Niech zostanie podany układ liniowych równań algebraicznych, który należy rozwiązać (znajdź takie wartości niewiadomych xi, które zamieniają każde równanie układu w równość).
Wiemy, że układ liniowych równań algebraicznych może:
1) Nie mają rozwiązań (być nie wspólne).
2) Mają nieskończenie wiele rozwiązań.
3) Miej jedno rozwiązanie.
Jak pamiętamy, reguła Cramera i metoda macierzowa nie sprawdzają się w przypadkach, gdy układ ma nieskończenie wiele rozwiązań lub jest niespójny. Metoda Gaussa – najpotężniejsze i wszechstronne narzędzie do znajdowania rozwiązań dowolnego układu równań liniowych, Który w każdym przypadku doprowadzi nas do odpowiedzi! Sam algorytm metody działa tak samo we wszystkich trzech przypadkach. Jeśli metoda Cramera i metoda macierzowa wymagają znajomości wyznaczników, to do zastosowania metody Gaussa wystarczy znajomość działań arytmetycznych, co czyni ją przystępną nawet dla uczniów szkół podstawowych.
Rozszerzone transformacje macierzy ( to jest macierz układu - macierz złożona tylko ze współczynników niewiadomych plus kolumna wolnych wyrazów) układy liniowych równań algebraicznych w metodzie Gaussa:
1) Z troki matryce Móc przemieniać w niektórych miejscach.
2) jeżeli w macierzy pojawiają się (lub istnieją) proporcjonalne (w szczególnym przypadku – identyczne) wiersze, to należy usuwać z macierzy wszystkie te wiersze z wyjątkiem jednego.
3) jeżeli podczas przekształceń w macierzy pojawia się wiersz zerowy, to też powinien tak być usuwać.
4) może być wiersz macierzy mnożyć (dzielić) na dowolną liczbę inną niż zero.
5) do wiersza macierzy możesz dodaj kolejny ciąg pomnożony przez liczbę, różny od zera.
W metodzie Gaussa przekształcenia elementarne nie zmieniają rozwiązania układu równań.
Metoda Gaussa składa się z dwóch etapów:
- „Ruch bezpośredni” - za pomocą przekształceń elementarnych doprowadzamy rozszerzoną macierz układu liniowych równań algebraicznych do postaci „trójkątnej” schodkowej: elementy rozszerzonej macierzy znajdujące się poniżej głównej przekątnej są równe zeru (ruch z góry na dół). Na przykład do tego typu:
Aby to zrobić, wykonaj następujące kroki:
1) Rozważmy pierwsze równanie układu liniowych równań algebraicznych, a współczynnik dla x 1 jest równy K. Drugie, trzecie itd. przekształcamy równania w następujący sposób: dzielimy każde równanie (współczynniki niewiadomych, w tym wyrazy wolne) przez współczynnik niewiadomej x 1, który jest w każdym równaniu i mnożymy przez K. Następnie odejmujemy pierwszy od drugie równanie (współczynniki niewiadomych i wyrazy swobodne). Dla x 1 w drugim równaniu otrzymujemy współczynnik 0. Od trzeciego przekształconego równania odejmujemy pierwsze równanie, aż wszystkie równania oprócz pierwszego, dla nieznanego x 1, będą miały współczynnik 0.
2) Przejdźmy do następnego równania. Niech to będzie drugie równanie i współczynnik dla x 2 równy M. Postępujemy ze wszystkimi „niższymi” równaniami jak opisano powyżej. Zatem „pod” niewiadomą x 2 we wszystkich równaniach będą zera.
3) Przejdź do następnego równania i tak dalej, aż pozostanie ostatnia niewiadoma i przekształcony człon wolny.
- „Ruch odwrotny” metody Gaussa polega na uzyskaniu rozwiązania układu liniowych równań algebraicznych (ruch „od dołu do góry”). Z ostatniego „niższego” równania otrzymujemy jedno pierwsze rozwiązanie - niewiadomą x n. W tym celu rozwiązujemy równanie elementarne A * x n = B. W powyższym przykładzie x 3 = 4. Znalezioną wartość podstawiamy do „górnego” następnego równania i rozwiązujemy z uwzględnieniem kolejnej niewiadomej. Na przykład x 2 – 4 = 1, tj. x 2 = 5. I tak dalej, aż znajdziemy wszystkie niewiadome.
Przykład.
