Przykład 1. Z talii 32 kart usuwane są kolejno 2 karty bez zwracania. Znajdź prawdopodobieństwo, że obaj będą asami.

Rozwiązanie. Ponieważ pierwszą kartę można dobrać z talii na 32 sposoby, a drugą - 31 (ponieważ w talii pozostało 31 kart), liczba możliwych wyników eksperymentu wynosi . Ustalmy liczbę korzystnych wyników. Pierwszego asa można wybrać spośród czterech znajdujących się w talii, drugiego - z pozostałych trzech. Oznacza to liczbę korzystnych wyników a pożądane prawdopodobieństwo jest równe

Przykład 2. Z pudełka zawierającego pięć eklerów i siedem Napoleonów wyjęto pięć ciast. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród nich będzie dwóch „eklerów” i trzech „Napoleonów”.

Rozwiązanie. Liczba możliwych wyników eksperymentu to liczba kombinacji 12 na 5:

Liczba korzystnych wyników jest iloczynem liczby sposobów, na jakie można wybrać dwa „eklery” z pięciu dostępnych oraz liczby zestawów trzech „Napoleonów” z siedmiu:

Dlatego wymagane prawdopodobieństwo jest równe

Przykład 3. Do okręgu wrzuca się losowo kropkę. Znajdź prawdopodobieństwo, że nie wpadnie on w trójkąt foremny wpisany w ten okrąg.

Rozwiązanie. W tym przypadku miarą zbioru możliwych wyników jest pole koła: a miarą zbioru korzystnych wyników jest różnica między polami koła i trójkąta: . Zatem prawdopodobieństwo danego zdarzenia jest równe

Przykład 4. Każdy z dwóch strzelców oddaje jeden strzał do celu. Prawdopodobieństwo trafienia wynosi odpowiednio 0,6 i 0,9. Znajdź prawdopodobieństwa następujących zdarzeń:

Obaj trafili w cel;

Przynajmniej jeden trafił w cel.

Rozwiązanie. Trafienie w tarczę przez odpowiednio pierwszego i drugiego strzelca nazwiemy zdarzeniami i zauważmy, że i są zdarzeniami wspólnymi, ale niezależnymi (innymi słowy, obaj strzelcy mogą trafić w tarczę, a prawdopodobieństwo trafienia każdego strzelca nie zależy od wynik drugiego). Wydarzenie jest produktem zdarzeń i dlatego

Zdarzenie jest sumą i do określenia jego prawdopodobieństwa używamy ogólnej postaci twierdzenia o dodawaniu:

Przykład 5. W trzech identycznych urnach znajdują się kule: w pierwszej jest 5 białych i 3 czarne, w drugiej 2 białe i 6 czarnych, w trzeciej 3 białe i 1 czarna. Z losowo wybranej urny losujemy kulę. Znajdź prawdopodobieństwo, że jest on biały.

Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia, czyli wylosowania z urny białej kuli, określa klasyczna definicja prawdopodobieństwa (liczba korzystnych wyników to liczba białych kul, a liczba możliwych wyników to całkowita liczba kule w urnie). Dlatego

Korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite, otrzymujemy:

Przykład 6. Grupa studencka liczy 20 uczniów. Spośród nich 5 to uczniowie znakomici, którzy znają wszystkie pytania egzaminacyjne, 8 uczniów zna odpowiedzi na 70% pytań, a 7 zna odpowiedzi na 50%. Pierwszy wezwany student odpowiedział na pierwsze pytanie zawarte w arkuszu egzaminacyjnym. Znajdź prawdopodobieństwo, że jest on doskonałym uczniem.

PRAWDOPODOBIEŃSTWO- ogólnonaukowe i filozoficzne. kategoria oznaczająca ilościowy stopień możliwości wystąpienia masowych zdarzeń losowych w ustalonych warunkach obserwacji, charakteryzująca stabilność ich względnych częstotliwości. W logice, stopień semantyczny... ... Encyklopedia filozoficzna

CZYM JEST FILOZOFIA?- „CO TO JEST FILOZOFIA?” („Qu est ce que la philosophie?”, Les Editions de Minuit, 1991) książka Deleuze'a i Guattariego. Zgodnie z refleksją autorów, wskazaną we wstępie, „czym jest filozofia” jest pytaniem, które „zadaje się, ukrywając niepokój, bliżej... ...

CZYM JEST FILOZOFIA?- (Qu est ce que la philosophie?, Les Editions de Minuit, 1991) książka Deleuze'a i Guattariego. Zgodnie z przemyśleniami autorów, zarysowanymi we wstępie, czym jest filozofia, jest to pytanie zadawane, ukrywające niepokój, bliżej północy, kiedy więcej... ... Historia filozofii: encyklopedia

Prawdopodobieństwo- matematyczna, numeryczna charakterystyka stopnia możliwości wystąpienia określonego zdarzenia w określonych warunkach, która może być powtarzana nieograniczoną liczbę razy. Jako kategoria wiedzy naukowej pojęcie „V.”... ... Wielka encyklopedia radziecka

PRAWDOPODOBIEŃSTWO- matematyczna, numeryczna charakterystyka stopnia możliwości pojawienia się l. kosmicznego. określone wydarzenie w określonych warunkach, które można powtórzyć nieograniczoną liczbę razy. Jako kategoria wiedzy naukowej pojęcie V. odzwierciedla szczególny typ... ... Encyklopedia matematyczna

Prawe wieloryby-? Wieloryby południowe… Wikipedia

Peelingi (serial telewizyjny)- Ten artykuł lub sekcja wymaga przeglądu. Prosimy o poprawienie artykułu zgodnie z zasadami pisania artykułów... Wikipedia

Prawdopodobieństwo pokazuje możliwość wystąpienia określonego zdarzenia przy określonej liczbie powtórzeń. Jest to liczba możliwych wyników z jednym lub większą liczbą wyników podzielona przez całkowitą liczbę możliwych zdarzeń. Prawdopodobieństwo wystąpienia wielu zdarzeń oblicza się, dzieląc problem na poszczególne prawdopodobieństwa, a następnie mnożąc je.

Kroki

Prawdopodobieństwo pojedynczego zdarzenia losowego

1. Wybierz wydarzenie, którego wyniki wzajemnie się wykluczają. Prawdopodobieństwo można obliczyć tylko wtedy, gdy dane zdarzenie albo nastąpi, albo nie nastąpi. Niemożliwe jest jednoczesne uzyskanie zdarzenia i jego przeciwnego skutku. Przykładami takich wydarzeń jest rzut 5 na kostce lub wygranie określonego konia w wyścigu. Pięć albo się pojawi, albo nie; dany koń albo będzie pierwszy, albo nie.

