Znajdź wektor prostopadły do ​​wektorów. Jak znaleźć wektor prostopadły do ​​wektora

Instrukcje

Jeżeli pierwotny wektor jest przedstawiony na rysunku w prostokątnym dwuwymiarowym układzie współrzędnych i trzeba tam zbudować prostopadły, należy przejść od definicji prostopadłości wektorów na płaszczyźnie. Stanowi ona, że ​​kąt pomiędzy taką parą skierowanych odcinków musi wynosić 90°. Można skonstruować nieskończoną liczbę takich wektorów. Dlatego narysuj prostopadłą do pierwotnego wektora w dowolnym dogodnym miejscu na płaszczyźnie, ułóż na niej odcinek równy długości danej uporządkowanej pary punktów i przypisz jeden z jego końców jako początek wektora prostopadłego. Zrób to za pomocą kątomierza i linijki.

Jeśli pierwotny wektor jest określony przez dwuwymiarowe współrzędne ā = (X₁;Y₁), załóżmy, że iloczyn skalarny pary wektorów prostopadłych musi być równy zero. Oznacza to, że dla żądanego wektora ō = (X₂,Y₂) należy wybrać takie współrzędne, aby spełniona była równość (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0. Można to zrobić w ten sposób: wybierz dowolny niezerową wartość współrzędnej X₂ i oblicz współrzędną Y₂ korzystając ze wzoru Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁. Przykładowo dla wektora ā = (15;5) powstanie wektor ō, którego odcięta będzie równa jeden, a rzędna będzie równa -(15*1)/5 = -3, tj. ō = (1;-3).

Dla trójwymiarowego i każdego innego ortogonalnego układu współrzędnych prawdziwy jest ten sam warunek konieczny i wystarczający na prostopadłość wektorów - ich iloczyn skalarny musi być równy zero. Jeżeli zatem początkowy skierowany odcinek dany jest współrzędnymi ā = (X₁,Y₁,Z₁), to dla uporządkowanej pary punktów ō = (X₂,Y₂,Z₂) prostopadłych do niej należy wybrać takie współrzędne, które spełniają warunek (ā,ō ) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. Najprościej jest przypisać X₂ i Y₂ pojedyncze wartości i obliczyć Z₂ z uproszczonej równości Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁* 1)/Z₁ = -(X₁+Y₁)/Z₁. Na przykład dla wektora ā = (3,5,4) przyjmie to następującą postać: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Następnie weźmy odciętą i rzędną wektor prostopadły jako jeden i w tym przypadku będzie równy -(3+5)/4 = -2.

Źródła:

• znajdź wektor, jeśli jest prostopadły

Nazywa się je prostopadłymi wektor, pomiędzy którymi kąt wynosi 90°. Wektory prostopadłe są konstruowane przy użyciu narzędzi rysunkowych. Jeśli znane są ich współrzędne, prostopadłość wektorów można sprawdzić lub znaleźć metodami analitycznymi.

Będziesz potrzebować

• - kątomierz;
• - kompas;
• - linijka.

Instrukcje

Skonstruuj wektor prostopadły do ​​danego. Aby to zrobić, w punkcie będącym początkiem wektora przywróć do niego prostopadłą. Można to zrobić za pomocą kątomierza, ustawiając kąt 90°. Jeśli nie masz kątomierza, użyj do tego kompasu.

Ustaw go na punkt początkowy wektora. Narysuj okrąg o dowolnym promieniu. Następnie skonstruuj dwa o środkach w punktach, w których pierwszy okrąg przecina prostą, na której leży wektor. Promienie tych okręgów muszą być sobie równe i większe od pierwszego zbudowanego okręgu. W punktach przecięcia okręgów zbuduj linię prostą, która będzie prostopadła do pierwotnego wektora w jej początku i narysuj na niej wektor prostopadły do ​​tego.

Wektor jednostkowy to: , gdzie – moduł wektorowy.

Odpowiedź:
.

