Zależność liniowa i liniowa niezależność wektorów.
Baza wektorów. Afiniczny układ współrzędnych

Na widowni stoi wózek z czekoladkami, a każdy dzisiejszy gość otrzyma słodką parę – geometrię analityczną z algebrą liniową. W tym artykule poruszymy jednocześnie dwa działy wyższej matematyki i zobaczymy, jak współistnieją one w jednym opakowaniu. Zrób sobie przerwę, zjedz Twix! ... cholera, co za bzdury. Chociaż ok, nie zdobędę punktów, ostatecznie powinieneś mieć pozytywne nastawienie do nauki.

Liniowa zależność wektorów, niezależność wektora liniowego, baza wektorów i inne terminy mają nie tylko interpretację geometryczną, ale przede wszystkim znaczenie algebraiczne. Samo pojęcie „wektora” z punktu widzenia algebry liniowej nie zawsze jest „zwykłym” wektorem, który możemy przedstawić na płaszczyźnie lub w przestrzeni. Aby uzyskać dowód, nie musisz daleko szukać; spróbuj narysować wektor przestrzeni pięciowymiarowej. Albo wektor pogodowy, po który właśnie pojechałem do Gismeteo: odpowiednio temperatura i ciśnienie atmosferyczne. Przykład jest oczywiście niepoprawny z punktu widzenia właściwości przestrzeni wektorowej, niemniej jednak nikt nie zabrania sformalizowania tych parametrów jako wektora. Oddech jesieni...

Nie, nie będę Was zanudzać teorią, liniowymi przestrzeniami wektorowymi, zadaniem jest to zrobić zrozumieć definicje i twierdzenia. Nowe terminy (zależność liniowa, niezależność, kombinacja liniowa, baza itp.) mają zastosowanie do wszystkich wektorów z algebraicznego punktu widzenia, ale zostaną podane przykłady geometryczne. Dzięki temu wszystko jest proste, dostępne i przejrzyste. Oprócz problemów geometrii analitycznej rozważymy także niektóre typowe problemy algebry. Aby opanować materiał, wskazane jest zapoznanie się z lekcjami Wektory dla manekinów I Jak obliczyć wyznacznik?

Liniowa zależność i niezależność wektorów płaskich.
Podstawa płaska i afiniczny układ współrzędnych

Rozważmy płaszczyznę biurka komputerowego (tylko stół, stolik nocny, podłoga, sufit, co tylko chcesz). Zadanie będzie składać się z następujących działań:

1) Wybierz podstawę płaszczyzny. Z grubsza rzecz biorąc, blat ma długość i szerokość, więc intuicyjnie wiadomo, że do zbudowania podstawy potrzebne będą dwa wektory. Jeden wektor to zdecydowanie za mało, trzy wektory to za dużo.

2) Na podstawie wybranej podstawy ustawić układ współrzędnych(siatka współrzędnych), aby przypisać współrzędne wszystkim obiektom na stole.

Nie zdziw się, na początku wyjaśnienia będą na palcach. Co więcej, na twoim. Proszę umieścić lewy palec wskazujący na krawędzi blatu, tak aby patrzył na monitor. To będzie wektor. Teraz miejsce prawy mały palec na krawędzi stołu w ten sam sposób - tak, aby był skierowany w stronę ekranu monitora. To będzie wektor. Uśmiechnij się, wyglądasz świetnie! Co możemy powiedzieć o wektorach? Wektory danych współliniowy, co znaczy liniowy wyrażane przez siebie:
, cóż, lub odwrotnie: , gdzie jest pewna liczba różna od zera.

Możesz zobaczyć zdjęcie tego działania w klasie. Wektory dla manekinów, gdzie wyjaśniłem zasadę mnożenia wektora przez liczbę.

Czy Twoje palce postawią podstawę na płaszczyźnie biurka komputerowego? Oczywiście, że nie. Wektory współliniowe przemieszczają się tam i z powrotem sam kierunku, a płaszczyzna ma długość i szerokość.

Takie wektory nazywane są liniowo zależne.

Odniesienie: Słowa „liniowy”, „liniowy” oznaczają fakt, że w równaniach i wyrażeniach matematycznych nie ma kwadratów, sześcianów, innych potęg, logarytmów, sinusów itp. Istnieją tylko wyrażenia i zależności liniowe (1. stopnia).

Dwa wektory płaskie liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy są współliniowe.

Skrzyżuj palce na stole tak, aby powstał między nimi kąt inny niż 0 lub 180 stopni. Dwa wektory płaskieliniowy Nie zależne wtedy i tylko wtedy, gdy nie są współliniowe. Tak więc uzyskano podstawę. Nie trzeba się wstydzić, że podstawa okazała się „przekrzywiona” nieprostopadłymi wektorami o różnych długościach. Już wkrótce przekonamy się, że do jego konstrukcji odpowiedni jest nie tylko kąt 90 stopni i nie tylko wektory jednostkowe o jednakowej długości

Każdy wektor samolotu jedyny sposób rozwija się według podstawy:
, gdzie są liczbami rzeczywistymi. Numery są nazywane współrzędne wektora na tej podstawie.

Mówi się też, że wektorprzedstawiony jako kombinacja liniowa wektory bazowe. Oznacza to, że wyrażenie nazywa się rozkład wektorowywedług podstawy Lub kombinacja liniowa wektory bazowe.

Na przykład możemy powiedzieć, że wektor jest rozłożony wzdłuż ortonormalnej podstawy płaszczyzny lub możemy powiedzieć, że jest on reprezentowany jako liniowa kombinacja wektorów.

Sformułujmy definicja podstawy formalnie: Podstawa samolotu nazywa się parą liniowo niezależnych (niewspółliniowych) wektorów, , w której każdy wektor płaski jest liniową kombinacją wektorów bazowych.

Istotnym punktem definicji jest fakt, że wektory są brane w określonej kolejności. Bazy to dwie zupełnie różne bazy! Jak mówią, nie można zastąpić małego palca lewej ręki małym palcem prawej ręki.

