Całki główne, które powinien znać każdy uczeń
Wymienione całki są podstawą, podstawą podstaw. Zdecydowanie warto zapamiętać te formuły. Obliczając bardziej złożone całki, będziesz musiał ich stale używać.
Zwróć szczególną uwagę na wzory (5), (7), (9), (12), (13), (17) i (19). Podczas całkowania nie zapomnij dodać do swojej odpowiedzi dowolnej stałej C!
Całka stałej
∫ ZA re x = ZA x + C (1)Integracja funkcji mocy
W zasadzie można było ograniczyć się jedynie do wzorów (5) i (7), jednak pozostałe całeki z tej grupy występują na tyle często, że warto poświęcić im trochę uwagi.
∫ x re x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 re x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x re x = 2 x + C (4)
∫ 1 x re x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 re x = − 1 x + do (6)
∫ x n re x = x n + 1 n + 1 + do (n ≠ - 1) (7)
Całki funkcji wykładniczych i funkcji hiperbolicznych
Oczywiście wzór (8) (być może najwygodniejszy do zapamiętania) można uznać za szczególny przypadek wzoru (9). Wzory (10) i (11) na całki sinusa hiperbolicznego i cosinusa hiperbolicznego łatwo wyprowadzić ze wzoru (8), ale lepiej po prostu zapamiętać te zależności.
∫ mi x re x = mi x + do (8)
∫ za x re x = za x ln za + do (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s godz x re x = do godz x + do (10)
∫ do godz x re x = s godz x + do (11)
Podstawowe całki funkcji trygonometrycznych
Często popełnianym przez uczniów błędem jest mylenie znaków we wzorach (12) i (13). Pamiętając, że pochodna sinusa jest równa cosinusowi, z jakiegoś powodu wiele osób uważa, że całka funkcji sinx jest równa cosx. To nie jest prawda! Całka sinusa jest równa „minus cosinus”, ale całka cosx jest równa „tylko sinus”:
∫ grzech x re x = − sałata x + do (12)
∫ sałata x re x = grzech x + C (13)
∫ 1 sałata 2 x re x = t sol x + do (14)
∫ 1 grzech 2 x re x = − do t sol x + do (15)
Całki redukujące do odwrotnych funkcji trygonometrycznych
Wzór (16), prowadzący do arcus tangens, jest oczywiście szczególnym przypadkiem wzoru (17) dla a=1. Podobnie (18) jest szczególnym przypadkiem (19).
∫ 1 1 + x 2 re x = za r do t sol x + do = - za r do do t sol x + do (16)
∫ 1 x 2 + za 2 = 1 za za r do t sol x za + do (za ≠ 0) (17)
∫ 1 1 - x 2 re x = arcsin x + do = - arccos x + do (18)
∫ 1 za 2 − x 2 re x = arcsin x za + do = − arccos x za + do (a > 0) (19)
Bardziej złożone całki
Wskazane jest również zapamiętanie tych formuł. Są one również używane dość często, a ich wydajność jest dość żmudna.
∫ 1 x 2 + za 2 re x = ln | x + x 2 + za 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − za 2 re x = ln | x + x 2 - za 2 | +C (21)
∫ za 2 - x 2 re x = x 2 za 2 - x 2 + za 2 2 arcsin x za + do (a > 0) (22)
∫ x 2 + za 2 re x = x 2 x 2 + za 2 + za 2 2 ln | x + x 2 + za 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 - za 2 re x = x 2 x 2 - za 2 - za 2 2 ln | x + x 2 - za 2 | + C (a > 0) (24)
Ogólne zasady integracji
1) Całka z sumy dwóch funkcji jest równa sumie odpowiednich całek: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)
2) Całka z różnicy dwóch funkcji jest równa różnicy odpowiednich całek: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)
3) Stałą można wyjąć ze znaku całki: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)
Łatwo zauważyć, że własność (26) jest po prostu kombinacją właściwości (25) i (27).
4) Całka funkcji zespolonej, jeśli funkcja wewnętrzna jest liniowa: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)
Tutaj F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x). Uwaga: ta formuła działa tylko wtedy, gdy funkcją wewnętrzną jest Ax + B.
Ważne: nie ma uniwersalnego wzoru na całkę iloczynu dwóch funkcji, a także na całkę ułamka:
∫ fa (x) g (x) re x = ? ∫ fa (x) g (x) re x = ? (trzydzieści)
Nie oznacza to oczywiście, że ułamka lub iloczynu nie można zintegrować. Tyle, że za każdym razem, gdy zobaczysz całkę taką jak (30), będziesz musiał wymyślić sposób, aby z nią „walczyć”. W niektórych przypadkach pomoże Ci całkowanie przez części, w innych będziesz musiał dokonać zmiany zmiennej, a czasem nawet pomogą „szkolne” wzory z algebry lub trygonometrii.
Prosty przykład obliczenia całki nieoznaczonej
Przykład 1. Znajdź całkę: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d xSkorzystajmy ze wzorów (25) i (26) (całka z sumy lub różnicy funkcji jest równa sumie lub różnicy odpowiednich całek. Otrzymujemy: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 dx
Pamiętajmy, że ze znaku całki można wyjąć stałą (wzór (27)). Wyrażenie jest konwertowane do formy
3 ∫ x 2 re x + 2 ∫ grzech x re x − 7 ∫ e x re x + 12 ∫ 1 re x
Skorzystajmy teraz z tabeli całek podstawowych. Będziemy musieli zastosować wzory (3), (12), (8) i (1). Całkujmy funkcję potęgową, sinus, wykładniczą i stałą 1. Nie zapomnij dodać na końcu dowolnej stałej C:
3 x 3 3 - 2 sałata x - 7 mi x + 12 x + C
Po elementarnych przekształceniach otrzymujemy ostateczną odpowiedź:
X 3 − 2 sałata x − 7 mi x + 12 x + C
Sprawdź się poprzez różniczkowanie: weź pochodną wynikowej funkcji i upewnij się, że jest równa pierwotnej całce.
Tabela podsumowująca całek
| ∫ ZA re x = ZA x + C |
| ∫ x re x = x 2 2 + C |
| ∫ x 2 re x = x 3 3 + C |
| ∫ 1 x re x = 2 x + C |
| ∫ 1 x re x = ln | x | +C |
| ∫ 1 x 2 re x = − 1 x + C |
| ∫ x n re x = x n + 1 n + 1 + do (n ≠ - 1) |
| ∫ mi x re x = mi x + C |
| ∫ za x re x = za x ln za + do (a > 0, za ≠ 1) |
| ∫ s godz x re x = do godz x + C |
| ∫ do godz x re x = s godz x + do |
| ∫ grzech x re x = − sałata x + C |
| ∫ sałata x re x = grzech x + C |
| ∫ 1 sałata 2 x re x = t sol x + C |
| ∫ 1 grzech 2 x re x = - do t sol x + do |
| ∫ 1 1 + x 2 re x = za r do t sol x + do = - za r do do t sol x + do |
| ∫ 1 x 2 + za 2 = 1 za za r do t sol x za + do (za ≠ 0) |
| ∫ 1 1 - x 2 re x = arcsin x + do = - arccos x + do |
| ∫ 1 za 2 - x 2 re x = arcsin x za + do = - arccos x za + do (a > 0) |
| ∫ 1 x 2 + za 2 re x = ln | x + x 2 + za 2 | +C |
| ∫ 1 x 2 − za 2 re x = ln | x + x 2 - za 2 | +C |
| ∫ za 2 - x 2 re x = x 2 za 2 - x 2 + za 2 2 arcsin x za + do (a > 0) |
| ∫ x 2 + za 2 re x = x 2 x 2 + za 2 + za 2 2 ln | x + x 2 + za 2 | + C (a > 0) |
| ∫ x 2 - za 2 re x = x 2 x 2 - za 2 - za 2 2 ln | x + x 2 - za 2 | + C (a > 0) |
Pobierz tabelę całek (część II) z tego linku
Jeśli studiujesz na uczelni, masz trudności z matematyką wyższą (analiza matematyczna, algebra liniowa, teoria prawdopodobieństwa, statystyka), jeśli potrzebujesz usług wykwalifikowanego nauczyciela, przejdź na stronę korepetytora z matematyki wyższej. Wspólnie rozwiążemy Twoje problemy!
Może Cię również zainteresować
Witam ponownie, przyjaciele!
Tak jak obiecałem, podczas tej lekcji zaczniemy odkrywać nieskończone przestrzenie poetyckiego świata całek i zaczniemy rozwiązywać różnorodne (czasami bardzo piękne) przykłady. :)
Aby sprawnie poruszać się w całej integralnej różnorodności i nie zgubić się, potrzebujemy tylko czterech rzeczy:
1) Tabela całek. Wszystkie szczegóły na jej temat - . Właśnie tak się z nią pracuje.
2) Własności liniowości całki nieoznaczonej (całka z sumy/różnicy i iloczyn stałej).
3) Tabela instrumentów pochodnych i zasad różniczkowania.
Tak, tak, nie zdziw się! Bez umiejętności liczenia instrumentów pochodnych nie ma absolutnie nic do zyskania na integracji. Zgadzam się, nie ma sensu na przykład uczyć się dzielenia, nie wiedząc, jak mnożyć. :) I już wkrótce przekonasz się, że bez wyćwiczonej umiejętności różniczkowania nie da się obliczyć ani jednej całki wykraczającej poza elementarne całki tabelaryczne.
