Zamiar: Do pogłębionej nauki w klasach 10 i 11

Wydawca: MIPT Moskwa 1996

Format: DjVu, Rozmiar pliku: 8,72MB

KLASA 11: ROZDZIAŁY 5-9

PRZEDMOWA

Książka została napisana na podstawie wykładów prowadzonych przez autorów na przestrzeni kilku lat dla studentów klas fizyki i matematyki Moskiewskiego Instytutu Fizyki i Techniki, powstałego na bazie V Liceum Ogólnokształcącego w Dołgoprudnym, a także na podstawie w oparciu o doświadczenia z prowadzenia zajęć praktycznych ze stereometrii na tych zajęciach.

Zobacz w całości PRZEDMOWĘ......

Książka posiada szereg cech, na które chcielibyśmy zwrócić uwagę czytelników. Zawiera część zajęć ze stereometrii, które tradycyjnie należały do ​​zajęć w klasie jedenastej (kąty dwuścienne i wielościenne, teoria wielościanów). Jest tego kilka powodów.

Po pierwsze, oddzielenie zagadnień afinicznych stereometrii od metrycznych (klasa dziesiąta – równoległość linii i płaszczyzn w przestrzeni, klasa jedenasta – wielościany, ciała obrotowe, teoria pól i objętości) wydaje nam się nienaturalne. Intuicyjne wyobrażenia o ciałach geometrycznych i ich objętościach kształtują się w nas od dzieciństwa. Pomysły te, oparte na naszym codziennym doświadczeniu, często okazują się wystarczające do rozwiązania wielu znaczących problemów metrycznych. Wydaje nam się, że nie ma co marnować cennego czasu, trzeba nauczyć się rozwiązywać problemy jak najwcześniej, bo sformułowania wielu z nich są jasne, nawet jeśli nie są jeszcze znane ścisłe definicje ciała i objętości.

Po drugie, wydaje nam się, że studiowanie nowego materiału pod koniec jedenastej klasy jest mało wskazane. Nie jest tajemnicą, że w tej chwili dla większości uczniów na pierwszy plan wysuwa się rozwiązanie zadania czysto utylitarnego - pomyślne przyjęcie na wybrany

Księga to duży cmentarz, na którym na wielu płytach nie da się odczytać wymazanych nazwisk.

Pobierz podręcznik - Stereometria. Do pogłębionych studiów w klasach 10 i 11, 1996

Cm. Wyciąg z podręcznika............

§ 1. Gra w geometrię

Wszystkie moje prace to gry.

Poważne gry.

MK Escher

Studiując planimetrię, od kilku lat grasz w ekscytującą grę zwaną „geometrią”. Zasady tej gry powstawały przez tysiące lat i ostatecznie ukształtowały się dopiero pod koniec ubiegłego wieku. Naturalne jest rozpoczęcie ich dyskusji od pytania: czym jest geometria? Choć może to wydawać się dziwne, bardzo trudno jest udzielić jednoznacznej odpowiedzi na to pytanie. Geometria ma wiele twarzy i tylko niewielka część tego, co we współczesnej matematyce powszechnie nazywa się geometrią, jest nauczana w szkole. Ale to nie tylko to. Nawet jeśli ograniczymy się do rozważań nad planimetrią i stereometrią w ich tradycyjnym znaczeniu, nasze zadanie raczej nie będzie znacząco łatwiejsze. Z jednej strony geometria jest teorią aksjomatyczną badającą obiekty o charakterze abstrakcyjnym, pozostające ze sobą w określonych relacjach. Z drugiej strony geometria bada rozmiar i kształt rzeczywistych ciał. Aby zrozumieć, w jaki sposób te dwie hipostazy geometrii odnoszą się do siebie, prześledźmy pokrótce historyczną ścieżkę jej rozwoju.

Każda nauka przyrodnicza zaczyna się od ustalenia pewnych faktów. Następnie, w miarę ich kumulowania, powstają prawa i teorie, które przekształcają naukę w spójny system. W ten sposób rozwinęła się geometria. Już w starożytnym Egipcie i Babilonie znanych było wiele znaczących faktów, takich jak twierdzenie Pitagorasa czy wzór na obliczenie objętości piramidy. Takie wyniki uzyskano

doświadczyliśmy, ich ważność została potwierdzona wieloma eksperymentami. Wzrosła liczba dostrzeżonych wzorów geometrycznych i pojawiło się zadanie usystematyzowania zgromadzonej wiedzy.

