Niech funkcja będzie nieujemna i ciągła na przedziale. Następnie, zgodnie z geometrycznym znaczeniem całki oznaczonej, obszar trapezu krzywoliniowego ograniczony u góry wykresem tej funkcji, poniżej osią, po lewej i prawej stronie liniami prostymi i (patrz ryc. 2) wynosi obliczone według wzoru

Przykład 9. Znajdź obszar figury ograniczony linią i oś.

Rozwiązanie. Wykres funkcji jest parabolą, której ramiona są skierowane w dół. Zbudujmy to (ryc. 3). Aby wyznaczyć granice całkowania, znajdujemy punkty przecięcia prostej (paraboli) z osią (prostą). Aby to zrobić, rozwiązujemy układ równań

Otrzymujemy: , Gdzie , ; stąd, , .

Ryż. 3

Obszar figury znajdujemy za pomocą wzoru (5):

Jeżeli funkcja jest dodatnia i ciągła na odcinku , wówczas obszar trapezu krzywoliniowego ograniczony od dołu wykresem tej funkcji, powyżej osią, po lewej i prawej stronie liniami prostymi i , oblicza się za pomocą formuła

. (6)

Jeżeli funkcja jest ciągła na odcinku i zmienia znak w skończonej liczbie punktów, to pole zacieniowanej figury (ryc. 4) jest równe sumie algebraicznej odpowiednich całek oznaczonych:

Ryż. 4

Przykład 10. Oblicz obszar figury ograniczony osią i wykresem funkcji w .

Ryż. 5

Rozwiązanie. Zróbmy rysunek (ryc. 5). Wymagana powierzchnia to suma obszarów i . Znajdźmy każdy z tych obszarów. Najpierw wyznaczamy granice całkowania rozwiązując układ Dostajemy, . Stąd:

;

.

Zatem obszar zacienionej figury wynosi

(jednostki kwadratowe).

Ryż. 6

Wreszcie, niech trapez krzywoliniowy będzie ograniczony od góry i od dołu przez wykresy funkcji ciągłych na odcinku i ,
a po lewej i prawej stronie - linie proste i (ryc. 6). Następnie jego powierzchnię oblicza się ze wzoru

. (8)

Przykład 11. Znajdź obszar figury ograniczony liniami i.

Rozwiązanie. Liczba ta jest pokazana na ryc. 7. Obliczmy jego pole korzystając ze wzoru (8). Rozwiązując układ równań, który znajdujemy, ; stąd, , . Na segmencie mamy: . Oznacza to, że we wzorze (8) bierzemy jako X, a jako jakość – . Otrzymujemy:

(jednostki kwadratowe).

Bardziej złożone problemy obliczania obszarów rozwiązuje się, dzieląc figurę na niezachodzące na siebie części i obliczając powierzchnię całej figury jako sumę obszarów tych części.

Ryż. 7

Przykład 12. Znajdź obszar figury ograniczony liniami , , .

Rozwiązanie. Zróbmy rysunek (ryc. 8). Figurę tę można uznać za trapez krzywoliniowy, ograniczony od dołu osią, po lewej i prawej stronie - liniami prostymi, a od góry - wykresami funkcji i. Ponieważ figura jest ograniczona od góry wykresami dwóch funkcji, aby obliczyć jej pole, dzielimy tę figurę prostą na dwie części (1 to odcięta punktu przecięcia prostych i ). Pole każdej z tych części oblicza się za pomocą wzoru (4):

(jednostki kwadratowe); (jednostki kwadratowe). Stąd:

(jednostki kwadratowe).