Notatka. Współrzędne wektora jednostkowego nie mogą być większe niż jeden.

6.3. Znajdź długość i cosinus kierunku wektora . Porównaj z odpowiedzią w poprzednim akapicie. Wyciągać wnioski.

Długość wektora to jego moduł:

Cosinusy kierunku możemy znaleźć, korzystając ze wzoru na jeden ze sposobów określania wektorów:

Widzimy z tego, że cosinusy kierunku są współrzędnymi wektora jednostkowego.

Odpowiedź:
,
,
,
.

6.4. Znajdować
.

Konieczne jest wykonanie czynności mnożenia wektora przez liczbę, dodawania i modułu.

Mnożymy współrzędne wektorów przez liczbę słowo po wyrazie.

Dodajemy współrzędne wektorów termin po wyrazie.

Znalezienie modułu wektora.

Odpowiedź:

6,5. Określ współrzędne wektora
, współliniowy do wektora , wiedząc to
i jest skierowany w kierunku przeciwnym do wektora .

Wektor współliniowy do wektora , co oznacza, że ​​jego wektor jednostkowy jest równy wektorowi jednostkowemu tylko ze znakiem minus, ponieważ skierowane w przeciwnym kierunku.

Wektor jednostkowy ma długość równą 1, co oznacza, że ​​jeśli pomnożymy go przez 5, wówczas jego długość będzie równa pięć.

Znaleźliśmy

Odpowiedź:

6.6. Oblicz produkty skalarne
I
. Czy wektory są prostopadłe? I ,I pomiędzy nimi?

Zróbmy iloczyn skalarny wektorów.

Jeśli wektory są prostopadłe, ich iloczyn skalarny wynosi zero.

Widzimy, że w naszym przypadku wektory I prostopadły.

Odpowiedź:
,
, wektory nie są prostopadłe.

Notatka. Geometryczne znaczenie iloczynu skalarnego jest mało przydatne w praktyce, ale nadal istnieje. Wynik takiego działania można przedstawić i obliczyć geometrycznie.

6.7. Znajdź pracę wykonaną przez punkt materialny, do którego przyłożona jest siła
, podczas przenoszenia go z punktu B do punktu C.

Fizyczne znaczenie iloczynu skalarnego to praca. Wektor siły jest tutaj , wektor przemieszczenia wynosi
. Iloczynem tych wektorów będzie wymagana praca.

Szukanie pracy

6.8. Znajdź kąt wewnętrzny w wierzchołku A i zewnętrzny kąt wierzchołkowy C trójkąt ABC .

Z definicji iloczynu skalarnego wektorów otrzymujemy wzór na znalezienie kąta: .

W
Kąta wewnętrznego będziemy szukać jako kąta pomiędzy wektorami wychodzącymi z jednego punktu.

Aby znaleźć kąt zewnętrzny, musisz połączyć wektory tak, aby wychodziły z jednego punktu. Zdjęcie wyjaśnia to.

Warto to zauważyć
, mają po prostu inne współrzędne początkowe.

Znajdowanie niezbędnych wektorów i kątów

Odpowiedź: kąt wewnętrzny w wierzchołku A = , kąt zewnętrzny w wierzchołku B = .

6.9. Znajdź rzuty wektorów: i

Przypomnijmy sobie wektory wektorowe:
,
,
.

Projekcję można również znaleźć na podstawie iloczynu skalarnego

-występ B NA A.

Uzyskane wcześniej wektory

,
,

Znalezienie projekcji

Znalezienie drugiej projekcji

Odpowiedź:
,

Notatka. Znak minus przy znalezieniu rzutu oznacza, że ​​rzut nie schodzi na sam wektor, ale w przeciwnym kierunku, na prostą, na której leży ten wektor.

6.10. Oblicz
.

Zróbmy iloczyn wektorowy wektorów

Znajdźmy moduł

Sinus kąta między wektorami znajdujemy z definicji iloczynu wektorów

Odpowiedź:
,
,
.