Ustaliliśmy podstawę, ale nie wystarczy ustawić siatkę współrzędnych i przypisać współrzędne każdemu elementowi na biurku komputera. Dlaczego to nie wystarczy? Wektory są swobodne i wędrują po całej płaszczyźnie. Jak więc przypisać współrzędne do tych małych brudnych miejsc na stole pozostałych po szalonym weekendzie? Potrzebny jest punkt wyjścia. A taki punkt orientacyjny to punkt znany wszystkim - pochodzenie współrzędnych. Rozumiemy układ współrzędnych:

Zacznę od systemu „szkolnego”. Już na lekcji wprowadzającej Wektory dla manekinów Podkreśliłem pewne różnice pomiędzy prostokątnym układem współrzędnych a bazą ortonormalną. Oto standardowe zdjęcie:

Kiedy o tym mówią prostokątny układ współrzędnych, to najczęściej oznaczają początek, osie współrzędnych i skalę wzdłuż osi. Spróbuj wpisać w wyszukiwarkę „prostokątny układ współrzędnych”, a zobaczysz, że wiele źródeł podpowie Ci o osiach współrzędnych znanych z V-VI klasy i o tym, jak nanosić punkty na płaszczyznę.

Z drugiej strony wydaje się, że prostokątny układ współrzędnych można całkowicie zdefiniować w oparciu o bazę ortonormalną. I to prawie prawda. Sformułowanie jest następujące:

pochodzenie, I ortonormalny podstawa jest ustalona Kartezjański układ współrzędnych płaszczyzny prostokątnej . Oznacza to prostokątny układ współrzędnych zdecydowanie jest zdefiniowany przez pojedynczy punkt i dwa jednostkowe wektory ortogonalne. Dlatego widzisz rysunek, który podałem powyżej - w zadaniach geometrycznych często (ale nie zawsze) rysowane są zarówno wektory, jak i osie współrzędnych.

Myślę, że każdy to rozumie, używając punktu (początku) i podstawy ortonormalnej DOWOLNY PUNKT na płaszczyźnie i DOWOLNY WEKTOR na płaszczyźnie można przypisać współrzędne. Mówiąc obrazowo, „wszystko na płaszczyźnie można policzyć”.

Czy wektory współrzędnych muszą być jednostkowe? Nie, mogą mieć dowolną niezerową długość. Rozważmy punkt i dwa wektory ortogonalne o dowolnej niezerowej długości:

Taka podstawa nazywa się prostokątny. Początek współrzędnych z wektorami jest określony przez siatkę współrzędnych, a każdy punkt na płaszczyźnie, dowolny wektor ma swoje współrzędne w danej bazie. Na przykład lub. Oczywistą niedogodnością jest to, że wektory współrzędnych ogólnie mają różne długości inne niż jedność. Jeśli długości są równe jedności, wówczas uzyskuje się zwykłą podstawę ortonormalną.

! Notatka : w bazie ortogonalnej, a także poniżej w podstawach afinicznych płaszczyzny i przestrzeni, uwzględniane są jednostki wzdłuż osi WARUNKOWY. Na przykład jedna jednostka na osi x zawiera 4 cm, jedna jednostka na osi rzędnych zawiera 2 cm.Ta informacja wystarczy, aby w razie potrzeby zamienić „niestandardowe” współrzędne na „nasze zwykłe centymetry”.

Drugie pytanie, na które właściwie już udzielono odpowiedzi, brzmi: czy kąt między wektorami bazowymi musi wynosić 90 stopni? NIE! Jak mówi definicja, wektory bazowe muszą być tylko niewspółliniowe. Odpowiednio kąt może wynosić dowolna wartość z wyjątkiem 0 i 180 stopni.

Punkt na płaszczyźnie tzw pochodzenie, I niewspółliniowy wektory, , ustawić układ współrzędnych płaszczyzny afinicznej :

Czasami nazywany jest taki układ współrzędnych skośny system. Jako przykład, rysunek pokazuje punkty i wektory:

Jak rozumiesz, afiniczny układ współrzędnych jest jeszcze mniej wygodny, nie działają w nim wzory na długości wektorów i odcinków, które omówiliśmy w drugiej części lekcji Wektory dla manekinów, wiele pysznych receptur związanych Iloczyn skalarny wektorów. Ale zasady dodawania wektorów i mnożenia wektora przez liczbę, wzory na dzielenie segmentu w tej relacji, a także niektóre inne rodzaje problemów, które wkrótce rozważymy.

Wniosek jest taki, że najwygodniejszym szczególnym przypadkiem afinicznego układu współrzędnych jest kartezjański układ prostokątny. Dlatego najczęściej musisz ją widywać, moja droga. ...Jednak wszystko w tym życiu jest względne - jest wiele sytuacji, w których kąt skośny (lub jakiś inny, np. polarny) system współrzędnych. A humanoidom mogą spodobać się takie systemy =)

Przejdźmy do części praktycznej. Wszystkie problemy z tej lekcji obowiązują zarówno dla prostokątnego układu współrzędnych, jak i dla ogólnego przypadku afinicznego. Nie ma tu nic skomplikowanego, cały materiał jest dostępny nawet dla ucznia.

Jak określić współliniowość wektorów płaskich?

Typowa rzecz. Aby dwa wektory płaskie były współliniowe, konieczne i wystarczające jest, aby odpowiadające im współrzędne były proporcjonalne. Zasadniczo jest to udoskonalenie oczywistej zależności współrzędna po współrzędnej.

Przykład 1

a) Sprawdź, czy wektory są współliniowe.
b) Czy wektory tworzą bazę?

