Jednym z tematów wymagających od uczniów maksymalnej uwagi i wytrwałości jest rozwiązywanie nierówności. Czyli podobne do równań, a zarazem bardzo od nich różne. Ponieważ ich rozwiązanie wymaga specjalnego podejścia.
Właściwości, które będą potrzebne do znalezienia odpowiedzi
Wszystkie służą do zastąpienia istniejącego wpisu równoważnym. Większość z nich jest podobna do tego, co było w równaniach. Ale są też różnice.
- Funkcję zdefiniowaną w ODZ lub dowolną liczbę można dodać do obu stron pierwotnej nierówności.
- Podobnie możliwe jest mnożenie, ale tylko przez funkcję dodatnią lub liczbę.
- Jeśli tę czynność wykonuje się z funkcją lub liczbą ujemną, wówczas znak nierówności należy zastąpić znakiem przeciwnym.
- Funkcje nieujemne można podnieść do potęgi dodatniej.
Czasami rozwiązywaniu nierówności towarzyszą działania, które dostarczają obcych odpowiedzi. Należy je wyeliminować poprzez porównanie domeny DL i zbioru rozwiązań.
Stosowanie metody interwałowej
Jego istotą jest sprowadzenie nierówności do równania, w którym po prawej stronie jest zero.
- Określ obszar, w którym leżą dopuszczalne wartości zmiennych, czyli ODZ.
- Przekształć nierówność za pomocą operacji matematycznych, tak aby po prawej stronie było zero.
- Zamień znak nierówności na „=” i rozwiąż odpowiednie równanie.
- Na osi liczbowej zaznacz wszystkie odpowiedzi, które uzyskano podczas rozwiązania, a także przedziały OD. W przypadku ścisłej nierówności punkty należy narysować jako przebite. Jeśli jest znak równości, należy je zamalować.
- Wyznacz znak funkcji pierwotnej na każdym przedziale uzyskanym z punktów ODZ i odpowiedzi go dzielących. Jeśli znak funkcji nie zmienia się podczas przechodzenia przez punkt, to jest on uwzględniany w odpowiedzi. W przeciwnym razie jest to wykluczone.
- Należy dokładniej sprawdzić punkty graniczne ODZ i dopiero wtedy uwzględnić je w odpowiedzi lub nie.
- Wynikową odpowiedź należy zapisać w formie połączonych zestawów.
Trochę o podwójnych nierównościach
Używają dwóch znaków nierówności na raz. Oznacza to, że pewna funkcja jest ograniczona warunkami dwa razy na raz. Takie nierówności rozwiązuje się jako układ dwóch, gdy oryginał jest podzielony na części. Natomiast w metodzie przedziałowej wskazane są odpowiedzi z rozwiązania obu równań.
Aby je rozwiązać, dopuszczalne jest również wykorzystanie właściwości wskazanych powyżej. Za ich pomocą wygodnie jest zredukować nierówność do zera.
A co z nierównościami, które mają moduł?
W tym przypadku rozwiązanie nierówności wykorzystuje następujące właściwości i obowiązują one dla dodatniej wartości „a”.
Jeśli „x” przyjmuje wyrażenie algebraiczne, wówczas obowiązują następujące podstawienia:
- |x|< a на -a < х < a;
- |x| > od a do x< -a или х >A.
Jeśli nierówności nie są ścisłe, wówczas formuły również są poprawne, tylko w nich oprócz znaku większego lub mniejszego pojawia się „=”.
Jak rozwiązuje się układ nierówności?
Wiedza ta będzie wymagana w przypadkach, gdy postawiono takie zadanie lub w zapisie występuje zapis podwójnej nierówności lub w zapisie pojawia się moduł. W takiej sytuacji rozwiązaniem będą wartości zmiennych, które spełniałyby wszystkie nierówności w zapisie. Jeżeli nie ma takich liczb, to układ nie ma rozwiązań.
