Maagizo. Ingiza usemi F(x) , bonyeza Ijayo. Suluhisho linalosababishwa limehifadhiwa kwenye faili ya Neno. Kiolezo cha suluhisho pia kinaundwa katika Excel. Chini ni maagizo ya video.
Sheria za kuingiza kipengele cha kukokotoa
Mifano≡ x^2/(x+2)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3)
Wacha tuchunguze njia ya haraka ya kupata mzizi kwenye muda, chini ya dhana kwamba f(a)f(b)<0.
f’’(x)>0 f’’(x)<0
f(b)f’’(b)>0 f(a)f’’(a)>0 
Mtini.1a Mtini. 1b
Hebu tuangalie Mchoro 1a. Wacha tuchore chord kupitia alama A na B. Mlinganyo wa chord 
.
Katika hatua x=x 1 , y=0, kama matokeo tunapata makadirio ya kwanza ya mzizi. 
. (3.8)
Kukagua masharti
(a) f(x 1)f(b)<0,
(b) f(x 1)f(a)<0.
Ikiwa hali (a) imeridhika, basi katika formula (3.8) tunabadilisha uhakika na x 1, tunapata
.
Kuendeleza mchakato huu, tunapata kwa makadirio ya nth 
. (3.9)
Hapa mwisho a inaweza kusogezwa, hiyo ni f(x i)f(b)<0. Аналогичная ситуация на рис 2а.
Wacha tuzingatie kesi wakati mwisho a umewekwa.
f''(x)<0 f’’(x)>0
f(b)f’’(b)<0 f(a)f’’(a)<0
Mtini.2a Mtini.2b
Katika Mchoro 1b, 2b f(x i)f(a) inatekelezwa<0. Записав уравнение хорды, мы на первом шаге итерационного процесса получим x 1 (см. (3.8)). Здесь выполняется f(x 1)f(a)<0. Затем вводим b 1 =x 1 (в формуле (3.8) точку b заменяем на x 1), получим
.
Kuendeleza mchakato, tunafika kwenye fomula 
. (3.10)
Kusimamisha mchakato
|x n – x n-1 |<ε; ξ≈x n
Mchele. 3
Katika Mchoro 3 f’’(x) ishara hubadilisha, kwa hivyo ncha zote mbili zitaweza kusogezwa.
Kabla ya kuendelea na swali la muunganisho wa mchakato wa kurudia wa njia ya chord, tunaanzisha dhana ya kazi ya convex.
Ufafanuzi. Kitendaji kinachoendelea kinaitwa convex (concave) ikiwa kwa nukta zozote mbili x 1 ,x 2 ya kuridhisha a≤x 1
f(αx 1 + (1-α)x 2) ≥ αf(x 1) + (1-α)f(x 2) - concave
Kwa chaguo za kukokotoa za mbonyeo f’’(x)≥0.
Kwa chaguo la kukokotoa la concave f’’(x)≤0
Nadharia 3. Ikiwa kazi ya f(x) ni convex (concave) kwenye sehemu, basi kwenye sehemu yoyote. 
grafu ya chaguo za kukokotoa f(x) haiko juu zaidi (si chini) kuliko gumzo linalopita kwenye nukta za grafu na abscissas x 1 na x 2.
Uthibitisho:
Hebu tuchunguze kazi ya convex. Equation ya chord: kupita kwa x 1 na x 2 ina fomu: 
.
Fikiria hatua c= αx 1 + (1-α)x 2, ambapo aО
Kwa upande mwingine, kwa ufafanuzi wa kitendakazi cha mbonyeo tuna f(αx 1 + (1-α)x 2) ≤ αf 1 + (1-α)f 2; kwa hivyo f(c) ≤ g(c) n.k. 
Kwa kazi ya concave uthibitisho ni sawa.
Tutazingatia uthibitisho wa muunganiko wa mchakato wa kurudia kwa kesi ya kitendakazi cha mbonyeo (concave).
Nadharia 4. Acha kazi inayoendelea, inayoweza kutofautishwa mara mbili f(x) itolewe na iruhusu f(a)f(b)<0, а f’(x) и f’’(x) сохраняют свои знаки на (см. рис 1а,1б и рис 2а,2б). Тогда итерационный процесс метода хорд сходится к корню ξ с любой наперед заданной точностью ε.
Uthibitisho: Hebu tuzingatie kwa mfano kisa f(a)f’’(a)<0 (см рис 1а и 2а). Из формулы (9) следует, что x n >x n -1 tangu (b-x n -1)>0, na f n -1 /(f b -f n -1)<0. Это справедливо для любого n, то есть получаем возрастающую последовательность чисел
a≤x 0
. (3.11)
Tuna
(3.12)
(yaani, thamani ya chaguo za kukokotoa y(x) katika nukta x n kwenye gumzo sanjari na f(ξ)).
Kwa kuwa , basi kutoka (3.12) inafuata
au
. (3.13)
Kwa mtini. 1a, kwa hivyo
au
ina maana kwamba, nk. (tazama (3.11)).
Kwa Mtini. 2a. Kwa hivyo, kutoka (3.12) tunapata
Maana
kwa sababu 
na kadhalika.
Uthibitisho sawa wa Mchoro 1b na Mchoro 2b. Kwa hivyo, tumethibitisha kuwa mlolongo wa nambari unaungana.
a≤x 0
Muunganisho wa njia ya chord ni mstari na mgawo 
.
, (3.14)
ambapo m 1 =min|f’(x)|, M 1 =max|f’(x)|.
Hii inafuatia kutoka kwa fomula zifuatazo. Wacha tuzingatie kesi ya mwisho thabiti b na f(b)>0.
