Oczekiwanie matematyczne i jego własności.

Charakterystyki numeryczne zmiennych losowych.

Funkcja charakterystyczna.

Wykład nr 5

Sekcja 2. Zmienne losowe.

Temat 1. Funkcja rozkładu, gęstość prawdopodobieństwa i charakterystyka liczbowa zmiennej losowej.

Cel wykładu: przekazać wiedzę na temat sposobów opisu zmiennych losowych.

Pytania z wykładu:

Literatura:

L1 - Bocharov P. P., Pechinkin A. V. Teoria prawdopodobieństwa. Statystyka matematyczna. - wyd. 2 - M.: FIZMATLIT, 2005. - 296 s.

L2 - Gmurman, V. E. Teoria prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna: Podręcznik. podręcznik dla uczelni/V. E. Gmurmana. - wyd. 9, usunięte. - M.: Wyżej. szkoła, 2005. - 479 s.: il.

L3 - Nakhman A.D., Kosenkova I.V. Wydziwianie. Teoria prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Rozwój metodologiczny. – Tambow: Wydawnictwo TSTU, 2009.

L4 - Plotnikova S.V. Statystyka matematyczna. Rozwój metodologiczny. – Tambow: Wydawnictwo TSTU, 2005. (plik pdf)

Przy rozwiązywaniu wielu problemów zamiast funkcji dystrybucji F(x) i p.v. p(x) stosowana jest funkcja charakterystyczna. Za pomocą tej cechy okazuje się wskazane na przykład określenie pewnych liczbowych cech słowa. i z.r. funkcje s.v.

Funkcja charakterystyczna sl.v. nazywa się transformacją Fouriera jej ae. p(x):

, (2.6.1)

gdzie jest parametrem będącym argumentem funkcji charakterystycznej, - m.o. sl.v. (patrz § 2.8.).

Stosując odwrotną transformatę Fouriera otrzymujemy wzór wyznaczający a.e. sl.v. przez swoją charakterystyczną funkcję

. (2.6.2)

Od wymiaru p(x) odwrotność wymiaru X, to ilość , a zatem są bezwymiarowe. Argument ma wymiar odwrotny X.

Korzystanie z reprezentacji (2.5.7) ae p(x) w postaci sumy funkcji delta możemy rozszerzyć wzór (1) na dyskretną r.v.

. (2.6.3)

Czasami zamiast funkcji charakterystycznej wygodniej jest zastosować jej logarytm:

Y. (2.6.4)

Funkcjonować Y można nazwać drugim ( logarytmiczny)funkcja charakterystyczna sl.v. .

Zwróćmy uwagę na najważniejsze właściwości funkcji charakterystycznej.

1. Funkcja charakterystyczna spełnia następujące warunki:

. (2.6.5)

2. Dla rozkładu symetrycznego, kiedy p(x)= p(-x), część urojona w (1) wynosi zero, a zatem funkcja charakterystyczna jest rzeczywistą funkcją parzystą . I odwrotnie, jeśli przyjmuje tylko wartości rzeczywiste, to jest parzyste i odpowiadający mu rozkład jest symetryczny.

3. Jeśli s.v. jest funkcją liniową r.v. , to jego charakterystyczna funkcja jest określona przez wyrażenie

, (2.6.6)

Gdzie A I B- stały.

4. Funkcja charakterystyczna sumy niezależna s.v. jest równy iloczynowi funkcji charakterystycznych terminów, tj. jeśli

. (2.6.7)

Ta właściwość jest szczególnie przydatna, ponieważ w przeciwnym razie znalezienie a.e. ilość sl.v. wiąże się z wielokrotnymi powtórzeniami splotu, co czasami powoduje trudności.

Zatem, biorąc pod uwagę jednoznaczny związek pomiędzy dystrybuantą, gęstością prawdopodobieństwa i funkcją charakterystyczną, tę ostatnią można w równym stopniu zastosować do opisu r.v.

Przykład 2.6.1. Kombinacja kodowa dwóch impulsów jest przesyłana kanałem komunikacyjnym z zakłóceniami. Ze względu na niezależny wpływ zakłóceń na te impulsy, każdy z nich może zostać z prawdopodobieństwem stłumiony Q=0,2. Należy wyznaczyć: I) szereg dystrybucyjny c.v. - liczba impulsów tłumionych przez zakłócenia; 2) funkcja dystrybucji; 3) gęstość prawdopodobieństwa; 4) charakterystyczna funkcja r.v. .