6.11. Znajdź obszar trójkąta ABC oraz długość wysokości schodzącej z punktu C.

Geometryczne znaczenie modułu iloczynu wektorowego polega na tym, że jest to obszar równoległoboku utworzonego przez te wektory. A pole trójkąta jest równe połowie pola równoległoboku.

Pole trójkąta można również obliczyć jako iloczyn wysokości i podstawy podzielonej przez dwa, z czego można wyprowadzić wzór na obliczenie wysokości.

W ten sposób znajdujemy wysokość

Odpowiedź:
,
.

6.12. Znajdź wektor jednostkowy prostopadły do ​​wektorów I .

Wynikiem iloczynu skalarnego jest wektor prostopadły do ​​dwóch pierwotnych. A wektor jednostkowy to wektor podzielony przez jego długość.

Wcześniej znaleźliśmy:

,

Odpowiedź:
.

6.13. Wyznacz wielkość i cosinus kierunku momentu siły
, zastosowany do A względem punktu C.

Fizyczne znaczenie iloczynu wektorowego to moment siły. Podajmy ilustrację tego zadania.

Znalezienie momentu siły

Odpowiedź:
.

6.14. Czy wektory kłamią? ,I w tym samym samolocie? Czy te wektory mogą stanowić podstawę przestrzeni? Dlaczego? Jeśli mogą, rozwiń wektor do tej podstawy
.

Aby sprawdzić, czy wektory leżą w tej samej płaszczyźnie, należy wykonać iloczyn mieszany tych wektorów.

Iloczyn mieszany nie jest równy zero, dlatego wektory nie leżą w tej samej płaszczyźnie (nie są współpłaszczyznowe) i mogą tworzyć bazę. Rozłóżmy się na tej podstawie.

Rozwińmy o podstawę, rozwiązując równanie

Odpowiedź: wektory ,I nie leżeć w tej samej płaszczyźnie.
.

6.15. Znajdować
. Jaka jest objętość ostrosłupa o wierzchołkach A, B, C, D i jego wysokość obniżona z punktu A do podstawy BCD.

G Geometryczne znaczenie iloczynu mieszanego polega na tym, że jest to objętość równoległościanu utworzonego przez te wektory.

Objętość piramidy jest sześciokrotnie mniejsza niż objętość równoległościanu.

Objętość piramidy można również obliczyć w następujący sposób:

Otrzymujemy wzór na znalezienie wysokości

Znalezienie wysokości

Odpowiedź: objętość = 2,5, wysokość = .

6.16. Oblicz
I
.

– Zachęcamy do samodzielnego przemyślenia tego zadania.

- Wykonajmy pracę.

Otrzymane wcześniej

Odpowiedź:
.

6.17. Oblicz

Wykonajmy kroki w częściach

3)

Podsumujmy uzyskane wartości

Odpowiedź:
.

6.18. Znajdź wektor
, wiedząc, że jest prostopadły do ​​wektorów I i jego rzut na wektor równa się 5.

Podzielmy to zadanie na dwa podzadania

1) Znajdź wektor prostopadły do ​​wektorów I dowolna długość.

Otrzymujemy wektor prostopadły jako wynik iloczynu wektorowego

Wcześniej znaleźliśmy:

Wymagany wektor różni się od otrzymanego jedynie długością

2) Znajdźmy poprzez równanie

6.19. Znajdź wektor
, spełniający warunki
,
,
.

Rozważmy te warunki bardziej szczegółowo.

Jest to układ równań liniowych. Skomponujmy i rozwiążmy ten system.

Odpowiedź:

6.20. Wyznacz współrzędne wektora
, współpłaszczyznowe z wektorami I i prostopadle do wektora
.

W tym zadaniu są dwa warunki: współpłaszczyznowość wektorów i prostopadłość, spełnijmy najpierw pierwszy warunek, a potem drugi.

1) Jeżeli wektory są współpłaszczyznowe, to ich iloczyn mieszany jest równy zeru.