Tuna kutoka (3.9) 
. Kutoka hapa 
. Kwa kuzingatia hilo, tunaweza kuandika 
au 
.
Kubadilisha (ξ-x n -1) katika dhehebu la upande wa kulia na (b-x n -1) na kwa kuzingatia kwamba (ξ-x n -1)< (b-x n -1), получим 
, ambayo ndiyo ilihitaji kuthibitishwa (tazama ukosefu wa usawa (3.14)).
Uthibitisho wa muunganiko wa kisa cha Kielelezo 3 (f’’(x) ishara ya mabadiliko; katika hali ya jumla, f’ na f’’ zinaweza kubadilisha ishara) ni ngumu zaidi na haijatolewa hapa.
Katika shida, tambua idadi ya mizizi halisi ya equation f (x) = 0, tenganisha mizizi hii na, kwa kutumia njia ya chords na tangents, pata maadili yao ya takriban kwa usahihi wa 0.001.
Wacha kwenye sehemu kazi ni ya kuendelea, inachukua ishara tofauti katika mwisho wa sehemu, na derivative f"(x) huokoa ishara. Kulingana na ishara ya derivative ya pili, matukio yafuatayo ya mpangilio wa curve yanawezekana (Mchoro 1).
Mchele. 1.
Algorithm ya hesabu ya takriban ya mizizi kwa kutumia njia ya chord.
Data ya awali: f(x)- kazi ; e- usahihi unaohitajika; x 0 - makadirio ya awali.
Matokeo: xpr- takriban mzizi wa equation f(x)= 0.
Njia ya suluhisho:
Mchele. 2. f"(x) f ""(x)>0.
Hebu fikiria kesi wakati f"(x) Na f ""(x) kuwa na ishara sawa (Mchoro 2).
Grafu ya kazi hupita kupitia pointi A 0 (a,f(a)) Na B 0 (b,f(b)). Mzizi unaohitajika wa equation (point x*) haijulikani kwetu, itachukua nukta badala yake X 1 makutano ya chord A 0 KATIKA 0 na mhimili wa abscissa. Hii itakuwa thamani ya takriban ya mzizi.
Katika jiometri ya uchanganuzi, fomula inatolewa ambayo inabainisha equation ya mstari wa moja kwa moja unaopitia pointi mbili na kuratibu. (x1; y1) Na (x2; y2): .
Kisha equation ya chord A 0 KATIKA 0 itaandikwa kwa namna:.
Hebu tupate thamani x = x 1 , kwa ajili yake y = 0:. Sasa mizizi iko kwenye sehemu . Wacha tutumie njia ya chord kwenye sehemu hii. Hebu tuchore chord kuunganisha pointi A 1 (x 1 ,f(x 1 )) Na B 0 (b,f(b)), na tutapata X 2 - hatua ya makutano ya chord A 1 KATIKA 0 na ekseli Oh: x 2 =x 1 .
Kuendeleza mchakato huu, tunapata
x 3 =x 2 .
Tunapata fomula inayojirudia ya kuhesabu makadirio ya mzizi
x n+1 =x n .
Katika kesi hii, mwisho b sehemu inabaki bila mwendo na mwisho a hatua.
Kwa hivyo, tunapata fomula za hesabu za njia ya chord:
x n+1 =x n ; x 0 =a. (4)
Hesabu ya makadirio ya mfululizo kwa mzizi halisi wa equation inaendelea hadi tufikie usahihi maalum, i.e. sharti lifuatalo litimizwe: | x n+1 -x n |< , usahihi uliobainishwa uko wapi.
Sasa hebu fikiria kesi wakati derivatives ya kwanza na ya pili ina ishara tofauti, i.e. f"(x) f ""(x)<0 . (Mchoro 3).
Mchele. 3. Tafsiri ya kijiometri ya njia ya chord kwa kesi hiyo f"(x) f ""(x)<0 .
Hebu tuunganishe pointi A 0 (a,f(a)) Na B 0 (b,f(b)) sauti A 0 KATIKA 0 . Hatua ya makutano ya chord na mhimili Oh Tutazingatia makadirio ya kwanza ya mizizi. Katika kesi hii, mwisho uliowekwa wa sehemu utakuwa mwisho A.
Mlinganyo wa chord A 0 KATIKA 0 :. Kutoka hapa tutapata x 1 , kudhani y = 0: x 1 =b. Sasa mzizi wa equation x. Kutumia njia ya chord kwa sehemu hii, tunapata x 2 =x 1 . Kuendelea, nk, tunapata x n+1 =x n .
Njia za kuhesabu njia:
x n+1 =x n , x 0 =0 . (5)
Masharti ya kukamilisha mahesabu: | x n+1 -x n |< . Kisha xpr = xn+1 kwa usahihi Kwa hivyo, ikiwa f"(x) f ""(x)>0 thamani ya takriban ya mzizi hupatikana kwa kutumia formula (4), ikiwa f"(x) f ""(x)<0 , basi kulingana na formula (5).
Uchaguzi wa vitendo wa formula moja au nyingine unafanywa kwa kutumia sheria ifuatayo: mwisho uliowekwa wa sehemu ni moja ambayo ishara ya kazi inafanana na ishara ya derivative ya pili.
Mfano. Onyesha athari za sheria hii kwa kutumia equation
(x-1)ln(x)-1=0, ikiwa ni sehemu ya kutengwa kwa mizizi .
Suluhisho. Hapa f(x)=(x-1)ln(x)-1.
f "(x)=ln(x)+;
f ""(x)=.