Discrete s.v. może przyjmować trzy wartości (żaden z impulsów nie jest tłumiony), (jeden impuls jest tłumiony), (oba impulsy są tłumione). Prawdopodobieństwa tych wartości są odpowiednio równe:

Swoją drogą, właśnie opowiadałeś się za tym, żeby student nie wiedział nic o jednolitej ciągłości, a teraz oferujesz mu funkcje delta? Odpowiednio, nic nie powiem.

Cieszę się, że znów widzę Cię w temacie z chęcią do dyskusji niezależnie od cech, które mnie osobiście dotyczą. Jestem tobą zainteresowany. Student musi wiedzieć wszystko, o co można go zapytać, ale przede wszystkim musi opanować system pojęć, ich charakterystykę i relacje między nimi i nie powinien ograniczać się do wąskiego kręgu sekcji dyscypliny, którą jest obecnie się uczę i nie powinien też być chodzącym podręcznikiem, który stale zapamiętuje dużą liczbę funkcji, które nie spełniają tego czy innego warunku.
W pierwotnym zadaniu należało ustalić, czy dana funkcja HF jest dowolną zmienną losową. Takie zadanie student otrzymuje po zapoznaniu się z pojęciem HF. Celem rozwiązania takich problemów jest ugruntowanie zrozumienia związku między CP a PR, a także utrwalenie wiedzy o właściwościach CP.
Istnieją dwa sposoby wykazania, że ​​dana funkcja jest HF: albo należy znaleźć odpowiadającą jej funkcję według Fouriera i sprawdzić, czy spełnia ona warunek normalizacji i jest dodatnia, albo należy wykazać nieujemną określoność danej funkcji i odnoszą się do twierdzenia Bochnera-Khinchina. Jednocześnie użycie twierdzeń o przedstawieniu SV w postaci kombinacji liniowej innych SV Rademachera w żaden sposób nie przyczynia się do zrozumienia podstawowych właściwości HF; ponadto, jak wskazałem powyżej, Twoje rozwiązanie zawiera zawoalowany szereg Fouriera, to znaczy faktycznie odpowiada pierwszej metodzie.
Gdy wymagane jest wykazanie, że dana funkcja nie może być HF dowolnego SV, wystarczy ustalić nieprawidłowość jednej z właściwości HF: wartość jednostkowa zerowa, moduł ograniczony przez jeden, uzyskując prawidłowe wartości ​dla chwil PDF, jednolita ciągłość. Sprawdzenie poprawności wartości momentów obliczonych poprzez daną funkcję jest matematycznie równoważnym sprawdzeniem jednostajnej ciągłości w tym sensie, że niespełnienie którejkolwiek z tych właściwości może stanowić samą podstawę do uznania nieprzydatności danej funkcji. Jednak sprawdzanie poprawności wartości momentów jest sformalizowane: rozróżniaj i sprawdzaj. W ogólnym przypadku należy wykazać jednolitą ciągłość, co uzależnia powodzenie rozwiązania problemu od potencjału twórczego ucznia, od jego umiejętności „odgadywania”.
W ramach dyskusji na temat „konstrukcji” SV proponuję rozważyć prosty problem: skonstruujmy SV z HF postaci: Gdzie

α k	(y)=	MÓJ				+∞∫ ϕ k	(X)			(x)dx;
µk(y)				∫ (ϕ (x)						f(x)dx.
Funkcja charakterystyczna zmiennej losowej
Niech Y = e itX, gdzie			X -	zmienna losowa o znanym prawie
rozkład, t – parametr, i =				− 1.
Funkcja charakterystyczna zmienna losowa Zwany
matematyczne oczekiwanie funkcji Y = e itX:
					∑ e itx k p k , dla DSV,
				k = 1
υ X (t ) = M =
					∫ e itX f (x )dx , dla NSV.
Zatem charakterystyka								υ X(t)		i prawo dystrybucji

zmienne losowe są jednoznacznie powiązane Transformata Fouriera. Na przykład gęstość rozkładu f (x) zmiennej losowej X jest jednoznacznie wyrażona poprzez jej charakterystyczną funkcję za pomocą odwrotna transformata Fouriera:

	f(x)=		+∞ υ (t) e− itX dt.
		2 π−∞ ∫
Podstawowe własności funkcji charakterystycznej:
	Funkcja charakterystyczna wielkości Z = aX + b, gdzie X jest losowe
wartość funkcji charakterystycznej υ X (t) jest równa
	υ Z (t) = M [ e it(aX+ b) ] = mi itbυ X (at) .
	Początkowy moment k-tego rzędu zmiennej losowej X jest równy
	α k (x )= υ X (k ) (0)i - k ,

gdzie υ X (k) (0) jest wartością k-tej pochodnej funkcji charakterystycznej w chwili t = 0.

