hizi.

Wakati wa jiometri ya uchanganuzi, kutoka kwa mazingatio hapo juu, fomula hutolewa kwa kupata umbali kati ya mistari iliyonyooka inayokatiza:
(badala ya pointi zetu "um moja, mbili" unaweza kuchukua pointi za kiholela za mistari).

Mchanganyiko wa bidhaa za vekta tayari imepatikana katika nukta "a": .

Bidhaa ya Vector ya vekta kupatikana katika aya "kuwa": , wacha tuhesabu urefu wake:

Hivyo:

Wacha tuonyeshe nyara kwa kiburi katika safu moja:

Jibu:
A) , ambayo ina maana kwamba mistari iliyonyooka inaingiliana, ambayo ndiyo ilitakiwa kuthibitishwa;
b) ;
V) ;
G)

Nini kingine unaweza kusema kuhusu kuvuka mistari? Kuna pembe iliyofafanuliwa kati yao. Lakini tutazingatia fomula ya pembe ya ulimwengu katika aya inayofuata:

Nafasi za kukatiza zilizonyooka lazima ziko kwenye ndege moja:

Wazo la kwanza ni kuegemea sehemu ya makutano kwa nguvu zako zote. Na mara moja nikafikiria, kwa nini ujikane tamaa sahihi?! Hebu kupata juu yake sasa hivi!

Jinsi ya kupata hatua ya makutano ya mistari ya anga?

Mfano 14

Tafuta mahali pa makutano ya mistari

Suluhisho: Wacha tuandike tena hesabu za mistari katika fomu ya parametric:

Kazi hii ilijadiliwa kwa kina katika Mfano Na. 7 wa somo hili (ona. Milinganyo ya mstari katika nafasi) Na kwa njia, nilichukua mistari ya moja kwa moja wenyewe kutoka kwa Mfano Nambari 12. Sitasema uongo, mimi ni wavivu sana kuja na mpya.

Suluhisho ni la kawaida na tayari limepatikana wakati tulipokuwa tukijaribu kubaini hesabu za kipenyo cha kawaida cha mistari inayoingiliana.

Sehemu ya makutano ya mistari ni ya mstari, kwa hivyo kuratibu zake zinakidhi hesabu za parametric za mstari huu, na inalingana nao. thamani maalum ya parameta:

Lakini hatua hii pia ni ya mstari wa pili, kwa hivyo:

Tunalinganisha hesabu zinazolingana na kufanya kurahisisha:

Mfumo wa milinganyo mitatu ya mstari na mbili zisizojulikana hupatikana. Ikiwa mistari inaingiliana (ambayo imethibitishwa katika Mfano Na. 12), basi mfumo lazima ufanane na una suluhisho la pekee. Inaweza kutatuliwa Njia ya Gaussian, lakini hatutafanya dhambi na uchawi kama huo wa shule ya chekechea, tutafanya rahisi zaidi: kutoka kwa mlinganyo wa kwanza tunaelezea "te sifuri" na kuibadilisha katika milinganyo ya pili na ya tatu:

Milinganyo miwili ya mwisho iligeuka kuwa sawa, na inafuata kutoka kwao kwamba . Kisha:

Wacha tubadilishe dhamana iliyopatikana ya parameta kwenye hesabu:

Jibu:

Ili kuangalia, tunabadilisha thamani iliyopatikana ya parameta kwenye milinganyo:
Kuratibu sawa zilipatikana ambazo zinahitajika kuangaliwa. Wasomaji makini wanaweza kubadilisha viwianishi vya nukta katika milinganyo asilia ya kanuni za mistari.

Kwa njia, iliwezekana kufanya kinyume chake: pata uhakika kupitia "es zero", na uangalie kupitia "te zero".

Ushirikina unaojulikana wa hisabati unasema: ambapo makutano ya mistari yanajadiliwa, daima kuna harufu ya perpendiculars.