Derivative ya pili katika mfano huu ni chanya kwenye sehemu ya kutengwa kwa mizizi : f ""(x)>0, f(3)>0, yaani. f(b) f""(x)>0. Kwa hivyo, wakati wa kutatua equation hii kwa kutumia njia ya chord, kufafanua mzizi, tunachagua fomula (4).
var e,c,a,b,y,ya,yb,yn,x,x1,x2,xn,f1,f2:halisi;
anza e:=0.0001;
writeln("vvedi nachalo otrezka");
writeln("vvedi konec otrezka");
y:=((x-1)*ln(x))-1;
y:=((x-1)*ln(x))-1;
yb:=y; c:=(a+b)/2; x:=c;
y:=((x-1)*ln(x))-1;
f1:=ln(x) + (x-1)/x ;
f2:= 1/x + 1/(x*x);
ikiwa (ya*yb< 0) and (f1*f2 > 0)
kisha anza x1:=a; wakati abs(x2 - x) > e kufanya
x2:=x1 - (yn*(b-x1))/(yb - yn);
writeln("koren uravneniya xn = ", x2)
mwisho anza mwingine x1:=b;
wakati abs(x2 - x) > e kufanya
anza x:=x1; y:=((x-1)*ln(x))-1; yn:=y;
x2:=x1 - (yn*(x1- a))/(yn - ya);
writeln("koren uravneniya xn = ", x2);
Mbinu rahisi ya kurudia
Fikiria mlinganyo f(x)=0(1) yenye mizizi iliyotenganishwa X. Ili kutatua equation (1) kwa kutumia mbinu rahisi ya kurudia, tunaipunguza hadi fomu inayolingana: x=ts(x). (2)
Hii inaweza kufanywa kila wakati, na kwa njia nyingi. Kwa mfano:
x=g(x) f(x) + x ? c(x), Wapi g(x) - kazi ya kiholela ya kuendelea ambayo haina mizizi kwenye sehemu .
Hebu x (0) - makadirio ya mzizi uliopatikana kwa njia fulani x(katika kesi rahisi x (0) =(a+b)/2). Njia rahisi ya kurudia inajumuisha kuhesabu kwa mpangilio masharti ya mlolongo wa kurudia:
x (k+1) =ts(x (k) ), k=0, 1, 2, ... (3)
kuanzia kukaribia x (0) .
TAARIFA: 1 Ikiwa mfuatano (x(k)) wa mbinu rahisi ya kurudia utaungana na chaguo la kukokotoa μ ni endelevu, basi kikomo cha mfuatano huo ndio mzizi wa mlinganyo x=μ(x)
USHAHIDI: Hebu iwe. (4)
Wacha tuhamie kikomo katika usawa x (k+1) =ts(x (k) ) Kwa upande mmoja, tunapata kutoka (4) hiyo na kwa upande mwingine, kutokana na kuendelea kwa kazi ts na (4) .
Matokeo yake tunapata x * =ts(x * ). Kwa hivyo, x * - mzizi wa equation (2), i.e. X=x * .
Ili kutumia taarifa hii, mlolongo lazima uungane (x (k) }. Hali ya kutosha ya muunganisho inatoa:
NADHARIA 1: (kwenye muunganiko) Acha mlinganyo x=ts(x) ina mzizi mmoja kwenye sehemu na masharti yanatimizwa:
- 1) c(x) C 1 ;
- 2) c(x) "x;
- 3) kuna mara kwa mara q > 0: | q "(x) | ? q . Kisha mlolongo wa kurudia (x (k) }, iliyotolewa na formula x (k+1) = q(x (k) ), k=0, 1, ... huungana kwa makadirio yoyote ya awali x (0) .
UTHIBITISHO: Zingatia masharti mawili yanayokaribiana ya mlolongo (x (k) ):x (k) = q(x (k-1) ) Na x (k+1) = q(x (k) ) Kwa kuwa kulingana na sharti 2) x (k) Na x (k+1) lala ndani ya sehemu , basi kwa kutumia theorem ya maana ya Lagrange tunapata:
x (k+1) -x (k) = q(x (k) ) - c(x (k-1) ) = c "(c k ) (x (k) -x (k-1) ), ambapo c k (x (k-1) , x (k) ).
Kutoka hapa tunapata:
| x (k+1) -x (k) | = | ts "(c k ) | · | x (k) -x (k-1) | ? q | x (k) -x (k-1) | ?
? q(q|x (k-1) -x (k-2) |) = q 2 | x (k-1) -x (k-2) | ? ...? q k | x (1) -x (0) |. (5)
Fikiria mfululizo
S ? = x (0) + (x (1) -x (0) ) + ... + (x (k+1) -x (k) ) + ... . (6)
Ikiwa tutathibitisha kwamba mfululizo huu unaungana, basi mlolongo wa kiasi chake cha jumla pia huungana
S k = x (0) + (x (1) -x (0) ) + ... + (x (k) -x (k-1) ).
Lakini si vigumu kuhesabu hiyo
S k = x (k)) . (7)
Kwa hivyo, kwa hivyo tutathibitisha muunganisho wa mlolongo wa kurudia (x (k) }.
Ili kuthibitisha muunganiko wa mfululizo (6), hebu tuulinganishe neno kwa neno (bila muhula wa kwanza x (0) ) na jirani
q 0 | x (1) -x (0) | +q 1 | x (1) -x (0) | + ... + |x (1) -x (0) | + ..., (8)
ambayo huungana kama ukuaji wa kijiometri unaopungua sana (tangu kwa masharti q< 1 ) Kwa sababu ya ukosefu wa usawa (5), maadili kamili ya mfululizo (6) hayazidi masharti yanayolingana ya mfululizo wa muunganisho (8) (yaani, mfululizo wa (8) kuu wa mfululizo (6). Kwa hivyo, mfululizo (6) ) pia huungana (x (0) }.
