Transformacja pełnego równania kwadratowego na niepełne wygląda następująco (dla przypadku \(b=0\)):

W przypadkach, gdy \(c=0\) lub gdy oba współczynniki są równe zero, wszystko jest podobne.

Należy pamiętać, że nie ma mowy o tym, aby \(a\) było równe zeru; nie może być równe zeru, ponieważ w tym przypadku zamieni się w:

Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych.

Przede wszystkim musisz zrozumieć, że niekompletne równanie kwadratowe jest nadal , a zatem można je rozwiązać w taki sam sposób, jak zwykłe równanie kwadratowe (przez ). Aby to zrobić, po prostu dodajemy brakujący składnik równania o zerowym współczynniku.

Przykład : Znajdź pierwiastki równania \(3x^2-27=0\)
Rozwiązanie :

		Mamy niekompletne równanie kwadratowe ze współczynnikiem \(b=0\). Oznacza to, że równanie możemy zapisać w następujący sposób:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		W rzeczywistości jest to to samo równanie, co na początku, ale teraz można je rozwiązać jako zwykłe równanie kwadratowe. Najpierw zapisujemy współczynniki.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Obliczmy dyskryminator ze wzoru \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Znajdźmy pierwiastki równania za pomocą wzorów \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) i \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Zapisz odpowiedź

Odpowiedź : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Przykład : Znajdź pierwiastki równania \(-x^2+x=0\)
Rozwiązanie :

		Znowu niekompletne równanie kwadratowe, ale teraz współczynnik \(c\) jest równy zero. Równanie zapisujemy jako kompletne.

Równania kwadratowe. Dyskryminujący. Rozwiązanie, przykłady.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)

Rodzaje równań kwadratowych

Co to jest równanie kwadratowe? Jak to wygląda? W terminie równanie kwadratowe słowo kluczowe to "kwadrat". Oznacza to, że w równaniu Koniecznie musi być x kwadrat. Oprócz tego równanie może (ale nie musi!) zawierać tylko X (do pierwszej potęgi) i tylko liczbę (Wolny Członek). I nie powinno być żadnych X do potęgi większej niż dwa.

Z matematycznego punktu widzenia równanie kwadratowe jest równaniem w postaci:

Tutaj a, b i c- kilka liczb. b i c- absolutnie dowolne, ale A– cokolwiek innego niż zero. Na przykład:

Tutaj A =1; B = 3; C = -4

Tutaj A =2; B = -0,5; C = 2,2

Tutaj A =-3; B = 6; C = -18

Cóż, rozumiesz...

W tych równaniach kwadratowych po lewej stronie jest Pełen zestaw członkowie. X do kwadratu ze współczynnikiem A, x do pierwszej potęgi ze współczynnikiem B I wolny członek s.

Takie równania kwadratowe nazywane są pełny.

I jeśli B= 0, co otrzymamy? Mamy X zostanie utracone do pierwszej potęgi. Dzieje się tak po pomnożeniu przez zero.) Okazuje się na przykład:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x2 +4x=0

I tak dalej. A jeśli oba współczynniki B I C są równe zeru, to jest jeszcze prościej:

2x 2 = 0,

-0,3x2 =0

Takie równania, w których czegoś brakuje, nazywane są niekompletne równania kwadratowe. Co jest całkiem logiczne.) Proszę zauważyć, że x kwadrat występuje we wszystkich równaniach.

Swoją drogą, dlaczego A nie może być równe zeru? I zamiast tego zastępujesz A zero.) Nasz kwadrat X zniknie! Równanie stanie się liniowe. A rozwiązanie jest zupełnie inne...

To wszystkie główne typy równań kwadratowych. Kompletne i niekompletne.

Rozwiązywanie równań kwadratowych.

Rozwiązywanie pełnych równań kwadratowych.

Równania kwadratowe są łatwe do rozwiązania. Według formuł i jasnych, prostych zasad. W pierwszym etapie należy doprowadzić dane równanie do postaci standardowej, tj. do formularza:

Jeśli równanie zostało już podane w tej formie, nie musisz wykonywać pierwszego etapu.) Najważniejsze jest prawidłowe określenie wszystkich współczynników, A, B I C.