Plan według którego przeprowadzane jest rozwiązanie układu nierówności:
- rozwiązać każdy z nich osobno;
- zobrazować wszystkie przedziały na osi liczbowej i określić ich przecięcia;
- zapisz odpowiedź systemu, która będzie kombinacją tego, co wydarzyło się w drugim akapicie.
Co zrobić z nierównościami ułamkowymi?
Ponieważ ich rozwiązanie może wymagać zmiany znaku nierówności, należy bardzo uważnie i dokładnie przestrzegać wszystkich punktów planu. W przeciwnym razie możesz otrzymać odwrotną odpowiedź.
Do rozwiązywania nierówności ułamkowych wykorzystuje się również metodę przedziałową. A plan działania będzie taki:
- Korzystając z opisanych właściwości, nadaj ułamkowi taką formę, aby po prawej stronie znaku pozostało tylko zero.
- Zamień nierówność na „=” i określ punkty, w których funkcja będzie równa zeru.
- Zaznacz je na osi współrzędnych. W takim przypadku liczby uzyskane w wyniku obliczeń w mianowniku będą zawsze wykreślone. Wszystkie inne opierają się na warunku nierówności.
- Wyznacz przedziały stałości znaku.
- W odpowiedzi zapisz sumę tych przedziałów, których znak odpowiada znakowi z pierwotnej nierówności.
Sytuacje, w których w nierówności pojawia się irracjonalność
Innymi słowy, w zapisie znajduje się pierwiastek matematyczny. Ponieważ na szkolnym kursie algebry większość zadań dotyczy pierwiastka kwadratowego, właśnie to zostanie rozważone.
Rozwiązanie irracjonalnych nierówności sprowadza się do uzyskania układu dwóch lub trzech, który będzie równoważny pierwotnemu.
| Oryginalna nierówność | stan | równoważny system |
| √ n(x)< m(х) | m(x) mniejsze lub równe 0 | żadnych rozwiązań |
| m(x) większe niż 0 | n(x) jest większe lub równe 0 n(x)< (m(х)) 2 |
|
| √ n(x) > m(x) | m(x) jest większe lub równe 0 n(x) > (m(x)) 2 |
|
n(x) jest większe lub równe 0 m(x) mniej niż 0 |
||
| √n(x) ≤ m(x) | m(x) mniej niż 0 | żadnych rozwiązań |
| m(x) jest większe lub równe 0 | n(x) jest większe lub równe 0 n(x) ≤ (m(x)) 2 |
|
| √n(x) ≥ m(x) | m(x) jest większe lub równe 0 n(x) ≥ (m(x)) 2 |
|
n(x) jest większe lub równe 0 m(x) mniej niż 0 |
||
| √ n(x)< √ m(х) | n(x) jest większe lub równe 0 n(x) mniej niż m(x) |
|
| √n(x) * m(x)< 0 | n(x) większe niż 0 m(x) mniej niż 0 |
|
| √n(x) * m(x) > 0 | n(x) większe niż 0 m(x) większe niż 0 |
|
| √n(x) * m(x) ≤ 0 | n(x) większe niż 0 |
|
n(x) równa się 0 m(x) - dowolne |
||
| √n(x) * m(x) ≥ 0 | n(x) większe niż 0 |
|
n(x) równa się 0 m(x) - dowolne |
Przykłady rozwiązywania różnych typów nierówności
Aby zwiększyć przejrzystość teorii rozwiązywania nierówności, poniżej podano przykłady.
Pierwszy przykład. 2x - 4 > 1 + x
Rozwiązanie: Aby określić ADI, wystarczy dokładnie przyjrzeć się nierówności. Tworzony jest z funkcji liniowych, dlatego jest definiowany dla wszystkich wartości zmiennej.
Teraz musisz odjąć (1 + x) od obu stron nierówności. Okazuje się: 2x - 4 - (1 + x) > 0. Po otwarciu nawiasów i podaniu podobnych wyrazów nierówność przyjmie postać: x - 5 > 0.