Rozwiążmy układ równań liniowych metodą Gaussa, jak radzą niektórzy autorzy:
Zapiszmy rozszerzoną macierz układu i za pomocą elementarnych przekształceń sprowadźmy ją do postaci krokowej:
Patrzymy na lewy górny „krok”. Powinniśmy mieć tam jednostkę. Problem polega na tym, że w pierwszej kolumnie w ogóle nie ma jednostek, więc zmiana kolejności wierszy niczego nie rozwiąże. W takich przypadkach jednostka musi być zorganizowana przy użyciu transformacji elementarnej. Zwykle można to zrobić na kilka sposobów. Zróbmy to:
1 krok
. Do pierwszej linii dodajemy drugą linię pomnożoną przez –1. Oznacza to, że mentalnie pomnożyliśmy drugą linię przez –1 i dodaliśmy pierwszą i drugą linię, podczas gdy druga linia się nie zmieniła.
Teraz w lewym górnym rogu znajduje się „minus jeden”, co nam całkiem odpowiada. Każdy, kto chce otrzymać +1, może wykonać dodatkową akcję: pomnożyć pierwszą linię przez –1 (zmienić jej znak).
Krok 2 . Pierwsza linia pomnożona przez 5 została dodana do drugiej linii. Pierwsza linia pomnożona przez 3 została dodana do trzeciej linii.
Krok 3 . Pierwsza linia została pomnożona przez –1, w zasadzie dotyczy to piękna. Zmieniono także znak trzeciej linii i przesunięto go na drugie miejsce, dzięki czemu na drugim „kroku” mieliśmy już wymaganą jednostkę.
Krok 4 . Trzecia linia została dodana do drugiej linii, pomnożona przez 2.
Krok 5 . Trzecia linia została podzielona przez 3.
Znak wskazujący na błąd w obliczeniach (rzadziej literówkę) to „zły” wynik końcowy. Oznacza to, że jeśli poniżej otrzymamy coś w rodzaju (0 0 11 |23) i odpowiednio 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, to z dużym prawdopodobieństwem możemy powiedzieć, że podczas zajęć elementarnych popełniono błąd przemiany.
Zróbmy odwrotnie; przy projektowaniu przykładów często nie przepisuje się samego układu, ale równania „bierze się bezpośrednio z danej macierzy”. Przypominam, że ruch odwrotny działa od dołu do góry. W tym przykładzie efektem był prezent:
x 3 = 1
x2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, zatem x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1
Odpowiedź:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.
Rozwiążmy ten sam układ, korzystając z zaproponowanego algorytmu. Dostajemy
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
Podziel drugie równanie przez 5, a trzecie przez 3. Otrzymujemy:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
Mnożąc drugie i trzecie równanie przez 4, otrzymujemy:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Odejmij pierwsze równanie od drugiego i trzeciego równania, mamy:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Podziel trzecie równanie przez 0,64:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Pomnóż trzecie równanie przez 0,4
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Odejmując drugie od trzeciego równania, otrzymujemy „schodkową” rozszerzoną macierz:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Zatem, ponieważ błąd narósł podczas obliczeń, otrzymujemy x 3 = 0,96 lub w przybliżeniu 1.
x 2 = 3 i x 1 = –1.
Rozwiązując w ten sposób, nigdy nie pomylisz się w obliczeniach i pomimo błędów obliczeniowych otrzymasz wynik.
Ten sposób rozwiązywania układu liniowych równań algebraicznych jest łatwo programowalny i nie uwzględnia specyfiki współczynników dla niewiadomych, gdyż w praktyce (w obliczeniach ekonomicznych i technicznych) mamy do czynienia ze współczynnikami niecałkowitymi.
Życzę Ci sukcesu! Do zobaczenia w klasie! Korepetytor Dmitrij Aystrachanow.
stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.
Jednym z najprostszych sposobów rozwiązania układu równań liniowych jest technika oparta na obliczeniu wyznaczników ( Reguła Cramera). Jego zaletą jest to, że pozwala na natychmiastowe zarejestrowanie rozwiązania; jest to szczególnie wygodne w przypadkach, gdy współczynniki układu nie są liczbami, ale pewnymi parametrami. Jego wadą jest uciążliwość obliczeń w przypadku dużej liczby równań, ponadto reguła Cramera nie ma bezpośredniego zastosowania do układów, w których liczba równań nie pokrywa się z liczbą niewiadomych. W takich przypadkach zwykle się go stosuje Metoda Gaussa.
