Cosinusy kierunkowe. Wzór na obliczanie cosinusów kierunku wektora dla problemów przestrzennych Znajdź długość i cosinusy kierunku wektora

Niech wektor ( X , Na , z ).

Oznaczmy kąty nachylenia tego wektora do osi Och, och I Oz odpowiednio litery ,I. Trzy liczby sałata, sałata I sałata zwykle tzw cosinus kierunku wektora. Wierzyć = (1; 0; 0 ) otrzymujemy z (9)

Podobnie

Ze wzorów (11) - (13) wynika:

1) sałata 2 +bo 2 +bo 2 = 1 ,

te. suma kwadratów cosinusów kierunku dowolnego niezerowego wektora jest równa jeden;

te.cosinusy kierunkowe tego wektora są proporcjonalne do odpowiadających mu rzutów.

Notatka. Ze wzorów (11)-(13) wynika, że ​​rzuty dowolnego wektora jednostkowego na osie współrzędnych pokrywają się odpowiednio z jego cosinusami kierunkowymi, a zatem

Przykład. Znajdź cosinusy kierunkowe wektora (1; 2; 2). Według wzorów (11)-(13) mamy

4. Iloczyn wektorowy dwóch wektorów i jego główne własności.

Definicja. Iloczyn krzyżowy dwóch wektorówI nazywa się nowy wektor, którego moduł jest równy polu równoległoboku zbudowanego na wektorach i sprowadzonego do wspólnego początku, i który jest prostopadły do ​​mnożonych wektorów (innymi słowy prostopadły do ​​płaszczyzny zbudowany na nich równoległobok) i skierowany w taki sposób, że patrząc od końca wektora, najkrótszy obrót wokół powstałego wektora wydaje się odbywać w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (ryc. 40).

Jeśli wektory są współliniowe, wówczas ich iloczyn wektorowy uważa się za równy wektorowi zerowemu. Z tej definicji wynika, że

|| = || || grzech

gdzie jest kąt między wektorami ( 0 ). Iloczyn wektorów i jest oznaczony symbolem

x lub lub [,].

Odkryjmy fizyczne znaczenie iloczynu wektorowego. Jeśli wektor oznacza zastosowanie w pewnym momencie SM muł, a wektor pochodzi z określonego punktu O Dokładnie M, następnie wektor = reprezentuje moment siły względem punktu O.

Właściwości produktu krzyżowego

1 . Podczas zmiany układu czynników iloczyn wektorowy zmienia znak, tj.

x = -(x).

()x=x()=(x), gdzie jest skalar.

3. Produkt wektorowy podlega prawu dystrybucji, tj.

4. Jeśli iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest równy wektorowi zerowemu, to albo co najmniej jeden z pomnożonych wektorów jest równy wektorowi zerowemu (przypadek trywialny), albo sinus kąta między nimi jest równy zeru, tj. wektory są współliniowe.

Z powrotem, jeśli dwa niezerowe wektory są współliniowe, to ich iloczyn krzyżowy jest równy wektorowi zerowemu.

Zatem , Aby dwa niezerowe wektory były współliniowe, konieczne i wystarczające jest, aby ich iloczyn wektorowy był równy wektorowi zerowemu.

Stąd wynika w szczególności, że iloczyn wektorowy wektora sam w sobie jest równy wektorowi zerowemu:

x =0

(X nazywane również wektor kwadratowy wektor .

5. Iloczyn mieszany trzech wektorów i jego główne właściwości.

Niech będą dane trzy wektory i,. Wyobraźmy sobie, że wektor jest mnożony wektorowo przez wektor, a otrzymany wektor jest mnożony skalarnie przez wektor, wyznaczając w ten sposób liczbę (x). Nazywa się to lub praca mieszana trzy wektory i.

Dla zwięzłości będziemy oznaczać iloczyn mieszany (x) lub ().

Odkryjmy geometryczne znaczenie zmieszanego produktu. Niech rozważane wektory nie będą współpłaszczyznowe. Zbudujmy równoległościan na wektorach i na krawędziach.

Iloczyn krzyżowy x jest wektorem (=) liczbowo równym powierzchni równoległoboku OADB (podstawa skonstruowanego równoległościanu), zbudowanego na wektorachii skierowanej prostopadle do płaszczyzny równoległoboku (ryc. 41).

Iloczyn skalarny (x) = jest iloczynem modułu wektora i rzutu wektora (patrz akapit 1, (2)).

Wysokość zbudowanego równoległościanu jest wartością bezwzględną tego rzutu.