Ryż. 8

X= j( Na)

Ryż. 9

Podsumowując, zauważamy, że jeśli trapez krzywoliniowy jest ograniczony liniami prostymi i , oś i ciągłość na krzywej (ryc. 9), wówczas jego obszar określa się wzorem

Objętość ciała obrotowego

Niech trapez krzywoliniowy, ograniczony wykresem funkcji ciągłej na odcinku, osią, liniami prostymi i , obraca się wokół osi (rys. 10). Następnie objętość powstałego ciała obrotowego oblicza się ze wzoru

. (9)

Przykład 13. Oblicz objętość ciała otrzymanego przez obrót wokół osi krzywoliniowego trapezu ograniczonego hiperbolą, liniami prostymi i osią.

Rozwiązanie. Zróbmy rysunek (ryc. 11).

Z warunków problemu wynika, że ​​, . Ze wzoru (9) otrzymujemy

.

Ryż. 10

Ryż. jedenaście

Objętość ciała uzyskana przez obrót wokół osi Jednostka organizacyjna trapez krzywoliniowy ograniczony liniami prostymi y = do I y = d, oś Jednostka organizacyjna oraz wykres funkcji ciągłej na odcinku (ryc. 12), określonej wzorem

. (10)

X= j( Na)

Ryż. 12

Przykład 14. Oblicz objętość ciała otrzymanego przez obrót wokół osi Jednostka organizacyjna trapez krzywoliniowy ograniczony liniami X 2 = 4Na, y = 4, x = 0 (ryc. 13).

Rozwiązanie. Zgodnie z warunkami zadania znajdujemy granice całkowania: , . Korzystając ze wzoru (10) otrzymujemy:

Ryż. 13

Długość łuku krzywej płaskiej

Niech krzywa określona równaniem , gdzie , leży na płaszczyźnie (rys. 14).

Ryż. 14

Definicja. Przez długość łuku rozumie się granicę, do której dąży długość linii łamanej wpisanej w ten łuk, gdy liczba ogniw linii łamanej dąży do nieskończoności, a długość największego ogniwa dąży do zera.

Jeżeli funkcja i jej pochodna są ciągłe na odcinku, wówczas długość łuku krzywej oblicza się ze wzoru

. (11)

Przykład 15. Oblicz długość łuku krzywej zawartej pomiędzy punktami, dla których .

Rozwiązanie. Z warunków problemowych, które mamy . Korzystając ze wzoru (11) otrzymujemy:

.

4. Całki niewłaściwe
z nieskończonymi granicami całkowania

Wprowadzając pojęcie całki oznaczonej założono, że spełnione są dwa warunki:

a) granice całkowania A i są skończone;

b) całka jest ograniczona przedziałem.

Jeżeli choć jeden z tych warunków nie jest spełniony, wówczas wywoływana jest całka nie twoje.

Rozważmy najpierw całki niewłaściwe o nieskończonych granicach całkowania.

Definicja. Niech więc funkcja będzie określona i ciągła na przedziale i nieograniczone po prawej stronie (ryc. 15).

Jeśli całka niewłaściwa jest zbieżna, to obszar ten jest skończony; jeśli całka niewłaściwa jest rozbieżna, to obszar ten jest nieskończony.

Ryż. 15

Całkę niewłaściwą z nieskończoną dolną granicą całkowania definiuje się podobnie:

. (13)

Całka ta jest zbieżna, jeśli granica po prawej stronie równości (13) istnieje i jest skończona; w przeciwnym razie całkę nazywa się rozbieżną.

Całkę niewłaściwą z dwiema nieskończonymi granicami całkowania definiuje się następująco:

, (14)

gdzie с jest dowolnym punktem przedziału. Całka jest zbieżna tylko wtedy, gdy obie całki po prawej stronie równości (14) są zbieżne.

;

G) = [wybierz cały kwadrat w mianowniku: ] = [wymiana:

] =

Oznacza to, że całka niewłaściwa jest zbieżna i jej wartość jest równa .

Każda całka oznaczona (która istnieje) ma bardzo dobre znaczenie geometryczne. Na zajęciach mówiłem, że całka oznaczona jest liczbą. A teraz czas podać kolejny przydatny fakt. Z punktu widzenia geometrii całką oznaczoną jest POLE.