Wzór na znalezienie pierwiastków równania kwadratowego wygląda następująco:

Wyrażenie pod znakiem głównym nazywa się dyskryminujący. Ale więcej o nim poniżej. Jak widać, aby znaleźć X, używamy tylko a, b i c. Te. współczynniki z równania kwadratowego. Po prostu ostrożnie zamień wartości a, b i c Obliczamy według tego wzoru. Zastąpmy z własnymi znakami! Na przykład w równaniu:

A =1; B = 3; C= -4. Tutaj to zapisujemy:

Przykład jest prawie rozwiązany:

To jest odpowiedź.

Wszystko jest bardzo proste. I co, myślisz, że nie da się popełnić błędu? No właśnie, jak...

Najczęstszymi błędami są pomyłki z wartościami znaków a, b i c. A raczej nie z ich znakami (gdzie się pomylić?), Ale z podstawieniem wartości ujemnych do wzoru na obliczenie pierwiastków. Pomocne jest tutaj szczegółowe zapisanie wzoru z konkretnymi liczbami. W przypadku problemów z obliczeniami, Zrób to!

Załóżmy, że musimy rozwiązać następujący przykład:

Tutaj A = -6; B = -5; C = -1

Załóżmy, że wiesz, że rzadko otrzymujesz odpowiedzi za pierwszym razem.

Cóż, nie bądź leniwy. Napisanie dodatkowej linii zajmie około 30 sekund i liczbę błędów gwałtownie spadnie. Piszemy więc szczegółowo, ze wszystkimi nawiasami i znakami:

Wydaje się, że pisanie z taką starannością jest niezwykle trudne. Ale tylko tak się wydaje. Spróbuj. Cóż, albo wybierz. Co jest lepsze, szybko czy dobrze? Poza tym sprawię, że będziesz szczęśliwy. Po pewnym czasie nie będzie już potrzeby tak dokładnego zapisywania wszystkiego. To się sprawdzi samo z siebie. Zwłaszcza jeśli zastosujesz praktyczne techniki opisane poniżej. Ten zły przykład z mnóstwem minusów można rozwiązać łatwo i bez błędów!

Często jednak równania kwadratowe wyglądają nieco inaczej. Na przykład tak:

Czy rozpoznałeś?) Tak! Ten niekompletne równania kwadratowe.

Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych.

Można je również rozwiązać za pomocą ogólnego wzoru. Musisz tylko poprawnie zrozumieć, czym są tutaj równe. a, b i c.

Czy już to wymyśliłeś? W pierwszym przykładzie a = 1; b = -4; A C? W ogóle go tam nie ma! Cóż, tak, to prawda. W matematyce oznacza to, że c = 0 ! To wszystko. Zamiast tego wstaw zero do wzoru C, i odniesiemy sukces. To samo z drugim przykładem. Tylko, że u nas nie ma zera Z, A B !

Ale niekompletne równania kwadratowe można rozwiązać znacznie prościej. Bez żadnych formuł. Rozważmy pierwsze niekompletne równanie. Co możesz zrobić po lewej stronie? Możesz wyjąć X z nawiasów! Wyjmijmy to.

I co z tego? Oraz fakt, że iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy którykolwiek z czynników jest równy zero! Nie wierzysz mi? OK, w takim razie wymyśl dwie liczby niezerowe, które po pomnożeniu dadzą zero!
Nie działa? Otóż ​​to...
Dlatego śmiało możemy napisać: x 1 = 0, x2 = 4.

Wszystko. Będą to pierwiastki naszego równania. Oba są odpowiednie. Podstawiając którekolwiek z nich do pierwotnego równania, otrzymujemy poprawną tożsamość 0 = 0. Jak widać rozwiązanie jest znacznie prostsze niż użycie wzoru ogólnego. Przy okazji zauważę, który X będzie pierwszy, a który drugi – jest to absolutnie obojętne. Wygodnie jest pisać w kolejności, x 1- co jest mniejsze i x 2– to, co jest większe.

Drugie równanie można również rozwiązać w prosty sposób. Przesuń 9 w prawą stronę. Otrzymujemy:

Pozostaje tylko wyodrębnić korzeń z 9 i to wszystko. Okaże się:

Oraz dwa korzenie . x 1 = -3, x2 = 3.