Dlatego produkt | |w wartości bezwzględnej jest ona równa iloczynowi pola podstawy równoległościanu i jego wysokości, tj. objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach i.

Należy zauważyć, że iloczyn skalarny podaje objętość równoległościanu, czasami ze znakiem dodatnim, a czasem ze znakiem ujemnym. Znak dodatni uzyskuje się, jeśli kąt między wektorami jest ostry; negatywny - jeśli głupi. Przy kącie ostrym pomiędzy i wektor znajduje się po tej samej stronie płaszczyzny OADB , który jest wektorem i dlatego od końca wektora obrót od niego będzie widoczny w taki sam sposób, jak od końca wektora, tj. w kierunku dodatnim (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara).

Pod kątem rozwartym wektor znajduje się po drugiej stronie płaszczyzny OADB niż wektor, dlatego od końca wektora obrót od będzie widoczny w kierunku ujemnym (zgodnie z ruchem wskazówek zegara). Innymi słowy, iloczyn jest dodatni, jeśli wektory i tworzą układ o tej samej nazwie z głównym Oxyz (wzajemnie położonymi w taki sam sposób, jak osie Ox, Oy, Oz) i jest ujemny, jeśli wektory tworzą układ o tej samej nazwie co główny.

Zatem, zmieszany produkt jest liczbą,którego wartość bezwzględna wyraża objętość równoległościanu,zbudowane na wektorach,jak na żebrach.

Znak iloczynu jest dodatni, jeśli wektory ,,tworzą układ o tej samej nazwie co główny, a w przeciwnym razie jest ujemny.

Wynika z tego, że wartość bezwzględna iloczynu =(x) pozostanie taka sama, niezależnie od kolejności, w jakiej weźmiemy czynniki. Jeśli chodzi o znak, w niektórych przypadkach będzie on pozytywny, w innych negatywny; zależy to od tego, czy nasze trzy wektory, wzięte w określonej kolejności, tworzą system o tej samej nazwie co główny, czy nie. Zwróć uwagę, że nasze osie współrzędnych są tak rozmieszczone, że patrząc od wewnątrz, podążają za sobą w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (ryc. 42). Kolejność nie zostanie naruszona, jeżeli przejazd zaczniemy od drugiej lub trzeciej osi, byleby odbywał się on w tym samym kierunku, tj. przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. W tym przypadku czynniki uporządkowane są w sposób kołowy (cykliczny). W ten sposób otrzymujemy następującą własność:

Produkt mieszany nie zmienia się pod wpływem kołowego (cyklicznego) przegrupowania jego czynników. Zmiana układu dwóch sąsiednich czynników zmienia znak iloczynu

= ==-()=-()=-().

Wreszcie poniższe stwierdzenie bezpośrednio wynika z geometrycznego znaczenia mieszanego produktu.

Warunek konieczny i wystarczający współpłaszczyznowości wektorów,,jest równość ich iloczynu mieszanego do zera:

def. 1.5.6. Cosinusy kierunkowe wektor A nazwijmy cosinusy kątów, które ten wektor tworzy odpowiednio z wektorami bazowymi, I , J , k .

Cosinusy kierunku wektora A = (X, Na, z) znajdują się według wzorów:

Suma kwadratów cosinusów kierunku jest równa jeden:

Cosinusy kierunku wektora A są współrzędnymi jego wektora jednostkowego: .

Niech wektory bazowe I , J , k odroczone ze wspólnego punktu O. Zakładamy, że orty określają dodatnie kierunki osi Oh, Jednostka organizacyjna, Oz. Zestaw punktów O (pochodzenie) i baza ortonormalna I , J , k zwany Kartezjański prostokątny układ współrzędnych w przestrzeni. Pozwalać A– dowolny punkt w przestrzeni. Wektor A = OA= X I + y J + z k zwany wektor promienia zwrotnica A, współrzędne tego wektora ( X, y, z) nazywane są także współrzędnymi punktu A(Przeznaczenie: A(X, y, z)). Osie współrzędnych Oh, Jednostka organizacyjna, Oz zwana także odpowiednio osią odcięta, oś rzędna, oś zastosować.

Jeżeli wektor jest określony przez współrzędne jego punktu początkowego W 1 (X 1 , y 1 , z 1) i punkt końcowy W 2 (X 2 , y 2 , z 2), wówczas współrzędne wektora są równe różnicy między współrzędnymi końca i początku: (ponieważ ).

