Względne położenie linii i punktu. Linia prosta na płaszczyźnie - niezbędne informacje

ZADANIA POZYCYJNE.

1. WZAJEMNE POŁOŻENIE DWÓCH PUNKTÓW.

2. WZAJEMNE POŁOŻENIE PUNKTU I LINII.

3. WZAJEMNE POŁOŻENIE PUNKTU I PŁASZCZYZNY.

4. WZAJEMNE POŁOŻENIE DWÓCH LINII PROSTYCH.

Zadania pozycyjne - są to zadania, w których wyznacza się względne położenie różnych kształtów geometrycznych względem siebie.

Istnieją bezpośrednie i odwrotne problemy pozycyjne:

· prosty – zadania dotyczące wzajemnej przynależności ( budowa punkty na linii lub powierzchni, przeprowadzanie linie na powierzchni lub powierzchnia przechodząca przez dane linie, problemy przecięcia);

· odwracać - w którym określony wzajemne ustawienie punktów, linii, płaszczyzn.

19. WZAJEMNE POŁOŻENIE DWÓCH PUNKTÓW

Rozważmy możliwe opcje względnego położenia dwóch punktów (rysunek 7-1).

DIV_ADBLOCK124">

d) Z rysunku 7-1d określamy, że punkt A jest wyższy od punktu B o wielkość ΔН; z widoku z góry zauważamy, że od obserwatora punkt A jest oddalony od punktu B o wielkość Δ F; w obu widokach ustalono, że punkt A znajduje się na lewo od punktu B o wielkość Δ R.

20. WZGLĘDNE POŁOŻENIE PUNKTU I LINII

https://pandia.ru/text/80/056/images/image003_97.gif" alt=" Podpis: Rysunek 7-3" align="left" width="166" height="45">DIV_ADBLOCK125"> !}

Znajduje się punkt N poniżej (pod)prosto l I za (dalej) ją.

21. WZAJEMNE POŁOŻENIE PUNKTU I PŁASZCZYZNY

Mogą być dwie opcje:

· punkt jest zlokalizowany V samoloty;

· punkt jest zlokalizowany poza samolot.

Punkt leży na płaszczyźnie, jeśli należy do dowolnej linii prostej tej płaszczyzny.

Dlatego, aby skonstruować punkt na płaszczyźnie, należy najpierw zbudować na tej płaszczyźnie dowolną prostą linię (lub wziąć istniejącą) i wybrać na niej punkt.

21.1 Płaszczyzna częściowa

https://pandia.ru/text/80/056/images/image006_56.gif" wyrównaj="left" szerokość="356" wysokość="327 src=">Niech będzie podana płaszczyzna B(ΔАВС) (Rysunek 7- 5).Do zbudować na rysunku dowolny punkt leżący w płaszczyźnie B rysowana jest dowolna linia prosta l wyraźnie należący do płaszczyzny (ponieważ przechodzi przez dwa punkty płaszczyzny A i 1). Następnie na tej linii bierzemy t. M (własność przynależna).

Rozważmy odwracać zadanie. Niech zostaną podane dwa rodzaje punktu N. Potrzebujemy definiować położenie punktu N względem płaszczyzny.

Aby rozwiązać ten problem, musisz narysować linię pomocniczą na płaszczyźnie, konkurujące z danym punktem na dowolnym widoku (na przykład w widoku z przodu, jak na rysunku 7-5) i określ względne położenie tego punktu N i prostej.

Narysujmy więc linię prostą konkurującą frontalnie z punktem N M , którego położenie wyznaczają punkty A i 2 na płaszczyźnie. Na podstawie głębokości punktu N stwierdzamy, że jest on położony zanim prosty l i dlatego przed samolotem.

Ponieważ płaszczyzna B jest malejąca (wyznaczamy to różnymi kierunkami przechodzenia na widokach), a biorąc pod uwagę, że punkt N znajduje się przed płaszczyzną, będzie on jednocześnie położony pod samolot .

22. WZAJEMNE POŁOŻENIE DWÓCH LINII PROSTYCH

Linie w przestrzeni mogą:

· pokrywają się ;

· przecinać;

· być równoległe;

· krzyżować się.

Są dwie linie proste dopasowanie , jeśli są widoczne z przodu

i od góry łączą się (Rysunek 7-6a).

