Ni nini kufanana kwa takwimu? Tabia za takwimu zinazofanana

Jiometri

Kufanana kwa takwimu

Tabia za takwimu zinazofanana

Nadharia. Wakati takwimu ni sawa na takwimu, na takwimu ni sawa na takwimu, basi takwimu na sawa.
Kutoka kwa mali ya mabadiliko ya kufanana inafuata kwamba kwa takwimu zinazofanana pembe zinazofanana ni sawa, na sehemu zinazofanana ni sawia. Kwa mfano, katika pembetatu sawa ABC Na:
; ; ;
.

Ishara za kufanana kwa pembetatu

Nadharia 1. Ikiwa pembe mbili za pembetatu moja ni sawa na pembe mbili za pembetatu ya pili, basi pembetatu hizo zinafanana.
Nadharia 2. Ikiwa pande mbili za pembetatu moja ni sawa na pande mbili za pembetatu ya pili na pembe zinazoundwa na pande hizi ni sawa, basi pembetatu zinafanana.
Theorem 3. Ikiwa pande za pembetatu moja ni sawa na pande za pembetatu ya pili, basi pembetatu hizo zinafanana.
Kutoka kwa nadharia hizi hufuata ukweli ambao ni muhimu kwa kutatua shida.
1. Mstari wa moja kwa moja unaofanana na upande wa pembetatu na kuingilia pande zake nyingine mbili hukata pembetatu sawa na hii kutoka kwake.
Kwenye picha.

2. Kwa pembetatu zinazofanana, vipengele vinavyolingana (urefu, wastani, vipande viwili, nk) vinahusiana na pande zinazofanana.
3. Kwa pembetatu zinazofanana, mzunguko unahusiana na pande zinazofanana.
4. Ikiwa KUHUSU- hatua ya makutano ya diagonals ya trapezoid ABCD, Hiyo.
Katika takwimu katika trapezoid ABCD:.

5. Ikiwa kuendelea kwa pande za trapezoid ABCD vuka kwa uhakika K, kisha (angalia takwimu) .
.

Kufanana kwa pembetatu za kulia

Nadharia 1. Ikiwa pembetatu za kulia zina pembe za papo hapo sawa, basi zinafanana.
Nadharia 2. Ikiwa miguu miwili ya pembetatu moja ya kulia ni sawia na miguu miwili ya pembetatu ya pili ya kulia, basi pembetatu hizi zinafanana.
Nadharia 3. Ikiwa mguu na hypotenuse ya pembetatu moja ya kulia ni sawia na mguu na hypotenuse ya pembetatu ya pili ya kulia, basi pembetatu hizo zinafanana.
Nadharia 4. Urefu wa pembetatu ya kulia inayotolewa kutoka kwenye kipeo cha pembe ya kulia hugawanya pembetatu hiyo katika pembetatu mbili za kulia sawa na hii.
Kwenye picha .

Ifuatayo inafuata kutoka kwa kufanana kwa pembetatu za kulia.
1. Mguu wa pembetatu ya kulia ni wastani wa uwiano kati ya hypotenuse na makadirio ya mguu huu kwenye hypotenuse:
; ,
au
; .
2. Urefu wa pembetatu ya kulia inayotolewa kutoka kwenye kipeo cha pembe ya kulia ni wastani wa uwiano kati ya makadirio ya miguu kwenye hypotenuse:
, au .
3. Sifa ya sehemu mbili za pembetatu:
kipenyo cha pembetatu (kiholela) hugawanya upande wa pili wa pembetatu katika sehemu sawia na pande zingine mbili.
Katika picha katika B.P.- sehemu mbili.
, au.

Kufanana kati ya pembetatu za usawa na isosceles

1. Pembetatu zote za usawa zinafanana.
2. Ikiwa pembetatu za isosceles zina pembe sawa kati ya pande zao, basi zinafanana.
3. Ikiwa pembetatu za isosceles zina msingi wa uwiano na upande, basi zinafanana.