4) Metody integracji.
Jest ich bardzo, bardzo dużo. Dla konkretnej klasy funkcji - własnej. Ale wśród całej ich bogatej różnorodności wyróżniają się trzy podstawowe:
– ,
– ,
– .
Każdy z nich zostanie omówiony na osobnych lekcjach.
A teraz wreszcie przejdźmy do rozwiązania długo oczekiwanych przykładów. Aby nie przeskakiwać z działu na dział, powtórzę jeszcze raz cały zestaw dżentelmena, który przyda się nam w dalszej pracy. Niech wszystkie narzędzia będą pod ręką.)
Przede wszystkim to tabela całek:
Ponadto będziemy potrzebować podstawowych właściwości całki nieoznaczonej (właściwości liniowości):
Cóż, niezbędny sprzęt jest przygotowany. Czas iść! :)
Bezpośrednie zastosowanie stołu
W tym akapicie rozważymy najprostsze i najbardziej nieszkodliwe przykłady. Algorytm jest tutaj strasznie prosty:
1) Spójrz na tabelę i poszukaj wymaganych wzorów;
2) Zastosuj właściwości liniowości (jeśli jest to wymagane);
3) Przekształcenie przeprowadzamy za pomocą wzorów tabelarycznych i na końcu dodajemy stałą Z (nie zapomnij!) ;
4) Zapisz odpowiedź.
Więc chodźmy.)
Przykład 1
W naszej tabeli nie ma takiej funkcji. Istnieje jednak całka funkcji potęgowej w postaci ogólnej (druga grupa). W naszym przypadku n=5. Podstawiamy więc pięć za n i dokładnie obliczamy wynik:
Gotowy. :)
Oczywiście ten przykład jest całkowicie prymitywny. Czysto dla zapoznania się.) Jednak umiejętność całkowania potęg ułatwia obliczanie całek dowolnych wielomianów i innych konstrukcji potęgowych.
Przykład 2
Poniżej całki znajduje się suma. Cóż, OK. Mamy właściwości liniowości dla tego przypadku. :) Rozdzielamy naszą całkę na trzy osobne, wyciągamy wszystkie stałe ze znaków całek i każdą liczymy zgodnie z tabelą (grupa 1-2):
Uwaga: stała Z pojawia się dokładnie w momencie, kiedy WSZYSTKIE znaki całki znikają! Oczywiście potem trzeba go stale nosić przy sobie. Co więc zrobić…
Oczywiście zwykle nie ma potrzeby opisywania tak szczegółowo. Odbywa się to wyłącznie w celu zrozumienia. Aby zrozumieć o co chodzi.)
Na przykład już wkrótce, bez większego zastanowienia, w myślach odpowiesz potworom takim jak:
Wielomiany są najbardziej swobodnymi funkcjami w całkach.) A w rozproszeniach, fizyce, wytrzymałości materiałów i innych poważnych dyscyplinach będziesz musiał stale całkować wielomiany. Przyzwyczaić się do tego.)
Następny przykład będzie trochę chłodniejszy.
Przykład 3
Mam nadzieję, że wszyscy rozumieją, że naszą całkę można zapisać w ten sposób:
Funkcja całkowa jest osobna, a współczynnik dx (ikona mechanizmu różnicowego)- osobno.
Komentarz: w tej lekcji mnożnik dx w procesie integracji Do widzenia nie uczestniczy w tym w żaden sposób i na razie mentalnie „zapominamy” o nim. :) Współpracujemy tylko z funkcja całkowa. Ale nie zapominajmy o nim. Już niedługo, dosłownie w kolejnej lekcji poświęconej, będziemy o tym pamiętać. I w pełni poczujemy wagę i moc tej ikony!)
W międzyczasie nasz wzrok skupia się na funkcji całkowej
Nie bardzo przypomina funkcję mocy, ale tak właśnie jest. :) Jeśli pamiętamy szkolne właściwości pierwiastków i potęg, to całkiem możliwe jest przekształcenie naszej funkcji:
A x do potęgi minus dwie trzecie jest już funkcją tabelaryczną! Druga grupa n=-2/3. A stała 1/2 nie jest dla nas przeszkodą. Wyciągamy to na zewnątrz, poza znak całki i obliczamy bezpośrednio, korzystając ze wzoru:
W tym przykładzie pomogły nam elementarne właściwości stopni. Należy to zrobić w większości przypadków, gdy pod całką znajdują się samotne pierwiastki lub ułamki. Dlatego kilka praktycznych wskazówek przy integracji konstrukcji elektroenergetycznych:
Zastępujemy ułamki potęgami o wykładnikach ujemnych;
Zastępujemy pierwiastki potęgami o wykładnikach ułamkowych.
Ale w ostatecznej odpowiedzi przejście od potęg z powrotem do ułamków i pierwiastków jest kwestią gustu. Osobiście wracam - jest bardziej estetyczny czy coś.
I proszę, dokładnie policz wszystkie ułamki! Uważnie monitorujemy znaki i co gdzie trafia – co jest w liczniku, a co w mianowniku.
Co? Masz już dość nudnych funkcji zasilania? OK! Weźmy byka za rogi!
Przykład 4
Jeśli teraz sprowadzimy wszystko pod całkę do wspólnego mianownika, możemy utknąć w tym przykładzie na poważnie i na długi czas.) Ale przyglądając się bliżej całce, widzimy, że nasza różnica składa się z dwóch funkcji tabelarycznych . Nie dajmy się więc wypaczać, ale zamiast tego rozłóżmy naszą całkę na dwie:
Pierwsza całka jest zwykłą funkcją potęgową (2. grupa, n = -1): 1/x = x -1 .
Nasz tradycyjny wzór na funkcję pierwotną funkcji potęgowej
Nie tutaj, ale dla nas n = -1 istnieje godna alternatywa - formuła z logarytmem naturalnym. Ten:
Następnie, zgodnie z tym wzorem, pierwszy ułamek zostanie scalony w następujący sposób:
A drugi ułamek to także funkcja stołowa! Nauczyli? Tak! Ten siódmy wzór z „wysokim” logarytmem:
Stała „a” w tym wzorze jest równa dwa: a=2.
Ważna uwaga: Proszę zwrócić uwagę na stałąZ z integracją pośrednią I nigdzie Nie przypisuję tego! Dlaczego? Ponieważ ona przejdzie do ostatecznej odpowiedzi cały przykład. To w zupełności wystarczy.) Ściśle mówiąc, stałą należy zapisać po każdym całkowaniu indywidualnym - czy to pośrednim, czy końcowym: tego wymaga całka nieoznaczona...)
Przykładowo po pierwszej integracji musiałbym napisać:
Po drugiej integracji:
Sztuka polega jednak na tym, że suma/różnica dowolnych stałych wynosi także jakaś stała! W naszym przypadku do ostatecznej odpowiedzi potrzebujemy pierwszej całki odejmować drugi. Wtedy możemy to zrobić różnica dwie stałe pośrednie:
C1-C2
I mamy pełne prawo zastąpić tę różnicę stałymi jedna stała! I po prostu zmień jego oznaczenie na znaną nam literę „C”. Lubię to:
C1-C2 = C
Zatem przypisujemy tę samą stałą Z do wyniku końcowego i otrzymujemy odpowiedź:
Tak, tak, to są ułamki! Logarytmy wielopiętrowe po zintegrowaniu są najczęstszą rzeczą. My też się do tego przyzwyczajamy.)
Pamiętać:
Podczas pośredniej integracji kilku terminów, stała Z Po każdym z nich nie musisz pisać. Wystarczy uwzględnić to w końcowej odpowiedzi całego przykładu. Na końcu.
Następny przykład również dotyczy ułamka zwykłego. Na rozgrzewkę.)
Przykład 5
Tabela oczywiście nie ma takiej funkcji. Ale tam jest podobny funkcjonować:
To już ostatni ósma formuła. Z arcustangensem. :)
Ten:
I sam Bóg nakazał nam dostosować naszą całkę do tego wzoru! Ale jest jeden problem: w formule tabelarycznej wcześniej x 2 Nie ma współczynnika, ale mamy dziewiątkę. Nie możemy jeszcze bezpośrednio użyć wzoru. Ale w naszym przypadku problem jest całkowicie do rozwiązania. Najpierw usuńmy tę dziewiątkę z nawiasów, a następnie wyjmijmy ją całkowicie poza nasz ułamek.)
A nowym ułamkiem jest funkcja tabelaryczna, której już potrzebujemy, numer 8! Tutaj i 2 = 4/9. Lub a=2/3.
Wszystko. Odejmujemy 1/9 od znaku całki i używamy ósmego wzoru:
To jest odpowiedź. Ten przykład ze współczynnikiem z przodu x 2, celowo to tak wybrałem. Aby było jasne, co należy zrobić w takich przypadkach. :) Jeśli wcześniej x 2 nie ma współczynnika, wtedy takie ułamki również zostaną zintegrowane w umyśle.
Na przykład:
Tutaj za 2 = 5, więc samo „a” będzie „pierwiastkiem z pięciu”. Ogólnie rozumiesz.)