Krzyżujący linie proste mają wspólny punkt - K, którego obraz w widoku z przodu i z góry znajduje się na tej samej linii połączenia (rysunek 7-6b).

Rzuty przecinających się linii na jednym z widoków mogą się pokrywać (ryc. 7-6c), takie linie nazywane są konkurujące . Ponieważ tutaj pokrywają się w widoku z góry (rzut poziomy), w tym przypadku tak jest poziomo - konkurencyjne linie.

Jeśli prosto A I B równoległy , wówczas, w oparciu o właściwość rzutowania równoległego, ich rzuty o tej samej nazwie będą równoległe (rysunek 7-7a).

Rzuty równoległych linii na jednym z widoków mogą się pokrywać, w tym przypadku linie nazywane są konkurencyjne linie równoległe . Rysunek 7-7b pokazuje frontalnie konkurujące ze sobą linie a i b, ponieważ ich obrazy pasują do siebie w widoku z przodu.

a B C)

Względne położenie konkurujących ze sobą linii zależy od widoku, w jakim znajdują się ich obrazy nie pasuje.

Krzyżowanie linie proste to linie, które się nie przecinają lub są do siebie równoległe (rysunek 7-7c). Jeżeli proste równoległe i przecinające się zawsze leżą w tej samej płaszczyźnie (definiują płaszczyznę), to linie przecinające się nie leżą w tej samej płaszczyźnie. Pozorne punkty przecięcia linii 1 i 2, 3 i 4 będą konkurować parami; oni mają pasuje tylko jeden z projekcji o tej samej nazwie: t. t. 1 i 2 - rywalizuj w widoku z przodu, t. t. 3 i 4 - rywalizuj w widoku z góry.

Zatem względne położenie linii w położeniu ogólnym określają dwa rodzaje danych linii.

22.1 Pozycje profili prostych

Inaczej jest w przypadku pozycji o profilu prostym. Aby określić względne położenie tych linii, należy skonstruować widok po lewej stronie.

DIV_ADBLOCK128">

Po zmierzeniu głębokości punktów A, B, C, D od podstawy w widoku z góry, uzyskane wartości nanosimy na odpowiednie poziome linie komunikacyjne od podstawy w widoku po lewej stronie.

Po skonstruowaniu punktów i odpowiednim ich połączeniu dochodzimy do wniosku, że są to linie proste P 1 I R 2 przecinają się w punkcie K. Po znalezieniu go w widoku po lewej stronie budujemy punkt K w dwóch pozostałych widokach.

23. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTEJ I PŁASKIEJ

Linia prosta względem płaszczyzny może zajmować następujące pozycje:

· należeć do samolotu;

· być równoległe do zadanej płaszczyzny;

· przecinają tę płaszczyznę.

Prosty należy płaszczyźnie, jeśli dwa z jej punktów leżą na danej płaszczyźnie (Rysunek 7.9).

Linia prosta równoległy płaszczyźnie, jeśli linia ta jest równoległa do jakiejś linii leżącej w danej płaszczyźnie (rysunek 7-10a).

https://pandia.ru/text/80/056/images/image011_24.gif" wyrównania="left" szerokość="337" wysokość="369 src="> Przykład 1. Przez ten punkt A poprowadź linię prostą równoległą do pochyłej płaszczyzny B (Rysunek 7-10b). Wymagana linia prosta M będzie należeć do płaszczyzny nachylonej przechodzącej przez punkt A i równoległej do płaszczyzny B. Zatem w widoku z przodu linia prosta M równoległy. zdegenerowany widok płaszczyzny B, a w widoku z góry zajmuje ona dowolną pozycję.

Przykład 2. Narysuj linię prostą przechodzącą przez punkt M P , równolegle do płaszczyzny B (a//b), (Rysunek 7-10c).

Zbudujmy dowolną linię prostą na płaszczyźnie B Z, a następnie poprowadź linię prostą przez punkt M P równolegle do linii Z.

2. Przecięcie prostej z płaszczyzną

Problem włączony przecięcie prostej z płaszczyzną jest jednym z głównych zadań geometrii wykreślnej.