Kartezjańskie prostokątne układy współrzędnych na płaszczyźnie i na prostej ustalane są dokładnie w ten sam sposób z odpowiednimi zmianami ilościowymi (zgodnie z wymiarem).

Rozwiązywanie typowych problemów.

Przykład 1. Znajdź długość i cosinus kierunku wektora A = 6I – 2J -3k .

Rozwiązanie. Długość wektora: . Cosinusy kierunkowe: .

Przykład 2. Znajdź współrzędne wektora A , tworząc równe kąty ostre z osiami współrzędnych, jeżeli długość tego wektora jest równa .

Rozwiązanie. Ponieważ , następnie podstawiając do wzoru (1.6), otrzymujemy . Wektor A tworzy kąty ostre z osiami współrzędnych, więc ort . Dlatego znajdujemy współrzędne wektora .

Przykład 3. Dane są trzy wektory niewspółpłaszczyznowe mi 1 = 2I – k , mi 2 = 3I + 3J , mi 3 = 2I + 3k . Rozwiń wektor D = I + 5J - 2k według podstawy mi 1 , mi 2 , mi 3 .

Nieruchomość:

cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

b) definicja operacji liniowych

suma dwóch wektorów niewspółliniowych jest wektorem pochodzącym ze wspólnego początku wektorów wzdłuż przekątnej równoległoboku zbudowanego na tych wektorach

Różnica wektorów jest sumą wektora i wektora przeciwnego do wektora: . Połączmy początki wektorów i , następnie wektor kierowany jest od końca wektora do końca wektora.

Praca wektor przez liczbę nazywany jest wektorem z modułem oraz at i at . Z geometrycznego punktu widzenia mnożenie przez liczbę oznacza „rozciągnięcie” wektora o współczynnik, utrzymanie kierunku w punkcie i zmianę na przeciwny w punkcie .

Z powyższych zasad dodawania wektorów i mnożenia ich przez liczbę wynikają oczywiste stwierdzenia:

1. (dodawanie jest przemienne);

2. (dodawanie jest łączne);

3. (istnienie wektora zerowego);

4. (istnienie wektora przeciwnego);

5. (dodawanie jest łączne);

6. (mnożenie przez liczbę jest rozdzielne);

7. (dodawanie wektorów jest rozdzielne);

c) iloczyn skalarny i jego podstawowe własności

Produkt kropkowy dwa niezerowe wektory to liczba równa iloczynowi długości tych wektorów i cosinusa kąta między nimi. Jeśli przynajmniej jeden z dwóch wektorów ma wartość zero, wówczas kąt między nimi nie jest zdefiniowany, a iloczyn skalarny przyjmuje się za równy zeru. Iloczyn skalarny wektorów i jest oznaczony

, gdzie i to odpowiednio długości wektorów i , oraz kąt między wektorami i .

Iloczyn skalarny wektora sam w sobie nazywany jest kwadratem skalarnym.

Właściwości iloczynu skalarnego.

Dla dowolnych wektorów prawdziwe są następujące stwierdzenia: właściwości iloczynu skalarnego:

przemienność iloczynu skalarnego;

własność rozdzielcza Lub ;

łączność Lub , gdzie jest dowolną liczbą rzeczywistą;

kwadrat skalarny wektora jest zawsze nieujemny wtedy i tylko wtedy, gdy wektor wynosi zero.

D) iloczyn wektorowy i jego właściwości

produkt wektorowy wektor a do wektora b nazywany jest wektorem c, którego długość jest liczbowo równa polu równoległoboku zbudowanego na wektorach aib, prostopadłym do płaszczyzny tych wektorów i skierowanym tak, aby najmniejszy obrót od a do b wokół wektora c jest przeciwne do ruchu wskazówek zegara, patrząc od strony wektora końcowego c

Wzory do obliczania iloczynu wektorów wektorów

Grafika wektorowa dwa wektory a = (a x; a y; a z) i b = (b x; b y; b z) w kartezjańskim układzie współrzędnych to wektor, którego wartość można obliczyć za pomocą następujących wzorów:

• Iloczyn dwóch niezerowych wektorów aib jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy wektory są współliniowe.
• Wektor c, równy iloczynowi krzyżowemu niezerowych wektorów a i b, jest prostopadły do ​​tych wektorów.
• a × b = -b × a
• (k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
• (a + b) × do = a × do + b × do

Równanie prostej na płaszczyźnie

A) równanie prostej ze współczynnikiem kąta

Nachylenie linii prostej nazywa się tangensem kąta nachylenia tej linii.

