Kwa njia isiyo rasmi, grafu inaweza kufikiriwa kama seti ya pointi na mistari inayounganisha pointi hizi, kwa au bila mishale.
Kazi ya kwanza ya nadharia ya grafu kama taaluma ya hisabati inachukuliwa kuwa karatasi ya Euler (1736), ambayo ilizingatia shida ya madaraja ya Köningsberg. Euler alionyesha kwamba haiwezekani kupita madaraja saba ya jiji na kurudi mahali pa kuanzia kwa kuvuka kila daraja mara moja haswa. Nadharia ya grafu ilipata msukumo wake uliofuata karibu miaka 100 baadaye na maendeleo ya utafiti katika mitandao ya umeme, fuwele, kemia ya kikaboni na sayansi nyingine.
Bila hata kugundua, tunakutana na grafu kila wakati. Kwa mfano, grafu ni mchoro wa mistari ya njia ya chini ya ardhi. Dots zilizo juu yake zinawakilisha vituo, na mistari inawakilisha njia za treni. Kwa kutafiti asili yetu na kuifuata nyuma kwa babu wa mbali, tunaunda kinachojulikana kama mti wa familia. Na mti huu ni grafu.
Grafu hutumika kama njia rahisi ya kuelezea uhusiano kati ya vitu. Hapo awali tumetumia grafu kama njia ya kuwakilisha uhusiano wenye kikomo wa binary.
Lakini grafu haitumiki tu kama kielelezo. Kwa mfano, kwa kuzingatia grafu inayoonyesha mtandao wa barabara kati ya maeneo yenye watu wengi, unaweza kuamua njia kutoka kwa uhakika A hadi uhakika B. Ikiwa kuna njia kadhaa kama hizo, ungependa kuchagua mojawapo bora zaidi kwa maana fulani, kwa mfano. mfupi au salama zaidi. Ili kutatua tatizo la uteuzi, ni muhimu kufanya mahesabu fulani kwenye grafu. Wakati wa kutatua shida kama hizo, ni rahisi kutumia mbinu za algebra, na wazo la grafu linahitaji kurasimishwa.
Mbinu za nadharia ya grafu hutumiwa sana katika hisabati tupu. Haiwezekani kufanya bila wao wakati wa kuchambua na kuunganisha waongofu mbalimbali tofauti: vizuizi vya kazi vya kompyuta, vifurushi vya programu, nk.
Hivi sasa, nadharia ya graph inashughulikia nyenzo nyingi na inaendelea kikamilifu. Tunapoiwasilisha, tutajiwekea kikomo kwa sehemu tu ya matokeo na kuweka mkazo kuu juu ya maelezo na uhalalishaji wa algoriti za uchanganuzi wa grafu zilizoenea ambazo hutumiwa katika nadharia ya lugha rasmi.
Ufafanuzi wa kimsingi
Grafu, kama ilivyoonyeshwa tayari katika mifano, ni njia ya "kutazama" miunganisho kati ya vitu fulani viunganisho vinaweza "kuelekezwa," kama, kwa mfano, katika mti wa familia, au "bila kuelekezwa" (mtandao wa njia mbili. barabara). Kwa mujibu wa hili, katika nadharia ya grafu kuna aina mbili kuu za grafu: iliyoelekezwa (au iliyoongozwa) na isiyoelekezwa.
Mbinu za uwasilishaji
Kufikia sasa, tumefafanua grafu zilizoelekezwa na zisizoelekezwa, zikiwaonyesha kwa kutumia michoro. Unaweza kufafanua grafu kama jozi ya seti, kufuata ufafanuzi, lakini njia hii ni ngumu sana na ni ya maslahi ya kinadharia. Uendelezaji wa mbinu za algorithmic za kuchambua mali ya grafu inahitaji njia nyingine za kuelezea grafu ambazo zinafaa zaidi kwa mahesabu ya vitendo, ikiwa ni pamoja na kutumia kompyuta. Hebu tuangalie njia tatu za kawaida za kuwakilisha grafu.
