Główną cechą każdej figury geometrycznej w przestrzeni jest jej objętość. W tym artykule przyjrzymy się, czym jest piramida z trójkątem u podstawy, a także pokażemy, jak znaleźć objętość piramidy trójkątnej - regularnej pełnej i ściętej.
Co to jest - trójkątna piramida?
Każdy słyszał o starożytnych egipskich piramidach, ale są one regularne czworokątne, a nie trójkątne. Wyjaśnijmy, jak uzyskać trójkątną piramidę.
Weźmy dowolny trójkąt i połączmy wszystkie jego wierzchołki z jakimś pojedynczym punktem znajdującym się poza płaszczyzną tego trójkąta. Powstała figura zostanie nazwana trójkątną piramidą. Pokazano to na poniższym rysunku.
Jak widać, daną figurę tworzą cztery trójkąty, które ogólnie są różne. Każdy trójkąt to boki piramidy lub jej ściana. Piramida ta jest często nazywana czworościanem, czyli czworościenną trójwymiarową figurą.
Oprócz boków piramida ma także krawędzie (jest ich 6) i wierzchołki (jest ich 4).
z trójkątną podstawą
Figura uzyskana za pomocą dowolnego trójkąta i punktu w przestrzeni będzie w ogólnym przypadku nieregularną nachyloną piramidą. Wyobraźmy sobie teraz, że pierwotny trójkąt ma identyczne boki, a punkt w przestrzeni znajduje się dokładnie nad jego geometrycznym środkiem, w odległości h od płaszczyzny trójkąta. Piramida zbudowana na podstawie tych początkowych danych będzie poprawna.
Oczywiście liczba krawędzi, boków i wierzchołków regularnej piramidy trójkątnej będzie taka sama, jak w przypadku piramidy zbudowanej z dowolnego trójkąta.
Jednak prawidłowa liczba ma pewne charakterystyczne cechy:
- jego wysokość narysowana z wierzchołka będzie dokładnie przecinała podstawę w środku geometrycznym (punkt przecięcia środkowych);
- powierzchnię boczną takiej piramidy tworzą trzy identyczne trójkąty, które są równoramienne lub równoboczne.
Regularna trójkątna piramida to nie tylko czysto teoretyczny obiekt geometryczny. Niektóre struktury w przyrodzie mają swój kształt, na przykład sieć krystaliczna diamentu, w której atom węgla jest połączony wiązaniami kowalencyjnymi z czterema takimi samymi atomami, lub cząsteczka metanu, gdzie wierzchołki piramidy utworzone są przez atomy wodoru.
trójkątna piramida
Możesz określić objętość absolutnie dowolnej piramidy z dowolnym n-gonem u podstawy za pomocą następującego wyrażenia:
Tutaj symbol S o oznacza obszar podstawy, h jest wysokością figury narysowanej do zaznaczonej podstawy od szczytu piramidy.
Ponieważ powierzchnia dowolnego trójkąta jest równa połowie iloczynu długości jego boku a i apotema h a upuszczonego na tę stronę, wzór na objętość trójkątnej piramidy można zapisać w następującej formie:
V = 1/6 × a × h a × godz
W przypadku typu ogólnego określenie wysokości nie jest łatwym zadaniem. Aby to rozwiązać, najłatwiej jest skorzystać ze wzoru na odległość punktu (wierzchołka) od płaszczyzny (podstawy trójkąta), reprezentowanej przez równanie ogólne.
Dla prawidłowego ma specyficzny wygląd. Pole podstawy (trójkąta równobocznego) jest dla niego równe:
Podstawiając to do ogólnego wyrażenia na V, otrzymujemy:
V = √3/12 × a 2 × godz
Szczególnym przypadkiem jest sytuacja, gdy wszystkie boki czworościanu okazują się identycznymi trójkątami równobocznymi. W tym przypadku jego objętość można wyznaczyć jedynie na podstawie znajomości parametru jego krawędzi a. Odpowiednie wyrażenie wygląda następująco:
Ścięta piramida
Jeśli górna część zawierająca wierzchołek zostanie odcięta od regularnej trójkątnej piramidy, otrzymasz figurę obciętą. W odróżnieniu od pierwotnej będzie składać się z dwóch podstaw w kształcie trójkąta równobocznego i trzech trapezów równoramiennych.