To jest, całka oznaczona (jeśli istnieje) geometrycznie odpowiada obszarowi określonej figury. Rozważmy na przykład całkę oznaczoną. Całka definiuje pewną krzywą na płaszczyźnie (zawsze można ją narysować w razie potrzeby), a sama całka oznaczona jest liczbowo równa powierzchni odpowiedniego trapezu krzywoliniowego.

Przykład 1

Jest to typowa instrukcja przypisania. Pierwszym i najważniejszym punktem decyzji jest konstrukcja rysunku. Ponadto rysunek musi zostać skonstruowany PRAWIDŁOWY.

Podczas konstruowania rysunku zalecam następującą kolejność: najpierw lepiej jest konstruować wszystkie linie proste (jeśli istnieją) i tylko Następnie– parabole, hiperbole, wykresy innych funkcji. Bardziej opłacalne jest budowanie wykresów funkcji punkt po punkcie, technikę konstrukcji punkt po punkcie można znaleźć w materiale referencyjnym.

Znajdziesz tam również bardzo przydatny materiał do naszej lekcji - jak szybko zbudować parabolę.

W przypadku tego problemu rozwiązanie może wyglądać następująco.
Narysujmy rysunek (zwróć uwagę, że równanie definiuje oś):

Nie będę cieniował zakrzywionego trapezu; tutaj jest oczywiste, o jakim obszarze mówimy. Rozwiązanie jest kontynuowane w następujący sposób:

Na segmencie znajduje się wykres funkcji nad osią, Dlatego:

Odpowiedź:

Kto ma trudności z obliczeniem całki oznaczonej i zastosowaniem wzoru Newtona-Leibniza , zapoznaj się z wykładem Określona całka. Przykłady rozwiązań.

Po wykonaniu zadania zawsze warto spojrzeć na rysunek i dowiedzieć się, czy odpowiedź jest prawdziwa. W tym przypadku liczbę komórek na rysunku liczymy „na oko” - cóż, będzie ich około 9, wydaje się, że to prawda. Jest całkowicie jasne, że jeśli otrzymamy odpowiedź powiedzmy: 20 jednostek kwadratowych, to oczywiste jest, że gdzieś popełniono błąd - 20 komórek oczywiście nie mieści się w omawianej liczbie, najwyżej kilkanaście. Jeśli odpowiedź jest negatywna, to zadanie również zostało rozwiązane niepoprawnie.

Przykład 2

Oblicz pole figury ograniczone liniami , i osią

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Co zrobić, jeśli znajduje się zakrzywiony trapez pod osią?

Przykład 3

Oblicz obszar figury ograniczony liniami i osiami współrzędnych.

Rozwiązanie: Zróbmy rysunek:

Jeśli zakrzywiony trapez całkowicie umieszczony pod osią, to jego pole można obliczyć korzystając ze wzoru:
W tym przypadku:

Uwaga! Nie należy mylić tych dwóch rodzajów zadań:

1) Jeśli zostaniesz poproszony o rozwiązanie całki oznaczonej bez żadnego znaczenia geometrycznego, wówczas może ona być ujemna.

2) Jeśli zostaniesz poproszony o znalezienie obszaru figury za pomocą całki oznaczonej, wówczas obszar jest zawsze dodatni! Dlatego we wzorze, który właśnie omówiliśmy, pojawia się minus.

W praktyce najczęściej figura znajduje się zarówno w górnej, jak i dolnej półpłaszczyźnie, dlatego od najprostszych problemów szkolnych przechodzimy do bardziej znaczących przykładów.

Przykład 4

Znajdź obszar figury płaskiej ograniczony liniami , .