Rozwiązanie:
a) Sprawdź, czy istnieje współczynnik proporcjonalności dla wektorów taki, że spełnione są równości:

Na pewno opowiem Wam o „fantastycznej” wersji stosowania tej zasady, która w praktyce sprawdza się całkiem nieźle. Chodzi o to, żeby od razu uzupełnić proporcję i sprawdzić, czy się zgadza:

Zróbmy proporcję ze stosunków odpowiednich współrzędnych wektorów:

Skróćmy:
, zatem odpowiednie współrzędne są proporcjonalne, zatem

Zależność można odwrócić; jest to opcja równoważna:

Do autotestu można wykorzystać fakt, że wektory współliniowe wyrażają się liniowo względem siebie. W tym przypadku zachodzą równości. Ich zasadność można łatwo zweryfikować poprzez elementarne operacje na wektorach:

b) Dwa wektory płaskie tworzą bazę, jeśli nie są współliniowe (liniowo niezależne). Zbadajmy wektory pod kątem współliniowości. Stwórzmy system:

Z pierwszego równania wynika, że ​​, z drugiego równania wynika, że ​​, co oznacza system jest niespójny(brak rozwiązań). Zatem odpowiednie współrzędne wektorów nie są proporcjonalne.

Wniosek: wektory są liniowo niezależne i tworzą bazę.

Uproszczona wersja rozwiązania wygląda następująco:

Zróbmy proporcję z odpowiednich współrzędnych wektorów:
, co oznacza, że ​​wektory te są liniowo niezależne i stanowią bazę.

Zwykle opcja ta nie jest odrzucana przez recenzentów, jednak problem pojawia się w przypadkach, gdy niektóre współrzędne są równe zeru. Lubię to: . Lub tak: . Lub tak: . Jak tu zastosować proporcję? (w rzeczywistości nie można dzielić przez zero). Z tego powodu uproszczone rozwiązanie nazwałem „fantastycznym”.

Odpowiedź: a), b) forma.

Mały kreatywny przykład własnego rozwiązania:

Przykład 2

Przy jakiej wartości parametru wektory będą współliniowe?

W przykładowym rozwiązaniu parametr znajduje się poprzez proporcję.

Istnieje elegancki algebraiczny sposób sprawdzenia wektorów pod kątem kolinearności.Usystematyzujmy naszą wiedzę i dodajmy ją jako piąty punkt:

Dla dwóch wektorów płaskich poniższe stwierdzenia są równoważne:

2) wektory stanowią bazę;
3) wektory nie są współliniowe;

+ 5) wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów jest niezerowy.

Odpowiednio, poniższe przeciwstawne stwierdzenia są równoważne:
1) wektory są liniowo zależne;
2) wektory nie stanowią bazy;
3) wektory są współliniowe;
4) wektory mogą być wyrażane liniowo przez siebie;
+ 5) wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów jest równy zeru.

Naprawdę mam nadzieję, że już rozumiesz wszystkie terminy i stwierdzenia, z którymi się spotkałeś.

Rozważmy bardziej szczegółowo nowy, piąty punkt: dwa wektory płaszczyzny są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów jest równy zeru: Aby zastosować tę funkcję, oczywiście musisz to zrobić znaleźć determinanty.

Zdecydujmy Przykład 1 w drugi sposób:

A)
, co oznacza, że ​​wektory te są współliniowe.

b) Dwa wektory płaskie tworzą bazę, jeśli nie są współliniowe (liniowo niezależne). Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorowych:
, co oznacza, że ​​wektory są liniowo niezależne i stanowią bazę.

Odpowiedź: a), b) forma.

Wygląda znacznie bardziej kompaktowo i ładniej niż rozwiązanie o proporcjach.

Za pomocą rozważanego materiału można ustalić nie tylko współliniowość wektorów, ale także udowodnić równoległość odcinków i linii prostych. Rozważmy kilka problemów z określonymi kształtami geometrycznymi.

Przykład 3

Dane są wierzchołki czworokąta. Udowodnić, że czworokąt jest równoległobokiem.

Dowód: Nie ma potrzeby tworzenia rysunku w zadaniu, ponieważ rozwiązanie będzie czysto analityczne. Przypomnijmy definicję równoległoboku:
Równoległobok Nazywa się czworokąt, którego przeciwne boki są równoległe parami.

Należy zatem udowodnić:
1) równoległość przeciwnych stron i;
2) równoległość przeciwnych stron i.

Udowodnimy:

1) Znajdź wektory:

Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorowych:

2) Znajdź wektory:

Wynikiem jest ten sam wektor („według szkoły” – wektory równe). Kolinearność jest dość oczywista, ale lepiej sformalizować decyzję jasno, z układem. Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorowych:
, co oznacza, że ​​wektory te są współliniowe, oraz .

Wniosek: Przeciwległe boki czworokąta są równoległe parami, co oznacza, że ​​z definicji jest to równoległobok. CO BYŁO DO OKAZANIA.

Więcej dobrych i różnych liczb:

Przykład 4

Dane są wierzchołki czworokąta. Udowodnić, że czworokąt jest trapezem.

Dla bardziej rygorystycznego sformułowania dowodu lepiej oczywiście uzyskać definicję trapezu, ale wystarczy po prostu przypomnieć sobie, jak on wygląda.

To zadanie, które możesz rozwiązać samodzielnie. Pełne rozwiązanie na końcu lekcji.

A teraz czas powoli przenieść się z samolotu w kosmos:

Jak określić kolinearność wektorów przestrzennych?

Zasada jest bardzo podobna. Aby dwa wektory przestrzenne były współliniowe, konieczne i wystarczające jest, aby odpowiadające im współrzędne były proporcjonalne.

Przykład 5

Sprawdź, czy następujące wektory przestrzenne są współliniowe:

A) ;
B)
V)

Rozwiązanie:
a) Sprawdźmy, czy istnieje współczynnik proporcjonalności dla odpowiednich współrzędnych wektorów:

Układ nie ma rozwiązania, co oznacza, że ​​wektory nie są współliniowe.

„Uproszczenie” jest sformalizowane poprzez sprawdzenie proporcji. W tym przypadku:
– odpowiadające im współrzędne nie są proporcjonalne, co oznacza, że ​​wektory nie są współliniowe.