Układy równań liniowych mające ten sam zbiór rozwiązań nazywane są równowartość. Oczywiście zbiór rozwiązań układu liniowego nie ulegnie zmianie, jeśli zamienimy jakieś równania, pomnożymy jedno z równań przez jakąś liczbę niezerową lub dodamy jedno równanie do drugiego.
Metoda Gaussa (metoda sekwencyjnej eliminacji niewiadomych) polega na tym, że za pomocą przekształceń elementarnych system sprowadza się do układu równoważnego typu schodkowego. Najpierw, korzystając z pierwszego równania, eliminujemy X 1 wszystkich kolejnych równań układu. Następnie, korzystając z drugiego równania, eliminujemy X 2 z trzeciego i wszystkich kolejnych równań. Proces ten, tzw bezpośrednia metoda Gaussa, trwa tak długo, aż po lewej stronie ostatniego równania pozostanie tylko jedna niewiadoma x rz. Po tym jest to zrobione odwrotność metody Gaussa– rozwiązując ostatnie równanie, znajdujemy x rz; następnie, używając tej wartości, z przedostatniego równania, które obliczamy x rz–1 itd. Znajdujemy ostatni X 1 z pierwszego równania.
Wygodnie jest przeprowadzać transformacje Gaussa, wykonując transformacje nie za pomocą samych równań, ale za pomocą macierzy ich współczynników. Rozważmy macierz:
zwany rozbudowana matryca systemu, ponieważ oprócz głównej matrycy systemu zawiera kolumnę terminów dowolnych. Metoda Gaussa polega na sprowadzeniu macierzy głównej układu do postaci trójkątnej (lub trapezowej w przypadku układów niekwadratowych) za pomocą elementarnych przekształceń wierszowych (!) rozszerzonej macierzy układu.
Przykład 5.1. Rozwiąż układ metodą Gaussa:
Rozwiązanie. Wypiszmy rozszerzoną macierz układu i korzystając z pierwszego wiersza zresetujmy następnie pozostałe elementy:
otrzymujemy zera w 2., 3. i 4. rzędzie pierwszej kolumny:
Teraz potrzebujemy, aby wszystkie elementy w drugiej kolumnie poniżej drugiego wiersza były równe zero. Aby to zrobić, możesz pomnożyć drugą linię przez –4/7 i dodać ją do trzeciej linii. Aby jednak nie zajmować się ułamkami utwórzmy jednostkę w 2 rzędzie drugiej kolumny i tylko
Teraz, aby uzyskać macierz trójkątną, musisz zresetować element czwartego wiersza trzeciej kolumny; aby to zrobić, możesz pomnożyć trzeci wiersz przez 8/54 i dodać go do czwartego. Aby jednak nie zajmować się ułamkami, zamienimy 3. i 4. wiersz oraz 3. i 4. kolumnę i dopiero potem zresetujemy określony element. Należy pamiętać, że podczas zmiany układu kolumn odpowiednie zmienne zamieniają się miejscami i należy o tym pamiętać; innych elementarnych przekształceń z kolumnami (dodawanie i mnożenie przez liczbę) nie można wykonywać!
Ostatnia uproszczona macierz odpowiada układowi równań równoważnemu pierwotnemu:
Stąd, stosując odwrotność metody Gaussa, znajdujemy z czwartego równania X 3 = –1; z trzeciego X 4 = –2, od drugiego X 2 = 2 i z pierwszego równania X 1 = 1. W formie macierzowej odpowiedź zapisuje się jako
Rozważaliśmy przypadek, gdy układ jest określony, tj. gdy jest tylko jedno rozwiązanie. Zobaczmy, co się stanie, jeśli system będzie niespójny lub niepewny.