Rozwiązanie: Najpierw musisz zrobić rysunek. Ogólnie rzecz biorąc, konstruując rysunek w zagadnieniach obszarowych, najbardziej interesują nas punkty przecięcia prostych. Znajdźmy punkty przecięcia paraboli i linii prostej. Można to zrobić na dwa sposoby. Pierwsza metoda ma charakter analityczny. Rozwiązujemy równanie:

Oznacza to, że dolna granica całkowania to , górna granica całkowania to .
Jeśli to możliwe, lepiej nie stosować tej metody.

O wiele bardziej opłaca się i szybciej jest konstruować linie punkt po punkcie, a granice integracji stają się jasne „same z siebie”. Technikę konstruowania punkt po punkcie dla różnych wykresów szczegółowo omówiono w pomocy Wykresy i własności funkcji elementarnych. Niemniej jednak czasami trzeba zastosować analityczną metodę wyznaczania granic, jeśli np. wykres jest wystarczająco duży lub szczegółowa konstrukcja nie ujawniła granic całkowania (mogą one być ułamkowe lub niewymierne). Rozważymy również taki przykład.

Wróćmy do naszego zadania: bardziej racjonalnie jest najpierw skonstruować linię prostą, a dopiero potem parabolę. Zróbmy rysunek:

Powtarzam, że konstruując punktowo, granice całkowania najczęściej odkrywane są „automatycznie”.

A teraz działający wzór: Jeśli w segmencie istnieje funkcja ciągła większe bądź równe jakaś funkcja ciągła, wówczas obszar odpowiedniej figury można znaleźć za pomocą wzoru:

Tutaj nie musisz już myśleć o tym, gdzie znajduje się figura - nad osią lub pod osią i, z grubsza mówiąc, ważne jest, który wykres jest WYŻSZY(w stosunku do innego wykresu), i który jest PONIŻEJ.

W rozważanym przykładzie oczywiste jest, że na odcinku parabola znajduje się powyżej linii prostej, dlatego należy odjąć od niej

Gotowe rozwiązanie może wyglądać następująco:

Pożądana figura jest ograniczona parabolą powyżej i linią prostą poniżej.
Na segmencie, zgodnie z odpowiednim wzorem:

Odpowiedź:

W rzeczywistości szkolny wzór na obszar krzywoliniowego trapezu w dolnej półpłaszczyźnie (patrz prosty przykład nr 3) jest szczególnym przypadkiem wzoru . Ponieważ oś jest określona równaniem, a wykres funkcji znajduje się pod osią, to

A teraz kilka przykładów własnego rozwiązania

Przykład 5

Przykład 6

Znajdź obszar figury ograniczony liniami , .

Podczas rozwiązywania problemów związanych z obliczaniem pola za pomocą całki oznaczonej czasami zdarza się zabawny incydent. Rysunek został wykonany poprawnie, obliczenia były prawidłowe, ale przez nieostrożność... znaleziono obszar niewłaściwej figury, dokładnie tak kilka razy schrzanił twój pokorny sługa. Oto przypadek z życia wzięty:

Przykład 7

Oblicz pole figury ograniczone liniami , , , .

Najpierw zróbmy rysunek:

Figura, której obszar musimy znaleźć, jest zacieniowana na niebiesko(przyjrzyj się uważnie stanowi - jak liczba jest ograniczona!). Ale w praktyce z powodu nieuwagi często zdarza się, że trzeba znaleźć obszar figury zacieniony na zielono!

Ten przykład jest również przydatny, ponieważ oblicza pole figury za pomocą dwóch całek oznaczonych. Naprawdę:

1) Na odcinku powyżej osi znajduje się wykres linii prostej;

2) Na odcinku powyżej osi znajduje się wykres hiperboli.