Nachylenie linii prostej jest zwykle oznaczone literą k. Wtedy z definicji.

Jeśli prosta jest równoległa do osi rzędnych, to nachylenie nie istnieje (w tym przypadku również mówi się, że nachylenie dąży do nieskończoności).

Dodatnie nachylenie linii oznacza wzrost jej wykresu funkcji, ujemne nachylenie oznacza spadek. Równanie prostej ze współczynnikiem kątowym ma postać y=kx+b, gdzie k jest współczynnikiem kątowym prostej, b jest pewną liczbą rzeczywistą. Korzystając z równania prostej ze współczynnikiem kątowym, można określić dowolną linię prostą, która nie jest równoległa do osi Oy (dla prostej równoległej do osi rzędnych współczynnik kątowy nie jest definiowany).

B) rodzaje równań prostych

Równanie zwany ogólne równanie prostej na powierzchni.

Dowolne równanie pierwszego stopnia z dwiema zmiennymi X I y Uprzejmy , Gdzie A, W I Z– niektóre liczby rzeczywiste i A I W nie są jednocześnie równe zeru, definiuje linię prostą w prostokątnym układzie współrzędnych Oksy na płaszczyźnie, a każda prosta na płaszczyźnie jest dana równaniem postaci .

Równanie liniowe postaci , gdzie A I B– wywoływane są niektóre liczby rzeczywiste inne niż zero równanie prostej w odcinkach. Nazwa ta nie jest przypadkowa, ponieważ wartości bezwzględne liczb A I B równej długości odcinków, które linia prosta odcina na osiach współrzędnych Wół I Oj odpowiednio (segmenty liczone są od początku).

Równanie liniowe postaci , gdzie X I y- zmienne i k I B– nazywane są niektóre liczby rzeczywiste równanie prostej ze spadkiem (k- nachylenie)

Równanie kanoniczne prostej na płaszczyźnie w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych Oksy wygląda jak , gdzie i są pewnymi liczbami rzeczywistymi, a jednocześnie nie są równe zeru.

Oczywiście przez ten punkt przechodzi prosta określona równaniem kanonicznym tej prostej. Z kolei liczby i mianowniki ułamków reprezentują współrzędne wektora kierunku tej linii. Zatem równanie kanoniczne linii w prostokątnym układzie współrzędnych Oksy na płaszczyźnie odpowiada linii prostej przechodzącej przez punkt i mającej wektor kierunkowy.

Równania parametryczne prostej na płaszczyźnie wygląda jak , gdzie i są pewnymi liczbami rzeczywistymi, a jednocześnie nie są równe zeru i jest parametrem przyjmującym dowolne wartości rzeczywiste.

Parametryczne równania linii ustalają niejawną relację między odciętymi i rzędnymi punktów na linii prostej za pomocą parametru (stąd nazwa tego typu równania liniowego).

Para liczb, które są obliczane z równań parametrycznych linii dla jakiejś rzeczywistej wartości parametru, reprezentuje współrzędne pewnego punktu na linii. Na przykład, kiedy mamy , czyli punkt o współrzędnych leży na linii prostej.

Należy zauważyć, że współczynniki i dla parametru w równaniach parametrycznych prostej są współrzędnymi wektora kierunkowego tej prostej

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

Niech w przestrzeni zostaną dane dwa punkty M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), wówczas równanie prostej przechodzącej przez te punkty będzie wyglądało następująco:

Jeżeli którykolwiek z mianowników jest równy zero, odpowiadający mu licznik powinien być równy zero.Na płaszczyźnie równanie prostej zapisanej powyżej jest uproszczone:

jeśli x 1 ≠ x 2 i x = x 1, jeśli x 1 = x 2.

Nazywa się ułamek = k nachylenie prosty.

C) obliczenie kąta pomiędzy dwiema prostymi

jeśli podane zostaną dwie linie y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, to kąt ostry między tymi liniami zostanie zdefiniowany jako

.

Dwie linie są równoległe, jeśli k 1 = k 2. Dwie linie są prostopadłe, jeśli k 1 = -1/ k 2.

Twierdzenie. Linie Ax + Bу + C = 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 są równoległe, gdy współczynniki A 1 = λA, B 1 = λB są proporcjonalne. Jeśli także C 1 = λC, to linie się pokrywają. Współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych znajdują się jako rozwiązanie układu równań tych prostych.