Miti
Ufafanuzi 5.5. Mti usioelekezwa ni grafu iliyounganishwa na ya acyclic isiyoelekezwa. Ufafanuzi 5.6. Mti ulioelekezwa ni grafu iliyoelekezwa isiyo na contour ambayo nusu ya shahada ya vertex yoyote si kubwa kuliko 1 na kuna vertex moja hasa, inayoitwa mzizi wa mti ulioelekezwa, ambao nusu ya digrii ni 0.
Uzito mdogo zaidi wa mti
Tatizo lifuatalo linajulikana katika nadharia ya grafu kama tatizo la Steiner: n pointi hutolewa kwenye ndege; unahitaji kuwaunganisha na makundi ya moja kwa moja kwa namna ambayo urefu wa jumla wa makundi ni ndogo.
Mbinu za kupitisha wima za grafu kwa utaratibu
Matatizo muhimu katika nadharia ya grafu ni matatizo ya uchanganuzi wa kimataifa wa grafu zisizoelekezwa na zisizoelekezwa. Kazi hizi ni pamoja na, kwa mfano, kazi ya kutafuta mizunguko au mtaro, kuhesabu urefu wa njia kati ya jozi za wima, kuorodhesha njia zilizo na mali fulani, nk. Uchanganuzi wa grafu wa ulimwengu unapaswa kutofautishwa na uchanganuzi wa ndani, mfano ambao ni shida ya kuamua seti za watangulizi na warithi wa kipeo kisichobadilika cha grafu iliyoelekezwa.
Tatizo la njia katika grafu zilizoelekezwa kwa uzito
Isomorphism ya grafu
Kwa grafu iliyoelekezwa (V, E), seti ya E ya arcs inaweza kuzingatiwa kama grafu ya uhusiano wa kufikiwa wa moja kwa moja unaofafanuliwa kwenye seti ya vipeo. Katika grafu isiyoelekezwa (V, E), seti ya E ya kingo ni seti ya jozi zisizopangwa. Kwa kila jozi ambayo haijapangwa (u, v) ∈ E tunaweza kudhani kuwa vipeo u na v vinaunganishwa na uhusiano wa binary linganifu p, i.e. (u, v) ∈ р na (v, u) ∈ р.
Upangaji wa kitopolojia
Ufafanuzi 5.17. Mtandao ulioelekezwa (au mtandao tu) ni grafu iliyoelekezwa isiyo na mchoro*. Kwa kuwa mtandao ni grafu isiyo na contourless, inaweza kuonyeshwa kuwa kuna vertices (nodes) za mtandao na sifuri nje ya digrii, pamoja na vertices (nodes) na sifuri katika shahada. Wa kwanza huitwa kuzama au matokeo ya mtandao, na mwisho huitwa vyanzo au pembejeo za mtandao.
Vipengele vya cyclomatics
Wakati wa kujadili algorithm ya utafutaji wa kina-kwanza katika grafu isiyoelekezwa, swali la kutafuta kinachojulikana mizunguko ya msingi ya grafu ilizingatiwa. Katika kesi hii, mzunguko wa kimsingi ulieleweka kama mzunguko ulio na ukingo mmoja wa nyuma, na mawasiliano ya moja hadi moja yalianzishwa kati ya mizunguko ya kimsingi na kingo za nyuma wakati wowote ugawaji wa kiholela wa kingo zote za grafu isiyoelekezwa; miti (kuunda msitu wa makali ya juu zaidi ya grafu asili) na kinyume, na kwa ujumla kizigeu hiki kinaweza kubainishwa bila kutegemea algoriti ya utafutaji wa kina-kwanza. Utafutaji wa kina-kwanza ni njia moja tu ya kutekeleza kizigeu kama hicho.
Nadharia ya grafu ni tawi la hisabati linalotumika katika sayansi ya kompyuta na programu, uchumi, vifaa, na kemia.