Aby ogólnie rozwiązać ten problem, musisz znać technikę, metodę rozwiązania (algorytm). Jeśli jednak problem zawiera zdegenerowane typy oryginałów, to takie zadanie wymaga po prostu rozwiniętej wyobraźni przestrzennej.

Wszystkie problemy związane z przecięciem linii i płaszczyzny można podzielić na kilka typów:

· Pierwszy typ zadań- samoloty mają zdegenerowana forma , czyli wystają, a linia prosta jest prosta ogólny zaprowiantowanie.

Główną metodą rozwiązywania problemów tego typu jest metoda Akcesoria. Spójrzmy na kilka przykładów.

Przykład 3. Skonstruuj punkt K przecięcia prostej l z płaszczyzną pionową B (rys

https://pandia.ru/text/80/056/images/image013_17.gif" wyrównania="left" szerokość="258" wysokość="286"> Przykład 4. Skonstruuj punkt przecięcia linii pionowej I z płaszczyzną B (DABC), (Rysunek 7-12). Ponieważ zdegenerowana postać linii prostej znajduje się w widoku z góry, zaczynamy od niej rozwiązanie.

Punkt przecięcia linii I z płaszczyzną B pokrywa się tutaj ze zdegenerowaną formą samej linii prostej ; I = K.

Aby skonstruować t. K w widoku z przodu, narysuj dowolną linię prostą na płaszczyźnie przechodzącej przez t. K (widok z góry), na przykład C-1. Skonstruujmy tę linię prostą w widoku z przodu i na przecięciu prostych C-1 i l znajdujemy punkt K. Widoczność określamy przedstawiając (poprzez rekonstrukcję rysunku) względne położenie oryginałów.

· Trzeci typ zadań- zadania nie zawierają elementów określonego położenia, tj. linii prostej i płaszczyzny ogólny zaprowiantowanie (nie ma formy zdegenerowanej ).

W tym przypadku (Rysunek 7.13) rozwiązanie problemu sprowadza się do uwzględnienia względnego położenia dwóch prostych – ta prosta l i trochę linii prostej T , leżący w płaszczyźnie B.

https://pandia.ru/text/80/056/images/image015_15.gif" wyrównania="left" szerokość="290" wysokość="350">Narysuj linię prostą w płaszczyźnie B T (1.2) konkurowanie frontalne z zadaną linią prostą l .

Z widoku z góry stwierdzamy, że konkurujące ze sobą linie przecinają się w punkcie K, który jest punktem przecięcia prostej l z samolotem B . Widoczność określa się za pomocą dwóch par konkurujących ze sobą punktów: 1=3 w widoku z przodu; punkt 3 (należący do l ) bliższy; w widoku z góry dwóch punktów 4=5, punkt 4 jest wyższy od punktu 5.

W jednym z widoków widoczność można określić także na podstawie położenia płaszczyzny B.

Położenie punktu na rysunku wyznaczają współrzędne. Punkt znajduje się wyżej od innego, jeśli ma większą współrzędną Z. Punkt jest bliżej obserwatora, jeśli ma większą współrzędną Y. Punkt o większej współrzędnej X jest dalej odsuwany od płaszczyzny rzutowania profilu.

Z praktycznego punktu widzenia interesujące są punkty położone na tej samej prostopadłej do płaszczyzny projekcji (ryc. 4.1). Takie punkty na rysunku nazywane są konkurujące. Określają widoczność elementów na rysunku. Z dwóch konkurujących punktów za widoczny uważa się ten o większej współrzędnej na drugiej płaszczyźnie projekcji.

W tym przypadku punkt b będzie widoczny na płaszczyźnie rzutu czołowego, ponieważ ma większą współrzędną Y.

Ryż. 4.1 Ryc. 4.2

4.2. Względne położenie linii i punktu

Punkt należy do linii, jeśli jego rzuty należą do tych samych rzutów linii (ryc. 4.2).

4.3. Względne położenie dwóch linii prostych

Linie proste względem siebie mogą być równoległe (ryc. 4.3, a), przecinać się (b), przecinać (c).

4.4. Względne położenie punktu i płaszczyzny

T punkt należy do płaszczyzny, jeśli należy do prostej leżącej na tej płaszczyźnie.

PRZYKŁAD Płaszczyzna jest definiowana przez ślady ( H 0
F 0 ). Należy skonstruować punkt A należący do tej płaszczyzny (rys. 4.4).