   • Nie da się na przykład obliczyć prawdopodobieństwa takiego zdarzenia: przy jednym rzucie kostką wypadnie jednocześnie 5 i 6.

2. Zidentyfikuj wszystkie możliwe zdarzenia i skutki, które mogą wystąpić. Załóżmy, że musisz określić prawdopodobieństwo, że rzucając kostką zawierającą 6 liczb, otrzymasz trójkę. „Wyrzucenie trójki” jest wydarzeniem, a ponieważ wiemy, że można wyrzucić dowolną z 6 liczb, liczba możliwych wyników wynosi sześć. Wiemy zatem, że w tym przypadku istnieje 6 możliwych wyników i jedno zdarzenie, którego prawdopodobieństwo chcemy określić. Poniżej dwa kolejne przykłady.

   • Przykład 1. W tym przypadku wydarzeniem jest „wybór dnia wypadającego w weekend”, a liczba możliwych wyników jest równa liczbie dni tygodnia, czyli siedmiu.
   • Przykład 2. Wydarzenie polega na „wylosowaniu czerwonej kuli”, a liczba możliwych wyników jest równa całkowitej liczbie kul, czyli dwudziestu.

3. Podziel liczbę zdarzeń przez liczbę możliwych wyników. W ten sposób określisz prawdopodobieństwo pojedynczego zdarzenia. Jeśli rozważymy przypadek rzutu kostką jako 3, liczba zdarzeń wynosi 1 (3 jest tylko po jednej stronie kości), a całkowita liczba wyników wynosi 6. Wynik jest stosunkiem 1/6, 0,166, czyli 16,6%. Prawdopodobieństwo zdarzenia dla dwóch powyższych przykładów można obliczyć w następujący sposób:

   • Przykład 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybierzesz dzień wypadający w weekend? Liczba zdarzeń wynosi 2, ponieważ w tygodniu są dwa dni wolne, a łączna liczba wyników wynosi 7. Zatem prawdopodobieństwo wynosi 2/7. Otrzymany wynik można również zapisać jako 0,285 lub 28,5%.
   • Przykład 2. W pudełku znajdują się 4 kule niebieskie, 5 czerwonych i 11 białych. Jeśli wyjmiesz losową piłkę z pudełka, jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie ona czerwona? Liczba zdarzeń wynosi 5, ponieważ w pudełku jest 5 czerwonych kul, a łączna liczba wyników wynosi 20. Obliczamy prawdopodobieństwo: 5/20 = 1/4. Otrzymany wynik można również zapisać jako 0,25 lub 25%.

4. Dodaj prawdopodobieństwa wszystkich możliwych zdarzeń i sprawdź, czy suma wynosi 1. Całkowite prawdopodobieństwo wszystkich możliwych zdarzeń musi wynosić 1 lub 100%. Jeśli nie uzyskasz 100%, najprawdopodobniej popełniłeś błąd i przegapiłeś jedno lub więcej możliwych wydarzeń. Sprawdź swoje obliczenia i upewnij się, że uwzględniłeś wszystkie możliwe wyniki.

   • Na przykład prawdopodobieństwo wyrzucenia 3 podczas rzutu kostką wynosi 1/6. W tym przypadku prawdopodobieństwo wypadnięcia jakiejkolwiek innej liczby z pozostałych pięciu jest również równe 1/6. W rezultacie otrzymujemy 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6, czyli 100%.
   • Jeśli na przykład zapomnisz o cyfrze 4 na kostce, zsumowanie prawdopodobieństw da ci tylko 5/6, czyli 83%, co nie jest równe jeden i oznacza błąd.

5. Wyraź prawdopodobieństwo niemożliwego wyniku jako 0. Oznacza to, że dane zdarzenie nie może się wydarzyć, a jego prawdopodobieństwo wynosi 0. W ten sposób można uwzględnić zdarzenia niemożliwe.

   • Na przykład, jeśli miałbyś obliczyć prawdopodobieństwo, że Wielkanoc w 2020 roku wypadnie w poniedziałek, otrzymasz 0, ponieważ Wielkanoc zawsze obchodzona jest w niedzielę.

   Prawdopodobieństwo kilku zdarzeń losowych

   1. Rozważając zdarzenia niezależne, oblicz każde prawdopodobieństwo osobno. Po ustaleniu, jakie są prawdopodobieństwa zdarzeń, można je obliczyć osobno. Załóżmy, że chcemy poznać prawdopodobieństwo, że rzucimy kostką dwa razy z rzędu i otrzymamy 5. Wiemy, że prawdopodobieństwo otrzymania jednej 5 wynosi 1/6, a prawdopodobieństwo otrzymania drugiej 5 również wynosi 1/6. Pierwszy wynik nie jest powiązany z drugim.

      • Ogłasza się kilka rzutów piątkami niezależne wydarzenia, ponieważ to, co dzieje się za pierwszym razem, nie ma wpływu na drugie zdarzenie.

   2. Przy obliczaniu prawdopodobieństwa zdarzeń zależnych należy wziąć pod uwagę wpływ poprzednich wyników. Jeśli pierwsze zdarzenie wpływa na prawdopodobieństwo drugiego wyniku, mówimy o obliczeniu prawdopodobieństwa zdarzenia zależne. Na przykład, jeśli wybierzesz dwie karty z talii 52 kart, po dobraniu pierwszej karty, skład talii ulegnie zmianie, co wpłynie na wybór drugiej karty. Aby obliczyć prawdopodobieństwo drugiego z dwóch zależnych zdarzeń, należy odjąć 1 od liczby możliwych wyników podczas obliczania prawdopodobieństwa drugiego zdarzenia.

      • Przykład 1. Rozważmy następujące wydarzenie: Z talii losujemy dwie karty, jedną po drugiej. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie karty będą treflami? Prawdopodobieństwo, że pierwszą kartą będzie kolor treflowy, wynosi 13/52, czyli 1/4, ponieważ w talii znajduje się 13 kart tego samego koloru.
        • Następnie prawdopodobieństwo, że druga karta będzie w kolorze treflowym, wynosi 12/51, ponieważ jednej karty klubowej już nie ma. Dzieje się tak dlatego, że pierwsze wydarzenie wpływa na drugie. Jeśli wylosujesz trójkę trefl i nie odłożysz jej z powrotem, w talii będzie o jedną kartę mniej (51 zamiast 52).
      • Przykład 2. W pudełku znajdują się 4 kule niebieskie, 5 czerwonych i 11 białych. Jeśli wylosujemy trzy kule, jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwsza będzie czerwona, druga niebieska, a trzecia biała?
        • Prawdopodobieństwo, że pierwsza kula będzie czerwona, wynosi 5/20 lub 1/4. Prawdopodobieństwo, że druga kula będzie niebieska, wynosi 4/19, ponieważ w pudełku została o jedną kulę mniej, ale nadal 4 niebieski piłka. Ostatecznie prawdopodobieństwo, że trzecia kula będzie biała, wynosi 11/18, ponieważ wylosowaliśmy już dwie kule.