Na początku III wieku. pne mi. Wreszcie ukształtowała się idea zbudowania teorii naukowej, zgodnie z którą punktem wyjścia teorii powinny być zapisy oparte na danych eksperymentalnych i w związku z tym nie budzące wątpliwości. Wszystkie pozostałe postanowienia należy od nich uzyskać w sposób logiczny (dedukcyjny). Gmach logiki został już wzniesiony, głównie dzięki dziełu starożytnego greckiego filozofa Arystotelesa (384-322 p.n.e.). Jako pierwszy jasno sformułował ideę konstruowania teorii naukowej. W odniesieniu do geometrii realizował ją Euklides (III wiek p.n.e.) w swoich „Żywiołach”. Na podstawie eksperymentów swoich poprzedników sformułował kilka twierdzeń (aksjomatów, czyli postulatów), które przyjęto bez dowodu. Z aksjomatów wyprowadzono ich logiczne konsekwencje - twierdzenia. W ten sposób geometria stała się nauką dedukcyjną. Istotę metody dziadka znakomicie przekazał Arthur Conan Doyle słowami swojego ulubionego bohatera Sherlocka Holmesa: „...osoby, która umie obserwować i analizować, po prostu nie da się oszukać. Jego wnioski będą nieomylne, jak twierdzenia Euklidesa... Jedną kroplą wody... osoba umiejąca logicznie myśleć może dojść do wniosku o możliwości istnienia Oceanu Atlantyckiego czy Wodospadu Niagara, nawet jeśli ma nigdy nie widziałem ani nie widziałem ani jednego, ani drugiego, nie słyszałem. Każde życie jest ogromnym łańcuchem przyczyn i skutków, a jego naturę możemy zrozumieć krok po kroku.”

System Euklidesa istniał przez ponad dwa tysiąclecia bez żadnych znaczących zmian. Jednak z współczesnego punktu widzenia nie wydaje się już idealny. Nie podkreśla podstawowych pojęć, niektóre aksjomaty są niepotrzebne, wiele dowodów nie ogranicza się do logicznej dedukcji, ale odwołuje się do względów przejrzystości.

Na przełomie XIX i XX wieku, po żmudnych wysiłkach wielu matematyków, wśród których należy wymienić przede wszystkim Felixa Kleina (1849-1925) i Davida Hilberta (1862-1943), zbudowano układ geometryczny, który został wolny od tych niedociągnięć. System ten opierał się na metodzie aksjomatycznej.

Istota tej metody konstruowania teorii naukowej jest następująca. Wyświetlane są podstawowe (niezdefiniowane) pojęcia lub obiekty. Wszystkie nowo pojawiające się koncepcje należy zdefiniować poprzez pojęcia podstawowe i koncepcje zdefiniowane wcześniej. Formułuje się aksjomaty - twierdzenia akceptowane bez dowodu. Wszystkie inne twierdzenia muszą być logicznymi konsekwencjami aksjomatów lub twierdzeń wcześniej udowodnionych.

Należy pamiętać, że aksjomaty wcale nie są „prawdami oczywistymi”. To, co dla jednego jest oczywiste, dla innego może wydawać się absurdalne. Dzięki temu widz meczu piłkarskiego, który zna zasady gry, może czerpać ogromną przyjemność z emocjonującej akcji rozgrywającej się na boisku. Kto nie zna przepisów, może uznać to, co dzieje się na boisku za absurdalne i niegodne uwagi. Znaczenie aksjomatów jest takie, że są to porozumienia, które zawieramy, gdy zaczynamy tworzyć teorię.