Grafu ni nini
Mchoro wa michoro mara nyingi hutumiwa kuelezea muundo wa mifumo. Vipengele ndani yao vinawakilishwa na miduara, dots, mraba, nk, na uhusiano kati ya vipengele vinawakilishwa na mistari au mishale. Katika kesi hii, sio jinsi vipengele vinavyoonyeshwa au urefu au sura ya mistari ni muhimu - ni vipengele gani tu vinavyounganishwa. Kwa hivyo, grafu ni jozi ya fomu (A, M), ambapo A ni seti ya mwisho ya wima, na M ni seti ya kingo - mistari inayounganisha wima fulani.
Dhana za kimsingi za nadharia ya grafu
Grafu iliyoelekezwa au digrafu (ona kielelezo hapa chini) ina kingo zilizoelekezwa, zinazoitwa arcs, na kuonyeshwa kwa mishale. Arc inaweza kuashiria kwa jozi iliyoagizwa ya wima ambayo inaunganisha, mwanzo na mwisho.
Grafu isiyoelekezwa (angalia kielelezo hapa chini) ina kingo ambazo zimechorwa kama mistari bila mwelekeo. Ipasavyo, jozi ya wima iliyounganishwa na ukingo haijapangwa. Wima hizi zote mbili ni miisho ya ukingo.
Ikiwa vipeo a na b ni miisho ya ukingo (au mwanzo na mwisho wa arc) ya grafu, basi wima a na b inasemekana kuwa tukio kwenye ukingo huu (arc), na ukingo (arc) pia tukio kwa vipeo a na b. Ikiwa vipeo a na b ni ncha za ukingo, basi (a na b) huitwa karibu.
Mara nyingi, tunazingatia grafu ambazo kingo zake ni za aina moja - ikiwa zimeelekezwa au la.
Ikiwa kingo zina mwanzo na mwisho sawa, basi huitwa kingo nyingi, na grafu ambayo iko ndani yake inaitwa multigraph.
Nadharia ya grafu pia hutumia dhana ya "kitanzi" - makali ambayo hutoka na kwenda kwenye vertex sawa. Grafu ambayo ina vitanzi inaitwa pseudograph.
Ya kawaida ni grafu zisizoelekezwa, ambazo hazina kingo nyingi na hakuna loops. Grafu kama hizo huitwa kawaida. Hazina kingo nyingi, kwa hivyo tunaweza kutambua ukingo na jozi inayolingana ya wima.
Kila vertex ya digrafu ina sifa ya:
- Kiwango cha nusu cha matokeo. Hii ndio idadi ya safu zinazotoka ndani yake.
- Nusu ya shahada ya mbinu. Hii ndio idadi ya safu zinazoingia kwenye kipeo fulani.
Jumla ya nusu-digrii za kuingia kwa digrafu, pamoja na jumla ya nusu-digrii za matokeo, ni sawa na jumla ya idadi ya arcs ya grafu.
Katika grafu isiyoelekezwa, kila vertex ina sifa ya kiwango cha vertex. Hii ni idadi ya kingo ambazo zimetukia kwenye vertex. Jumla ya digrii za vipeo vya grafu ni idadi ya kingo zilizozidishwa na mbili: kila ukingo utachangia mchango ambao ni sawa na mbili.
Kipeo chenye shahada 0 kinaitwa kutengwa.
Kipeo kinachoning'inia ni kipeo chenye shahada ya 1.
Nadharia ya grafu huita grafu tupu ambayo hakuna kingo. Grafu kamili ni grafu ya kawaida ambayo wima 2 ziko karibu.
Grafu zilizopimwa ni grafu ambazo wima au kingo (arcs), au vipeo na kingo (arcs) mara moja, hupewa nambari fulani. Wanaitwa mizani. Kielelezo cha pili kinaonyesha grafu isiyoelekezwa ambayo kingo zake zimepimwa.
Grafu: isomorphism
Dhana ya isomorphism hutumiwa katika hisabati. Hasa, nadharia ya grafu inaifafanua kama ifuatavyo: grafu mbili U na V ni isomorphic ikiwa katika grafu hizi kuna mgawanyiko kati ya seti za vipeo vyake: kila wima 2 kwenye grafu U zimeunganishwa kwa ukingo ikiwa na tu ikiwa katika grafu V zile zile zimeunganishwa na wima ya kingo (ambayo inaweza kuwa na majina tofauti). Kielelezo kilicho hapa chini kinaonyesha grafu mbili za isomorphic ambapo ubao uliofafanuliwa hapo juu upo kati ya vipeo vilivyopakwa rangi sawa katika grafu ya kwanza na ya pili.