Poniższe zdjęcie pokazuje, jak wygląda regularna ścięta trójkątna piramida wykonana z papieru.
Aby określić objętość ściętej trójkątnej piramidy, musisz znać jej trzy cechy liniowe: każdy z boków podstaw i wysokość figury, równą odległości między górną i dolną podstawą. Odpowiedni wzór na objętość zapisuje się w następujący sposób:
V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)
Tutaj h jest wysokością figury, A i a są długościami boków odpowiednio dużego (dolnego) i małego (górnego) trójkąta równobocznego.
Rozwiązanie problemu
Aby informacje zawarte w artykule były dla czytelnika jaśniejsze, pokażemy na jasnym przykładzie, jak korzystać z niektórych zapisanych formuł.
Niech objętość trójkątnej piramidy będzie wynosić 15 cm 3 . Wiadomo, że liczba jest prawidłowa. Konieczne jest znalezienie apotemu a b bocznej krawędzi, jeśli wiadomo, że wysokość piramidy wynosi 4 cm.
Ponieważ znana jest objętość i wysokość figury, możesz użyć odpowiedniego wzoru do obliczenia długości boku jej podstawy. Mamy:
V = √3/12 × a 2 × h =>
a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 cm
a b = √(h 2 + a 2 / 12) = √(16 + 25,98 2 / 12) = 8,5 cm
Obliczona długość apotemu figury okazała się większa niż jej wysokość, co dotyczy każdego rodzaju piramidy.
Powrót do przodu
Uwaga! Podglądy slajdów służą wyłącznie celom informacyjnym i mogą nie odzwierciedlać wszystkich funkcji prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tą pracą, pobierz pełną wersję.
Cele Lekcji.
Edukacyjne: Wyprowadź wzór na obliczenie objętości piramidy
Rozwojowe: rozwijanie zainteresowań poznawczych uczniów dyscyplinami akademickimi, umiejętności zastosowania wiedzy w praktyce.
Edukacyjne: pielęgnuj uwagę, dokładność, poszerzaj horyzonty uczniów.
Sprzęt i materiały: komputer, ekran, rzutnik, prezentacja „Objętość Piramidy”.
1. Badanie czołowe. Slajdy 2, 3
To, co nazywa się piramidą, podstawą piramidy, żebrami, wysokością, osią, apotemem. Która piramida nazywana jest piramidą regularną, czworościanową lub ściętą?
Piramida to wielościan składający się z płaszczyzny wielokąt, zwrotnica, nie leżące w płaszczyźnie tego wielokąta i wszystkie segmenty, łącząc ten punkt z punktami wielokąta.
Ten punkt zwany szczyt piramidy, a podstawą piramidy jest płaski wielokąt. Segmentyłączące wierzchołek piramidy z wierzchołkami podstawy nazywamy żeberka . Wysokość piramidy - prostopadły, obniżony ze szczytu piramidy do płaszczyzny podstawy. Apotem - wysokość krawędzi bocznej prawidłowa piramida. Piramida, która w bazie jest poprawne n-gon, A podstawa wysokości zbiega się z środek podstawy zwany prawidłowy piramida n-gonalna. Oś regularnej piramidy to linia prosta zawierająca jej wysokość. Regularna trójkątna piramida nazywa się czworościanem. Jeżeli piramidę przecina płaszczyzna równoległa do płaszczyzny podstawy, to piramida zostanie odcięta, podobny dany. Pozostała część to tzw ścięta piramida.