   3. Pomnóż prawdopodobieństwa każdego pojedynczego zdarzenia. Niezależnie od tego, czy mamy do czynienia ze zdarzeniami niezależnymi czy zależnymi, czy też liczbą wyników (może być 2, 3, a nawet 10), całkowite prawdopodobieństwo można obliczyć mnożąc przez siebie prawdopodobieństwa wszystkich danych zdarzeń. W rezultacie otrzymasz prawdopodobieństwo kilku zdarzeń, jak poniżej jeden po drugim. Zadaniem jest np Znajdź prawdopodobieństwo, że rzucając kostką dwa razy z rzędu wypadnie 5. Są to dwa niezależne zdarzenia, których prawdopodobieństwo wynosi 1/6. Zatem prawdopodobieństwo obu zdarzeń wynosi 1/6 x 1/6 = 1/36, czyli 0,027, czyli 2,7%.

      • Przykład 1. Z talii losujemy dwie karty, jedną po drugiej. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie karty będą treflami? Prawdopodobieństwo pierwszego zdarzenia wynosi 13/52. Prawdopodobieństwo drugiego zdarzenia wynosi 12/51. Znajdujemy całkowite prawdopodobieństwo: 13/52 x 12/51 = 12/204 = 1/17, czyli 0,058, czyli 5,8%.
      • Przykład 2. W pudełku znajdują się 4 kule niebieskie, 5 czerwonych i 11 białych. Jeśli wylosujemy kolejno z pudełka trzy kule, jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwsza będzie czerwona, druga niebieska, a trzecia biała? Prawdopodobieństwo pierwszego zdarzenia wynosi 5/20. Prawdopodobieństwo drugiego zdarzenia wynosi 4/19. Prawdopodobieństwo trzeciego zdarzenia wynosi 11/18. Zatem całkowite prawdopodobieństwo wynosi 5/20 x 4/19 x 11/18 = 44/1368 = 0,032, czyli 3,2%.

Odpowiedź: 0,7157

2.

3.

4. liczba nie jest podzielna przez 5

Rozwiązanie: P(A) = m/n; m=1/

Jest równa 90 i odejmij od tych liczb te, które są podzielne przez 5 (10,15,20,25...90,95). Ich liczba wynosi 18 => n=90-18=72

Odpowiedź: 1/72

Rozwiązanie: P(A)=m/n

a) P(A)=6/36 =1/6

Rozwiązanie: do m n = n! /m!(n-m)!

m = C 3 7 = 7! / 3!*4! = 35

P (A1) = m/n = 35/220 = 7/44

b) możesz zdobyć 3 czerwone z 7 na 7 sposobów i 3 czarne z 5 =>

Z 3 5 sposobami.

P(A2) = m/n = 45/220 = 9/44

Odpowiedź:

Rozwiązanie:

Odpowiedź: 0,3.

Rozwiązanie:

A – wyjście z labiryntu.

P(A/H3) =0,2 – z 3. labiryntu

P(A/H4) = 0,1 – z 4 labiryntów

Odpowiedź: 1/3; 2/5

9.

10.

11. .

Rozwiązanie:

Rozwiązanie:

P(A/H3)=8/10=4/5;

P(A)=1/3(1/2+5/6+4/5) = 62/45

13.

Rozwiązanie:

Niech B nie będzie miał żadnych trafień

P(C)= 1 – 0,216 = 0,784

Odpowiedź: 0,784

Rozwiązanie:

H1=1/3; H2=1/3; H3=1/3

Odpowiedź: 15/48 = 0,3125

16.

Rozwiązanie:

17.

Rozwiązanie:

P(H2/A)=0,7/1,6=0,42

Rozwiązanie:

Odpowiedź: P(A) = 0,925

Student odwiedza 3 biblioteki w poszukiwaniu książki. Prawdopodobieństwo, że znajdują się one w bibliotece, wynosi 0,4; 0,5; 0,1; oraz fakt, że zostały one wyemitowane lub nie, są zdarzeniami równie prawdopodobnymi. Jakie jest prawdopodobieństwo, że potrzebna książka zostanie odnaleziona?

Rozwiązanie: Książka A znajduje się w bibliotece, B – książka nie jest wydawana.

P(B) = P(B -) = ½

P(A1) = 0,4 P(A2) = 0,5 P(A3) = 0,1

Określmy prawdopodobieństwo znalezienia wymaganej książki:

P = P(A1)* P(B) + P(A2)*P(B) + P(A3)*P(B) = P(B)(P(A1) + P(A2) + P(A3 ) = 1/2 * (0,4 + 0,5 +0,1) = 1/2 * 1 = ½

Odpowiedź: 1/2

23. Znajdź prawdopodobieństwo, że urodziny 12 osób przypadną w różnych miesiącach roku.

Rozwiązanie: P(A)= m/n

n = --- ZA 12 = 12 12

P = 12! / 12 12 = 11! / 12 11 = (11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1) / (12*12*12*12*12 7) = (11*5*7*5* 1) / 12 7 = 7*8*25 / 12 7 = 1925 / 12 7

Odpowiedź: 1925/12 7

24. W urnie znajduje się 10 kul białych, 5 czarnych i 15 czerwonych. Losujemy kolejno 2 kule. Rozpatrywane są dwa zdarzenia: A – co najmniej jedna z dwóch wylosowanych kul jest czerwona, B – co najmniej jedna wylosowana kula jest biała. Znajdź prawdopodobieństwo zdarzenia C = A + B.

25. Losowo wybrany numer składa się z 5 cyfr. Oblicz prawdopodobieństwo, że wszystkie liczby w nim zawarte będą różne.

26. Sklep z dzianinami otrzymał skarpetki, z czego 60% pochodziło z jednej fabryki, 25% z drugiej i 15% z trzeciej. Znajdź prawdopodobieństwo, że skarpetki zakupione przez kupującego zostały wyprodukowane w drugiej lub trzeciej fabryce.

Rozwiązanie. A1 – z 1 fabryki, P(A1) = 0,6;

A2 – z fabryki 2; P(A2) = 0,25

A3 – z 3 fabryk; P(A3) = 0,15

P(A2+A3) = 0,25 + 0,15 = 0,4

Odpowiedź: 0,4

Pasażer może zwrócić się do jednej z kas biletowych po bilet. Prawdopodobieństwo trafienia do pierwszej kasy wynosi 0,4; w drugim 0,35; i 3. 0,25. Prawdopodobieństwo, że do czasu przybycia pasażera bilety dostępne w kasie zostaną sprzedane, wynosi 0,3 dla pierwszej kasy; dla drugiego 0,4, dla trzeciego 0,6. Znajdź prawdopodobieństwo, że pasażer kupi bilet.