3. Funkcja charakterystyczna sumy	Y = ∑ X k niezależnie
	k = 1

zmienne losowe są równe iloczynowi funkcji charakterystycznych wyrazów:

υ Y(t ) = ∏ υ Xi		(T).
ja = 1
4. Funkcja charakterystyczna normalnej			zmienna losowa z
parametry m i σ są równe:
υ X (t) = eitm −	t 2 σ 2

WYKŁAD 8 Dwuwymiarowe zmienne losowe. Dwuwymiarowe prawo dystrybucji

Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) to zbiór dwóch jednowymiarowych zmiennych losowych, które przyjmują wartości w wyniku tego samego eksperymentu.

Dwuwymiarowe zmienne losowe charakteryzują się zbiorami wartości Ω X, Ω Y ich składowych oraz wspólnym (dwuwymiarowym) prawem rozkładu. W zależności od rodzaju składowych X, Y, wyróżnia się zmienne losowe dyskretne, ciągłe i mieszane.

Dwuwymiarową zmienną losową (X, Y) można przedstawić geometrycznie jako losowy punkt (X, Y) na płaszczyźnie x0y lub jako losowy wektor skierowany od początku do punktu (X, Y).

Dwuwymiarowa funkcja rozkładu dwuwymiarowa zmienna losowa

(X,Y) jest równe prawdopodobieństwu wspólnego wykonania dwóch zdarzeń (X<х } и {Y < у }:

F(x, y) = p(( X< x} { Y< y} ) .

Geometrycznie dwuwymiarowa funkcja rozkładu F(x, y)

uderzenie w losowy punkt (X,Y) w
nieskończony		kwadrant z	przypiąć
punkt (x, y) leżący po lewej stronie i pod nim.
Składnik X przyjął wartości
mniejsza niż rzeczywista liczba x, to jest
	dystrybucja		F X (x ) i
Składnik Y – mniej niż rzeczywisty
liczby y,			dystrybucja
FY(y).

Własności dwuwymiarowej funkcji rozkładu:

1. 0 ≤ F (x, y) ≤ 1.

jest prawdopodobieństwo

. (x, y)

Dowód. Właściwość wynika z definicji funkcji rozkładu jako prawdopodobieństwa: prawdopodobieństwo jest liczbą nieujemną nieprzekraczającą 1.

2. F (–∞, y) = F (x, –∞) = F (–∞, –∞) = 0,F (+∞, +∞) = 1.

3. F (x 1 ,y )≤ F (x 2 ,y ), jeśli x 2 >x 1 ;F (x ,y 1 )≤ F (x ,y 2 ), jeśli y 2 >y 1 .

Dowód. Udowodnimy, że F (x, y) jest funkcją niemalejącą względem

zmienna x. Rozważ prawdopodobieństwo

p(X< x2 , Y< y) = p(X< x1 , Y< y) + p(x1 ≤ X< x2 , Y< y) .

Ponieważ p(X< x 2 ,Y < y )= F (x 2 ,y ), аp (X < x 1 , Y < y ) = F (x 1 , y ) , то

fa (x 2 ,y )− fa (x 1 ,y )= p (x 1 ≤ X< x 2 ,Y < y )F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )≥ 0F (x 2 ,y )≥ F (x 1 ,y ).

Podobnie dla y.

4. Przejście do charakterystyk jednowymiarowych:

	fa (x,∞)= p (X< x ,Y < ∞ )= p (X < x )= F X (x );
	F (∞,y)= p (X< ∞ ,Y < y )= p (Y < y )= F Y (y ).
5. Prawdopodobieństwo trafienia w obszar prostokątny
p (α≤ X ≤ β; δ≤ Υ≤ γ) =
F (β, γ ) −F (β, δ ) −F (α, γ ) +F (α, δ).										(β,γ)
Funkcja dystrybucji - większość
uniwersalny
dystrybucja
używany		opisy jak								(β,δ)
ciągły,		i dyskretny						(α,δ)
dwuwymiarowe zmienne losowe.