Rozwiązanie Ponieważ na płaszczyźnie można skonstruować nieskończoną liczbę punktów należących do tej płaszczyzny, wówczas na jednej z płaszczyzn rzutowania dowolnie umieszczamy jeden rzut punktu (na przykład A 2), ale znajdujemy drugi rzut A 1 pod warunkiem, że punkt należy do płaszczyzny. Aby to zrobić, rysujemy linię prostą przez A, tj. przez A 2 rysujemy H 2 do skrzyżowania z F 0 , wyznaczamy rzut poziomy punktu 1 i od 1 1 rysujemy równolegle do linii poziomej H 1 , na którym zaznaczamy A 1.

4,5. Względne położenie prostej i płaszczyzny

Linia prosta należy do płaszczyzny, jeśli ma dwa punkty wspólne lub jeden punkt wspólny i jest równoległy do dowolnej prostej leżącej na płaszczyźnie. Niech płaszczyznę na rysunku zdefiniują dwie przecinające się linie. W tej płaszczyźnie wymagane jest zbudowanie dwóch prostych m i m zgodnie z tymi warunkami ( G(A
b) (ryc. 4.5).

R Rozwiązanie 1. Dowolnie narysuj m 2, ponieważ linia należy do płaszczyzny, zaznacz rzuty punktów jej przecięcia liniami A I B i określ ich rzuty poziome, poprzez 1 1 i 2 1 rysujemy m 1.

2. Przez punkt K płaszczyzny rysujemy n 2 ║m 2 w 1 ║m 1 .

Linia prosta jest równoległa do płaszczyzny, jeśli jest równoległa do dowolnej linii leżącej na płaszczyźnie.

Przecięcie prostej i płaszczyzny. Istnieją trzy możliwe przypadki położenia prostej i płaszczyzny względem płaszczyzn rzutu. W zależności od tego wyznaczany jest punkt przecięcia prostej z płaszczyzną.

P pierwszy przypadek – linia prosta i płaszczyzna – pozycja wystająca. W tym przypadku punkt przecięcia jest dostępny na rysunku (oba jego rzuty), wystarczy go jedynie wskazać.

PRZYKŁAD Na rysunku płaszczyznę wyznaczają ślady Σ ( H 0
F 0 ) – pozioma pozycja wystająca – i prosta l– pozycja wysunięta do przodu. Określ punkt ich przecięcia (ryc. 4.6).

Na rysunku jest już punkt przecięcia - K(K 1 K 2).

Drugi przypadek – albo linię prostą, albo płaszczyznę – pozycji wystającej. W tym przypadku na jedną z płaszczyzn rzutowania istnieje już rzut punktu przecięcia, należy go wyznaczyć, a na drugiej płaszczyźnie rzutu należy go znaleźć poprzez przynależność.

P PRZYKŁADY. Na ryc. 4.7, a płaszczyzna jest przedstawiona ze śladami pozycji wysuniętej do przodu i linią prostą l– stanowisko ogólne. Rzut punktu przecięcia K 2 jest już dostępny na rysunku, a rzut K 1 należy znaleźć na podstawie przynależności punktu K do prostej l. Na ryc. 4.7, b jest płaszczyzną ogólną, a linia prosta m jest wystająca z przodu, wówczas K 2 już istnieje (pokrywa się z m 2), a K 1 należy znaleźć pod warunkiem, że punkt należy do płaszczyzny. Aby to zrobić, narysuj linię prostą przez K ( H– pozioma) leżąca w płaszczyźnie.

Trzeci przypadek – zarówno w linii prostej, jak i w płaszczyźnie – w położeniu ogólnym. W tym przypadku, aby wyznaczyć punkt przecięcia prostej i płaszczyzny, konieczne jest skorzystanie z tzw. pośrednika – płaszczyzny wystającej. W tym celu przez linię prostą rysowana jest pomocnicza płaszczyzna cięcia. Płaszczyzna ta przecina daną płaszczyznę wzdłuż linii. Jeżeli ta prosta przecina daną linię, to istnieje punkt przecięcia tej prostej i płaszczyzny.

