Popularna teoria prawdopodobieństwa dla manekinów. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Mama umyła ramę


Pod koniec długich wakacji czas powoli powrócić do wyższej matematyki i uroczyście otworzyć pusty plik Verdova, aby rozpocząć tworzenie nowej sekcji - . Przyznam, że pierwsze linijki nie są łatwe, ale pierwszy krok to połowa drogi, dlatego sugeruję każdemu dokładne przestudiowanie artykułu wprowadzającego, po którym opanowanie tematu będzie 2 razy łatwiejsze! Wcale nie przesadzam. …W przeddzień następnego 1 września pamiętam pierwszą klasę i elementarz…. Litery tworzą sylaby, sylaby tworzą słowa, słowa tworzą krótkie zdania – Mama umyła ramkę. Opanowanie statystyki obrotu i matematyki jest tak proste, jak nauka czytania! Jednak do tego trzeba znać kluczowe terminy, pojęcia i oznaczenia, a także pewne szczegółowe zasady, które są przedmiotem tej lekcji.

Ale najpierw proszę przyjąć moje gratulacje z okazji rozpoczęcia (kontynuacji, ukończenia, odpowiedniego zaznaczenia) roku szkolnego i przyjąć prezent. Najlepszym prezentem jest książka, a do samodzielnej pracy polecam następującą literaturę:

1) Gmurman VE Teoria prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna

Legendarny podręcznik, który doczekał się ponad dziesięciu wznowień. Wyróżnia się przystępnością i niezwykle prostym przedstawieniem materiału, a pierwsze rozdziały są w pełni przystępne, jak sądzę, już dla uczniów klas 6-7.

2) Gmurman VE Przewodnik po rozwiązywaniu problemów z teorii prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej

Książka z rozwiązaniami tego samego Władimira Efimowicza ze szczegółowymi przykładami i problemami.

KONIECZNIE pobierz obie książki z Internetu lub zdobądź ich papierowe oryginały! Sprawdzi się także wersja z lat 60. i 70., która jest jeszcze lepsza dla manekinów. Choć sformułowanie „teoria prawdopodobieństwa dla manekinów” brzmi dość absurdalnie, skoro prawie wszystko ogranicza się do elementarnych operacji arytmetycznych. Miejscami jednak przeskakują pochodne I całki, ale to tylko miejscami.

Postaram się osiągnąć tę samą klarowność prezentacji, ale muszę ostrzec, że mój kurs ma na celu rozwiązywanie problemów a obliczenia teoretyczne ograniczono do minimum. Tak więc, jeśli potrzebujesz szczegółowej teorii, dowodów twierdzeń (twierdzeń-twierdzeń!), Sięgnij do podręcznika. No kto chce nauczyć się rozwiązywać problemy w teorii prawdopodobieństwa i statystyce matematycznej w możliwie najkrótszym czasie, chodź za mną!

Na początek wystarczy =)

W trakcie lektury artykułów wskazane jest zapoznanie się (przynajmniej pobieżnie) z dodatkowymi zadaniami rozważanych typów. Na stronie Gotowe rozwiązania dla matematyki wyższej Odpowiednie pliki pdf z przykładami rozwiązań zostaną opublikowane. Zapewniona zostanie również znacząca pomoc IDZ 18.1 Ryabuszka(prostsze) i rozwiązał IDZ według kolekcji Chudesenko(trudniejsze).

1) Kwota dwa zdarzenia i nazywa się je wydarzeniem, które oznacza, że ​​to się stanie Lub wydarzenie Lub wydarzenie Lub oba wydarzenia w tym samym czasie. W przypadku takich wydarzeń niekompatybilny, ostatnia opcja znika, czyli może wystąpić Lub wydarzenie Lub wydarzenie .

Reguła dotyczy również większej liczby terminów, np. wydarzenie to się stanie przynajmniej jeden z wydarzeń , A jeśli zdarzenia są niezgodne – wtedy jedna rzecz i tylko jedna rzecz wydarzenie od tej kwoty: Lub wydarzenie , Lub wydarzenie , Lub wydarzenie , Lub wydarzenie , Lub wydarzenie .

Istnieje wiele przykładów:

Pojawią się zdarzenia (przy rzucie kostką nie pojawi się 5 punktów). Lub 1, Lub 2, Lub 3, Lub 4, Lub 6 punktów.

Wydarzenie (spadnie już nie dwa punkty) oznacza, że ​​pojawi się 1 Lub 2zwrotnica.

Wydarzenie (będzie parzysta liczba punktów) – oto co się pojawi Lub 2 Lub 4 Lub 6 punktów.

Wydarzenie polega na tym, że z talii zostanie wylosowana czerwona karta (serce). Lub tamburyn) i wydarzenie – że „obrazek” zostanie wyodrębniony (jack Lub dama Lub król Lub as).

Nieco ciekawiej jest w przypadku wspólnych wydarzeń:

Wydarzenie polega na tym, że z talii zostanie losowany kij Lub siedem Lub siedem klubów Zgodnie z definicją podaną powyżej, Przynajmniej coś- lub dowolny trefl lub dowolna siódemka lub ich „przecięcie” - siódemka trefl. Łatwo policzyć, że temu wydarzeniu odpowiada 12 wyników elementarnych (9 kart klubowych + 3 pozostałe siódemki).

Wydarzenie jest takie, że jutro o 12.00 nadejdzie CO NAJMNIEJ JEDNO z możliwych do zsumowania wspólnych wydarzeń, a mianowicie:

– albo będzie tylko deszcz / tylko burza / tylko słońce;
– lub nastąpi tylko para zdarzeń (deszcz + burza / deszcz + słońce / burza + słońce);
– lub wszystkie trzy zdarzenia pojawią się jednocześnie.

Oznacza to, że wydarzenie obejmuje 7 możliwych wyników.

Drugi filar algebry zdarzeń:

2) Praca dwa zdarzenia i wywołać zdarzenie, które polega na wspólnym wystąpieniu tych zdarzeń, czyli mnożenie oznacza, że ​​w pewnych okolicznościach nastąpi I wydarzenie , I wydarzenie . Podobne stwierdzenie odnosi się do większej liczby wydarzeń, np. dzieło sugeruje, że pod pewnymi warunkami to nastąpi I wydarzenie , I wydarzenie , I wydarzenie , …, I wydarzenie .

Rozważmy test, w którym rzuca się dwiema monetami oraz następujące wydarzenia:

– na pierwszej monecie pojawią się reszki;
– pierwsza moneta wyrzuci reszkę;
– na drugiej monecie pojawią się reszki;
– druga moneta wyrzuci reszkę.

Następnie:
I na 2.) pojawią się głowy;
– zdarzenie jest takie, że na obu monetach (1 I po 2) będą to głowy;
– zdarzenie jest takie, że pierwsza moneta wyrzuci reszkę I druga moneta to reszka;
– zdarzenie jest takie, że pierwsza moneta wyrzuci reszkę I na drugiej monecie orzeł.

Łatwo jest zobaczyć te wydarzenia niekompatybilny (bo np. nie mogą być jednocześnie 2 orły i 2 reszki) i forma pełna grupa (ponieważ wzięto pod uwagę Wszystko możliwe wyniki rzutu dwiema monetami). Podsumujmy te wydarzenia: . Jak interpretować ten wpis? Bardzo proste - mnożenie oznacza spójnik logiczny I i dodatek – LUB. Dzięki temu kwotę można łatwo odczytać w zrozumiałym dla człowieka języku: „pojawią się dwie głowy Lub dwie głowy Lub pierwsza moneta wyrzuci reszkę I na 2. ogonach Lub pierwsza moneta wyrzuci reszkę I na drugiej monecie orzeł”

To był przykład kiedy w jednym teście w grę wchodzi kilka obiektów, w tym przypadku dwie monety. Innym powszechnym schematem w problemach praktycznych jest ponowne testowanie , gdy na przykład rzucimy tą samą kostką 3 razy z rzędu. Jako demonstrację rozważ następujące zdarzenia:

– w pierwszym rzucie otrzymasz 4 punkty;
– w drugim rzucie otrzymasz 5 punktów;
– w trzecim rzucie otrzymasz 6 punktów.

Potem wydarzenie jest to, że w pierwszym rzucie otrzymasz 4 punkty I w drugim rzucie otrzymasz 5 punktów I przy trzecim rzucie otrzymasz 6 punktów. Oczywiście w przypadku kostki będzie znacznie więcej kombinacji (wyników) niż gdybyśmy rzucali monetą.

...Rozumiem, że być może analizowane przykłady nie są zbyt ciekawe, ale to są rzeczy, które często spotyka się w problemach i nie ma od nich ucieczki. Oprócz monety, kostki i talii kart czekają na Ciebie urny z wielobarwnymi kulkami, kilka anonimowych osób strzelających do celu i niestrudzony robotnik, który ciągle dopracowuje pewne szczegóły =)

Prawdopodobieństwo zdarzenia

Prawdopodobieństwo zdarzenia jest centralną koncepcją teorii prawdopodobieństwa. ...Zabójczo logiczna rzecz, ale od czegoś trzeba było zacząć =) Istnieje kilka podejść do jej definicji:

;
Geometryczna definicja prawdopodobieństwa ;
Statystyczna definicja prawdopodobieństwa .

W tym artykule skupię się na klasycznej definicji prawdopodobieństwa, która jest najczęściej stosowana w zadaniach edukacyjnych.