Jinsi ya kujenga mstari wa nafasi perpendicular kwa fulani?

(mistari inakatiza)

Mfano 15

a) Andika milinganyo ya mstari unaopita kwenye ncha moja kwa moja hadi kwenye mstari (mistari inakatiza).

b) Tafuta umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari.

Kumbuka : kifungu "mistari hukatiza" - muhimu. Kupitia hatua
unaweza kuteka idadi isiyo na kipimo ya mistari ya perpendicular ambayo itaingiliana na mstari wa moja kwa moja "el". Suluhisho pekee hutokea katika kesi wakati mstari wa moja kwa moja wa perpendicular kwa hatua fulani hutolewa mbili iliyotolewa na mstari ulionyooka (ona Mfano Na. 13, nukta “b”).

A) Suluhisho: Tunaashiria mstari usiojulikana kwa . Wacha tufanye mchoro wa kimkakati:

Ni nini kinachojulikana kuhusu mstari wa moja kwa moja? Kulingana na hali, hatua inatolewa. Ili kutunga equations ya mstari wa moja kwa moja, ni muhimu kupata vector ya mwelekeo. Vekta inafaa kabisa kama vekta kama hiyo, kwa hivyo tutashughulika nayo. Kwa usahihi zaidi, hebu tuchukue mwisho usiojulikana wa vector kwa scruff ya shingo.

1) Wacha tuchukue vekta ya mwelekeo wake kutoka kwa hesabu za mstari wa moja kwa moja "el", na tuandike tena hesabu zenyewe kwa fomu ya parametric:

Wengi walidhani kwamba sasa kwa mara ya tatu wakati wa somo mchawi atatoa swan nyeupe kutoka kwa kofia yake. Fikiria hoja na viwianishi visivyojulikana. Kwa kuwa uhakika ni , viwianishi vyake vinakidhi hesabu za parametric za mstari wa moja kwa moja "el" na zinalingana na thamani maalum ya parameta:

Au kwa mstari mmoja:

2) Kwa mujibu wa hali hiyo, mistari lazima iwe perpendicular, kwa hiyo, vectors yao ya mwelekeo ni orthogonal. Na ikiwa veta ni za orthogonal, basi zao bidhaa ya scalar sawa na sifuri:

Nini kimetokea? Mlinganyo rahisi zaidi wa mstari na moja isiyojulikana:

3) Thamani ya parameta inajulikana, hebu tupate uhakika:

Na vector ya mwelekeo:
.

4) Tutatunga equations ya mstari wa moja kwa moja kwa kutumia uhakika na vector ya mwelekeo :

Madhehebu ya sehemu hiyo yaligeuka kuwa ya sehemu, na hii ndio kesi wakati inafaa kuondoa sehemu. Nitazizidisha kwa -2:

Jibu:

Kumbuka : mwisho mkali zaidi wa suluhisho hurasimishwa kama ifuatavyo: wacha tutunge milinganyo ya mstari ulionyooka kwa kutumia nukta na vekta ya mwelekeo. . Hakika, ikiwa vector ni vector inayoongoza ya mstari wa moja kwa moja, basi collinear vector , kwa kawaida, pia itakuwa vector inayoongoza ya mstari huu wa moja kwa moja.

Uthibitishaji una hatua mbili:

1) angalia vectors ya mwelekeo wa mistari kwa orthogonality;

2) tunabadilisha kuratibu za nukta katika hesabu za kila mstari, zinapaswa "kutoshea" huko na huko.

Kulikuwa na mazungumzo mengi kuhusu vitendo vya kawaida, kwa hivyo niliangalia rasimu.

Kwa njia, nilisahau hatua nyingine - kujenga uhakika "zyu" ulinganifu kwa uhakika "en" kuhusiana na mstari wa moja kwa moja "el". Hata hivyo, kuna "analog ya gorofa" nzuri, ambayo inaweza kupatikana katika makala Matatizo rahisi zaidi na mstari wa moja kwa moja kwenye ndege. Hapa tofauti pekee itakuwa katika uratibu wa ziada wa "Z".