W ten sposób rozwiązuje się wszystkie niepełne równania kwadratowe. Albo umieszczając X poza nawiasami, albo po prostu przesuwając liczbę w prawo, a następnie wyodrębniając pierwiastek.
Niezwykle trudno jest pomylić te techniki. Po prostu dlatego, że w pierwszym przypadku będziesz musiał wyodrębnić pierwiastek X, co jest w jakiś sposób niezrozumiałe, a w drugim przypadku nie ma nic do wyjmowania z nawiasów...

Dyskryminujący. Formuła dyskryminacyjna.

magiczne słowo dyskryminujący ! Rzadko się zdarza, żeby licealista nie słyszał tego słowa! Wyrażenie „rozwiązujemy poprzez dyskryminację” budzi pewność i pewność. Ponieważ od dyskryminującego nie trzeba oczekiwać sztuczek! Jest prosty i bezproblemowy w obsłudze.) Przypominam najbardziej ogólny wzór na rozwiązanie każdy równania kwadratowe:

Wyrażenie pod znakiem głównym nazywa się dyskryminatorem. Zazwyczaj wyróżnik jest oznaczony literą D. Wzór dyskryminacyjny:

D = b 2 - 4ac

A co jest takiego niezwykłego w tym wyrażeniu? Dlaczego zasłużył na specjalną nazwę? Co znaczenie wyróżnika? Mimo wszystko -B, Lub 2a w tej formule nie nazywają tego specjalnie... Litery i litery.

To jest ta rzecz. Jest to możliwe przy rozwiązywaniu równania kwadratowego za pomocą tego wzoru tylko trzy przypadki.

1. Wyróżnik jest dodatni. Oznacza to, że można z niego wydobyć korzeń. Inną kwestią jest to, czy korzeń został wycięty dobrze czy źle. Ważne jest to, co w zasadzie zostało wydobyte. Zatem twoje równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki. Dwa różne rozwiązania.

2. Dyskryminator wynosi zero. Wtedy będziesz miał jedno rozwiązanie. Ponieważ dodanie lub odejmowanie zera w liczniku niczego nie zmienia. Ściśle mówiąc, nie jest to jeden korzeń, ale dwa identyczne. Ale w uproszczonej wersji zwykle się o tym mówi jedno rozwiązanie.

3. Wyróżnik jest ujemny. Nie można obliczyć pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej. Cóż, OK. Oznacza to, że nie ma rozwiązań.

Szczerze mówiąc, przy rozwiązywaniu równań kwadratowych koncepcja dyskryminatora nie jest tak naprawdę potrzebna. Podstawiamy wartości współczynników do wzoru i liczymy. Wszystko dzieje się tam samo z siebie, dwa korzenie, jeden i żaden. Jednak przy rozwiązywaniu bardziej złożonych zadań, bez wiedzy znaczenie i formuła wyróżnika niewystarczająco. Zwłaszcza w równaniach z parametrami. Takie równania to akrobacje dla Egzaminu Państwowego i Ujednoliconego Egzaminu Państwowego!)

Więc, jak rozwiązywać równania kwadratowe poprzez rozróżnianie, które zapamiętałeś. Albo się nauczyłeś, co też nie jest złe.) Wiesz, jak poprawnie określić a, b i c. Czy wiesz jak? uważnie podstaw je do wzoru głównego i uważnie policz wynik. Rozumiesz, że słowo klucz jest tutaj uważnie?

Teraz zwróć uwagę na praktyczne techniki, które radykalnie zmniejszają liczbę błędów. Te same, które wynikają z nieuwagi... Dla których później staje się to bolesne i obraźliwe...

Pierwsze spotkanie . Nie bądź leniwy przed rozwiązaniem równania kwadratowego i doprowadź je do standardowej postaci. Co to znaczy?
Załóżmy, że po wszystkich przekształceniach otrzymamy następujące równanie:

Nie spiesz się z zapisaniem formuły głównej! Prawie na pewno pomylisz szanse a, b i c. Zbuduj poprawnie przykład. Najpierw X do kwadratu, potem bez kwadratu, a następnie wyraz wolny. Lubię to:

I jeszcze raz: nie spiesz się! Minus przed kwadratem X może naprawdę Cię zdenerwować. Łatwo zapomnieć... Pozbądź się minusa. Jak? Tak, jak nauczano w poprzednim temacie! Musimy pomnożyć całe równanie przez -1. Otrzymujemy:

Ale teraz możesz bezpiecznie zapisać wzór na pierwiastki, obliczyć dyskryminator i zakończyć rozwiązywanie przykładu. Zdecyduj sam. Powinieneś teraz mieć pierwiastki 2 i -1.