D) warunki równoległości i prostopadłości dwóch prostych

Warunki równoległości dwóch prostych:

a) Jeżeli proste są dane równaniami ze współczynnikiem kątowym, to warunkiem koniecznym i wystarczającym ich równoległości jest równość ich współczynników kątowych:

k 1 = k 2 .

b) W przypadku, gdy proste są dane równaniami w postaci ogólnej (6), warunkiem koniecznym i wystarczającym ich równoległości jest to, aby współczynniki dla odpowiednich współrzędnych prądu w ich równaniach były proporcjonalne, tj.

Warunki prostopadłości dwóch prostych:

a) W przypadku, gdy proste są dane równaniami (4) ze współczynnikiem kątowym, warunkiem koniecznym i wystarczającym ich prostopadłości jest to, aby ich współczynniki kątowe były odwrotne pod względem wielkości i przeciwne pod względem znaku, tj.

Warunek ten można także zapisać w postaci

k 1 k 2 = -1.

b) Jeżeli równania prostych podane są w postaci ogólnej (6), to warunkiem ich prostopadłości (koniecznym i wystarczającym) jest spełnienie równości

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0.

Granica funkcji

A) granica sekwencji

Pojęciem granicy posługiwał się Newton w drugiej połowie XVII wieku oraz matematycy XVIII wieku, tacy jak Euler i Lagrange, ale granicę rozumieli oni intuicyjnie. Pierwsze rygorystyczne definicje granicy ciągu podali Bolzano w 1816 r. i Cauchy w 1821 r.

Numer jest wywoływany granica ciągu liczbowego, jeśli ciąg jest nieskończenie mały, tj. wszystkie jego elementy, począwszy od pewnego, są mniejsze od dowolnej z góry określonej liczby dodatniej w wartości bezwzględnej.

Jeśli ciąg liczb ma granicę w postaci liczby rzeczywistej, nazywa się go zbieżny do tego numeru. W przeciwnym razie wywoływana jest sekwencja rozbieżny . Jeżeli ponadto jest nieograniczona, to przyjmuje się, że jej granica jest równa nieskończoności.

Ponadto, jeśli wszystkie elementy ciągu nieograniczonego, zaczynając od określonej liczby, mają znak dodatni, to mówimy, że granica takiego ciągu wynosi plus nieskończoność .

Jeżeli elementy ciągu nieograniczonego, zaczynając od określonej liczby, mają znak ujemny, to mówią, że granica takiego ciągu jest równa minus nieskończoność .

B) granica funkcji

Granica funkcji (wartość graniczna funkcji) w danym punkcie, ograniczającą dziedzinę definicji funkcji, jest wartość, do której dąży wartość rozważanej funkcji, gdy jej argument dąży do danego punktu.

Granica funkcji jest uogólnieniem koncepcji granicy ciągu: początkowo granicę funkcji w punkcie rozumiano jako granicę ciągu elementów dziedziny wartości funkcji złożonej z obrazów punktów ciąg elementów dziedziny definicji funkcji zbiegający się do danego punktu (granicy, w której brana jest pod uwagę); jeżeli taka granica istnieje, to mówimy, że funkcja zbiega się do określonej wartości; jeżeli taka granica nie istnieje, to mówimy, że funkcja jest rozbieżna.

Granica funkcji- jedno z podstawowych pojęć analizy matematycznej. Wartość nazywa się limit (wartość graniczna) funkcji w punkcie, jeśli dla dowolnego ciągu punktów zbiegających się do jednego z jej elementów, ale niezawierających go (to znaczy w przebitym sąsiedztwie), ciąg wartości funkcji zbiega się do .

Wartość nazywa się limit (wartość graniczna) funkcjonuje w punkcie, jeśli dla dowolnej liczby dodatniej wziętej z góry istnieje odpowiednia liczba dodatnia taka, że ​​dla wszystkich argumentów spełniających warunek jest spełniona nierówność.

C) dwie niezwykłe granice

· Pierwszy niezwykły limit:

Konsekwencje

·

·

·

· Drugi niezwykły limit:

Konsekwencje

1.

2.

3.

4.

5. Dla ,

6.

D) funkcje nieskończenie małe i nieskończenie duże

Funkcjonować y=f(x) zwany nieskończenie mały Na x → a albo kiedy X→∞, jeśli lub , tj. funkcja nieskończenie mała to funkcja, której granica w danym punkcie wynosi zero.

jeśli funkcja y=f(x) reprezentowalny z x → a jako suma liczby stałej B i nieskończenie mała wielkość α(x): f (x)=b+ α(x) To .

I odwrotnie, jeśli , to fa (x)=b+α(x), Gdzie topór)– nieskończenie mały przy x → a.