Przyrównując to do zera, łatwo znaleźć rozwiązanie: x = 5.
Teraz ten punkt o numerze 5 należy zaznaczyć na promieniu współrzędnych. Następnie sprawdź znaki oryginalnej funkcji. Na pierwszym przedziale od minus nieskończoności do 5 można przyjąć liczbę 0 i podstawić ją do nierówności otrzymanej po przekształceniach. Po obliczeniach okazuje się, że -7 > 0. pod łukiem interwału musisz podpisać znak minus.
Na kolejnym przedziale od 5 do nieskończoności możesz wybrać liczbę 6. Wtedy okazuje się, że 1 > 0. Pod łukiem znajduje się znak „+”. Ten drugi przedział będzie odpowiedzią na nierówność.
Odpowiedź: x leży w przedziale (5; ∞).
Drugi przykład. Wymagane jest rozwiązanie układu dwóch równań: 3x + 3 ≤ 2x + 1 i 3x - 2 ≤ 4x + 2.
Rozwiązanie. VA tych nierówności również leży w obszarze dowolnych liczb, ponieważ dane są funkcje liniowe.
Druga nierówność przyjmie postać równania: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. Po przekształceniu: -x - 4 =0. Daje to wartość zmiennej równą -4.
Te dwie liczby należy zaznaczyć na osi, przedstawiającej odstępy. Ponieważ nierówność nie jest ścisła, wszystkie punkty należy zacieniować. Pierwszy przedział wynosi od minus nieskończoności do -4. Niech zostanie wybrana liczba -5. Pierwsza nierówność da wartość -3, a druga 1. Oznacza to, że ten przedział nie jest uwzględniony w odpowiedzi.
Drugi przedział wynosi od -4 do -2. Możesz wybrać liczbę -3 i zastąpić ją w obu nierównościach. W pierwszym i drugim wartość wynosi -1. Oznacza to, że pod łukiem „-”.
W ostatnim przedziale od -2 do nieskończoności najlepszą liczbą jest zero. Musisz go zastąpić i znaleźć wartości nierówności. Pierwszy z nich daje liczbę dodatnią, a drugi zero. Tę lukę należy również wykluczyć z odpowiedzi.
Z trzech przedziałów tylko jeden jest rozwiązaniem nierówności.
Odpowiedź: x należy do [-4; -2].
Trzeci przykład. |1 - x| > 2 |x - 1|.
Rozwiązanie. Pierwszym krokiem jest określenie punktów, w których funkcje zanikają. Dla lewego liczba ta będzie wynosić 2, dla prawego - 1. Należy je zaznaczyć na belce i wyznaczyć przedziały stałości znaku.
W pierwszym przedziale od minus nieskończoności do 1 funkcja po lewej stronie nierówności przyjmuje wartości dodatnie, a funkcja po prawej stronie przyjmuje wartości ujemne. Pod łukiem musisz wpisać obok siebie dwa znaki „+” i „-”.
Następny przedział wynosi od 1 do 2. Na nim obie funkcje przyjmują wartości dodatnie. Oznacza to, że pod łukiem znajdują się dwa plusy.
Trzeci przedział od 2 do nieskończoności da następujący wynik: lewa funkcja jest ujemna, prawa funkcja jest dodatnia.
Biorąc pod uwagę otrzymane znaki, należy obliczyć wartości nierówności dla wszystkich przedziałów.
W pierwszej kolejności otrzymujemy następującą nierówność: 2 - x > - 2 (x - 1). Minus przed dwójką w drugiej nierówności wynika z faktu, że funkcja ta jest ujemna.
Po przekształceniu nierówność wygląda następująco: x > 0. Od razu podaje wartości zmiennej. Oznacza to, że z tego przedziału zostanie udzielona odpowiedź tylko na przedział od 0 do 1.
Na drugim: 2 - x > 2 (x - 1). Przekształcenia dadzą następującą nierówność: -3x + 4 jest większe od zera. Jego zero będzie wynosić x = 4/3. Biorąc pod uwagę znak nierówności, okazuje się, że x musi być mniejsze od tej liczby. Oznacza to, że odstęp ten zmniejsza się do przedziału od 1 do 4/3.
To ostatnie daje następującą nierówność: - (2 - x) > 2 (x - 1). Jego transformacja prowadzi do: -x > 0. Oznacza to, że równanie jest prawdziwe, gdy x jest mniejsze od zera. Oznacza to, że na wymaganym przedziale nierówność nie daje rozwiązań.
W pierwszych dwóch przedziałach liczba graniczna okazała się równa 1. Należy to sprawdzić osobno. Oznacza to, że podstawimy go do pierwotnej nierówności. Okazuje się: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Obliczenie pokazuje, że 1 jest większe niż 0. Jest to stwierdzenie prawdziwe, więc odpowiedź uwzględnia jedną.
Odpowiedź: x leży w przedziale (0; 4/3).
Nie wszyscy wiedzą, jak rozwiązywać nierówności, które w swojej strukturze mają podobne i charakterystyczne cechy z równaniami. Równanie to ćwiczenie składające się z dwóch części, pomiędzy którymi znajduje się znak równości, a pomiędzy częściami nierówności może znajdować się znak „więcej niż” lub „mniej niż”. Zatem przed znalezieniem rozwiązania konkretnej nierówności musimy zrozumieć, że warto rozważyć znak liczby (dodatni lub ujemny), jeśli zachodzi potrzeba pomnożenia obu stron przez dowolne wyrażenie. Ten sam fakt należy wziąć pod uwagę, jeśli do rozwiązania nierówności wymagane jest podniesienie do kwadratu, ponieważ podnoszenie do kwadratu odbywa się przez mnożenie.
Jak rozwiązać układ nierówności
Znacznie trudniej jest rozwiązać układy nierówności niż zwykłe nierówności. Przyjrzyjmy się, jak rozwiązać nierówności w klasie 9 na konkretnych przykładach. Należy rozumieć, że przed rozwiązaniem nierówności kwadratowych (układów) lub jakichkolwiek innych systemów nierówności konieczne jest rozwiązanie każdej nierówności osobno, a następnie ich porównanie. Rozwiązaniem systemu nierówności będzie odpowiedź pozytywna lub negatywna (niezależnie od tego, czy system ma rozwiązanie, czy nie ma rozwiązania).
Zadanie polega na rozwiązaniu układu nierówności:
Rozwiążmy każdą nierówność osobno
Budujemy oś liczbową, na której przedstawiamy zbiór rozwiązań
Ponieważ zbiór jest sumą zbiorów rozwiązań, zbiór ten na osi liczbowej musi być podkreślony przynajmniej przez jedną oś.
Rozwiązywanie nierówności modułem
Ten przykład pokaże, jak rozwiązać nierówności za pomocą modułu. Mamy więc definicję:
Musimy rozwiązać nierówność:
Przed rozwiązaniem takiej nierówności należy pozbyć się modułu (znaku)
Napiszmy na podstawie danych definicji:
Teraz musisz rozwiązać każdy z systemów osobno.
Skonstruujmy jedną oś liczbową, na której przedstawimy zbiory rozwiązań.
Dzięki temu mamy kolekcję, która łączy w sobie wiele rozwiązań.
Rozwiązywanie nierówności kwadratowych
Korzystając z osi liczbowej, spójrzmy na przykład rozwiązywania nierówności kwadratowych. Mamy nierówność:
Wiemy, że wykresem trójmianu kwadratowego jest parabola. Wiemy również, że gałęzie paraboli są skierowane w górę, jeśli a>0.
x 2 -3x-4< 0
Korzystając z twierdzenia Viety, znajdujemy pierwiastki x 1 = - 1; x2 = 4
Narysujmy parabolę, a raczej jej szkic.