Recepcja druga. Sprawdź korzenie! Zgodnie z twierdzeniem Viety. Nie bój się, wszystko wyjaśnię! Kontrola Ostatnia rzecz równanie. Te. ten, którego użyliśmy do zapisania wzoru na pierwiastek. Jeśli (jak w tym przykładzie) współczynnik a = 1, sprawdzenie korzeni jest łatwe. Wystarczy je pomnożyć. Rezultatem powinien być wolny członek, tj. w naszym przypadku -2. Uwaga, nie 2, ale -2! Wolny Członek ze swoim znakiem . Jeśli to nie zadziała, oznacza to, że już gdzieś schrzanili. Poszukaj błędu.

Jeśli to zadziała, musisz dodać korzenie. Ostatnia i ostateczna kontrola. Współczynnik powinien być B Z naprzeciwko znajomy. W naszym przypadku -1+2 = +1. Współczynnik B, który jest przed X, jest równy -1. Zatem wszystko się zgadza!
Szkoda, że ​​jest to takie proste tylko dla przykładów, gdzie x kwadrat jest czyste, ze współczynnikiem a = 1. Ale przynajmniej sprawdź takie równania! Błędów będzie coraz mniej.

Recepcja trzecia . Jeśli Twoje równanie ma współczynniki ułamkowe, pozbądź się ułamków! Pomnóż równanie przez wspólny mianownik, jak opisano w lekcji „Jak rozwiązywać równania? Przekształcenia tożsamości”. Podczas pracy z ułamkami z jakiegoś powodu wkradają się błędy...

Swoją drogą obiecałem uprościć zły przykład garścią minusów. Proszę! Tutaj jest.

Aby nie pomylić minusów, mnożymy równanie przez -1. Otrzymujemy:

To wszystko! Rozwiązywanie to przyjemność!

Podsumujmy zatem temat.

Praktyczne wskazówki:

1. Przed rozwiązaniem doprowadzamy równanie kwadratowe do postaci standardowej i budujemy je Prawidłowy.

2. Jeśli przed kwadratem X znajduje się współczynnik ujemny, eliminujemy go, mnożąc całe równanie przez -1.

3. Jeśli współczynniki są ułamkowe, eliminujemy ułamki, mnożąc całe równanie przez odpowiedni współczynnik.

4. Jeśli x kwadrat jest czyste, a jego współczynnik wynosi jeden, rozwiązanie można łatwo zweryfikować, korzystając z twierdzenia Viety. Zrób to!

Teraz możemy podjąć decyzję.)

Rozwiąż równania:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3 x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Odpowiedzi (w nieładzie):

x 1 = 0
x2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - dowolna liczba

x 1 = -3
x2 = 3

żadnych rozwiązań

x 1 = 0,25
x2 = 0,5

Czy wszystko pasuje? Świetnie! Równania kwadratowe nie przyprawiają Cię o ból głowy. Pierwsze trzy zadziałały, ale reszta nie? Zatem problem nie dotyczy równań kwadratowych. Problem polega na identycznych przekształceniach równań. Zerknij na link, jest pomocny.

Nie do końca się sprawdza? A może w ogóle to nie wychodzi? W takim razie sekcja 555 będzie dla Ciebie pomocna. Wszystkie te przykłady są tam omówione. Pokazane główny błędy w rozwiązaniu. Oczywiście mówimy również o zastosowaniu identycznych przekształceń w rozwiązywaniu różnych równań. Bardzo pomaga!

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 lub x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Nauczywszy się rozwiązywać równania pierwszego stopnia, oczywiście chcesz pracować z innymi, w szczególności z równaniami drugiego stopnia, które inaczej nazywane są kwadratowymi.

Równania kwadratowe to równania takie jak ax² + bx + c = 0, gdzie zmienną jest x, liczby to a, b, c, gdzie a nie jest równe zero.

Jeżeli w równaniu kwadratowym jeden lub drugi współczynnik (c lub b) jest równy zero, to równanie to zostanie zaliczone do niepełnego równania kwadratowego.

