Rozważając prawo rozkładu Maxwella założono, że cząsteczki są równomiernie rozmieszczone w całej objętości naczynia, co jest prawdą w przypadku małej objętości naczynia.
W przypadku dużych objętości równomierny rozkład cząsteczek w całej objętości zostaje zakłócony na skutek działania grawitacji, w wyniku czego gęstość, a co za tym idzie liczba cząsteczek na jednostkę objętości, będzie nierówna.
Rozważmy cząsteczki gazu znajdujące się w polu grawitacyjnym Ziemi.
Poznajmy zależność ciśnienia atmosferycznego od wysokości nad powierzchnią Ziemi. Załóżmy, że na powierzchni Ziemi (h = 0) ciśnienie atmosferyczne wynosi P 0 . Na wysokości h jest równe P. Wraz ze wzrostem wysokości o dh ciśnienie zmniejszy się o dP:
dP = - ρgdh (9,49)
[ρ - gęstość powietrza na danej wysokości, ρ = mn 0, gdzie m to masa cząsteczki, n 0 to stężenie cząsteczek].
Korzystając z zależności P = n 0 kT, otrzymujemy
Zakładając, że na pewnej wysokości h T = const, g = const, rozdzielając zmienne, całkujemy wyrażenie (9.50):
,
Dostajemy
(9.51)
-
wzór barometryczny.
Wzór barometryczny pokazuje zależność ciśnienia gazu od wysokości nad powierzchnią Ziemi.
Jeżeli weźmiemy pod uwagę, że stężenie cząsteczek powietrza w atmosferze determinuje ciśnienie, wówczas wzór (9.51) można zapisać w postaci
(9.52)
Z wzoru (9.52) wynika, że wraz ze spadkiem temperatury liczba cząstek na wysokości różnej od zera maleje i przy T = 0K osiąga zero, czyli przy 0K wszystkie cząsteczki byłyby zlokalizowane na powierzchni ziemi.
Ponieważ energia potencjalna cząsteczek na różnych wysokościach jest różna i na wysokości h jest określona wzorem, w którym E P = mgh, wówczas [patrz.
(9.53)
- Prawo Boltzmanna , pokazujący rozkład cząsteczek biorących udział w ruchu termicznym w polu sił potencjalnych, w szczególności w polu grawitacyjnym.
Metodologia rozwiązywania problemów
W zagadnieniach tego typu wykorzystuje się własności rozkładów Maxwella i Boltzmanna.
Przykład 3.3. Wyznacz średnią arytmetyczną prędkości<υ˃ молекул идеального газа, плотность которого при давлении 35 кПа составляет 0,3 кг/м 3 .
Dany: Р=35kPa=35∙10 3 Pa; ρ=0,3 kg/m3.
Znajdować : <υ˃ .
Rozwiązanie: Zgodnie z podstawowym równaniem molekularnej teorii kinetyki gazów doskonałych,
,
(1)
gdzie n jest stężeniem cząsteczek; m 0 - masa jednej cząsteczki; <υ kv ˃ .- średnia kwadratowa prędkość cząsteczek.
Biorąc pod uwagę, że 
, A 
, otrzymujemy
Ponieważ gęstość gazu
,
gdzie m jest masą gazu; V to jego objętość; N to liczba cząsteczek gazu, równanie (1) można zapisać jako
Lub 
. Podstawiając to wyrażenie do wzoru (2), znajdujemy wymaganą średnią arytmetyczną prędkość:
Odpowiedź: <υ˃=545 м/с.
Przykład 3.5. Znajdź względną liczbę gazów, których prędkość różni się o nie więcej niż δη = 1% średniej kwadratowej prędkości.
Dany: δη = 1%.
Znajdować
:
Rozwiązanie W rozkładzie Maxwella
zastąpić wartość
; δυ = υ kwadrat δη.
Względna liczba cząsteczek będzie
Odpowiedź
:
Przykład 3.6. W jakiej temperaturze gazu liczba cząsteczek o prędkościach w danym przedziale υ, υ + dυ będzie maksymalna? Masa każdej cząsteczki wynosi m.
