Przyspieszenie dośrodkowe- składowa przyspieszenia punktu, charakteryzująca prędkość zmiany kierunku wektora prędkości dla trajektorii z krzywizną (druga składowa, przyspieszenie styczne, charakteryzuje zmianę modułu prędkości). Skierowany w stronę środka krzywizny trajektorii, skąd pochodzi to określenie. Wartość jest równa kwadratowi prędkości podzielonej przez promień krzywizny. Termin „przyspieszenie dośrodkowe” jest równoznaczny z terminem „ normalne przyspieszenie" Ta składowa sumy sił, która powoduje to przyspieszenie, nazywa się siłą dośrodkową.
Najprostszym przykładem przyspieszenia dośrodkowego jest wektor przyspieszenia podczas ruchu jednostajnego po okręgu (zwróconego w stronę środka okręgu).
Szybkie przyspieszenie w rzucie na płaszczyznę prostopadłą do osi wydaje się dośrodkowy.
Encyklopedyczny YouTube
-
1 / 5
ZA n = v 2 R (\ Displaystyle a_ (n) = (\ Frac (v ^ (2)) (R)) \ ) za n = ω 2 R , (\ Displaystyle a_ (n) = \ omega ^ (2) R \,)
Gdzie za n (\ displaystyle a_ (n) \ )- przyspieszenie normalne (dośrodkowe), v (\ displaystyle v \)- (chwilowa) liniowa prędkość ruchu po trajektorii, ω (\ displaystyle \ omega \)- (chwilowa) prędkość kątowa tego ruchu względem środka krzywizny trajektorii, R (\ displaystyle R \)- promień krzywizny trajektorii w danym punkcie. (Powiązanie między pierwszą formułą a drugą jest oczywiste, biorąc pod uwagę v = ω R (\ displaystyle v = \ omega R \)).
Powyższe wyrażenia zawierają wartości bezwzględne. Można je łatwo zapisać w postaci wektorowej, mnożąc przez mi R (\ displaystyle \ mathbf (e) _ (R))- wektor jednostkowy od środka krzywizny trajektorii do zadanego punktu:
za n = v 2 R mi R = v 2 R 2 R (\ Displaystyle \ mathbf (a) _ (n) = (\ Frac (v ^ (2)) (R)) \ mathbf (e) _ (R) = (\frac (v^(2))(R^(2)))\mathbf (R) ) za n = ω 2 R . (\ Displaystyle \ mathbf (a) _ (n) = \ omega ^ (2) \ mathbf (R).)Wzory te mają jednakowe zastosowanie w przypadku ruchu ze stałą (w wartości bezwzględnej) prędkością oraz w przypadku dowolnym. Jednak w drugim przypadku należy pamiętać, że przyspieszenie dośrodkowe nie jest pełnym wektorem przyspieszenia, a jedynie jego składową prostopadłą do trajektorii (lub co za tym idzie, prostopadłą do wektora prędkości chwilowej); pełny wektor przyspieszenia zawiera wówczas również składową styczną ( przyspieszenie styczne) za τ = re v / re t (\ displaystyle a _ (\ tau) = dv / dt \ ), w kierunku zgodnym ze styczną do trajektorii (lub, co to samo, z prędkością chwilową).
Motywacja i podsumowanie
Fakt, że rozkład wektora przyspieszenia na składowe – jedną styczną do trajektorii wektora (przyspieszenie styczne) i drugą ortogonalną (przyspieszenie normalne) – może być wygodny i użyteczny, jest sam w sobie dość oczywisty. Podczas poruszania się ze stałą prędkością modułu składowa styczna staje się równa zeru, czyli w tym ważnym konkretnym przypadku pozostaje tylko normalny komponent. Ponadto, jak widać poniżej, każdy z tych składników ma jasno określone właściwości i strukturę, a przyspieszenie normalne zawiera w strukturze swojego wzoru dość istotną i nietrywialną treść geometryczną. Nie wspominając już o ważnym szczególnym przypadku ruchu po okręgu.