Oznaczenia. Prawdopodobieństwo określonego zdarzenia jest oznaczone dużą literą łacińską, a samo wydarzenie jest ujęte w nawiasy, pełniąc rolę pewnego rodzaju argumentu. Na przykład:


Ponadto mała litera jest powszechnie używana do oznaczania prawdopodobieństwa. W szczególności można zrezygnować z uciążliwego oznaczania zdarzeń i ich prawdopodobieństw na rzecz następującego stylu:

– prawdopodobieństwo, że w rzucie monetą wypadnie orzeł;
– prawdopodobieństwo, że rzut kostką zakończy się wynikiem 5 punktów;
– prawdopodobieństwo, że z talii zostanie wylosowana karta w kolorze treflowym.

Ta opcja jest popularna przy rozwiązywaniu problemów praktycznych, ponieważ pozwala znacznie ograniczyć rejestrację rozwiązania. Podobnie jak w pierwszym przypadku, wygodnie jest tutaj zastosować „mówiące” indeksy dolne/górne.

Wszyscy od dawna zgadli liczby, które właśnie zapisałem powyżej, a teraz dowiemy się, jak się potoczyły:

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa:

Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w określonym teście nazywa się współczynnikiem, gdzie:

– łączna liczba wszystkich równie możliwe, podstawowy wyniki tego testu, które tworzą pełen zespół wydarzeń;

- ilość podstawowy wyniki, korzystny wydarzenie.

Podczas rzucania monetą mogą wypaść orzeł lub reszka - powstają te zdarzenia pełna grupa, a zatem całkowita liczba wyników; jednocześnie każdy z nich podstawowy I równie możliwe. Wydarzeniu sprzyja wynik (reszki). Zgodnie z klasyczną definicją prawdopodobieństwa: .

Podobnie w wyniku rzutu kostką mogą pojawić się elementarne, równie możliwe wyniki, tworzące kompletną grupę, a zdarzeniu sprzyja pojedynczy wynik (wyrzucenie piątki). Dlatego: NIE JEST TO DOPUSZCZONE (chociaż nie jest zabronione szacowanie procentów w głowie).

Zwyczajowo używa się ułamków jednostki i, oczywiście, prawdopodobieństwo może się różnić w obrębie . Co więcej, jeśli , to zdarzenie jest niemożliwe, Jeśli - niezawodny, a jeśli , to mówimy o losowy wydarzenie.

! Jeśli podczas rozwiązywania dowolnego problemu otrzymasz inną wartość prawdopodobieństwa, poszukaj błędu!

W klasycznym podejściu do wyznaczania prawdopodobieństwa wartości ekstremalne (zero i jeden) uzyskuje się dokładnie w ten sam sposób. Z urny zawierającej 10 kul czerwonych losujemy 1 kulę. Rozważ następujące zdarzenia:

w pojedynczej próbie nie wystąpi zdarzenie o niskim prawdopodobieństwie.

Dlatego nie trafisz głównej wygranej na loterii, jeśli prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi, powiedzmy, 0,00000001. Tak, tak, to Ty – z jedynym biletem w danym obiegu. Jednak większa liczba biletów i większa liczba rysunków niewiele Ci pomoże. ...Kiedy opowiadam o tym innym, prawie zawsze słyszę w odpowiedzi: „ale ktoś wygrywa”. OK, w takim razie wykonajmy następujący eksperyment: proszę dzisiaj lub jutro kupić los na dowolną loterię (nie zwlekaj!). A jeśli wygrasz... cóż, przynajmniej ponad 10 kilorubli, koniecznie zarejestruj się - wyjaśnię, dlaczego tak się stało. Oczywiście procentowo =) =)

Ale nie ma co się smucić, bo obowiązuje zasada odwrotna: jeśli prawdopodobieństwo jakiegoś zdarzenia jest bardzo bliskie jedności, to w jednej próbie tak się stanie prawie pewien stanie się. Dlatego przed skokiem ze spadochronem nie ma się czego bać, wręcz przeciwnie – uśmiechaj się! Przecież muszą zaistnieć zupełnie nie do pomyślenia i fantastyczne okoliczności, aby oba spadochrony uległy awarii.

Choć to wszystko jest liryzmem, gdyż w zależności od treści wydarzenia pierwsza zasada może okazać się wesoła, a druga – smutna; lub nawet oba są równoległe.

Może na razie wystarczy, na zajęciach Klasyczne problemy prawdopodobieństwa wyciągniemy najwięcej z formuły. W końcowej części tego artykułu rozważymy jedno ważne twierdzenie:

Suma prawdopodobieństw zdarzeń tworzących pełną grupę jest równa jeden. Z grubsza rzecz biorąc, jeśli zdarzenia tworzą kompletną grupę, to ze 100% prawdopodobieństwem jedno z nich nastąpi. W najprostszym przypadku kompletną grupę tworzą przeciwne zdarzenia, na przykład:

– w wyniku rzutu monetą pojawią się reszki;
– wynikiem rzutu monetą będą reszki.

Zgodnie z twierdzeniem:

Jest całkowicie jasne, że zdarzenia te są jednakowo możliwe, a ich prawdopodobieństwa są takie same .

Ze względu na równość prawdopodobieństw często nazywane są zdarzeniami równie możliwymi równie prawdopodobne . A oto łamacz języka do określenia stopnia zatrucia =)

Przykład z sześcianem: zdarzenia są zatem odwrotne .

Rozważane twierdzenie jest wygodne, ponieważ pozwala szybko znaleźć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego. Jeśli więc znane jest prawdopodobieństwo, że wypadnie piątka, łatwo jest obliczyć prawdopodobieństwo, że wypadnie piątka:

Jest to znacznie prostsze niż zsumowanie prawdopodobieństw pięciu elementarnych wyników. Nawiasem mówiąc, dla wyników elementarnych to twierdzenie jest również prawdziwe:
. Na przykład, jeśli jest prawdopodobieństwem, że strzelec trafi w cel, to jest prawdopodobieństwo, że spudłuje.

! W teorii prawdopodobieństwa niepożądane jest używanie liter do jakichkolwiek innych celów.

Na cześć Dnia Wiedzy nie zadam pracy domowej =), ale bardzo ważne jest, abyś odpowiedział na następujące pytania:

– Jakie rodzaje wydarzeń istnieją?
– Czym jest szansa i równość zdarzenia?
– Jak rozumiesz pojęcie zgodności/niekompatybilności zdarzeń?
– Co to jest kompletna grupa zdarzeń, zdarzeń przeciwstawnych?
– Co oznacza dodawanie i mnożenie zdarzeń?
– Jaka jest istota klasycznej definicji prawdopodobieństwa?
– Dlaczego twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń tworzących kompletną grupę jest przydatne?

Nie, nie trzeba niczego wkuwać, to tylko podstawy teorii prawdopodobieństwa – swego rodzaju elementarz, który szybko wpadnie Ci do głowy. Aby stało się to jak najszybciej, sugeruję zapoznanie się z lekcjami

Teoria prawdopodobieństwa to dział matematyki badający wzorce zjawisk losowych: zdarzenia losowe, zmienne losowe, ich właściwości i operacje na nich.

Przez długi czas teoria prawdopodobieństwa nie miała jasnej definicji. Został on sformułowany dopiero w 1929 r. Pojawienie się teorii prawdopodobieństwa jako nauki datuje się na średniowiecze i pierwsze próby matematycznej analizy gier hazardowych (płatki, kości, ruletka). Francuscy matematycy XVII wieku Blaise Pascal i Pierre Fermat, badając przewidywanie wygranych w grach hazardowych, odkryli pierwsze probabilistyczne wzorce powstające podczas rzucania kostkami.

Teoria prawdopodobieństwa powstała jako nauka z przekonania, że ​​masowe zdarzenia losowe opierają się na pewnych wzorcach. Teoria prawdopodobieństwa bada te wzorce.

Teoria prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem zdarzeń, których wystąpienie nie jest znane z całą pewnością. Pozwala ocenić stopień prawdopodobieństwa wystąpienia niektórych zdarzeń w porównaniu z innymi.

Przykładowo: nie da się jednoznacznie określić wyniku „orła” lub „reszka” w wyniku rzucenia monetą, ale przy wielokrotnym rzucie pojawia się w przybliżeniu taka sama liczba „orłów” i „reszek”, co oznacza, że prawdopodobieństwo, że spadną „reszki” lub „reszki”, wynosi 50%.

Test w tym przypadku nazywa się spełnieniem określonego zestawu warunków, czyli w tym przypadku rzutem monetą. W wyzwanie można grać nieograniczoną liczbę razy. W tym przypadku zbiór warunków obejmuje czynniki losowe.

Wynik testu jest wydarzenie. Wydarzenie ma miejsce:

  1. Niezawodny (zawsze powstaje w wyniku testów).
  2. Niemożliwe (nigdy się nie zdarza).
  3. Losowe (może wystąpić lub nie w wyniku testu).

Na przykład podczas rzucania monetą zdarzenie niemożliwe - moneta wyląduje na krawędzi, zdarzenie losowe - pojawienie się „reszki” lub „reszki”. Konkretny wynik testu nazywa się wydarzenie elementarne. W wyniku testu zachodzą jedynie zdarzenia elementarne. Zbiór wszystkich możliwych, różnych, specyficznych wyników testu nazywa się przestrzeń zdarzeń elementarnych.