Aby znaleźć żądaną temperaturę, należy zbadać funkcję rozkładu Maxwella dla ekstremum 
.
.
Przykład 3.7. Oblicz najbardziej prawdopodobną, średnią i pierwiastkową prędkość cząsteczek gazu doskonałego, który przy normalnym ciśnieniu atmosferycznym ma gęstość ρ = 1 kg/m 3.
Mnożąc licznik i mianownik wyrażeń pierwiastkowych (3.4) przez liczbę Avogadra Na, otrzymujemy następujące wzory na prędkości:
.
Zapiszmy równanie Mendelejewa-Clapeyrona, wprowadzając gęstość
Ustalmy stąd ilość 
i podstawiając go do wyrażeń określających prędkość cząsteczek, otrzymujemy:
Przykład 3.4. Gaz doskonały o masie molowej M znajduje się w jednorodnym polu grawitacyjnym, w którym przyspieszenie ziemskie wynosi g. Znajdź ciśnienie gazu jako funkcję wysokości h, jeśli przy h = 0 ciśnienie P = P 0, a temperatura zmienia się wraz z wysokością jako T = T 0 (1 - α h), gdzie α jest stałą dodatnią.
Kiedy wysokość wzrasta o nieskończenie małą wartość, ciśnienie wzrasta dP = - ρgdh, gdzie ρ jest gęstością gazu. Znak minus pojawił się, ponieważ ciśnienie spadało wraz ze wzrostem wysokości.
Ponieważ rozważamy gaz doskonały, gęstość ρ można znaleźć z równania Mendelejewa-Clapeyrona:
Podstawmy wartość gęstości ρ i temperatury T i rozdzielając zmienne otrzymamy:
Całkując to wyrażenie, znajdujemy zależność ciśnienia gazu od wysokości h:
Ponieważ przy h = 0 P = P 0 otrzymujemy wartość stałej całkowania C = P 0 . Wreszcie funkcja Р(h) ma postać
Należy zauważyć, że ponieważ ciśnienie jest wielkością dodatnią, otrzymany wzór obowiązuje dla wysokości 
.
Przykład. Francuski fizyk J. Perrin zaobserwował pod mikroskopem zmianę stężenia zawiesiny w wodzie (ρ = 1g/cm 3 ) kulki gumy (ρ 1 = 1,25 g/cm 3 ) wraz ze zmianą wysokości, wyznaczono eksperymentalnie stałą Avogadro. Wyznacz tę wartość, jeśli temperatura zawiesiny wynosi T = 298 K, promień kulek = 0,21 μm, a odległość między warstwami wynosi ΔH=30µm liczba kulek gumy w jednej warstwie jest dwukrotnie większa niż w drugiej.
Dany:
ρ=1g/cm 3
=1000kg/m 3
; ρ=1,25 g/cm 3
=1250kg/m 3
; T=280 K;R=0,21µm=0,21∙10 -6
M; ΔH=30µm=3∙10 -5
M;
.
Znajdować : N A .
Rozwiązanie. Wzór barometryczny
,
Korzystając z równania stanu P=nkT możemy przekształcić wysokości h 1 i h 2 do postaci
I
,
gdzie n 0, n 1 i n 2 to odpowiednio stężenie cząsteczek na wysokościach h 0, h 1 i h 2; M – masa molowa; g-przyspieszenie grawitacyjne; R jest stałą molową gazu.
.
(1)
Biorąc logarytm wyrażenia (1), otrzymujemy
(2)
Masa cząstek
; m=ρV=ρπr 3 . Podstawiając te wzory do (2) i uwzględniając poprawkę na prawo Archimedesa, otrzymujemy
Skąd pochodzi pożądane wyrażenie na stałą Avogadra?
Odpowiedź: N A =6,02∙10 23 mol -1.
Przykład. Jaka jest temperatura T azotu, jeśli jest to średnia droga swobodna<ℓ˃ молекул азота при давлении Р=8кПа составляет 1мкм. Эффективный диаметр молекул азота D= 0,38 nm. .