Stąd otrzymujemy pewną zależność współrzędnych wektora

Znajdźmy wektor .

2) Jeśli wektory są prostopadłe, to ich iloczyn skalarny wynosi zero

Otrzymaliśmy drugą zależność współrzędnych pożądanego wektora

Za dowolną wartość wektor spełni warunki. Zastąpmy
.

Odpowiedź:
.

Geometria analityczna

W części dotyczącej tego pytania znajdź wektor prostopadły do ​​dwóch danych wektorów podanych przez autora Anna Afanasjewa najlepsza odpowiedź to: Znaleziono wektor prostopadły do ​​dwóch nierównoległych wektorów jako ich iloczyn wektorowy xb, aby go znaleźć należy ułożyć wyznacznik, którego pierwszy wiersz będzie składał się z wektorów jednostkowych I, j, k, drugi ze współrzędnych wektora a, trzeci ze współrzędnych wektora b. Wyznacznik jest uważany za rozwinięcie wzdłuż pierwszej linii, w twoim przypadku otrzymasz akhv=20i-10k lub ahv=(20,0,-10).

Odpowiedź od 22 odpowiedzi[guru]

Cześć! Oto wybór tematów z odpowiedziami na Twoje pytanie: znajdź wektor prostopadły do ​​dwóch danych wektorów

Odpowiedź od rozciągnij się[Nowicjusz]
Wektor prostopadły do ​​dwóch nierównoległych wektorów znajduje się jako ich iloczyn wektorowy xb, aby go znaleźć, należy ułożyć wyznacznik, którego pierwsza linia będzie składać się z wektorów jednostkowych I, j, k, druga - ze współrzędnych wektora a, trzeci - ze współrzędnych wektora b. Wyznacznik jest uważany za rozwinięcie wzdłuż pierwszej linii, w twoim przypadku otrzymasz akhv=20i-10k lub ahv=(20,0,-10).

Odpowiedź od HAYKA[guru]
Z grubsza rozwiąż to w ten sposób; Ale najpierw przeczytaj wszystko sam!! !
Oblicz iloczyn skalarny wektorów d i r jeśli d=-c+a+2b; r=-b+2a.
Moduł wektora a wynosi 4, moduł wektora b wynosi 6. Kąt między wektorami a i b wynosi 60 stopni, wektor c jest prostopadły do ​​wektorów a i b.
Punkty E i F leżą odpowiednio na bokach AD i BC równoległoboku ABCD, gdzie AE = ED, BF: FC = 4: 3. a) Wyraź wektor EF w postaci wektorów m = wektor AB i wektor n = wektor AD. b) Czy wektor równości EF = x pomnożony przez wektor CD może mieć dowolną wartość x? .

W artykule wyjaśniono znaczenie prostopadłości dwóch wektorów na płaszczyźnie w przestrzeni trójwymiarowej oraz znalezienie współrzędnych wektora prostopadłego do jednej lub całej pary wektorów. Temat ma zastosowanie do problemów obejmujących równania linii i płaszczyzn.

Rozważymy warunek konieczny i wystarczający prostopadłości dwóch wektorów, rozwiążemy metodę znajdowania wektora prostopadłego do danego wektora i omówimy sytuacje znalezienia wektora prostopadłego do dwóch wektorów.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Warunek konieczny i wystarczający prostopadłości dwóch wektorów

Zastosujmy regułę o wektorach prostopadłych na płaszczyźnie i w przestrzeni trójwymiarowej.

Definicja 1

Pod warunkiem, że kąt między dwoma niezerowymi wektorami jest równy 90 ° (π 2 radiany) nazywa się prostopadły.

Co to oznacza i w jakich sytuacjach trzeba wiedzieć o ich prostopadłości?