Teraz zmodyfikujmy nieco naszą funkcję: napiszemy mianownik pod pierwiastkiem.) Teraz zajmiemy się całką:
Przykład 6
Mianownik ma teraz pierwiastek. Oczywiście zmieniła się również odpowiednia formuła integracji, tak.) Ponownie wchodzimy do tabeli i szukamy odpowiedniej. Mamy korzenie we wzorach grup 5. i 6. Ale w szóstej grupie różnica jest tylko pod korzeniami. I mamy kwotę. Pracujemy więc nad tym piąta formuła, z „długim” logarytmem:
Numer A mamy pięć. Podstaw do wzoru i otrzymaj:
I to wszystko. To jest odpowiedź. Tak, tak, to takie proste!)
Jeśli pojawią się wątpliwości, zawsze możesz (i powinieneś) sprawdzić wynik poprzez odwrotne różniczkowanie. Sprawdzimy? A jeśli to jakiś rodzaj wpadki?
Rozróżniamy (nie zwracamy uwagi na moduł i postrzegamy go jako zwykłe nawiasy):
Wszystko jest sprawiedliwe. :)
Nawiasem mówiąc, jeśli w podcałce pod pierwiastkiem zmienisz znak z plusa na minus, wówczas wzór na całkowanie pozostanie taki sam. To nie przypadek, że w tabeli pod korzeniem znajduje się mniej więcej. :)
Na przykład:
Ważny! W przypadku minusa, wł Pierwszy miejsce pod korzeniem powinno być dokładnie x 2 i dalej drugi – numer. Jeśli pod pierwiastkiem jest odwrotnie, wówczas odpowiednia formuła tabelaryczna będzie węższa inny!
Przykład 7
Znowu pod rootem minus, ale x 2 z pięcioma zamieniliśmy się miejscami. To podobne, ale nie to samo... W tym przypadku nasza tabela również ma formułę.) Wzór numer 6, jeszcze z nim nie pracowaliśmy:
Ale teraz - ostrożnie. W poprzednim przykładzie użyliśmy pięciu jako liczby A . Tutaj pięć będzie działać jako liczba 2!
Dlatego, aby poprawnie zastosować formułę, nie zapomnij wyodrębnić pierwiastka z pięciu:
A teraz przykład został rozwiązany w jednej akcji. :)
Właśnie tak! Zamieniono tylko warunki w katalogu głównym, a wynik integracji zmienił się znacząco! Logarytm i arcsinus... Więc proszę nie mylmy tych dwóch formuł! Chociaż funkcje całkowe są bardzo podobne...
Premia:
We wzorach tabelarycznych 7-8 przed logarytmem i arcustangensem występują współczynniki 1/(2a) I 1/a odpowiednio. A w niepokojącej sytuacji bojowej, zapisując te formuły, nawet zaprawieni w nauce kujonzy często się mylą, gdzie jest to proste 1/a, I gdzie 1/(2a). Oto prosty trik, który warto zapamiętać.
We wzorze nr 7
Mianownik całki zawiera różnica kwadratów x 2 – 2. Które zgodnie ze straszliwą szkolną formułą rozkłada się jako (x-a)(x+a). NA dwa mnożnik Słowo kluczowe - dwa. I tamte dwa podczas całkowania nawiasy przechodzą do logarytmu: z minusem w górę, z plusem w dół.) A współczynnik przed logarytmem również wynosi 1/( 2 A).
Ale we wzorze nr 8
Mianownik ułamka zawiera suma kwadratów. Ale suma kwadratów x 2 + a 2 nie da się rozłożyć na prostsze czynniki. Zatem cokolwiek by się nie mówiło, mianownik taki pozostanie jeden czynnik. A współczynnik przed arcustangens również będzie wynosił 1/a.
Teraz dla odmiany zintegrujmy trochę trygonometrii.)
Przykład 8
Przykład jest prosty. Tak proste, że ludzie nawet nie patrząc na tabelę, od razu z radością wpisują odpowiedź i... dotarliśmy. :)
Kierujmy się znakami! Jest to najczęstszy błąd przy całkowaniu sinusów/cosinusów. Nie mylić z pochodnymi!
Tak, (grzech X)" = sałata X I (sałata X)’ = - grzech X.
Ale!
Ponieważ ludzie zwykle pamiętają przynajmniej pochodne, aby nie pomylić znaków, technika zapamiętywania całek jest bardzo prosta:
Całka sinusa/cosinusa = minus pochodna tego samego sinusa/cosinusa.
Na przykład ze szkoły wiemy, że pochodna sinusa równa się cosinusowi:
(grzech X)" = sałata X.
Potem dla całka z tego samego sinusa będzie prawdą:
To wszystko.) Podobnie jest z cosinusem.
Naprawmy teraz nasz przykład:
Wstępne przekształcenia elementarne całki
Do tego momentu istniały najprostsze przykłady. Aby wyczuć działanie tabeli i nie popełnić błędów przy wyborze formuły.)
Oczywiście dokonaliśmy kilku prostych przekształceń - wyjęliśmy czynniki i podzieliliśmy je na terminy. Ale odpowiedź wciąż leżała na powierzchni.) Jednak... Gdyby obliczanie całek ograniczało się tylko do bezpośredniego zastosowania tabeli, wówczas byłoby dużo gratisów i życie stałoby się nudne.)
Przyjrzyjmy się teraz bardziej solidnym przykładom. Taki, w którym wydaje się, że nic nie jest przesądzane bezpośrednio. Ale warto przypomnieć sobie choćby kilka podstawowych formuł czy przekształceń, a droga do odpowiedzi stanie się prosta i jasna. :)
Zastosowanie wzorów trygonometrycznych
Kontynuujmy zabawę z trygonometrią.
Przykład 9
Nawet blisko nie ma takiej funkcji w tabeli. Ale w trygonometria szkolna istnieje taka mało znana tożsamość:
Teraz wyrażamy z niego potrzebną nam kwadratową tangens i wstawiamy ją pod całkę:
Dlaczego to zrobiono? A potem po takiej transformacji nasza całka zostanie zredukowana do dwóch tabelarycznych i zostanie wzięta pod uwagę!
Widzieć:
Przeanalizujmy teraz nasze działania. Na pierwszy rzut oka wszystko wydaje się prostsze niż kiedykolwiek. Ale pomyślmy o tym. Gdybyśmy stanęli przed zadaniem Rozróżniać tę samą funkcję, wtedy by to zrobili Dokładnie wiedział dokładnie, co robić – aplikować formuła pochodna funkcji zespolonej:
To wszystko. Prosta i bezproblemowa technologia. To zawsze działa i gwarantuje sukces.
A co z całką? Ale tutaj musieliśmy szperać w trygonometrii, wykopać jakiś niejasny wzór w nadziei, że w jakiś sposób pomoże nam to wyjść i zredukować całkę do całki tabelarycznej. I nie jest faktem, że by nam to pomogło, to wcale nie jest faktem... Dlatego integracja jest procesem bardziej twórczym niż różnicowanie. Sztuka, powiedziałbym nawet. :) I to nie jest najtrudniejszy przykład. To dopiero początek!
Przykład 10
Co inspiruje? Tak, tabela całek jest nadal bezsilna. Ale jeśli ponownie zajrzysz do naszego skarbca wzorów trygonometrycznych, możesz znaleźć bardzo, bardzo przydatny Wzór na cosinus podwójnego kąta:
Stosujemy więc ten wzór do naszej funkcji całkowej. W roli „alfa” mamy x/2.
Otrzymujemy:
Efekt jest niesamowity, prawda?
Te dwa przykłady wyraźnie pokazują, że wstępne przekształcenie funkcji przed integracją Jest to całkowicie akceptowalne, a czasami ogromnie ułatwia życie! A w integracji ta procedura (przekształcenie całki) jest o rząd wielkości bardziej uzasadniona niż w różniczkowaniu. Wszystko zobaczysz później.)
Przyjrzyjmy się kilku bardziej typowym przekształceniom.
Wzory na mnożenie skrócone, nawiasy otwierające, dodawanie podobnych oraz metoda dzielenia wyrazów.
Zwykłe banalne przemiany szkolne. Ale czasami tylko oni ratują, tak.)
Przykład 11
Gdybyśmy liczyli pochodną, to nie byłoby problemu: wzór na pochodną iloczynu i – śmiało. Ale standardowa formuła dla całka nie istnieje z dzieła. Jedynym wyjściem jest otwarcie wszystkich nawiasów, aby pod całką otrzymaliśmy wielomian. I w jakiś sposób zintegrujemy wielomian.) Ale mądrze otworzymy też nawiasy: skrócone wzory na mnożenie mają wielką moc!
(x 2 - 1) 2 (x 2 + 1) 2 = ((x 2 - 1)(x 2 + 1)) 2 = ((x 2) 2 - 1 2) 2 = (x 4 - 1) 2 = x 8 - 2 x 4 + 1
Teraz liczymy:
I to wszystko.)
Przykład 12
Ponownie standardowa formuła dla całka ułamka nie istnieje. Jednak mianownik całki zawiera samotny x. To radykalnie zmienia sytuację.) Podzielmy licznik przez mianownik termin po wyrazie, redukując nasz straszny ułamek do nieszkodliwej sumy tabelarycznych funkcji potęgowych:
Nie będę komentował szczegółowo procedury łączenia stopni: nie są już małe.)