Dany: <ℓ˃ =1мкм=1∙10 -6 м; Р=8кПа=8∙10 3 Па; d=0,38нм=0,38∙10 -9 м;
Znajdować : T.
Rozwiązanie. Zgodnie z równaniem stanu gazu doskonałego
gdzie n jest stężeniem cząsteczek; k jest stałą Boltzmanna.
,
Gdzie 
. Podstawiając ten wzór do wyrażenia (1), znajdujemy pożądaną temperaturę azotu
Odpowiedź: T=372 K.
Przykład.
W temperaturze T=280 K i pod pewnym ciśnieniem średnia długość<ℓ 1 ˃
swobodna droga cząsteczek wynosi 0,1 mikrona. Określ średnią
Dany:
T=280 K;<ℓ 1 ˃
=0,1мкм=0,1∙10 -6
м;
М=32∙10 -3
кг/моль;
;
d=0,36nm=0,36∙10 -9 m;
Znajdować
:
Rozwiązanie.
Przeciętny
,
(1)
gdzie średnią prędkość cząsteczek określa wzór
(2)
gdzie R jest stałą molową gazu; M jest masą molową substancji.
Z formuł 
i P=nkT wynika, że średnia swobodna droga cząsteczek jest odwrotnie proporcjonalna do ciśnienia:
,
Gdzie 
. Podstawiając to wyrażenie do wzoru (1) i biorąc pod uwagę (2), otrzymujemy pożądaną średnią liczbę zderzeń cząsteczek w 1s:
Odpowiedź:
Dany:
P=100µPa=10 -4
Rocznie; r = 15 cm = 0,15 m; T=273 K;
d=0,38nm=0,38∙10 -9 m.
Znajdować
:
Rozwiązanie.
Próżnię można uznać za wysoką, jeśli średnia swobodna droga cząsteczek gazu jest znacznie większa niż wymiary liniowe naczynia, tj. warunek musi być spełniony Średnia droga swobodna cząsteczek gazu (uwzględniono P=nkT). Obliczając, otrzymujemy Odpowiedź:
tak, próżnia jest wysoka. Rozkład Boltzmanna to rozkład energii cząstek (atomów, cząsteczek) gazu doskonałego w warunkach równowagi termodynamicznej, który został odkryty w latach 1868-1871. Austriacki fizyk L. Boltzmann. Zgodnie z nim liczba cząstek n i o całkowitej energii e i jest równa: ni = Aω i exp (-e i /kT) gdzie ω i jest wagą statystyczną (liczbą możliwych stanów cząstki o energii e i). Stałą A wyznacza się z warunku, że suma n i po wszystkich możliwych wartościach i jest równa danej całkowitej liczbie cząstek N w układzie (warunek normalizacji): ∑n i = N. W przypadku, gdy ruch cząstki podlegają mechanice klasycznej, energię e i można uznać za składającą się z energii kinetycznej e i, krewnej cząstki (cząsteczki lub atomu), jej energii wewnętrznej e i, ext (na przykład energii wzbudzenia elektronów) i energii potencjalnej e i, garnek w polu zewnętrznym, w zależności od położenia cząstki w przestrzeni: e ja = e ja, kin + e ja, vn + e ja, pot Rozkład prędkości cząstek (rozkład Maxwella) jest szczególnym przypadkiem rozkładu Boltzmanna. Ma to miejsce, gdy można pominąć wewnętrzną energię wzbudzenia i wpływ pól zewnętrznych. Zgodnie z tym wzór na rozkład Boltzmanna można przedstawić jako iloczyn trzech wykładników, z których każdy daje rozkład cząstek według jednego rodzaju energii. W stałym polu grawitacyjnym wytwarzającym przyspieszenie g dla cząstek gazów atmosferycznych w pobliżu powierzchni Ziemi (lub innych planet) energia potencjalna jest proporcjonalna do ich masy m i wysokości H nad powierzchnią, tj. e ja, pot = mgH. Po podstawieniu tej wartości do rozkładu Boltzmanna i zsumowaniu wszystkich możliwych wartości energii kinetycznej i wewnętrznej cząstek otrzymuje się wzór barometryczny, wyrażający prawo zmniejszania się gęstości atmosfery wraz z wysokością. W astrofizyce, zwłaszcza w teorii widm gwiazd, rozkład Boltzmanna jest często używany do określenia względnego