Podstawowe pojęcia teorii

Prawdopodobieństwo- stopień możliwości wystąpienia zdarzenia. Kiedy przyczyny faktycznego wystąpienia jakiegoś możliwego zdarzenia przeważają nad przyczynami przeciwstawnymi, wówczas zdarzenie to nazywa się prawdopodobnym, w przeciwnym razie - mało prawdopodobnym lub nieprawdopodobnym.

Losowa wartość- jest to wielkość, która w wyniku badania może przyjąć taką czy inną wartość, ale nie wiadomo z góry jaką. Na przykład: liczba przypadająca na remizę dziennie, liczba trafień przy 10 strzałach itp.

Zmienne losowe można podzielić na dwie kategorie.

  1. Dyskretna zmienna losowa to wielkość, która w wyniku badania może z pewnym prawdopodobieństwem przyjąć określone wartości, tworząc zbiór przeliczalny (zbiór, którego elementy można ponumerować). Zbiór ten może być skończony lub nieskończony. Na przykład liczba strzałów przed pierwszym trafieniem w tarczę jest dyskretną zmienną losową, ponieważ ilość ta może przyjmować nieskończoną, aczkolwiek przeliczalną liczbę wartości.
  2. Ciągła zmienna losowa jest wielkością, która może przyjąć dowolną wartość z pewnego skończonego lub nieskończonego przedziału. Oczywiście liczba możliwych wartości ciągłej zmiennej losowej jest nieskończona.

Przestrzeń prawdopodobieństwa- koncepcja wprowadzona przez A.N. Kołmogorow w latach 30. XX wieku sformalizował pojęcie prawdopodobieństwa, co dało początek szybkiemu rozwojowi teorii prawdopodobieństwa jako ścisłej dyscypliny matematycznej.

Przestrzeń prawdopodobieństwa to trójka (czasami ujęta w nawiasy ostre: , gdzie

Jest to dowolny zbiór, którego elementy nazywane są zdarzeniami elementarnymi, wynikami lub punktami;
- algebra sigma podzbiorów zwanych zdarzeniami (losowymi);
- miara prawdopodobieństwa lub prawdopodobieństwo, tj. dodatek sigma, skończona miara taka, że ​​.

Twierdzenie de Moivre’a-Laplace’a- jedno z twierdzeń granicznych teorii prawdopodobieństwa, ustanowione przez Laplace'a w 1812 roku. Stwierdza, że ​​liczba sukcesów przy powtarzaniu tego samego losowego eksperymentu z dwoma możliwymi wynikami ma w przybliżeniu rozkład normalny. Pozwala znaleźć przybliżoną wartość prawdopodobieństwa.

Jeżeli dla każdej z niezależnych prób prawdopodobieństwo wystąpienia jakiegoś zdarzenia losowego jest równe () i jest liczbą prób, w których rzeczywiście ono zachodzi, to prawdopodobieństwo, że nierówność jest prawdziwa, jest bliskie (dla dużych wartości) prawdopodobieństwu wartość całki Laplace'a.

Funkcja rozkładu w teorii prawdopodobieństwa- funkcja charakteryzująca rozkład zmiennej losowej lub wektora losowego; prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie wartość mniejszą lub równą x, gdzie x jest dowolną liczbą rzeczywistą. Jeśli zostaną spełnione znane warunki, całkowicie determinuje to zmienną losową.

Wartość oczekiwana- średnia wartość zmiennej losowej (jest to rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej rozpatrywany w teorii prawdopodobieństwa). W literaturze anglojęzycznej oznacza się to przez , w języku rosyjskim - . W statystyce często używa się tego zapisu.

Niech będzie dana przestrzeń prawdopodobieństwa i zdefiniowana w niej zmienna losowa. Jest to z definicji funkcja mierzalna. Następnie, jeśli istnieje całka Lebesgue'a po przestrzeni, nazywa się ją oczekiwaniem matematycznym lub wartością średnią i oznacza się ją.

Wariancja zmiennej losowej- miara rozrzutu danej zmiennej losowej, czyli jej odchylenia od oczekiwań matematycznych. Jest oznaczony w literaturze rosyjskiej i zagranicznej. W statystyce często używany jest zapis lub. Pierwiastek kwadratowy wariancji nazywany jest odchyleniem standardowym, odchyleniem standardowym lub rozrzutem standardowym.

Niech będzie zmienną losową zdefiniowaną na jakiejś przestrzeni prawdopodobieństwa. Następnie

gdzie symbol oznacza oczekiwanie matematyczne.

W teorii prawdopodobieństwa nazywane są dwa zdarzenia losowe niezależny, jeżeli wystąpienie jednego z nich nie zmienia prawdopodobieństwa wystąpienia drugiego. Podobnie wywoływane są dwie zmienne losowe zależny, jeśli wartość jednego z nich wpływa na prawdopodobieństwo wartości drugiego.

Najprostszą formą prawa wielkich liczb jest twierdzenie Bernoulliego, które stwierdza, że ​​jeśli prawdopodobieństwo zdarzenia jest takie samo we wszystkich próbach, to wraz ze wzrostem liczby prób częstotliwość zdarzenia zmierza do prawdopodobieństwa zdarzenia i przestaje być losowe.

Prawo wielkich liczb w teorii prawdopodobieństwa stwierdza, że ​​średnia arytmetyczna skończonej próbki z ustalonego rozkładu jest bliska średniej teoretycznej tego rozkładu. W zależności od rodzaju zbieżności rozróżnia się słabe prawo dużych liczb, gdy zbieżność zachodzi na podstawie prawdopodobieństwa, oraz silne prawo dużych liczb, gdy zbieżność jest prawie pewna.

Ogólne znaczenie prawa wielkich liczb jest takie, że wspólne działanie dużej liczby identycznych i niezależnych czynników losowych prowadzi do wyniku, który w pewnym zakresie nie zależy od przypadku.

Na tej właściwości opierają się metody szacowania prawdopodobieństwa na podstawie analizy próbek skończonych. Wyraźnym przykładem jest prognoza wyników wyborów na podstawie badania próby wyborców.

Centralne twierdzenia graniczne- klasa twierdzeń teorii prawdopodobieństwa stwierdzająca, że ​​suma dostatecznie dużej liczby słabo zależnych zmiennych losowych, które mają w przybliżeniu takie same skale (żaden z terminów nie dominuje ani nie ma decydującego udziału w sumie) ma rozkład zbliżony do normalnego.

Ponieważ wiele zmiennych losowych w aplikacjach powstaje pod wpływem kilku słabo zależnych czynników losowych, ich rozkład uważa się za normalny. W takim przypadku musi być spełniony warunek, że żaden z czynników nie jest dominujący. Centralne twierdzenia graniczne w tych przypadkach uzasadniają zastosowanie rozkładu normalnego.

„Wypadki nie są przypadkowe”… Brzmi to jak powiedzenie filozofa, ale tak naprawdę badanie przypadkowości jest przeznaczeniem wielkiej nauki, jaką jest matematyka. W matematyce przypadek zajmuje się teorią prawdopodobieństwa. W artykule zostaną zaprezentowane formuły i przykłady zadań, a także główne definicje tej nauki.

Co to jest teoria prawdopodobieństwa?

Teoria prawdopodobieństwa jest jedną z dyscyplin matematycznych badającą zdarzenia losowe.

Aby było to trochę jaśniejsze, podamy mały przykład: jeśli rzucisz monetę w górę, może wypaść orzeł lub reszka. Gdy moneta jest w powietrzu, możliwe są oba prawdopodobieństwa. Oznacza to, że prawdopodobieństwo możliwych konsekwencji wynosi 1:1. Jeśli zostanie wylosowany z talii 36 kart, prawdopodobieństwo zostanie wskazane jako 1:36. Wydawać by się mogło, że nie ma tu co badać i przewidywać, zwłaszcza za pomocą wzorów matematycznych. Jeśli jednak powtarzasz daną czynność wiele razy, możesz zidentyfikować pewien wzorzec i na jego podstawie przewidzieć wynik zdarzeń w innych warunkach.

Podsumowując wszystko powyższe, teoria prawdopodobieństwa w klasycznym sensie bada możliwość wystąpienia jednego z możliwych zdarzeń w wartości liczbowej.

Z kart historii

Teoria prawdopodobieństwa, wzory i przykłady pierwszych zadań pojawiły się w odległym średniowieczu, kiedy pojawiły się pierwsze próby przewidywania wyniku gier karcianych.

Początkowo teoria prawdopodobieństwa nie miała nic wspólnego z matematyką. Uzasadniano to faktami empirycznymi lub właściwościami zdarzenia dającymi się odtworzyć w praktyce. Pierwsze prace z tego zakresu jako dyscypliny matematycznej pojawiły się w XVII wieku. Założycielami byli Blaise Pascal i Pierre Fermat. Długo studiowali hazard i dostrzegli pewne prawidłowości, o których postanowili powiedzieć opinii publicznej.

Tę samą technikę wynalazł Christiaan Huygens, choć nie znał wyników badań Pascala i Fermata. Wprowadził on pojęcie „teorii prawdopodobieństwa”, wzory i przykłady, które uważane są za pierwsze w historii dyscypliny.