PRZYKŁADY. Na ryc. 4.8 płaszczyznę reprezentuje trójkąt ABC – położenie ogólne – i linia prosta l– stanowisko ogólne. Aby określić punkt przecięcia K, konieczne jest przejście l narysuj wystającą do przodu płaszczyznę Σ, skonstruuj linię przecięcia Δ i Σ w trójkącie (na rysunku jest to odcinek 1,2), określ K 1 i dodatkowo K 2. Następnie określana jest widoczność linii l względem trójkąta przez konkurujące ze sobą punkty. Na P 1 za punkty konkurencyjne przyjmuje się punkty 3 i 4. Rzut punktu 4 jest widoczny na P 1, ponieważ jego współrzędna Z jest większa niż współrzędna punktu 3, zatem rzut l 1 od tego momentu do K 1 będzie niewidoczny.

N i P 2 punkty rywalizujące to punkt 1, należący do AB i punkt 5, należący do l. Punkt 1 będzie widoczny, ponieważ jego współrzędna Y jest większa niż współrzędna punktu 5, a zatem rzut linii l 2 do K 2 niewidoczne.

Na ryc. Rysunek 4.9 przedstawia płaszczyznę w położeniu ogólnym (oznaczonym śladami) i prostą m również w położeniu ogólnym. Aby wyznaczyć punkt przecięcia m i płaszczyzny, należy narysować Σ 2 przez m 2 - płaszczyznę wystającą czołowo, skonstruować linię przecięcia dwóch płaszczyzn (odcinek 1,2), zaznaczyć K 1 i zgodnie z przynależność tego punktu do linii prostej l określić K 2.

W tym artykule szczegółowo omówimy jedno z podstawowych pojęć geometrii - pojęcie linii prostej na płaszczyźnie. Najpierw zdefiniujmy podstawowe terminy i oznaczenia. Następnie omówimy względne położenie prostej i punktu oraz dwóch prostych na płaszczyźnie i przedstawimy niezbędne aksjomaty. Podsumowując, rozważymy sposoby zdefiniowania linii prostej na płaszczyźnie i przedstawimy ilustracje graficzne.

Nawigacja strony.

Linia prosta na płaszczyźnie jest koncepcją.

Przed podaniem koncepcji linii prostej na płaszczyźnie powinieneś jasno zrozumieć, czym jest płaszczyzna. Koncepcja samolotu pozwala uzyskać np. płaską powierzchnię na stole lub ścianie w domu. Należy jednak mieć na uwadze, że wymiary stołu są ograniczone, a płaszczyzna rozciąga się poza te granice w nieskończoność (jakbyśmy mieli dowolnie duży stół).

Jeśli weźmiemy dobrze naostrzony ołówek i dotkniemy jego końcówką powierzchni „stołu”, otrzymamy obraz punktu. W ten sposób otrzymujemy reprezentacja punktu na płaszczyźnie.

Teraz możesz przejść dalej koncepcja linii prostej na płaszczyźnie.

Połóż kartkę czystego papieru na powierzchni stołu (na płaszczyźnie). Aby narysować linię prostą, musimy wziąć linijkę i narysować linię ołówkiem na tyle, na ile pozwala nam rozmiar linijki i kartki papieru, której używamy. Należy zaznaczyć, że w ten sposób uzyskamy jedynie część linii. Możemy sobie tylko wyobrazić całą linię prostą rozciągającą się w nieskończoność.

Względne położenie linii i punktu.

Zacznijmy od aksjomatu: na każdej prostej i w każdej płaszczyźnie znajdują się punkty.

Punkty są zwykle oznaczane dużymi literami łacińskimi, na przykład punkty A i F. Z kolei linie proste oznacza się małymi literami łacińskimi, na przykład liniami prostymi a i d.

Możliwy dwie opcje względnego położenia linii i punktu na płaszczyźnie: albo punkt leży na prostej (w tym przypadku mówi się też, że prosta przechodzi przez punkt), albo punkt nie leży na prostej (mówi się też, że punkt nie należy do prostej lub linia nie przechodzi przez punkt).

Aby wskazać, że punkt należy do określonej linii, użyj symbolu „”. Na przykład, jeśli punkt A leży na prostej a, to możemy napisać . Jeśli punkt A nie należy do prostej a, wpisz .

Prawdziwe jest następujące stwierdzenie: przez dowolne dwa punkty przechodzi tylko jedna prosta.