Ustalenie prostopadłości możliwe jest poprzez rysunek. Wykreślając wektor na płaszczyźnie z danych punktów, można geometrycznie zmierzyć kąt między nimi. Nawet jeśli zostanie ustalona prostopadłość wektorów, nie będzie ona całkowicie dokładna. Najczęściej zadania te nie pozwalają na wykonanie tego za pomocą kątomierza, więc tę metodę można zastosować tylko wtedy, gdy o wektorach nie wiadomo nic więcej.

Większość przypadków udowadniania prostopadłości dwóch niezerowych wektorów na płaszczyźnie lub w przestrzeni odbywa się za pomocą warunek konieczny i wystarczający prostopadłości dwóch wektorów.

Twierdzenie 1

Do ich prostopadłości wystarczy iloczyn skalarny dwóch niezerowych wektorów a → i b → równy zero, aby spełnić równość a → , b → = 0.

Dowód 1

Niech podane wektory a → i b → będą prostopadłe, wtedy udowodnimy równość a ⇀ , b → = 0 .

Z definicji iloczyn skalarny wektorów wiemy, że to się równa iloczyn długości danych wektorów i cosinusa kąta między nimi. Pod warunkiem, a → i b → są prostopadłe, co oznacza, zgodnie z definicją, kąt między nimi wynosi 90 °. Wtedy mamy a → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90° = 0 .

Druga część dowodu

Zakładając, że a ⇀, b → = 0, udowodnij prostopadłość a → i b →.

W rzeczywistości dowód jest przeciwny do poprzedniego. Wiadomo, że a → i b → są niezerowe, co oznacza, że ​​z równości a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^ znajdujemy cosinus. Wtedy otrzymujemy cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Ponieważ cosinus wynosi zero, możemy stwierdzić, że kąt a →, b → ^ wektorów a → i b → jest równy 90 °. Z definicji jest to właściwość konieczna i wystarczająca.

Warunek prostopadłości na płaszczyźnie współrzędnych

Rozdział iloczyn skalarny we współrzędnych pokazuje nierówność (a → , b →) = a x · b x + a y · b y , obowiązującą dla wektorów o współrzędnych a → = (a x , a y) i b → = (b x , b y), na płaszczyźnie oraz (a → , b → ) = a x · b x + a y · b y dla wektorów a → = (a x , a y , a z) i b → = (b x , b y , b z) w przestrzeni. Warunkiem koniecznym i wystarczającym prostopadłości dwóch wektorów w płaszczyźnie współrzędnych jest a x · b x + a y · b y = 0, dla przestrzeni trójwymiarowej a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0.

Zastosujmy to w praktyce i spójrzmy na przykłady.

Przykład 1

Sprawdź właściwość prostopadłości dwóch wektorów a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4).

Rozwiązanie

Aby rozwiązać ten problem, musisz znaleźć iloczyn skalarny. Jeżeli zgodnie z warunkiem jest ono równe zeru, to są one prostopadłe.

(a → , b →) = za x · b x + za y · b y = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . Warunek jest spełniony, co oznacza, że ​​podane wektory są prostopadłe do płaszczyzny.

Odpowiedź: tak, podane wektory a → i b → są prostopadłe.

Przykład 2

Dane są wektory współrzędnych i → , j → , k →. Sprawdź, czy wektory i → - j → i i → + 2 · j → + 2 · k → mogą być prostopadłe.

Rozwiązanie

Aby pamiętać, jak wyznaczane są współrzędne wektora, musisz przeczytać artykuł o współrzędne wektorowe w prostokątnym układzie współrzędnych. Zatem stwierdzamy, że podane wektory i → - j → i i → + 2 · j → + 2 · k → mają odpowiadające sobie współrzędne (1, - 1, 0) i (1, 2, 2). Podstawiamy wartości liczbowe i otrzymujemy: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .

Wyrażenie nie jest równe zero, (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0, co oznacza, że ​​wektory i → - j → oraz i → + 2 j → + 2 k → nie są prostopadłe, gdyż warunek nie jest spełniony.

Odpowiedź: nie, wektory i → - j → i i → + 2 · j → + 2 · k → nie są prostopadłe.