Wniosek formalny
Rozkład przyspieszenia na składową styczną i normalną (drugim z nich jest przyspieszenie dośrodkowe lub normalne) można znaleźć różniczkując wektor prędkości po czasie, przedstawiony w postaci v = v mi τ (\ Displaystyle \ mathbf (v) = v \, \ mathbf (e) _ (\ tau)} poprzez wektor styczny jednostkowy mi τ (\ Displaystyle \ mathbf (e) _ (\ tau)}:
za = re v re t = re (v mi τ) re t = re v re t mi τ + v re mi τ re t = re v re t mi τ + v re mi τ re l re l re t = re v re t mi τ + v 2 R mi n , (\ displaystyle \ mathbf (a) = (\ frac (d\mathbf ( v) )(dt))=(\frac (d(v\mathbf (e) _(\tau )))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t ))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm ( d) t))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))(\frac (dl)(dt))=(\ frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t))\mathbf (e) _(\tau )+(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _( N)\ ,)Tutaj używamy zapisu wektora jednostkowego normalnego do trajektorii i l (\ displaystyle l \)- dla aktualnej długości trajektorii ( l = l (t) (\ Displaystyle l = l (t) \)); ostatnie przejście również wykorzystuje to, co oczywiste
re l / re t = v (\ displaystyle dl/dt = v \)i, z rozważań geometrycznych,
re mi τ re l = mi n R . (\ Displaystyle (\ Frac (d \ mathbf (e) _ (\ tau)) (dl)) = (\ Frac (\ mathbf (e) _ (n)) (R)).) v 2 R mi n (\ Displaystyle (\ Frac (v ^ (2)) (R)) \ mathbf (e) _ (n) \ )Przyspieszenie normalne (dośrodkowe). Co więcej, jego znaczenie, znaczenie zawartych w nim przedmiotów, a także dowód na to, że jest on rzeczywiście ortogonalny do wektora stycznego (tzn. mi n (\ Displaystyle \ mathbf (e) _ (n) \)- tak naprawdę wektor normalny) - wynika z rozważań geometrycznych (jednak fakt, że pochodna dowolnego wektora o stałej długości po czasie jest prostopadła do tego wektora, jest faktem dość prostym; w tym przypadku stosujemy to stwierdzenie do re mi τ re t (\ Displaystyle (\ Frac (d \ mathbf (e) _ (\ tau)) (dt)}}
Notatki
Łatwo zauważyć, że wartość bezwzględna przyspieszenia stycznego zależy wyłącznie od przyspieszenia gruntu, co pokrywa się z jego wartością bezwzględną, w odróżnieniu od wartości bezwzględnej przyspieszenia normalnego, które nie zależy od przyspieszenia gruntu, lecz zależy od prędkość względem ziemi.
Przedstawione tutaj metody lub ich odmiany można zastosować do wprowadzenia pojęć takich jak krzywizna krzywej i promień krzywizny krzywej (ponieważ w przypadku, gdy krzywa jest okręgiem, R (\ displaystyle R) pokrywa się z promieniem takiego okręgu; nie jest też zbyt trudno wykazać, że okrąg leży na płaszczyźnie mi τ , mi n (\ Displaystyle \ mathbf (e) _ (\ tau), \, e_ (n)) ze środkiem w kierunku mi n (\ displaystyle e_ (n) \ ) z danego punktu na odległość R (\ displaystyle R) z niego - będzie pokrywać się z zadaną krzywą - trajektorią - aż do drugiego rzędu wielkości w odległości do danego punktu).
Fabuła
Pierwszym, który uzyskał prawidłowe wzory na przyspieszenie dośrodkowe (lub siłę odśrodkową), był najwyraźniej Huygens. Niemal od tego czasu rozważanie przyspieszenia dośrodkowego stało się częścią zwykłej techniki rozwiązywania problemów mechanicznych itp.