Wniosek 1. Jeśli i wtedy.

Konsekwencja 2. Jeśli c= stała, następnie .

Jeśli funkcja k(x) jest nieskończenie duży w x → a, następnie funkcja 1 /f(x) jest nieskończenie małe przy x → a.

Jeśli funkcja k(x)- nieskończenie mały przy x → a(Lub x → ∞) i wtedy nie znika y= 1/f(x) jest nieskończenie dużą funkcją. Najprostsze właściwości nieskończenie małych i nieskończenie dużych funkcji można zapisać za pomocą następujących relacji warunkowych: A≠ 0

D) ujawnienie niepewności. Reguła de l'Hopitala

główne rodzaje niepewności: zero podzielone przez zero ( 0 do 0), nieskończoność podzielona przez nieskończoność, zero pomnożone przez nieskończoność, nieskończoność minus nieskończoność, jeden do potęgi nieskończoności, zero do potęgi zera, nieskończoność do potęgi zera.

Reguła de l'Hopitala bardzo szeroko stosowany obliczenia graniczne gdy istnieje niepewność postaci zero dzielonej przez zero, nieskończoności dzielonej przez nieskończoność.

Tego typu niepewności obejmują niepewności zero razy nieskończoność i nieskończoność minus nieskończoność.

Jeśli i jeśli funkcje k(x) I g(x) są różniczkowalne w sąsiedztwie punktu , a następnie

W przypadku, gdy niepewność nie zniknie po zastosowaniu reguły L'Hopitala, można ją zastosować ponownie.

Obliczanie instrumentów pochodnych

A) zasada różniczkowania funkcji zespolonej

Niech będzie złożona funkcja , gdzie funkcja jest argumentem pośrednim. Pokażemy jak znaleźć pochodną funkcji zespolonej, znając pochodną funkcji (oznaczymy ją przez) i pochodną funkcji.

Twierdzenie 1. Jeśli funkcja ma pochodną w punkcie X, a funkcja ma pochodną w punkcie (), to funkcja zespolona w tym punkcie X ma pochodną i = .

W przeciwnym wypadku pochodna funkcji zespolonej jest równa iloczynowi pochodnej danej funkcji względem argumentu pośredniego i pochodnej argumentu pośredniego.

B) różniczkowanie funkcji określonej parametrycznie

Niech funkcja będzie podana w postaci parametrycznej, czyli w postaci:

gdzie funkcje i są zdefiniowane i ciągłe w pewnym przedziale zmian parametru. Znajdźmy różniczki prawej i lewej strony każdej z równości:

Aby znaleźć drugą pochodną, ​​wykonujemy następujące przekształcenia:

B) pojęcie pochodnej logarytmicznej funkcji

Logarytmiczna pochodna funkcji dodatniej nazywana jest jej pochodną. Ponieważ , to zgodnie z zasadą różniczkowania funkcji zespolonej otrzymujemy dla pochodnej logarytmicznej następującą zależność:

.

Stosując pochodną logarytmiczną wygodnie jest obliczyć pochodną zwyczajną w przypadkach, gdy logarytm upraszcza postać funkcji.

Istota tego różniczkowania jest następująca: najpierw znajduje się logarytm danej funkcji, a dopiero potem oblicza się jej pochodną. Niech zostanie podana jakaś funkcja. Weźmy logarytmy lewej i prawej strony tego wyrażenia:

A następnie, wyrażając pożądaną pochodną, ​​wynik jest następujący:

D) pochodna funkcji odwrotnej

Jeżeli y=f(x) i x=g(y) są parą funkcji wzajemnie odwrotnych, a funkcja y=f(x) ma pochodną f"(x), to pochodna funkcji odwrotnej g"( x)=1/f” (x).

Zatem pochodne funkcji wzajemnie odwrotnych są wielkościami odwrotnymi. Wzór na pochodną funkcji odwrotnej:

D) pochodna funkcji ukrytej

Jeżeli funkcję jednej zmiennej opisuje równanie y=F(X), gdzie zmienna y znajduje się po lewej stronie, a prawa strona zależy tylko od argumentu X, to mówią, że funkcja jest dana wyraźnie. Na przykład jawnie określono następujące funkcje:

y=grzech X,y=X 2+2X+5,y=Incos X.