zajętości elektronów na różnych poziomach energii atomowej. Rozkład Boltzmanna otrzymano w ramach statystyki klasycznej. W latach 1924-1926. Powstała statystyka kwantowa. Doprowadziło to do odkrycia rozkładów Bosego-Einsteina (dla cząstek o spinie całkowitym) i Fermiego-Diraca (dla cząstek o spinie połówkowym). Obydwa te rozkłady przekształcają się w rozkład Boltzmanna, gdy średnia liczba stanów kwantowych dostępnych w układzie znacznie przekracza liczbę cząstek w układzie, czyli gdy na cząstkę przypada wiele stanów kwantowych, czyli innymi słowy, gdy stopień zajęcie stanów kwantowych jest niewielkie. Warunek stosowalności rozkładu Boltzmanna można zapisać jako nierówność: N/V. gdzie N jest liczbą cząstek, V jest objętością układu. Nierówność ta jest spełniona w wysokiej temperaturze i małej liczbie cząstek na jednostkę objętości (N/V). Wynika z tego, że im większa masa cząstek, tym szerszy jest zakres zmian T i N/V, obowiązuje rozkład Boltzmanna. Przykładowo, wewnątrz białych karłów powyższa nierówność jest łamana dla gazu elektronowego, dlatego jego właściwości należy opisać za pomocą rozkładu Fermiego-Diraca. Jednak to, a wraz z nim rozkład Boltzmanna, pozostają ważne dla jonowego składnika substancji. W przypadku gazu składającego się z cząstek o zerowej masie spoczynkowej (na przykład gazu fotonów) nierówność nie obowiązuje dla żadnych wartości T i N/V. Dlatego promieniowanie równowagowe opisuje prawo promieniowania Plancka, które jest szczególnym przypadkiem rozkładu Bosego-Einsteina. Wzór barometryczny to zależność ciśnienia lub gęstości gazu od wysokości w polu grawitacyjnym. Dla gazu doskonałego, który ma stałą temperaturę i znajduje się w jednolitym polu grawitacyjnym (we wszystkich punktach jego objętości przyspieszenie ziemskie jest takie samo), wzór barometryczny ma postać: gdzie to ciśnienie gazu w warstwie znajdującej się na wysokości , to ciśnienie na poziomie zerowym (), to masa molowa gazu, to uniwersalna stała gazowa, to temperatura bezwzględna. Ze wzoru barometrycznego wynika, że stężenie cząsteczek (lub gęstość gazu) maleje wraz z wysokością zgodnie z tym samym prawem: gdzie jest masą cząsteczki gazu i jest stałą Boltzmanna. Wzór barometryczny można otrzymać z prawa rozkładu cząsteczek gazu doskonałego na prędkościach i współrzędnych w potencjalnym polu sił (patrz statystyki Maxwella-Boltzmanna). W tym przypadku muszą być spełnione dwa warunki: stałość temperatury gazu i równomierność pola siłowego. Podobne warunki można spełnić w przypadku najmniejszych cząstek stałych zawieszonych w cieczy lub gazie. Na tej podstawie francuski fizyk J. Perrin w 1908 roku zastosował wzór barometryczny do rozkładu wysokości cząstek emulsji, co pozwoliło mu bezpośrednio wyznaczyć wartość stałej Boltzmanna. Wzór barometryczny pokazuje, że gęstość gazu maleje wykładniczo wraz z wysokością. Ogrom W rezultacie w mieszaninie gazów znajdującej się w polu grawitacyjnym cząsteczki o różnych masach mają różną wysokość. Rzeczywisty rozkład ciśnienia i gęstości powietrza w atmosferze ziemskiej nie jest zgodny ze wzorem barometrycznym, ponieważ w atmosferze temperatura i przyspieszenie grawitacyjne zmieniają się wraz z wysokością i szerokością geograficzną. Ponadto ciśnienie