MUHTASARI

Juu ya mada: "Kufanana kwa takwimu"

Imetekelezwa:

mwanafunzi

Imechaguliwa:

1. Mabadiliko ya kufanana

2. Sifa za mabadiliko ya kufanana

3. Kufanana kwa takwimu

4. Ishara ya kufanana kwa pembetatu kwa pembe mbili

5. Ishara ya kufanana kwa pembetatu kwa pande mbili na angle kati yao

6. Ishara ya kufanana kwa pembetatu kwa pande tatu

7. Kufanana kwa pembetatu za kulia

8. Pembe zilizoandikwa kwenye mduara

9. Uwiano wa makundi ya chords na secants ya mduara

10. Shida kwenye mada "Kufanana kwa takwimu"

1. MABADILIKO YA KUFANANA

Mabadiliko ya takwimu F katika takwimu F" inaitwa mabadiliko ya kufanana ikiwa, wakati wa mabadiliko haya, umbali kati ya pointi hubadilika kwa idadi sawa ya nyakati (Mchoro 1). Hii ina maana kwamba ikiwa pointi za kiholela X, Y ya takwimu F, wakati wa mabadiliko ya kufanana, kugeuka katika pointi X", Y"takwimu F", kisha X"Y" = k-XY, na idadi k ni sawa kwa pointi zote X, Y. Nambari k inaitwa mgawo wa kufanana. Kwa k = l, mabadiliko ya kufanana ni dhahiri ni mwendo.

Hebu F iwe takwimu iliyotolewa na O iwe hatua ya kudumu (Mchoro 2). Hebu tuchore ray OX kupitia nukta ya kiholela X ya takwimu F na tuweke juu yake sehemu OX" sawa na k·OX, ambapo k ni nambari chanya. Mabadiliko ya takwimu F, ambayo kila moja ya pointi zake X huenda kwa uhakika X", iliyojengwa kwa njia iliyoonyeshwa, inaitwa homothety jamaa na kituo cha O. Nambari k inaitwa mgawo wa homothety, takwimu F na F" huitwa homothetic.

Nadharia 1. Homothety ni mabadiliko ya kufanana

Ushahidi. Acha O iwe kituo cha homothety, k iwe mgawo wa homothety, X na Y kuwa alama mbili za kiholela za takwimu (Mchoro 3)

Mtini.3 Mtini.4

Kwa usawa, pointi X na Y huenda kwenye pointi X" na Y" kwenye miale OX na OY, mtawalia, na OX" = k·OX, OY" = k·OY. Hii ina maana ya usawa wa vekta OX" = kOX, OY" = kOY.

Tukiondoa usawa huu kwa muhula, tunapata: OY"-OX" = k (OY-OX).

Tangu OY" - OX"= X"Y", OY -OX=XY, kisha X"Y" = kХY. Hii inamaanisha /X"Y"/=k /XY/, i.e. X"Y" = kXY. Kwa hivyo, ushoga ni mabadiliko ya kufanana. Nadharia imethibitishwa.

Ubadilishaji wa kufanana hutumiwa sana katika mazoezi wakati wa kufanya michoro ya sehemu za mashine, miundo, mipango ya tovuti, nk. Picha hizi ni mabadiliko sawa ya picha za kufikiria kwa ukubwa kamili. Mgawo wa kufanana unaitwa kiwango. Kwa mfano, ikiwa sehemu ya ardhi ya eneo inaonyeshwa kwa kipimo cha 1:100, hii inamaanisha kuwa sentimita moja kwenye mpango inalingana na m 1 kwenye ardhi.

Kazi. Kielelezo cha 4 kinaonyesha mpango wa mali isiyohamishika kwa kipimo cha 1:1000. Kuamua vipimo vya mali isiyohamishika (urefu na upana).

Suluhisho. Urefu na upana wa mali kwenye mpango ni 4 cm na 2.7 cm Kwa kuwa mpango unafanywa kwa kiwango cha 1: 1000, vipimo vya mali isiyohamishika ni 2.7 x 1000 cm = 27 m, 4 x 100 cm =. 40 m.

2. MALI ZA MABADILIKO YA KUFANANA

Kama ilivyo kwa mwendo, imethibitishwa kuwa wakati wa mabadiliko ya kufanana, alama tatu A, B, C, zikiwa kwenye mstari huo huo, hubadilika kuwa alama tatu A 1, B 1, C 1, pia ziko kwenye mstari huo huo. Kwa kuongezea, ikiwa nukta B iko kati ya alama A na C, basi alama B 1 iko kati ya alama A 1 na C 1. Inafuata kwamba mabadiliko ya kufanana hubadilisha mistari kuwa mistari iliyonyooka, mistari-nusu kuwa mistari-nusu, na sehemu katika sehemu.

Hebu tuthibitishe kwamba mabadiliko ya kufanana huhifadhi pembe kati ya mistari ya nusu.