Niemałe znaczenie mają także prace Jacoba Bernoulliego, twierdzenia Laplace'a i Poissona. Sprawili, że teoria prawdopodobieństwa bardziej przypominała dyscyplinę matematyczną. Teoria prawdopodobieństwa, wzory i przykłady podstawowych zadań otrzymały swoją obecną formę dzięki aksjomatom Kołmogorowa. W wyniku tych wszystkich zmian teoria prawdopodobieństwa stała się jedną z gałęzi matematyki.

Podstawowe pojęcia teorii prawdopodobieństwa. Wydarzenia

Główną koncepcją tej dyscypliny jest „wydarzenie”. Istnieją trzy typy wydarzeń:

  • Niezawodny. Te, które i tak się wydarzą (moneta spadnie).
  • Niemożliwe. Wydarzenia, które w żadnym wypadku nie będą miały miejsca (moneta pozostanie w powietrzu).
  • Losowy. Te, które się wydarzą lub nie. Wpływ na nie mogą mieć różne czynniki, które są bardzo trudne do przewidzenia. Jeśli mówimy o monecie, na wynik mogą mieć wpływ czynniki losowe: cechy fizyczne monety, jej kształt, pierwotne położenie, siła rzutu itp.

Wszystkie zdarzenia w przykładach oznaczono wielkimi literami łacińskimi, z wyjątkiem P, które pełni inną rolę. Na przykład:

  • A = „studenci przyszli na wykład”.
  • Ā = „studenci nie przyszli na wykład”.

W zadaniach praktycznych zdarzenia są zwykle zapisywane słownie.

Jedną z najważniejszych cech zdarzeń jest ich równość możliwości. Oznacza to, że jeśli rzucisz monetą, możliwe są wszystkie warianty początkowego upadku, dopóki nie spadnie. Ale zdarzenia również nie są równie możliwe. Dzieje się tak, gdy ktoś celowo wpływa na wynik. Na przykład „oznaczone” karty do gry lub kości, w których środek ciężkości jest przesunięty.

Zdarzenia mogą być również kompatybilne i niekompatybilne. Zdarzenia zgodne nie wykluczają wzajemnego wystąpienia. Na przykład:

  • A = „uczeń przyszedł na wykład”.
  • B = „uczeń przyszedł na wykład”.

Zdarzenia te są od siebie niezależne i wystąpienie jednego z nich nie ma wpływu na wystąpienie drugiego. Zdarzenia niezgodne definiuje się przez fakt, że wystąpienie jednego wyklucza wystąpienie drugiego. Jeśli mówimy o tej samej monecie, to utrata „resztek” uniemożliwia pojawienie się „resztek” w tym samym eksperymencie.

Działania na zdarzeniach

Zdarzenia można mnożyć i dodawać, w dyscyplinie wprowadzane są spójniki logiczne „AND” i „OR”.

Kwota jest ustalana na podstawie faktu, że zdarzenie A, B lub dwa mogą wystąpić jednocześnie. Jeśli są one niezgodne, ostatnia opcja jest niemożliwa; zostanie wyrzucony albo A, albo B.

Mnożenie zdarzeń polega na jednoczesnym pojawieniu się A i B.

Teraz możemy podać kilka przykładów, aby lepiej zapamiętać podstawy, teorię prawdopodobieństwa i wzory. Poniżej przykłady rozwiązań problemów.

Ćwiczenie 1: Firma bierze udział w konkursie na kontrakty na trzy rodzaje prac. Możliwe zdarzenia, które mogą wystąpić:

  • A = „firma otrzyma pierwszy kontrakt”.
  • A 1 = „firma nie otrzyma pierwszego kontraktu”.
  • B = „firma otrzyma drugi kontrakt”.
  • B 1 = „firma nie otrzyma drugiego zamówienia”
  • C = „firma otrzyma trzeci kontrakt”.
  • C 1 = „firma nie otrzyma trzeciego kontraktu”.

Używając akcji na zdarzeniach, spróbujemy wyrazić następujące sytuacje:

  • K = „firma otrzyma wszystkie kontrakty”.

W formie matematycznej równanie będzie miało następującą postać: K = ABC.

  • M = „firma nie otrzyma ani jednego kontraktu.”

M = ZA 1 B 1 do 1.

Skomplikujmy zadanie: H = „firma otrzyma jeden kontrakt”. Ponieważ nie wiadomo, jaki kontrakt otrzyma firma (pierwszy, drugi czy trzeci), konieczne jest zarejestrowanie całego spektrum możliwych zdarzeń:

H = ZA 1 BC 1 υ AB 1 do 1 υ ZA 1 B 1 C.

A 1 p.n.e. 1 to seria wydarzeń, w których firma nie otrzymuje pierwszego i trzeciego kontraktu, ale otrzymuje drugi. Inne możliwe zdarzenia rejestrowano przy użyciu odpowiedniej metody. Symbol υ w dyscyplinie oznacza łącznik „OR”. Jeśli przełożymy powyższy przykład na ludzki język, firma otrzyma albo trzeci kontrakt, albo drugi, albo pierwszy. W podobny sposób możesz zapisać inne warunki w dyscyplinie „Teoria prawdopodobieństwa”. Przedstawione powyżej formuły i przykłady rozwiązywania problemów pomogą Ci to zrobić samodzielnie.

Właściwie prawdopodobieństwo

Być może w tej dyscyplinie matematycznej prawdopodobieństwo zdarzenia jest pojęciem centralnym. Istnieją 3 definicje prawdopodobieństwa:

  • klasyczny;
  • statystyczny;
  • geometryczny.

Każdy ma swoje miejsce w badaniu prawdopodobieństwa. Teoria prawdopodobieństwa, wzory i przykłady (klasa 9) wykorzystują głównie klasyczną definicję, która brzmi następująco:

  • Prawdopodobieństwo sytuacji A jest równe stosunkowi liczby wyników sprzyjających jej wystąpieniu do liczby wszystkich możliwych wyników.

Wzór wygląda następująco: P(A)=m/n.

A jest właściwie wydarzeniem. Jeśli pojawi się przypadek przeciwny do A, można go zapisać jako Ā lub A 1 .

m to liczba możliwych korzystnych przypadków.

n - wszystkie zdarzenia, które mogą się wydarzyć.

Na przykład A = „dobierz kartę w kolorze kier”. W standardowej talii znajduje się 36 kart, z czego 9 to kier. W związku z tym formuła rozwiązania problemu będzie wyglądać następująco:

P(A)=9/36=0,25.

W rezultacie prawdopodobieństwo, że z talii zostanie wylosowana karta w kolorze kier, wyniesie 0,25.

W stronę wyższej matematyki

Teraz mało wiadomo, czym jest teoria prawdopodobieństwa, wzory i przykłady rozwiązywania problemów, które pojawiają się w szkolnym programie nauczania. Jednak teorię prawdopodobieństwa można znaleźć także w wyższej matematyce, której wykłada się na uniwersytetach. Najczęściej operują geometrycznymi i statystycznymi definicjami teorii oraz złożonymi wzorami.

Teoria prawdopodobieństwa jest bardzo interesująca. Lepiej zacząć uczyć się wzorów i przykładów (wyższa matematyka) od małych - ze statystyczną (lub częstotliwościową) definicją prawdopodobieństwa.

Podejście statystyczne nie jest sprzeczne z podejściem klasycznym, lecz nieznacznie je rozszerza. Jeśli w pierwszym przypadku konieczne było określenie, z jakim prawdopodobieństwem wystąpi zdarzenie, to w tej metodzie konieczne jest wskazanie, jak często będzie ono występować. Wprowadzono tutaj nową koncepcję „częstotliwości względnej”, którą można oznaczyć jako Wn (A). Formuła nie różni się od klasycznej:

Jeżeli do predykcji obliczany jest klasyczny wzór, to statystyczny jest obliczany na podstawie wyników eksperymentu. Weźmy na przykład małe zadanie.

Dział kontroli technologicznej sprawdza jakość wyrobów. Spośród 100 produktów 3 uznano za złej jakości. Jak znaleźć prawdopodobieństwo częstotliwości produktu wysokiej jakości?

A = „wygląd produktu wysokiej jakości”.

W n (A) = 97/100 = 0,97

Zatem częstotliwość produktu wysokiej jakości wynosi 0,97. Skąd wziąłeś 97? Na 100 skontrolowanych produktów 3 okazały się złej jakości. Odejmujemy 3 od 100 i otrzymujemy 97, to jest ilość towarów wysokiej jakości.

Trochę o kombinatoryce

Inną metodą teorii prawdopodobieństwa jest kombinatoryka. Jej podstawowa zasada jest taka, że ​​jeśli określonego wyboru A można dokonać na m różnych sposobów i wyboru B można dokonać na n różnych sposobów, to wyboru A i B można dokonać przez pomnożenie.

Na przykład istnieje 5 dróg prowadzących z miasta A do miasta B. Istnieją 4 ścieżki z miasta B do miasta C. Na ile sposobów można dostać się z miasta A do miasta C?

To proste: 5x4=20, czyli na dwadzieścia różnych sposobów można dostać się z punktu A do punktu C.

Skomplikujmy zadanie. Na ile sposobów można ułożyć karty w pasjansie? W talii znajduje się 36 kart – to jest punkt wyjścia. Aby poznać liczbę sposobów, należy „odejmować” po jednej karcie od punktu początkowego i pomnożyć.