Całkujmy sumę funkcji potęgowych. Zgodnie ze znakiem.)
To wszystko.) Nawiasem mówiąc, gdyby mianownikiem nie było X, ale powiedzmy x+1, lubię to:
Ta sztuczka z podziałem termin po terminie nie zadziałałaby tak łatwo. Dzieje się tak właśnie ze względu na obecność pierwiastka w liczniku i jednostki w mianowniku. Musiałbym pozbyć się korzenia. Ale takie całki są znacznie bardziej skomplikowane. O nich - na innych lekcjach.
Widzieć! Wystarczy lekko zmodyfikować funkcję – od razu zmienia się podejście do jej integracji. Czasami dramatycznie!) Nie ma jasnego standardowego schematu. Każda funkcja ma swoje własne podejście. Czasem nawet wyjątkowy.)
W niektórych przypadkach konwersja na ułamki zwykłe jest jeszcze trudniejsza.
Przykład 13
A w tym przypadku, jak można zredukować całkę do zbioru liczb tabelarycznych? Tutaj możesz sprytnie uniknąć, dodając i odejmując wyrażenie x 2 w liczniku ułamka, po którym następuje dzielenie wyraz po wyrazie. Bardzo sprytna sztuczka z całkami! Obejrzyj klasę mistrzowską! :)
A teraz, jeśli zastąpimy pierwotny ułamek różnicą dwóch ułamków, wówczas nasza całka zostanie podzielona na dwie tabelaryczne - znaną nam już funkcję potęgową i arcus tangens (wzór 8):
Cóż możemy powiedzieć? Wow!
Ta sztuczka polegająca na dodawaniu/odejmowaniu wyrazów w liczniku jest bardzo popularna przy całkowaniu ułamków wymiernych. Bardzo! Polecam zanotować.
Przykład 14
Tutaj również obowiązuje ta sama technologia. Wystarczy dodać/odjąć jeden, aby wyodrębnić wyrażenie w mianowniku z licznika:
Generalnie ułamki wymierne (z wielomianami w liczniku i mianowniku) to odrębny, bardzo szeroki temat. Rzecz w tym, że ułamki wymierne są jedną z nielicznych klas funkcji, dla których istnieje uniwersalna metoda całkowania istnieje. Metoda rozkładu na proste ułamki w połączeniu z . Ale ta metoda jest bardzo pracochłonna i jest zwykle używana jako ciężka artyleria. Będzie mu poświęcona niejedna lekcja. W międzyczasie szkolimy się i doskonalimy w prostych funkcjach.
Podsumujmy dzisiejszą lekcję.
Dzisiaj szczegółowo sprawdziliśmy, jak korzystać z tabeli, ze wszystkimi niuansami, przeanalizowaliśmy wiele przykładów (i to nie tych najbardziej trywialnych) i zapoznaliśmy się z najprostszymi metodami redukcji całek do tabelarycznych. I tak to teraz zrobimy Zawsze. Jakakolwiek straszna funkcja może znajdować się pod całką, za pomocą szerokiej gamy przekształceń zapewnimy, że prędzej czy później nasza całka, w ten czy inny sposób, zostanie zredukowana do zestawu tabelarycznych.
Kilka praktycznych wskazówek.
1) Jeżeli całka jest ułamkiem, którego licznik jest sumą potęg (pierwiastków), a mianownikiem jest samotny x moc, wówczas stosujemy dzielenie licznika przez mianownik. Zamień pierwiastki na potęgi c wskaźniki ułamkowe i pracować według wzorów 1-2.
2) W konstrukcjach trygonometrycznych próbujemy przede wszystkim podstawowych wzorów trygonometrycznych - kąt podwójny/potrójny,
Możesz mieć dużo szczęścia. Albo może nie…
3) W razie potrzeby (szczególnie w wielomianach i ułamkach) używamyskrócone wzory na mnożenie:
(a+b) 2 = za 2 +2ab+b 2
(a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2
(a-b)(a+b) = a 2 -b 2
4) Całkując ułamki zwykłe z wielomianami, staramy się sztucznie wyodrębnić wyrażenie(a) w mianowniku w liczniku. Bardzo często ułamek jest upraszczany, a całka sprowadzana do kombinacji ułamków tabelarycznych.
Cóż, przyjaciele? Widzę, że zaczynasz lubić całki. :) Wtedy stajemy się lepsi w samodzielnym rozwiązywaniu przykładów.) Dzisiejszy materiał jest wystarczający, aby skutecznie sobie z nimi poradzić.
Co? Nie wiem, ? Tak! Jeszcze przez to nie przeszliśmy.) Ale nie ma potrzeby bezpośredniego integrowania ich tutaj. I niech kurs szkolny Ci pomoże!)
Odpowiedzi (w nieładzie):
Dla lepszych efektów zdecydowanie polecam zakup zbioru problemów opartych na G.N. Bermana. Fajne rzeczy!
To wszystko, co mam na dzisiaj. Powodzenia!
Całki złożone
Artykuł ten kończy temat całek nieoznaczonych i obejmuje całki, które uważam za dość złożone. Lekcja powstała na wielokrotne prośby odwiedzających, którzy wyrazili chęć przeanalizowania na stronie trudniejszych przykładów.
Zakłada się, że czytelnik tego tekstu jest dobrze przygotowany i wie, jak zastosować podstawowe techniki integracyjne. Manekiny i osoby, które nie są zbyt pewne w całkach, powinny zapoznać się z pierwszą lekcją - Całka nieoznaczona. Przykłady rozwiązań, gdzie można opanować temat niemal od zera. Bardziej doświadczeni studenci mogą zapoznać się z technikami i metodami integracji, z którymi nie spotkałem się jeszcze w moich artykułach.
Jakie całki zostaną uwzględnione?
Najpierw rozważymy całki z pierwiastkami, do rozwiązania których sukcesywnie używamy wymiana zmienna I całkowanie przez części. Oznacza to, że w jednym przykładzie połączono dwie techniki na raz. I nawet więcej.
Wtedy poznamy ciekawe i oryginalne metoda redukcji całki do samej siebie. Sporo całek rozwiązuje się w ten sposób.
Trzecim wydaniem programu będą całki ułamków zespolonych, które przelatywały obok kas w poprzednich artykułach.
Po czwarte, zostaną przeanalizowane dodatkowe całki z funkcji trygonometrycznych. W szczególności istnieją metody, które pozwalają uniknąć czasochłonnego uniwersalnego podstawienia trygonometrycznego.
(2) W funkcji całkowej dzielimy licznik przez mianownik, wyraz po wyrazie.
(3) Korzystamy z własności liniowości całki nieoznaczonej. W ostatniej całce od razu umieść funkcję pod znakiem różniczkowym.
(4) Bierzemy pozostałe całki. Należy pamiętać, że w logarytmie można używać nawiasów zamiast modułu, ponieważ .
(5) Wykonujemy zamianę odwrotną, wyrażając „te” z zamiany bezpośredniej:
Studenci masochistyczni mogą rozróżnić odpowiedź i otrzymać oryginalną całkę, tak jak właśnie to zrobiłem. Nie, nie, sprawdziłem we właściwym sensie =)
Jak widać, podczas rozwiązania musieliśmy zastosować nawet więcej niż dwie metody rozwiązywania, dlatego aby poradzić sobie z takimi całkami potrzebne są pewne umiejętności integracji i spore doświadczenie.
W praktyce oczywiście pierwiastek kwadratowy jest bardziej powszechny; oto trzy przykłady samodzielnego rozwiązania:
Przykład 2
Znajdź całkę nieoznaczoną
Przykład 3
Znajdź całkę nieoznaczoną
Przykład 4
Znajdź całkę nieoznaczoną
Te przykłady są tego samego typu, więc pełne rozwiązanie na końcu artykułu będzie dotyczyć tylko Przykładu 2; Przykłady 3-4 mają te same odpowiedzi. Jakiego zamiennika użyć na początku decyzji, myślę, że jest oczywiste. Dlaczego wybrałem przykłady tego samego typu? Często spotykane w swojej roli. Być może częściej, po prostu coś takiego 
.
Ale nie zawsze, gdy pod arcus tangensem, sinusem, cosinusem, wykładniczym i innymi funkcjami znajduje się pierwiastek funkcji liniowej, trzeba zastosować kilka metod jednocześnie. W wielu przypadkach można „łatwo wysiąść”, to znaczy natychmiast po wymianie uzyskuje się prostą całkę, którą można łatwo przyjąć. Najłatwiejszym z zaproponowanych powyżej zadań jest Przykład 4, w którym po zamianie otrzymuje się stosunkowo prostą całkę.
Redukując całkę do siebie
Dowcipna i piękna metoda. Przyjrzyjmy się klasyce gatunku:
Przykład 5
Znajdź całkę nieoznaczoną
Pod pierwiastkiem znajduje się dwumian kwadratowy, a próba zintegrowania tego przykładu może przyprawić czajniczek o ból głowy na wiele godzin. Całkę taką rozbiera się na części i sprowadza do siebie. W zasadzie nie jest to trudne. Jeśli wiesz jak.