Njia na mizunguko
Njia katika grafu isiyoelekezwa au iliyoelekezwa ni mlolongo wa kingo, ambapo kila inayofuata huanza kwenye kipeo ambapo ya awali huishia. Njia rahisi ni moja ambayo wima zote, isipokuwa labda mwanzo na mwisho, na kingo ni tofauti. Mzunguko katika digrafu ni njia ambayo vipeo vya kuanzia na kumalizia vinapatana na ambayo inajumuisha angalau makali moja. Mzunguko katika grafu ambayo haijaelekezwa ni njia ambayo ina angalau kingo tatu tofauti. Katika takwimu ya pili, mzunguko ni, kwa mfano, njia (3, 1), (6, 3), (1, 6).
Nadharia ya grafu katika upangaji programu hutumiwa kuunda michoro ya grafu ya algorithms.
Kitabu cha K. Berge ni cha kwanza kwenye nadharia ya grafu katika Kirusi. Wakati huo huo, katika miaka ya hivi karibuni, riba katika nadharia imeongezeka kwa kasi kwa upande wa wanahisabati na wawakilishi wa aina mbalimbali za taaluma. Hii inafafanuliwa na ukweli kwamba mbinu za nadharia ya graph hufanikiwa kutatua matatizo mengi katika nadharia ya nyaya za umeme, nadharia ya minyororo ya usafiri, nadharia ya habari, cybernetics, nk.
Katika kitabu cha Berge, nadharia ya grafu imewasilishwa kwa mfuatano, kuanzia msingi sana. Inachukuliwa kuwa msomaji ana ujuzi wa kawaida wa hisabati, ingawa ana utamaduni fulani wa hisabati. Nakala inajumuisha mifano mingi, mara nyingi ya kuchekesha. Kitabu kinaweza kutumika kwa uchunguzi wa awali wa nadharia ya grafu. Wataalamu wa hisabati pia watapata mambo mengi ya kuvutia ndani yake.
Algorithm ya kutambua moja kwa moja mzunguko wa Eulerian.
[Fleury]. Wacha tuchunguze multigraph iliyounganishwa G, ambayo wima zote zina digrii hata, na tutajaribu kuchora kwa kiharusi kimoja, bila kuamua marekebisho katika sehemu iliyochorwa ya trajectory wakati wa mchakato wa ujenzi. Inatosha kufuata sheria zifuatazo:
1 Tunatoka kwenye kipeo cha kiholela a; Tunavuka kila makali yaliyopitishwa.
2 Hatuendi kando ya makali kama haya na, ambayo kwa sasa inayozingatiwa ni isthmus (yaani, inapoondolewa, grafu inayoundwa na kingo ambazo hazijavuka hugawanyika katika vipengele viwili vilivyounganishwa vyenye angalau makali moja kila moja),
Kwa kufuata sheria hii, daima tutakuwa katika nafasi nzuri, kwa sababu tunapokuwa x = a, grafu (ya kingo zisizovuka) ina wima mbili za shahada isiyo ya kawaida: x na a; ikiwa wima pekee hutupwa, basi grafu iliyounganishwa inabaki, ambayo, kwa mujibu wa Theorem 1, ina mlolongo wa Euler unaoanzia x.