Przykład 3

Dane wektory a → = (1, 0, - 2) i b → = (λ, 5, 1). Znajdź wartość λ, przy której te wektory są prostopadłe.

Rozwiązanie

Korzystamy z warunku prostopadłości dwóch wektorów w przestrzeni w postaci kwadratowej i wtedy otrzymujemy

za x b x + za y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2

Odpowiedź: wektory są prostopadłe przy wartości λ = 2.

Są przypadki, gdy kwestia prostopadłości jest niemożliwa nawet pod warunkiem koniecznym i wystarczającym. Biorąc pod uwagę znane dane dotyczące trzech boków trójkąta na dwóch wektorach, można je znaleźć kąt między wektorami i sprawdź to.

Przykład 4

Mając trójkąt A B C o bokach A B = 8, A C = 6, B C = 10 cm, sprawdź prostopadłość wektorów A B → i A C →.

Rozwiązanie

Jeżeli wektory A B → i A C → są prostopadłe, trójkąt A B C uważa się za prostokątny. Następnie stosujemy twierdzenie Pitagorasa, gdzie B C jest przeciwprostokątną trójkąta. Równość B C 2 = A B 2 + A C 2 musi być prawdziwa. Wynika z tego, że 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100. Oznacza to, że A B i A C są ramionami trójkąta A B C, zatem A B → i A C → są prostopadłe.

Ważne jest, aby nauczyć się znajdować współrzędne wektora prostopadłego do danego. Jest to możliwe zarówno na płaszczyźnie, jak i w przestrzeni, pod warunkiem, że wektory są prostopadłe.

Znalezienie wektora prostopadłego do danego w płaszczyźnie.

Niezerowy wektor a → może mieć nieskończoną liczbę wektorów prostopadłych na płaszczyźnie. Przedstawmy to na linii współrzędnych.

Biorąc pod uwagę niezerowy wektor a → leżący na prostej a. Wtedy dane b →, leżące na dowolnej linii prostopadłej do linii a, staje się prostopadłe do a →. Jeżeli wektor i → jest prostopadły do ​​wektora j → lub dowolnego z wektorów λ · j → przy czym λ jest równe dowolnej liczbie rzeczywistej innej niż zero, to znalezienie współrzędnych wektora b → prostopadłego do a → = (a x , a y ) sprowadza się do nieskończonego zbioru rozwiązań. Ale konieczne jest znalezienie współrzędnych wektora prostopadłego do a → = (a x , a y) . W tym celu należy zapisać warunek prostopadłości wektorów w postaci: a x · b x + a y · b y = 0. Mamy b x i b y, które są pożądanymi współrzędnymi wektora prostopadłego. Gdy a x ≠ 0, wartość b y jest różna od zera, a b x można obliczyć z nierówności a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x. Dla a x = 0 i a y ≠ 0 przypisujemy b x dowolną wartość różną od zera i znajdujemy b y z wyrażenia b y = - a x · b x a y .

Przykład 5

Biorąc pod uwagę wektor o współrzędnych a → = (- 2 , 2) . Znajdź wektor prostopadły do ​​tego.

Rozwiązanie

Oznaczmy żądany wektor jako b → (b x , b y) . Jego współrzędne można wyznaczyć z warunku, że wektory a → i b → są prostopadłe. Wtedy otrzymujemy: (a → , b →) = a x · b x + a y · b y = - 2 · b x + 2 · b y = 0 . Przypiszmy b y = 1 i podstawmy: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 . Stąd ze wzoru otrzymujemy b x = - 2 - 2 = 1 2. Oznacza to, że wektor b → = (1 2 , 1) jest wektorem prostopadłym do a → .

Odpowiedź: b → = (1 2 , 1) .