Oznacza to, że 36x35x34x33x32...x2x1= wynik nie mieści się na ekranie kalkulatora, więc można go po prostu oznaczyć jako 36!. Podpisać "!" obok liczby wskazuje, że cały ciąg liczb jest mnożony przez siebie.

W kombinatoryce istnieją takie pojęcia jak permutacja, rozmieszczenie i kombinacja. Każdy z nich ma swoją własną formułę.

Uporządkowany zbiór elementów zbioru nazywa się układem. Miejsca docelowe można powtarzać, czyli jeden element można wykorzystać kilkukrotnie. I bez powtórzeń, gdy elementy się nie powtarzają. n to wszystkie elementy, m to elementy biorące udział w rozmieszczeniu. Wzór na umieszczenie bez powtórzeń będzie wyglądał następująco:

A n m = n!/(n-m)!

Połączenia n elementów różniących się jedynie kolejnością umieszczenia nazywane są permutacjami. W matematyce wygląda to tak: P n = n!

Kombinacje n elementów m to takie związki, w których ważne jest jakie to były pierwiastki i jaka jest ich całkowita liczba. Formuła będzie wyglądać następująco:

A n m = n!/m! (n-m)!

Wzór Bernoulliego

W teorii prawdopodobieństwa, jak w każdej dyscyplinie, znajdują się dzieła wybitnych badaczy w swojej dziedzinie, którzy wynieśli ją na nowy poziom. Jedną z takich prac jest wzór Bernoulliego, który pozwala określić prawdopodobieństwo wystąpienia określonego zdarzenia w niezależnych warunkach. Sugeruje to, że wystąpienie A w eksperymencie nie zależy od wystąpienia lub niewystąpienia tego samego zdarzenia we wcześniejszych lub kolejnych próbach.

Równanie Bernoulliego:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

Prawdopodobieństwo (p) wystąpienia zdarzenia (A) jest stałe dla każdej próby. Prawdopodobieństwo, że sytuacja wystąpi dokładnie m razy w n liczbie eksperymentów, zostanie obliczone ze wzoru przedstawionego powyżej. W związku z tym pojawia się pytanie, jak znaleźć liczbę q.

Jeśli zdarzenie A wystąpi p razy, odpowiednio, może nie wystąpić. Jednostka to liczba używana do określenia wszystkich wyników sytuacji w danej dyscyplinie. Zatem q jest liczbą oznaczającą możliwość nie wystąpienia zdarzenia.

Teraz znasz już wzór Bernoulliego (teorię prawdopodobieństwa). Poniżej rozważymy przykłady rozwiązywania problemów (pierwszy poziom).

Zadanie 2: Osoba odwiedzająca sklep dokona zakupu z prawdopodobieństwem 0,2. Do sklepu samodzielnie weszło 6 osób. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odwiedzający dokona zakupu?

Rozwiązanie: Ponieważ nie wiadomo, ilu odwiedzających powinno dokonać zakupu, jednego czy wszystkich sześciu, konieczne jest obliczenie wszystkich możliwych prawdopodobieństw za pomocą wzoru Bernoulliego.

A = „odwiedzający dokona zakupu”.

W tym przypadku: p = 0,2 (jak wskazano w zadaniu). Odpowiednio q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (ponieważ w sklepie jest 6 klientów). Liczba m będzie się wahać od 0 (żaden klient nie dokona zakupu) do 6 (wszyscy odwiedzający sklep coś kupią). W rezultacie otrzymujemy rozwiązanie:

P 6 (0) = C 0 6 × p 0 × q 6 = q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Żaden z kupujących nie dokona zakupu z prawdopodobieństwem 0,2621.

Jak inaczej wykorzystuje się wzór Bernoulliego (teorię prawdopodobieństwa)? Przykłady rozwiązania problemu (drugi poziom) poniżej.

Po powyższym przykładzie pojawiają się pytania, dokąd poszły C i r. Względem p liczba do potęgi 0 będzie równa jeden. Jeśli chodzi o C, można je znaleźć za pomocą wzoru:

Do n m = n! /m!(n-m)!

Ponieważ w pierwszym przykładzie odpowiednio m = 0, C = 1, co w zasadzie nie ma wpływu na wynik. Korzystając z nowego wzoru, spróbujmy dowiedzieć się, jakie jest prawdopodobieństwo, że dwóch odwiedzających dokona zakupu towaru.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teoria prawdopodobieństwa nie jest aż tak skomplikowana. Bezpośrednim dowodem na to jest wzór Bernoulliego, którego przykłady przedstawiono powyżej.

Wzór Poissona

Równanie Poissona służy do obliczania sytuacji losowych o niskim prawdopodobieństwie.

Podstawowa formuła:

P n (m) = λ m /m! × mi (-λ) .

W tym przypadku λ = n x p. Oto prosty wzór Poissona (teoria prawdopodobieństwa). Poniżej rozważymy przykłady rozwiązywania problemów.

Zadanie 3: Fabryka wyprodukowała 100 000 części. Wystąpienie wadliwej części = 0,0001. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w partii będzie 5 wadliwych części?

Jak widać małżeństwo jest wydarzeniem mało prawdopodobnym, dlatego do obliczeń używana jest formuła Poissona (teoria prawdopodobieństwa). Przykłady rozwiązywania problemów tego typu nie różnią się od innych zadań z dyscypliny, podstawiamy niezbędne dane do podanego wzoru:

A = „losowo wybrana część będzie wadliwa”.

p = 0,0001 (wg warunków zadania).

n = 100000 (liczba części).

m = 5 (części wadliwe). Podstawiamy dane do wzoru i otrzymujemy:

R 100000 (5) = 10 5 /5! X e -10 = 0,0375.

Podobnie jak wzór Bernoulliego (teoria prawdopodobieństwa), którego przykłady rozwiązań opisano powyżej, równanie Poissona ma nieznane e. W rzeczywistości można je znaleźć ze wzoru:

mi -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Istnieją jednak specjalne tabele, które zawierają prawie wszystkie wartości e.

Twierdzenie de Moivre’a-Laplace’a

Jeżeli w schemacie Bernoulliego liczba prób jest dostatecznie duża, a prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A we wszystkich schematach jest takie samo, to prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A określoną liczbę razy w serii testów można znaleźć wzorem Wzór Laplace'a:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Aby lepiej zapamiętać wzór Laplace’a (teorię prawdopodobieństwa), poniżej znajdują się przykłady problemów.

Najpierw znajdźmy X m, podstawmy dane (wszystkie są wymienione powyżej) do wzoru i otrzymamy 0,025. Korzystając z tabel, znajdujemy liczbę ϕ(0,025), której wartość wynosi 0,3988. Teraz możesz podstawić wszystkie dane do wzoru:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Zatem prawdopodobieństwo, że ulotka wykona dokładnie 267 razy, wynosi 0,03.

Formuła Bayesa

Wzór Bayesa (teoria prawdopodobieństwa), którego przykłady rozwiązywania problemów zostaną podane poniżej, jest równaniem opisującym prawdopodobieństwo zdarzenia na podstawie okoliczności, które mogą być z nim powiązane. Podstawowa formuła jest następująca:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A i B to zdarzenia określone.

P(A|B) jest prawdopodobieństwem warunkowym, co oznacza, że ​​zdarzenie A może zaistnieć pod warunkiem, że zdarzenie B jest prawdziwe.

P (B|A) - prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia B.

Tak więc ostatnią częścią krótkiego kursu „Teoria prawdopodobieństwa” jest formuła Bayesa, przykłady rozwiązań problemów, które znajdują się poniżej.

Zadanie 5: Na magazyn przywieziono telefony z trzech firm. Jednocześnie udział telefonów produkowanych w pierwszym zakładzie wynosi 25%, w drugim – 60%, w trzecim – 15%. Wiadomo też, że średni odsetek wadliwych produktów w pierwszej fabryce wynosi 2%, w drugiej – 4%, a w trzeciej – 1%. Musisz znaleźć prawdopodobieństwo, że losowo wybrany telefon będzie uszkodzony.

A = „losowo wybrany telefon”.

B 1 - telefon wyprodukowany przez pierwszą fabrykę. Odpowiednio pojawią się wprowadzające B 2 i B 3 (dla drugiej i trzeciej fabryki).

W rezultacie otrzymujemy:

P (B 1) = 25%/100% = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - w ten sposób wyznaczyliśmy prawdopodobieństwo każdej opcji.

Teraz musisz znaleźć prawdopodobieństwa warunkowe pożądanego zdarzenia, czyli prawdopodobieństwo wadliwych produktów w firmach:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0,02;

P(A/B2) = 0,04;

P (A/B 3) = 0,01.

Podstawmy teraz dane do wzoru Bayesa i otrzymamy:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

W artykule przedstawiono teorię prawdopodobieństwa, wzory i przykłady rozwiązywania problemów, ale to tylko wierzchołek góry lodowej ogromnej dyscypliny. A po tym wszystkim, co zostało napisane, logiczne będzie zadanie pytania, czy teoria prawdopodobieństwa jest potrzebna w życiu. Zwykłej osobie trudno odpowiedzieć; lepiej zapytać kogoś, kto skorzystał z tego, aby wygrać jackpot więcej niż raz.