Hakika, basi angle ya ABC ibadilishwe na mabadiliko ya kufanana na mgawo k kwenye pembe A 1 B 1 C 1 (Mchoro 5). Hebu tuangalie pembe ABC kwa mageuzi ya homothety kuhusiana na kipeo B chake na mgawo wa homothety k. Katika kesi hii, alama A na C zitahamia kwa alama A 2 na C 2. Pembetatu A 2 BC 2 na A 1 B 1 C 1 ni sawa kulingana na kigezo cha tatu. Kutoka kwa usawa wa pembetatu inafuata kwamba pembe A 2 BC 2 na A 1 B 1 C 1 ni sawa. Hii ina maana kwamba pembe ABC na A 1 B 1 C 1 ni sawa, ambayo ndiyo ilihitaji kuthibitishwa.

3. KUFANANA KWA TAKWIMU

Takwimu mbili zinaitwa sawa ikiwa zinabadilishwa kuwa kila mmoja kwa mabadiliko ya kufanana. Ili kuonyesha kufanana kwa takwimu, ikoni maalum hutumiwa: ∞. Nukuu F∞F" inasomeka hivi: "Kielelezo F kinafanana na kielelezo F".

Hebu tuthibitishe kwamba ikiwa takwimu F 1 ni sawa na takwimu F 2, na takwimu F 2 ni sawa na takwimu F 3, basi takwimu F 1 na F 3 ni sawa.

Acha X 1 na Y 1 ziwe alama mbili za kiholela za takwimu F 1. Mabadiliko ya kufanana ambayo hubadilisha takwimu F 1 kuwa F 2 hubadilisha pointi hizi katika pointi X 2, Y 2, ambayo X 2 Y 2 = k 1 X 1 Y 1.

Mabadiliko ya kufanana ambayo hubadilisha takwimu F 2 kuwa F 3 inabadilisha pointi X 2, Y 2 katika pointi X 3, Y 3, ambayo X 3 Y 3 = - k 2 X 2 Y 2.

Kutoka kwa usawa

X 2 Y 2= kX 1 Y 1, X 3 Y 3 = k 2 X 2 Y 2

inafuata kwamba X 3 Y 3 - k 1 k 2 X 1 Y 1 . Hii ina maana kwamba mabadiliko ya takwimu F 1 katika F 3, kupatikana kwa sequentially kufanya mabadiliko ya kufanana mbili, ni kufanana. Kwa hivyo, takwimu F 1 na F 3 ni sawa, ambayo ndiyo inahitajika kuthibitishwa.

Katika nukuu ya kufanana kwa pembetatu: ΔABC∞ΔA 1 B 1 C 1 - inachukuliwa kuwa vipeo vilivyojumuishwa na mabadiliko ya kufanana viko katika sehemu zinazolingana, i.e. A huenda kwa A 1, B hadi B 1 na C hadi C. 1.

Kutoka kwa mali ya mabadiliko ya kufanana inafuata kwamba kwa takwimu zinazofanana pembe zinazofanana ni sawa, na sehemu zinazofanana ni sawia. Hasa, kwa pembetatu zinazofanana ABC na A 1 B 1 C 1

A=A 1, B=B 1, C=C 1

4. UMUHIMU WA KUFANANA KWA PEMBE TATU KULINGANA NA ANGELI MBILI.

Theorem 2. Ikiwa pembe mbili za pembetatu moja ni sawa na pembe mbili za pembetatu nyingine, basi pembetatu hizo zinafanana.

Ushahidi. Ruhusu pembetatu ABC na A 1 B 1 C 1 A=A 1, B=B 1. Hebu tuthibitishe kwamba ΔАВС~ΔА 1 В 1 С 1.

Hebu . Hebu tufanye pembetatu A 1 B 1 C 1 kwa mabadiliko ya kufanana na mgawo wa kufanana k, kwa mfano, homothety (Mchoro 6). Katika kesi hii, tunapata pembetatu fulani A 2 B 2 C 2 sawa na pembetatu ABC. Hakika, kwa kuwa mabadiliko ya kufanana huhifadhi pembe, basi A 2 = A 1, B 2 = B 1. Hii ina maana kwamba pembetatu ABC na A zina 2 B 2 C 2 A = A 2 , B = B 2 . Ifuatayo, A 2 B 2 = kA 1 B 1 =AB. Kwa hiyo, pembetatu ABC na A 2 B 2 C 2 ni sawa kulingana na kigezo cha pili (kwa upande na pembe za karibu).

Kwa kuwa pembetatu A 1 B 1 C 1 na A 2 B 2 C 2 ni homothetic na kwa hivyo zinafanana, na pembetatu A 2 B 2 C 2 na ABC ni sawa na kwa hivyo pia zinafanana, basi pembetatu A 1 B 1 C 1 na ABC zinafanana. . Nadharia imethibitishwa.