atmosferyczne wzrasta wraz ze stężeniem pary wodnej w atmosferze. Wzór barometryczny leży u podstaw niwelacji barometrycznej - metody określania różnicy wysokości między dwoma punktami na podstawie ciśnienia mierzonego w tych punktach ( i ). Ponieważ ciśnienie atmosferyczne jest zależne od pogody, odstępy czasowe pomiędzy pomiarami powinny być jak najkrótsze, a punkty pomiarowe nie powinny znajdować się zbyt daleko od siebie. Wzór barometryczny zapisuje się w tym przypadku jako: (w m), gdzie jest średnią temperaturą warstwy powietrza pomiędzy punktami pomiarowymi, a jest współczynnikiem temperaturowym rozszerzalności objętościowej powietrza. Błąd obliczeń według tego wzoru nie przekracza 0,1-0,5% zmierzonej wysokości. Wzór Laplace'a jest dokładniejszy, biorąc pod uwagę wpływ wilgotności powietrza i zmiany przyspieszenia ziemskiego. Ciśnienie atmosferyczne na wysokości h zależy od ciężaru leżących nad nimi warstw gazu. Niech P będzie ciśnieniem gazu na wysokości h. Wtedy ciśnienie na wysokości h+dh będzie wynosić P+dP, a różnica ciśnień dP będzie równa masie gazu mg w objętości V o powierzchni podstawy S = 1 m2 i wysokości dh (V=Sdh) podzielonej przez S . Wyraźmy gęstość gazu ρ w postaci ciśnienia P z równania Mendelejewa-Clapeyrona Następnie Całkujmy oddzielnie lewą i prawą stronę równania. Biorąc pod uwagę stałą temperaturową T=const, otrzymujemy lnP = - Równanie to nazywa się wzorem barometrycznym i pokazuje zależność ciśnienia gazu od wysokości. Można zauważyć, że im cięższe cząsteczki i im niższa temperatura, tym szybciej ciśnienie spada wraz ze wzrostem wysokości. Zastąpmy ciśnienie we wzorze, wyrażając je poprzez stężenie cząsteczek z równań P = nkT, P 0 = n 0 kT i gdzie n 0 jest stężeniem cząsteczek na wysokości h=0; n jest stężeniem cząsteczek na wysokości h≠0. Wzór ten opisuje zmianę stężenia cząsteczek od wysokości h w potencjalnym polu grawitacji Ziemi i od temperatury T. Można zauważyć dwa trendy, które determinują rozkład cząsteczek według wysokości: 1. Przyciąganie cząsteczek do Ziemi (mg) ma tendencję do umieszczania ich na powierzchni Ziemi. 2. Ruch termiczny (kT) ma tendencję do równomiernego rozpraszania cząsteczek na wszystkich wysokościach od 0 do W wyniku tych konkurencyjnych procesów rozkład wysokości cząsteczek gazu ma postać pośrednią. Energia potencjalna cząsteczki P =mgh. W konsekwencji otrzymany wzór przedstawia rozkład cząsteczek według potencjalnych wartości energii To jest wzór na dystrybuantę Boltzmanna. Tutaj n 0 to stężenie cząsteczek w miejscu, gdzie P = 0, n to stężenie cząsteczek w tym punkcie przestrzeni, w którym cząsteczka ma energię potencjalną p ≠ 0. Cząsteczki mają tendencję do lokalizacji z największą gęstością tam, gdzie są mają minimalną energię potencjalną Prawo Maxwella podaje rozkład cząsteczek według wartości energii kinetycznej, a prawo Boltzmanna - według wartości energii potencjalnej. Boltzmann udowodnił, że wzór na rozkład obowiązuje nie tylko w przypadku potencjalnego pola grawitacyjnego, ale także w dowolnym potencjalnym polu sił dla zbioru dowolnych identycznych cząstek w stanie chaotycznego ruchu termicznego. Jaki jest stopień swobody cząsteczek? Jaka jest liczba stopni swobody cząsteczek jedno-, dwu- i trójatomowych? Sformułuj prawo rozkładu energii ze względu na stopnie swobody cząsteczek. Podaj wyrażenie na funkcję rozkładu prędkości cząsteczek. Jakich wzorów używa się do wyznaczania średniej arytmetycznej, najbardziej prawdopodobnej i średniej kwadratowej prędkości cząsteczek? Jakie jest wyrażenie na funkcję rozkładu Boltzmanna po wartościach energii potencjalnej? Testy