2. Wyprowadzenie wzoru na obliczenie objętości piramidy V=SH/3 Slajdy 4, 5, 6
1. Niech SABC będzie piramidą trójkątną o wierzchołku S i podstawie ABC.
2. Dodajmy tę piramidę do trójkątnego pryzmatu o tej samej podstawie i wysokości.
3. Ten pryzmat składa się z trzech piramid:
1) tej piramidy SABC.
2) piramidy SCC 1 B 1.
3) i piramidy SCBB 1.
4. Druga i trzecia piramida mają równe podstawy CC 1 B 1 i B 1 BC oraz całkowitą wysokość narysowaną od wierzchołka S do powierzchni równoległoboku BB 1 C 1 C. Dlatego mają równe objętości.
5. Pierwsza i trzecia ostrosłup również mają równe podstawy SAB i BB 1 S oraz zbieżne wysokości narysowane od wierzchołka C do ściany równoległoboku ABB 1 S. Zatem mają one również równe objętości.
Oznacza to, że wszystkie trzy piramidy mają tę samą objętość. Ponieważ suma tych objętości jest równa objętości pryzmatu, objętości piramid są równe SH/3.
Objętość dowolnej trójkątnej piramidy jest równa jednej trzeciej iloczynu pola podstawy i wysokości.
3. Konsolidacja nowego materiału. Rozwiązanie ćwiczeń.
1) Problematyka № 33 z podręcznika A.N. Pogorełowa. Slajdy 7, 8, 9
Po stronie podstawy? i krawędzi bocznej b, znajdź objętość regularnej piramidy, której podstawa leży:
1) trójkąt,
2) czworokąt,
3) sześciokąt.
W regularnej piramidzie wysokość przechodzi przez środek okręgu opisanego wokół podstawy. Następnie: (dodatek)
4. Informacje historyczne o piramidach. Slajdy 15, 16, 17
Pierwszym z naszych współczesnych, który ustalił szereg niezwykłych zjawisk związanych z piramidą, był francuski naukowiec Antoine Bovy. Eksplorując piramidę Cheopsa w latach 30. XX wieku odkrył, że ciała małych zwierząt, które przypadkowo trafiły do sali królewskiej, zostały zmumifikowane. Bovey wyjaśnił sobie przyczynę tego kształtem piramidy i, jak się okazało, nie mylił się. Jego prace stały się podstawą współczesnych badań, w wyniku których na przestrzeni ostatnich 20 lat ukazało się wiele książek i publikacji potwierdzających, że energia piramid może mieć praktyczne znaczenie.
Tajemnica piramid
Niektórzy badacze twierdzą, że piramida zawiera ogromną ilość informacji o budowie Wszechświata, Układu Słonecznego i człowieka, zakodowanych w jej kształcie geometrycznym, a dokładniej w kształcie ośmiościanu, którego połowę reprezentuje piramida. Piramida z góry symbolizuje życie, z góry na dół – śmierć, inny świat. Podobnie jak składniki Gwiazdy Dawida (Magen David), gdzie trójkąt skierowany w górę symbolizuje wzniesienie się do Wyższego Umysłu, Boga, a trójkąt wierzchołkiem w dół symbolizuje zejście duszy na Ziemię, egzystencję materialną...
Cyfrowa wartość kodu, za pomocą którego zaszyfrowana jest w piramidzie informacja o Wszechświecie, czyli liczba 365, nie została wybrana przypadkowo. Przede wszystkim jest to roczny cykl życia naszej planety. Ponadto liczba 365 składa się z trzech cyfr 3, 6 i 5. Co one oznaczają? Jeśli w Układzie Słonecznym Słońce przechodzi pod numerem 1, Merkury - 2, Wenus - 3, Ziemia - 4, Mars - 5, Jowisz - 6, Saturn - 7, Uran - 8, Neptun - 9, Pluton - 10, a następnie 3 to Wenus, 6 – Jowisz i 5 – Mars. W związku z tym Ziemia jest połączona w szczególny sposób z tymi planetami. Dodając liczby 3, 6 i 5, otrzymujemy 14, z czego 1 to Słońce, a 4 to Ziemia.