Tunapata fomula ambayo inatoa mbinu ya kukadiria kosa | X - x (k+1) |
njia rahisi ya kurudia.
X-x (k+1) = X - S k+1 = S ? -S k+1 = (x (k+2) - (k+1) ) + (x (k+3) -x (k+2) ) + ... .
Kwa hiyo
| X - x (k+1) | ? | x (k+2) - (k+1) | + | x (k+3) -x (k+2) | + ...? q k+1 | x (1) -x (0) | +q k+2 | x (1) -x (0) | + ... = q k+1 | x (1) -x (0) | /(1-q).
Kama matokeo, tunapata formula
| X - x (k+1) | ? q k+1 | x (1) -x (0) | /(1-q).(9)
Kuchukua kwa x (0) maana x (k) , nyuma x (1) - maana x (k+1)(kwa kuwa chaguo kama hilo linawezekana ikiwa masharti ya nadharia yamefikiwa) na kwa kuzingatia kwamba kwa usawa. q k+1 ? q tunatoa:
| X - x (k+1) | ? q k+1 | x (k+1) -x (k) | / (1-q) ? q|x (k+1) -x (k) | /(1-q).
Kwa hivyo, hatimaye tunapata:
| X - x (k+1) | ? q|x (k+1) -x (k) | /(1-q). (10)
Tunatumia fomula hii kupata kigezo cha kukomesha mfuatano wa kurudia. Acha equation x=ts(x) hutatuliwa kwa marudio rahisi, na jibu lazima lipatikane kwa usahihi e, hiyo ni
| X - x (k+1) | ? e.
Kwa kuzingatia (10) tunapata usahihi huo e itapatikana ikiwa ukosefu wa usawa utaridhika
| x (k+1) -x (k) | ? (1-q)/q.(11)
Kwa hivyo, kupata mizizi ya equation x=ts(x) kwa kutumia njia ya kurudia rahisi kwa usahihi, inahitajika kuendelea kurudia hadi moduli ya tofauti kati ya makadirio ya mwisho ya jirani ibaki kuwa kubwa kuliko nambari. e(1-q)/q.
KUMBUKA 1: Kama q isiyobadilika, mtu huchukua makadirio ya juu ya wingi
Tafsiri ya kijiometri
Wacha tuangalie grafu ya kazi. Hii inamaanisha kuwa suluhisho la equation na ndio mahali pa makutano na mstari:
Picha 1.
Na iteration inayofuata ni uratibu wa x wa makutano ya mstari wa moja kwa moja wa usawa na mstari wa moja kwa moja.
Kielelezo cha 2.
Takwimu inaonyesha wazi mahitaji ya muunganisho. Kadiri derivative inavyokaribia 0, ndivyo algorithm inavyoungana. Kulingana na ishara ya derivative karibu na suluhisho, makadirio yanaweza kujengwa kwa njia tofauti. Ikiwa, basi kila makadirio yanayofuata yamejengwa kwa upande mwingine wa mzizi:
Kielelezo cha 3.
Hitimisho
Tatizo la kuboresha ubora wa mahesabu, kama tofauti kati ya taka na halisi, ipo na itakuwepo katika siku zijazo. Suluhisho lake litawezeshwa na maendeleo ya teknolojia ya habari, ambayo ina njia zote mbili za kuboresha kwa kuandaa michakato ya habari na utekelezaji wao kwa kutumia zana maalum - mazingira na lugha za programu.
Matokeo ya kazi yanaweza kuzingatiwa kama mfano wa kazi iliyoundwa kwa kutafuta mizizi ya equation kwa kutumia njia za iteration rahisi, Newton, chords na mgawanyiko wa nusu. Mfano huu unatumika kwa matatizo ya kuamua, i.e. kosa la hesabu la majaribio ambalo linaweza kupuuzwa. Mfano wa kazi iliyoundwa na utekelezaji wake wa programu inaweza kutumika kama sehemu ya kikaboni ya kutatua shida ngumu zaidi.
Baada ya kufanya utafiti juu ya mada ya kazi ya kozi "Njia za nambari. Kutatua equations zisizo za mstari", nilifikia malengo yaliyowekwa katika utangulizi. Njia za kusafisha mizizi zilijadiliwa kwa undani. Mifano kadhaa ilitolewa kwa kila ufafanuzi na nadharia. Nadharia zote zimethibitishwa.
Matumizi ya vyanzo mbalimbali ilifanya iwezekane kuchunguza mada kikamilifu.
Mbinu ya chord (njia pia inajulikana kama Mbinu ya Secant ) mojawapo ya njia za kutatua milinganyo isiyo ya mstari na inategemea upunguzaji wa mfuatano wa muda ulio na mzizi pekee wa equation.. Mchakato wa kurudia unafanywa hadi usahihi maalum unapatikana.
Tofauti na njia ya mgawanyiko wa nusu, njia ya chord inaonyesha kuwa mgawanyiko wa muda unaozingatiwa hautafanywa katikati yake, lakini katika hatua ya makutano ya chord na mhimili wa abscissa (X mhimili). Ikumbukwe kwamba chord inaeleweka kama sehemu inayochorwa kupitia nukta za chaguo za kukokotoa zinazozingatiwa katika miisho ya muda unaozingatiwa. Njia inayozingatiwa hutoa ugunduzi wa haraka wa mzizi kuliko njia ya nusu, mradi muda sawa unaozingatiwa umebainishwa.
Kijiometri, njia ya chord ni sawa na kuchukua nafasi yake kwa chord curved kupita pointi na (ona Mtini. 1.).
Mtini.1. Ujenzi wa sehemu (chord) kwa chaguo la kukokotoa.