jaka jest liczba stopni swobody cząsteczki dwuatomowej? a) 1; b) 2; o 3; d) 4; d) 5. Ile stopni swobody ma ruch obrotowy cząsteczki dwuatomowej? a) 1; b) 2; o 3; d) 4; d) 5. Które z poniższych wyrażeń opisuje najbardziej prawdopodobną prędkość? We wzorze barometrycznym w odniesieniu do PAN Podziel licznik i mianownik przez liczbę Avogadro. Masa jednej cząsteczki, Stała Boltzmanna. Zamiast R i odpowiednio zastąpić. (patrz wykład nr 7), gdzie gęstość cząsteczek jest najwyższa H, gęstość cząsteczek jest na wysokości . Ze wzoru barometrycznego w wyniku podstawień i skrótów otrzymujemy rozkład stężenia cząsteczek ze względu na wysokość w polu grawitacyjnym Ziemi. Z tego wzoru wynika, że wraz ze spadkiem temperatury liczba cząstek na wysokościach innych niż zero maleje (ryc. 8.10), osiągając 0 w T = 0 ( W temperaturze zera absolutnego wszystkie cząsteczki znajdowałyby się na powierzchni Ziemi). W wysokich temperaturach N zmniejsza się nieznacznie wraz ze wzrostem, tzw Stąd, rozkład cząsteczek według wysokości jest także ich rozkładem według wartości energii potencjalnej. gdzie jest gęstość cząsteczek w tym miejscu przestrzeni, w którym energia potencjalna cząsteczki ma wartość; gęstość cząsteczek w miejscu, w którym energia potencjalna wynosi 0. Boltzmann udowodnił, że rozkład (*) jest prawdziwe nie tylko w przypadku potencjalnego pola sił grawitacyjnych, ale także w dowolnym potencjalnym polu sił dla zbioru dowolnych identycznych cząstek w stanie chaotycznego ruchu termicznego. Zatem, Prawo Boltzmanna (*) podaje rozkład cząstek w stanie chaotycznego ruchu termicznego według wartości energii potencjalnej. (ryc. 8.11) 4. Rozkład Boltzmanna na dyskretnych poziomach energii.
Rozkład uzyskany przez Boltzmanna dotyczy przypadków, w których cząsteczki znajdują się w polu zewnętrznym, a ich energia potencjalna może być przykładana w sposób ciągły. Boltzmann uogólnił otrzymane prawo na przypadek rozkładu zależnego od energii wewnętrznej cząsteczki. Wiadomo, że wartość energii wewnętrznej cząsteczki (lub atomu) mi może przyjmować tylko dyskretną serię dozwolonych wartości. W tym przypadku rozkład Boltzmanna ma postać: gdzie jest liczbą cząstek w stanie posiadającym energię ; Współczynnik proporcjonalności spełniający warunek Gdzie N jest całkowitą liczbą cząstek w rozważanym układzie. Następnie Ale stan układu w tym przypadku jest termodynamicznie nierównowagowy. 5. Statystyka Maxwella-Boltzmanna