Jest rzeczą oczywistą, że obszary można (i należy) dodać, zatem:

Odpowiedź:

Przykład 8

Oblicz pole figury ograniczone liniami,
Przedstawmy równania w formie „szkolnej” i wykonajmy rysunek punkt po punkcie:

Z rysunku jasno wynika, że ​​nasza górna granica jest „dobra”: .
Ale jaka jest dolna granica?! Oczywiste jest, że nie jest to liczba całkowita, ale co to jest? Może ? Ale gdzie jest gwarancja, że ​​rysunek zostanie wykonany z idealną dokładnością, może się okazać, że... Lub korzeń. A co jeśli nieprawidłowo zbudowaliśmy wykres?

W takich przypadkach trzeba poświęcić dodatkowy czas i analitycznie wyjaśnić granice integracji.

Znajdźmy punkty przecięcia linii prostej i paraboli.
W tym celu rozwiązujemy równanie:

Stąd, .

Dalsze rozwiązanie jest trywialne, najważniejsze jest, aby nie pomylić się z podstawieniami i znakami; obliczenia tutaj nie są najprostsze.

Na segmencie zgodnie z odpowiednim wzorem:

Odpowiedź:

Cóż, na zakończenie lekcji, spójrzmy na dwa trudniejsze zadania.

Przykład 9

Oblicz pole figury ograniczone liniami , ,

Rozwiązanie: Przedstawmy tę figurę na rysunku.

Aby skonstruować rysunek punkt po punkcie, musisz znać wygląd sinusoidy (i ogólnie warto wiedzieć wykresy wszystkich funkcji elementarnych), a także niektóre wartości sinusoidalne, w których można je znaleźć tablica trygonometryczna. W niektórych przypadkach (jak w tym przypadku) możliwe jest skonstruowanie schematycznego rysunku, na którym powinny być zasadniczo poprawnie wyświetlone wykresy i granice całkowania.

Nie ma tu problemów z granicami całkowania, które wynikają bezpośrednio z warunku: „x” zmienia się od zera na „pi”. Podejmijmy dalszą decyzję:

Na odcinku wykres funkcji znajduje się nad osią, zatem:

(1) Na lekcji możesz zobaczyć, jak sinusy i cosinusy są całkowane do potęg nieparzystych Całki funkcji trygonometrycznych. To typowa technika, uszczypujemy jedną zatokę.

(2) W formie używamy głównej tożsamości trygonometrycznej

(3) Zmieńmy zatem zmienną , a następnie:

Nowe obszary integracji:

Każdy, kto naprawdę źle radzi sobie z substytucjami, niech się nauczy. Metoda podstawieniowa w całce nieoznaczonej. Dla tych, którzy nie do końca rozumieją algorytm zamiany w całce oznaczonej, odwiedź stronę Określona całka. Przykłady rozwiązań.

Przykład 1 . Oblicz pole figury ograniczone liniami: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 i x = 2

Skonstruujmy figurę (patrz rysunek). Prostą x + 2y – 4 = 0 budujemy korzystając z dwóch punktów A(4;0) i B(0;2). Wyrażając y przez x, otrzymujemy y = -0,5x + 2. Korzystając ze wzoru (1), gdzie f(x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2, znajdujemy

S = = [-0,25=11,25 m2 jednostki

Przykład 2. Oblicz pole figury ograniczone liniami: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 i y = 0.

Rozwiązanie. Zbudujmy figurę.

Skonstruujmy prostą x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Skonstruujmy prostą x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Znajdźmy punkt przecięcia prostych, rozwiązując układ równań:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Aby obliczyć wymaganą powierzchnię, dzielimy trójkąt AMC na dwa trójkąty AMN i NMC, ponieważ gdy x zmienia się z A na N, pole jest ograniczone linią prostą, a gdy x zmienia się z N na C - linią prostą

Dla trójkąta AMN mamy: ; y = 0,5x + 2, tj. f(x) = 0,5x + 2, a = - 4, b = 2.