Jinsi ya kupata umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari kwenye nafasi?

b) Suluhisho: Hebu tutafute umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari.

Mbinu ya kwanza. Umbali huu ni sawa kabisa na urefu wa perpendicular:. Suluhisho ni dhahiri: ikiwa pointi zinajulikana , Hiyo:

Mbinu ya pili. Katika matatizo ya vitendo, msingi wa perpendicular mara nyingi ni siri iliyofungwa, kwa hiyo ni busara zaidi kutumia formula iliyopangwa tayari.

Umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari unaonyeshwa na formula:
, iko wapi vekta inayoelekeza ya mstari wa moja kwa moja "el", na - bure hatua inayomilikiwa na mstari fulani.

1) Kutoka kwa milinganyo ya mstari tunachukua vekta ya mwelekeo na sehemu inayopatikana zaidi.

2) Hoja inajulikana kutoka kwa hali, noa vekta:

3) Hebu tupate bidhaa ya vector na kuhesabu urefu wake:

4) Kuhesabu urefu wa vekta ya mwongozo:

5) Kwa hivyo, umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari:

Muhtasari wa somo

Nadharia ya Jumla ya Pembe ya Pembetatu

1. Jina kamili: Sayfetdinova Gulnara Vasilevna

2. Mahali pa kazi: Taasisi ya elimu ya bajeti ya manispaa "shule ya sekondari ya Knyazevskaya" ya wilaya ya Tukaevsky ya Jamhuri ya Tatarstan

3. Jina la kazi: mwalimu wa hisabati

4. Kipengee: jiometri

5. Darasa: darasa la 7

6. Mada ya somo: Umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari. Umbali kati ya mistari sambamba.

7. Mafunzo ya msingi: Jiometri.7-9 darasa: kitabu cha maandishi kwa taasisi za elimu / mwandishi. L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov,

S.B. Kadomtsev et al., 2010

8.Malengo:

Lengo la shughuli: kuunda hali ya uundaji wa kujitegemea na uthibitisho wa mali ya oblique na perpedicular imeshuka kutoka hatua hadi mstari, theorem juu ya usawa wa pointi kwenye mistari inayofanana; panga shughuli za wanafunzi kutambua, kuelewa na kuunganisha maarifa mapya na mbinu za shughuli.

Lengo la elimu:

Mada:

tumia dhana za umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari, umbali kati ya mistari wakati wa kutatua matatizo

Mada ya Meta:

UUD ya Udhibiti:

UUD ya Utambuzi:

Mawasiliano UUD:

UUD ya kibinafsi:

10. Mbinu za kufundishia: matatizo, utafiti.
11.Aina za kuandaa shughuli za elimu: mbele, kikundi, jozi, mtu binafsi, miundo ya mafunzo.

12. Vifaa, hali ya kiufundi:

Kompyuta, projekta, skrini, Mtandao, programu: Microsoft Power Point, viti vya darasa - watu 4 kwa kila meza.

13.Muda wa somo: Dakika 45

14.Mpango wa somo

I . Wakati wa kuandaa.

II . Kusasisha maarifa.

III . Kuweka lengo la somo . Utangulizi wa nyenzo mpya.

VI. Kufupisha. Tafakari.

I . Wakati wa kuandaa.

Lengo: kuandaa wanafunzi kwa kazi, kuamsha umakini kwa kuingizwa haraka katika shughuli.

Mwalimu : Habari zenu? Unajisikiaje? Hebu tumwinue na tuanze somo kwa tabasamu! Hebu tutabasamu usoni mwa mwenzetu! Hebu tutabasamu kwenye bega la mwenzetu!

II . Kusasisha maarifa.