Kazi. Mstari ulionyooka unaolingana na AB wa upande wa pembetatu ABC hukatiza upande wake wa AC kwa uhakika A 1, na upande wa BC kwa uhakika B 1. Thibitisha kwamba Δ ABC ~ ΔA 1 B 1 C.

Suluhisho (Mchoro 7). Pembetatu ABC na A 1 B 1 C zina pembe ya kawaida kwenye kipeo C, na pembe CA 1 B 1 na CAB ni sawa na pembe zinazolingana za AB sambamba na A 1 B 1 na AC ya sekunde. Kwa hiyo, ΔАВС~ΔА 1 В 1 С kwa pembe mbili.

5. UMUHIMU WA KUFANANA KWA PEMBE TATU PANDE MBILI NA ANGLE KATI YAKE.

Nadharia 3. Ikiwa pande mbili za pembetatu moja ni sawa na pande mbili za pembetatu nyingine na pembe zinazoundwa na pande hizi ni sawa, basi pembetatu zinafanana.

Uthibitisho (sawa na uthibitisho wa Theorem 2). Ruhusu pembetatu ABC na A 1 B 1 C 1 C=C 1 na AC=kA 1 C 1, BC=kB 1 C 1. Hebu tuthibitishe kwamba ΔАВС~ΔА 1 В 1 С 1.

Hebu tufanye pembetatu A 1 B 1 C 1 kwa mabadiliko ya kufanana na mgawo wa kufanana k, kwa mfano, homothety (Mchoro 8).

Katika kesi hii, tunapata pembetatu fulani A 2 B 2 C 2 sawa na pembetatu ABC. Hakika, kwa kuwa mabadiliko ya kufanana huhifadhi pembe, basi C 2 = = C 1 . Hii inamaanisha kuwa pembetatu ABC na A zina 2 B 2 C 2 C=C 2. Ifuatayo, A 2 C 2 = kA 1 C 1 =AC, B 2 C 2 = kB 1 C 1 =BC. Kwa hivyo, pembetatu ABC na A 2 B 2 C 2 ni sawa kulingana na kigezo cha kwanza (pande mbili na pembe kati yao).

Kazi. Katika pembetatu ABC yenye angle ya papo hapo C, urefu wa AE na BD hutolewa (Mchoro 9). Thibitisha kuwa ΔABC~ΔEDC.

Suluhisho. Pembetatu ABC na EDC zina pembe ya kipeo ya kawaida C. Hebu tuthibitishe uwiano wa pande za pembetatu zilizo karibu na pembe hii. Tuna EC = AC cos γ, DC = BC cos γ. Hiyo ni, pande zilizo karibu na angle C ni sawia kwa pembetatu. Hii inamaanisha ΔABC~ΔEDC kwa pande mbili na pembe kati yao.

6. UMUHIMU WA KUFANANA KWA PEMBE TATU KWA PANDE TATU.

Theorem 4. Ikiwa pande za pembetatu moja ni sawa na pande za pembetatu nyingine, basi pembetatu hizo zinafanana.

Uthibitisho (sawa na uthibitisho wa Theorem 2). Acha pembetatu ABC na A 1 B 1 C 1 AB = kA 1 B 1, AC = kA 1 C 1, BC = kB 1 C 1. Hebu tuthibitishe kwamba ΔАВС~ΔА 1 В 1 С 1.

Hebu tufanye pembetatu A 1 B 1 C 1 kwa mabadiliko ya kufanana na mgawo wa kufanana k, kwa mfano, homothety (Mchoro 10). Katika kesi hii, tunapata pembetatu fulani A 2 B 2 C 2 sawa na pembetatu ABC. Kwa kweli, kwa pembetatu pande zinazolingana ni sawa:

A 2 B 2 = kA 1 B 1 = AB, A 2 C 2 = kA 1 C 1 =AC, B 2 C 2 = kB 1 C 1 =BC.

Kwa hivyo, pembetatu ni sawa kulingana na kigezo cha tatu (kwa pande tatu).

Kazi. Thibitisha kuwa mizunguko ya pembetatu sawa inahusiana kama pande zinazolingana.

Suluhisho. Acha ABC na A 1 B 1 C 1 ziwe pembetatu sawa. Kisha pande za pembetatu A 1 B 1 C 1 zinalingana na pande za pembetatu ABC, yaani A 1 B 1 =kAB, B 1 C 1 = kBC, A 1 C 1 =kAC. Kuongeza usawa huu kwa muhula, tunapata:

A 1 B 1 + B 1 C 1 +A 1 C 1 =k(AB+BC+AC).

yaani, mizunguko ya pembetatu inahusiana kama pande zinazolingana.