Odpowiedź: wektory nie są współliniowe.

b-c) Są to punkty do samodzielnej decyzji. Wypróbuj na dwa sposoby.

Istnieje metoda sprawdzania kolinearności wektorów przestrzennych poprzez wyznacznik trzeciego rzędu; metoda ta została omówiona w artykule Iloczyn wektorowy wektorów.

Podobnie jak w przypadku płaszczyzny, rozważane narzędzia można wykorzystać do badania równoległości odcinków przestrzennych i prostych.

Witamy w drugiej części:

Liniowa zależność i niezależność wektorów w przestrzeni trójwymiarowej.
Baza przestrzenna i afiniczny układ współrzędnych

Wiele wzorów, które sprawdziliśmy w samolocie, będzie dotyczyć przestrzeni kosmicznej. Starałem się zminimalizować notatki z teorii, ponieważ lwia część informacji została już przeżuta. Zalecam jednak uważne przeczytanie części wprowadzającej, gdyż pojawią się nowe terminy i koncepcje.

Teraz zamiast płaszczyzny biurka komputerowego eksplorujemy trójwymiarową przestrzeń. Najpierw stwórzmy jego podstawę. Ktoś jest teraz w pomieszczeniu, ktoś na zewnątrz, ale w każdym razie nie możemy uciec od trzech wymiarów: szerokości, długości i wysokości. Dlatego do skonstruowania podstawy potrzebne będą trzy wektory przestrzenne. Jeden lub dwa wektory nie wystarczą, czwarty jest zbędny.

I znowu rozgrzewamy się na palcach. Proszę podnieść rękę do góry i rozłożyć ją w różnych kierunkach kciuk, palec wskazujący i środkowy. Będą to wektory, patrzą w różnych kierunkach, mają różne długości i mają między sobą różne kąty. Gratulacje, podstawa trójwymiarowej przestrzeni jest gotowa! Swoją drogą, nie ma potrzeby demonstrowania tego nauczycielom, bez względu na to, jak mocno kręcisz palcami, ale od definicji nie ma ucieczki =)

Następnie zadajmy sobie ważne pytanie: czy dowolne trzy wektory tworzą podstawę przestrzeni trójwymiarowej? Naciśnij mocno trzema palcami na blat biurka komputera. Co się stało? Trzy wektory znajdują się w tej samej płaszczyźnie i, z grubsza rzecz biorąc, straciliśmy jeden z wymiarów - wysokość. Takie wektory są współpłaszczyznowy i jest całkiem oczywiste, że podstawa przestrzeni trójwymiarowej nie jest tworzona.

Należy zauważyć, że wektory współpłaszczyznowe nie muszą leżeć w tej samej płaszczyźnie, mogą leżeć w płaszczyznach równoległych (tylko nie rób tego palcami, zrobił to tylko Salvador Dali =)).

Definicja: wektory są nazywane współpłaszczyznowy, jeśli istnieje płaszczyzna, do której są one równoległe. Logiczne jest tutaj dodanie, że jeśli taka płaszczyzna nie istnieje, to wektory nie będą współpłaszczyznowe.

Trzy wektory współpłaszczyznowe są zawsze liniowo zależne, to znaczy, że są wyrażane liniowo przez siebie. Dla uproszczenia wyobraźmy sobie jeszcze raz, że leżą one w tej samej płaszczyźnie. Po pierwsze, wektory są nie tylko współpłaszczyznowe, mogą być również współliniowe, wtedy dowolny wektor można wyrazić poprzez dowolny wektor. W drugim przypadku, jeśli na przykład wektory nie są współliniowe, wówczas trzeci wektor jest przez nie wyrażany w unikalny sposób: (i dlaczego łatwo zgadnąć z materiałów z poprzedniej sekcji).

Odwrotna sytuacja jest również prawdą: trzy niewspółpłaszczyznowe wektory są zawsze liniowo niezależne to znaczy nie wyrażają się one poprzez siebie nawzajem. I oczywiście tylko takie wektory mogą stanowić podstawę przestrzeni trójwymiarowej.

Definicja: Podstawa przestrzeni trójwymiarowej nazywa się potrójną liniowo niezależnymi (niewspółpłaszczyznowymi) wektorami, podjęte w określonej kolejności i dowolny wektor przestrzeni jedyny sposób jest rozkładany na zadaną bazę, gdzie są współrzędne wektora w tej bazie

Przypomnę, że możemy również powiedzieć, że wektor jest przedstawiony w postaci kombinacja liniowa wektory bazowe.

Pojęcie układu współrzędnych wprowadza się dokładnie tak samo, jak w przypadku płaszczyzny, wystarczy jeden punkt i dowolne trzy liniowo niezależne wektory:

pochodzenie, I niewspółpłaszczyznowe wektory, podjęte w określonej kolejności, ustawić afiniczny układ współrzędnych przestrzeni trójwymiarowej :

Oczywiście siatka współrzędnych jest „ukośna” i niewygodna, ale mimo to skonstruowany układ współrzędnych pozwala nam zdecydowanie określić współrzędne dowolnego wektora i współrzędne dowolnego punktu w przestrzeni. Podobnie jak w przypadku płaszczyzny, niektóre formuły, o których już wspomniałem, nie będą działać w afinicznym układzie współrzędnych przestrzeni.

Najbardziej znanym i wygodnym przypadkiem specjalnym afinicznego układu współrzędnych, jak wszyscy się domyślają, jest prostokątny układ współrzędnych przestrzeni:

Punkt w przestrzeni zwany pochodzenie, I ortonormalny podstawa jest ustalona Kartezjański prostokątny układ współrzędnych przestrzeni . Znajomy obrazek:

Zanim przejdziemy do zadań praktycznych, ponownie usystematyzujmy informacje:

Dla trzech wektorów przestrzennych poniższe stwierdzenia są równoważne:
1) wektory są liniowo niezależne;
2) wektory stanowią bazę;
3) wektory nie są współpłaszczyznowe;
4) wektory nie mogą być wyrażane liniowo przez siebie;
5) wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów jest różny od zera.