Nieco później wzory te odegrały znaczącą rolę w odkryciu prawa powszechnego ciążenia (wzór na przyspieszenie dośrodkowe posłużył do uzyskania prawa zależności siły grawitacji od odległości do źródła grawitacji, w oparciu o trzecie prawo Keplera wynika z obserwacji).
W XIX wieku rozważanie przyspieszenia dośrodkowego stało się całkowicie rutynowe zarówno w czystej nauce, jak i zastosowaniach inżynieryjnych.
Ruch jednostajny po okręgu charakteryzuje się ruchem ciała po okręgu. W tym przypadku zmienia się jedynie kierunek prędkości, a jej wielkość pozostaje stała.
Ogólnie rzecz biorąc, ciało porusza się po zakrzywionej drodze i jest trudne do opisania. Aby uprościć opis ruchu krzywoliniowego, podzielono go na prostsze rodzaje ruchu. W szczególności jednym z tych typów jest ruch jednostajny po okręgu. Dowolną zakrzywioną trajektorię ruchu można podzielić na sekcje o wystarczająco małych rozmiarach, w których ciało będzie poruszać się w przybliżeniu po łuku będącym częścią koła.
Kiedy ciało porusza się po okręgu, prędkość liniowa jest skierowana stycznie. W rezultacie, nawet jeśli ciało porusza się po łuku ze stałą prędkością bezwzględną, kierunek ruchu w każdym punkcie będzie inny. Zatem każdy ruch po okręgu jest ruchem z przyspieszeniem.
Wyobraź sobie okrąg, po którym porusza się punkt materialny. W chwili zerowej znajduje się w pozycji A. Po pewnym czasie kończy się w punkcie B. Jeśli narysujemy dwa wektory promienia ze środka okręgu do punktów A i B, to powstanie pewien kąt uzyskać między nimi. Nazwijmy to kątem phi. Jeżeli w równych odstępach czasu punkt obraca się o ten sam kąt phi, to taki ruch nazywamy ruchem jednostajnym, a prędkość nazywamy prędkością kątową.
Rysunek 1 - prędkość kątowa.
Prędkość kątową mierzy się w obrotach na sekundę. Jeden obrót na sekundę ma miejsce, gdy punkt przechodzi przez cały okrąg i powraca do swojego pierwotnego położenia w ciągu jednej sekundy. Obrót ten nazywany jest okresem obiegu. Odwrotność okresu rotacji nazywa się częstotliwością rotacji. To znaczy, ile obrotów punkt wykona w ciągu jednej sekundy. Kąt utworzony przez dwa wektory promieni jest mierzony w radianach. Radian to kąt pomiędzy dwoma wektorami promieni, które przecinają łuk o promieniu na powierzchni koła.
Prędkość punktu poruszającego się po okręgu można również mierzyć w radianach na sekundę. W tym przypadku ruch punktu o jeden radian na sekundę nazywa się prędkością. Prędkość ta nazywana jest prędkością kątową. To znaczy, o ile kątów jednostkowych wektor promienia zdoła obrócić się w ciągu jednej sekundy? Przy ruchu jednostajnym po okręgu prędkość kątowa jest stała.
Aby wyznaczyć przyspieszenie ruchu po okręgu, narysujemy na rysunku wektory prędkości punktów A i B. Kąt między tymi wektorami jest równy kątowi między wektorami promienia. Ponieważ przyspieszenie jest różnicą prędkości uzyskanych w określonym przedziale czasu podzieloną przez ten przedział. Następnie, stosując translację równoległą, przeniesiemy początek wektora prędkości z punktu A do punktu B. Różnica między tymi wektorami będzie deltą wektora V. Jeśli podzielimy go przez cięciwę łączącą punkty A i B, pod warunkiem, że odległość między punktami jest nieskończenie mała, wówczas otrzymamy wektor przyspieszenia skierowany do środka okręgu. Nazywa się to również przyspieszeniem dośrodkowym.
Ponieważ prędkość liniowa równomiernie zmienia kierunek, ruchu po okręgu nie można nazwać ruchem jednostajnym, jest on jednakowo przyspieszany.
Prędkość kątowa
Wybierzmy punkt na okręgu 1 . Zbudujmy promień. W jednostce czasu punkt przesunie się do punktu 2 . W tym przypadku promień opisuje kąt. Prędkość kątowa jest liczbowo równa kątowi obrotu promienia w jednostce czasu.
Okres i częstotliwość
Okres rotacji T- to czas, w którym organizm dokonuje jednego obrotu.
Częstotliwość obrotów to liczba obrotów na sekundę.
Częstotliwość i okres są ze sobą powiązane zależnością
Związek z prędkością kątową
Prędkość liniowa
Każdy punkt na okręgu porusza się z określoną prędkością. Prędkość ta nazywana jest liniową. Kierunek wektora prędkości liniowej zawsze pokrywa się ze styczną do okręgu. Na przykład iskry spod szlifierki poruszają się, powtarzając kierunek prędkości chwilowej.
Rozważmy punkt na okręgu, który wykonuje jeden obrót, czas spędzony na nim to okres T. Droga, którą przebywa punkt, to obwód.
Przyspieszenie dośrodkowe
Podczas poruszania się po okręgu wektor przyspieszenia jest zawsze prostopadły do wektora prędkości i skierowany w stronę środka okręgu.
Korzystając z poprzednich wzorów, możemy wyprowadzić następujące zależności
Punkty leżące na tej samej linii prostej wychodzącej ze środka okręgu (na przykład mogą to być punkty leżące na szprychach koła) będą miały te same prędkości kątowe, okres i częstotliwość. Oznacza to, że będą się obracać w ten sam sposób, ale z różnymi prędkościami liniowymi. Im dalej punkt znajduje się od środka, tym szybciej będzie się poruszał.
Prawo dodawania prędkości obowiązuje także w przypadku ruchu obrotowego. Jeżeli ruch ciała lub układu odniesienia nie jest równomierny, to prawo stosuje się do prędkości chwilowych. Przykładowo, prędkość osoby idącej wzdłuż krawędzi obracającej się karuzeli jest równa sumie wektorowej liniowej prędkości obrotu krawędzi karuzeli i prędkości człowieka.
Ziemia uczestniczy w dwóch głównych ruchach obrotowych: dobowym (wokół własnej osi) i orbitalnym (wokół Słońca). Okres obrotu Ziemi wokół Słońca wynosi 1 rok lub 365 dni. Ziemia obraca się wokół własnej osi z zachodu na wschód, okres tego obrotu wynosi 1 dzień lub 24 godziny. Szerokość geograficzna to kąt między płaszczyzną równika a kierunkiem od środka Ziemi do punktu na jej powierzchni.
Zgodnie z drugim prawem Newtona przyczyną przyspieszenia jest siła. Jeśli poruszające się ciało doświadcza przyspieszenia dośrodkowego, wówczas charakter sił powodujących to przyspieszenie może być inny. Na przykład, jeśli ciało porusza się po okręgu na przywiązanej do niego linie, wówczas działającą siłą jest siła sprężystości.
Jeśli ciało leżące na dysku obraca się wraz z dyskiem wokół własnej osi, to taka siła jest siłą tarcia. Jeśli siła przestanie działać, ciało będzie nadal poruszać się po linii prostej
Rozważmy ruch punktu na okręgu z A do B. Prędkość liniowa jest równa vA I vB odpowiednio. Przyspieszenie to zmiana prędkości w jednostce czasu. Znajdźmy różnicę między wektorami.
Źródło pracy: Decyzja 3553.-20. OGE 2016 Matematyka, I.V. Jaszczenko. 36 opcji.
Zadanie 18. Schemat przedstawia rozkład gruntów według kategorii w okręgach federalnych Uralu, Wołgi, Południa i Dalekiego Wschodu. Na podstawie diagramu określ, w której gminie jest najmniejszy udział użytków rolnych.
1) Uralski Okręg Federalny
2) Okręg Federalny Wołgi
3) Południowy Okręg Federalny
4) Dalekowschodni Okręg Federalny
Rozwiązanie.
Grunty rolne są oznaczone sektorem w postaci poziomych linii (patrz rysunek). Musisz wybrać dzielnicę, w której powierzchnia takiego sektora jest minimalna. Analiza rysunku pokazuje, że jest to Dalekowschodni Okręg Federalny.
Odpowiedź: 4.
Zadanie 19. Babcia ma 20 filiżanek: 10 z czerwonymi kwiatami, reszta z niebieskimi. Babcia nalewa herbatę do losowo wybranej filiżanki. Znajdź prawdopodobieństwo, że będzie to kubek z niebieskimi kwiatami.
Rozwiązanie.
Ponieważ jest dokładnie 20-10 = 10 filiżanek z niebieskimi kwiatami, a w sumie jest 20 filiżanek, to prawdopodobieństwo wybrania losowo kubka z niebieskimi kwiatami będzie równe
.Odpowiedź: 0,5.
Zadanie 20. Przyspieszenie dośrodkowe podczas poruszania się po okręgu (w m/s2) można obliczyć ze wzoru a=w^2*R gdzie w to prędkość kątowa (w s-1), a R to promień okręgu. Korzystając z tego wzoru, znajdź promień R (w metrach), jeśli prędkość kątowa wynosi 7,5 s-1, a przyspieszenie dośrodkowe wynosi 337,5 m/s2.
Rozwiązanie.
Ze wzoru wyrażamy promień okręgu, otrzymujemy:
i obliczyć to, podstawiając dane , , do wzoru, który mamy.
W naturze ruchy ciała często odbywają się po zakrzywionych liniach. Prawie każdy ruch krzywoliniowy można przedstawić jako sekwencję ruchów po łukach kołowych. Ogólnie rzecz biorąc, podczas poruszania się po okręgu prędkość ciała zmienia się jako W rozmiarze, tak i w kierunku.
Jednolity ruch po okręgu
Ruch po okręgu nazywa się ruchem jednostajnym, jeśli prędkość pozostaje stała.
Zgodnie z trzecim prawem Newtona każde działanie powoduje jednakową i przeciwną reakcję. Siłie dośrodkowej, z jaką połączenie działa na ciało, przeciwdziała siła o równej wielkości i przeciwnie skierowanej sile, z jaką ciało działa na połączenie. Ta moc F 6 zwany odśrodkowy, ponieważ jest skierowany promieniowo od środka okręgu. Siła odśrodkowa jest równa sile dośrodkowej:
Przykłady
Rozważmy przypadek, w którym sportowiec obraca wokół głowy przedmiot przywiązany do końca sznurka. Sportowiec czuje siłę przyłożoną do ramienia i ciągnącą ją na zewnątrz. Aby przytrzymać przedmiot na okręgu, zawodnik (za pomocą nitki) ciągnie go do wewnątrz. Dlatego zgodnie z trzecim prawem Newtona przedmiot (ponownie przez nitkę) działa na rękę z równą i przeciwną siłą i jest to siła odczuwana przez rękę sportowca (ryc. 3.23). Siła działająca na przedmiot to wewnętrzne napięcie nici.
Inny przykład: na sprzęt sportowy typu „młotek” oddziałuje linka trzymana przez sportowca (ryc. 3.24).
Przypomnijmy, że siła odśrodkowa działa nie na obracający się korpus, ale na nić. Jeśli zadziałała siła odśrodkowa na ciele wówczas, jeśli nić się zerwie, odleci promieniowo od środka, jak pokazano na ryc. 3.25, a. Jednak w rzeczywistości, gdy nić się zrywa, ciało zaczyna poruszać się stycznie (ryc. 3.25, b) w kierunku prędkości, jaką miał w momencie zerwania nici.