Jednak w wielu problemach funkcję można określić niejawnie, tj. jako równanie

F(X,y)=0.

znaleźć pochodną y′( X) niejawnie określona funkcja nie musi być konwertowana na formę jawną. Aby to zrobić, znając równanie F(X,y) = 0, po prostu wykonaj następujące czynności:

Najpierw musisz rozróżnić obie strony równania w odniesieniu do zmiennej X, przy założeniu, że y− jest funkcją różniczkowalną X i zastosowanie reguły obliczania pochodnej funkcji zespolonej. W tym przypadku pochodna zera (po prawej stronie) również będzie równa zeru.
Komentarz: Jeśli prawa strona jest niezerowa, tj. ukryte równanie to

F(X,y)=G(X,y),

następnie różniczkujemy lewą i prawą stronę równania.

Rozwiąż otrzymane równanie dla pochodnej y′( X).

Pojęcie pochodnej

A) definicja pochodnej

Pochodna funkcji różnicowanie integracja.

y XX

Definicja pochodnej

Rozważ funkcję F(X X 0. Następnie funkcja F(X) Jest różniczkowalne w tym punkcie X 0 i ona pochodna określa się na podstawie wzoru

F′( X 0)=limΔ X→0Δ yΔ X=limΔ X→0F(X 0+Δ X)−F(X 0)Δ X.

Pochodna funkcji jest jednym z podstawowych pojęć matematyki, a w analizie matematycznej pochodna wraz z całką zajmuje centralne miejsce. Proces znajdowania pochodnej nazywa się różnicowanie. Nazywa się operację odwrotną - przywracanie funkcji ze znanej pochodnej integracja.

Pochodna funkcji w pewnym punkcie charakteryzuje szybkość zmian funkcji w tym punkcie. Oszacowanie szybkości zmian można uzyskać, obliczając stosunek zmiany funkcji Δ y do odpowiedniej zmiany argumentu Δ X. W definicji pochodnej taką zależność uwzględnia się w granicy pod warunkiem Δ X→0. Przejdźmy do bardziej rygorystycznego sformułowania:

Definicja pochodnej

Rozważ funkcję F(X), którego dziedzina definicji zawiera pewien otwarty przedział wokół punktu X 0. Następnie funkcja F(X) Jest różniczkowalne w tym punkcie X 0 i ona pochodna określa się na podstawie wzoru

F′( X 0)=limΔ X→0Δ yΔ X=limΔ X→0F(X 0+Δ X)−F(X 0)Δ X.

B) geometryczne znaczenie pochodnej

Pochodna funkcji obliczona dla danej wartości jest równa tangensowi kąta utworzonego przez dodatni kierunek osi i dodatni kierunek stycznej narysowanej do wykresu tej funkcji w punkcie z odciętą:

Jeżeli funkcja ma w punkcie skończoną pochodną, ​​to w sąsiedztwie można ją aproksymować funkcją liniową

Funkcja nazywa się styczną do punktu Liczba.

D) tablica pochodnych najprostszych funkcji elementarnych

Cosinusy kierunku wektora.

Cosinusy kierunku wektora a są cosinusami kątów, jakie wektor tworzy z dodatnimi półosiami współrzędnych.

Aby znaleźć cosinusy kierunku wektora a, należy podzielić odpowiednie współrzędne wektora przez wartość bezwzględną wektora.

Nieruchomość: Suma kwadratów cosinusów kierunku jest równa jeden.

Więc w przypadku problemu z samolotem cosinusy kierunkowe wektora a = (ax; ay) wyznaczamy za pomocą wzorów:

Przykład obliczenia cosinusów kierunku wektora:

Znajdź cosinusy kierunku wektora a = (3; 4).

Rozwiązanie: |a| =

Więc w w przypadku problemu przestrzennego cosinusy kierunkowe wektora a = (ax; ay; az) można znaleźć za pomocą wzorów:

Przykład obliczenia cosinusów kierunku wektora

Znajdź cosinusy kierunku wektora a = (2; 4; 4).

Rozwiązanie: |a| =

Kierunek wektora w przestrzeni wyznaczają kąty, jakie wektor tworzy z osiami współrzędnych (ryc. 12). Cosinusy tych kątów nazywane są cosinus kierunku wektora: , , . Z właściwości rzutów:, , . Stąd, Łatwo to pokazać 2) współrzędne dowolnego wektora jednostkowego pokrywają się z jego cosinusami kierunkowymi: .

„Jak znaleźć cosinus kierunku wektora”

Oznacz przez alfa, beta i gamma kąty utworzone przez wektor a z dodatnim kierunkiem osi współrzędnych (patrz ryc. 1). Cosinusy tych kątów nazywane są cosinusami kierunku wektora a.