Mwalimu : Umekuwa ukisoma somo jipya la jiometri kwa miezi sita sasa na pengine unajua nadharia ni nini. Je! Unajua njia gani za uthibitisho?

Majibu ya mwanafunzi anayewezekana: Njia ya kupingana, njia ya kujenga, njia ya uthibitisho kulingana na axioms na theorems zilizothibitishwa hapo awali (slide No. 2).

Mwalimu: Jamani, mna uhusiano gani na neno umbali?

Majibu ya mwanafunzi anayewezekana: Umbali kati ya miji, umbali kati ya nguzo, umbali kutoka kwa kitu hadi kitu (nambari ya slaidi 3).

Mwalimu: Je, ni umbali gani kati ya pointi mbili?

Majibu ya mwanafunzi anayewezekana: Urefu wa sehemu (slaidi namba 4).

Mwalimu: Andika katika ramani ya kiteknolojia katika aya ya 1

Mwalimu: Tafadhali kumbuka kuwa katika jiometri, umbali unarejelea umbali mfupi zaidi. Andika katika ramani ya kiteknolojia katika aya ya 2

Mwalimu: Nini kinaweza kusema juu ya nafasi ya jamaa ya mstari wa moja kwa moja AN na mstari wa moja kwa moja a?

Mwalimu: Je mistari hii inaitwaje?

Mwalimu: A Jina la sehemu ya AN ni nini?

Mwalimu: Kumbuka: perpendicular ni sehemu. Andika katika ramani ya kiteknolojia katika aya ya 3.

III. Kuweka lengo la somo.Utangulizi wa nyenzo mpya.

Mwalimu: Kazi ya vitendo:

Tuko shambani; Chora mfano wa hisabati wa hali hiyo. Tunahitaji kuingia barabarani. Chora trajectory (slide No. 6).

Mwalimu: Mtu anawezaje kufafanua trajectory hii katika lugha ya hisabati? Majibu ya mwanafunzi anayewezekana: Perpendicular

Mwalimu: Kwa nini isiwe hivyo? -

Jaribu kuipa jina (slaidi namba 7).

Majibu ya mwanafunzi anayewezekana: Imeelekezwa.

Mwalimu: Je, ni mistari mingapi iliyoelekezwa inaweza kuchorwa kutoka kwa hatua hii?

Majibu ya mwanafunzi anayewezekana: Kundi la.

(slaidi namba 7).

Mwalimu: Kwa hivyo unafikiri njia fupi zaidi ni perpendicular? Thibitisha.

Mwalimu: Sasa thibitisha kuwa mstari wowote ulioelekezwa ni mkubwa kuliko mstari wa pembeni.

Tunaona nini kwenye picha?

Majibu ya mwanafunzi anayewezekana: pembetatu ya kulia (slide No. 8).

Mwalimu: Je, ni majina gani ya perpendicular na oblique katika pembetatu hii? Majibu ya mwanafunzi anayewezekana: mguu na hypotenuse.

Mwalimu: Kwa nini hypotenuse ni kubwa kuliko mguu?

Majibu ya mwanafunzi anayewezekana: Kinyume na pembe kubwa ni upande mkubwa. Pembe kubwa zaidi katika pembetatu ya kulia ni pembe ya kulia. Kinyume chake kuna hypotenuse.

Mwalimu. Nini kingine unaweza kuita sehemu ya AC? Je, ikiwa tutarudi kwenye maudhui ya kazi?

Majibu ya mwanafunzi anayewezekana: Umbali kutoka hatua hadi mstari .

Mwalimu: Tengeneza ufafanuzi: "Umbali kutoka hatua hadi mstari ni ... (urefu wa perpendicular inayotolewa kutoka hatua hii hadi mstari)" (slide No. 9). Andika katika ramani ya kiteknolojia katika aya ya 4.

Mwalimu: Kazi ya vitendo.