Rozkład Maxwella i Boltzmanna można połączyć w jedno prawo Maxwella-Boltzmanna, zgodnie z którym liczba cząsteczek, których składowe prędkości mieszczą się w przedziale od do Gdzie Rozkład Maxwella-Boltzmanna określa rozkład cząsteczek gazu według współrzędnych i prędkości w obecności dowolnego potencjalnego pola siłowego. Notatka: Rozkłady Maxwella i Boltzmanna są składnikami jednego rozkładu zwanego rozkładem Gibbsa (zagadnienie to jest szczegółowo omawiane na specjalnych kursach z fizyki statycznej i ograniczymy się do wzmianki o tym fakcie). Pytania do samokontroli. 1. Zdefiniuj prawdopodobieństwo. 2. Jakie jest znaczenie funkcji dystrybucji? 3. Jakie jest znaczenie warunku normalizacji? 4. Zapisz wzór na wyznaczenie średniej wartości wyników pomiaru x za pomocą funkcji rozkładu. 5. Co to jest rozkład Maxwella? 6. Co to jest funkcja rozkładu Maxwella? Jakie jest jego fizyczne znaczenie? 7. Narysuj wykres funkcji rozkładu Maxwella i wskaż charakterystyczne cechy tej funkcji. 8. Wskaż na wykresie najbardziej prawdopodobną prędkość. Uzyskaj wyrażenie dla . Jak zmienia się wykres wraz ze wzrostem temperatury? 9. Uzyskaj wzór barometryczny. Co definiuje? 10. Wyznaczyć zależność stężenia cząsteczek gazu w polu grawitacyjnym od wysokości. 11. Zapisz prawo rozkładu Boltzmanna a) dla cząsteczek gazu doskonałego w polu grawitacyjnym; b) dla cząstek o masie m znajdujących się w wirniku wirówki obracającej się z prędkością kątową. 12. Wyjaśnij znaczenie fizyczne rozkładu Maxwella-Boltzmanna. Wykład nr 9 Prawdziwe gazy 1. Siły oddziaływań międzycząsteczkowych w gazach. Równanie Van der Waalsa. Izotermy gazów rzeczywistych. 2. Stany metastabilne. Krytyczna kondycja. 3. Energia wewnętrzna gazu rzeczywistego. 4. Efekt Joule’a – Thomsona. Skraplanie gazów i uzyskiwanie niskich temperatur. 1. Siły oddziaływań międzycząsteczkowych w gazach
Wiele gazów rzeczywistych podlega prawom gazu doskonałego w normalnych warunkach. Można wziąć pod uwagę powietrze idealny do ciśnień ~ 10 atm. Kiedy ciśnienie wzrasta odchylenia od ideału(odchylenie od stanu opisanego równaniem Mendelejewa – Clayperona) wzrasta i przy p = 1000 atm osiąga ponad 100%. i atrakcja, A F
– ich wypadkowa. Uwzględniono siły odpychające pozytywny, a siły wzajemnego przyciągania są negatywny. Odpowiednia krzywa jakościowa zależności energii oddziaływania cząsteczek od odległości R pomiędzy centrami cząsteczek pokazano na Ryż. 9.1b). Na małych dystansach cząsteczki odpychają się, na dużych dystansach przyciągają. Z grubsza oznacza to szybko rosnące siły odpychania na małych dystansach cząsteczki wydają się zajmować pewną objętość, powyżej której gaz nie może zostać sprężony.
˃˃
2r
=58,8 m, tj. 58,8 m ˃˃0,3 m.
, które określa szybkość spadku gęstości, jest stosunkiem energii potencjalnej cząstek do ich średniej energii kinetycznej, proporcjonalny do . Im wyższa temperatura, tym wolniej gęstość spada wraz z wysokością. Natomiast wzrost grawitacji (przy stałej temperaturze) prowadzi do znacznie większego zagęszczenia dolnych warstw i wzrostu różnicy gęstości (gradientu). Siła grawitacji działająca na cząstki może się zmieniać ze względu na dwie wielkości: przyspieszenie i masę cząstki.
, gdzie C jest stałą całkowania. Wyrażeniem ciśnienia będzie 
Stałą całkowania wyznacza się na podstawie warunku brzegowego. Jeśli h = 0, to C = P 0 i wtedy
.
Pytania kontrolne
Rozkład Boltzmanna
(*)
Ryż. 8.11
,
,
i w efekcie dla przypadku dyskretnych wartości energii rozkład Boltzmanna
, a współrzędne wahają się od x, y, z zanim x+dx, y+dy, z+dz, równa się
, gęstość cząsteczek w przestrzeni, w której; 
; 
; całkowita energia mechaniczna cząstki.