Przykład 5.2. Zbadaj system za pomocą metody Gaussa:
Rozwiązanie. Wypisujemy i przekształcamy rozszerzoną macierz układu
Piszemy uproszczony układ równań:
Tutaj w ostatnim równaniu okazuje się, że 0=4, tj. sprzeczność. W rezultacie układ nie ma rozwiązania, tj. ona niekompatybilny. à
Przykład 5.3. Zbadaj i rozwiąż układ za pomocą metody Gaussa:
Rozwiązanie. Wypisujemy i przekształcamy rozszerzoną macierz układu:
W wyniku przekształceń w ostatnim wierszu znajdują się same zera. Oznacza to, że liczba równań zmniejszyła się o jeden:
Zatem po uproszczeniu zostają dwa równania i cztery niewiadome, czyli: dwa nieznane „dodatkowe”. Niech będą „zbędne” lub, jak mówią, wolne zmienne, będzie X 3 i X 4. Następnie
Wierzyć X 3 = 2A I X 4 = B, otrzymujemy X 2 = 1–A I X 1 = 2B–A; lub w formie macierzowej
Rozwiązanie zapisane w ten sposób nazywa się ogólny, ponieważ, podając parametry A I B różne wartości, można opisać wszystkie możliwe rozwiązania układu. A
Od początku XVI-XVIII wieku matematycy zaczęli intensywnie badać funkcje, dzięki którym tak wiele zmieniło się w naszym życiu. Bez tej wiedzy technologia komputerowa po prostu nie istniałaby. Stworzono różne koncepcje, twierdzenia i techniki rozwiązywania złożonych problemów, równań liniowych i funkcji. Jedną z takich uniwersalnych i racjonalnych metod i technik rozwiązywania równań liniowych i ich układów była metoda Gaussa. Macierze, ich ranga, wyznacznik – wszystko można obliczyć bez stosowania skomplikowanych operacji.
Co to jest SLAU
W matematyce istnieje pojęcie SLAE – układu liniowych równań algebraicznych. Jaka ona jest? Jest to zbiór m równań z wymaganymi n nieznanymi wielkościami, zwykle oznaczanymi jako x, y, z lub x 1, x 2 ... x n lub innymi symbolami. Rozwiązanie danego układu metodą Gaussa polega na znalezieniu wszystkich nieznanych niewiadomych. Jeśli układ ma tę samą liczbę niewiadomych i równań, nazywa się go układem n-tego rzędu.
Najpopularniejsze metody rozwiązywania SLAE
W placówkach edukacyjnych szkół średnich badane są różne metody rozwiązywania takich systemów. Najczęściej są to proste równania składające się z dwóch niewiadomych, więc żadna istniejąca metoda znalezienia na nie odpowiedzi nie zajmie dużo czasu. Może to przypominać metodę podstawienia, gdy z jednego równania wyprowadza się inne i podstawia je do pierwotnego. Lub metoda odejmowania i dodawania wyrazów po wyrazie. Ale metoda Gaussa jest uważana za najłatwiejszą i najbardziej uniwersalną. Umożliwia rozwiązywanie równań z dowolną liczbą niewiadomych. Dlaczego tę konkretną technikę uważa się za racjonalną? To proste. Zaletą metody macierzowej jest to, że nie wymaga ona kilkukrotnego przepisywania niepotrzebnych symboli jako niewiadomych; wystarczy wykonać działania arytmetyczne na współczynnikach – i otrzymamy rzetelny wynik.
Gdzie w praktyce stosuje się SLAE?
Rozwiązaniem SLAE są punkty przecięcia prostych na wykresach funkcji. W epoce zaawansowanych technologii komputerowych osoby ściśle związane z tworzeniem gier i innych programów muszą wiedzieć, jak rozwiązywać takie systemy, co reprezentują i jak sprawdzić poprawność otrzymanego wyniku. Najczęściej programiści opracowują specjalne programy kalkulatora algebry liniowej, które zawierają również układ równań liniowych. Metoda Gaussa pozwala obliczyć wszystkie istniejące rozwiązania. Stosowane są również inne uproszczone formuły i techniki.
Kryterium zgodności SLAU
Taki system można rozwiązać tylko wtedy, gdy jest kompatybilny. Dla przejrzystości przedstawimy SLAE w postaci Ax=b. Ma rozwiązanie, jeśli rang(A) równa się rang(A,b). W tym przypadku (A,b) jest macierzą w postaci rozszerzonej, którą można otrzymać z macierzy A poprzez przepisanie jej na wolne terminy. Okazuje się, że rozwiązywanie równań liniowych metodą Gaussa jest dość łatwe.
Być może niektóre symbole nie są do końca jasne, dlatego należy rozważyć wszystko na przykładzie. Powiedzmy, że istnieje system: x+y=1; 2x-3 lata=6. Składa się tylko z dwóch równań, w których są 2 niewiadome. Układ będzie miał rozwiązanie tylko wtedy, gdy rząd jego macierzy będzie równy rządowi rozszerzonej macierzy. Co to jest ranga? Jest to liczba niezależnych linii systemu. W naszym przypadku rząd macierzy wynosi 2. Macierz A będzie składać się ze współczynników znajdujących się w pobliżu niewiadomych, a współczynniki znajdujące się za znakiem „=” również będą pasować do rozszerzonej macierzy.