Dla trójkąta NMC mamy: y = - x + 5, czyli f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Obliczając pole każdego trójkąta i dodając wyniki, znajdujemy:

kw. jednostki

kw. jednostki

9 + 4, 5 = 13,5 m2 jednostki Sprawdź: = 0,5AC = 0,5 m2 jednostki

Przykład 3. Oblicz pole figury ograniczone liniami: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

W takim przypadku musisz obliczyć obszar zakrzywionego trapezu ograniczony parabolą y = x 2 , proste x = 2 i x = 3 oraz oś Wół (patrz rysunek) Korzystając ze wzoru (1) znajdujemy pole trapezu krzywoliniowego

= = 6 mkw. jednostki

Przykład 4. Oblicz obszar figury ograniczony liniami: y = - x 2 + 4 i y = 0

Zbudujmy figurę. Wymagana powierzchnia jest zawarta pomiędzy parabolą y = - x 2 + 4 i oś Wółu.

Znajdźmy punkty przecięcia paraboli z osią Wółu. Zakładając y = 0, znajdujemy x = Ponieważ figura ta jest symetryczna względem osi Oy, obliczamy pole figury znajdującej się na prawo od osi Oy i podwajamy uzyskany wynik: = +4x]sq. jednostki 2 = 2 kwadraty jednostki

Przykład 5. Oblicz obszar figury ograniczony liniami: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Tutaj musisz obliczyć obszar krzywoliniowego trapezu ograniczonego górną gałęzią paraboli 2 = x, oś wołu i linie proste x = 1 i x = 4 (patrz rysunek)

Zgodnie ze wzorem (1), gdzie f(x) = a = 1 i b = 4, mamy = (= jednostki kwadratowe.

Przykład 6 . Oblicz obszar figury ograniczony liniami: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Wymagany obszar jest ograniczony półfali sinusoidy i osi Ox (patrz rysunek).

Mamy - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 kwadraty. jednostki

Przykład 7. Oblicz obszar figury ograniczony liniami: y = - 6x, y = 0 i x = 4.

Liczba znajduje się pod osią Wołu (patrz rysunek).

Dlatego jego pole wyznaczamy korzystając ze wzoru (3)

= =

Przykład 8. Oblicz obszar figury ograniczony liniami: y = i x = 2. Z punktów skonstruuj krzywą y = (patrz rysunek). Zatem obszar figury znajdujemy za pomocą wzoru (4)

Przykład 9 .

X 2 + y 2 = r 2 .

Tutaj musisz obliczyć obszar ograniczony przez okrąg x 2 + y 2 = r 2 , tj. obszar koła o promieniu r ze środkiem w początku. Znajdźmy czwartą część tego obszaru, biorąc granice całkowania od 0

zanim; mamy: 1 = = [

Stąd, 1 =

Przykład 10. Oblicz pole figury ograniczone liniami: y= x 2 i y = 2x

Liczba ta jest ograniczona parabolą y = x 2 i prostą y = 2x (patrz rysunek) Aby wyznaczyć punkty przecięcia danych prostych, rozwiązujemy układ równań: x 2 – 2x = 0 x = 0 i x = 2