Maudhui
Utangulizi
Sura ya 1. Ufafanuzi wa msingi
Seti na michoro yenye thamani nyingi
Grafu. Njia na contours
Mizunguko na mizunguko
Sura ya 2. Utafiti wa awali wa utaratibu wa quasi
Agizo la Quasi limefafanuliwa kwa grafu
Grafu ya kufata neno na besi
Sura ya 3. Kazi ya kawaida na kazi
Grundy kwa grafu isiyo na kikomo
Mazingatio ya jumla kuhusu grafu zisizo na kikomo
Kazi ya kawaida
Kazi za Grundy
Uendeshaji kwenye grafu
Sura ya 4. Nambari za msingi za nadharia ya grafu
Nambari ya Cyclomatic
Nambari ya Chromatic
Nambari ya utulivu wa ndani
Nambari ya utulivu wa nje
Sura ya 5. Kernels za Grafu
Nadharia za uwepo na upekee
Maombi kwa kazi za Grundy
Sura ya 6. Michezo ya Grafu
Mchezo Nim
Ufafanuzi wa jumla wa mchezo (na habari kamili)
Mikakati
Sura ya 7. Tatizo la Njia fupi zaidi
Michakato kwa hatua Baadhi ya jumla
Sura ya 8. Mitandao ya usafiri
Upeo wa Tatizo la Mtiririko Tatizo Angalifu la Mtiririko
Tatizo la Mtiririko Unaooana na Set-Thamani
Mitandao ya usafiri isiyo na mwisho
Sura ya 9. Nadharia juu ya nusu-nguvu
Kiwango cha nusu cha kutoka na kuingia
Sura ya 10. Kufananisha grafu rahisi
Tatizo la juu zaidi la kulinganisha
Upungufu rahisi wa grafu
Algorithm ya Hungarian
Ujumla kwa kesi isiyo na mwisho
Maombi kwa nadharia ya tumbo
Sura ya 11. Mambo
Njia za Hamiltonia na mtaro wa Hamilton
Kutafuta sababu
Kupata grafu ya sehemu iliyopewa digrii nusu
Sura ya 12. Vituo vya Grafu
Vituo
Radius
Sura ya 13. Kipenyo cha grafu iliyounganishwa sana
Tabia za jumla za grafu zilizounganishwa kwa nguvu bila vitanzi
Kipenyo
Sura ya 14. Graph Adjacency Matrix
Utumiaji wa shughuli za kawaida za matrix
Kuhesabu matatizo
Tatizo kiongozi
Kutumia Operesheni za Boolean
Sura ya 15. Matukio ya matrices
Matrices ya unimodular kabisa
Mifumo ya unimodular kabisa
Matrices ya Cyclomatic
Sura ya 16. Miti na miti ya mababu
Miti
Utafiti wa uchambuzi
Grandtrees
Sura ya 17. Tatizo la Euler
Euler huzungusha mtaro wa Euler
Sura ya 18. Kulinganisha grafu ya kiholela
Nadharia Mbadala ya Mzunguko
Kupata grafu ya sehemu iliyo na digrii za kipeo
Kulinganisha kikamilifu
Maombi kwa nambari ya uthabiti wa ndani
Sura ya 19. Factories
Mizunguko ya Hamiltonian na factoroids
Hali ya lazima na ya kutosha kwa kuwepo kwa factoroid
Sura ya 20. Muunganisho wa Grafu
Pointi za kutamka
Grafu bila matamshi
grafu zilizounganishwa na h
Sura ya 21. Grafu zilizopangwa
Mali ya msingi
Ujumla
Nyongeza
I. Nadharia ya jumla, michezo
II. Kuhusu kazi za usafiri
III. Juu ya matumizi ya dhana zinazowezekana katika mitandao ya usafiri
IV. Matatizo ambayo hayajatatuliwa na mawazo ambayo hayajathibitishwa
V. Juu ya kanuni za msingi za kuhesabu (J. Riguet)
VI. Nyongeza kwa tafsiri ya Kirusi (A.A. Zykov na G.I. Kozhukhin)
Fasihi
Nadharia ya grafu na kitabu cha C. Berge (maneno ya baadaye kwa tafsiri ya Kirusi)
Kielezo cha wahusika
Fahirisi ya jina
Kielezo cha mada.
Pakua e-kitabu bila malipo katika umbizo linalofaa, tazama na usome:
Pakua kitabu cha Nadharia ya Grafu na Matumizi Yake, Berge K. - fileskachat.com, upakuaji wa haraka na bila malipo.