To stwierdzenie jest aksjomatem i należy je przyjąć jako fakt. Poza tym jest to dość oczywiste: zaznaczamy na papierze dwa punkty, przykładamy do nich linijkę i rysujemy linię prostą. Linię prostą przechodzącą przez dwa dane punkty (na przykład przez punkty A i B) można oznaczyć tymi dwoma literami (w naszym przypadku prostą AB lub BA).

Należy rozumieć, że na prostej wyznaczonej na płaszczyźnie znajduje się nieskończenie wiele różnych punktów i wszystkie te punkty leżą na tej samej płaszczyźnie. Stwierdzenie to opiera się na aksjomacie: jeśli dwa punkty prostej leżą na pewnej płaszczyźnie, to wszystkie punkty tej prostej leżą na tej płaszczyźnie.

Zbiór wszystkich punktów znajdujących się pomiędzy dwoma punktami podanymi na prostej, wraz z tymi punktami, nazywa się odcinek linii prostej lub po prostu człon. Punkty ograniczające odcinek nazywane są końcami odcinka. Segment jest oznaczony dwiema literami odpowiadającymi punktom końcowym segmentu. Na przykład, niech punkty A i B będą końcami odcinka, wówczas odcinek ten można oznaczyć jako AB lub BA. Należy pamiętać, że to oznaczenie odcinka pokrywa się z oznaczeniem linii prostej. Aby uniknąć nieporozumień, zalecamy dodanie do oznaczenia słowa „segment” lub „prosty”.

Aby krótko zapisać, czy dany punkt należy, czy nie należy do określonego segmentu, stosuje się te same symbole i. Aby pokazać, że dany odcinek leży lub nie leży na prostej, należy użyć odpowiednio symboli i. Na przykład, jeśli odcinek AB należy do wiersza a, możesz krótko napisać .

Warto zastanowić się także nad przypadkiem, gdy trzy różne punkty należą do tej samej prostej. W tym przypadku jeden i tylko jeden punkt leży pomiędzy dwoma pozostałymi. To stwierdzenie jest kolejnym aksjomatem. Niech punkty A, B i C leżą na tej samej prostej, a punkt B leży pomiędzy punktami A i C. Wtedy możemy powiedzieć, że punkty A i C leżą po przeciwnych stronach punktu B. Możemy również powiedzieć, że punkty B i C leżą po tej samej stronie punktu A oraz punkty A i B leżą po tej samej stronie punktu C.

Aby uzupełnić obraz, zauważamy, że dowolny punkt linii dzieli tę linię na dwie części - dwie Belka. W tym przypadku dany jest aksjomat: dowolny punkt O należący do prostej dzieli tę prostą na dwa promienie, a dowolne dwa punkty jednego promienia leżą po tej samej stronie punktu O, a dowolne dwa punkty różnych promieni leżą po przeciwnych stronach punktu O.

Względne położenie linii na płaszczyźnie.

Odpowiedzmy teraz na pytanie: „Jak dwie linie proste mogą znajdować się na płaszczyźnie względem siebie?”

Po pierwsze, dwie linie proste na płaszczyźnie mogą zbiec się.

Jest to możliwe, gdy proste mają co najmniej dwa punkty wspólne. Rzeczywiście, na mocy aksjomatu podanego w poprzednim akapicie, istnieje tylko jedna linia prosta przechodząca przez dwa punkty. Innymi słowy, jeśli dwie linie proste przechodzą przez dwa dane punkty, to pokrywają się.

Po drugie, dwie linie proste na płaszczyźnie mogą przechodzić.

W tym przypadku linie mają jeden wspólny punkt, który nazywany jest punktem przecięcia linii. Przecięcie linii oznaczone jest symbolem „”, np. wpis oznacza, że linie a i b przecinają się w punkcie M. Przecinające się linie prowadzą nas do pojęcia kąta między przecinającymi się liniami. Osobno warto rozważyć położenie linii prostych na płaszczyźnie, gdy kąt między nimi wynosi dziewięćdziesiąt stopni. W tym przypadku linie są nazywane prostopadły(polecamy artykuł linie prostopadłe, prostopadłość linii). Jeśli linia a jest prostopadła do linii b, można zastosować krótką notację.