Jeśli pojawia się pytanie o przestrzeń trójwymiarową, problem rozwiązuje się według tej samej zasady. Dla danego wektora a → = (a x , a y , a z) istnieje nieskończona liczba wektorów prostopadłych. Naprawię to na trójwymiarowej płaszczyźnie współrzędnych. Biorąc pod uwagę → leżący na prostej a. Płaszczyzna prostopadła do prostej a jest oznaczona przez α. W tym przypadku dowolny niezerowy wektor b → z płaszczyzny α jest prostopadły do ​​a →.

Należy znaleźć współrzędne b → prostopadłe do niezerowego wektora a → = (a x , a y , a z) .

Niech b → będzie dane ze współrzędnymi b x , b y i b z . Aby je znaleźć, należy zastosować definicję warunku prostopadłości dwóch wektorów. Równość a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 musi być spełniona. Z warunku a → jest niezerowe, co oznacza, że ​​jedna ze współrzędnych ma wartość różną od zera. Załóżmy, że a x ≠ 0, (a y ≠ 0 lub a z ≠ 0). Mamy zatem prawo podzielić całą nierówność a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 przez tę współrzędną, otrzymujemy wyrażenie b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y + a z · b z a x . Współrzędnym b y i b x przypisujemy dowolną wartość, wartość b x obliczamy ze wzoru b x = - a y · b y + a z · b z a x. Pożądany wektor prostopadły będzie miał wartość a → = (a x, a y, a z).

Spójrzmy na dowód na przykładzie.

Przykład 6

Biorąc pod uwagę wektor o współrzędnych a → = (1, 2, 3) . Znajdź wektor prostopadły do ​​podanego.

Rozwiązanie

Oznaczmy żądany wektor przez b → = (b x , b y , b z) . W oparciu o warunek, że wektory są prostopadłe, iloczyn skalarny musi być równy zero.

za ⇀, b ⇀ = 0 ⇔ za x b x + za y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)

Jeżeli wartość b y = 1, b z = 1, to b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5. Wynika z tego, że współrzędne wektora b → (- 5 , 1 , 1) . Wektor b → jest jednym z wektorów prostopadłych do danego.

Odpowiedź: b → = (- 5 , 1 , 1) .

Znajdowanie współrzędnych wektora prostopadłego do dwóch danych wektorów

Musimy znaleźć współrzędne wektora w przestrzeni trójwymiarowej. Jest prostopadły do ​​niewspółliniowych wektorów a → (a x , a y , a z) i b → = (b x , b y , b z) . Zakładając, że wektory a → i b → są współliniowe, wystarczy znaleźć w zadaniu wektor prostopadły do ​​a → lub b →.

Podczas rozwiązywania stosuje się koncepcję iloczynu wektorów wektorów.

Iloczyn wektorowy wektorów a → i b → jest wektorem, który jest jednocześnie prostopadły do ​​a → i b →. Aby rozwiązać ten problem, stosuje się iloczyn wektorowy a → × b →. Dla przestrzeni trójwymiarowej ma postać a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z

Przyjrzyjmy się iloczynowi wektorowemu bardziej szczegółowo na przykładowym problemie.

Przykład 7

Dane są wektory b → = (0, 2, 3) i a → = (2, 1, 0). Znajdź jednocześnie współrzędne dowolnego wektora prostopadłego do danych.

Rozwiązanie

Aby rozwiązać, musisz znaleźć iloczyn wektorowy wektorów. (Proszę zapoznać się z ust obliczanie wyznacznika macierzy znaleźć wektor). Otrzymujemy:

a → × b → = ja → jot → k → 2 1 0 0 2 3 = ja → 1 3 + jot → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - jot → 2 3 - i → 0 2 = 3 ja → + (- 6) jot → + 4 k →

Odpowiedź: (3 , - 6 , 4) - współrzędne wektora, który jest jednocześnie prostopadły do ​​danego a → i b → .

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

om Aby to zrobić, najpierw wprowadzimy pojęcie segmentu.

Definicja 1

Odcinek nazwiemy częścią linii ograniczoną punktami po obu stronach.

Definicja 2

Końce odcinka to punkty, które go ograniczają.