7. KUFANANA KWA PEMBE YA MTANDAO

Pembetatu ya kulia ina pembe moja ya kulia. Kwa hiyo, kwa mujibu wa Theorem 2, kwa pembetatu mbili za kulia kuwa sawa, inatosha kwamba kila mmoja ana angle sawa ya papo hapo.

Kutumia jaribio hili kwa kufanana kwa pembetatu za kulia, tutathibitisha uhusiano fulani katika pembetatu.

Hebu ABC iwe pembetatu ya kulia na angle ya kulia C. Hebu tuchore CD ya urefu kutoka kwenye vertex ya pembe ya kulia (Mchoro 11).

Pembetatu ABC na CBD zina pembe ya kawaida kwenye vertex B. Kwa hiyo, zinafanana: ΔABC~ΔCBD. Kutoka kwa kufanana kwa pembetatu inafuata kwamba pande zinazolingana ni sawia:

Uhusiano huu kwa kawaida hutengenezwa kama ifuatavyo: mguu wa pembetatu ya kulia ni maana sawia kati ya hypotenuse na makadirio ya mguu huu kwenye hypotenuse.

Pembetatu za kulia ACD na CBD pia zinafanana. Wana pembe za papo hapo sawa kwenye wima A na C. Kutoka kwa kufanana kwa pembetatu hizi, uwiano wa pande zao hufuata:

Uhusiano huu kawaida hutengenezwa kama ifuatavyo: urefu wa pembetatu ya kulia inayotolewa kutoka kwa kipeo cha pembe ya kulia ni uwiano wa wastani kati ya makadirio ya miguu I kwenye hypotenuse.

Wacha tuthibitishe mali ifuatayo ya kipenyo cha pembetatu: sehemu mbili ya pembetatu inagawanya upande wa pili katika sehemu sawia na pande zingine mbili.

Acha CD iwe sehemu ya pembetatu ya ABC (Mchoro 12). Ikiwa pembetatu ABC ni isosceles na msingi AB, basi mali iliyoonyeshwa ya bisector ni dhahiri, kwa kuwa katika kesi hii CD ya bisector pia ni wastani.

Wacha tuzingatie kesi ya jumla wakati AC≠BC. Hebu tudondoshe perpendiculars AF na BE kutoka kwa wima A na B kwenye CD ya mstari.

Pembetatu za kulia ACF na VSE zinafanana, kwa kuwa zina pembe za papo hapo sawa kwenye vertex C. Kutoka kwa kufanana kwa pembetatu, uwiano wa pande hufuata:

Pembetatu za kulia ADF na BDE pia zinafanana. Pembe zao kwenye kipeo D ni sawa na zile za wima. Kutoka kwa kufanana kwa pembetatu hufuata uwiano wa pande:

Kwa kulinganisha usawa huu na uliopita, tunapata:

yaani, sehemu za AD na BD zinalingana na pande za AC na BC, ambazo ndizo zilihitaji kuthibitishwa.

8. ANGELI ZILIZO PAMOJA KATIKA DUARA

Pembe huvunja ndege katika sehemu mbili. Kila sehemu inaitwa pembe ya ndege. Katika Mchoro 13, moja ya pembe za ndege na pande a na b ni kivuli. Pembe za ndege zilizo na pande za kawaida huitwa nyongeza.

Ikiwa pembe ya ndege ni sehemu ya nusu ya ndege, basi kipimo chake cha shahada kinaitwa kipimo cha shahada ya angle ya kawaida na pande sawa. Ikiwa pembe ya ndege ina ndege ya nusu, basi kipimo chake cha shahada kinachukuliwa kuwa 360 ° - α, ambapo α ni kipimo cha shahada ya pembe ya ziada ya ndege (Mchoro 14).

Mchele. 13 Mtini.14

Pembe ya kati katika mduara ni pembe ya ndege na vertex katikati yake. Sehemu ya mduara iko ndani ya pembe ya ndege inaitwa arc ya mduara inayofanana na angle hii ya kati (Mchoro 15). Kipimo cha digrii ya arc ya duara ni kipimo cha digrii ya pembe ya kati inayolingana.