Tafuta umbali kutoka kwa uhakika B hadi mistari iliyonyooka A D NaDC kwa kutumia pembetatu ya kuchora na mtawala (slaidi nambari 10 ya ramani ya kiteknolojia).

Mwalimu: Kazi ya vitendo. Tengeneza mistari miwili sambamba a na b. Kwenye mstari a, weka alama A. Dondosha kipenyo kutoka sehemu A hadi mstari b. Weka hatua B kwenye msingi wa perpendicular.

Unaweza kusema nini kuhusu sehemu ya AB? (nambari ya slaidi 11).

Ni sawa kwa mstari A na mstari b.

Mwalimu: Kwa hiyo, inaitwa perpendicular ya kawaida (slide No. 13). Andika katika ramani ya kiteknolojia katika aya ya 5

Mwalimu: Andika katika ramani ya kiteknolojia katika aya ya 6

Mwalimu: Kazi. Inahitajika kuweka linoleum kwenye sakafu kwenye ukanda mrefu. Inajulikana kuwa kuta mbili za kinyume zinafanana. Perpendicular ya kawaida ilitolewa kwenye mwisho mmoja wa ukanda, na urefu wake uligeuka kuwa 4 m Je, ni thamani ya kuangalia tena urefu wa perpendiculars ya kawaida katika maeneo mengine kwenye ukanda? (nambari ya slaidi 14).

Majibu ya mwanafunzi anayewezekana: Hakuna haja, urefu wao pia utakuwa sawa na 4.

Mwalimu: Thibitisha. Lakini kwanza, chora mfano wa hisabati wa hali hii. Ili kudhibitisha, onyesha kile kinachojulikana na kinachohitaji kuthibitishwa.

Je, usawa wa sehemu na pembe kawaida huthibitishwaje katika jiometri?

Majibu ya mwanafunzi anayewezekana: Kupitia usawa wa pembetatu zilizo na sehemu hizi na pembe. Kuja na ujenzi ambao utaturuhusu kudhibitisha usawa wa pembetatu hizi.

Muundo Mtu mmojaMzungukoRobin:

2. Wanafunzi wanne katika timu hujibu mara moja.

Mwalimu: Thibitisha usawa sehemu za AB na CD kupitia usawa wa pembetatu . Kwenye ubao wa ishara, andika masharti matatu ya mtihani wa usawa wa pembetatu.

1.Mwalimu anauliza swali na kutoa muda wa kufikiri

Wanafunzi hufanya ujenzi wa ziada, kuthibitisha usawa wa pembetatu, kuteka hitimisho kuhusu usawa wa makundi AB na CD (slide No. 15-17).

Mwalimu: Sehemu AB na CD ni sawa. Ni nini kinachoweza kusemwa juu ya alama A na C zinazohusiana na mstari wa moja kwa moja wa BD?

Majibu ya mwanafunzi anayewezekana: Wako katika umbali sawa. Wao ni sawa (nambari ya slaidi 18).

Mwalimu: Je, mali hii inashikilia pointi zozote?

Majibu ya mwanafunzi anayewezekana: Ndiyo

Mwalimu: Wacha tujaribu kuunda mali hii. Je, taarifa ya mali inajumuisha nini?

Majibu ya mwanafunzi anayewezekana: Kutoka kwa hali na hitimisho (slide No. 19,20).

Majibu ya mwanafunzi anayewezekana: Ikiwa pointi ziko kwenye moja ya mistari inayofanana, basi ni equidistant kutoka mstari wa pili.

Mwalimu: Hariri mali hii bila viunganishi: ikiwa, basi (slaidi namba 21).

Majibu ya mwanafunzi anayewezekana: Pointi zilizo kwenye moja ya mistari inayofanana ni za usawa kutoka kwa mstari wa pili.