Myślę, że przeciwne stwierdzenia są zrozumiałe.

Liniową zależność/niezależność wektorów przestrzennych tradycyjnie sprawdza się za pomocą wyznacznika (punkt 5). Pozostałe zadania praktyczne będą miały wyraźny charakter algebraiczny. Czas odłożyć kij do geometrii i chwycić kij baseballowy algebry liniowej:

Trzy wektory przestrzeni są współpłaszczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik złożony ze współrzędnych danych wektorów jest równy zeru:

Chciałbym zwrócić uwagę na mały niuans techniczny: współrzędne wektorów można zapisać nie tylko w kolumnach, ale także w wierszach (wartość wyznacznika nie zmieni się z tego powodu - patrz właściwości wyznaczników). Ale jest znacznie lepszy w kolumnach, ponieważ jest bardziej korzystny w rozwiązywaniu niektórych praktycznych problemów.

Tym czytelnikom, którzy trochę zapomnieli o metodach obliczania wyznaczników, a może w ogóle ich nie rozumieją, polecam jedną z moich najstarszych lekcji: Jak obliczyć wyznacznik?

Przykład 6

Sprawdź, czy następujące wektory stanowią podstawę przestrzeni trójwymiarowej:

Rozwiązanie: Tak naprawdę całe rozwiązanie sprowadza się do obliczenia wyznacznika.

a) Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorowych (wyznacznik ujawnia się w pierwszym wierszu):

, co oznacza, że ​​wektory są liniowo niezależne (nie współpłaszczyznowe) i stanowią podstawę przestrzeni trójwymiarowej.

Odpowiedź: te wektory tworzą bazę

b) Jest to punkt do samodzielnej decyzji. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Istnieją również zadania twórcze:

Przykład 7

Przy jakiej wartości parametru wektory będą współpłaszczyznowe?

Rozwiązanie: Wektory są współpłaszczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów jest równy zeru:

Zasadniczo musisz rozwiązać równanie z wyznacznikiem. Spadamy na zera niczym latawce na skoczkach - najlepiej otworzyć wyznacznik w drugiej linii i od razu pozbyć się minusów:

Dokonujemy dalszych uproszczeń i sprowadzamy sprawę do najprostszego równania liniowego:

Odpowiedź: Na

Tutaj łatwo to sprawdzić, aby to zrobić, należy wynikową wartość podstawić do pierwotnego wyznacznika i upewnić się, otwierając go ponownie.

Podsumowując, rozważymy inny typowy problem, który ma charakter bardziej algebraiczny i jest tradycyjnie uwzględniany w kursie algebry liniowej. Jest to tak powszechne, że zasługuje na własny temat:

Udowodnić, że 3 wektory stanowią podstawę przestrzeni trójwymiarowej
i znajdź na tej podstawie współrzędne czwartego wektora

Przykład 8

Podano wektory. Pokaż, że wektory tworzą bazę w przestrzeni trójwymiarowej i znajdź na tej podstawie współrzędne wektora.

Rozwiązanie: Najpierw zajmijmy się warunkiem. Warunkowo podano cztery wektory i, jak widać, mają one już w jakiejś bazie współrzędne. Nie interesuje nas, jaka jest ta podstawa. Interesująca jest następująca rzecz: trzy wektory mogą stanowić nową bazę. A pierwszy etap całkowicie pokrywa się z rozwiązaniem z Przykładu 6, należy sprawdzić, czy wektory są rzeczywiście liniowo niezależne:

Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorowych:

, co oznacza, że ​​wektory są liniowo niezależne i stanowią podstawę przestrzeni trójwymiarowej.

! Ważny : współrzędne wektora Koniecznie zanotować w kolumny wyznacznik, a nie w łańcuchach. W przeciwnym razie w dalszym algorytmie rozwiązania wystąpi zamieszanie.– współrzędne wektorowe, metoda Cramera wcale nie jest lodem ;-)

I jak już zauważyłem, zadanie ma charakter algebraiczny. Rozważane wektory niekoniecznie są wektorami, które można narysować w przestrzeni, ale przede wszystkim dowolne wektory przebiegu algebry liniowej. Dla wektorów dwuwymiarowych podobny problem można sformułować i rozwiązać – rozwiązanie będzie technicznie znacznie prostsze, dlatego pominąłem je w poprzednim akapicie.

Ten sam problem z wektorami trójwymiarowymi dla niezależnego rozwiązania:

Przykład 9

Podano wektory. Pokaż, że wektory tworzą bazę i znajdź na tej podstawie współrzędne wektora. Rozwiązać układ równań liniowych metodą Cramera.

Kompletne rozwiązanie i przybliżona próbka ostatecznego projektu na koniec lekcji.

Podobnie możemy rozważyć czterowymiarowe, pięciowymiarowe itp. przestrzenie wektorowe, w których wektory mają odpowiednio 4, 5 lub więcej współrzędnych. Dla tych przestrzeni wektorowych istnieje również pojęcie zależności liniowej, liniowej niezależności wektorów, istnieje baza, w tym baza ortonormalna, rozwinięcie wektora względem bazy. Tak, takich przestrzeni nie da się narysować geometrycznie, ale działają w nich wszystkie zasady, własności i twierdzenia przypadków dwu- i trójwymiarowych - czysta algebra... Choć kto wie, może nie czysta..., ale podsumujmy - Pytano mnie już o kwestie filozoficzne poruszone w artykule Pochodne cząstkowe funkcji trzech zmiennych, który pojawił się wcześniej niż ta lekcja.

Kochaj wektory, a wektory cię pokochają!

Najważniejszym pojęciem w teorii przestrzeni liniowych jest liniowa zależność wektorów. Zanim zdefiniujemy to pojęcie, spójrzmy na kilka przykładów.