Aby wprowadzić definicję wektora, jeden z końców odcinka nazywamy jego początkiem.

Definicja 3

Wektorem (odcinkiem skierowanym) nazwiemy odcinek, w którym zostanie wskazane, który punkt graniczny jest jego początkiem, a który końcem.

Notacja: \overline(AB) to wektor AB rozpoczynający się w punkcie A i kończący się w punkcie B.

W przeciwnym razie jedną małą literą: \overline(a) (ryc. 1).

Definicja 4

Wektorem zerowym nazwiemy dowolny punkt należący do płaszczyzny.

Symbol: \overline(0) .

Wprowadźmy teraz bezpośrednio definicję wektorów współliniowych.

Wprowadzimy także definicję iloczynu skalarnego, która będzie nam potrzebna później.

Definicja 6

Iloczyn skalarny dwóch danych wektorów jest skalarem (lub liczbą) równym iloczynowi długości tych dwóch wektorów z cosinusem kąta między tymi wektorami.

Matematycznie mogłoby to wyglądać tak:

\overline(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))

Iloczyn skalarny można również znaleźć za pomocą współrzędnych wektorowych w następujący sposób

\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3

Znak prostopadłości poprzez proporcjonalność

Twierdzenie 1

Aby niezerowe wektory były do ​​siebie prostopadłe, konieczne i wystarczające jest, aby ich iloczyn skalarny tych wektorów był równy zeru.

Dowód.

Konieczność: Dane nam są wektory \overline(α) i \overline(β), które mają współrzędne odpowiednio (α_1,α_2,α_3) i (β_1,β_2,β_3) i są do siebie prostopadłe. Następnie musimy udowodnić następującą równość

Ponieważ wektory \overline(α) i \overline(β) są prostopadłe, to kąt między nimi wynosi 90^0. Znajdźmy iloczyn skalarny tych wektorów, korzystając ze wzoru z Definicji 6.

\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0

Wystarczalność: Niech równość będzie prawdziwa \overline(α)\cdot \overline(β)=0. Udowodnijmy, że wektory \overline(α) i \overline(β) będą do siebie prostopadłe.

Z definicji 6 równość będzie prawdziwa

|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

Cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

∠(\overline(α),\overline(β))=90^\circ

Zatem wektory \overline(α) i \overline(β) będą do siebie prostopadłe.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Przykład 1

Udowodnić, że wektory o współrzędnych (1,-5,2) i (2,1,3/2) są prostopadłe.

Dowód.

Znajdźmy iloczyn skalarny tych wektorów, korzystając ze wzoru podanego powyżej

\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0

Oznacza to, zgodnie z Twierdzeniem 1, że wektory te są prostopadłe.

Znajdowanie wektora prostopadłego do dwóch danych wektorów za pomocą iloczynu krzyżowego

Na początek wprowadźmy pojęcie iloczynu wektorowego.

Definicja 7

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów będzie wektorem, który będzie prostopadły do ​​obu danych wektorów, a jego długość będzie równa iloczynowi długości tych wektorów z sinusem kąta między tymi wektorami, a także tego wektora z dwoma początkowe mają tę samą orientację, co kartezjański układ współrzędnych.

Przeznaczenie: \overline(α)x\overline(β)x.

Aby znaleźć iloczyn wektorowy, skorzystamy ze wzoru

\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x

Ponieważ wektor iloczynu dwóch wektorów jest prostopadły do ​​obu tych wektorów, będzie to wektor. Oznacza to, że aby znaleźć wektor prostopadły do ​​dwóch wektorów, wystarczy znaleźć ich iloczyn wektorowy.

Przykład 2

Znajdź wektor prostopadły do ​​wektorów o współrzędnych \overline(α)=(1,2,3) i \overline(β)=(-1,0,3)

Znajdźmy iloczyn wektorowy tych wektorów.

\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\overline(i)-(3+3)\overline(j)+(0+2)\overline(k)=6\overline(i)-6\overline(j)+2\overline(k) =(6,6,2) x