P(A) – prawdopodobieństwo nie kupienia biletu.

P(A) =0,4*0,3 + 0,35*0,4 + 0,25*0,6 =

0,12 + 0,14 + 0,15 = 0,41

P(A1) – prawdopodobieństwo zakupu biletu = 1-P(A) = 1 – 0,41 = 0,59.

Odpowiedź: P(A1) = 0,59.

28. Rzucamy 4 kostkami. Znajdź prawdopodobieństwo, że: a) co najmniej jeden z nich będzie miał 2 punkty, b) będą mieli tę samą liczbę punktów.

Rozwiązanie:

29. Z 9 żetonów ponumerowanych różnymi jednocyfrowymi liczbami wybiera się 3. Znajdź prawdopodobieństwo, że kolejne zapisanie ich numerów spowoduje wzrost wartości cyfr.

Rozwiązanie:

30. Prawdopodobieństwo wygranej na losie loteryjnym wynosi 0,1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden z trzech zakupionych losów wygra?

31. Z pełnej talii kart (52 arkusze) wyjmuje się 4 karty na raz. Znajdź prawdopodobieństwo, że wszystkie te karty będą w różnych kolorach.

Rozwiązanie: Prawdopodobieństwo wylosowania określonego koloru wynosi C 1 13

C 1 13 = 13 (liczba możliwych sposobów).

Możliwość losowania kart od 52 = C 4 52 = 52! / 4!* 48! = 48!*49*50*51* 52 / 2*3*4*48! = 270725
P(A) = C 1 13 * C 1 13 * C 1 13 * C 1 13 / C 4 52 = 28561 / 270725 = 0,1054982

Odpowiedź: P(A) = 0,1054982.

32. Są 3 urny. Pierwsza z nich ma 5 białych i 6 czarnych kul, druga ma 4 białe i 3 czarne kule, trzecia ma 5 białych i 3 czarne kule. Ktoś wybiera losowo jedną z urn i losuje z niej kulę. Ta kula okazała się biała. Znajdź prawdopodobieństwo, że z drugiej urny zostanie wylosowana kula.

Rozwiązanie:

Odpowiedź: 0,9125

52. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania 1 asa, asa i króla przy rozdaniu 6 kart z talii 52 kart?

Samochody zostały dostarczone do stacji obsługi. Ponadto 5 z nich miało awarię podwozia, 8 miało awarię silnika, a 10 było w pełni sprawnych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że samochód z uszkodzonym podwoziem ma również uszkodzony silnik?

Rozwiązanie:

11111111 8 z uszkodzonym silnikiem

5 z nieodpowiednimi ruchami 11111 1111111111 10 pracuje

11111111111111111111 łącznie 20

3 z uszkodzonym silnikiem i częścią skokową 111

P = m/n m – liczba samochodów z wadliwym podwoziem i uszkodzonym silnikiem; m=3

n – liczba pojazdów z uszkodzonym podwoziem; n=5

P = 3/5 – prawdopodobieństwo, że samochód z wadliwym podwoziem ma uszkodzony silnik.

Odpowiedź: 3/5

Odpowiedź: 21/625; 219/625; 247/625

67. W pierwszej brygadzie składającej się z 8 ciągników naprawy wymagają 2, w drugiej z 6 do 1. Z każdej brygady wybierany jest losowo jeden ciągnik. Oblicz prawdopodobieństwo, że a) obaj pracują, b) przynajmniej jeden pracuje, c) tylko jeden pracuje

a)P(A)=P(A1*A2) =3/4*5/6=5/8

b)P(A) = 1-P(--- A)=1-2/8*1/6=1-1/24=23/24

c) P(A)=3/4*1/6+5/6*1/4=1/8+5/24=8/24=1/3

68. Organizacja zatrudnia 12 mężczyzn i 8 kobiet. Przyznano dla nich 3 nagrody. Określ prawdopodobieństwo, że premię otrzymają: a) dwóch mężczyzn i jedna kobieta; b) tylko kobiety; c) co najmniej jeden człowiek.

Rozwiązanie: a) A-1 człowiek

B- 2 mężczyzn

S- 1 kobieta

P(A) = 12/20; P(B/A) = 11/19; P(C/AB) = 8/18

P(ABC) = P(A)*P(B/A)*P(C/AB) = 1056/6840 = 0,154

b) A-1 kobieta

B-2 kobiety

Kobiety S-3

P(A) = 8/20; P(B/A) = 7/19; P(C/AB) = 6/18

P(ABC) = P(A)*P(B/A)* P(C/AB) = 336/6840 = 0,049

c) A – co najmniej 1 człowiek

Wszystkie kobiety

P(A)=1- P(---A)

P(---A) = 8/20 * 7/19 * 6/18 = 0,049

69. Spośród 25 pracowników 10 przedsiębiorstw posiada wykształcenie wyższe: Określ prawdopodobieństwo, że spośród trzech losowo wybranych osób posiada wykształcenie wyższe; a) trzy osoby; b) jedna osoba; c) co najmniej jedna osoba.

Rozwiązanie:

70. Na kartach zapisane są litery „K”, „A”, „P”, „T”, „O”, „Ch”, „K”, „A”. Karty tasuje się i układa w kolejności losowania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymasz: a) słowo „KARTA”; b) słowo „MAPA”; c) słowo „AKTUALNE”.

71. W pudełku po 25 sztuk znajduje się 15 wysokiej jakości produktów. Losowo losowane są 3 elementy. Określ prawdopodobieństwo, że: a) jeden z nich będzie lepszej jakości; b) wszystkie trzy produkty mają lepszą jakość; c) co najmniej jeden produkt o podwyższonej jakości.

Rozwiązanie:

72. Rzucamy trzema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: a) co najmniej jeden z nich zdobędzie 5 punktów; b) każdy otrzyma liczby nieparzyste; c) wszystkie kości pokażą te same liczby

73. Pierwsze pudełko z 6 kulkami zawiera 4 czerwone i 2 czarne, drugie pudełko z 7 kulkami zawiera 2 czerwone i 5 czarnych. Jedną kulę przenoszono z pierwszego pudełka do drugiego, a następnie jedną piłkę z drugiego do pierwszego. Znajdź prawdopodobieństwo, że kula wylosowana z pierwszego pudełka będzie czarna.

74. Dwa przedsiębiorstwa wytwarzają ten sam rodzaj produktów. Co więcej, drugi produkuje 55% produktów obu przedsiębiorstw. Prawdopodobieństwo, że pierwsze przedsiębiorstwo wyprodukuje produkt niestandardowy wynosi 0,1, a drugie 0,15. a) Określ prawdopodobieństwo, że pobrany losowo produkt okaże się niestandardowy, b) Pobrany produkt okaże się niestandardowy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że został on wyprodukowany w drugim zakładzie.