Siły odśrodkowe są szeroko stosowane.
Wirówka to urządzenie przeznaczone do szkolenia i testowania pilotów, sportowców i astronautów. Duży promień (do 15 m) i duża moc silnika (kilka MW) pozwalają na wytworzenie przyspieszenia dośrodkowego dochodzącego do 400 m/s 2 . Siła odśrodkowa naciska na ciała z siłą przekraczającą normalną siłę grawitacji na Ziemi ponad 40 razy. Osoba może wytrzymać chwilowe przeciążenie 20-30 razy, jeśli leży prostopadle do kierunku siły odśrodkowej i 6 razy, jeśli leży wzdłuż kierunku tej siły.
3.8. Elementy opisu ruchu człowieka
Ruchy człowieka są złożone i trudne do opisania. Jednak w wielu przypadkach możliwe jest zidentyfikowanie znaczących punktów, które odróżniają jeden rodzaj ruchu od drugiego. Rozważmy na przykład różnicę między bieganiem a chodzeniem.
Elementy ruchów krokowych podczas chodzenia pokazano na ryc. 3.26. Podczas chodzenia każda noga na zmianę podtrzymuje i niesie. Okres podparcia obejmuje amortyzację (hamowanie ruchu ciała w kierunku podpory) i odpychanie, natomiast okres przeniesienia obejmuje przyspieszanie i hamowanie.
Kolejność ruchów ciała człowieka i jego nóg podczas chodzenia pokazano na ryc. 3,27.
Linie A i B zapewniają wysokiej jakości obraz ruchu stóp podczas chodzenia. Górna linia A odnosi się do jednej nogi, dolna linia B do drugiej. Sekcje proste odpowiadają momentom podparcia stopy na podłożu, odcinki łukowe odpowiadają momentom ruchu stóp. Przez pewien czas: a) obie stopy spoczywają na ziemi; Następnie (B)- noga A jest w powietrzu, noga B nadal się opiera; i wtedy (Z)- ponownie obie nogi spoczywają na ziemi. Im szybciej idziesz, tym krótsze stają się interwały. (A I Z).
Na ryc. Rysunek 3.28 przedstawia sekwencyjne ruchy ciała człowieka podczas biegu oraz graficzną reprezentację ruchów stóp. Jak widać na rysunku, podczas biegu występują interwały czasowe { B, D, /), gdy obie nogi są w powietrzu i nie ma przerw pomiędzy nogami jednocześnie dotykającymi ziemi. Na tym polega różnica pomiędzy bieganiem a chodzeniem.
Innym powszechnym rodzajem ruchu jest odpychanie podpory podczas różnych skoków. Odpychanie się odbywa się poprzez wyprostowanie nogi pchającej oraz ruchy wahadłowe ramion i tułowia. Zadaniem odpychania jest zapewnienie maksymalnej wartości wektora prędkości początkowej ogólnego środka masy sportowca i jego optymalnego kierunku. Na ryc. Pokazano 3,29 faz
\ Rozdział 4
DYNAMIKA JAZDYPUNKT MATERIAŁOWY
Dynamika to dział mechaniki zajmujący się badaniem ruchu ciała z uwzględnieniem jego interakcji z innymi ciałami.
W części „Kinematyka” zostały wprowadzone pojęcia prędkość I przyśpieszenie punkt materialny. W przypadku ciał rzeczywistych pojęcia te wymagają wyjaśnienia, ponieważ dla różnych prawdziwe punkty ciała te cechy ruchu mogą się różnić. Na przykład zakrzywiona piłka nożna nie tylko porusza się do przodu, ale także się obraca. Punkty obracającego się ciała poruszają się z różnymi prędkościami. Z tego powodu w pierwszej kolejności rozważana jest dynamika punktu materialnego, a następnie uzyskane wyniki przekładane są na ciała rzeczywiste.