Liczba 14 ma ogólnie znaczenie globalne: w szczególności opiera się na niej budowa ludzkich dłoni, całkowita liczba paliczków palców każdego z nich wynosi również 14. Kod ten jest również powiązany z konstelacją Wielkiej Niedźwiedzicy, która obejmuje nasze Słońce i w którym kiedyś była inna gwiazda, która zniszczyła Faeton, planetę znajdującą się pomiędzy Marsem a Jowiszem, po czym Pluton pojawił się w Układzie Słonecznym, a charakterystyka pozostałych planet uległa zmianie.
Wiele źródeł ezoterycznych twierdzi, że ludzkość na Ziemi doświadczyła już ogólnoświatowej katastrofy czterokrotnie. Trzecia rasa Lemurian znała Boską naukę o Wszechświecie, wówczas ta tajemna doktryna była przekazywana tylko wtajemniczonym. Na początku cykli i półcykli roku gwiazdowego budowali piramidy. Byli bliscy odkrycia kodu życia. Cywilizacji Atlantydy udało się wiele rzeczy, ale na pewnym poziomie wiedzy została zatrzymana przez kolejną katastrofę planetarną, której towarzyszyła zmiana ras. Prawdopodobnie wtajemniczeni chcieli nam przekazać, że piramidy zawierają wiedzę o prawach kosmicznych...
Specjalne urządzenia w postaci piramid neutralizują negatywne promieniowanie elektromagnetyczne na osobę z komputera, telewizora, lodówki i innych urządzeń elektrycznych.
Jedna z książek opisuje przypadek, w którym piramida zainstalowana w kabinie pasażerskiej samochodu zmniejszyła zużycie paliwa i zawartość CO w spalinach.
Nasiona roślin ogrodowych trzymanych w piramidach charakteryzowały się lepszym kiełkowaniem i plonowaniem. W publikacjach zalecano nawet moczenie nasion przed siewem w wodzie piramidalnej.
Stwierdzono, że piramidy mają korzystny wpływ na środowisko. Wyeliminuj strefy chorobotwórcze w mieszkaniach, biurach i domkach letniskowych, tworząc pozytywną aurę.
Holenderski badacz Paul Dickens w swojej książce podaje przykłady leczniczych właściwości piramid. Zauważył, że za ich pomocą można złagodzić bóle głowy, stawów, zatrzymać krwawienie z małych skaleczeń, a energia piramid pobudza metabolizm i wzmacnia układ odpornościowy.
Niektóre współczesne publikacje zauważają, że leki przechowywane w piramidzie skracają czas leczenia, a materiał opatrunkowy, nasycony pozytywną energią, sprzyja gojeniu się ran.
Kremy i maści kosmetyczne poprawiają ich działanie.
Napoje, także alkoholowe, poprawiają swój smak, a woda zawarta w wódce 40% działa leczniczo. To prawda, że aby naładować standardową butelkę o pojemności 0,5 litra pozytywną energią, potrzebujesz wysokiej piramidy.
W jednym z artykułów prasowych napisano, że biżuteria przechowywana pod piramidą ulega samooczyszczeniu i nabiera szczególnego połysku, natomiast kamienie szlachetne i półszlachetne gromadzą pozytywną bioenergię, a następnie stopniowo ją uwalniają.
Według amerykańskich naukowców produkty spożywcze, takie jak płatki zbożowe, mąka, sól, cukier, kawa, herbata, po znalezieniu się w piramidzie poprawiają swój smak, a tanie papierosy upodabniają się do swoich szlachetnych braci.
Dla wielu może to nie mieć znaczenia, ale w małej piramidzie stare żyletki ostrzą się same, a w dużej piramidzie woda nie zamarza w temperaturze -40 stopni Celsjusza.
Według większości badaczy wszystko to jest dowodem na istnienie energii piramidy.
W ciągu 5000 lat swojego istnienia piramidy stały się swego rodzaju symbolem, uosabiającym pragnienie człowieka, aby osiągnąć szczyt wiedzy.