Rozwiązanie:

75. Są trzy urny. Pierwsza ma 3 białe i 2 czarne kule, druga i trzecia mają 4 białe i 3 czarne kule. Z losowo wybranej urny losujemy kulę. Okazał się biały. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kula zostanie wylosowana z trzeciej urny?

Rozwiązanie: P(H1) = 1/3; P(H2) =1/3; P(H3) = 1/3.

P(A) – prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej.

Jeśli zostanie wybrana pierwsza urna, P(A/H1) = 3/5

2. P(A/H2) = 4/7

3. P(A/H3) = 4/7

P(A) = 1/3 * 3/5 + 1/3 * 4/7 + 1/3 * 4/7 = 12/21

P(H3/A) = (4/7 * 1/3) / (12/21) = 1/3

Odpowiedź: 1/3

76. Nasiona do siewu dostarczane są do gospodarstwa z trzech gospodarstw nasiennych. Co więcej, pierwsze i drugie gospodarstwo wysyłają po 40% wszystkich nasion. Szybkość kiełkowania nasion z pierwszego gospodarstwa wynosi 90%, drugiego 85%, a trzeciego 95%. a) Określ prawdopodobieństwo, że losowo pobrane ziarno nie wykiełkuje, b) Losowo pobrane ziarno nie wykiełkuje. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodziło z drugiego gospodarstwa?

77. Program egzaminu składa się z 30 pytań. Z 20 uczniów w grupie 8 osób nauczyło się wszystkich pytań, 6 osób nauczyło się 25 pytań, 5 osób nauczyło się 20 pytań, a jedna osoba nauczyła się 10 pytań. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wezwany uczeń odpowie na dwa pytania znajdujące się na bilecie.

Rozwiązanie: H1 to wybór ucznia, który nauczył się wszystkiego, H2 to wybór ucznia, który nauczył się 25 pytań, H3 to wybór ucznia, który nauczył się 20 pytań, H4 to wybór ucznia, który nauczył się 10 pytań .

P(H1) = m/n = 8/20 = 2/5 m – ci, którzy nauczyli się wszystkich pytań, n – wszyscy uczniowie.

P(H2) = 6/20 = 3/10

P(H3) = 5/20 = ¼

P(A/H1) = 1 – Prawdopodobieństwo, że uczeń, który nauczył się wszystkiego, odpowiedział na 2 pytania na karnecie z 25 poznanych pytań.

P(A/H2) = 25/30 = 5/6 – prawdopodobieństwo, że uczeń odpowie na 2 pytania z biletu spośród 25 poznanych pytań.

P(A/H3) = 20/30 = 2/3 – prawdopodobieństwo, że uczeń, który nauczył się 20 pytań, odpowie na 2 pytania na bilecie.

P(A/H4) = 10/30 = 1/3 – prawdopodobieństwo, że uczeń, który nauczył się 10 pytań, odpowie na 2 pytania na bilecie.

Korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite, wyznaczamy prawdopodobieństwo, że losowo powołany student odpowie na 2 pytania znajdujące się na bilecie:

P(A) = ∑ P(H i) P(A/H i) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) + P(H3)P(A/H3 ) ) + P(H4) P(A/H4)

P(A) = 2/5*1 + 3/10*5/6 + 1/4*2/3 + 1/20*1/3 = 2/5 + 1/4+ 1/6 + 1/60 = 24/60 +15/60 +10/60 + 1/60 = 50/60 = 5/6

Odpowiedź: 5/6

78. Przed siewem 95% nasion traktuje się specjalnym roztworem. Kiełkowanie nasion po zabiegu wynosi 99%, bez zabiegu 85%. A) Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrane ziarno wykiełkuje? B) Losowo pobrane ziarno wykiełkowało. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi ono z nasion zaprawionych?

Rozwiązanie: Nasiona zaprawione H1, H2 – nasiona nietraktowane, A – nasiona porośnięte.

95% + 5% = 100% => P(H1) = 0,95 ; P(H2) = 0,05

P(A/H1) = 0,99 – prawdopodobieństwo, że losowo pobrane ziarno wykiełkuje, jeśli zostanie przetworzone.

P(A/H2) = 0,85 – Prawdopodobieństwo, że losowo wybrane ziarno wykiełkuje, jeśli nie zostanie poddane zabiegowi.

A) korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite, obliczamy prawdopodobieństwo, że losowo pobrane nasiono wykiełkuje:

P(A) = ∑ P(H i) P(A/H i) = ∑ P(H i)P(A/H i) = P(H1) P(A/H1) + P(H2)P( A/H2)

P(A) = 0,95*0,99 + 0,05*0,85 = 0,9405 +0,0425 = 0,983

Odpowiedź: 0,983

79. Do sklepu trafiają telewizory z czterech fabryk. Prawdopodobieństwo, że telewizor nie będzie miał awarii w ciągu roku wynosi: dla pierwszego zakładu 0,9, dla drugiego 0,8, dla trzeciego 0,8 i dla czwartego 0,99. Losowo wybrany telewizor zepsuł się w ciągu roku. Jakie jest prawdopodobieństwo, że został on wyprodukowany w pierwszym zakładzie?

80. Kupujący z równym prawdopodobieństwem odwiedzi każdy z trzech sklepów. Prawdopodobieństwo, że klient kupi produkt w pierwszym sklepie wynosi 0,4, w drugim 0,6, a w trzecim 0,8. Określ prawdopodobieństwo, że klient kupi produkt w konkretnym sklepie. Kupujący kupił produkt. Znajdź prawdopodobieństwo, że kupił go w drugim sklepie.

Odpowiedź: 0,7157

2. Pracownik obsługuje 3 maszyny. Prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy pierwszego z nich wynosi 0,75, drugiego 0,85,
trzeci 0,95. Znajdź prawdopodobieństwo, że a) dwie maszyny ulegną awarii, b) wszystkie trzy maszyny będą działać bezawaryjnie, c) co najmniej jedna maszyna ulegnie awarii.

3. Z talii zawierającej 52 karty losujemy 3. Oblicz prawdopodobieństwo, że będzie to trójka, siódemka i as.

4. Znajdź prawdopodobieństwo, że abonent wybierze poprawny dwucyfrowy numer, jeśli wie, że jest on podany liczba nie jest podzielna przez 5

Rozwiązanie: P(A) = m/n; m=1/

Policzmy całkowitą liczbę liczb dwucyfrowych. Jest równa 90 i odejmij od tych liczb te, które są podzielne przez 5 (10,15,20,25...90,95). Ich liczba wynosi 18 => n=90-18=72

Odpowiedź: 1/72

5. Rzucamy 2 razy kostką: a) Znajdź prawdopodobieństwo, że suma punktów na górnych ściankach wyniesie 7. b) znajdź prawdopodobieństwo, że w jednym rzucie pojawią się co najmniej 2 punkty.