Jak rozwiązać niepełne równanie kwadratowe, jeśli uczniowie do tej pory potrafili rozwiązywać tylko równania pierwszego stopnia? Rozważmy niekompletne równania kwadratowe różnych typów i proste sposoby ich rozwiązania.

a) Jeżeli współczynnik c jest równy 0, a współczynnik b nie jest równy zero, to ax ² + bx + 0 = 0 sprowadza się do równania w postaci ax ² + bx = 0.

Aby rozwiązać takie równanie, należy znać wzór na rozwiązanie niepełnego równania kwadratowego, który polega na rozłożeniu na czynniki jego lewej strony i późniejszym zastosowaniu warunku, że iloczyn jest równy zero.

Na przykład 5x² - 20x = 0. Rozliczamy lewą stronę równania, wykonując zwykłą operację matematyczną: wyjmując wspólny czynnik z nawiasów

5x (x - 4) = 0

Korzystamy z warunku, że iloczyny są równe zeru.

5 x = 0 lub x - 4 = 0

Odpowiedź będzie następująca: pierwszym pierwiastkiem jest 0; drugi pierwiastek to 4.

b) Jeżeli b = 0, a wyraz wolny nie jest równy zero, to równanie ax ² + 0x + c = 0 sprowadza się do równania w postaci ax ² + c = 0. Równania rozwiązuje się na dwa sposoby : a) rozkładając wielomian równania na czynniki po lewej stronie; b) wykorzystując właściwości arytmetycznego pierwiastka kwadratowego. Takie równanie można rozwiązać jedną z metod, na przykład:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Odpowiedź będzie następująca: pierwszy pierwiastek to 5/2; drugi pierwiastek jest równy - 5/2.

c) Jeżeli b jest równe 0 i c jest równe 0, to ax ² + 0 + 0 = 0 sprowadza się do równania w postaci ax ² = 0. W takim równaniu x będzie równe 0.

Jak widać, niekompletne równania kwadratowe mogą mieć nie więcej niż dwa pierwiastki.

Równanie kwadratowe - łatwe do rozwiązania! *Zwana dalej „KU”. Przyjaciele, wydawałoby się, że w matematyce nie ma nic prostszego niż rozwiązanie takiego równania. Ale coś mi mówiło, że wiele osób ma z nim problemy. Postanowiłem sprawdzić, ile wyświetleń na żądanie Yandex wykonuje miesięcznie. Oto co się stało, spójrz:

Co to znaczy? Oznacza to, że tej informacji szuka miesięcznie około 70 000 osób, a mamy lato i co będzie się działo w trakcie roku szkolnego – zapytań będzie dwa razy więcej. Nie jest to zaskakujące, ponieważ ci chłopcy i dziewczęta, którzy dawno temu ukończyli szkołę i przygotowują się do ujednoliconego egzaminu państwowego, szukają tych informacji, a uczniowie również starają się odświeżyć swoją pamięć.

Pomimo tego, że istnieje wiele stron, które podpowiadają, jak rozwiązać to równanie, zdecydowałem się również wnieść swój wkład i opublikować materiał. Po pierwsze, chcę, aby odwiedzający odwiedzali moją witrynę na podstawie tego żądania; po drugie, w innych artykułach, gdy pojawi się temat „KU”, podam link do tego artykułu; po trzecie, opowiem Ci o jego rozwiązaniu trochę więcej, niż jest to zwykle podawane na innych stronach. Zacznijmy! Treść artykułu:

Równanie kwadratowe to równanie postaci:

gdzie współczynniki a,Bi c są liczbami dowolnymi, gdzie a≠0.

Na kursie szkolnym materiał podawany jest w następującej formie - równania podzielone są na trzy klasy:

1. Mają dwa korzenie.

2. *Mają tylko jeden korzeń.

3. Nie mają korzeni. Warto w tym miejscu szczególnie zaznaczyć, że nie mają one prawdziwego korzenia

Jak obliczane są pierwiastki? Tylko!

Obliczamy dyskryminator. Pod tym „strasznym” słowem kryje się bardzo prosta formuła:

Podstawowe formuły są następujące:

*Musisz znać te formuły na pamięć.