Przykłady. 1. Biorąc pod uwagę następujący układ trzech wektorów z przestrzeni Tk:

Łatwo to zauważyć lub

2. Weźmy teraz inny układ wektorów

Dla tego układu wektorów trudno bezpośrednio dostrzec zależność zbliżoną do równości (1). Łatwo to jednak sprawdzić

Współczynniki 4, -7,5 zależności (2) można znaleźć następująco. Oznaczmy je, uznając je za nieznane i rozwiążmy równanie wektorowe:

Po wykonaniu wskazanych operacji mnożenia i dodawania oraz przejścia do równości składników wektorów w (2) otrzymujemy jednorodny układ równań liniowych ze względu na

Jednym z rozwiązań tego systemu jest:

3. Rozważ układ wektorów:

Równość

prowadzi do układu równań, który ma unikalne – zerowe – rozwiązanie. (Sprawdź!) Zatem z równości (3) wynika,

że Innymi słowy, równość (3) jest spełniona tylko wtedy, gdy

Układy wektorowe w przykładach 1-2 są liniowo zależne, układ w przykładzie 3 jest liniowo niezależny.

Definicja 3. Układ wektorów przestrzeni liniowej nad ciałem nazywa się liniowo zależnym, jeśli nie wszystkie liczby ciała H są równe zeru tak, że

Jeśli dla wektorów równość zachodzi tylko wtedy, wówczas układ wektorów nazywa się liniowo niezależnym.

Należy zauważyć, że właściwość liniowej zależności i niezależności jest właściwością układu wektorów. Jednak w literaturze te same przymiotniki są szeroko stosowane, gdy są stosowane bezpośrednio do samych wektorów i mówią, korzystając ze swobody wypowiedzi, „układ liniowo niezależnych wektorów”, a nawet „wektory są liniowo niezależne”.

Jeżeli w systemie jest tylko jeden wektor a, to z własności 6 (§ 2) wynika, że ​​układ składający się z jednego niezerowego wektora jest liniowo niezależny. Przeciwnie, dowolny układ wektorów zawierający wektor zerowy 0 jest liniowo zależny. Na przykład, jeśli wtedy

Jeśli układ dwóch wektorów jest liniowo zależny, to równość zachodzi dla (lub . Wtedy

tj. wektory są proporcjonalne. Odwrotna sytuacja jest również prawdziwa, ponieważ wynika z tego, że układ dwóch wektorów jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy wektory są proporcjonalne.

Wektory proporcjonalne z leżą na tej samej linii prostej; W związku z tym, w ogólnym przypadku, wektory proporcjonalne są czasami nazywane współliniowymi.

Zwróćmy uwagę na pewne własności liniowej zależności wektorów.

Właściwość 1. Układ wektorów zawierający podukład zależny liniowo jest liniowo zależny.

Niech podsystem będzie liniowo zależny

Zatem nie wszystkie liczby są równe zeru takie, że

Dodając pozostałe wektory tego układu o zerowych współczynnikach po lewej stronie tej równości, uzyskujemy wymagany wynik.

Z własności 1 wynika, że ​​każdy podukład liniowo niezależnego układu wektorów jest liniowo niezależny.

Właściwość 2. Jeśli układ wektorów

jest liniowo niezależny, oraz układ wektorów

jest liniowo zależna, wówczas wektor wyraża się liniowo poprzez wektory układu (4).

Ponieważ układ wektorów (5) jest liniowo zależny, nie wszystkie liczby są równe zeru takie, że

Jeżeli wtedy i wtedy występują wśród nich niezerowe współczynniki, to oznaczałoby to liniową zależność układu (4). To znaczy

Właściwość 3. Uporządkowany układ niezerowych wektorów

jest liniowo zależna wtedy i tylko wtedy, gdy jakiś wektor jest liniową kombinacją poprzednich wektorów.

Niech układ będzie liniowo zależny. Ponieważ wektor jest liniowo niezależny. Oznaczmy przez najmniejszą liczbę naturalną, od której układ jest liniowo zależny. (To istnieje: w skrajnym przypadku, jeśli systemy są liniowo niezależne, to nie wszystkie liczby są równe zeru tak, że równość

Gdyby między nimi były niezerowe współczynniki i równość byłaby zachowana

co oznaczałoby liniową zależność układu, ale byłoby to sprzeczne z wyborem liczby. Więc i dlatego

I odwrotnie, z równości (7) na podstawie własności 1 wynika, że ​​układ jest liniowo zależny

Z własności 3 łatwo wynika, że ​​układ wektorów jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z jego wektorów jest liniowo wyrażony za pomocą pozostałych. W tym sensie mówią, że pojęcie zależności liniowej jest równoważne pojęciu liniowej wyrażalności.

Właściwość 4. Jeśli wektor x jest wyrażany liniowo poprzez wektory układu

i wektor jest wyrażany liniowo przez pozostałe wektory układu (8), to wektor jest również wyrażany liniowo przez te wektory układu (8).

Rzeczywiście,

Teraz możemy udowodnić jedno z najważniejszych twierdzeń o liniowej zależności wektorów.

Twierdzenie 1. Jeśli każdy wektor układu liniowo niezależnego

istnieje liniowa kombinacja wektorów

wówczas Innymi słowy, w liniowo niezależnym układzie wektorów, które są liniowymi kombinacjami wektorów, liczba wektorów nie może być większa

Dowód. 1. krok. Zbudujmy system

Pod warunkiem, że każdy wektor układu (9), w szczególności wektor jest wyrażany liniowo przez wektory (10), a zatem układ (11) jest liniowo zależny. Zgodnie z właściwością 3 w układzie (11) pewien wektor gdzie jest wyrażany liniowo przez poprzednie wektory, a zatem przez wektory układu

otrzymane z (11) poprzez usunięcie wektora Zatem na mocy własności 4 mamy: każdy wektor układu (9) jest wyrażany liniowo poprzez wektory układu (12).