5. Podsumowanie lekcji.
Bibliografia.
1) http://schools.techno.ru
2) Pogorelov A.V. Geometry 10-11, wydawnictwo Prosveshchenie.
3) Encyklopedia „Drzewo wiedzy” Marshall K.
Tutaj przyjrzymy się przykładom związanym z koncepcją objętości. Aby rozwiązać takie zadania, musisz znać wzór na objętość piramidy:
S
h – wysokość piramidy
Podstawą może być dowolny wielokąt. Jednak w większości zadań na egzaminie Unified State Exam warunek dotyczy zwykle regularnych piramid. Przypomnę jedną z jego właściwości:
Szczyt regularnej piramidy jest rzutowany na środek jej podstawy
Spójrz na rzut regularnych piramid trójkątnych, czworokątnych i sześciokątnych (WIDOK Z GÓRY):
Można to zrobić na blogu, gdzie poruszane były problemy związane ze znalezieniem objętości piramidy.Rozważmy zadania:
27087. Znajdź objętość regularnej piramidy trójkątnej, której boki podstawy są równe 1 i których wysokość jest równa pierwiastkowi z trzech.
S– obszar podstawy piramidy
H– wysokość piramidy
Znajdźmy obszar podstawy piramidy, jest to regularny trójkąt. Skorzystajmy ze wzoru - pole trójkąta jest równe połowie iloczynu sąsiednich boków i sinusa kąta między nimi, co oznacza:
Odpowiedź: 0,25
27088. Znajdź wysokość regularnej piramidy trójkątnej, której boki podstawy są równe 2 i których objętość jest równa pierwiastkowi z trzech.
Pojęcia takie jak wysokość piramidy i charakterystyka jej podstawy są powiązane wzorem na objętość:
S– obszar podstawy piramidy
H– wysokość piramidy
Znamy samą objętość, możemy znaleźć obszar podstawy, ponieważ znamy boki trójkąta, który jest podstawą. Znając wskazane wartości, możemy łatwo znaleźć wysokość.
Aby znaleźć pole podstawy, korzystamy ze wzoru - pole trójkąta jest równe połowie iloczynu sąsiednich boków i sinusa kąta między nimi, co oznacza:
Zatem podstawiając te wartości do wzoru na objętość, możemy obliczyć wysokość piramidy:
Wysokość wynosi trzy.
Odpowiedź: 3
27109. W regularnej czworokątnej piramidzie wysokość wynosi 6, a krawędź boczna 10. Znajdź jej objętość.
Objętość piramidy oblicza się ze wzoru:
S– obszar podstawy piramidy
H– wysokość piramidy
Znamy wysokość. Musisz znaleźć obszar podstawy. Przypomnę, że wierzchołek regularnej piramidy jest rzutowany na środek jej podstawy. Podstawą regularnej czworokątnej piramidy jest kwadrat. Możemy znaleźć jego przekątną. Rozważmy trójkąt prostokątny (zaznaczony na niebiesko):
Odcinek łączący środek kwadratu z punktem B to noga równa połowie przekątnej kwadratu. Możemy obliczyć tę nogę, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
Oznacza to BD = 16. Obliczmy pole kwadratu korzystając ze wzoru na pole czworoboku:
Stąd:
Zatem objętość piramidy wynosi:
Odpowiedź: 256
27178. W regularnej czworokątnej piramidzie wysokość wynosi 12, a objętość 200. Znajdź boczną krawędź tej piramidy.
Znana jest wysokość piramidy oraz jej objętość, co oznacza, że możemy wyznaczyć pole kwadratu, będącego podstawą. Znając pole kwadratu, możemy znaleźć jego przekątną. Następnie, rozważając trójkąt prostokątny, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy krawędź boczną:
Znajdźmy obszar kwadratu (podstawa piramidy):
Obliczmy przekątną kwadratu. Ponieważ jego pole wynosi 50, bok będzie równy pierwiastkowi z pięćdziesięciu i zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa:
Punkt O dzieli przekątną BD na pół, co oznacza ramię trójkąta prostokątnego OB = 5.