WSTĘP

Wiele rzeczy jest dla nas niezrozumiałych nie dlatego, że nasze pojęcia są słabe;
ale dlatego, że te rzeczy nie mieszczą się w zakresie naszych pojęć.
Koźma Prutkow

Głównym celem studiowania matematyki w szkołach średnich specjalistycznych jest wyposażenie uczniów w zestaw wiedzy matematycznej i umiejętności niezbędnych do studiowania innych dyscyplin programowych, które w takim czy innym stopniu wykorzystują matematykę, do umiejętności wykonywania praktycznych obliczeń, do tworzenia i rozwoju logicznego myślenia.

W tej pracy wszystkie podstawowe pojęcia z sekcji matematyki „Podstawy teorii prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej”, przewidziane w programie i Państwowych standardach edukacyjnych średniego szkolnictwa zawodowego (Ministerstwo Edukacji Federacji Rosyjskiej. M., 2002 ), są konsekwentnie wprowadzane, formułowane są główne twierdzenia, z których większość nie jest udowodniona. Rozważane są główne problemy i metody ich rozwiązywania oraz technologie stosowania tych metod do rozwiązywania problemów praktycznych. Prezentację opatrzono szczegółowymi komentarzami i licznymi przykładami.

Wskazówki metodyczne mogą służyć do wstępnego zapoznania się z studiowanym materiałem, sporządzania notatek z wykładów, przygotowania do zajęć praktycznych, utrwalenia zdobytej wiedzy, umiejętności i zdolności. Ponadto podręcznik będzie także przydatny dla studentów studiów licencjackich jako narzędzie referencyjne, umożliwiające im szybkie przypomnienie sobie tego, czego uczyli się wcześniej.

Na końcu pracy znajdują się przykłady i zadania, które uczniowie mogą wykonać w trybie samokontroli.

Wytyczne przeznaczone są dla studentów studiów niestacjonarnych i stacjonarnych.

PODSTAWOWE KONCEPCJE

Teoria prawdopodobieństwa bada obiektywne wzorce masowych zdarzeń losowych. Stanowi teoretyczną podstawę statystyki matematycznej, która zajmuje się rozwojem metod gromadzenia, opisywania i przetwarzania wyników obserwacji. Poprzez obserwacje (testy, eksperymenty), tj. Doświadczenie w szerokim tego słowa znaczeniu, następuje poznanie zjawisk świata realnego.

W naszych praktycznych działaniach często spotykamy się ze zjawiskami, których wyniku nie można przewidzieć, a których wynik zależy od przypadku.

Zjawisko losowe można scharakteryzować stosunkiem liczby jego wystąpień do liczby prób, w których, w tych samych warunkach wszystkich prób, może wystąpić lub nie wystąpić.

Teoria prawdopodobieństwa to dziedzina matematyki, w której bada się zjawiska losowe (zdarzenia) i identyfikuje wzorce, gdy są one masowo powtarzane.

Statystyka matematyczna to dziedzina matematyki zajmująca się badaniem metod gromadzenia, systematyzowania, przetwarzania i wykorzystywania danych statystycznych w celu wyciągania wniosków naukowych i podejmowania decyzji.

W tym przypadku dane statystyczne są rozumiane jako zbiór liczb, które reprezentują ilościowe cechy charakterystyczne cech badanych obiektów, które nas interesują. Dane statystyczne uzyskuje się w wyniku specjalnie zaprojektowanych eksperymentów i obserwacji.

Dane statystyczne ze swojej istoty zależą od wielu czynników losowych, dlatego statystyka matematyczna jest ściśle związana z teorią prawdopodobieństwa, która jest jej podstawą teoretyczną.

I. PRAWdopodobieństwo. Twierdzenia o dodawaniu i mnożeniu prawdopodobieństw

1.1. Podstawowe pojęcia kombinatoryki

W dziale matematyki, który nazywa się kombinatoryką, rozwiązuje się niektóre problemy związane z rozpatrywaniem zbiorów i składaniem różnych kombinacji elementów tych zbiorów. Na przykład, jeśli weźmiemy 10 różnych liczb 0, 1, 2, 3,: , 9 i zrobimy ich kombinację, otrzymamy różne liczby, na przykład 143, 431, 5671, 1207, 43 itd.

Widzimy, że niektóre z tych kombinacji różnią się tylko kolejnością cyfr (na przykład 143 i 431), inne - zawartymi w nich cyframi (na przykład 5671 i 1207), a inne różnią się także liczbą cyfr (na przykład 143 i 43).

Zatem powstałe kombinacje spełniają różne warunki.

W zależności od zasad kompozycji można wyróżnić trzy rodzaje kombinacji: permutacje, rozmieszczenia, kombinacje.

Najpierw zapoznajmy się z koncepcją silnia.

Nazywa się iloczynem wszystkich liczb naturalnych od 1 do n włącznie n-silnia i napisz.

Oblicz: a) ; B) ; V) .

Rozwiązanie. A) .

b) Od , to możemy wyjąć to z nawiasów

Wtedy otrzymamy

V) .

Przegrupowania.

Permutacją nazywamy kombinację n elementów różniących się od siebie jedynie kolejnością elementów.

Permutacje są oznaczone symbolem P. n , gdzie n jest liczbą elementów zawartych w każdej permutacji. ( R- pierwsza litera francuskiego słowa permutacja- przegrupowanie).

Liczbę permutacji można obliczyć za pomocą wzoru

lub używając silni:

Pamiętajmy o tym 0!=1 i 1!=1.

Przykład 2. Na ile sposobów można ustawić sześć różnych książek na jednej półce?

Rozwiązanie. Wymagana liczba sposobów jest równa liczbie permutacji 6 elementów, tj.

Miejsca docelowe.

Wpisy z M elementy w N w każdym z nich nazywane są takie związki, które różnią się od siebie samymi elementami (co najmniej jednym) lub kolejnością ich ułożenia.

Miejsca docelowe są oznaczone symbolem gdzie M- ilość wszystkich dostępnych elementów, N- liczba elementów w każdej kombinacji. ( A- pierwsza litera francuskiego słowa układ, co oznacza „umieszczenie, uporządkowanie”).

Jednocześnie uważa się, że nm.

Liczbę miejsc docelowych można obliczyć za pomocą wzoru

,

te. liczba wszystkich możliwych miejsc docelowych z M elementy wg N równa się produktowi N kolejne liczby całkowite, z których największa to M.

Zapiszmy ten wzór w postaci silni:

Przykład 3. Ile opcji dystrybucji trzech bonów do sanatoriów o różnych profilach można skompilować dla pięciu wnioskodawców?

Rozwiązanie. Wymagana liczba opcji jest równa liczbie umieszczenia 5 elementów po 3 elementy, tj.

.

Kombinacje.

Kombinacje to wszystkie możliwe kombinacje M elementy wg N, które różnią się od siebie co najmniej jednym elementem (tutaj M I N- liczby naturalne i n m).

Liczba kombinacji M elementy wg N są oznaczone ( Z-pierwsza litera francuskiego słowa połączenie- kombinacja).

Ogólnie rzecz biorąc, liczba M elementy wg N równa liczbie miejsc docelowych z M elementy wg N, podzielone przez liczbę permutacji z N elementy:

Korzystając ze wzorów silniowych na liczbę miejsc docelowych i permutacji, otrzymujemy:

Przykład 4. W 25-osobowym zespole musisz przydzielić cztery osoby do pracy w określonym obszarze. Na ile sposobów można to zrobić?

Rozwiązanie. Ponieważ kolejność czterech wybranych osób nie ma znaczenia, istnieją sposoby, aby to zrobić.

Znajdujemy, korzystając z pierwszej formuły

.

Ponadto przy rozwiązywaniu problemów stosuje się następujące wzory wyrażające podstawowe właściwości kombinacji:

(z definicji zakładają i);

.

1.2. Rozwiązywanie problemów kombinatorycznych

Zadanie 1. Na wydziale studiuje się 16 przedmiotów. Musisz umieścić 3 przedmioty w swoim planie zajęć na poniedziałek. Na ile sposobów można to zrobić?

Rozwiązanie. Sposobów zaplanowania trzech elementów z 16 jest tyle, ile można rozmieścić 16 elementów po 3.

Zadanie 2. Spośród 15 obiektów musisz wybrać 10 obiektów. Na ile sposobów można to zrobić?

Zadanie 3. W zawodach wzięły udział cztery drużyny. Ile jest możliwych opcji podziału miejsc pomiędzy nimi?

.

Zadanie 4. Na ile sposobów można utworzyć patrol składający się z trzech żołnierzy i jednego oficera, jeżeli jest 80 żołnierzy i 3 oficerów?

Rozwiązanie. Możesz wybrać żołnierza na patrolu

sposoby i oficerowie na sposoby. Ponieważ każdy oficer może towarzyszyć każdej drużynie żołnierzy, sposobów jest tylko kilka.

Zadanie 5. Znajdź , jeśli wiadomo, że .

Ponieważ , otrzymujemy

,

,

Z definicji kombinacji wynika, że ​​, . To. .

1.3. Pojęcie zdarzenia losowego. Rodzaje wydarzeń. Prawdopodobieństwo zdarzenia

Każde działanie, zjawisko, obserwacja z kilkoma różnymi wynikami, zrealizowane w danych warunkach, będzie nazywane test.

Wynik tego działania lub obserwacji nazywa się wydarzenie .

Jeśli zdarzenie w danych warunkach może się wydarzyć lub nie, wówczas nazywa się je losowy . Kiedy zdarzenie jest pewne, następuje jego wywołanie niezawodny , a w przypadku, gdy jest to oczywiście niemożliwe, - niemożliwe.