Macierz dystrybucji

Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) jest dyskretna, jeśli zbiory wartości jej składowych Ω X i Ω Y są zbiorami przeliczalnymi. Do opisu probabilistycznych charakterystyk takich wielkości wykorzystuje się dwuwymiarową funkcję rozkładu oraz macierz rozkładu.

Macierz dystrybucji to prostokątna tabela zawierająca wartości składnika X − Ω X =( x 1 ,x 2 ,... ,x n ), wartości składnika Y − Ω Y =( y 1 ,y 2 , …,y m ) oraz prawdopodobieństwa wszystkich możliwych par wartości p ij =p (X =x i,Y =y j),i = 1, …,n,j = 1, …,m.

xi\yj
	X ja )= ∑ p ij ,i = 1, ...,n .
	j= 1
3. Przejście do szeregu rozkładu prawdopodobieństwa składowej Y:
	p jot = p (Y = y jot )= ∑ p ij ,j = 1, ...,m .

ja= 1

Dwuwymiarowa gęstość rozkładu

Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y) jest ciągła, jeśli

funkcja rozkładu F (x, y) jest funkcją ciągłą, różniczkowalną dla każdego z argumentów i istnieje druga

pochodna mieszana ∂ 2 F (x, y).

∂ x ∂y

Dwuwymiarowa gęstość rozkładu f(x, y ) charakteryzuje gęstość prawdopodobieństwa w sąsiedztwie punktu o współrzędnych ( x, y ) i jest równa drugiej mieszanej pochodnej funkcji rozkładu:

∫∫ f(x, y) dxdy.

Właściwości gęstości dwuwymiarowej:

1. f (x, y) ≥ 0.

2. Warunek normalizacji:

∞ ∞

∫ ∫ f(x, y) re x re y= 1 .

Podane na całej osi liczbowej według wzoru

X. f. zmienna losowa X z definicji to X. f. jego rozkład prawdopodobieństwa

Metodę związaną z wykorzystaniem X. f. po raz pierwszy zastosował A. M. Lapunow, a później stała się jedną z głównych metod analitycznych. metody teorii prawdopodobieństwa. Jest szczególnie skutecznie stosowany na przykład do dowodzenia twierdzeń granicznych w teorii prawdopodobieństwa. centralne twierdzenie graniczne dla niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie z 2 momentami sprowadza się do zależności elementarnej

Podstawowe właściwości X.f. 1) i dodatnio określone, tj.

Dla dowolnego skończonego zbioru liczb zespolonych i argumentów

2) równomiernie ciągła wzdłuż całej osi

4)w szczególności przyjmuje tylko wartości rzeczywiste (i jest funkcją parzystą) wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednia probabilistyka jest symetryczna, tj. gdzie

5) X. f. jednoznacznie definiuje miarę; jest apel:

Dla dowolnych przedziałów (a, 6), których końce mają zerową miarę m. Jeśli jest całkowalny (absolutnie, jeśli rozumiany w sensie riemannowskim), to odpowiada mu funkcja rozkładu

6) X. f. splot dwóch miar prawdopodobieństwa (suma dwóch niezależnych zmiennych losowych) to ich X. f.

Poniższe trzy właściwości wyrażają związek pomiędzy istnieniem momentów zmiennej losowej a stopniem gładkości jej funkcji X.

7) Jeśli dla jakiegoś naturalnego P, wówczas dla wszystkich naturalnych istnieją pochodne rzędu r z X. f. zmienna losowa X i zachodzi równość

8) Jeśli istnieje, to

9) Jeśli dla wszystkich

wtedy dotyczy to każdego

Stosując metodę X.f opiera się głównie na powyższych własnościach funkcji X., a także na dwóch kolejnych twierdzeniach.
Twierdzenie Bochnera (opis klasy funkcji X.). Niech będzie podana funkcja f i f(0)=1. Aby f było X. f. pewną miarę prawdopodobieństwa, konieczne i wystarczające jest, aby była ciągła i dodatnio określona.
Twierdzenie Levy'ego (zgodność). Niech będzie ciągiem miar prawdopodobieństwa i niech będzie sekwencją ich X.f. Następnie słabo zbiega do pewnej miary prawdopodobieństwa (tj. dla dowolnej ciągłej funkcji ograniczonej wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym punkcie zbiega się do pewnej ciągłej funkcji f; w przypadku zbieżności funkcja Wynika z tego, że względna (w sensie słaba zbieżność) rodziny miar prawdopodobieństwa jest równoważna równociągłości przy zera rodziny odpowiednich funkcji X.
Twierdzenie Bochnera pozwala nam spojrzeć na transformatę Fouriera-Stieltjesa jako półgrupę (w odniesieniu do operacji splotu) miar prawdopodobieństwa w i półgrupę (w odniesieniu do mnożenia punktowego) dodatnio określonych funkcji ciągłych równych jeden przy zera twierdzenie stwierdza, że ​​to algebraiczne. izomorfizm jest również topologiczny. homeomorfizm, jeśli w półgrupie miar prawdopodobieństwa mamy na myśli topologię słabej zbieżności, a w półgrupie dodatnich funkcji określonych - topologię jednostajnej zbieżności na zbiorach ograniczonych.
Wyrażenia X. f. są znane. podstawowe choroby probabilistyczne (patrz,), na przykład X. f. Miara Gaussa ze średnią wariancją to
Dla nieujemnych zmiennych losowych będących liczbami całkowitymi X, Wraz z X. f. używany jest jego analog -

Związany z X. f. stosunek
X. f. miara prawdopodobieństwa w przestrzeni skończenie wymiarowej jest definiowana podobnie:

Gdzie x> oznacza . Sformułowane powyżej fakty dotyczą także X. f. miary prawdopodobieństwa w

Oświetlony.: Łukach E., Funkcje charakterystyczne, przeł. z języka angielskiego, M., 1979; Feller V., Wprowadzenie do teorii prawdopodobieństwa i jej zastosowań, tom 2. przeł. z języka angielskiego, M., 1967; Prochorow Yu. V., Rozanov Yu., Teoria prawdopodobieństwa. Podstawowe koncepcje. Twierdzenia graniczne. Procesy losowe, wyd. 2, M., 1973; 3olotarev V. M., Jednowymiarowe stabilne rozkłady, Moskwa, 1983.
N.H. Wachania.

Encyklopedia matematyczna. - M .: Encyklopedia radziecka. I. M. Winogradow. 1977-1985.

Zobacz, co oznacza „FUNKCJA CHARAKTERYSTYCZNA” w innych słownikach:

Funkcja charakterystyczna: Funkcja charakterystyczna w termodynamice to funkcja, za pomocą której określa się właściwości termodynamiczne układu. Funkcja charakterystyczna zbioru to funkcja ustalająca przynależność elementu do zbioru.... ...Wikipedia

W termodynamice: funkcja stanu niezależnych parametrów określających stan termodynamiki. systemy. Do X. f. obejmują potencjały termodynamiczne i entropijne. Przez X... Encyklopedia fizyczna

funkcja charakterystyczna- Funkcja stanu układu termodynamicznego o odpowiednich niezależnych parametrach termodynamicznych, charakteryzująca się tym, że poprzez tę funkcję i jej pochodne względem tych parametrów wszystkie termodynamiczne ... ... Przewodnik tłumacza technicznego

Funkcja charakterystyczna- w teorii gier kooperacyjnych współczynnik określający wysokość minimalnych wygranych dowolnej koalicji w grze. Kiedy łączą się dwie koalicje, wartość H.f. będzie nie mniejsza niż suma takich funkcji dla niepołączonych... ... Słownik ekonomiczny i matematyczny

funkcja charakterystyczna- būdingoji funkcija statusas T sritis chemija apibrėžtis Būsenos funkcija, kurios diferencialinėmis išraiškomis galima nusakyti visas termodinaminės sistemos savybes. atitikmenys: pol. funkcja charakterystyczna rus. charakterystyczna funkcja... Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

funkcja charakterystyczna- būdingoji funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. funkcja charakterystyczna vok. Charakteristische Funktion, f rus. funkcja charakterystyczna, f pranc. funkcja caractéristique, f… Fizikos terminų žodynas - zbiory Espace X są funkcją równą 1 at i równą 0 at (gdzie CE jest uzupełnieniem Ev X). Każda funkcja o wartościach w (0, 1) jest funkcją X. pewnego zbioru, mianowicie zbioru, Własności funkcji X.: rozłączne parami, to 6) jeśli wtedy... Encyklopedia matematyczna