W ten sposób możemy obliczyć, ile wynosi boczna krawędź piramidy:
Odpowiedź: 13
245353. Znajdź objętość piramidy pokazanej na rysunku. Jego podstawą jest wielokąt, którego sąsiednie boki są prostopadłe, a jedna z krawędzi bocznych jest prostopadła do płaszczyzny podstawy i równa 3.
Jak już wielokrotnie powiedziano, objętość piramidy oblicza się ze wzoru:
S– obszar podstawy piramidy
H– wysokość piramidy
Krawędź boczna prostopadła do podstawy jest równa trzy, co oznacza, że wysokość piramidy wynosi trzy. Podstawą piramidy jest wielokąt, którego pole jest równe:
Zatem:
Odpowiedź: 27
27086. Podstawą piramidy jest prostokąt o bokach 3 i 4. Jego objętość wynosi 16. Oblicz wysokość tej piramidy.
Co to jest piramida?
Jak ona wygląda?
Widzisz: na dole piramidy (mówią „ w bazie„) jakiś wielokąt, a wszystkie wierzchołki tego wielokąta są połączone z jakimś punktem w przestrzeni (ten punkt nazywa się „ wierzchołek»).
Ta cała konstrukcja nadal istnieje boczne twarze, żebra boczne I żebra podstawy. Jeszcze raz narysujmy piramidę ze wszystkimi tymi nazwami:
Niektóre piramidy mogą wyglądać bardzo dziwnie, ale nadal są piramidami.
Tutaj na przykład jest całkowicie „ukośny” piramida.
I trochę więcej o nazwach: jeśli u podstawy piramidy znajduje się trójkąt, to piramida nazywa się trójkątna, jeśli jest to czworokąt, to czworokąt, a jeśli jest to centagon, to… zgadnij sam .
Jednocześnie punkt, w którym spadł wysokość, zwany podstawa wysokości. Należy pamiętać, że w „krzywych” piramidach wysokość może nawet wylądować poza piramidą. Lubię to:
I nie ma w tym nic złego. Wygląda jak rozwarty trójkąt.
Poprawna piramida.
Dużo skomplikowanych słów? Rozszyfrujmy: „U podstawy - poprawne” - jest to zrozumiałe. Pamiętajmy teraz, że wielokąt foremny ma środek - punkt będący środkiem i , i .
Cóż, słowa „góra jest rzutowana na środek podstawy” oznaczają, że podstawa wysokości wpada dokładnie w środek podstawy. Spójrz, jak gładko i uroczo wygląda zwykła piramida.
Sześciokątny: u podstawy znajduje się sześciokąt foremny, wierzchołek jest rzutowany na środek podstawy.
Czworokątny: podstawą jest kwadrat, góra rzucona jest na punkt przecięcia przekątnych tego kwadratu.
Trójkątny: u podstawy znajduje się trójkąt foremny, wierzchołek jest rzutowany na punkt przecięcia wysokości (są to także środkowe i dwusieczne) tego trójkąta.
Bardzo ważne właściwości regularnej piramidy:
W prawej piramidzie
- wszystkie krawędzie boczne są równe.
- wszystkie ściany boczne są trójkątami równoramiennymi i wszystkie te trójkąty są równe.
Objętość piramidy
Główny wzór na objętość piramidy:
Skąd dokładnie się wzięło? To nie jest takie proste i na początku trzeba tylko pamiętać, że piramida i stożek mają we wzorze objętość, ale walec nie.
Obliczmy teraz objętość najpopularniejszych piramid.
Niech bok podstawy będzie równy i krawędź boczna równa. Musimy znaleźć i.
To jest obszar regularnego trójkąta.
Pamiętajmy jak szukać tego obszaru. Korzystamy ze wzoru na pole:
Dla nas „ ” jest tym i „ ” jest także tym, eh.
Teraz znajdźmy to.
Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa dla
Co za różnica? To jest promień obwodu w ponieważ piramidaprawidłowy a zatem centrum.