Equation ya mstari wa moja kwa moja (chord) ambayo hupitia pointi A na B ina fomu ifuatayo:
Mlingano huu ni mlingano wa kawaida wa kuelezea mstari ulionyooka katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian. Mteremko wa Curve umeainishwa kando ya kuratibu na abscissa kwa kutumia maadili kwenye dhehebu na, mtawaliwa.
Kwa hatua ya makutano ya mstari wa moja kwa moja na mhimili wa abscissa, equation iliyoandikwa hapo juu itaandikwa tena kwa fomu ifuatayo:
Kama muda mpya wa kupitia mchakato wa kurudia, tunachagua moja ya mbili au , mwishoni mwa ambayo kazi huchukua maadili ya ishara tofauti. Ishara tofauti za maadili ya kazi kwenye ncha za sehemu zinaweza kuamuliwa kwa njia nyingi. Mojawapo ya njia nyingi hizi ni kuzidisha maadili ya kazi katika miisho ya sehemu na kuamua ishara ya bidhaa kwa kulinganisha matokeo ya kuzidisha na sifuri:
au 
.
Mchakato wa kurudia wa kusafisha mzizi huisha wakati hali ya ukaribu wa makadirio mawili mfululizo inakuwa chini ya usahihi maalum, i.e.
Mtini.2. Ufafanuzi wa ufafanuzi wa kosa la hesabu.
Ikumbukwe kwamba muunganisho wa njia ya chord ni ya mstari, lakini kwa kasi zaidi kuliko muunganisho wa njia ya kugawanyika.
Algorithm ya kutafuta mzizi wa equation isiyo ya mstari kwa kutumia njia ya chord
1. Tafuta muda wa awali wa kutokuwa na uhakika kwa kutumia mojawapo ya mbinu za kutenganisha mizizi. Ztoa hitilafu ya hesabu (nambari ndogo chanya) Na hatua ya awali ya kurudia () .
2. Tafuta mahali pa makutano ya chord na mhimili wa abscissa:
3. Ni muhimu kupata thamani ya kazi katika pointi, na. Ifuatayo, unahitaji kuangalia hali mbili:
Ikiwa hali hiyo imefikiwa 
, basi mizizi inayotaka iko ndani ya sehemu ya kushoto ya kuweka,;
Ikiwa hali hiyo imefikiwa 
, basi mzizi unaotaka unapatikana ndani ya sehemu ya kulia kubali , .
Kama matokeo, muda mpya wa kutokuwa na uhakika hupatikana, ambayo mzizi unaotaka wa equation iko:
4. Tunaangalia thamani ya takriban ya mzizi wa equation kwa usahihi maalum, katika kesi ya:
Ikiwa tofauti kati ya makadirio mawili mfululizo inakuwa chini ya usahihi uliobainishwa, basi mchakato wa kurudia utaisha. Thamani ya takriban ya mzizi imedhamiriwa na formula:
Ikiwa tofauti kati ya makadirio mawili mfululizo haifikii usahihi unaohitajika, basi ni muhimu kuendelea na mchakato wa kurudia na kwenda hatua ya 2 ya algorithm inayozingatiwa.
Mfano wa kusuluhisha milinganyo kwa kutumia njia ya chord
Kama mfano, zingatia kusuluhisha mlingano usio na mstari kwa kutumia njia ya chord. Mzizi lazima upatikane katika safu inayozingatiwa kwa usahihi wa .
Chaguo la kutatua equation isiyo ya mstari kwenye kifurushi cha programuMathCAD.
Matokeo ya hesabu, yaani mienendo ya mabadiliko katika thamani ya takriban ya mizizi, pamoja na makosa ya hesabu kulingana na hatua ya kurudia, yanawasilishwa kwa fomu ya graphical (tazama Mchoro 1).
Mtini.1. Matokeo ya kuhesabu kwa kutumia njia ya chord
Ili kuhakikisha usahihi uliobainishwa wakati wa kutafuta mlinganyo katika masafa, ni muhimu kufanya marudio 6. Katika hatua ya mwisho ya kurudia, thamani ya takriban ya mzizi wa equation isiyo ya mstari itabainishwa na thamani: .
Kumbuka:
Marekebisho ya njia hii ni njia ya msimamo wa uwongo(Njia ya Nafasi ya Uongo), ambayo inatofautiana na njia ya secant tu kwa kuwa kila wakati sio pointi 2 za mwisho zinachukuliwa, lakini pointi hizo ambazo ziko karibu na mzizi.
Ikumbukwe kwamba ikiwa derivative ya pili inaweza kuchukuliwa kutoka kwa kazi isiyo ya mstari, algorithm ya utafutaji inaweza kurahisishwa. Wacha tufikirie kuwa derivative ya pili inashikilia ishara ya mara kwa mara na fikiria kesi mbili:
Kesi #1:
Kutoka kwa hali ya kwanza inageuka kuwa upande uliowekwa wa sehemu ni upande a.
Kesi #2:
Mbinu za nambari 1
Kutatua milinganyo isiyo ya mstari 1
Taarifa ya Tatizo 1
Ujanibishaji wa mizizi 2
Uboreshaji wa mizizi 4
Mbinu za kusafisha mizizi 4
Njia ya mgawanyiko wa nusu 4
Mbinu ya chord 5
Mbinu ya Newton (mbinu ya tangent) 6
Ujumuishaji wa nambari 7
Taarifa ya tatizo 7
Njia ya Mstatili 8
Njia ya trapezoid 9
Mbinu ya Parabola (Simpson formula) 10
Mbinu za nambari
Katika mazoezi, katika hali nyingi haiwezekani kupata suluhisho halisi kwa tatizo la hisabati ambalo limetokea. Hii hutokea kwa sababu suluhu inayotafutwa kwa kawaida haijaonyeshwa katika vipengele vya msingi au vingine vinavyojulikana. Kwa hivyo, njia za nambari zimepata umuhimu mkubwa.