Możesz od razu zapisać i rozwiązać:

Przykład:

1. Jeżeli D > 0, to równanie ma dwa pierwiastki.

2. Jeżeli D = 0, to równanie ma jeden pierwiastek.

3. Jeśli D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Spójrzmy na równanie:

W związku z tym, gdy dyskryminator jest równy zero, kurs szkolny mówi, że uzyskuje się jeden pierwiastek, tutaj jest on równy dziewięć. Wszystko się zgadza, tak jest, ale...

Pomysł ten jest nieco błędny. W rzeczywistości istnieją dwa korzenie. Tak, tak, nie zdziw się, otrzymasz dwa równe pierwiastki, a żeby być precyzyjnym matematycznie, to w odpowiedzi należy wpisać dwa pierwiastki:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ale tak jest - mała dygresja. W szkole możesz to zapisać i powiedzieć, że jest jeden pierwiastek.

Teraz następny przykład:

Jak wiemy, nie można wyciągnąć pierwiastka z liczby ujemnej, więc w tym przypadku nie ma rozwiązania.

To cały proces decyzyjny.

Funkcja kwadratowa.

To pokazuje, jak rozwiązanie wygląda geometrycznie. Jest to niezwykle ważne, aby zrozumieć (w przyszłości w jednym z artykułów szczegółowo przeanalizujemy rozwiązanie nierówności kwadratowej).

Jest to funkcja postaci:

gdzie x i y są zmiennymi

a, b, c – dane liczby, gdzie a ≠ 0

Wykres jest parabolą:

Oznacza to, że rozwiązując równanie kwadratowe z „y” równym zero, znajdujemy punkty przecięcia paraboli z osią x. Mogą być dwa takie punkty (wyróżnik jest dodatni), jeden (wyróżnik ma wartość zero) i żaden (wyróżnik jest ujemny). Szczegóły dotyczące funkcji kwadratowej Możesz obejrzeć artykuł Inny Feldman.

Spójrzmy na przykłady:

Przykład 1: Rozwiąż 2x 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Odpowiedź: x 1 = 8 x 2 = –12

*Można było od razu podzielić lewą i prawą stronę równania przez 2, czyli uprościć. Obliczenia będą łatwiejsze.

Przykład 2: Decydować x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

re = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Ustaliliśmy, że x 1 = 11 i x 2 = 11

W odpowiedzi można zapisać x = 11.

Odpowiedź: x = 11

Przykład 3: Decydować x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

re = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Dyskryminator jest ujemny, w liczbach rzeczywistych nie ma rozwiązań.

Odpowiedź: brak rozwiązania

Wyróżnik jest ujemny. Jest rozwiązanie!

Tutaj porozmawiamy o rozwiązaniu równania w przypadku uzyskania ujemnego dyskryminatora. Czy wiesz coś o liczbach zespolonych? Nie będę tu szczegółowo omawiał, dlaczego i gdzie powstały oraz jaka jest ich specyficzna rola i konieczność w matematyce; jest to temat na obszerny, osobny artykuł.

Pojęcie liczby zespolonej.

Trochę teorii.

Liczba zespolona z jest liczbą postaci

z = a + bi

gdzie aib są liczbami rzeczywistymi, i jest tak zwaną jednostką urojoną.

a+bi – jest to JEDYNA LICZBA, a nie dodatek.

Jednostka urojona jest równa pierwiastkowi z minus jeden:

Rozważmy teraz równanie:

Otrzymujemy dwa sprzężone pierwiastki.

Niekompletne równanie kwadratowe.

Rozważmy szczególne przypadki, gdy współczynnik „b” lub „c” jest równy zero (lub oba są równe zero). Można je łatwo rozwiązać bez żadnych dyskryminatorów.

Przypadek 1. Współczynnik b = 0.

Równanie staje się:

Przekształćmy:

Przykład:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Przypadek 2. Współczynnik c = 0.

Równanie staje się:

Przekształćmy i rozłóżmy na czynniki:

*Iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero.

Przykład:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 lub x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Przypadek 3. Współczynniki b = 0 i c = 0.

Tutaj jest jasne, że rozwiązaniem równania będzie zawsze x = 0.

Przydatne właściwości i wzory współczynników.

Istnieją właściwości, które pozwalają rozwiązywać równania o dużych współczynnikach.