Rozwiązanie: P(A)=m/n

a) P(A)=6/36 =1/6

b) P(B)=1-5/6*5/6=1-25/36 =11/36

6. W urnie znajduje się 5 kul czarnych i 7 czerwonych. Losujemy kolejno trzy kule (bez zwracania). Znajdź prawdopodobieństwo, że a) wszystkie trzy kule będą czerwone, b) trzy kule będą czerwone lub czarne.

Rozwiązanie: do m n = n! /m!(n-m)!

C 3 12 = 220 - opcje losowania trzech piłek.

a) Możesz zdobyć 3 czerwone z 7 na 7 sposobów.

m = C 3 7 = 7! / 3!*4! = 35

P (A1) = m/n = 35/220 = 7/44

b) możesz zdobyć 3 czerwone z 7 na 7 sposobów i 3 czarne z 5 =>

Z 3 5 sposobami.

m = do 3 7 + do 3 5 = 35 + 5! / 3!*2! = 35 + 10 = 45

P(A2) = m/n = 45/220 = 9/44

Odpowiedź: a) P(A) = 7/44; b) P(A2) = 9/44

W grupie 15 osobowej sport uprawia 6 osób. Znajdź prawdopodobieństwo, że spośród 7 losowo wybranych osób 5 osób uprawia sport.

Rozwiązanie: P(A) = C 5 6 * C 2 9 / C 7 15 = ((6!/(5!*1!))*(9!/(2!*7!)) / (15! / (7 !*8!) = (5*36) / (15* 14* 13* 12* 11* 10* 9* 8!) / (1*2*3*4*5*6*7*8) = ( 5*36*12) / (15*13*11*3) = 4/143 =0,03

Odpowiedź: 0,3.

Mysz może wybrać losowo jeden z 5 labiryntów. Wiadomo, że prawdopodobieństwo jej wyjścia z różnych labiryntów w ciągu 3 minut wynosi 0,5; 0,6; 0,2; 0,1; 0,1. Niech się okaże, że mysz wydostała się z labiryntu w 3 minuty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrała pierwszy labirynt? Drugi labirynt?

Rozwiązanie: Początkowo prawdopodobieństwa wybrania labiryntu za pomocą myszki są równe:

P(H1) = P(H2) = P(H3) = P(H4) = P(H5) = 1/5 – prawdopodobieństwo wybrania odpowiednio labiryntu 1,2,3,4,5.

A – wyjście z labiryntu.

P(A/H1) = 0,5 – Prawdopodobieństwo wyjścia myszy z 1 labiryntu

P(A/H2) = 0,6 – z 2 labiryntów.

P(A/H3) =0,2 – z 3. labiryntu

P(A/H4) = 0,1 – z 4 labiryntów

P(A/H5) = 0,1 – z 5 labiryntów

Zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite:

P(A) = ∑ P(H i)P(A/H i) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) + P(H3)P(A/H3 ) +P(H4)P(A/H4) +P(H5)P(A/H5)

P(A) = 1/5*0,5 + 1/5*0,6 + 1/5*0,2 + 1/5*0,1 +1/5*0,1 = 1/5 (0,5+0,6+0,2+0,1+0,1 )=1/5*1,5=1,5*3/2 = 3/10 – prawdopodobieństwo, że mysz wyjdzie z labiryntu w ciągu 3 minut.

A) Znajdź prawdopodobieństwo, że mysz wybrała pierwszy labirynt (korzystając ze wzoru Bayesa):

P(H1/A) = P(H1)P(A/H1) / P(A) = (0,5*1/5)/(3/10) = (1/2*1/5) /( 3/ 10) = 1/10*10/3 = 1/3

B) Znajdź prawdopodobieństwo, że mysz wybrała drugi labirynt (korzystając ze wzoru Bayesa)

P(H2/A) = P(H2)P(A/H2) / P(A) = (1/5*0,6) / 3/10 = (1/5*3/5) / 3/10 = 3 /25* 10/3 = 10/25 = 2/5

Odpowiedź: 1/3; 2/5

9. Z 10 losów 2 wygrywają. Oblicz prawdopodobieństwo, że z 5 losów wygrywa jeden.

10. We wrześniu prawdopodobieństwo deszczowego dnia wynosi 0,3. Zespół „Statystyk” wygrywa w pogodny dzień z prawdopodobieństwem 0,8, a w deszczowy dzień prawdopodobieństwo to wynosi 0,3. Wiadomo, że we wrześniu wygrali pewien mecz.Jakie jest prawdopodobieństwo, że tego dnia: a) padał deszcz; b) dzień był pogodny.

11. Prawdopodobieństwo trafienia w cel przez pierwszego strzelca wynosi 0,7, drugiego 0,5, a trzeciego 0,4. Znajdź prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden strzelec trafi w cel .

Rozwiązanie:

Pierwsze pudełko zawiera 20 części, z czego 10 to standardowe, drugie pudełko zawiera 30 części, z czego 25 to standardowe, trzecie pudełko zawiera 10 części, z czego 8 to standardowe. Z losowo wybranego pudełka pobrano jedną część, która okazała się standardowa. Znajdź prawdopodobieństwo, że została ona pobrana z drugiego pudełka.

Rozwiązanie: P(Hi) = 1/3; P(A/H1)=10/20=1/2; P(A/H2)=25/30=5/6;

P(A/H3)=8/10=4/5;

P(A)=1/3(1/2+5/6+4/5) = 62/45

P(H2/A) = (P(H2)*P(A/H2)) / P(A) = (1/3*5/6) /62/45 = 0,39

13. Każda z pięciu identycznych kart zawiera jedną z następujących liter: A, E, N, C, T. Karty
mieszany. Określ prawdopodobieństwo, że z wyjętych i ułożonych w rzędzie kart a) uda się wylosować
słowo „ŚCIANA”, b) z trzech kart możesz ułożyć słowo „NIE”.

Aby trafić w cel, wystarczy przynajmniej jeden pocisk, aby w niego trafić. Z dwóch dział wystrzelono dwie salwy. Znajdź prawdopodobieństwo trafienia w cel, jeśli prawdopodobieństwo trafienia w cel jednym strzałem z pierwszego działa wynosi 0,46, a drugiego 0,6.

Rozwiązanie:

Niech B nie będzie miał żadnych trafień

A1 – trafia w pierwszym strzale.

A2 – trafienie za drugim strzałem.