Mchele. 15 Mtini. 16

Pembe ambayo kipeo chake kiko kwenye duara na pande zake zinakatiza mduara huu inaitwa iliyoandikwa kwenye duara. Angle BAC katika Mchoro 16 imeandikwa kwenye mduara. Kipeo chake A kiko kwenye mduara, na pande zake huvuka mduara kwa pointi B na C. Inasemekana pia kwamba pembe A inakaa kwenye chord BC. Mstari wa moja kwa moja BC hugawanya mduara katika safu mbili. Pembe ya kati inayolingana na ile ya safu hizi ambayo haina uhakika A inaitwa pembe ya kati inayolingana na pembe iliyoandikwa.

Nadharia 5. Pembe iliyoandikwa kwenye mduara ni sawa na nusu ya pembe ya kati inayolingana.

Ushahidi. Hebu kwanza tuchunguze kesi maalum wakati moja ya pande za pembe inapita katikati ya mduara (Mchoro 17, a). Pembetatu AOB ni isosceles kwa sababu pande zake OA na OB ni sawa katika radii. Kwa hiyo, pembe A na B za pembetatu ni sawa. Na kwa kuwa jumla yao ni sawa na pembe ya nje ya pembetatu kwenye vertex O, basi angle B ya pembetatu ni sawa na nusu ya pembe AOC, ambayo ndiyo inahitajika kuthibitishwa.

Kesi ya jumla imepunguzwa kwa kesi maalum inayozingatiwa kwa kuchora kipenyo cha msaidizi BD (Mchoro 17, b, c). Katika kesi iliyotolewa katika Mchoro 17, b, ABC = CBD + ABD = ½ COD + ½ AOD = ½ AOC.

Katika kesi iliyowasilishwa katika Mchoro 17, c,

ABC= CBD - ABD = ½ COD - ½ AOD = ½ AOC.

Nadharia imethibitishwa kabisa.

9. Uwiano wa sehemu za CHORDS NA SEKANTI ZA DUARA

Ikiwa chodi AB na CD ya duara hukatiza kwenye sehemu ya S

ToAS·BS=CS·DS.

Hebu kwanza tuthibitishe kwamba pembetatu ASD na CSB ni sawa (Mchoro 19). Pembe zilizoandikwa DCB na DAB ni sawa kwa mfululizo wa Nadharia 5. Pembe ASD na BSC ni sawa na pembe za wima. Kutoka kwa usawa wa pembe zilizoonyeshwa inafuata kwamba pembetatu za ASZ na CSB zinafanana.

Kutoka kwa kufanana kwa pembetatu hufuata uwiano

AS BS = CS DS, ambayo ndiyo tulihitaji kuthibitisha

Mtini.19 Mtini.20

Ikiwa senti mbili zimetolewa kutoka kwa uhakika P hadi kwenye mduara, zikivuka mduara kwa pointi A, B na C, D, kwa mtiririko huo, basi.

Hebu pointi A na C ziwe pointi za makutano ya secants na mduara ulio karibu na uhakika P (Mchoro 20). Pembetatu PAD na PCB ni sawa. Wana pembe ya kawaida kwenye vertex P, na pembe kwenye wima B na D ni sawa kulingana na mali ya pembe iliyoandikwa kwenye mduara. Kutoka kwa kufanana kwa pembetatu hufuata uwiano

Kwa hivyo PA·PB=PC·PD, ambayo ndiyo ilihitaji kuthibitishwa.

10. Shida kwenye mada "Kufanana kwa takwimu"

Juu ya mada: "Kufanana kwa takwimu"

Imetekelezwa:

Imechaguliwa:

1. Mabadiliko ya kufanana

2. Sifa za mabadiliko ya kufanana

3. Kufanana kwa takwimu

4. Ishara ya kufanana kwa pembetatu kwa pembe mbili

5. Ishara ya kufanana kwa pembetatu kwa pande mbili na angle kati yao

6. Ishara ya kufanana kwa pembetatu kwa pande tatu

7. Kufanana kwa pembetatu za kulia

8. Pembe zilizoandikwa kwenye mduara

9. Uwiano wa makundi ya chords na secants ya mduara

10. Shida kwenye mada "Kufanana kwa takwimu"

1. MABADILIKO YA KUFANANA

Mabadiliko ya takwimu F katika takwimu F" inaitwa mabadiliko ya kufanana ikiwa, wakati wa mabadiliko haya, umbali kati ya pointi hubadilika kwa idadi sawa ya nyakati (Mchoro 1). Hii ina maana kwamba ikiwa pointi za kiholela X, Y ya a takwimu F kubadilisha katika pointi X", Y" ya takwimu F", kisha X"Y" = k-XY, na idadi k ni sawa kwa pointi zote X, Y. Nambari k inaitwa mgawo wa kufanana. Kwa k = l, mabadiliko ya kufanana ni dhahiri ni mwendo.