Njia za nambari zinamaanisha njia za kutatua shida ambazo zimepunguzwa hadi hesabu na shughuli zingine za kimantiki kwenye nambari. Kulingana na ugumu wa kazi, usahihi maalum, na njia iliyotumiwa, idadi kubwa ya vitendo inaweza kuhitajika, na hapa huwezi kufanya bila kompyuta ya kasi.
Suluhisho lililopatikana kwa njia ya nambari kawaida ni takriban, ambayo ni, ina makosa fulani. Vyanzo vya makosa katika suluhisho la takriban la shida ni:
kosa la njia ya suluhisho;
makosa ya kuzungusha katika utendakazi na nambari.
Hitilafu ya njia inasababishwa na kwa sababu njia ya nambari kawaida husuluhisha shida nyingine, rahisi zaidi ambayo inakaribia (huleta karibu) shida ya asili. Katika baadhi ya matukio, njia ya nambari ni mchakato usio na mwisho, ambayo katika kikomo inaongoza kwa suluhisho linalohitajika. Mchakato, ulioingiliwa kwa hatua fulani, hutoa suluhisho la takriban.
Hitilafu ya kuzunguka inategemea idadi ya shughuli za hesabu zilizofanywa katika mchakato wa kutatua tatizo. Mbinu mbalimbali za nambari zinaweza kutumika kutatua tatizo sawa. Usikivu wa makosa ya kuzunguka hutegemea sana njia iliyochaguliwa.
Kutatua milinganyo isiyo ya mstari Taarifa ya tatizo
Kutatua milinganyo isiyo ya mstari na isiyojulikana ni mojawapo ya matatizo muhimu ya hisabati ambayo hutokea katika matawi mbalimbali ya fizikia, kemia, biolojia na nyanja nyingine za sayansi na teknolojia.
Kwa ujumla, equation isiyo ya mstari na isiyojulikana inaweza kuandikwa:
f(x) = 0 ,
Wapi f(x) – baadhi ya utendaji endelevu wa hoja x.
Nambari yoyote x 0 , ambapo f(x 0 ) ≡ 0, inaitwa mzizi wa equation f(x) = 0.
Njia za kutatua equations zisizo za mstari zimegawanywa katika moja kwa moja(uchambuzi, sahihi) na ya kurudiarudia. Njia za moja kwa moja zinakuwezesha kuandika suluhisho kwa namna ya uhusiano fulani (formula). Katika kesi hii, maadili ya mizizi yanaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula hii kwa idadi kamili ya shughuli za hesabu. Mbinu sawia zimetengenezwa kwa ajili ya kutatua milinganyo ya trigonometric, logarithmic, exponential, na pia rahisi aljebra.
Walakini, idadi kubwa ya milinganyo isiyo ya mstari inayokutana katika mazoezi haiwezi kutatuliwa kwa njia za moja kwa moja. Hata kwa equation ya algebraic ya juu kuliko shahada ya nne, haiwezekani kupata suluhisho la uchambuzi kwa namna ya fomula yenye idadi ya mwisho ya shughuli za hesabu. Katika visa vyote kama hivyo, inahitajika kugeukia njia za nambari ambazo hufanya iwezekanavyo kupata maadili takriban ya mizizi kwa usahihi wowote.
Kwa njia ya nambari, shida ya kutatua hesabu zisizo za mstari imegawanywa katika hatua mbili: ujanibishaji(kujitenga) kwa mizizi, i.e. kutafuta sehemu kama hizo kwenye mhimili x, ndani ambayo kuna mzizi mmoja, na ufafanuzi wa mizizi, i.e. hesabu ya takriban maadili ya mizizi kwa usahihi fulani.
Ujanibishaji wa mizizi
Ili kutenganisha mizizi ya equation f(x) = 0 ni muhimu kuwa na kigezo kinachowezesha kuthibitisha kwamba, kwanza, kwenye sehemu inayozingatiwa [ a,b] kuna mzizi, na, pili, kwamba mzizi huu ndio pekee kwenye sehemu iliyoonyeshwa.
Ikiwa kazi f(x) inaendelea kwa muda [ a,b], na mwisho wa sehemu maadili yake yana ishara tofauti, i.e.
f(a) f(b) < 0 ,
basi kuna angalau mzizi mmoja kwenye sehemu hii.
Mchoro 1. Mgawanyiko wa mizizi. Kazi f(x) sio monotonic kwenye muda [ a,b].
Hali hii, kama inavyoonekana kutoka kwenye Mchoro (1), haihakikishi upekee wa mzizi. Hali ya ziada ya kutosha kuhakikisha upekee wa mzizi kwenye sehemu [ a,b] ni sharti kwamba chaguo hili la kukokotoa liwe monotonic katika muda huu. Kama ishara ya monotonicity ya kazi, tunaweza kutumia hali ya uthabiti wa ishara ya derivative ya kwanza. f′( x) .
Kwa hivyo, ikiwa kwa muda [ a,b] kazi ni ya kuendelea na ya monotonic, na maadili yake katika miisho ya sehemu yana ishara tofauti, basi kuna mzizi mmoja tu kwenye sehemu inayozingatiwa.
Kutumia kigezo hiki, unaweza kutenganisha mizizi uchambuzi njia, kutafuta vipindi vya monotonicity ya chaguo la kukokotoa.