Nadharia ya grafu ni tawi la hisabati tupu ambalo husoma vitu vinavyowakilishwa kama vipengee vya kibinafsi (vipeo) na viunganisho kati yao (arcs, kingo).
Nadharia ya grafu inatokana na suluhisho la shida ya madaraja ya Königsberg mnamo 1736 na mwanahisabati maarufu. Leonard Euler(1707-1783: alizaliwa Uswizi, aliishi na kufanya kazi nchini Urusi).
Tatizo kuhusu madaraja ya Königsberg.
Kuna madaraja saba katika mji wa Prussia wa Königsberg kwenye Mto Pregal. Je, inawezekana kupata njia ya kutembea inayovuka kila daraja mara moja tu na kuanza na kuishia mahali pamoja?
Grafu ambayo ndani yake kuna njia inayoanza na kuishia kwenye kipeo kimoja na kupita kwenye kingo zote za grafu mara moja inaitwa.Grafu ya Euler.
Mlolongo wa wima (labda unaorudiwa) ambayo njia inayotaka hupita, pamoja na njia yenyewe, inaitwa.Mzunguko wa Euler .
Tatizo la nyumba tatu na visima vitatu.
Kuna nyumba tatu na visima vitatu, kwa namna fulani iko kwenye ndege. Chora njia kutoka kwa kila nyumba hadi kila kisima ili njia zisiingiliane. Shida hii ilitatuliwa (ilionyeshwa kuwa hakuna suluhisho) na Kuratovsky (1896 - 1979) mnamo 1930.
Tatizo la rangi nne. Kugawanya ndege katika maeneo yasiyo ya makutano inaitwa kwa kadi. Maeneo ya ramani yanaitwa karibu ikiwa yana mpaka wa kawaida. Kazi ni kuchora ramani kwa njia ambayo hakuna maeneo mawili ya karibu yanapigwa rangi sawa. Tangu mwisho wa karne ya 19, nadharia imejulikana kuwa rangi nne zinatosha kwa hili. Dhana bado haijathibitishwa.
Kiini cha suluhu iliyochapishwa ni kujaribu idadi kubwa lakini yenye kikomo (takriban 2000) ya mifano inayoweza kulinganishwa na nadharia ya rangi nne na kuonyesha kuwa hakuna kisa kimoja ambacho ni kielelezo. Utafutaji huu ulikamilishwa na programu katika muda wa saa elfu moja wa uendeshaji wa kompyuta kubwa.
Haiwezekani kuangalia suluhisho linalosababishwa "kwa mikono" - wigo wa kuhesabu ni zaidi ya upeo wa uwezo wa kibinadamu. Wanahisabati wengi huuliza swali: je, "uthibitisho wa programu" kama huo unaweza kuchukuliwa kuwa uthibitisho halali? Baada ya yote, kunaweza kuwa na makosa katika programu ...
Kwa hivyo, tunaweza kutegemea tu ujuzi wa programu ya waandishi na kuamini kwamba walifanya kila kitu sawa.
Ufafanuzi 7.1. Hesabu G= G(V, E) ni mkusanyiko wa seti mbili za mwisho: V - inayoitwa vipeo vingi na kuweka E ya jozi ya vipengele kutoka V, i.e. EÍV´V, iliyoitwa pembe nyingi, ikiwa jozi hazijapangwa, au arc nyingi, ikiwa jozi zimeagizwa.
Katika kesi ya kwanza, grafu G(V, E) kuitwa isiyo na mwelekeo, katika pili - iliyoelekezwa.
MFANO. Grafu yenye seti ya vipeo V = (a,b,c) na seti ya kingo E =((a, b), (b, c))
MFANO. Grafu yenye V = (a,b,c,d,e) na E = ((a, b), (a, e), (b, e), (b, d), (b, c) , (c, d)),
Ikiwa e=(v 1 ,v 2), еОЕ, basi wanasema kwamba ukingo ni e inaunganisha vipeo v 1 na v 2.