Dlaczego SLAE można przedstawić w formie macierzowej?
W oparciu o kryterium zgodności według sprawdzonego twierdzenia Kroneckera-Capelliego układ liniowych równań algebraicznych można przedstawić w postaci macierzowej. Stosując metodę kaskady Gaussa można rozwiązać macierz i uzyskać jedną wiarygodną odpowiedź dla całego układu. Jeśli ranga macierzy zwykłej jest równa rangi jej macierzy rozszerzonej, ale jest mniejsza od liczby niewiadomych, to system ma nieskończoną liczbę odpowiedzi.
Transformacje macierzowe
Zanim przejdziesz do rozwiązywania macierzy, musisz wiedzieć, jakie działania można wykonać na ich elementach. Istnieje kilka elementarnych transformacji:
- Przepisując układ w postaci macierzowej i rozwiązując go, można pomnożyć wszystkie elementy szeregu przez ten sam współczynnik.
- Aby przekształcić macierz do postaci kanonicznej, można zamienić dwa równoległe wiersze. Z formy kanonicznej wynika, że wszystkie elementy macierzy znajdujące się wzdłuż głównej przekątnej stają się jedynkami, a pozostałe zerami.
- Odpowiednie elementy równoległych rzędów macierzy można do siebie dodawać.
Metoda Jordana-Gaussa
Istotą rozwiązywania układów liniowych równań jednorodnych i niejednorodnych metodą Gaussa jest stopniowe eliminowanie niewiadomych. Załóżmy, że mamy układ dwóch równań, w którym są dwie niewiadome. Aby je znaleźć, musisz sprawdzić system pod kątem kompatybilności. Równanie rozwiązuje się bardzo prosto metodą Gaussa. Należy zapisać współczynniki znajdujące się przy każdej niewiadomej w postaci macierzowej. Aby rozwiązać układ, będziesz musiał wypisać rozszerzoną macierz. Jeżeli jedno z równań zawiera mniejszą liczbę niewiadomych, wówczas w miejsce brakującego elementu należy wstawić „0”. Do macierzy stosowane są wszystkie znane metody transformacji: mnożenie, dzielenie przez liczbę, dodawanie do siebie odpowiednich elementów szeregu i inne. Okazuje się, że w każdym wierszu należy pozostawić jedną zmienną o wartości „1”, resztę należy sprowadzić do zera. Aby uzyskać dokładniejsze zrozumienie, należy rozważyć metodę Gaussa na przykładach.
Prosty przykład rozwiązania układu 2x2
Na początek weźmy prosty układ równań algebraicznych, w którym będą 2 niewiadome.
Przepiszmy to na rozszerzoną macierz.
Aby rozwiązać ten układ równań liniowych, potrzebne są tylko dwie operacje. Musimy doprowadzić macierz do postaci kanonicznej, aby były one wzdłuż głównej przekątnej. Zatem przenosząc z postaci macierzowej z powrotem do układu otrzymujemy równania: 1x+0y=b1 i 0x+1y=b2, gdzie b1 i b2 są wynikami w procesie rozwiązania.
- Pierwszą czynnością przy rozwiązywaniu rozszerzonej macierzy będzie następująca: pierwszy wiersz należy pomnożyć przez -7 i dodać odpowiednie elementy do drugiego wiersza, aby pozbyć się jednej niewiadomej w drugim równaniu.
- Ponieważ rozwiązywanie równań metodą Gaussa polega na sprowadzeniu macierzy do postaci kanonicznej, to należy wykonać te same operacje z pierwszym równaniem i usunąć drugą zmienną. Aby to zrobić, odejmujemy drugą linię od pierwszej i otrzymujemy wymaganą odpowiedź - rozwiązanie SLAE. Lub, jak pokazano na rysunku, mnożymy drugi wiersz przez współczynnik -1 i dodajemy elementy drugiego rzędu do pierwszego wiersza. To jest to samo.
Jak widać, nasz układ został rozwiązany metodą Jordana-Gaussa. Zapisujemy to w wymaganej postaci: x=-5, y=7.
Przykład rozwiązania 3x3 SLAE
Załóżmy, że mamy bardziej złożony układ równań liniowych. Metoda Gaussa pozwala obliczyć odpowiedź nawet dla najbardziej pozornie zagmatwanego systemu. Dlatego, aby głębiej zagłębić się w metodologię obliczeń, można przejść do bardziej złożonego przykładu z trzema niewiadomymi.