Ponieważ - również punkt przecięcia środkowych.
(Twierdzenie Pitagorasa dla)
Podstawmy to do wzoru na.
I podstawmy wszystko do wzoru na objętość:
Uwaga: jeśli masz regularny czworościan (tj.), wówczas wzór wygląda następująco:
Niech bok podstawy będzie równy i krawędź boczna równa.
Nie ma potrzeby tu szukać; W końcu podstawa jest kwadratem i dlatego.
Znajdziemy to. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa dla
Czy wiemy? Prawie. Patrzeć:
(widzieliśmy to, patrząc na to).
Podstaw do wzoru:
A teraz podstawiamy i do wzoru na objętość.
Niech bok podstawy będzie równy, a krawędź boczna.
Jak znaleźć? Spójrz, sześciokąt składa się z dokładnie sześciu identycznych regularnych trójkątów. Szukaliśmy już obszaru regularnego trójkąta przy obliczaniu objętości regularnej piramidy trójkątnej, tutaj używamy znalezionego wzoru.
Teraz znajdźmy (to).
Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa dla
Ale jakie to ma znaczenie? To proste, ponieważ (i wszyscy inni też) mają rację.
Zastąpmy:
\ Displaystyle V = \ Frac (\ sqrt (3)) (2) ((a) ^ (2)) \ sqrt ({(b) ^ (2)) - ((a) ^ (2))}
PIRAMIDA. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH
Piramida to wielościan składający się z dowolnego płaskiego wielokąta (), punktu nie leżącego w płaszczyźnie podstawy (góra piramidy) oraz wszystkich odcinków łączących wierzchołek piramidy z punktami podstawy (boczne krawędzie).
Prostopadłość spuszczona ze szczytu piramidy na płaszczyznę podstawy.
Poprawna piramida- piramida, w której u podstawy leży foremny wielokąt, a wierzchołek piramidy jest rzutowany na środek podstawy.
Właściwość regularnej piramidy:
- W regularnej piramidzie wszystkie krawędzie boczne są równe.
- Wszystkie ściany boczne są trójkątami równoramiennymi i wszystkie te trójkąty są równe.
Objętość piramidy:
No cóż, temat się skończył. Jeśli czytasz te słowa, oznacza to, że jesteś bardzo fajny.
Bo tylko 5% ludzi jest w stanie samodzielnie coś opanować. A jeśli przeczytasz do końca, to jesteś w tych 5%!
Teraz najważniejsza rzecz.
Zrozumiełeś teorię na ten temat. I powtarzam, to... to jest po prostu super! Już jesteś lepszy od zdecydowanej większości Twoich rówieśników.
Problem w tym, że to może nie wystarczyć...
Po co?
Za pomyślne zdanie egzaminu Unified State Exam, za rozpoczęcie studiów z ograniczonym budżetem i, CO NAJWAŻNIEJSZE, za całe życie.
Nie będę Cię do niczego przekonywał, powiem tylko jedno...
Ludzie, którzy otrzymali dobre wykształcenie, zarabiają znacznie więcej niż ci, którzy go nie otrzymali. To jest statystyka.
Ale to nie jest najważniejsze.
Najważniejsze, że są BARDZIEJ SZCZĘŚLIWI (są takie badania). Być może dlatego, że otwiera się przed nimi o wiele więcej możliwości i życie staje się jaśniejsze? nie wiem...
Ale pomyśl samodzielnie...
Czego potrzeba, aby na egzaminie Unified State Exam wypaść lepiej od innych i ostatecznie… być szczęśliwszym?
Zdobądź rękę, rozwiązując problemy z tego tematu.
Podczas egzaminu nie będziesz proszony o zadawanie teorii.
Będziesz potrzebować rozwiązywać problemy z czasem.
A jeśli ich nie rozwiązałeś (DUŻO!), na pewno popełnisz gdzieś głupi błąd lub po prostu nie będziesz miał czasu.