Muundo wa Robin wa Think-Write-Round:

1.Mwalimu anauliza swali na kutoa muda wa kufikiri

2. Wanafunzi wafikirie na kuandika jibu kwenye karatasi zao

3. Wanafunzi husoma kwa zamu jibu lao kutoka kwenye karatasi.

Mwalimu: Ni kauli gani inaitwa mazungumzo?

Majibu ya mwanafunzi anayewezekana: Ikiwa hali na hitimisho zimebadilishwa.

Mwalimu: Tengeneza kauli iliyo kinyume (slaidi namba 22).

Majibu ya mwanafunzi anayewezekana: Ikiwa pointi zilizo kwenye moja ya mistari miwili ni sawa kutoka kwa mstari wa pili, basi mistari ni sambamba.

Mwalimu: Fanya ingizo katika ramani ya kiteknolojia katika aya ya 7,8.

Mwalimu: Inawezekana kufafanua wazo kama umbali kati ya mistari inayofanana?

Majibu ya mwanafunzi anayewezekana: Ndiyo

Mwalimu: Ni nini kinachoweza kuitwa umbali kati ya mistari inayofanana

Majibu ya mwanafunzi anayewezekana: Urefu wa perpendicular ya kawaida. Andika katika ramani ya kiteknolojia katika aya ya 5.

IV. Utumiaji wa nadharia, utekelezajikazi ya vitendo.

Mwalimu: Kazi ya vitendo. Pata upana wa kamba.

Ni dhana gani ya hisabati ni upana wa kamba?

Mwalimu: Ni wapi pengine nadharia hizi zinatumika katika maisha ya vitendo?

VI. Kufupisha. Tafakari.

Mwalimu: Je, ni dhana gani mpya ulizozifahamu?

Umejifunza nini katika somo?

Tutatumia wapi katika maisha haya?

(slaidi Na. 26-28)

Mwalimu: Andika katika ramani ya kiteknolojia katika aya ya 9

Kazi ya nyumbani Nambari 276.279 - uthibitisho wa theorem ya mazungumzo.

Uchambuzi wa kibinafsi wa somo

Malengo:

Lengo la shughuli: kuunda hali ya kuunda kwa kujitegemea na kuthibitisha mali ya mwelekeo na perpedicular imeshuka kutoka kwa uhakika hadi mstari wa moja kwa moja, kuunda hali ya kuthibitisha theorem juu ya usawa wa pointi kwenye mistari inayofanana; panga shughuli za wanafunzi kutambua, kuelewa na kuunganisha maarifa mapya na mbinu za shughuli.

Lengo la elimu: kuendeleza ujuzi kwamba perpendicular ni chini ya mwelekeo wowote, inayotolewa kutoka kwa hatua moja hadi mstari wa moja kwa moja, pointi zote za kila moja ya mistari miwili inayofanana ni sawa kutoka kwa mstari mwingine wa moja kwa moja.

Mada: mwanafunzi atapata fursa ya kujifunza:

tumia nadharia kutatua shida za vitendo

kuchambua, kulinganisha, kujumlisha, kuteka hitimisho ili kutatua matatizo ya vitendo.

Mada ya Meta:

UUD ya Udhibiti:

uwezo wa kuweka malengo kwa uhuru, kuchagua na kuunda algorithms ya kutatua shida za kihesabu za kielimu;

uwezo wa kupanga na kutekeleza shughuli zinazolenga kutatua matatizo ya utafiti.

UUD ya Utambuzi:

- uwezo wa kuanzisha uhusiano wa sababu-na-athari, kujenga hoja za kimantiki, inferences, hitimisho;
- uwezo wa kuweka mawazo mbele wakati wa kutatua shida za kielimu na kuelewa hitaji la kuzijaribu; uwezo wa kutumia njia za kufata neno na za kupunguza, kuona mikakati tofauti ya kutatua shida;
- kukuza maoni ya awali juu ya maoni na njia za hesabu kama lugha ya ulimwengu ya sayansi, njia ya kuiga matukio na michakato;
- uwezo wa kuelewa na kutumia michoro na michoro kwa vielelezo, tafsiri, mabishano.