Oznaczmy rozważaną całkę literą łacińską i rozpocznijmy rozwiązanie: 
Całkujmy przez części: 
(1) Przygotuj funkcję całkową do podziału wyraz po członie.
(2) Dzielimy funkcję całkową wyraz po wyrazie. Może nie dla wszystkich jest to jasne, ale opiszę to bardziej szczegółowo:
(3) Korzystamy z własności liniowości całki nieoznaczonej.
(4) Weź ostatnią całkę („długi” logarytm).
Spójrzmy teraz na sam początek rozwiązania: 
I na koniec: 
Co się stało? W wyniku naszych manipulacji całka została zredukowana do samej siebie!
Przyrównajmy początek i koniec: 
Przejdź na lewą stronę ze zmianą znaku: 
I przesuwamy oba na prawą stronę. W rezultacie: 
Stała, ściśle rzecz biorąc, powinna była zostać dodana wcześniej, ale dodałem ją na końcu. Gorąco polecam przeczytać, jaki jest rygor tutaj:
Notatka:
Ściślej, końcowy etap rozwiązania wygląda następująco:
Zatem:
Stała może zostać ponownie wyznaczona przez . Dlaczego można go przeznaczyć? Bo nadal to akceptuje każdy wartości i w tym sensie nie ma różnicy między stałymi i.
W rezultacie:
Podobna sztuczka ze stałą renotacją jest szeroko stosowana w równania różniczkowe. I tam będę rygorystyczny. I tutaj pozwalam na taką dowolność tylko po to, żeby nie wprowadzać Was w niepotrzebne rzeczy i skupić uwagę właśnie na samym sposobie integracji.
Przykład 6
Znajdź całkę nieoznaczoną
Kolejna typowa całka dla rozwiązania niezależnego. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji. Odpowiedź z poprzedniego przykładu będzie się różnić!
Jeśli pod pierwiastkiem kwadratowym znajduje się trójmian kwadratowy, to rozwiązanie i tak sprowadza się do dwóch analizowanych przykładów.
Rozważmy na przykład całkę 
. Wszystko, co musisz zrobić, to najpierw wybierz cały kwadrat:
.
Następnie przeprowadzana jest zamiana liniowa, która odbywa się „bez żadnych konsekwencji”:
, co daje całkę . Coś znajomego, prawda?
Lub ten przykład z dwumianem kwadratowym:
Wybierz cały kwadrat:
A po podstawieniu liniowym otrzymujemy całkę, którą również rozwiązujemy za pomocą omówionego już algorytmu.
Przyjrzyjmy się dwóm bardziej typowym przykładom redukcji całki do samej siebie:
– całka wykładnicza pomnożona przez sinus;
– całka wykładnicza pomnożona przez cosinus.
W wymienionych całkach po częściach będziesz musiał całkować dwukrotnie:
Przykład 7
Znajdź całkę nieoznaczoną
Całka to wykładniczy pomnożony przez sinus.
Całkujemy przez części dwukrotnie i redukujemy całkę do samej siebie: 
W wyniku podwójnego całkowania przez części całka została zredukowana do siebie. Przyrównujemy początek i koniec rozwiązania:
Przesuwamy go na lewą stronę zmieniając znak i wyrażamy naszą całkę: 
Gotowy. Jednocześnie wskazane jest czesanie prawej strony, tj. usuń wykładnik z nawiasów i umieść sinus i cosinus w nawiasach w „pięknej” kolejności.
Wróćmy teraz do początku przykładu, a dokładniej do całkowania przez części: 
Oznaczyliśmy wykładnik jako. Powstaje pytanie: czy to wykładnik należy zawsze oznaczać przez ? Niekoniecznie. W rzeczywistości w rozważanej całce zasadniczo nie ma znaczenia, co mamy na myśli mówiąc , mogliśmy pójść inną drogą: 
Dlaczego jest to możliwe? Ponieważ wykładniczy zamienia się w siebie (zarówno podczas różniczkowania, jak i całkowania), sinus i cosinus wzajemnie zamieniają się w siebie (znowu zarówno podczas różniczkowania, jak i całkowania).
Oznacza to, że możemy również oznaczyć funkcję trygonometryczną. Ale w rozważanym przykładzie jest to mniej racjonalne, ponieważ pojawią się ułamki. Jeśli chcesz, możesz spróbować rozwiązać ten przykład drugą metodą; odpowiedzi muszą się zgadzać.
Przykład 8
Znajdź całkę nieoznaczoną
To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Zanim podejmiesz decyzję, zastanów się, co w tym przypadku korzystniej jest oznaczyć jako , funkcję wykładniczą czy trygonometryczną? Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.
I oczywiście nie zapominaj, że większość odpowiedzi w tej lekcji można dość łatwo sprawdzić poprzez różniczkowanie!
Rozważane przykłady nie były najbardziej złożone. W praktyce całki występują częściej, gdy stała występuje zarówno w wykładniku, jak i w argumencie funkcji trygonometrycznej, na przykład: . Wiele osób będzie zdezorientowanych taką całką i ja często się mylę. Faktem jest, że prawdopodobieństwo pojawienia się ułamków w roztworze jest duże, a przez nieostrożność bardzo łatwo coś stracić. Ponadto istnieje duże prawdopodobieństwo błędu w znakach; należy pamiętać, że wykładnik ma znak minus, co powoduje dodatkową trudność.
Na ostatnim etapie wynik jest często podobny do tego:
Nawet pod koniec rozwiązania powinieneś zachować szczególną ostrożność i poprawnie zrozumieć ułamki: 
Całkowanie ułamków złożonych
Powoli zbliżamy się do równika lekcji i zaczynamy rozważać całki ułamków. Powtórzę: nie wszystkie są super skomplikowane, po prostu z tego czy innego powodu przykłady w innych artykułach były trochę „nie na temat”.
Kontynuując temat korzeni
Przykład 9
Znajdź całkę nieoznaczoną
W mianowniku pod pierwiastkiem znajduje się trójmian kwadratowy plus „dodatek” w postaci „X” na zewnątrz pierwiastka. Całkę tego typu można rozwiązać za pomocą podstawienia standardowego.
My decydujemy: 
Zamiana tutaj jest prosta: 
Spójrzmy na życie po wymianie: 
(1) Po podstawieniu sprowadzamy wyrazy pod pierwiastkiem do wspólnego mianownika.
(2) Wyciągamy go spod korzenia.
(3) Licznik i mianownik zmniejsza się o . Jednocześnie w katalogu głównym uporządkowałem terminy w dogodnej kolejności. Przy pewnym doświadczeniu kroki (1), (2) można pominąć, wykonując ustnie skomentowane czynności.
(4) Wynikowa całka, jak pamiętacie z lekcji Całkowanie niektórych ułamków, jest rozstrzygane metoda pełnej ekstrakcji kwadratowej. Wybierz cały kwadrat.
(5) Całkując otrzymujemy zwykły „długi” logarytm.
(6) Wykonujemy odwrotną wymianę. Jeśli początkowo , to z powrotem: .
(7) Ostateczne działanie ma na celu wyprostowanie wyniku: pod korzeniem ponownie sprowadzamy terminy do wspólnego mianownika i usuwamy je spod korzenia.
Przykład 10
Znajdź całkę nieoznaczoną 
To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Tutaj do pojedynczego „X” dodawana jest stała, a zamiana jest prawie taka sama: 
Jedyne, co musisz zrobić dodatkowo, to wyrazić „x” z przeprowadzanej wymiany: 
Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.
Czasami w takiej całce pod pierwiastkiem może znajdować się dwumian kwadratowy, nie zmienia to sposobu rozwiązania, będzie jeszcze prościej. Poczuj różnicę:
Przykład 11
Znajdź całkę nieoznaczoną
Przykład 12
Znajdź całkę nieoznaczoną
Krótkie rozwiązania i odpowiedzi na końcu lekcji. Należy zauważyć, że przykład 11 jest dokładnie taki Całka dwumianowa, którego sposób rozwiązania został omówiony na zajęciach Całki funkcji niewymiernych.
Całka nierozkładalnego wielomianu drugiego stopnia do potęgi
(wielomian w mianowniku)
Rzadszy typ całki, niemniej jednak spotykany w praktycznych przykładach.
Przykład 13
Znajdź całkę nieoznaczoną
Wróćmy jednak do przykładu ze szczęśliwą liczbą 13 (szczerze mówiąc, nie zgadłem). Ta całka jest również jedną z tych, które mogą być dość frustrujące, jeśli nie wiesz, jak rozwiązać.
Rozwiązanie zaczyna się od sztucznej transformacji: 
Myślę, że wszyscy już rozumieją, jak podzielić licznik przez mianownik.
Powstałą całkę dzieli się na części: 
Dla całki postaci ( – liczba naturalna) wyprowadzamy nawracający formuła redukcyjna:
, Gdzie 
– całka stopnia niższego.
Sprawdźmy słuszność tego wzoru dla rozwiązanej całki.
W tym przypadku: , , korzystamy ze wzoru: 
Jak widać odpowiedzi są takie same.
Przykład 14
Znajdź całkę nieoznaczoną
To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. W przykładowym roztworze dwukrotnie z rzędu zastosowano powyższy wzór.