W ten sposób dowiedzieliśmy się, że wartości trójmianu kwadratowego będą mniejsze od 0 w przedziale od – 1 do 4.
Wiele osób ma pytania dotyczące rozwiązywania podwójnych nierówności, takich jak g(x)< f(x) < q(x). Перед тем, как решать двойные неравенства, необходимо их раскладывать на простые, и каждое простое неравенство решать по отдельности. Например, разложив наш пример, получим в результате систему неравенств g(x) < f(x) и f(x) < q(x), которую следует и решать.
Tak naprawdę istnieje kilka metod rozwiązywania nierówności, dlatego do rozwiązywania złożonych nierówności można zastosować metodę graficzną.
Rozwiązywanie nierówności ułamkowych
Nierówności ułamkowe wymagają bardziej ostrożnego podejścia. Wynika to z faktu, że w procesie rozwiązywania niektórych nierówności ułamkowych znak może się zmienić. Przed rozwiązaniem nierówności ułamkowych musisz wiedzieć, że do ich rozwiązania używana jest metoda przedziałowa. Nierówność ułamkową należy przedstawić w taki sposób, aby jedna strona znaku wyglądała jak ułamkowe wyrażenie wymierne, a druga - „- 0”. Przekształcając w ten sposób nierówność, otrzymujemy w rezultacie f(x)/g(x) > (.
Rozwiązywanie nierówności metodą przedziałową
Technika interwałowa opiera się na metodzie indukcji zupełnej, co oznacza, że należy przejść przez wszystkie możliwe opcje, aby znaleźć rozwiązanie nierówności. Ta metoda rozwiązywania może nie być konieczna dla uczniów ósmej klasy, ponieważ powinni wiedzieć, jak rozwiązywać nierówności ósmej klasy, które są prostymi ćwiczeniami. Ale dla starszych klas ta metoda jest niezbędna, ponieważ pomaga rozwiązać nierówności ułamkowe. Rozwiązywanie nierówności za pomocą tej techniki opiera się również na takiej właściwości funkcji ciągłej, jak zachowanie znaku między wartościami, w których zmienia się na 0.
Zbudujmy wykres wielomianu. Jest to funkcja ciągła, która przyjmuje wartość 0 3 razy, co oznacza, że f(x) będzie równe 0 w punktach x 1, x 2 i x 3, czyli pierwiastkach wielomianu. W odstępach między tymi punktami znak funkcji zostaje zachowany.
Ponieważ do rozwiązania nierówności f(x)>0 potrzebny jest znak funkcji, przechodzimy do osi współrzędnych, opuszczając wykres.
f(x)>0 dla x(x 1 ; x 2) i dla x(x 3 ;)
f(x)x(- ; x 1) i przy x (x 2 ; x 3)
Wykres wyraźnie pokazuje rozwiązania nierówności f(x)f(x)>0 (rozwiązanie pierwszej nierówności zaznaczono na niebiesko, a rozwiązanie drugiej nierówności na czerwono). Aby wyznaczyć znak funkcji na przedziale wystarczy znać znak funkcji w jednym z punktów. Technika ta pozwala szybko rozwiązać nierówności, w których lewa strona jest rozłożona na czynniki, ponieważ w takich nierównościach dość łatwo jest znaleźć pierwiastki.