P(B) = -- A1 - A2 = 0,54* 0,4 = 0,216

Następnie C - co najmniej jedno trafienie.

P(C)= 1 – 0,216 = 0,784

Odpowiedź: 0,784

Są 3 urny. W pierwszej urnie znajduje się 6 czarnych i 4 białych, w drugiej 5 białych i 5 czarnych, w trzeciej 7 białych i 3 czarnych. Wybieramy losowo urnę i losujemy z niej kulę, która okazuje się biała. Znajdź prawdopodobieństwo, że zostanie wybrana druga urna.

Rozwiązanie:

H1=1/3; H2=1/3; H3=1/3

P(H/H1) = 4/10; P(H/H2) = 1/2; P(H/H3) = 7/10

P(H) = 1/3*4/10 + 1/3*1/2 + 1/3*1/7 = 16/30

P(H2/H) = (1/2*1/3)/ (8/15) = 1/6* 15/8 = 15/48

Odpowiedź: 15/48 = 0,3125

16. Monetą rzucamy 3 razy. Znajdź prawdopodobieństwo, że herb pojawi się: a) wszystkie 3 razy, b) tylko raz, c) co najmniej raz

Rozwiązanie:

17. Na poszczególnych kartach zapisywane są liczby 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Wszystkie karty są mieszane, po czym losowo wybieranych jest 5 kart i układanych w rzędzie. Określ prawdopodobieństwo otrzymania liczby 1 2 0 3 5. (Rozwiąż zadanie korzystając z definicji prawdopodobieństwa zdarzenia oraz twierdzeń teorii prawdopodobieństwa)

Trzej znani ekonomiści jednocześnie przedstawili swoje teorie, które uznano za równie prawdopodobne. Po obserwacji stanu gospodarki okazało się, że prawdopodobieństwo rozwoju, jaki ona faktycznie uzyskała zgodnie z pierwszą teorią, wynosi 0,5; od drugiego – 0,7; od trzeciego – 0,4. Jak zmieni to prawdopodobieństwo poprawności trzech teorii?

Rozwiązanie:

P(A/H1)=0,5; P(A/H2)=0,7; P(A/H3)=0,4

P(A)=P(H1)*P(A/H1)+…=1/3*0,5+1/3*0,7+

1/3*0,4=1/3(0,5+0,7+0,4)=1,6/3=0,533

P(H1/A)=(1/3*0,5)/(1/3*1,6)=0,5/1,6=0,32.

P(H2/A)=0,7/1,6=0,42

W Sklepie znajdują się 4 magnetofony. Prawdopodobieństwo, że przetrwają okres gwarancji wynosi odpowiednio: 0,91; 0,9; 0,95; 0,94. Znajdź prawdopodobieństwo, że losowo zakupiony magnetofon przetrwa okres gwarancyjny.

Rozwiązanie: Prawdopodobieństwo zakupu 1 magnetofonu –1/4; 2 – 1/4; 3 – 1/4; 4 –1/4.

P(A) = 1/4 * 0,91 + ¼ * 0,9 + ¼ * 0,95 + ¼ * 0,94 = 0,2275 + 0,225 + 0,2375 + 0,235 = 0,925

Odpowiedź: P(A) = 0,925

Zadanie nr 1.26

Numer samochodu składa się z czterech cyfr, z których każda może w równym stopniu przyjmować wartości od 0 do 9 (możliwa jest liczba 0000). Oblicz prawdopodobieństwo, że druga cyfra liczby to cztery.

Znajdźmy liczbę wszystkich możliwych kombinacji numeru samochodu:

Druga cyfra liczby to 4, jeżeli jej kombinacja jest zbiorem postaci: X 4 XX, gdzie X jest dowolną cyfrą od 0 do 9.

Zatem liczba takich liczb jest równa:

Prawdopodobieństwo, że druga cyfra liczby wynosi cztery.

Odpowiedź:

Zadanie nr 2.11

Podano schemat połączenia elementów tworzących obwód z jednym wejściem i jednym wyjściem (rysunek 1). Zakłada się, że awarie elementów są zdarzeniami niezależnymi łącznie. Awaria któregokolwiek elementu powoduje przerwanie sygnału w gałęzi obwodu, w której znajduje się ten element. Prawdopodobieństwa uszkodzenia elementów 1, 2, 3, 4, 5 wynoszą odpowiednio q1=0,1; q2=0,2; q3=0,3; q4=0,4; q5=0,5. Znajdź prawdopodobieństwo przejścia sygnału z wejścia na wyjście.

Obrazek 1

Zgodnie z rysunkiem 1 elementy 1, 2, 3 są połączone równolegle do siebie i szeregowo z elementem 4.

Wejdźmy w wydarzenia: A­ 1 – element 1 jest OK, A­ 2 – element 2 jest OK, A­ 3 – element 3 jest OK, A­ 4 – element 4 jest OK, B– sygnał przechodzi z punktu A do momentu B, C– sygnał przechodzi z punktu A do momentu C(od wejścia do wyjścia).

Wydarzenie B stanie się, jeśli zadziała element 1, element 2 lub element 3:

B :

Wydarzenie C nastąpi, jeśli zdarzenie nastąpi B i wydarzenie A 4 :

Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia C :

Odpowiedź:

Zadanie nr 3.28

Urządzenia o tej samej nazwie produkowane są w trzech fabrykach. Pierwszy zakład dostarcza 45% wszystkich produktów wchodzących do produkcji, drugi – 30%, a trzeci – 25%. Prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy urządzenia wyprodukowanego w pierwszym zakładzie wynosi 0,8, w drugim – 0,85, a w trzecim – 0,9. Urządzenie wprowadzone do produkcji okazało się sprawne. Określ prawdopodobieństwo, że został on wyprodukowany w drugim zakładzie.

Oznaczmy przez A zdarzenie - urządzenie przyjęte do produkcji jest w dobrym stanie technicznym.

Przyjmijmy kilka założeń:

Urządzenie pochodzi z I fabryki:

Urządzenie pochodzi z II fabryki:

Urządzenie pochodzi z 3 fabryki:

Odpowiednie prawdopodobieństwa warunkowe dla każdej z hipotez to:

Korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite, obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:

Obliczmy prawdopodobieństwo, że działające urządzenie pochodzi z 2. zakładu:

Odpowiedź:

Zadanie nr 4.26

Rzucamy monetą 100 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że nigdy nie wyląduje z herbem skierowanym do góry?

Wydarzenie - moneta nigdy nie wylądowała odkryta w 100 rzutach.