Jeśli poniżej stopnia jest niepodzielny kwadratowy trójmian, następnie rozwiązanie sprowadza się do dwumianu poprzez wyodrębnienie idealnego kwadratu, na przykład:
A co jeśli w liczniku znajduje się dodatkowy wielomian? W tym przypadku stosuje się metodę współczynników nieokreślonych, a funkcję całki rozkłada się na sumę ułamków. Ale w mojej praktyce jest taki przykład nigdy nie spotkany, więc pominąłem ten przypadek w artykule Całki funkcji ułamkowo-wymiernych, pominę to teraz. Jeśli nadal spotykasz taką całkę, spójrz do podręcznika - tam wszystko jest proste. Nie sądzę, że wskazane jest uwzględnianie materiału (nawet prostego), prawdopodobieństwo spotkania, które dąży do zera.
Całkowanie złożonych funkcji trygonometrycznych
Przymiotnik „złożony” w większości przykładów jest w dużej mierze warunkowy. Zacznijmy od stycznych i cotangensów w dużych potęgach. Z punktu widzenia stosowanych metod rozwiązywania tangens i cotangens to prawie to samo, więc omówię więcej o stycznej, co oznacza, że zademonstrowana metoda rozwiązywania całki obowiązuje również w przypadku cotangensu.
W powyższej lekcji przyjrzeliśmy się uniwersalne podstawienie trygonometryczne do rozwiązywania pewnego rodzaju całek funkcji trygonometrycznych. Wadą uniwersalnego podstawienia trygonometrycznego jest to, że jego użycie często skutkuje uciążliwymi całekami i trudnymi obliczeniami. W niektórych przypadkach można uniknąć uniwersalnego podstawienia trygonometrycznego!
Rozważmy inny przykład kanoniczny, całkę jednostkową podzieloną przez sinus:
Przykład 17
Znajdź całkę nieoznaczoną
Tutaj możesz zastosować uniwersalne podstawienie trygonometryczne i uzyskać odpowiedź, ale istnieje bardziej racjonalny sposób. Dostarczę kompletne rozwiązanie z komentarzami do każdego kroku:
(1) Używamy wzoru trygonometrycznego na sinus podwójnego kąta.
(2) Dokonujemy sztucznego przekształcenia: dzielimy mianownik i mnożymy przez .
(3) Korzystając ze znanego wzoru w mianowniku, przekształcamy ułamek na styczną.
(4) Podnosimy funkcję pod znak różniczkowy.
(5) Weź całkę.
Kilka prostych przykładów do samodzielnego rozwiązania:
Przykład 18
Znajdź całkę nieoznaczoną
Uwaga: Pierwszym krokiem powinno być skorzystanie ze wzoru redukcyjnego 
i ostrożnie wykonaj czynności podobne do poprzedniego przykładu.
Przykład 19
Znajdź całkę nieoznaczoną
Cóż, to bardzo prosty przykład.
Kompletne rozwiązania i odpowiedzi znajdują się na końcu lekcji.
Myślę, że teraz nikt nie będzie miał problemów z całkami: 
i tak dalej.
Jaka jest idea metody? Pomysł polega na użyciu przekształceń i wzorów trygonometrycznych w celu zorganizowania w całkę tylko stycznych i pochodnej stycznej. Oznacza to, że mówimy o wymianie: 
. W przykładach 17-19 faktycznie użyliśmy tego zastąpienia, ale całki były tak proste, że poradziliśmy sobie z równoważnym działaniem - podciągając funkcję pod znak różniczkowy.
Podobne rozumowanie, jak już wspomniałem, można przeprowadzić dla kotangensu.
Istnieje także przesłanka formalna zastosowania powyższego zastąpienia:
Suma potęg cosinusa i sinusa jest ujemną liczbą całkowitą PARZYSZĄ, Na przykład:
dla całki – liczba całkowita ujemna PARZYSTA.
! Notatka : jeśli podcałka zawiera TYLKO sinus lub TYLKO cosinus, to całkę również przyjmuje się dla ujemnego stopnia nieparzystego (najprostsze przypadki są w Przykładach nr 17, 18).
Przyjrzyjmy się kilku bardziej znaczącym zadaniom opartym na tej regule:
Przykład 20
Znajdź całkę nieoznaczoną
Suma potęg sinusa i cosinusa: 2 – 6 = –4 jest liczbą całkowitą ujemną PARZYSZĄ, co oznacza, że całkę można sprowadzić do stycznych i jej pochodnej: 
(1) Przekształćmy mianownik.
(2) Korzystając ze znanego wzoru, otrzymujemy .
(3) Przekształćmy mianownik.
(4) Używamy wzoru 
.
(5) Podnosimy funkcję pod znak różniczkowy.
(6) Wykonujemy wymianę. Bardziej doświadczeni uczniowie mogą nie dokonywać zamiany, ale nadal lepiej jest zastąpić styczną jedną literą – ryzyko pomyłki jest mniejsze.
Przykład 21
Znajdź całkę nieoznaczoną
To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie.
Trzymaj się, rundy mistrzostw zaraz się rozpoczną =)
Często podcałka zawiera „mieszankę”:
Przykład 22
Znajdź całkę nieoznaczoną 
Całka ta początkowo zawiera styczną, co od razu prowadzi do znanej już myśli:
Sztuczną transformację pozostawię na samym początku i pozostałe kroki bez komentarza, gdyż wszystko zostało już omówione powyżej.
Kilka kreatywnych przykładów własnego rozwiązania:
Przykład 23
Znajdź całkę nieoznaczoną 
Przykład 24
Znajdź całkę nieoznaczoną 
Tak, w nich oczywiście można obniżyć potęgi sinusa i cosinusa i zastosować uniwersalne podstawienie trygonometryczne, ale rozwiązanie będzie znacznie wydajniejsze i krótsze, jeśli zostanie przeprowadzone poprzez styczne. Pełne rozwiązanie i odpowiedzi na końcu lekcji
Pokazano, że całkę iloczynu funkcji potęgowych sin x i cos x można sprowadzić do całki dwumianu różniczkowego. W przypadku całkowitych wartości wykładników takie całki można łatwo obliczyć za pomocą części lub za pomocą wzorów redukcyjnych. Podano wyprowadzenie wzorów redukcyjnych. Podano przykład obliczenia takiej całki.
TreśćZobacz też:
Tabela całek nieoznaczonych
Redukcja do całki dwumianu różniczkowego
Rozważmy całki postaci:
Takie całki sprowadza się do całki różniczkowego dwumianu jednego z podstawień t = grzech x lub t = bo x.
Zademonstrujmy to, wykonując podstawienie
t = grzech x.
Następnie
dt = (sin x)′ dx = cos x dx;
sałata 2 x = 1 - grzech 2 x = 1 - t 2;
Jeśli m i n są liczbami wymiernymi, należy zastosować różnicowe metody całkowania dwumianowego.
Całkowanie z liczbami całkowitymi m i n
Następnie rozważmy przypadek, gdy m i n są liczbami całkowitymi (niekoniecznie dodatnimi). W tym przypadku całka jest funkcją wymierną grzech x I bo x. Można zatem zastosować zasady przedstawione w rozdziale „Całkowanie funkcji wymiernych trygonometrycznych”.
Jednak biorąc pod uwagę specyfikę, łatwiej jest zastosować wzory redukcyjne, które łatwo uzyskać poprzez całkowanie przez części.
Formuły redukcyjne
Wzory redukcyjne na całkę
mieć postać:
;
;
;
.
Nie trzeba ich zapamiętywać, ponieważ można je łatwo uzyskać poprzez całkowanie przez części.
Dowód wzorów redukcyjnych
Całkujmy przez części.
Mnożąc przez m + n, otrzymujemy pierwszą formułę:
W podobny sposób otrzymujemy drugi wzór.
Całkujmy przez części.
Mnożąc przez m + n, otrzymujemy drugi wzór:
Trzecia formuła.
Całkujmy przez części.
Mnożenie przez n + 1
, otrzymujemy trzecią formułę:
Podobnie dla czwartej formuły.
Całkujmy przez części.
Mnożenie przez m + 1
, otrzymujemy czwartą formułę:
Przykład
Obliczmy całkę:
Przekształćmy:
Tutaj m = 10, n = - 4.
Stosujemy wzór redukcyjny:
Kiedy m = 10, n = - 4:
Kiedy m = 8, n = - 2:
Stosujemy wzór redukcyjny:
Kiedy m = 6, n = - 0:
Kiedy m = 4, n = - 0:
Kiedy m = 2, n = - 0:
Obliczamy pozostałą całkę:
Wyniki pośrednie zbieramy w jedną formułę.
Bibliografia:
N.M. Gunter, RO Kuźmin, Zbiór problemów matematyki wyższej, „Lan”, 2003.
Na tej stronie znajdziesz:
1. Właściwie tabela funkcji pierwotnych - można ją pobrać w formacie PDF i wydrukować;
2. Film pokazujący, jak korzystać z tej tabeli;
3. Kilka przykładów obliczania funkcji pierwotnej z różnych podręczników i testów.
W samym filmie przeanalizujemy wiele problemów, w których trzeba obliczyć funkcje pierwotne funkcji, często dość skomplikowanych, ale co najważniejsze, nie są to funkcje potęgowe. Wszystkie funkcje podsumowane w tabeli zaproponowanej powyżej muszą być znane na pamięć, podobnie jak pochodne. Bez nich dalsze badanie całek i ich zastosowanie do rozwiązywania problemów praktycznych jest niemożliwe.