Kutenganisha mizizi kunaweza kufanywa kwa picha, ikiwa inawezekana kujenga grafu ya kazi y=f(x). Kwa mfano, grafu ya kazi katika Kielelezo (1) inaonyesha kwamba chaguo hili la kukokotoa kwenye muda linaweza kugawanywa katika vipindi vitatu vya monotonicity na kwa muda huu ina mizizi mitatu.
Mgawanyiko wa mizizi pia unaweza kufanywa tabular njia. Wacha tuchukue kwamba mizizi yote ya equation (2.1) ambayo inatuvutia iko kwenye muda [ A, B]. Uchaguzi wa sehemu hii (muda wa utafutaji wa mizizi) unaweza kufanywa, kwa mfano, kulingana na uchambuzi wa shida maalum ya kimwili au nyingine.
Mchele. 2. Njia ya tabular ya ujanibishaji wa mizizi.
Tutahesabu maadili f(x) kuanzia kwa uhakika x=A, kusonga kulia na hatua kadhaa h(Mchoro 2). Mara tu jozi ya maadili ya karibu yanapogunduliwa f(x) kuwa na ishara tofauti, kwa hivyo maadili yanayolingana ya hoja x inaweza kuzingatiwa mipaka ya sehemu iliyo na mzizi.
Kuegemea kwa njia ya jedwali ya kutenganisha mizizi ya equations inategemea asili ya kazi. f(x) na kwa saizi ya hatua iliyochaguliwa h. Hakika, ikiwa kwa thamani ndogo ya kutosha h(h<<|B−A|) kwenye mipaka ya sehemu ya sasa [ x, x+h] kazi f(x) inachukua maadili ya ishara sawa, basi ni kawaida kutarajia kwamba equation f(x) = 0 haina mizizi kwenye sehemu hii. Hata hivyo, hii sio wakati wote: ikiwa hali ya monotonicity ya kazi haipatikani f(x) kwenye sehemu [ x, x+h] inaweza kugeuka kuwa mizizi ya equation (Mchoro 3a).
Mtini 3a Mtini 3b
Pia kuna mizizi kadhaa kwenye sehemu [ x, x+h] inaweza pia kuonekana ikiwa hali hiyo itatimizwa f(x) f(x+ h) < 0 (Mchoro 3b). Kwa kutarajia hali kama hizi, unapaswa kuchagua maadili madogo h.
Kwa kutenganisha mizizi kwa njia hii, kimsingi tunapata maadili yao takriban hadi hatua iliyochaguliwa. Kwa hivyo, kwa mfano, ikiwa tutachukua katikati ya sehemu ya ujanibishaji kama thamani ya takriban ya mzizi, basi hitilafu kamili ya thamani hii haitazidi nusu ya hatua ya utafutaji ( h/2). Kwa kupunguza hatua katika ujirani wa kila mzizi, inawezekana, kimsingi, kuongeza usahihi wa kutenganisha mizizi kwa thamani yoyote iliyotanguliwa. Hata hivyo, njia hii inahitaji kiasi kikubwa cha mahesabu. Kwa hiyo, wakati wa kufanya majaribio ya namba kwa kutofautiana kwa vigezo vya tatizo, wakati ni muhimu kutafuta mara kwa mara kwa mizizi, njia hiyo haifai kwa kusafisha mizizi na hutumiwa tu kwa kutenganisha (ujanibishaji) mizizi, i.e. kuamua makadirio ya awali kwao. Uboreshaji wa mizizi unafanywa kwa kutumia njia nyingine, zaidi za kiuchumi.
Mbinu ya kurudia
Mbinu rahisi ya kurudia kwa mlinganyo f(x) = 0 ni kama ifuatavyo:
1) Equation ya asili inabadilishwa kuwa fomu inayofaa kwa marudio:
x = φ (X). (2.2)
2) Chagua makadirio ya awali X 0 na kukokotoa makadirio yanayofuata kwa kutumia fomula ya kurudia
x k = φ
(x k -1), k =1,2, ... (2.3)
Ikiwa kuna kikomo cha mlolongo wa kurudia, ni mzizi wa equation f(x) = 0, i.e. f(ξ ) =0.
y = φ (X)
a x 0 x 1 x 2 ξ b
Mchele. 2. Mchakato wa urekebishaji wa kurudia
Katika Mtini. Mchoro wa 2 unaonyesha mchakato wa kupata makadirio yanayofuata kwa kutumia njia ya kurudia. Mlolongo wa makadirio hubadilika hadi mzizi ξ .
Msingi wa kinadharia wa kutumia njia ya kurudia inatolewa na nadharia ifuatayo.
Nadharia 2.3. Wacha masharti yafuatayo yatimizwe:
1) mzizi wa equation X= φ(x) ni ya sehemu [ A, b];
2) maadili yote ya kazi φ (X) ni wa sehemu [ A, b],T. e. A ≤ φ (X)≤b;
3) kuna nambari chanya kama hiyo q< 1, derivative ni nini φ "(x) katika sehemu zote za sehemu [ A, b] inatosheleza ukosefu wa usawa | φ "(x) | ≤ q.
1) mlolongo wa kurudia x n= φ (x p- 1)(n = 1, 2, 3, ...) huungana kwa yoyote x 0 Î [ A, b];
2) kikomo cha mlolongo wa kurudia ni mzizi wa equation
x = φ(x), yaani ikiwa x k= ξ, kisha ξ= φ (ξ);
3) ukosefu wa usawa unaoonyesha kiwango cha muunganisho wa mlolongo wa kurudia ni kweli
| ξ -x k | ≤ (b-a)× q .(2.4)
Kwa wazi, nadharia hii inaweka masharti magumu ambayo lazima yaangaliwe kabla ya kutumia njia ya kurudia. Ikiwa derivative ya kazi φ (x) ni kubwa kuliko moja kwa thamani kamili, basi mchakato wa kurudia hutofautiana (Mchoro 3).
y = φ
(x) y = x
 |
Mchele. 3. Mchakato tofauti wa Kurudiarudia
Kama hali ya muunganiko wa mbinu za kurudia, ukosefu wa usawa
| x k - x k - 1 | ≤ ε . (2.5)
Mbinu ya chord ni kuchukua nafasi ya curve katika = f(x) sehemu ya mstari kupita pointi ( A, f(a)) na ( b, f(b)) mchele. 4). Abscissa ya hatua ya makutano ya mstari na mhimili OH inachukuliwa kama njia inayofuata.