Podobnie jak w poprzednim przykładzie przepisujemy układ w postaci rozszerzonej macierzy i zaczynamy doprowadzać go do postaci kanonicznej.
Aby rozwiązać ten system, będziesz musiał wykonać znacznie więcej czynności niż w poprzednim przykładzie.
- Najpierw musisz ustawić pierwszą kolumnę jako element jednostkowy, a pozostałe zera. Aby to zrobić, pomnóż pierwsze równanie przez -1 i dodaj do niego drugie równanie. Należy pamiętać, że pierwszą linijkę przepisujemy w oryginalnej formie, a drugą w zmodyfikowanej formie.
- Następnie usuwamy tę samą pierwszą niewiadomą z trzeciego równania. Aby to zrobić, pomnóż elementy pierwszego wiersza przez -2 i dodaj je do trzeciego wiersza. Teraz pierwszy i drugi wiersz zostały przepisane w oryginalnej formie, a trzeci - ze zmianami. Jak widać z wyniku, pierwsze zera otrzymaliśmy na początku głównej przekątnej macierzy, a pozostałe zera. Jeszcze kilka kroków, a układ równań metodą Gaussa zostanie niezawodnie rozwiązany.
- Teraz musisz wykonać operacje na innych elementach wierszy. Trzecią i czwartą akcję można połączyć w jedną. Musimy podzielić drugą i trzecią linię przez -1, aby pozbyć się minusów na przekątnej. Doprowadziliśmy już trzecią linię do wymaganej formy.
- Następnie doprowadzamy drugą linię do postaci kanonicznej. Aby to zrobić, mnożymy elementy trzeciego wiersza przez -3 i dodajemy je do drugiego wiersza macierzy. Z wyniku jasno wynika, że druga linia również zostaje zredukowana do potrzebnej nam formy. Pozostaje wykonać jeszcze kilka operacji i usunąć współczynniki niewiadomych z pierwszej linii.
- Aby uzyskać 0 z drugiego elementu wiersza, należy pomnożyć trzeci wiersz przez -3 i dodać go do pierwszego wiersza.
- Kolejnym decydującym krokiem będzie dodanie niezbędnych elementów drugiego rzędu do pierwszego rzędu. W ten sposób otrzymujemy postać kanoniczną macierzy i, co za tym idzie, odpowiedź.
Jak widać rozwiązywanie równań metodą Gaussa jest dość proste.
Przykład rozwiązania układu równań 4x4
Niektóre bardziej złożone układy równań można rozwiązać metodą Gaussa przy użyciu programów komputerowych. Należy wpisać współczynniki niewiadomych do istniejących pustych komórek, a program sam krok po kroku obliczy wymagany wynik, szczegółowo opisując każdą akcję.
Instrukcje krok po kroku dotyczące rozwiązania takiego przykładu opisano poniżej.
W pierwszym kroku do pustych komórek wprowadzane są wolne współczynniki i liczby dla niewiadomych. Otrzymujemy zatem tę samą rozszerzoną macierz, którą piszemy ręcznie.
I wykonywane są wszystkie niezbędne operacje arytmetyczne, aby doprowadzić rozszerzoną macierz do jej postaci kanonicznej. Należy zrozumieć, że odpowiedzią na układ równań nie zawsze są liczby całkowite. Czasami rozwiązaniem może być liczba ułamkowa.
Sprawdzenie poprawności rozwiązania
Metoda Jordana-Gaussa umożliwia sprawdzenie poprawności wyniku. Aby dowiedzieć się, czy współczynniki zostały obliczone poprawnie, wystarczy wynik podstawić do pierwotnego układu równań. Lewa strona równania musi odpowiadać prawej stronie za znakiem równości. Jeśli odpowiedzi nie są zgodne, to musisz przeliczyć system na nowo lub spróbować zastosować do niego inną znaną Ci metodę rozwiązywania SLAE, taką jak podstawienie lub odejmowanie i dodawanie wyrazów po wyrazie. W końcu matematyka jest nauką, która ma ogromną liczbę różnych metod rozwiązywania. Pamiętaj jednak: wynik powinien być zawsze taki sam, niezależnie od zastosowanej metody rozwiązania.