Dzisiaj kontynuujemy naukę prymitywów i przechodzimy do nieco bardziej złożonego tematu. Jeśli ostatnim razem zajmowaliśmy się funkcjami pierwotnymi tylko funkcji potęgowych i nieco bardziej złożonymi konstrukcjami, dzisiaj zajmiemy się trygonometrią i wieloma innymi kwestiami.
Jak powiedziałem na ostatniej lekcji, funkcji pierwotnych, w przeciwieństwie do instrumentów pochodnych, nigdy nie rozwiązuje się „od razu” przy użyciu standardowych reguł. Co więcej, zła wiadomość jest taka, że w przeciwieństwie do pochodnej, funkcja pierwotna może w ogóle nie być brana pod uwagę. Jeśli napiszemy funkcję całkowicie losową i spróbujemy znaleźć jej pochodną, to z bardzo dużym prawdopodobieństwem nam się to uda, ale funkcja pierwotna w tym przypadku prawie nigdy nie zostanie obliczona. Ale jest dobra wiadomość: istnieje dość duża klasa funkcji zwanych funkcjami elementarnymi, których funkcje pierwotne są bardzo łatwe do obliczenia. Wszystkie inne, bardziej złożone struktury, które są podawane na wszelkiego rodzaju testach, niezależnych testach i egzaminach, w rzeczywistości składają się z tych elementarnych funkcji poprzez dodawanie, odejmowanie i inne proste działania. Prototypy takich funkcji od dawna są obliczane i zestawiane w specjalne tabele. To właśnie z tymi funkcjami i tabelami będziemy dzisiaj pracować.
Ale zaczniemy, jak zawsze, od powtórki: przypomnijmy sobie, czym jest funkcja pierwotna, dlaczego jest ich nieskończenie wiele i jak określić ich ogólny wygląd. Aby to zrobić, podjąłem dwa proste problemy.
Rozwiązywanie prostych przykładów
Przykład 1
Zauważmy od razu, że $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ i ogólnie obecność $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ natychmiast sugeruje nam, że wymagana funkcja pierwotna funkcji jest powiązana z trygonometrią. I rzeczywiście, jeśli spojrzymy na tabelę, odkryjemy, że $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ to nic innego jak $\text(arctg)x$. Zapiszmy to więc:
Aby znaleźć, musisz zapisać następujące informacje:
\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]
\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]
Przykład nr 2
Mówimy tu także o funkcjach trygonometrycznych. Jeśli spojrzymy na tabelę, rzeczywiście dzieje się tak:
Musimy znaleźć wśród całego zbioru funkcji pierwotnych tę, która przechodzi przez wskazany punkt:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]
Zapiszmy to w końcu:
To takie proste. Jedynym problemem jest to, że aby obliczyć funkcje pierwotne prostych funkcji, trzeba poznać tablicę funkcji pierwotnych. Jednak po przestudiowaniu tabeli pochodnych myślę, że nie będzie to stanowić problemu.
Rozwiązywanie problemów zawierających funkcję wykładniczą
Na początek napiszmy następujące formuły:
\[((e)^(x))\do ((e)^(x))\]
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]
Zobaczmy jak to wszystko wygląda w praktyce.
Przykład 1
Jeśli spojrzymy na zawartość nawiasów, zauważymy, że w tabeli funkcji pierwotnych nie ma takiego wyrażenia, aby $((e)^(x))$ było w kwadracie, zatem kwadrat ten należy rozwinąć. Aby to zrobić, używamy skróconych wzorów na mnożenie:
Znajdźmy funkcję pierwotną dla każdego z terminów:
\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^ (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]
Teraz zbierzmy wszystkie terminy w jedno wyrażenie i otrzymajmy ogólną funkcję pierwotną:
Przykład nr 2
Tym razem stopień jest większy, więc skrócony wzór na mnożenie będzie dość skomplikowany. Otwórzmy więc nawiasy:
Spróbujmy teraz wyciągnąć funkcję pierwotną naszego wzoru z tej konstrukcji:
Jak widać, w funkcjach pierwotnych funkcji wykładniczej nie ma nic skomplikowanego ani nadprzyrodzonego. Wszystkie są obliczane za pomocą tabel, ale uważni uczniowie prawdopodobnie zauważą, że funkcja pierwotna $((e)^(2x))$ jest znacznie bliższa po prostu $((e)^(x))$ niż $((a )^(x))$. Może więc istnieje jakaś bardziej specjalna zasada, która pozwala, znając funkcję pierwotną $((e)^(x))$, znaleźć $((e)^(2x))$? Tak, istnieje taka zasada. Co więcej, jest to integralna część pracy z tabelą funkcji pierwotnych. Przeanalizujemy to teraz, używając tych samych wyrażeń, z którymi właśnie pracowaliśmy jako przykład.
Zasady pracy z tabelą funkcji pierwotnych
Napiszmy jeszcze raz naszą funkcję:
W poprzednim przypadku do rozwiązania wykorzystaliśmy następujący wzór:
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\nazwa operatora(lna))\]
Ale teraz zróbmy to trochę inaczej: pamiętajmy na jakiej podstawie $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Jak już mówiłem, ponieważ pochodna $((e)^(x))$ to nic innego jak $((e)^(x))$, zatem jej funkcja pierwotna będzie równa temu samemu $((e) ^ (x))$. Ale problem polega na tym, że mamy $((e)^(2x))$ i $((e)^(-2x))$. Spróbujmy teraz znaleźć pochodną $((e)^(2x))$:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
Przepiszmy naszą konstrukcję jeszcze raz:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]
Oznacza to, że gdy znajdziemy funkcję pierwotną $((e)^(2x))$, otrzymamy co następuje:
\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]
Jak widać, otrzymaliśmy ten sam wynik co poprzednio, ale nie użyliśmy wzoru na znalezienie $((a)^(x))$. Może się to wydawać głupie: po co komplikować obliczenia, skoro istnieje standardowa formuła? Jednak w nieco bardziej skomplikowanych wyrażeniach przekonasz się, że technika ta jest bardzo skuteczna, tj. używanie pochodnych do znajdowania funkcji pierwotnych.
Na rozgrzewkę znajdźmy funkcję pierwotną $((e)^(2x))$ w podobny sposób:
\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=(e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]
Podczas obliczeń nasza konstrukcja zostanie zapisana w następujący sposób:
\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]
Otrzymaliśmy dokładnie ten sam wynik, ale wybraliśmy inną drogę. To właśnie ta ścieżka, która obecnie wydaje nam się nieco bardziej skomplikowana, w przyszłości okaże się bardziej efektywna przy obliczaniu bardziej złożonych funkcji pierwotnych i korzystaniu z tabel.
Notatka! To bardzo ważny punkt: funkcje pierwotne, podobnie jak pochodne, można liczyć na wiele różnych sposobów. Jeśli jednak wszystkie obliczenia i obliczenia będą równe, odpowiedź będzie taka sama. Widzieliśmy to właśnie na przykładzie $((e)^(-2x))$ - z jednej strony tę funkcję pierwotną obliczyliśmy „na wskroś”, korzystając z definicji i wyliczając ją za pomocą przekształceń, z drugiej strony pamiętaliśmy, że $ ((e)^(-2x))$ można przedstawić jako $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ i dopiero wtedy użyliśmy funkcja pierwotna funkcji $( (a)^(x))$. Jednak po wszystkich przekształceniach wynik był taki sam, jak oczekiwano.
A teraz, gdy już to wszystko rozumiemy, czas przejść do czegoś bardziej znaczącego. Teraz przeanalizujemy dwie proste konstrukcje, ale technika, która zostanie zastosowana przy ich rozwiązywaniu, jest potężniejszym i bardziej użytecznym narzędziem niż zwykłe „przebieganie” pomiędzy sąsiednimi funkcjami pierwotnymi z tabeli.
Rozwiązywanie problemów: znalezienie funkcji pierwotnej funkcji
Przykład 1
Podzielmy kwotę znajdującą się w licznikach na trzy oddzielne ułamki:
Jest to dość naturalne i zrozumiałe przejście – większość uczniów nie ma z tym problemów. Przepiszmy nasze wyrażenie w następujący sposób:
Przypomnijmy sobie teraz tę formułę:
W naszym przypadku otrzymamy co następuje:
Aby pozbyć się wszystkich tych trzypiętrowych ułamków, sugeruję wykonanie następujących czynności:
Przykład nr 2
W przeciwieństwie do poprzedniego ułamka, mianownik nie jest iloczynem, ale sumą. W takim przypadku nie możemy już dzielić naszego ułamka na sumę kilku prostych ułamków, ale musimy w jakiś sposób upewnić się, że licznik zawiera w przybliżeniu to samo wyrażenie co mianownik. W tym przypadku jest to dość proste:
Ten zapis, który w języku matematycznym nazywany jest „dodawaniem zera”, pozwoli nam ponownie podzielić ułamek na dwie części:
Teraz znajdźmy to, czego szukaliśmy:
To wszystkie obliczenia. Pomimo pozornie większej złożoności niż w poprzednim zadaniu, ilość obliczeń okazała się jeszcze mniejsza.