Nadharia 1. Homothety ni mabadiliko ya kufanana

Ushahidi. Acha O iwe kituo cha homothety, k iwe mgawo wa homothety, X na Y kuwa alama mbili za kiholela za takwimu (Mchoro 3)

Mtini.3 Mtini.4

Kwa usawa, pointi X na Y huenda kwenye pointi X" na Y" kwenye miale OX na OY, mtawalia, na OX" = k·OX, OY" = k·OY. Hii ina maana ya usawa wa vekta OX" = kOX, OY" = kOY.

Tukiondoa usawa huu kwa muhula, tunapata: OY"-OX" = k (OY-OX).

Tangu OY" - OX"= X"Y", OY -OX=XY, kisha X"Y" = kХY. Hii inamaanisha /X"Y"/=k /XY/, i.e. X"Y" = kXY. Kwa hivyo, ushoga ni mabadiliko ya kufanana. Nadharia imethibitishwa.

Kazi. Kielelezo cha 4 kinaonyesha mpango wa mali isiyohamishika kwa kipimo cha 1:1000. Kuamua vipimo vya mali isiyohamishika (urefu na upana).

Suluhisho. Urefu na upana wa mali kwenye mpango ni 4 cm na 2.7 cm Kwa kuwa mpango unafanywa kwa kiwango cha 1: 1000, vipimo vya mali isiyohamishika ni 2.7 x 1000 cm = 27 m, 4 x 100 cm =. 40 m.

2. MALI ZA MABADILIKO YA KUFANANA

Hebu tuthibitishe kwamba mabadiliko ya kufanana huhifadhi pembe kati ya mistari ya nusu.

Wastani wa pembetatu; 4. , ambapo BH na B1H1 ni urefu wa pembetatu. §5. Kazi ya majaribio Kusudi la kazi ya majaribio: kutambua sifa za mbinu za kusoma mada "pembetatu zinazofanana" katika shule ya upili. Wazo: ili kutambua sifa za mbinu, ni muhimu kufanya masomo kadhaa kwa kutumia mbinu iliyotengenezwa, mwisho wa mafunzo kufanya mtihani, juu ya uchambuzi ambao mtu anaweza kuhukumu ...

Positivism. Kwa wenye maoni chanya, ni kile tu kinachopatikana kwa kutumia mbinu za upimaji ndicho cha kweli na kilichojaribiwa. Hisabati na sayansi asilia pekee ndizo zinazotambuliwa kama sayansi, na sayansi ya kijamii inawekwa kwenye uwanja wa mythology. Neopositivism, Neopositivists wanaona udhaifu wa ufundishaji katika ukweli kwamba unatawaliwa na mawazo yasiyo na maana na abstractions, badala ya ukweli halisi. Mkali...

Tayari tunajua ni maumbo gani sawa: haya ni maumbo ambayo yanaweza kuunganishwa kwa kuingiliana. Lakini katika maisha mara nyingi tunakutana sio na watu sawa, lakini na takwimu zinazofanana. Kwa mfano, sarafu na Jua vina umbo la duara. Wanafanana, lakini sio sawa. Takwimu kama hizo huitwa sawa. Katika somo hili tutajifunza ni maumbo gani yanaitwa kufanana na yana sifa gani.

Ikiwa una ugumu kuelewa mada, tunapendekeza kutazama somo na

Nadharia ya Thales

Pande za pembe hukatwa na mistari ya moja kwa moja ya sambamba katika sehemu za uwiano (tazama Mchoro 5). Hiyo ni:

Uhusiano sawa unaweza kuandikwa kwa jumla ya urefu wa sehemu:

Mchele. 5. Mchoro wa nadharia ya Thales

Fikiria pembetatu mbili na , ambazo pembe zake zinazofanana ni sawa (ona Mchoro 6):

Mchele. 6. Pembetatu na pembe sawa

Pande ambazo ziko kinyume na pembe sawa za pembetatu zinaitwa sawa.

Hebu tuorodhe pande zinazofanana: na (lala kinyume na pembe sawa), na (lala kinyume na pembe sawa), na (lala kinyume na pembe sawa).

Ufafanuzi

Pembetatu mbili zinaitwa sawa, ikiwa pembe zinazolingana ni sawa na pande zinazofanana ni sawia:

Aidha , iko wapi mgawo wa kufanana kwa pembetatu.

Mifano

Kila ushoga ni mfanano.
Kila harakati (pamoja na zinazofanana) zinaweza pia kuzingatiwa kama mabadiliko ya kufanana na mgawo k = 1 .