Ponieważ współrzędne a w kartezjańskim prostokątnym układzie współrzędnych są równe rzutom wektora na osie współrzędnych, to a1 = |a|cos(alfa), a2 = |a|cos(beta), a3 = |a|cos (gamma). Stąd: cos (alfa)=a1||a|, cos(beta) =a2||a|, cos(gamma)= a3/|a|. W tym przypadku |a|=sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2). Zatem cos (alfa)=a1|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(beta) =a2|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(gamma)= a3/kwadrat(a1^2+ a2^2+ a3^2).

Należy zwrócić uwagę na główną właściwość cosinusów kierunkowych. Suma kwadratów cosinusów kierunku wektora jest równa jeden. Rzeczywiście, cos^2(alfa)+cos^2(beta)+cos^2(gamma)= = a1^2|(a1^2+ a2^2+ a3^2)+ a2^2|(a1^2 + a2^2+ a3^2)+ a3^2/(a1^2+ a2^2+ a3^2) = =(a1^2+ a2^2+ a3^2)|(a1^2+ a2^ 2+ a3^2) = 1.

Pierwszy sposób

Przykład: podano: wektor a=(1, 3, 5). Znajdź jego cosinusy kierunkowe. Rozwiązanie. Zgodnie z tym, co ustaliliśmy, zapisujemy: |a|= sqrt(ax^2+ ay^2+ az^2)=sqrt(1+9 +25)=sqrt(35)=5,91. Zatem odpowiedź można zapisać w następującej formie: (cos(alfa), cos(beta), cos(gamma))=(1/sqrt(35), 3/sqrt(35), 5/(35)) =( 0,16; 0,5; 0,84).

Drugi sposób

Wyznaczając cosinusy kierunku wektora a, można zastosować technikę wyznaczania cosinusów kątów za pomocą iloczynu skalarnego. W tym przypadku mamy na myśli kąty pomiędzy a i wektorami jednostkowymi kierunku prostokątnych współrzędnych kartezjańskich i, j i k. Ich współrzędne to odpowiednio (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Należy przypomnieć, że iloczyn skalarny wektorów definiuje się następująco.

Jeżeli kąt między wektorami wynosi φ, to iloczyn skalarny dwóch wiatrów (z definicji) jest liczbą równą iloczynowi modułów wektorów i cosφ. (a, b) = |a||b|cos f. Następnie, jeśli b=i, to (a, i) = |a||i|cos(alfa) lub a1 = |a|cos(alfa). Ponadto wszystkie działania wykonuje się podobnie jak w metodzie 1, biorąc pod uwagę współrzędne j i k.

DEFINICJA

Wektor nazywa się uporządkowaną parą punktów i (to znaczy dokładnie wiadomo, który z punktów tej pary jest pierwszy).

Pierwszy punkt to tzw początek wektora, a drugi jest jego koniec.

Nazywa się odległość między początkiem i końcem wektora długość Lub moduł wektorowy.

Nazywa się wektor, którego początek i koniec pokrywają się zero i jest oznaczony przez ; jego długość uważa się za zero. W przeciwnym razie, jeśli długość wektora jest dodatnia, nazywa się to niezerowy.

Komentarz. Jeśli długość wektora jest równa jeden, wówczas nazywa się to ortom Lub wektor jednostkowy i jest wyznaczony.

PRZYKŁAD

Ćwiczenia	Sprawdź, czy wektor jest pojedynczy.
Rozwiązanie	Obliczmy długość danego wektora, jest ona równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów współrzędnych: Ponieważ długość wektora jest równa jeden, oznacza to, że wektor jest ortą.
Odpowiedź	Wektor jednostkowy.

Niezerowy wektor można również zdefiniować jako segment skierowany.

Komentarz. Kierunek wektora zerowego nie jest zdefiniowany.

Cosinusy kierunku wektora

DEFINICJA

Cosinusy kierunkowe pewnego wektora nazywane są cosinusami kątów, które wektor tworzy z dodatnimi kierunkami osi współrzędnych.

Komentarz. Kierunek wektora jest jednoznacznie określony przez jego cosinusy kierunku.

Aby znaleźć cosinusy kierunku wektora, należy znormalizować wektor (to znaczy podzielić wektor przez jego długość):

Komentarz. Współrzędne wektora jednostkowego są równe jego cosinusom kierunkowym.

TWIERDZENIE

(Własność cosinusów kierunku). Suma kwadratów cosinusów kierunku jest równa jeden: