Kontynuujemy zgłębianie tematu „rozwiązywania nierówności za pomocą jednej zmiennej”. Nierówności liniowe i kwadratowe są już nam znane. Są to przypadki szczególne racjonalne nierówności, które będziemy teraz studiować. Zacznijmy od dowiedzenia się, jaki rodzaj nierówności nazywamy racjonalnymi. Następnie przyjrzymy się ich podziale na nierówności racjonalne całkowite i ułamkowe. Następnie nauczymy się, jak rozwiązywać racjonalne nierówności za pomocą jednej zmiennej, zapiszemy odpowiednie algorytmy i rozważymy rozwiązania typowych przykładów ze szczegółowymi wyjaśnieniami.
Nawigacja strony.
Czym są nierówności racjonalne?
Gdy w szkole na lekcjach algebry zaczyna się rozmowa o rozwiązywaniu nierówności, od razu spotykamy się z nierównościami racjonalnymi. Jednak na początku nie nazywa się ich po imieniu, ponieważ na tym etapie rodzaje nierówności są mało interesujące, a głównym celem jest zdobycie początkowych umiejętności pracy z nierównościami. Sam termin „racjonalna nierówność” zostaje wprowadzony później w 9. klasie, kiedy rozpoczyna się szczegółowe badanie nierówności tego konkretnego typu.
Dowiedzmy się, czym są racjonalne nierówności. Oto definicja:
Podana definicja nie mówi nic o liczbie zmiennych, co oznacza, że dozwolona jest ich dowolna liczba. W zależności od tego rozróżnia się racjonalne nierówności z jednym, dwoma itp. zmienne. Nawiasem mówiąc, podręcznik podaje podobną definicję, ale dla racjonalnych nierówności z jedną zmienną. Jest to zrozumiałe, ponieważ szkoła koncentruje się na rozwiązywaniu nierówności za pomocą jednej zmiennej (poniżej będziemy także mówić tylko o rozwiązywaniu nierówności racjonalnych za pomocą jednej zmiennej). Nierówności z dwiema zmiennymi uważa się za niewielkie, a nierównościom z trzema lub więcej zmiennymi praktycznie nie zwraca się uwagi.
Zatem nierówność wymierną można rozpoznać po jej zapisie; w tym celu wystarczy spojrzeć na wyrażenia po jej lewej i prawej stronie i upewnić się, że są to wyrażenia wymierne. Rozważania te pozwalają nam podać przykłady racjonalnych nierówności. Na przykład x>4 , x 3 +2 y≤5 (y-1) (x 2 +1), są nierównościami racjonalnymi. I nierówność 
nie jest wymierne, ponieważ jego lewa strona zawiera zmienną pod znakiem pierwiastka, a zatem nie jest wyrażeniem wymiernym. Nierówność również nie jest racjonalna, ponieważ obie jej części nie są wyrażeniami racjonalnymi.
Dla wygody dalszego opisu wprowadzamy podział nierówności wymiernych na nierówności całkowite i ułamkowe.
Definicja.
Nazwiemy ją nierównością racjonalną cały, jeśli obie jego części są całymi wyrażeniami wymiernymi.
Definicja.
Ułamkowa nierówność racjonalna jest nierównością wymierną, której przynajmniej jedna część jest wyrażeniem ułamkowym.
Zatem 0,5 x≤3 (2−5 lat) , 
są nierównościami całkowitymi, a 1:x+3>0 i 
- częściowo racjonalne.
Teraz dobrze rozumiemy, czym są nierówności wymierne i możemy bezpiecznie zacząć rozumieć zasady rozwiązywania całkowitych i ułamkowych nierówności wymiernych za pomocą jednej zmiennej.
Rozwiązywanie całych nierówności
Postawmy sobie zadanie: powiedzmy, że musimy rozwiązać całą nierówność wymierną z jedną zmienną x postaci r(x)
Przesuńmy wyrażenie z prawej strony na lewą, co doprowadzi nas do równoważnej nierówności w postaci r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥) z zerem po prawej stronie. Oczywiście wyrażenie r(x)−s(x) utworzone po lewej stronie jest również liczbą całkowitą i wiadomo, że dowolne . Po przekształceniu wyrażenia r(x)−s(x) na identycznie równy wielomian h(x) (tutaj zauważamy, że wyrażenia r(x)−s(x) i h(x) mają tę samą zmienną x), przechodzimy do równoważnej nierówności h(x)<0 (≤, >, ≥).
W najprostszych przypadkach wykonane przekształcenia wystarczą do uzyskania pożądanego rozwiązania, ponieważ doprowadzą nas od pierwotnej całej nierówności wymiernej do nierówności, którą umiemy rozwiązać, na przykład do nierówności liniowej lub kwadratowej. Spójrzmy na przykłady.
Przykład.
Znajdź rozwiązanie całej nierówności wymiernej x·(x+3)+2·x≤(x+1) 2 +1.
Rozwiązanie.
Najpierw przenosimy wyrażenie z prawej strony na lewą: x·(x+3)+2·x−(x+1) 2 −1≤0. Po uzupełnieniu wszystkiego po lewej stronie dochodzimy do nierówności liniowej 3 x−2≤0, która jest równoważna pierwotnej nierówności całkowitej. Rozwiązanie nie jest trudne:
3x≤2 ,
x≤2/3.
Odpowiedź:
x≤2/3.
Przykład.
Rozwiąż nierówność (x 2 +1) 2 −3 x 2 >(x 2 −x) (x 2 +x).
Rozwiązanie.
Zaczynamy jak zwykle od przeniesienia wyrażenia z prawej strony, a następnie wykonujemy przekształcenia po lewej stronie za pomocą:
(x 2 +1) 2 −3 x 2 −(x 2 −x) (x 2 +x)>0,
x 4 +2 x 2 +1−3 x 2 −x 4 +x 2 >0,
1>0
.
Zatem dokonując równoważnych przekształceń doszliśmy do nierówności 1>0, która jest prawdziwa dla dowolnej wartości zmiennej x. Oznacza to, że rozwiązaniem pierwotnej nierówności całkowitej jest dowolna liczba rzeczywista.
Odpowiedź:
x - dowolny.
Przykład.
Rozwiąż nierówność x+6+2 x 3 −2 x (x 2 +x−5)>0.
Rozwiązanie.
Po prawej stronie znajduje się zero, więc nie ma potrzeby niczego od niego przesuwać. Przekształćmy całe wyrażenie po lewej stronie na wielomian:
x+6+2 x 3 −2 x 3 −2 x 2 +10 x>0,
−2 x 2 +11 x+6>0 .
Otrzymaliśmy nierówność kwadratową, która jest równoważna pierwotnej nierówności. Rozwiązujemy go dowolną znaną nam metodą. Rozwiążmy nierówność kwadratową graficznie.
Znajdź pierwiastki trójmianu kwadratowego −2 x 2 +11 x+6: 
Wykonujemy schematyczny rysunek, na którym zaznaczamy znalezione zera i uwzględniamy, że gałęzie paraboli są skierowane w dół, ponieważ współczynnik wiodący jest ujemny: 
Ponieważ rozwiązujemy nierówność ze znakiem >, interesują nas przedziały, w których parabola znajduje się nad osią x. Dzieje się tak w przedziale (-0,5, 6), który jest pożądanym rozwiązaniem.
Odpowiedź:
(−0,5, 6) .
W bardziej złożonych przypadkach po lewej stronie powstałej nierówności h(x)<0 (≤, >, ≥) będzie wielomianem trzeciego lub wyższego stopnia. Aby rozwiązać takie nierówności, odpowiednia jest metoda przedziałowa, w której pierwszym kroku należy znaleźć wszystkie pierwiastki wielomianu h(x), co często odbywa się poprzez .
Przykład.
Znajdź rozwiązanie całej nierówności wymiernej (x 2 +2)·(x+4)<14−9·x .
Rozwiązanie.
Przesuwamy wszystko na lewą stronę, po czym następuje:
(x 2 +2)·(x+4)−14+9·x<0
,
x 3 +4 x 2 +2 x+8−14+9 x<0
,
x 3 +4 x 2 +11 x-6<0
.
Dokonane manipulacje prowadzą nas do nierówności równoważnej pierwotnej. Po jego lewej stronie znajduje się wielomian trzeciego stopnia. Można to rozwiązać metodą przedziałową. Aby to zrobić, najpierw musisz znaleźć pierwiastki wielomianu opartego na x 3 +4 x 2 +11 x−6=0. Przekonajmy się, czy ma pierwiastki wymierne, które mogą znajdować się tylko wśród dzielników wyrazu wolnego, czyli wśród liczb ±1, ±2, ±3, ±6. Podstawiając te liczby kolejno zamiast zmiennej x do równania x 3 +4 x 2 +11 x−6=0, dowiadujemy się, że pierwiastkami równania są liczby 1, 2 i 3. To pozwala nam przedstawić wielomian x 3 +4 x 2 +11 x−6 jako iloczyn (x−1) (x−2) (x−3) i nierówność x 3 +4 x 2 +11 x− 6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0 . Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.
I wtedy pozostaje już tylko wykonać standardowe kroki metody przedziałowej: zaznaczyć na osi liczbowej punkty o współrzędnych 1, 2 i 3, które dzielą tę prostą na cztery przedziały, określić i umieścić znaki, narysować cienie na przedziały ze znakiem minus (ponieważ rozwiązujemy nierówność ze znakiem minus<) и записать ответ.
Skąd mamy (−∞, 1)∪(2, 3) .
Odpowiedź:
(−∞, 1)∪(2, 3) .
Należy zauważyć, że czasami nie wypada z nierówności r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥) przejdź do nierówności h(x)<0 (≤, >, ≥), gdzie h(x) jest wielomianem stopnia większego niż dwa. Dotyczy to przypadków, gdy trudniej jest rozłożyć wielomian h(x) na czynniki, niż przedstawić wyrażenie r(x)−s(x) jako iloczyn dwumianów liniowych i trójmianów kwadratowych, na przykład poprzez rozłożenie wspólnego czynnika . Wyjaśnijmy to na przykładzie.
Przykład.
Rozwiąż nierówność (x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)≥2·x·(x 2 −2·x−1).
Rozwiązanie.
To jest cała nierówność. Jeśli przeniesiemy wyrażenie z prawej strony na lewą, następnie otworzymy nawiasy i dodamy podobne wyrazy, otrzymamy nierówność x 4 −4 x 3 −16 x 2 +40 x+19≥0. Rozwiązanie tego jest bardzo trudne, gdyż wymaga znalezienia pierwiastków wielomianu czwartego stopnia. Łatwo sprawdzić, że nie ma ona pierwiastków wymiernych (mogą to być liczby 1, -1, 19 lub -19), jednak poszukiwanie innych pierwiastków jest problematyczne. Dlatego ta droga jest ślepą uliczką.
Poszukajmy innych możliwych rozwiązań. Łatwo zauważyć, że po przeniesieniu wyrażenia z prawej strony pierwotnej nierówności całkowitej na lewą stronę możemy wyjąć z nawiasów wspólny czynnik x 2 −2 x−1:
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)−2·x·(x 2 −2·x−1)≥0,
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −2·x−19)≥0.
Przeprowadzona transformacja jest równoważna, zatem rozwiązanie powstałej nierówności będzie jednocześnie rozwiązaniem pierwotnej nierówności.
I teraz możemy znaleźć zera wyrażenia znajdującego się po lewej stronie wynikowej nierówności, potrzebujemy do tego x 2 −2·x−1=0 i x 2 −2·x−19=0. Ich korzenie to liczby 
. Dzięki temu możemy przejść do równoważnej nierówności i możemy ją rozwiązać metodą przedziałową: 
Odpowiedź zapisujemy zgodnie z rysunkiem.
Odpowiedź:
Na zakończenie tego punktu dodam tylko, że nie zawsze udaje się znaleźć wszystkie pierwiastki wielomianu h(x) i w konsekwencji rozwinąć go do iloczynu dwumianów liniowych i trójmianów kwadratowych. W takich przypadkach nie ma możliwości rozwiązania nierówności h(x)<0 (≤, >, ≥), co oznacza, że nie ma możliwości znalezienia rozwiązania pierwotnego równania wymiernego w postaci liczb całkowitych.
Rozwiązywanie ułamkowych nierówności wymiernych
Rozwiążmy teraz następujący problem: powiedzmy, że musimy rozwiązać ułamkową nierówność wymierną z jedną zmienną x w postaci r(x)
Algorytm rozwiązywania ułamkowych nierówności wymiernych z jedną zmienną r(x)
- Najpierw musisz znaleźć zakres dopuszczalnych wartości (APV) zmiennej x dla pierwotnej nierówności.
- Następnie należy przenieść wyrażenie z prawej strony nierówności na lewą i utworzone tam wyrażenie r(x)−s(x) przekształcić do postaci ułamka p(x)/q(x) , gdzie p(x) i q(x) są wyrażeniami w postaci liczb całkowitych, które są iloczynami dwumianów liniowych, nierozkładalnych trójmianów kwadratowych i ich potęg z wykładnikiem naturalnym.