Vipeo viwili v 1,v 2 vinaitwa karibu, ikiwa kuna makali ya kuwaunganisha. Katika hali hii, kila wima inaitwa tukio makali yanayolingana .
Mbavu mbili tofauti karibu, ikiwa wana vertex ya kawaida. Katika hali hii, kila kingo huitwa tukio vertex inayolingana .
Idadi ya wima ya grafu G hebu kuashiria v, na idadi ya kingo ni e:
.
Uwakilishi wa kijiometri wa grafu ni kama ifuatavyo:
1) vertex ya grafu ni hatua katika nafasi (kwenye ndege);
2) makali ya grafu isiyoelekezwa - sehemu;
3) arc ya grafu iliyoelekezwa - sehemu iliyoelekezwa.
Ufafanuzi 7.2. Ikiwa kwenye ukingo e=(v 1 ,v 2) v 1 =v 2 hutokea, basi makali e huitwa. kitanzi. Ikiwa grafu inaruhusu loops, basi inaitwa grafu yenye vitanzi au pseudograph .
Ikiwa grafu inaruhusu makali zaidi ya moja kati ya wima mbili, basi inaitwa multigraph .
Ikiwa kila kipeo cha grafu na/au ukingo kimeandikwa, basi grafu kama hiyo inaitwa alama (au imepakiwa ) Herufi au nambari kamili hutumiwa kama alama.
Ufafanuzi 7.3. Grafu G (V , E ) kuitwa sehemu ndogo (au sehemu ) grafu G(V,E), Kama V V, E E. Kama V = V, Hiyo G kuitwa sehemu ndogo G.
Mfano 7 . 1 . Imepewa grafu isiyoelekezwa.
Ufafanuzi 7.4. Grafu inaitwa kamili , Kama yoyote vipeo vyake viwili vimeunganishwa kwa ukingo. Kamilisha grafu na n vipeo vinaonyeshwa na K n .
Hesabu K 2 , KWA 3, KWA 4 na K 5 .
Ufafanuzi 7.5. Grafu G=G(V, E) inaitwa dicotyledonous , Kama V inaweza kuwakilishwa kama muungano wa seti zisizounganishwa, sema V=AB, kwa hivyo kila makali ina fomu ( v i , v j), Wapi v i A Na v j B.
Kila makali huunganisha kipeo kutoka kwa A hadi kipeo kutoka kwa B, lakini hakuna vipeo viwili kutoka kwa A au viwili kutoka kwa B vilivyounganishwa.
Grafu ya pande mbili inaitwa dicotyledon kamili hesabu K m , n, Kama A ina m vilele, B ina n wima na kwa kila moja v i A, v j B tuna ( v i , v j)E.
Kwa hivyo, kwa kila mtu v i A, Na v j B kuna ukingo unaowaunganisha.
K 12 K 23 K 22 K 33
Mfano 7 . 2 . Tengeneza grafu kamili ya sehemu mbili K 2.4 na grafu kamili K 4 .
Grafu ya kitengon-mchemraba wa dimensionalKATIKA n .
Vipeo vya grafu ni seti za binary za n-dimensional. Kingo huunganisha wima ambazo hutofautiana katika kuratibu moja.
Mfano: 
Grafu ni mada ya kufurahisha, yenye zawadi na ya kutisha. Nadharia ya Grafu - "Hofu ya Mwanafunzi". Algorithms za grafu ni akili za kushangaza za watu waliozigundua.
Grafu ni nini? Ili kujibu swali hili kwa wasomaji wangu, nitaelezea mada kwa njia tofauti kidogo.
Grafu ni seti ya vitu.
Katika matatizo mengi haya ni vitu vya aina moja. (Miji mingi, au nyumba nyingi, au watu wengi, au vitu vingine vingi vya aina moja)
Ili kutatua shida na seti kama hiyo, unahitaji kuteua kila kitu kutoka kwa seti hii kama kitu. Inakubaliwa kwa ujumla kuita kitu hiki kama wima za grafu.
Ni rahisi kuelezea grafu na ufafanuzi wa kimsingi na picha, kwa hivyo picha lazima zijumuishwe ili kusoma ukurasa huu.