Po trzecie, dwie linie proste na płaszczyźnie mogą być równoległe.

Z praktycznego punktu widzenia wygodnie jest rozpatrywać linię prostą na płaszczyźnie razem z wektorami. Szczególne znaczenie mają niezerowe wektory leżące na danej linii lub na dowolnej z równoległych linii; są to tzw wektory kierujące linii prostej. W artykule Kierowanie wektorem prostej na płaszczyźnie podano przykłady wektorów kierujących i przedstawiono możliwości ich wykorzystania w rozwiązywaniu problemów.

Należy także zwrócić uwagę na niezerowe wektory leżące na którejkolwiek z prostych prostopadłych do tej. Takie wektory nazywane są normalne wektory liniowe. Zastosowanie normalnych wektorów liniowych opisano w artykule Normalny wektor liniowy na płaszczyźnie.

Kiedy na płaszczyźnie podano trzy lub więcej linii prostych, pojawia się wiele różnych opcji ich względnego położenia. Wszystkie linie mogą być równoległe, w przeciwnym razie niektóre lub wszystkie z nich przecinają się. W tym przypadku wszystkie linie mogą przecinać się w jednym punkcie (zobacz artykuł o wiązce linii) lub mogą mieć różne punkty przecięcia.

Nie będziemy się nad tym szczegółowo rozwodzić, ale przedstawimy bez dowodu kilka niezwykłych i bardzo często używanych faktów:

jeśli dwie linie są równoległe do trzeciej linii, to są one do siebie równoległe;
jeśli dwie linie są prostopadłe do trzeciej linii, to są do siebie równoległe;
Jeżeli pewna prosta na płaszczyźnie przecina jedną z dwóch równoległych linii, to przecina także drugą linię.

Metody definiowania linii prostej na płaszczyźnie.

Teraz wymienimy główne sposoby definiowania konkretnej linii prostej na płaszczyźnie. Wiedza ta jest bardzo przydatna z praktycznego punktu widzenia, gdyż na niej opiera się rozwiązanie wielu przykładów i problemów.

Po pierwsze, linię prostą można zdefiniować poprzez określenie dwóch punktów na płaszczyźnie.

Rzeczywiście, z aksjomatu omówionego w pierwszym akapicie tego artykułu wiemy, że linia prosta przechodzi przez dwa punkty i tylko przez jeden.

Jeśli współrzędne dwóch rozbieżnych punktów zostaną wskazane w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie, wówczas można zapisać równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty.

Po drugie, linię można określić, określając punkt, przez który przechodzi i linię, do której jest równoległa. Metoda ta jest słuszna, gdyż przez dany punkt na płaszczyźnie przechodzi pojedyncza prosta równoległa do danej prostej. Dowód tego faktu przeprowadzono na lekcjach geometrii w szkole średniej.

Jeśli w ten sposób zdefiniujemy prostą na płaszczyźnie względem wprowadzonego prostokątnego kartezjańskiego układu współrzędnych, wówczas możliwe jest ułożenie jej równania. O tym pisze się w równaniu artykułu prostej przechodzącej przez dany punkt równoległy do danej prostej.

Po trzecie, linię prostą można określić, określając punkt, przez który przechodzi i jej wektor kierunkowy.

Jeżeli w ten sposób dana jest linia prosta w prostokątnym układzie współrzędnych, to łatwo jest skonstruować jej równanie kanoniczne prostej na płaszczyźnie i równania parametryczne prostej na płaszczyźnie.

Czwartym sposobem określenia linii jest wskazanie punktu, przez który ona przechodzi, oraz linii, do której jest prostopadła. Rzeczywiście, przez dany punkt płaszczyzny przechodzi pojedyncza prosta prostopadła do danej prostej. Zostawmy ten fakt bez dowodu.

Na koniec można określić linię na płaszczyźnie, określając punkt, przez który przechodzi, oraz wektor normalny tej linii.

Jeżeli znane są współrzędne punktu leżącego na danej prostej oraz współrzędne wektora normalnego tej prostej, to można zapisać ogólne równanie tej prostej.

Bibliografia.

Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometria. Klasy 7 – 9: podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometria. Podręcznik dla klas 10-11 szkoły średniej.
Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Wyższa matematyka. Tom pierwszy: Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej.
Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometria analityczna.