Ili kupata formula ya hesabu ya njia ya chord, tunaandika equation ya mstari wa moja kwa moja unaopitia pointi ( a, f(a)) na ( b, f(b)) na, kusawazisha katika hadi sifuri, tutapata X:
Þ 
Algorithm ya Njia ya Chord :
1) kuruhusu k = 0;
2) kuhesabu nambari ya kurudia ifuatayo: k = k + 1.
Tutafute inayofuata k-e makadirio kwa kutumia formula:
x k= a- f(a)(b - a)/(f(b) - f(a)).
Hebu tuhesabu f(x k);
3) ikiwa f(x k)= 0 (mzizi unapatikana), kisha nenda kwa hatua ya 5.
Kama f(x k) × f(b)>0, basi b= x k, vinginevyo a = x k;
4) ikiwa | x k - x k -1 | > ε , kisha nenda kwa hatua ya 2;
5) onyesha thamani ya mzizi x k ;
Maoni. Matendo ya aya ya tatu ni sawa na vitendo vya njia ya mgawanyiko wa nusu. Walakini, katika njia ya gumzo, kwa kila hatua mwisho huo wa sehemu (kulia au kushoto) inaweza kubadilishwa ikiwa grafu ya kazi katika kitongoji cha mzizi imeinuliwa juu (Mchoro 4), A) au concave chini (Mchoro 4, b).Kwa hivyo, tofauti kati ya makadirio ya jirani hutumiwa katika kigezo cha muunganisho.
Mchele. 4. Mbinu ya chord
4. Mbinu ya Newton(tangents)
Hebu thamani ya takriban ya mzizi wa equation ipatikane f(x)= 0, na kuashiria x n.Mchanganuo wa hesabu Mbinu ya Newton kuamua mbinu inayofuata x n+1 inaweza kupatikana kwa njia mbili.
Njia ya kwanza inaelezea maana ya kijiometri Mbinu ya Newton na inajumuisha ukweli kwamba badala ya sehemu ya makutano ya grafu ya kazi katika= f(x) na ekseli Oh kutafuta mahali pa makutano na mhimili Oh tangent inayochorwa kwa grafu ya chaguo la kukokotoa kwenye uhakika ( x n,f(x n)), kama inavyoonyeshwa kwenye Mtini. 5. Mlinganyo wa tangent una fomu y-f(x n)= f"(x n)(x- x n).
Mchele. 5. Njia ya Newton (tangents)
Katika hatua ya makutano ya tangent na mhimili Oh kutofautiana katika= 0. Kusawazisha katika hadi sifuri, tunaeleza X na tunapata formula mbinu tangent :
(2.6)
Njia ya pili: kupanua kazi f(x) katika mfululizo wa Taylor karibu na uhakika x = x n:
Wacha tujizuie kwa masharti ya mstari kwa heshima na ( X- x n), weka sifuri f(x) na, akielezea haijulikani kutoka kwa mlinganyo unaotokana X, ikiashiria kwa x n+1 tunapata fomula (2.6).
Wacha tuwasilishe hali za kutosha za muunganisho wa njia ya Newton.
Nadharia 2.4. Wacha kwenye sehemu [ A, b]masharti yamefikiwa:
1) kazi f(x) na derivatives zake f"(X) Na f ""(x) kuendelea;
2) derivatives f"(x) na f""(x) ni tofauti na sifuri na kuhifadhi ishara fulani za mara kwa mara;
3) f(a)×f(b) <
0 (kazi f(x) mabadiliko ya ishara kwenye sehemu).
Kisha kuna sehemu [ α
, β
], iliyo na mzizi unaotaka wa mlingano f(x) =
0, ambapo mlolongo wa kurudia (2.6) huungana. Ikiwa kama makadirio ya sifuri X 0 chagua sehemu hiyo ya mpaka [ α
, β
], ambayo ishara ya kazi inaambatana na ishara ya derivative ya pili,
hizo. f(x 0)× f"(x 0)>0, basi mlolongo wa kurudia hubadilika kimonotonically
Maoni. Kumbuka kuwa njia ya chord inatoka upande tofauti, na njia hizi zote mbili zinaweza kukamilishana. Mchanganyiko pia inawezekana njia ya chord-tangent.
5. Mbinu ya Secant
Njia ya secant inaweza kupatikana kutoka kwa njia ya Newton kwa kubadilisha derivative na usemi wa takriban - fomula tofauti:
, 
,
. (2.7)
Mfumo (2.7) hutumia makadirio mawili ya hapo awali x n Na x n - 1. Kwa hiyo, kwa makadirio ya awali yaliyotolewa X 0 ni muhimu kuhesabu makadirio yanayofuata x 1 , kwa mfano, kwa njia ya Newton na uingizwaji wa takriban wa derivative kulingana na fomula
, 
Algorithm ya njia ya secant:
1) thamani ya awali imewekwa X 0 na makosa ε . Hebu tuhesabu
;
2) kwa n = 1, 2, ... huku sharti likitimizwa | x n – x n -1 | > ε , hesabu x n+ 1 kulingana na fomula (2.7).