Prawdopodobieństwo, że moneta nie wylądowała twarzą do góry P=0,5 a zatem prawdopodobieństwo, że moneta spadła z herbem do góry Q=0,5 :

Określmy prawdopodobieństwo zdarzenia A zgodnie ze wzorem Bernoulliego ( N = 100; k =100 )

Odpowiedź:

Zadanie nr 5.21

Dyskretna zmienna losowa X może przyjmować jedną z pięciu ustalonych wartości x1, x2, x3, x4, x5 z prawdopodobieństwami odpowiednio p1, p2, p3, p4, p5. Oblicz matematyczne oczekiwanie i wariancję wartości X. Oblicz i wykreśl dystrybuantę.

Tabela 1 – Dane wstępne

Matematyczne oczekiwanie i rozproszenie wartości X:

Skonstruujmy szereg rozkładów SV X:

Tabela 2 – Seria rozdzielcza SV X

Narysujmy funkcję rozkładu (rysunek 2):

Rysunek 2 - wykres funkcji rozkładu F(X i)

Problem nr 6.3

Losowa wartość X dana przez gęstość prawdopodobieństwa:

Zdefiniuj stałą Z, oczekiwanie matematyczne, dyspersję, dystrybuantę wartości X oraz prawdopodobieństwo jej wpadnięcia w przedział.

Stąd stała:

Wyznaczmy matematyczne oczekiwanie SV X:

Wyznaczmy rozproszenie SV X:

Zdefiniujmy dystrybuantę wartości X:

Odpowiedź:

Zadanie nr 7.15

Losowa wartość X rozłożone równomiernie w przedziale [ a, b] Wykreśl zmienną losową T= (X) i wyznacz gęstość prawdopodobieństwa g(y).

nie ma funkcji odwrotnych

Rysunek 3 – wykres funkcji

Ponieważ zmienna losowa X rozkłada się równomiernie w całym przedziale, to jego gęstość prawdopodobieństwa jest równa:

Wyznaczmy gęstość prawdopodobieństwa wielkości:

Zadanie nr 8.30

Losowy wektor 2D ( X, Y) jest równomiernie rozłożony w obszarze B zaznaczonym pogrubionymi liniami prostymi na rysunku 4. Dwuwymiarowa gęstość prawdopodobieństwa f(x, y) jest taki sam dla dowolnego punktu w tym obszarze B:

Oblicz współczynnik korelacji pomiędzy wartościami X i Y.

Tabela 3 – Dane wstępne

Rysunek 4

Zbudujmy obszar B według współrzędnych z Tabeli 5 i Rysunku 4.

Rysunek 5

Przeanalizujmy rysunek 5: powierzchnia B na przedziale ograniczonym z lewej strony linią prostą, z prawej strony, na przedziale ograniczonym z lewej strony linią prostą, po prawej -

Zatem łączna gęstość prawdopodobieństwa będzie miała postać:

Zatem:

Sprawdźmy uzyskany wynik geometrycznie. Objętość ciała ograniczona powierzchnią dystrybucji W a płaszczyzna xOy jest równa 1, tj.:

Zatem stała została obliczona poprawnie.

Obliczmy oczekiwania matematyczne:

Obliczmy wariancje:

Obliczmy moment korelacji:

Obliczmy współczynnik korelacji pomiędzy wartościami X i Y:

Odpowiedź:

Problem nr 9

Na podstawie próbki jednowymiarowej zmiennej losowej:

Uzyskaj serię odmian;

Wykreśl dystrybuantę empiryczną F * (X) ;

Skonstruuj histogram metodą równych odstępów;

Skonstruuj histogram, stosując metodę równego prawdopodobieństwa;

Oblicz szacunki punktowe oczekiwań i wariancji;

Oblicz szacunki przedziałowe matematycznych oczekiwań i wariancji (γ = 0,95);

Postaw hipotezę dotyczącą prawa rozkładu zmiennej losowej i sprawdź ją za pomocą testu dobroci dopasowania  2 i kryterium Kołmogorowa (  = 0,05).

Próbkowanie jednowymiarowe:

Wielkość próbki

Rozwiązanie

1. Otrzymujemy szereg wariacyjny z pierwotnego:

Zbudujmy histogram metodą równych odstępów (rysunek 7).

Aby skonstruować histogram, utworzymy przedziałowy szereg statystyczny, biorąc pod uwagę, że długość wszystkich przedziałów musi być taka sama.

Liczba interwałów;

- szerokość interwału;

Częstotliwość trafienia SV X w j-ty przedział;

Gęstość statystyczna w j-tym przedziale.

Tabela 4 – Przedziałowe serie statystyczne

F * (X)

Rysunek 7

Zbudujmy histogram, stosując metodę równego prawdopodobieństwa (rysunek 8).

Aby skonstruować histogram, zestawimy interwałowy szereg statystyczny, biorąc pod uwagę, że częstotliwość trafień SV X w każdym j-tym przedziale powinna być taka sama (tabela 5).

Tabela 5 – Przedziałowe serie statystyczne

F * (X)

Cyfra 8

Obliczmy punktowe oszacowania matematycznego oczekiwania i wariancji:

Obliczmy przedziałowe oszacowania matematycznego oczekiwania i dyspersji (γ = 0,95):

H 0 – wartość X rozkłada się zgodnie z prawem wykładniczym:

H 1 – wartość X nie ma rozkładu wykładniczego

Otrzymujemy w ten sposób w pełni zdefiniowaną hipotetyczną funkcję rozkładu:

Sprawdźmy hipotezę o prawie normalnym, korzystając z kryterium Pearsona. Obliczmy wartość kryterium na podstawie szeregu statystycznego o jednakowych przedziałach:

Prawdopodobieństwa teoretyczne wpadnięcia w przedziały obliczamy ze wzoru:

Tabela 6 – Wyniki obliczeń

Sprawdźmy poprawność obliczeń:

Obliczmy kryterium Pearsona:

Wyznaczmy liczbę stopni swobody:

Wartość krytyczną kryterium Pearsona wybieramy z tabeli dla stopnia swobody i danego poziomu istotności:

Ponieważ warunek jest spełniony, przyjmuje się hipotezę H 0 o prawie rozkładu wykładniczego (nie ma podstaw do jej odrzucenia).

8) Sprawdźmy hipotezę za pomocą kryterium Kołmogorowa. Aby to zrobić, wykreślimy hipotetyczną funkcję rozkładu w tym samym układzie współrzędnych z funkcją empiryczną (Rysunek 6). Jako punkty odniesienia wykorzystujemy 10 wartości z Tabeli 6. Korzystając z wykresu wyznaczamy maksymalne odchylenie bezwzględne pomiędzy funkcjami a:

Obliczmy wartość kryterium Kołmogorowa:

Z tabeli Kołmogorowa, według zadanego poziomu istotności, wybieramy wartość krytyczną kryterium:

Ponieważ warunek jest spełniony, hipoteza H 0 na temat prawa rozkładu wykładniczego została przyjęta (nie ma powodu, aby ją odrzucać).