rozwiązanie nierówności w trybie online rozwiązanie prawie każda dana nierówność online. Matematyczny nierówności w internecie rozwiązać matematykę. Znajdź szybko rozwiązanie nierówności w trybie online. Strona www.site pozwala znaleźć rozwiązanie prawie dowolne algebraiczny, trygonometryczny Lub transcendentalna nierówność w Internecie. Studiując prawie każdą dziedzinę matematyki na różnych etapach, musisz podjąć decyzję nierówności w internecie. Aby uzyskać odpowiedź natychmiast, a co najważniejsze, dokładną, potrzebujesz zasobu, który Ci to umożliwi. Dzięki stronie www.site rozwiązać nierówność online zajmie to kilka minut. Główną zaletą www.site przy rozwiązywaniu zadań matematycznych nierówności w internecie- jest to szybkość i dokładność udzielonej odpowiedzi. Strona jest w stanie rozwiązać każdy nierówności algebraiczne w Internecie, nierówności trygonometryczne w internecie, nierówności transcendentalne w Internecie, I nierówności z nieznanymi parametrami w trybie online. Nierówności służyć jako potężny aparat matematyczny rozwiązania problemy praktyczne. Z pomocą nierówności matematyczne możliwe jest wyrażenie faktów i relacji, które na pierwszy rzut oka mogą wydawać się zagmatwane i skomplikowane. Nieznane ilości nierówności można znaleźć, formułując problem w matematyczny język w formie nierówności I decydować otrzymane zadanie w trybie online na stronie internetowej www.site. Każdy nierówność algebraiczna, nierówność trygonometryczna Lub nierówności zawierający nadzmysłowy funkcje, które możesz łatwo decydować online i uzyskaj dokładną odpowiedź. Studiując nauki przyrodnicze, nieuchronnie napotykasz taką potrzebę rozwiązania nierówności. W takim przypadku odpowiedź musi być dokładna i należy ją uzyskać natychmiast w trybie online. Dlatego dla rozwiązuj nierówności matematyczne online polecamy stronę www.site, która stanie się Twoim niezbędnym kalkulatorem rozwiązywanie nierówności algebraicznych online, nierówności trygonometryczne w Internecie, I Transcendentalne nierówności w Internecie Lub nierówności o nieznanych parametrach. Praktyczne problemy związane ze znalezieniem rozwiązań online różnych problemów nierówności matematyczne zasób www.. Rozwiązywanie nierówności w internecie sam, warto sprawdzić otrzymaną odpowiedź za pomocą internetowe rozwiązanie nierówności na stronie internetowej www.site. Musisz poprawnie zapisać nierówność i natychmiast uzyskać rozwiązanie internetowe, po czym pozostaje tylko porównać odpowiedź z rozwiązaniem nierówności. Sprawdzenie odpowiedzi zajmie nie więcej niż minutę, to wystarczy rozwiązać nierówność online i porównaj odpowiedzi. Pomoże to uniknąć błędów w decyzja i popraw odpowiedź w odpowiednim czasie rozwiązywanie nierówności w Internecie albo algebraiczny, trygonometryczny, nadzmysłowy Lub nierówność o nieznanych parametrach.
Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)
Co się stało „nierówność kwadratowa”? Bez dwóch zdań!) Jeśli weźmiesz każdy równanie kwadratowe i zamień w nim znak "=" (równy) do dowolnego znaku nierówności ( > ≥ < ≤ ≠ ), otrzymujemy nierówność kwadratową. Na przykład:
1. x 2 -8x+12 ≥ 0
2. -x 2 + 3x > 0
3. x 2 ≤ 4
Cóż, rozumiesz...)
Nie bez powodu połączyłem tutaj równania i nierówności. Chodzi o to, że jest to pierwszy krok do rozwiązania każdy nierówność kwadratowa - rozwiązać równanie, z którego wynika ta nierówność. Z tego powodu niemożność rozwiązania równań kwadratowych automatycznie prowadzi do całkowitego niepowodzenia nierówności. Czy wskazówka jest jasna?) Jeśli już, spójrz, jak rozwiązać dowolne równania kwadratowe. Wszystko jest tam szczegółowo opisane. Na tej lekcji zajmiemy się nierównościami.
Gotowa do rozwiązania nierówność ma postać: po lewej stronie znajduje się trójmian kwadratowy topór 2 +bx+c, po prawej - zero. Znak nierówności może być absolutnie dowolny. Pierwsze dwa przykłady znajdziesz tutaj są już gotowi podjąć decyzję. Trzeci przykład należy jeszcze przygotować.
Jeśli podoba Ci się ta strona...
Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)
Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)
Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.