Mawasiliano UUD:

uwezo wa kuandaa ushirikiano wa kielimu na shughuli za pamoja na mwalimu na wanafunzi, kuamua malengo, kusambaza kazi na majukumu ya washiriki, njia za jumla za kufanya kazi;
uwezo wa kufanya kazi katika kikundi: kupata suluhisho la kawaida na kutatua migogoro kwa kuzingatia nafasi za kuratibu na kuzingatia maslahi, kusikiliza mpenzi, kuunda, kubishana na kutetea maoni ya mtu.

UUD ya kibinafsi:

Muundo wa kipande cha somo uliendana na aina - somo la kugundua maarifa mapya. Kwa mujibu wa malengo na maudhui ya nyenzo, somo liliundwa kulingana na hatua zifuatazo:

I . Wakati wa kuandaa.

II . Kusasisha maarifa.

III . Kuweka lengo la somo . Utangulizi wa nyenzo mpya.

IV. Utumiaji wa nadharia, utekelezaji wa kazi ya vitendo.

VI. Kufupisha.

Vipengele vyote vya kimuundo vya somo vilifuatwa. Shirika la mchakato wa elimu ni msingi wa njia ya shughuli.

Kusudi la hatua ya kwanzaIlikuwa rahisi kuwaunganisha wanafunzi kwa haraka katika mdundo wa biashara.

Katika hatua ya pili maarifa muhimu ya kufanya kazi kwenye nyenzo mpya yalisasishwa.

Katika hatua ya tatuIli kufafanua dhana za umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari, dhana ya mstari unaoelekea ilivutia watoto kwa shughuli za vitendo na vipengele vya utafutaji. Kwanza, kwa kiwango cha angavu, wanafunzi waliweka dhana, kisha walithibitisha kwa uhuru mali ya perpendicular na oblique inayotolewa kutoka kwa hatua moja hadi mstari wa moja kwa moja.

Kwa ujumla, nilitumia kazi za vitendo katika somo zima, pamoja na wakati wa ujumuishaji wa awali. Wanasaidia kuvutia wanafunzi kwa shughuli huru ya utambuzi, na kutatua matatizo ya mbinu ya kujifunza yenye msingi wa ujuzi.

Kuunda na kudhibitisha nadharia juu ya usawa wa alama kwenye mistari inayofanana, nilitumia kazi yenye shida, ambayo ilichangia uundaji wa nadharia juu ya mali ya vitu vilivyozingatiwa na utaftaji uliofuata wa uthibitisho wa uhalali wa dhana iliyowekwa. mbele.

Kwa kuandaa kazi ya kuunda nadharia, na kisha nadharia ya kinyume, nilifanikisha lengo languUkuzaji wa maoni ya awali juu ya maoni na njia za hesabu kama lugha ya ulimwengu ya sayansi, njia ya kuiga matukio na michakato.

Shughuli za elimu na utambuzi zilipangwa kupitia kazi ya mbele, kazi ya mtu binafsi na ya kikundi. Shirika hili lilifanya iwezekane kujumuisha kila mwanafunzi katika shughuli amilifu ili kufikia lengo. Wanafunzi walishirikiana na kila mmoja, wakitoa msaada wa pande zote.

Wakati, naamini, uligawanywa kwa busara. Kwa muda mfupi, tuliweza kuanzisha dhana za umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari wa moja kwa moja, mstari ulioelekezwa, umbali kati ya mistari sawa sawa, kuunda na kuthibitisha nadharia mbili, na kuzingatia matumizi ya nadharia katika mazoezi.