2. krok. Stosując to samo rozumowanie jak w kroku do systemów wektorowych

oraz (12) i biorąc pod uwagę, że układ wektorów jest liniowo niezależny, otrzymujemy układ wektorów

przez który wszystkie wektory układu (9) są wyrażone liniowo.

Jeśli założymy, że kontynuując ten proces, etapami wyczerpamy wszystkie wektory i otrzymamy układ

w taki sposób, że w szczególności każdy wektor układu (9) jest wyrażany liniowo poprzez wektory układu (14). Wówczas układ (9) okazuje się liniowo zależny, co jest sprzeczne z warunkiem. Pozostaje to zaakceptować

Zastanówmy się teraz, co oznacza liniowa zależność wektorów w różnych przestrzeniach.

1. Przestrzeń Jeżeli układ dwóch wektorów jest liniowo zależny, to lub tj. wektory są współliniowe. Jest też odwrotnie. Układ trzech wektorów przestrzennych jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy leżą one w tej samej płaszczyźnie. (Udowodnić!) Układ czterech wektorów przestrzennych jest zawsze liniowo zależny. W rzeczywistości, jeśli jakikolwiek podsystem naszego systemu jest zależny liniowo, to cały system jest liniowo zależny. Jeżeli żaden właściwy podukład nie jest liniowo zależny, to zgodnie z poprzednim oznacza to, że żadne trzy wektory naszego układu nie leżą na tej samej płaszczyźnie. Zatem z rozważań geometrycznych wynika istnienie takich liczb rzeczywistych, że równoległościan z wektorami krawędziowymi będzie miał przekątną, tj. w równości

Zależność liniowa i niezależność wektorowa

Definicje liniowo zależnych i niezależnych układów wektorowych

Definicja 22

Mamy zatem system n-wektorów i zbiór liczb

(11)

nazywa się kombinacją liniową danego układu wektorów z danym zbiorem współczynników.

Definicja 23

Układ wektorów nazywa się liniowo zależnym, jeśli istnieje zbiór współczynników, z których przynajmniej jeden jest różny od zera, taki, że kombinacja liniowa danego układu wektorów z tym zbiorem współczynników jest równa wektorowi zerowemu:

Niech tak będzie

Definicja 24 ( poprzez przedstawienie jednego wektora układu jako liniowej kombinacji pozostałych)

Układ wektorów nazywa się liniowo zależnym, jeśli przynajmniej jeden z wektorów tego układu można przedstawić jako kombinację liniową pozostałych wektorów tego układu.

Oświadczenie 3

Definicje 23 i 24 są równoważne.

Definicja 25(poprzez zerową kombinację liniową)

Układ wektorów nazywa się liniowo niezależnym, jeśli zerowa kombinacja liniowa tego układu jest możliwa tylko wtedy, gdy wszystkie są równe zero.

Definicja 26(ze względu na niemożność przedstawienia jednego wektora układu jako kombinacji liniowej pozostałych)

Układ wektorów nazywa się liniowo niezależnym, jeśli żaden z wektorów tego układu nie może być przedstawiony jako kombinacja liniowa innych wektorów tego układu.

Własności liniowo zależnych i niezależnych układów wektorowych

Twierdzenie 2 (wektor zerowy w układzie wektorów)

Jeśli układ wektorów ma wektor zerowy, to układ jest liniowo zależny.

Niech więc tak będzie.

Otrzymujemy zatem z definicji liniowo zależny układ wektorów poprzez zerową kombinację liniową (12) system jest liniowo zależny.

Twierdzenie 3 (podsystem zależny w systemie wektorowym)

Jeśli układ wektorów ma podukład zależny liniowo, to cały układ jest liniowo zależny.

 Niech będzie podsystemem zależnym liniowo, spośród którego przynajmniej jeden jest różny od zera:

Oznacza to, zgodnie z definicją 23, że system jest liniowo zależny. 

Twierdzenie 4

Każdy podsystem układu liniowo niezależnego jest liniowo niezależny.

 Przeciwnie. Niech system będzie liniowo niezależny i będzie miał liniowo zależny podsystem. Ale wtedy, zgodnie z Twierdzeniem 3, cały system będzie również liniowo zależny. Sprzeczność. Dlatego podsystem układu liniowo niezależnego nie może być liniowo zależny.

Geometryczne znaczenie liniowej zależności i niezależności układu wektorów

Twierdzenie 5

Dwa wektory są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy.

 Konieczność.

oraz - są liniowo zależne od spełnienia warunku. Wtedy, to znaczy...

Adekwatność.

liniowo zależne. 

Wniosek 5.1

Wektor zerowy jest współliniowy z dowolnym wektorem

Wniosek 5.2

Aby dwa wektory były liniowo niezależne, konieczne i wystarczające jest, aby .

Twierdzenie 6

Aby układ trzech wektorów był liniowo zależny, konieczne i wystarczające jest, aby wektory te były współpłaszczyznowe .

 Konieczność.

Zatem liniowo zależny jeden wektor można przedstawić jako liniową kombinację pozostałych dwóch.

gdzie i. Zgodnie z zasadą równoległoboku istnieje przekątna równoległoboku z bokami, ale równoległobok to płaska figura, która jest współpłaszczyznowa - również współpłaszczyznowa.

Adekwatność.

Współpłaszczyznowy. Zastosujmy trzy wektory do punktu O:

– liniowo zależny

Wniosek 6.1

Wektor zerowy jest współpłaszczyznowy z dowolną parą wektorów.

Wniosek 6.2

Aby wektory były liniowo niezależne, konieczne i wystarczające jest, aby nie były współpłaszczyznowe.

Wniosek 6.3

Dowolny wektor płaszczyzny można przedstawić jako kombinację liniową dowolnych dwóch niewspółliniowych wektorów tej samej płaszczyzny.

Twierdzenie 7

Dowolne cztery wektory w przestrzeni są liniowo zależne .