Metoda Gaussa: najczęstsze błędy przy rozwiązywaniu SLAE
Przy rozwiązywaniu liniowych układów równań najczęściej pojawiają się błędy w postaci nieprawidłowego przeniesienia współczynników do postaci macierzowej. Istnieją układy, w których w jednym z równań brakuje niektórych niewiadomych, wówczas przy przenoszeniu danych do rozszerzonej macierzy mogą zostać utracone. W rezultacie przy rozwiązywaniu tego układu wynik może nie odpowiadać rzeczywistemu.
Kolejnym poważnym błędem może być błędne zapisanie wyniku końcowego. Konieczne jest jasne zrozumienie, że pierwszy współczynnik będzie odpowiadał pierwszej niewiadomej z systemu, drugi - drugiemu i tak dalej.
Metoda Gaussa szczegółowo opisuje rozwiązanie równań liniowych. Dzięki niemu łatwo jest przeprowadzić niezbędne operacje i znaleźć odpowiedni wynik. Ponadto jest to uniwersalne narzędzie do znajdowania wiarygodnej odpowiedzi na równania o dowolnej złożoności. Może dlatego tak często używa się go przy rozwiązywaniu SLAE.
Tutaj możesz bezpłatnie rozwiązać układ równań liniowych Metoda Gaussa w Internecie duże rozmiary w liczbach zespolonych z bardzo szczegółowym rozwiązaniem. Nasz kalkulator może rozwiązywać online zarówno zwykłe określone, jak i nieokreślone układy równań liniowych przy użyciu metody Gaussa, która ma nieskończoną liczbę rozwiązań. W takim przypadku w odpowiedzi otrzymasz zależność niektórych zmiennych od innych, dowolnych. Możesz także sprawdzić spójność układu równań online, korzystając z rozwiązania Gaussa.
O metodzie
Rozwiązując układ równań liniowych online metodą Gaussa, wykonywane są następujące kroki.
- Piszemy rozszerzoną macierz.
- W rzeczywistości rozwiązanie jest podzielone na kroki do przodu i do tyłu metody Gaussa. Bezpośrednie podejście metody Gaussa polega na redukcji macierzy do postaci krokowej. Odwrotnością metody Gaussa jest redukcja macierzy do specjalnej postaci krokowej. Ale w praktyce wygodniej jest natychmiast wyzerować to, co znajduje się zarówno nad, jak i pod danym elementem. Nasz kalkulator wykorzystuje dokładnie takie podejście.
- Należy pamiętać, że przy rozwiązywaniu metodą Gaussa obecność w macierzy przynajmniej jednego wiersza zerowego z niezerową prawą stroną (kolumna wolnych wyrazów) wskazuje na niespójność układu. W tym przypadku rozwiązanie układu liniowego nie istnieje.
Aby najlepiej zrozumieć działanie algorytmu Gaussa online, wpisz dowolny przykład, wybierz „bardzo szczegółowe rozwiązanie” i obejrzyj jego rozwiązanie online.
Jedną z uniwersalnych i skutecznych metod rozwiązywania liniowych układów algebraicznych jest Metoda Gaussa , polegający na sekwencyjnej eliminacji niewiadomych.
Przypomnijmy, że oba systemy to tzw równowartość (równoważne), jeśli zbiory ich rozwiązań pokrywają się. Innymi słowy, systemy są równoważne, jeśli każde rozwiązanie jednego z nich jest rozwiązaniem drugiego i odwrotnie. Równoważne systemy uzyskuje się, gdy elementarne przemiany równania układu:
pomnożenie obu stron równania przez liczbę różną od zera;
dodanie do jakiegoś równania odpowiednich części innego równania, pomnożonych przez liczbę różną od zera;
przekształcenie dwóch równań.
Niech będzie dany układ równań
Proces rozwiązywania tego układu metodą Gaussa składa się z dwóch etapów. W pierwszym etapie (ruch bezpośredni) układ za pomocą przekształceń elementarnych zostaje zredukowany do krok po kroku , Lub trójkątny postaci, a w drugim etapie (odwrotnym) następuje sekwencyjne, zaczynając od ostatniej liczby zmiennej, wyznaczanie niewiadomych z powstałego układu schodkowego.
Załóżmy, że współczynnik tego układu 
, w przeciwnym razie w systemie pierwszy wiersz można zamienić z dowolnym innym wierszem, tak aby współczynnik przy 
była różna od zera.