Niuanse rozwiązania
I tu właśnie leży główna trudność pracy z tabelarycznymi funkcjami pierwotnymi, jest to szczególnie widoczne w drugim zadaniu. Faktem jest, że aby wybrać pewne elementy, które można łatwo obliczyć za pomocą tabeli, musimy wiedzieć, czego dokładnie szukamy, a na poszukiwaniu tych elementów składa się cała kalkulacja funkcji pierwotnych.
Innymi słowy, nie wystarczy po prostu zapamiętać tabelę funkcji pierwotnych - trzeba umieć zobaczyć coś, czego jeszcze nie ma, ale co miał na myśli autor i kompilator tego problemu. Dlatego wielu matematyków, nauczycieli i profesorów nieustannie spiera się: „Czym jest obliczanie funkcji pierwotnych lub całkowanie – czy to tylko narzędzie, czy prawdziwa sztuka?” Tak naprawdę, moim osobistym zdaniem, integracja nie jest wcale sztuką – nie ma w niej nic wzniosłego, jest po prostu praktyką i jeszcze raz praktyką. Aby poćwiczyć, rozwiążmy trzy poważniejsze przykłady.
Szkolimy z integracji w praktyce
Zadanie nr 1
Napiszmy następujące formuły:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
\[\frac(1)(x)\do \ln x\]
\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]
Napiszmy co następuje:
Problem nr 2
Przepiszmy to w następujący sposób:
Całkowita funkcja pierwotna będzie równa:
Problem nr 3
Trudność tego zadania polega na tym, że w przeciwieństwie do poprzednich funkcji powyżej, w ogóle nie ma zmiennej $x$, tj. nie jest dla nas jasne, co dodać, a co odjąć, aby uzyskać przynajmniej coś podobnego do tego, co poniżej. Jednak w rzeczywistości to wyrażenie jest uważane za jeszcze prostsze niż którekolwiek z poprzednich wyrażeń, ponieważ tę funkcję można przepisać w następujący sposób:
Możesz teraz zapytać: dlaczego te funkcje są równe? Sprawdźmy:
Przepiszmy to jeszcze raz:
Przekształćmy trochę nasze wyrażenie:
A kiedy tłumaczę to wszystko moim uczniom, prawie zawsze pojawia się ten sam problem: przy pierwszej funkcji wszystko jest mniej więcej jasne, przy drugiej można to też rozgryźć przy odrobinie szczęścia lub praktyki, ale jaki rodzaj alternatywnej świadomości wybrać? trzeba mieć, aby rozwiązać trzeci przykład? Właściwie, nie bój się. Technika, którą zastosowaliśmy przy obliczaniu ostatniej funkcji pierwotnej, nazywa się „rozkładem funkcji na najprostszą” i jest to bardzo poważna technika, której poświęcona zostanie osobna lekcja wideo.
W międzyczasie proponuję wrócić do tego, co właśnie badaliśmy, a mianowicie do funkcji wykładniczych i nieco skomplikować problemy ich treścią.
Bardziej złożone problemy rozwiązywania funkcji wykładniczych pierwotnych
Zadanie nr 1
Zwróćmy uwagę na następujące kwestie:
\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]
Aby znaleźć funkcję pierwotną tego wyrażenia, wystarczy użyć standardowego wzoru - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.
W naszym przypadku funkcja pierwotna będzie wyglądać następująco:
Oczywiście w porównaniu z projektem, który właśnie rozwiązaliśmy, ten wygląda na prostszy.
Problem nr 2
Ponownie łatwo zauważyć, że tę funkcję można łatwo podzielić na dwa osobne wyrazy - dwa osobne ułamki. Przepiszmy:
Pozostaje znaleźć funkcję pierwotną każdego z tych terminów, korzystając ze wzoru opisanego powyżej:
Pomimo pozornie większej złożoności funkcji wykładniczych w porównaniu z funkcjami potęgowymi, ogólna objętość obliczeń i obliczeń okazała się znacznie prostsza.
Oczywiście dla doświadczonych studentów to, co właśnie omówiliśmy (szczególnie na tle tego, co omówiliśmy wcześniej) może wydawać się wyrażeniami elementarnymi. Jednak wybierając te dwa zadania na dzisiejszą lekcję wideo, nie postawiłem sobie za cel podania innej złożonej i wyrafinowanej techniki - chciałem tylko pokazać, że nie należy bać się używać standardowych technik algebry do przekształcania oryginalnych funkcji .
Używanie „tajnej” techniki
Podsumowując, chciałbym przyjrzeć się innej ciekawej technice, która z jednej strony wykracza poza to, o czym głównie dzisiaj rozmawialiśmy, ale z drugiej strony jest po pierwsze wcale nieskomplikowana, tj. Nawet początkujący uczniowie są w stanie go opanować, a po drugie dość często można go spotkać na wszelkiego rodzaju testach i samodzielnej pracy, tj. jego znajomość będzie bardzo przydatna oprócz znajomości tabeli funkcji pierwotnych.
Zadanie nr 1
Oczywiście mamy coś bardzo podobnego do funkcji potęgowej. Co powinniśmy zrobić w tym przypadku? Pomyślmy o tym: $x-5$ nie różni się zbytnio od $x$ - po prostu dodali $-5$. Napiszmy to tak:
\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]
Spróbujmy znaleźć pochodną $((\left(x-5 \right))^(5))$:
\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]
Oznacza to:
\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ prawo))^(\prime))\]
W tabeli nie ma takiej wartości, dlatego sami wyprowadziliśmy ten wzór, korzystając ze standardowego wzoru na funkcję pierwotną na funkcję potęgową. Zapiszmy odpowiedź w ten sposób:
Problem nr 2
Wielu uczniów, którzy patrzą na pierwsze rozwiązanie, może pomyśleć, że wszystko jest bardzo proste: wystarczy zamienić $x$ w funkcji potęgi na wyrażenie liniowe i wszystko się ułoży. Niestety wszystko nie jest takie proste i teraz to zobaczymy.
Analogicznie do pierwszego wyrażenia piszemy, co następuje:
\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]
\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]
Wracając do naszej pochodnej, możemy napisać:
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]
\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \right))^(\prime ))\]
To natychmiast następuje:
Niuanse rozwiązania
Uwaga: jeśli ostatnim razem nic się zasadniczo nie zmieniło, to w drugim przypadku zamiast -10$ pojawiło się -30$. Jaka jest różnica między -10 $ a -30 $? Oczywiście o współczynnik $-3$. Pytanie: skąd to się wzięło? Jeśli przyjrzysz się uważnie, zobaczysz, że został on wzięty w wyniku obliczenia pochodnej funkcji zespolonej - współczynnik, który wyniósł $x$, pojawia się w funkcji pierwotnej poniżej. To bardzo ważna zasada, której początkowo nie planowałem w ogóle omawiać na dzisiejszej lekcji wideo, ale bez niej prezentacja tabelarycznych funkcji pierwotnych byłaby niepełna.
Więc zróbmy to jeszcze raz. Niech będzie nasza główna funkcja mocy:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
Teraz zamiast $x$ podstawmy wyrażenie $kx+b$. Co się wtedy stanie? Musimy znaleźć następujące informacje:
\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \right)\cdot k)\]
Na jakiej podstawie tak twierdzimy? Bardzo prosta. Znajdźmy pochodną konstrukcji zapisanej powyżej:
\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\lewo(kx+b\prawo))^(n))\]
Jest to to samo wyrażenie, które istniało pierwotnie. Zatem ten wzór jest również poprawny i można nim uzupełnić tabelę funkcji pierwotnych lub lepiej po prostu zapamiętać całą tabelę.
Wnioski z „sekretu: techniki:
- Obie funkcje, które właśnie sprawdziliśmy, można w rzeczywistości sprowadzić do funkcji pierwotnych wskazanych w tabeli poprzez rozwinięcie stopni, ale jeśli mniej więcej w jakiś sposób możemy sobie poradzić z czwartym stopniem, to nie robiłbym dziewiątego stopnia na wszyscy odważyli się ujawnić.
- Gdybyśmy poszerzyli stopnie, otrzymalibyśmy taką ilość obliczeń, że proste zadanie zajęłoby nam nieproporcjonalnie dużo czasu.
- Dlatego takich problemów, które zawierają wyrażenia liniowe, nie trzeba rozwiązywać „na oślep”. Gdy tylko natkniesz się na funkcję pierwotną, która różni się od tej w tabeli jedynie obecnością w środku wyrażenia $kx+b$, natychmiast zapamiętaj zapisaną powyżej formułę, podstaw ją do swojej tabeli funkcji pierwotnej i wszystko okaże się bardzo dobre szybciej i łatwiej.
Naturalnie, ze względu na złożoność i powagę tej techniki, będziemy wielokrotnie wracać do jej rozważenia podczas przyszłych lekcji wideo, ale to wszystko na dzisiaj. Mam nadzieję, że ta lekcja naprawdę pomoże tym uczniom, którzy chcą zrozumieć funkcje pierwotne i całkowanie.