Kwa uwazi, nilitumia wasilisho wakati wa somo. Nilitumia programu maalum kwa ajili ya maandamano ili kulinganisha urefu wa oblique na perpendicular, ambayo maumbo ya kijiometri huja hai. Wakati wa somo, nilitumia kazi ya mwanafunzi kwenye ubao wa ishara, ambayo hutatua matatizo ya ushiriki sawa wa wanafunzi katika somo, udhibiti wa ujifunzaji wa nyenzo, na, bila shaka, huwasha mwanafunzi katika somo.

Wanafunzi walikuwa hai wakati wa somo, nilifanikiwa kuwashirikisha katika shughuli za utafiti, shughuli za ubunifu, na njia ya kujenga ya kuthibitisha nadharia, kuunda nadharia.

Mwishoni mwa somo, wanafunzi walitunga mada wenyewe.

Tafakari

Ni umbali gani kati ya mistari miwili iliyonyooka. Taasisi ya elimu ya manispaa "Shule ya Msingi ya Upshinskaya"

Nafasi ya jamaa ya mistari miwili iliyonyooka

Jinsi ya kuamua msimamo wa jamaa wa mistari miwili?

Jinsi ya kuunda mstari sambamba na uliyopewa?

Jinsi ya kupata hatua ya makutano ya mistari miwili?

Mistari ya perpendicular. Umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari.Pembe kati ya mistari iliyonyooka

Jinsi ya kuunda mstari wa perpendicular kwa uliyopewa?

Umbali kutoka hatua hadi mstari

Jinsi ya kupata umbali kati ya mistari miwili inayofanana?

Pembe kati ya mistari miwili iliyonyooka

Umbali kati ya mistari ya kuvuka - ufafanuzi.

Kutafuta umbali kati ya mistari ya kuvuka - nadharia, mifano, ufumbuzi.

Jinsi ya kujua nafasi za jamaa za mistari kwenye nafasi?

Matatizo na mstari katika nafasi

Kuvuka mistari

Jinsi ya kupata hesabu za mstari ulio na perpendicular ya kawaida?

Jinsi ya kupata umbali kati ya mistari inayoingiliana?

Jinsi ya kupata hatua ya makutano ya mistari ya anga?

Jinsi ya kujenga mstari wa nafasi perpendicular kwa fulani?

Jinsi ya kupata umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari kwenye nafasi?

Mada ya Meta:

UUD ya Utambuzi:

Mawasiliano UUD:

Mada ya Meta:

UUD ya Utambuzi:

uwezo wa kuanzisha uhusiano wa sababu-na-athari, kujenga hoja za kimantiki, inferences, hitimisho;

uwezo wa kuweka mawazo mbele wakati wa kutatua shida za kielimu na kuelewa hitaji la kuzijaribu; uwezo wa kutumia njia za kufata neno na za kupunguza, kuona mikakati tofauti ya kutatua shida;

kukuza maoni ya awali juu ya maoni na njia za hesabu kama lugha ya ulimwengu ya sayansi, njia ya kuiga matukio na michakato;

uwezo wa kuelewa na kutumia michoro na michoro kwa vielelezo, tafsiri, mabishano.

Mawasiliano UUD:

uwezo wa kuandaa ushirikiano wa kielimu na shughuli za pamoja na mwalimu na wanafunzi, kuamua malengo, kusambaza kazi na majukumu ya washiriki, njia za jumla za kufanya kazi;

uwezo wa kufanya kazi katika kikundi: kupata suluhisho la kawaida na kutatua migogoro kwa kuzingatia nafasi za kuratibu na kuzingatia maslahi, kusikiliza mpenzi, kuunda, kubishana na kutetea maoni ya mtu.

Kwa kuandaa kazi ya kuunda nadharia, na kisha nadharia ya kinyume, nilifanikisha lengo languUkuzaji wa maoni ya awali juu ya maoni na njia za hesabu kama lugha ya ulimwengu ya sayansi, njia ya kuiga matukio na michakato.

Mistari ya perpendicular. Umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari.
Pembe kati ya mistari iliyonyooka