Kama nilivyoandika hapo awali, grafu ni seti ya vitu. Vitu hivi kawaida ni vya aina moja. Njia rahisi ya kutoa mfano ni katika miji. Kila mmoja wetu anajua mji ni nini na barabara ni nini. Kila mmoja wetu anajua kwamba kunaweza kuwa na au kusiwe na barabara za kwenda mjini. Kwa ujumla, seti yoyote ya vitu inaweza kuwa na sifa kama grafu.
Ikiwa tunazungumza juu ya grafu kama miji, basi barabara zinaweza kujengwa kati ya miji, au zinaweza kuharibiwa mahali pengine, hazijajengwa, au jiji kwa ujumla liko kwenye kisiwa, hakuna daraja, na barabara za lami tu ndizo zinazovutia. . Licha ya ukweli kwamba hakuna barabara ya jiji kama hilo, jiji hili linaweza kujumuishwa katika vitu vingi vilivyochambuliwa, na vitu vyote vilivyochukuliwa pamoja vinaunda mkusanyiko wa vitu au, kwa urahisi zaidi, grafu.
Hakika umesoma vitabu vya kiada na kuona nukuu hii G(V,E) au kitu kama hicho. Kwa hivyo, V ni kitu kimoja kutoka kwa seti nzima ya vitu. Kwa upande wetu, seti ya vitu ni miji, kwa hiyo, V ni mji maalum. Kwa kuwa vitu sio lazima miji, na kitu cha neno kinaweza kutatanisha, kitu kama hicho kutoka kwa seti kinaweza kuitwa hatua, uhakika, au kitu kingine, lakini mara nyingi huitwa vertex ya grafu na inaonyeshwa na barua. V.
Katika upangaji programu, hii kwa kawaida huwa ni safu au safu mlalo ya safu ya pande mbili, ambapo mkusanyiko huo huitwa aidha matriki ya karibu au matriki ya matukio.
Katika fasihi, kwenye Mtandao, na kwa ujumla popote kitu kimeandikwa kuhusu grafu, utakutana na dhana kama vile arcs na edges. Kielelezo hiki kinaonyesha kingo za grafu. Wale. hizi ni kingo tatu E1, E2 na E3.
Safu na ukingo hutofautiana kwa kuwa kingo ni muunganisho wa pande mbili. Alitaka, akaenda kwa jirani yake, akataka, akarudi kutoka kwa jirani yake. Ikiwa haijulikani sana, basi unaweza kufikiria nyumba, uwanja wa ndege, ndege ya kuruka na parachutist. Mpiga mbizi anaweza kutoka nyumbani kwake hadi uwanja wa ndege, lakini anapofika kwenye uwanja wa ndege, anakumbuka kwamba alisahau parachuti yake ya bahati nyumbani, kisha anarudi nyumbani na kuchukua parachuti. - Barabara ambayo unaweza kutembea na kurudi inaitwa ukingo.
Ikiwa skydiver yuko kwenye ndege na anaruka kutoka kwa ndege, lakini skydiver alisahau kuweka parachuti yake ya bahati kwenye ndege, je, skydiver ataweza kuchukua kile alichosahau? Njia inayoenda tu katika mwelekeo mmoja inaitwa arc. Kawaida tunasema kwamba makali huunganisha wima mbili, na arc huenda kutoka kwa vertex moja hadi nyingine.
Katika takwimu hii, grafu ina arcs tu. Arcs kwenye grafu zinaonyeshwa kwa mishale, kwa sababu mwelekeo unaopatikana ni wazi sana. Ikiwa grafu ina arcs kama hizo tu, basi grafu kama hiyo inaitwa iliyoelekezwa.
 |
Mara nyingi utakutana na dhana za ujumuishaji na matukio. Katika takwimu, kingo mbili zinazoenda kwa hatua moja zimewekwa alama nyekundu. Kingo kama hizo, kama wima zilizoelezewa hapo juu, pia huitwa karibu. |
Mengi hayajaelezewa, lakini kipande hiki cha habari kinaweza kumsaidia mtu.