 Rozważmy 4 przypadki:

Narysujmy płaszczyznę poprzez wektory, następnie płaszczyznę poprzez wektory i płaszczyznę poprzez wektory. Następnie rysujemy płaszczyzny przechodzące przez punkt D, równoległe do par wektorów ; ; odpowiednio. Budujemy równoległościan wzdłuż linii przecięcia płaszczyzn O.B. 1 D 1 C 1 ABDC.

Rozważmy O.B. 1 D 1 C 1 – równoległobok zbudowany według reguły równoległoboku.

Rozważmy zatem OADD 1 – równoległobok (z własności równoległościanu).

Osadzić równanie.3 .

Z twierdzenia 1 takiego, że. Wtedy, zgodnie z definicją 24, układ wektorów jest liniowo zależny. 

Wniosek 7.1

Suma trzech niewspółpłaszczyznowych wektorów w przestrzeni to wektor, który pokrywa się z przekątną równoległościanu zbudowanego na tych trzech wektorach zastosowanych do wspólnego początku, a początek wektora sumy pokrywa się ze wspólnym początkiem tych trzech wektorów.

Wniosek 7.2

Jeśli weźmiemy w przestrzeni 3 niewspółpłaszczyznowe wektory, wówczas dowolny wektor tej przestrzeni można rozłożyć na liniową kombinację tych trzech wektorów.

Nazywa się system wektorowy liniowo zależne, jeśli istnieją liczby, spośród których co najmniej jedna jest różna od zera, tak że równość https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" szerokość="57" wysokość="24 src= " >.

Jeżeli równość ta jest spełniona tylko w przypadku, gdy wszystkie , to wywoływany jest układ wektorów liniowo niezależny.

Twierdzenie. System wektorowy będzie liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z jego wektorów jest kombinacją liniową pozostałych.

Przykład 1. Wielomian to liniowa kombinacja wielomianów https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" szerokość="88 wysokość=24" wysokość="24">. Wielomiany stanowią układ liniowo niezależny, ponieważ wielomian https ://pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" szerokość="129" wysokość="24">.

Przykład 2. System macierzy, https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" szerokość="51" wysokość="48 src="> jest liniowo niezależny, ponieważ kombinacja liniowa jest równa macierz zerowa tylko w przypadku, gdy https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" szerokość="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" szerokość="40" wysokość="21"> zależna liniowo.

Rozwiązanie.

Zróbmy kombinację liniową tych wektorów https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" szerokość="97" wysokość="24">=0..gif" szerokość="360" wysokość=" 22">.

Przyrównując te same współrzędne równych wektorów, otrzymujemy https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" szerokość="289" wysokość="69">

Wreszcie dostajemy

Układ ma unikalne rozwiązanie trywialne, więc kombinacja liniowa tych wektorów jest równa zero tylko w przypadku, gdy wszystkie współczynniki są równe zero. Dlatego ten układ wektorów jest liniowo niezależny.

Przykład 4. Wektory są liniowo niezależne. Jakie będą systemy wektorowe?

Rozwiązanie.

A). Zróbmy kombinację liniową i przyrównajmy ją do zera

Korzystając z własności operacji na wektorach w przestrzeni liniowej, przepisujemy ostatnią równość w postaci

Ponieważ wektory są liniowo niezależne, współczynniki at muszą być równe zeru, tj..gif" szerokość="12" wysokość="23 src=">

Powstały układ równań ma unikalne, trywialne rozwiązanie.

Od równości (*) wykonywany tylko wtedy, gdy https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" szerokość="115 wysokość=20" wysokość="20"> – liniowo niezależny;

B). Zróbmy równość https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" szerokość="265" wysokość="24 src="> (**)

Stosując podobne rozumowanie, otrzymujemy

Rozwiązując układ równań metodą Gaussa, otrzymujemy

Ten ostatni system ma nieskończoną liczbę rozwiązań https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" szerokość="149" wysokość="24 src=">. Zatem istnieje nie- zerowy zbiór współczynników, dla którego zachodzi równość (**) . W konsekwencji układ wektorów jest liniowo zależny.

Przykład 5 Układ wektorów jest liniowo niezależny, a układ wektorów jest liniowo zależny..gif" szerokość="80" wysokość="24">.gif" szerokość="149 wysokość=24" wysokość="24"> (***)

W równości (***) . Rzeczywiście, w , system byłby liniowo zależny.

Z relacji (***) otrzymujemy lub Oznaczmy .

Problemy do samodzielnego rozwiązania (w klasie)

1. Układ zawierający wektor zerowy jest liniowo zależny.

2. Układ składający się z jednego wektora A, jest liniowo zależna wtedy i tylko wtedy, gdy, a=0.

3. Układ składający się z dwóch wektorów jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy wektory są proporcjonalne (to znaczy jeden z nich otrzymuje się z drugiego przez pomnożenie przez liczbę).

4. Jeśli dodasz wektor do układu liniowo zależnego, otrzymasz układ liniowo zależny.

5. Jeśli wektor zostanie usunięty z układu liniowo niezależnego, wówczas powstały układ wektorów będzie liniowo niezależny.

6. Jeśli systemu S jest liniowo niezależny, ale staje się liniowo zależny po dodaniu wektora B, następnie wektor B wyrażone liniowo poprzez wektory systemowe S.

C). Układ macierzy , , w przestrzeni macierzy drugiego rzędu.

10. Niech układ wektorów A,B,C przestrzeń wektorowa jest liniowo niezależna. Udowodnić liniową niezależność następujących układów wektorowych:

A).+b, b, c.

B).+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" szerokość="15" wysokość="19">– dowolna liczba

C).+b, a+c, b+c.

11. Pozwalać A,B,C– trzy wektory na płaszczyźnie, z których można utworzyć trójkąt. Czy te wektory będą liniowo zależne?

12. Podano dwa wektory a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Znajdź dwa kolejne czterowymiarowe wektory a3 ia4 tak, że system a1,a2,a3,a4 był liniowo niezależny .