Przekształćmy system, eliminując nieznane 
we wszystkich równaniach z wyjątkiem pierwszego. Aby to zrobić, pomnóż obie strony pierwszego równania przez 
i dodaj wyraz po wyrazie do drugiego równania układu. Następnie pomnóż obie strony pierwszego równania przez 
i dodaj go do trzeciego równania układu. Kontynuując ten proces, otrzymujemy układ równoważny
Tutaj 
– nowe wartości współczynników i wolnych terminów, które uzyskuje się po pierwszym kroku.
Podobnie, biorąc pod uwagę główny element 
, wyklucz nieznane 
ze wszystkich równań układu, z wyjątkiem pierwszego i drugiego. Kontynuujmy ten proces tak długo, jak to możliwe, a w rezultacie otrzymamy system etapowy
,
Gdzie 
,
,…,
– główne elementy systemu 
.
Jeżeli w procesie redukcji układu do postaci krokowej pojawią się równania, tj. Równości postaci 
, są one odrzucane, ponieważ są spełnione przez dowolny zbiór liczb 
. Jestem gruby 
Jeśli pojawi się równanie postaci, które nie ma rozwiązań, oznacza to niezgodność układu.
Podczas skoku wstecznego pierwsza niewiadoma jest wyrażana z ostatniego równania przekształconego układu schodkowego 
przez wszystkie inne niewiadome 
które nazywają się bezpłatny
.
Następnie wyrażenie zmienne 
z ostatniego równania układu podstawia się do przedostatniego równania i z niego wyraża się zmienną 
. Zmienne definiuje się sekwencyjnie w podobny sposób 
. Zmienne 
, wyrażone za pomocą zmiennych wolnych, nazywane są podstawowy
(zależny). Rezultatem jest ogólne rozwiązanie układu równań liniowych.
Znaleźć rozwiązanie prywatne
systemy, wolne nieznane 
w rozwiązaniu ogólnym przypisuje się dowolne wartości i oblicza wartości zmiennych 
.
Z technicznego punktu widzenia wygodniej jest poddać elementarnym przekształceniom nie same równania układu, ale rozszerzoną macierz układu
.
Metoda Gaussa jest metodą uniwersalną, która pozwala rozwiązywać nie tylko układy kwadratowe, ale także prostokątne, w których liczba niewiadomych 
nie równa liczbie równań 
.
Zaletą tej metody jest również to, że w procesie rozwiązywania jednocześnie badamy układ pod kątem kompatybilności, gdyż mając podaną rozszerzoną macierz 
do postaci schodkowej, łatwo jest wyznaczyć rządy macierzy 
i rozszerzoną matrycę 
i zastosuj Twierdzenie Kroneckera-Capelliego
.
Przykład 2.1 Rozwiązać układ metodą Gaussa
Rozwiązanie. Liczba równań 
i ilość niewiadomych 
.
Stwórzmy rozszerzoną macierz układu, przypisując współczynniki po prawej stronie macierzy 
kolumna wolnych członków 
.
Przedstawmy macierz 
do widoku trójkątnego; W tym celu za pomocą przekształceń elementarnych uzyskamy „0” poniżej elementów znajdujących się na głównej przekątnej.
Aby otrzymać „0” na drugiej pozycji pierwszej kolumny, pomnóż pierwszy wiersz przez (-1) i dodaj go do drugiego wiersza.
Zapisujemy tę transformację jako liczbę (-1) w stosunku do pierwszej linii i oznaczamy ją strzałką przechodzącą od pierwszej linii do drugiej linii.
Aby otrzymać „0” na trzeciej pozycji pierwszej kolumny, pomnóż pierwszy wiersz przez (-3) i dodaj do trzeciego wiersza; Pokażmy tę akcję za pomocą strzałki biegnącej od pierwszej do trzeciej linii.
.
W wynikowej macierzy, zapisanej jako druga w łańcuchu macierzy, w drugiej kolumnie na trzeciej pozycji otrzymujemy „0”. Aby to zrobić, pomnożyliśmy drugą linię przez (-4) i dodaliśmy do trzeciej. W wynikowej macierzy pomnóż drugi wiersz przez (-1), a trzeci podziel przez (-8). Wszystkie elementy tej macierzy leżące poniżej elementów przekątnych są zerami.
Ponieważ , system opiera się na współpracy i jest zdefiniowany.
Układ równań odpowiadający ostatniej macierzy ma postać trójkątną:
Z ostatniego (trzeciego) równania 
. Podstaw do drugiego równania i otrzymaj 
.
Zastąpmy 
I 
do pierwszego równania, znajdujemy 
.