Takwimu zinazofanana kwenye picha zina rangi sawa.

Ufafanuzi unaohusiana

Mali

Katika nafasi za metri sawa na in n-nafasi za Riemannian, pseudo-Riemannian na Finsler, kufanana kunafafanuliwa kama mageuzi ambayo huchukua metric ya nafasi ndani yenyewe hadi sababu ya mara kwa mara.

Seti ya mambo yote yanayofanana ya n-dimensional Euclidean, pseudo-Euclidean, Riemannian, pseudo-Riemannian au Finsler nafasi ni. r-mwanachama wa kikundi cha mabadiliko ya Uongo, kinachoitwa kikundi cha mabadiliko sawa (homothetic) ya nafasi inayolingana. Katika kila nafasi ya aina maalum r- kikundi cha washiriki wa mabadiliko sawa ya Uongo ina ( r− 1) -kikundi kidogo cha mwendo kilichojumuishwa.

Angalia pia

Wikimedia Foundation. 2010.

Tazama "Takwimu zinazofanana" ni nini katika kamusi zingine:

TAKWIMU ZINAZOFANANA NAZO- takwimu ambazo vipengele vinavyofanana vya mstari ni sawia, na pembe kati yao ni sawa, yaani, na sura sawa, wana ukubwa tofauti ... Encyclopedia kubwa ya Polytechnic

Takwimu mbili za homolojia huitwa kikundi ikiwa umbali wa pointi zinazofanana na kituo ni sawia. Kutokana na hili ni wazi kwamba takwimu za G. ni takwimu zinazofanana na ziko sawa, au zinazofanana na ziko kinyume chake. Kiini cha homolojia katika hii ... ... Kamusi ya Encyclopedic F.A. Brockhaus na I.A. Efron

Nadharia ya Pythagorean ni mojawapo ya nadharia za msingi za jiometri ya Euclidean, kuanzisha uhusiano kati ya pande za pembetatu ya kulia. Yaliyomo 1 Taarifa 2 Ushahidi ... Wikipedia

Ngao ya Mshika Ngao ya Tincture Mmiliki wa Ngao (motto) ... Wikipedia

Sheela na Gig maarufu kutoka kanisa la Kilpeck, Uingereza Sheela na Gig (Kiingereza: Sheela na Gig) sanamu za sanamu za wanawake uchi, ambazo kwa kawaida hupanuliwa katika ... Wikipedia

- ... Wikipedia

Kwa mara ya pili nilikuwa nikipanga kwenda katika nchi ya watu weusi, bila kuzingatia ukweli kwamba hali ya hewa yake ya kuzimu karibu iliniua kwenye safari ya kwanza. Niliichukua safari hii nikiwa na hisia tofauti na sikuweza kujikwamua... ... Maisha ya wanyama

Jina la jumla lenye maudhui yanayoeleweka kiasi na upeo uliobainishwa kwa uwazi. P. ni, kwa mfano, "kipengele cha kemikali", "sheria", "nguvu ya mvuto", "unajimu", "mashairi", nk. Kuna mpaka tofauti kati ya majina hayo ambayo yanaweza kuitwa P... Encyclopedia ya Falsafa

Ufafanuzi wa maneno kutoka kwa planimetry hukusanywa hapa. Marejeleo ya istilahi katika faharasa hii (kwenye ukurasa huu) yako katika italiki. # A B C D E E E F G H I J K L M N O P R S ... Wikipedia

Ufafanuzi wa maneno kutoka kwa planimetry hukusanywa hapa. Marejeleo ya istilahi katika faharasa hii (kwenye ukurasa huu) yako katika italiki. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedia

Vitabu

Manabii na watenda miujiza. Mchoro kuhusu fumbo, V. E. Rozhnov. Moscow, 1977. Politizdat. Kufunga kwa mmiliki. Hali ni nzuri. Uroho na unajimu, theosophy na uchawi - maneno haya yanaweza kupatikana kila wakati kwenye kurasa za majarida na magazeti ...
Hesabu, sura, saizi. Kwa madarasa na watoto kutoka miaka 4 hadi 5. Kitabu chenye mchezo na vibandiko, Dorofeeva A.. Albamu "Akaunti. Fomu. Magnitude" kutoka kwa mfululizo wa Shule ya Vijana Saba, mwaka wa tano wa masomo, ni mwongozo wa maendeleo, ambapo kila somo linaendeshwa kwa njia ya kucheza na linaendelea kuwapa watoto…