AX 2 + bx+ C=0 obowiązuje równość

A + B+ c = 0, To

- jeśli dla współczynników równania AX 2 + bx+ C=0 obowiązuje równość

A+ c =B, To

Właściwości te pomagają rozwiązać określony typ równania.

Przykład 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

Suma szans wynosi 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, co oznacza

Przykład 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Równość obowiązuje A+ c =B, Oznacza

Regularności współczynników.

1. Jeżeli w równaniu ax 2 + bx + c = 0 współczynnik „b” jest równy (a 2 +1), a współczynnik „c” jest liczbowo równy współczynnikowi „a”, to jego pierwiastki są równe

topór 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Przykład. Rozważmy równanie 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Jeżeli w równaniu ax 2 – bx + c = 0 współczynnik „b” jest równy (a 2 +1), a współczynnik „c” jest liczbowo równy współczynnikowi „a”, to jego pierwiastki są równe

topór 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Przykład. Rozważmy równanie 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Jeśli w równaniu ax 2 + bx – c = 0 współczynnik „b” jest równe (a 2 – 1) i współczynnik „c” jest liczbowo równy współczynnikowi „a”, wtedy jego pierwiastki są równe

topór 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Przykład. Rozważmy równanie 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Jeżeli w równaniu ax 2 – bx – c = 0 współczynnik „b” jest równy (a 2 – 1), a współczynnik c jest liczbowo równy współczynnikowi „a”, to jego pierwiastki są równe

topór 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Przykład. Rozważmy równanie 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Twierdzenie Viety.

Twierdzenie Viety zostało nazwane na cześć słynnego francuskiego matematyka Francois Viety. Korzystając z twierdzenia Viety, możemy wyrazić sumę i iloczyn pierwiastków dowolnego KU w postaci jego współczynników.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

W sumie liczba 14 daje tylko 5 i 9. To są pierwiastki. Przy pewnej wprawie, korzystając z przedstawionego twierdzenia, można od razu ustnie rozwiązać wiele równań kwadratowych.

Twierdzenie Viety dodatkowo. Jest to wygodne, ponieważ po rozwiązaniu równania kwadratowego w zwykły sposób (poprzez dyskryminator) można sprawdzić powstałe pierwiastki. Polecam robić to zawsze.

SPOSÓB TRANSPORTU

Dzięki tej metodzie współczynnik „a” jest mnożony przez wolny termin, jakby „wrzucony” do niego, dlatego nazywa się go metoda „przelewu”. Metodę tę stosuje się, gdy pierwiastki równania można łatwo znaleźć za pomocą twierdzenia Viety i, co najważniejsze, gdy wyróżnik jest dokładnym kwadratem.

Jeśli A± b+c≠ 0, wówczas stosuje się technikę transferu, np.:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Korzystając z twierdzenia Viety w równaniu (2) łatwo jest ustalić, że x 1 = 10 x 2 = 1

Powstałe pierwiastki równania należy podzielić przez 2 (ponieważ dwa zostały „wyrzucone” z x 2), otrzymujemy

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Jakie jest uzasadnienie? Spójrz, co się dzieje.

Dyskryminatory równań (1) i (2) są równe:

Jeśli spojrzysz na pierwiastki równań, otrzymasz tylko różne mianowniki, a wynik zależy dokładnie od współczynnika x 2:

Drugi (zmodyfikowany) ma korzenie 2 razy większe.

Dlatego wynik dzielimy przez 2.

*Jeśli przerzucimy trójkę, wynik podzielimy przez 3 itd.

Odpowiedź: x 1 = 5 x 2 = 0,5

Plac ur-ie i ujednolicony egzamin państwowy.

Opowiem Ci krótko o jego znaczeniu - MUSISZ UMIEĆ DECYZJI szybko i bez zastanowienia, musisz znać na pamięć wzory pierwiastków i wyróżników. Wiele problemów zawartych w zadaniach Unified State Examination sprowadza się do rozwiązania równań kwadratowych (w tym geometrycznych).

Coś wartego uwagi!

1. Forma zapisu równania może być „ukryta”. Na przykład możliwy jest następujący wpis:

15+ 9x 2 - 45x = 0 lub 15x+42+9x 2 - 45x=0 lub 15 -5x+10x 2 = 0.

Musisz doprowadzić to do standardowej formy (aby nie pomylić się przy rozwiązywaniu).