Prawa autorskie należą do mądrych studentów

Wszelkie prawa zastrzeżone.
Chronione prawem autorskim. Żadna część witryny www., łącznie z materiałami wewnętrznymi i wyglądem, nie może być powielana w jakiejkolwiek formie ani wykorzystywana bez uprzedniej pisemnej zgody właściciela praw autorskich.

Rzecz może być albo NA prosto, lub poza jej.

a) Jeśli o to chodzi NA linia prosta, wówczas na podstawie właściwości przynależności jej rzuty będą należeć do rzutów linii prostej – punkt A (rysunek 7-2);

b) Jeśli punkt jest zlokalizowany poza linii prostej, to w co najmniej jednym z widoków punkt nie będzie na linii prostej:

· punkt B w widoku z góry nie leży na linii prostej l i znajduje się bliższy , niż punkt, który z nim frontalnie konkuruje, oznaczony krzyżem; zatem znajduje się punkt B zanim prosty l ;

· Punkt C, jak wynika z widoku z przodu, znajduje się poniżej prosty l , ponieważ znajduje się poniżej konkurującego z nim poziomo punktu, oznaczonego krzyżykiem i leżącego na linii prostej;

· analiza położenia punktu D względem prostej l , dochodzimy do wniosku, że punkt D się znajduje powyżej prosty l , który jest określony przez położenie punktu D w widoku z przodu. Z widoku z góry zauważamy, że punkt D się znajduje za prosty l .

Nie jest możliwe określenie względnego położenia punktu i linii położenia profilu p z dwóch widoków, ponieważ taka linia prosta w widoku z przodu i z góry pokrywa się z liniami komunikacyjnymi w kierunku (Rysunek 7-3).

Odpowiedź można uzyskać konstruując rzut profilu (widok z lewej strony).

Zatem z widoku po lewej stronie stwierdzamy, że t. M jest zlokalizowane zanim prosto (Δ F) I powyżej ona (ΔН), ponieważ leży bliżej czołowo rywalizującego punktu i powyżej poziomo rywalizujących punktów oznaczonych krzyżykami.

Znajduje się punkt N poniżej (pod)prosto l I za (dalej) ją.

WZGLĘDNE POŁOŻENIE PUNKTU I PŁASZCZYZNY

Mogą być dwie opcje:

· punkt jest zlokalizowany V samoloty;

· punkt jest zlokalizowany poza samolot.

Punkt leży na płaszczyźnie, jeśli należy do dowolnej linii prostej tej płaszczyzny.

Dlatego, aby skonstruować punkt na płaszczyźnie, należy najpierw zbudować na tej płaszczyźnie dowolną prostą linię (lub wziąć istniejącą) i wybrać na niej punkt.

Częściowy samolot

Jeśli punkt leży na płaszczyźnie sytuacja prywatna (ukośny, pionowy, wystający z profilu), wtedy jego konstrukcja jest łatwiejsza. W takim przypadku punkt na jednym z widoków będzie zlokalizowany na obrazie płaszczyzny, a na drugim jego położenie może być dowolne (rysunek 7-4). Pokazano tutaj punkt A, który należy do płaszczyzny pochyłej B, ponieważ w widoku z przodu znajduje się na linii prostej, która jest obrazem samolotu; a w widoku z góry pozycja punktu na linii komunikacyjnej jest przyjmowana dowolnie.

Znajduje się punkt B pod samolot, ponieważ leży poniżej punktu oznaczonego krzyżykiem, z którym konkuruje poziomo,

Samolot ogólny

Nieco trudniej jest skonstruować punkt należący do płaszczyzny na złożonym rysunku ogólny zaprowiantowanie.

Niech zostanie określona płaszczyzna B(ΔАВС) (Rysunek 7-5). Do zbudować na rysunku dowolny punkt leżący w płaszczyźnie B rysowana jest dowolna linia prosta l wyraźnie należący do płaszczyzny (ponieważ przechodzi przez dwa punkty płaszczyzny A i 1). Następnie na tej linii bierzemy t. M (własność przynależna).

Rozważmy odwracać zadanie. Niech zostaną podane dwa rodzaje punktu N. Potrzebujemy definiować położenie punktu N względem płaszczyzny.