To jak w sporcie – trzeba to powtarzać wiele razy, żeby na pewno wygrać.
Znajdź kolekcję gdziekolwiek chcesz, koniecznie z rozwiązaniami, szczegółową analizą i decyduj, decyduj, decyduj!
Możesz skorzystać z naszych zadań (opcjonalnie) i oczywiście je polecamy.
Aby lepiej radzić sobie z naszymi zadaniami, musisz pomóc przedłużyć żywotność podręcznika YouClever, który aktualnie czytasz.
Jak? Istnieją dwie opcje:
- Odblokuj wszystkie ukryte zadania w tym artykule - 299 rubli.
- Odblokuj dostęp do wszystkich ukrytych zadań we wszystkich 99 artykułach podręcznika - 499 rubli.
Tak, w naszym podręczniku mamy 99 takich artykułów i dostęp do wszystkich zadań oraz wszystkich ukrytych w nich tekstów można od razu otworzyć.
Dostęp do wszystkich ukrytych zadań jest zapewniony przez CAŁY okres istnienia witryny.
Podsumowując...
Jeśli nie podobają Ci się nasze zadania, znajdź inne. Tylko nie poprzestawaj na teorii.
„Rozumiem” i „Umiem rozwiązać” to zupełnie różne umiejętności. Potrzebujesz obu.
Znajdź problemy i rozwiąż je!
Aby znaleźć objętość piramidy, musisz znać kilka wzorów. Przyjrzyjmy się im.
Jak znaleźć objętość piramidy - pierwsza metoda
Objętość piramidy można znaleźć na podstawie wysokości i pola jej podstawy. V = 1/3*S*h. Na przykład, jeśli wysokość piramidy wynosi 10 cm, a powierzchnia jej podstawy wynosi 25 cm 2, wówczas objętość będzie równa V = 1/3*25*10 = 1/3*250 = 83,3 cm3
Jak znaleźć objętość piramidy - druga metoda
Jeżeli u podstawy ostrosłupa leży wielokąt foremny, to jego objętość można obliczyć ze wzoru: V = na 2 h/12*tg(180/n), gdzie a jest bokiem wielokąta leżącego u podstawy , a n jest liczbą jego boków. Na przykład: Podstawą jest sześciokąt foremny, to znaczy n = 6. Ponieważ jest regularny, wszystkie jego boki są równe, to znaczy wszystkie a są równe. Powiedzmy a = 10 i h - 15. Wstawiamy liczby do wzoru i otrzymujemy przybliżoną odpowiedź - 1299 cm 3
Jak znaleźć objętość piramidy - trzecia metoda
Jeżeli u podstawy piramidy leży trójkąt równoboczny, to jego objętość można obliczyć ze wzoru: V = ha 2 /4√3, gdzie a jest bokiem trójkąta równobocznego. Na przykład: wysokość piramidy wynosi 10 cm, bok podstawy 5 cm Objętość będzie równa V = 10*25/4√ 3 = 250/4√ 3. Zwykle to, co jest w mianowniku nie jest obliczana i pozostaje w tej samej formie. Możesz także pomnożyć licznik i mianownik przez 4√ 3. Otrzymujemy 1000√ 3/48. Redukując otrzymujemy 125√ 3/6 cm 3.
Jak znaleźć objętość piramidy - czwarta metoda
Jeżeli u podstawy piramidy znajduje się kwadrat, to jego objętość można obliczyć ze wzoru: V = 1/3*h*a 2, gdzie a to boki kwadratu. Przykładowo: wysokość – 5 cm, bok kwadratu – 3 cm V = 1/3*5*9 = 15 cm 3
Jak znaleźć objętość piramidy - metoda piąta
Jeśli piramida jest czworościanem, to znaczy wszystkie jej ściany są trójkątami równobocznymi, objętość piramidy można obliczyć za pomocą następującego wzoru: V = a 3 √2/12, gdzie a jest krawędzią czworościanu. Na przykład: krawędź czworościanu = 7. V = 7*7*7√2/12 = 343 cm 3