Wydarzenia nazywają się niekompatybilny , jeśli za każdym razem możliwe jest wystąpienie tylko jednego z nich.

Wydarzenia nazywają się wspólny , jeżeli w danych warunkach wystąpienie jednego z tych zdarzeń nie wyklucza wystąpienia drugiego w czasie tego samego badania.

Wydarzenia nazywają się naprzeciwko , jeżeli w warunkach testowych one, jako jedyne wyniki, są niezgodne.

Wydarzenia są zwykle oznaczane wielkimi literami alfabetu łacińskiego: A, B, C, D, : .

Kompletny układ zdarzeń A 1 , A 2 , A 3 , : , An jest zbiorem zdarzeń niezgodnych, z których wystąpienie przynajmniej jednego jest obowiązkowe podczas danego testu.

Jeśli kompletny system składa się z dwóch niezgodnych ze sobą zdarzeń, wówczas takie zdarzenia nazywane są przeciwstawnymi i oznaczane A i .

Przykład. W pudełku znajduje się 30 ponumerowanych kulek. Określ, które z poniższych zdarzeń są niemożliwe, wiarygodne lub sprzeczne:

wyciągnął numerowaną piłkę (A);

dostałem kulę o parzystej liczbie (W);

dostałem piłkę z liczbą nieparzystą (Z);

dostałem piłkę bez numeru (D).

Które z nich tworzą kompletną grupę?

Rozwiązanie . A- wiarygodne wydarzenie; D- wydarzenie niemożliwe;

W I Z- zdarzenia przeciwne.

Kompletna grupa wydarzeń składa się z A I D, V I Z.

Prawdopodobieństwo zdarzenia uważa się za miarę obiektywnej możliwości wystąpienia zdarzenia losowego.

1.4. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Liczba wyrażająca miarę obiektywnej możliwości wystąpienia zdarzenia nazywa się prawdopodobieństwo tego zdarzenia i jest oznaczone symbolem R(A).

Definicja. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest stosunkiem liczby wyników m, które sprzyjają zaistnieniu danego zdarzenia A, do numeru N wszystkie wyniki (niespójne, tylko możliwe i równie możliwe), tj. .

Dlatego, aby znaleźć prawdopodobieństwo zdarzenia, należy po rozważeniu różnych wyników testu obliczyć wszystkie możliwe niespójne wyniki N, wybierz liczbę wyników m, które nas interesują i oblicz stosunek M Do N.

Z tej definicji wynikają następujące właściwości:

Prawdopodobieństwo dowolnego testu jest liczbą nieujemną i nie przekracza jeden.

Rzeczywiście, liczba m wymaganych zdarzeń mieści się w zakresie . Podział obu części na N, otrzymujemy

2. Prawdopodobieństwo wiarygodnego zdarzenia jest równe jeden, ponieważ .

3. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi zero, ponieważ .

Zadanie 1. W loterii składającej się z 1000 losów jest 200 zwycięskich. Losowo wydawany jest jeden bilet. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ten bilet będzie zwycięzcą?

Rozwiązanie. Całkowita liczba różnych wyników wynosi N=1000. Liczba wyników sprzyjających wygranej wynosi m=200. Zgodnie ze wzorem otrzymujemy

.

Problem 2. W partii 18 części znajdują się 4 wadliwe. 5 części wybieranych jest losowo. Znajdź prawdopodobieństwo, że dwie z tych 5 części będą wadliwe.

Rozwiązanie. Liczba wszystkich równie możliwych niezależnych wyników N równa liczbie kombinacji 18 na 5, tj.

Policzmy liczbę m, która sprzyja zdarzeniu A. Wśród 5 losowo wybranych części powinny znaleźć się 3 dobre i 2 wadliwe. Liczba sposobów wyboru dwóch wadliwych części z 4 istniejących wadliwych jest równa liczbie kombinacji 4 na 2:

Liczba sposobów wyboru trzech części jakościowych z 14 dostępnych części jakościowych jest równa

.

Dowolną grupę dobrych części można połączyć z dowolną grupą wadliwych części, a więc całkowita liczba kombinacji M wynosi

Wymagane prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe stosunkowi liczby wyników m korzystnych dla tego zdarzenia do liczby n wszystkich równie możliwych niezależnych wyników:

.

Suma skończonej liczby zdarzeń to zdarzenie składające się z wystąpienia co najmniej jednego z nich.

Suma dwóch zdarzeń jest oznaczona symbolem A+B i sumą N zdarzenia o symbolu A 1 +A 2 + : +A n.

Twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństwa.

Prawdopodobieństwo sumy dwóch niezgodnych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń.

Wniosek 1. Jeżeli zdarzenia A 1, A 2, :,A n tworzą kompletny system, to suma prawdopodobieństw tych zdarzeń jest równa jeden.

Wniosek 2. Suma prawdopodobieństw przeciwnych zdarzeń i jest równa jeden.

.

Zadanie 1. Jest 100 losów na loterię. Wiadomo, że 5 biletów wygrywa 20 000 rubli, 10 biletów wygrywa 15 000 rubli, 15 biletów wygrywa 10 000 rubli, 25 biletów wygrywa 2000 rubli. i nic do reszty. Znajdź prawdopodobieństwo, że zakupiony los przyniesie wygraną w wysokości co najmniej 10 000 rubli.

Rozwiązanie. Niech A, B i C będą zdarzeniami polegającymi na tym, że zakupiony los otrzyma wygraną odpowiednio 20 000, 15 000 i 10 000 rubli. ponieważ zdarzenia A, B i C są zatem niezgodne

Zadanie 2. Dział korespondencyjny technikum otrzymuje testy z matematyki z miast A, B I Z. Prawdopodobieństwo otrzymania testu z miasta A równy 0,6, od miasta W- 0,1. Znajdź prawdopodobieństwo, że następny test nadejdzie z miasta Z.

Część programistów po pracy przy tworzeniu zwykłych aplikacji komercyjnych myśli o opanowaniu uczenia maszynowego i zostaniu analitykiem danych. Często nie rozumieją, dlaczego pewne metody działają, a większość metod uczenia maszynowego wydaje się magiczna. W rzeczywistości uczenie maszynowe opiera się na statystyce matematycznej, która z kolei opiera się na teorii prawdopodobieństwa. Dlatego w tym artykule zwrócimy uwagę na podstawowe pojęcia teorii prawdopodobieństwa: poruszymy definicje prawdopodobieństwa, rozkładu i przeanalizujemy kilka prostych przykładów.

Być może wiesz, że teoria prawdopodobieństwa jest tradycyjnie podzielona na 2 części. Teoria prawdopodobieństwa dyskretnego bada zjawiska, które można opisać rozkładem o skończonej (lub przeliczalnej) liczbie możliwych wariantów zachowania (rzut kostką, monetą). Ciągła teoria prawdopodobieństwa bada zjawiska rozproszone w pewnym gęstym zbiorze, na przykład na odcinku lub okręgu.

Przedmiot teorii prawdopodobieństwa możemy rozważyć na prostym przykładzie. Wyobraź sobie siebie jako twórcę strzelanek. Integralną częścią rozwoju gier z tego gatunku jest mechanika strzelania. Oczywiste jest, że strzelanka, w której wszystkie bronie strzelają absolutnie celnie, nie będzie interesująca dla graczy. Dlatego konieczne jest dodanie rozrzutu do swojej broni. Jednak zwykłe losowanie punktów uderzenia broni nie pozwoli na dostrojenie, więc dostosowanie balansu gry będzie trudne. Jednocześnie użycie zmiennych losowych i ich rozkładów pozwala przeanalizować, jak broń będzie się zachowywać przy danym rozrzucie, i pomóc w dokonaniu niezbędnych korekt.

Przestrzeń wyników elementarnych

Załóżmy, że z jakiegoś losowego eksperymentu, który możemy wielokrotnie powtarzać (na przykład rzucając monetą), możemy wydobyć pewne sformalizowane informacje (wypadła reszka lub reszka). Informacje te nazywane są wynikiem elementarnym i warto rozważyć zbiór wszystkich wyników elementarnych, często oznaczanych literą Ω (Omega).

Struktura tej przestrzeni zależy całkowicie od charakteru eksperymentu. Na przykład, jeśli weźmiemy pod uwagę strzelanie do wystarczająco dużego okrągłego celu, przestrzenią elementarnych wyników będzie dla wygody okrąg umieszczony ze środkiem w pozycji zero, a wynikiem będzie punkt w tym okręgu.

Dodatkowo brane są pod uwagę zbiory elementarnych wyników - zdarzeń (np. trafienie w pierwszą dziesiątkę to koncentryczny okrąg o małym promieniu z celem). W przypadku dyskretnym wszystko jest dość proste: możemy otrzymać dowolne zdarzenie, włączając lub wykluczając elementarne wyniki w skończonym czasie. W przypadku ciągłym wszystko jest znacznie bardziej skomplikowane: potrzebujemy do rozważenia jakiejś całkiem dobrej rodziny zbiorów, zwanej algebrą przez analogię z prostymi liczbami rzeczywistymi, które można dodawać, odejmować, dzielić i mnożyć. Zbiory w algebrze można przecinać i łączyć, a wynik operacji będzie w algebrze. Jest to bardzo ważna właściwość matematyki, która kryje się za wszystkimi tymi koncepcjami. Rodzina minimalna składa się tylko z dwóch zbiorów – zbioru pustego i przestrzeni wyników elementarnych.