2. Pamiętaj, że x jest wielkością nieznaną i można ją oznaczyć dowolną inną literą - t, q, p, h i innymi.

W tym artykule przyjrzymy się rozwiązywaniu niekompletnych równań kwadratowych.

Ale najpierw powtórzmy, jakie równania nazywane są równaniami kwadratowymi. Równanie w postaci ax 2 + bx + c = 0, gdzie x jest zmienną, a współczynniki a, b i c są liczbami, a a ≠ 0, nazywa się kwadrat. Jak widzimy, współczynnik dla x 2 nie jest równy zeru, dlatego współczynniki dla x lub wyrazu wolnego mogą być równe zeru, w takim przypadku otrzymamy niepełne równanie kwadratowe.

Istnieją trzy typy niepełnych równań kwadratowych:

1) Jeśli b = 0, c ≠ 0, to ax 2 + c = 0;

2) Jeśli b ≠ 0, c = 0, to ax 2 + bx = 0;

3) Jeśli b = 0, c = 0, to ax 2 = 0.

• Zastanówmy się, jak rozwiązać równania postaci ax 2 + c = 0.

Aby rozwiązać równanie, przesuwamy wolny wyraz c na prawą stronę równania, otrzymujemy

topór 2 = ‒s. Ponieważ a ≠ 0, dzielimy obie strony równania przez a, wówczas x 2 = ‒c/a.

Jeżeli ‒с/а > 0, to równanie ma dwa pierwiastki

x = ±√(–c/a) .

Jeśli – c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Spróbujmy zrozumieć na przykładach, jak rozwiązać takie równania.

Przykład 1. Rozwiąż równanie 2x 2 ‒ 32 = 0.

Odpowiedź: x 1 = - 4, x 2 = 4.

Przykład 2. Rozwiąż równanie 2x 2 + 8 = 0.

Odpowiedź: równanie nie ma rozwiązań.

• Zastanówmy się, jak to rozwiązać równania postaci ax 2 + bx = 0.

Aby rozwiązać równanie ax 2 + bx = 0, rozłóżmy je na czynniki, czyli usuńmy x z nawiasów, otrzymamy x(ax + b) = 0. Iloczyn jest równy zeru, jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy do zera. Wtedy albo x = 0, albo ax + b = 0. Rozwiązując równanie ax + b = 0, otrzymujemy ax = - b, skąd x = - b/a. Równanie w postaci ax 2 + bx = 0 ma zawsze dwa pierwiastki x 1 = 0 i x 2 = ‒ b/a. Zobacz jak wygląda rozwiązanie równań tego typu na schemacie.

Utrwalmy naszą wiedzę na konkretnym przykładzie.

Przykład 3. Rozwiąż równanie 3x 2 ‒ 12x = 0.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 lub 3x – 12 = 0

Odpowiedź: x 1 = 0, x 2 = 4.

• Równania trzeciego typu ax 2 = 0 rozwiązuje się bardzo prosto.

Jeżeli ax 2 = 0, to x 2 = 0. Równanie ma dwa równe pierwiastki x 1 = 0, x 2 = 0.

Dla jasności spójrzmy na diagram.

Rozwiązując Przykład 4 upewnijmy się, że równania tego typu dają się rozwiązać bardzo prosto.

Przykład 4. Rozwiąż równanie 7x 2 = 0.

Odpowiedź: x 1, 2 = 0.

Nie zawsze jest od razu jasne, jaki rodzaj niepełnego równania kwadratowego musimy rozwiązać. Rozważ następujący przykład.

Przykład 5. Rozwiązać równanie

Pomnóżmy obie strony równania przez wspólny mianownik, czyli przez 30

Skróćmy to

5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.

Otwórzmy nawiasy

25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.

Dajmy podobne

Przesuńmy 99 z lewej strony równania na prawą, zmieniając znak na przeciwny

Odpowiedź: brak korzeni.

Przyjrzeliśmy się, jak rozwiązuje się niekompletne równania kwadratowe. Mam nadzieję, że teraz nie będziesz miał żadnych trudności z takimi zadaniami. Zachowaj ostrożność przy określaniu rodzaju niekompletnego równania kwadratowego, wtedy odniesiesz sukces.

Jeżeli masz pytania na ten temat zapisz się na moje lekcje, wspólnie rozwiążemy pojawiające się problemy.

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.