- Następnie musimy rozwiązać powstałą nierówność metodą przedziałową.
- Ostatecznie z rozwiązania otrzymanego w poprzednim kroku należy wykluczyć punkty, które nie wchodzą w skład ODZ zmiennej x dla pierwotnej nierówności, która została znaleziona w kroku pierwszym.
W ten sposób otrzymamy pożądane rozwiązanie ułamkowej nierówności wymiernej.
Wyjaśnienia wymaga drugi krok algorytmu. Przeniesienie wyrażenia z prawej strony nierówności na lewą daje nierówność r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), który jest odpowiednikiem oryginału. Tutaj wszystko jest jasne. Jednak dalsze przekształcenie do postaci p(x)/q(x) rodzi pytania<0 (≤, >, ≥).
Pytanie pierwsze brzmi: „Czy zawsze da się to przeprowadzić”? Teoretycznie tak. Wiemy, że wszystko jest możliwe. Licznik i mianownik ułamka wymiernego zawierają wielomiany. Z podstawowego twierdzenia algebry i twierdzenia Bezouta wynika, że dowolny wielomian stopnia n z jedną zmienną można przedstawić jako iloczyn dwumianów liniowych. To wyjaśnia możliwość przeprowadzenia tej transformacji.
W praktyce rozłożenie wielomianów na czynniki jest dość trudne, a jeśli ich stopień jest większy niż cztery, nie zawsze jest to możliwe. Jeśli faktoryzacja jest niemożliwa, nie będzie możliwości znalezienia rozwiązania pierwotnej nierówności, ale takie przypadki zwykle nie zdarzają się w szkole.
Pytanie drugie: „Czy nierówność p(x)/q(x)<0
(≤, >, ≥) jest równoważne nierówności r(x)−s(x)<0
(≤, >, ≥), a zatem do oryginału”? Może być równoważny lub nierówny. Jest to równoważne, gdy ODZ dla wyrażenia p(x)/q(x) pokrywa się z ODZ dla wyrażenia r(x)−s(x) . W tym przypadku ostatni krok algorytmu będzie zbędny. Ale ODZ dla wyrażenia p(x)/q(x) może być szerszy niż ODZ dla wyrażenia r(x)−s(x) . Rozszerzanie ODZ może nastąpić, gdy ułamki zostaną zmniejszone, jak na przykład podczas przenoszenia 
Do . Również ekspansję ODZ można ułatwić wprowadzając podobne warunki, jak na przykład przy przeprowadzce 
Do . Ostatni krok algorytmu przeznaczony jest dla tego przypadku, w którym wyklucza się decyzje zewnętrzne wynikające z rozbudowy ODZ. Postępujmy zgodnie z tym, patrząc na rozwiązania poniższych przykładów.
Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.
Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych
Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.
Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.
Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.
Jakie dane osobowe zbieramy:
- Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.
Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:
- Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
- Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
- Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
- Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.
Ujawnianie informacji osobom trzecim
Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.
Wyjątki:
- Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z prawem, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów rządowych Federacji Rosyjskiej – do ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
- W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.
Ochrona danych osobowych
Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.
Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy
Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.
Przykłady:
\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(\leq0\)
\(\frac(1)(2x)\) \(+\) \(\frac(x)(x+1)\) \(<\)\(\frac{1}{2}\)
\(\frac(6)(x+1)\) \(>\) \(\frac(x^2-5x)(x+1)\) .
Przy rozwiązywaniu ułamkowych nierówności wymiernych stosuje się metodę przedziałową. Dlatego jeśli podany poniżej algorytm sprawia Ci trudności, zapoznaj się z artykułem nt .
Jak rozwiązać ułamkowe nierówności wymierne:
Algorytm rozwiązywania ułamkowych nierówności wymiernych.
Przykłady:
Umieść znaki na odstępach osi liczbowej. Przypomnę zasady umieszczania znaków:
Wyznaczamy znak w skrajnym prawym przedziale - weź liczbę z tego przedziału i podstaw ją do nierówności zamiast X. Następnie określamy znaki w nawiasach i wynik mnożenia tych znaków;
Przykłady:
Wybierz wymagane interwały. Jeśli istnieje osobny korzeń, zaznacz go polem wyboru, aby nie zapomnieć o uwzględnieniu go w odpowiedzi (patrz przykład poniżej).
Przykłady:
Zapisz wyróżnione spacje i oznaczone korzenie (jeśli występują) w swojej odpowiedzi.
Przykłady:
Odpowiedź: \((-∞;-1)∪(-1;1,2]∪)