Miara i prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo to sposób wyciągania wniosków na temat zachowania bardzo złożonych obiektów bez zrozumienia, jak one działają. Zatem prawdopodobieństwo definiuje się jako funkcję zdarzenia (z tej bardzo dobrej rodziny zbiorów), która zwraca liczbę – pewną charakterystykę określającą, jak często takie zdarzenie może wystąpić w rzeczywistości. Dla pewności matematycy zgodzili się, że liczba ta powinna mieścić się w przedziale od zera do jedynki. Ponadto funkcja ta ma wymagania: prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi zero, prawdopodobieństwo całego zbioru wyników jest jednostkowe, a prawdopodobieństwo połączenia dwóch niezależnych zdarzeń (zbiorów rozłącznych) jest równe sumie prawdopodobieństw. Inną nazwą prawdopodobieństwa jest miara prawdopodobieństwa. Najczęściej stosowana jest miara Lebesgue’a, która uogólnia pojęcia długości, pola, objętości na dowolne wymiary (n-wymiarowa objętość), dzięki czemu ma zastosowanie do szerokiej klasy zbiorów.

Razem nazywa się zbiór zbioru wyników elementarnych, rodziny zbiorów i miary prawdopodobieństwa przestrzeń prawdopodobieństwa. Zastanówmy się, jak skonstruować przestrzeń prawdopodobieństwa na przykładzie strzelania do celu.

Rozważ strzelanie do dużego, okrągłego celu o promieniu R, którego nie da się przeoczyć. Przez zbiór zdarzeń elementarnych wyznaczamy okrąg o środku w początku współrzędnych o promieniu R. Ponieważ do opisu prawdopodobieństwa zdarzenia będziemy używać pola (miara Lebesgue’a dla zbiorów dwuwymiarowych), skorzystamy z rodziny zbiorów mierzalnych (dla których ta miara istnieje).

Uwaga W zasadzie jest to kwestia techniczna i w prostych problemach proces wyznaczania miary i rodziny zbiorów nie odgrywa szczególnej roli. Trzeba jednak zrozumieć, że te dwa obiekty istnieją, ponieważ w wielu książkach o teorii prawdopodobieństwa twierdzenia zaczynają się od słów: „ Niech (Ω,Σ,P) będzie przestrzenią prawdopodobieństwa...».

Jak wspomniano powyżej, prawdopodobieństwo całej przestrzeni wyników elementarnych musi być równe jeden. Pole (dwuwymiarowa miara Lebesgue’a, którą oznaczamy λ 2 (A), gdzie A jest zdarzeniem) koła, zgodnie ze znanym ze szkoły wzorem, wynosi π *R 2. Następnie możemy wprowadzić prawdopodobieństwo P(A) = λ 2 (A) / (π *R 2), a wartość ta będzie już mieścić się w przedziale od 0 do 1 dla dowolnego zdarzenia A.

Jeżeli przyjmiemy, że trafienie w dowolny punkt tarczy jest równie prawdopodobne, poszukiwanie prawdopodobieństwa trafienia strzelca w jakiś obszar tarczy sprowadza się do znalezienia pola tego zbioru (można stąd stwierdzić, że prawdopodobieństwo trafienia w konkretny punkt wynosi zero, ponieważ powierzchnia punktu wynosi zero).

Przykładowo chcemy dowiedzieć się jakie jest prawdopodobieństwo, że strzelec trafi do pierwszej dziesiątki (zdarzenie A – strzelec trafi w pożądany set). W naszym modelu „dziesiątka” jest reprezentowana przez okrąg ze środkiem w miejscu zerowym i promieniem r. Wtedy prawdopodobieństwo dostania się do tego okręgu wynosi P(A) = λ 2 /(A)π *R 2 = π * r 2 /(π R 2)= (r/R) 2.

Jest to jeden z najprostszych typów problemów z „prawdopodobieństwem geometrycznym” – większość z tych problemów wymaga znalezienia pola.

Zmienne losowe

Zmienna losowa to funkcja, która przekształca elementarne wyniki w liczby rzeczywiste. Przykładowo do rozpatrywanego problemu możemy wprowadzić zmienną losową ρ(ω) – odległość od punktu uderzenia do środka celu. Prostota naszego modelu pozwala jednoznacznie zdefiniować przestrzeń wyników elementarnych: Ω = (ω = (x,y) takie liczby, że x 2 +y 2 ≤ R 2 ) . Wtedy zmienna losowa ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 .

Sposoby abstrakcji z przestrzeni probabilistycznej. Funkcja rozkładu i gęstość

Dobrze, gdy struktura przestrzeni jest dobrze znana, jednak w praktyce nie zawsze tak jest. Nawet jeśli znana jest struktura przestrzeni, może ona być złożona. Do opisu zmiennych losowych, których wyrażenie nie jest znane, istnieje koncepcja funkcji rozkładu, którą oznaczamy przez F ξ (x) = P(ξ< x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение случайной величины ξ на этом событии меньше, чем заданный параметр x .

Funkcja dystrybucji ma kilka właściwości:

  1. Po pierwsze, jest to wartość pomiędzy 0 a 1.
  2. Po drugie, nie maleje wraz ze wzrostem argumentu x.
  3. Po trzecie, gdy liczba -x jest bardzo duża, funkcja rozkładu jest bliska 0, a gdy samo x jest duże, funkcja dystrybucji jest bliska 1.

Prawdopodobnie znaczenie tej konstrukcji nie jest zbyt jasne przy pierwszym czytaniu. Jedną z przydatnych właściwości jest to, że funkcja rozkładu pozwala sprawdzić prawdopodobieństwo, że wielkość przyjmie wartość z przedziału. Zatem P (zmienna losowa ξ przyjmuje wartości z przedziału) = F ξ (b)-F ξ (a). Na podstawie tej równości możemy zbadać, jak zmienia się ta wartość, jeśli granice a i b przedziału są blisko.

Niech d = b-a , następnie b = a+d . I dlatego F ξ (b) - F ξ (a) = F ξ (a+d) - F ξ (a) . Dla małych wartości d powyższa różnica jest również niewielka (jeżeli rozkład jest ciągły). Sensowne jest rozważenie stosunku p ξ (a, d) = (F ξ (a+d) - F ξ (a))/d. Jeżeli dla wystarczająco małych wartości d stosunek ten niewiele różni się od pewnej stałej p ξ (a), niezależnej od d, to w tym momencie zmienna losowa ma gęstość równą p ξ (a).

Uwaga Czytelnicy, którzy wcześniej zetknęli się z pojęciem pochodnej, mogą zauważyć, że p ξ (a) jest pochodną funkcji F ξ (x) w punkcie a. W każdym razie możesz przestudiować koncepcję pochodnej w artykule na ten temat na stronie internetowej Mathprofi.

Teraz znaczenie funkcji rozkładu można zdefiniować następująco: jej pochodna (gęstość p ξ, którą zdefiniowaliśmy powyżej) w punkcie a opisuje, jak często zmienna losowa będzie wpadać w mały przedział o środku w punkcie a (sąsiedztwo punktu a ) w porównaniu z sąsiedztwem innych punktów . Innymi słowy, im szybciej rośnie funkcja rozkładu, tym większe jest prawdopodobieństwo, że taka wartość pojawi się w losowym eksperymencie.

Wróćmy do przykładu. Możemy obliczyć dystrybuantę zmiennej losowej, ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 + y 2 , która oznacza odległość od środka do losowego punktu trafienia celu. Z definicji F ρ (t) = P(ρ(x,y)< t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} — состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0

Możemy znaleźć gęstość p ρ tej zmiennej losowej. Zauważmy od razu, że poza przedziałem jest zero, bo funkcja rozkładu w tym przedziale pozostaje niezmieniona. Na końcach tego przedziału nie wyznacza się gęstości. Wewnątrz przedziału można go znaleźć korzystając z tabeli pochodnych (np. ze strony Mathprofi) i elementarnych reguł różniczkowania. Pochodna t 2 /R 2 jest równa 2t/R 2. Oznacza to, że znaleźliśmy gęstość na całej osi liczb rzeczywistych.

Inną przydatną właściwością gęstości jest prawdopodobieństwo, że funkcja przyjmie wartość z przedziału, obliczonego na podstawie całki gęstości po tym przedziale (co to jest, możesz dowiedzieć się z artykułów o całkach właściwych, niewłaściwych i nieoznaczonych na Mathprofi strona internetowa).

Przy pierwszym czytaniu całkę po przedziale funkcji f(x) można traktować jako powierzchnię zakrzywionego trapezu. Jej boki to fragment osi Wół, przerwa (oś współrzędnych poziomych), odcinki pionowe łączące punkty (a,f(a)), (b,f(b)) na krzywej z punktami (a,0), (b,0 ) na osi Wołu. Ostatni bok to fragment wykresu funkcji f od (a,f(a)) do (b,f(b)) . O całce po przedziale (-∞; b] możemy mówić, gdy dla wystarczająco dużych wartości ujemnych a wartość całki po przedziale zmieni się pomijalnie w porównaniu ze zmianą liczby a. Całka po przedziałach wynosi zdefiniowany w podobny sposób)