Korzystając ze wzoru (5) do znalezienia pola, otrzymujemy

= \- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l-Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Przykład 2. Obliczmy pole ograniczone sinusoidą y = sinXy, Wół osią i linią prostą (ryc. 87). Stosując wzór (I) otrzymujemy A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Przykład 3. Oblicz pole ograniczone łukiem sinusoidy ^у = sin jc, w załączeniu między dwoma sąsiednimi punktami przecięcia z osią Wół (na przykład między początkiem a punktem z odciętą i). Należy zauważyć, że z rozważań geometrycznych jasno wynika, że ​​obszar ten będzie dwukrotnie większy niż w poprzednim przykładzie. Jednak wykonajmy obliczenia: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Rzeczywiście nasze założenie okazało się słuszne. Przykład 4. Oblicz obszar ograniczony sinusoidą i osią Ox w jednym okresie (ryc. 88). Wstępne obliczenia sugerują, że powierzchnia będzie czterokrotnie większa niż w przykładzie 2. Jednak po wykonaniu obliczeń otrzymujemy „i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. Wynik ten wymaga wyjaśnienia. Dla wyjaśnienia istoty sprawy obliczamy także pole ograniczone tą samą sinusoidą y=sin l: oraz osią Ox w zakresie od l do 2i. Stosując wzór (I) otrzymujemy 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Widzimy zatem, że obszar ten okazał się ujemny. Porównując to z powierzchnią obliczoną w ćwiczeniu 3, stwierdzamy, że ich wartości bezwzględne są takie same, ale znaki są różne. Jeśli zastosujemy własność V (patrz rozdział XI, § 4), otrzymamy 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0 To, co wydarzyło się w tym przykładzie, nie jest przypadkiem. Zawsze obszar znajdujący się poniżej osi Wółu, pod warunkiem, że zmienna niezależna zmienia się z lewej na prawą, obliczany jest przy użyciu całek. W tym kursie zawsze będziemy brać pod uwagę obszary bez znaków. Dlatego odpowiedź w omówionym przykładzie będzie następująca: wymagana powierzchnia to 2 + |-2| = 4. Przykład 5. Obliczmy powierzchnię BAB pokazaną na ryc. 89. Obszar ten ograniczony jest osią Ox, parabolą y = - xr i prostą y - = -x+\. Pole trapezu krzywoliniowego Wymagana powierzchnia OAB składa się z dwóch części: OAM i MAV. Ponieważ punkt A jest punktem przecięcia paraboli i prostej, jego współrzędne znajdziemy rozwiązując układ równań 3 2 Y = mx. (musimy tylko znaleźć odciętą punktu A). Rozwiązując system, znajdujemy l; = ~. Dlatego pole należy obliczyć w częściach, pierwszy kwadrat. OAM, a następnie pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. Funkcja QAM-^x. Figura ograniczona krzywą? (?) i promienie? = ?, ? =?, nazywany jest sektorem krzywoliniowym. Powierzchnia sektora krzywoliniowego jest równa

Znajdowanie długości łuku krzywej

Prostokątne współrzędne

Niech krzywa płaska AB będzie dana we współrzędnych prostokątnych, której równanie to y = f(x), gdzie a? X? B. (Rysunek 2)

Przez długość łuku AB rozumie się granicę, do której dąży długość łamanej wpisanej w ten łuk, gdy liczba ogniw linii łamanej rośnie w nieskończoność, a długość jej największego ogniwa dąży do zera.

Zastosujmy schemat I (metoda sumaryczna).

Korzystając z punktów X = a, X, …, X = b (X ? X? … ? X) dzielimy odcinek na n części. Niech te punkty odpowiadają punktom M = A, M, …, M = B na krzywej AB. Narysujmy akordy MM, MM, …, MM, których długości będą oznaczane odpowiednio przez ?L, ?L, …, ?L.

Otrzymujemy linię łamaną MMM...MM, której długość jest równa L = ?L+ ?L+ ... + ?L = ?L.

Długość cięciwy (lub połączenia linii łamanej) ?L można wyznaczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa z trójkąta o ramionach ?X i ?Y:

L = , gdzie?X = X - X, ?Y = f(X) - f(X).

Z twierdzenia Lagrange'a o skończonym przyroście funkcji

Y = (C) ?X, gdzie C (X, X).

a długość całej linii łamanej MMM...MM jest równa

Długość krzywej AB z definicji jest równa

Zauważ, że gdy ?L 0 również ?X 0 (?L = i dlatego | ?X |< ?L). Функция непрерывна на отрезке , так как, по условию, непрерывна функция f (X). Следовательно, существует предел интегральной суммы L=?L= , кода max ?X 0:

Zatem L = dx.

Przykład: Znajdź obwód koła o promieniu R. (Rysunek 3)

Czy go znajdziemy? część jego długości od punktu (0; R) do punktu (R; 0). Ponieważ