Podstawowe pojęcia i aksjomaty niekoniecznie mają związek z otaczającym nas realnym światem. Budując abstrakcyjną teorię, odwracamy uwagę od wizualnego znaczenia podstawowych pojęć (o ile w ogóle takie istnieje). Jedyne znaczenie nadawane podstawowym pojęciom jest takie: mają one dokładnie te właściwości, które są opisane w aksjomatach. Dlatego często mówi się, że aksjomaty to „ukryte definicje” podstawowych pojęć. Podkreślmy jeszcze raz, że matematyk wcale nie twierdzi, że aksjomaty są prawdziwe. Konstruuje jedynie system twierdzeń, który z nich koniecznie wynika, zastrzegając sobie swobodę zmiany aksjomatów (i w związku z tym uzyskania innego systemu konsekwencji).

Zatem pojęcia teorii abstrakcyjnej pozbawione są konkretnego znaczenia. Ale jeśli można im nadać to znaczenie (tj. wskazać system konkretnych obiektów i relacji między nimi), tak aby przestrzegane były ustalone aksjomaty, wówczas otrzymamy, jak mówią, interpretację lub model abstrakcyjnej teorii. Ta sama teoria może mieć wiele różnych modeli.

Teraz możemy wyjaśnić omówioną powyżej dwoistość geometrii. Dopóki nie określimy znaczenia podstawowych pojęć geometrycznych, czyli nie będziemy uciekać się do wizualnych reprezentacji linii prostej, płaszczyzny itp., skonstruowana przez nas geometria jest teorią abstrakcyjną. Wszystkie wnioski tej teorii będą zrozumiałe dla wyimaginowanej istoty, która ma naszą logikę i naszą arytmetykę, ale nie wie zupełnie nic o strukturze otaczającego nas świata (francuski matematyk Jacques Adamar nazwał to stworzenie „Homo Arithmeticus”), ale jak gdy tylko wyobrazimy sobie punkt jako idealizację śladu zaostrzonego ołówka na papierze, linię prostą jako idealizację napiętej nici i płaszczyznę jako idealizację gładkiej powierzchni stołu, nasza geometria staje się modelem teoria abstrakcyjna. Model ten nie jest jedynym możliwym, ale tego właśnie uczymy się na szkolnym kursie geometrii, ponieważ opisuje on z dużą dokładnością właściwości geometryczne otaczających nas rzeczywistych ciał.

Wróćmy teraz do kwestii zasad naszego shra, podsumowując to, co powiedziano powyżej. Przedmiotem naszych badań jest model teorii abstrakcyjnej zbudowany w oparciu o metodę aksjomatyczną. Model ten oddaje właściwości geometryczne otaczającej nas części przestrzeni tak, jak jest ona postrzegana naszymi zmysłami. Wszystkie twierdzenia związane z tym modelem są logicznymi konsekwencjami aksjomatów i wcześniej ustalonych twierdzeń (tj. są udowodnione). Wszystkie nowo powstające koncepcje definiowane są poprzez podstawowe i znane wcześniej koncepcje. W procesie dowodowym posługujemy się rysunkami, które pomagają nam w wyciąganiu prawidłowych logicznych wniosków (ale ich nie zastępują). Posługiwanie się rysunkami jest wygodne z tego względu, że badany model jest nam naturalny i znany, możemy na rysunku wiele „wypatrzeć”, na jego podstawie odgadnąć prawidłowe sformułowanie stwierdzenia, a następnie to udowodnić (jest to jasne, że na tym polega specyfika naszej percepcji: dla Homo Arithmeticus nasze rysunki są niezrozumiałe i dlatego bezużyteczne).

Ale nie ma reguł bez wyjątków. Zauważmy, że konstruując szkolny kurs geometrii, nie zostaje do końca zachowana idea metody aksjomatycznej. Zamiast spójnego przedstawiania logicznych konsekwencji aksjomatów wraz z ich pełnymi dowodami, przyjęto styl gambitowy, by wyrazić to w języku szachowym: logiczny rygor i harmonia prezentacji są w niektórych miejscach celowo poświęcone na rzecz zwięzłości i przejrzystości. Niektóre twierdzenia nie są udowodnione lub są udowodnione tylko dla najprostszych specjalnych przypadków, nie podano ścisłych definicji niektórych pojęć itp. Wynika to z faktu, że wszystkie logicznie rygorystyczne kursy geometrii są dość trudne do zrozumienia i bardzo obszerne.

Na koniec omówimy bardzo ważną kwestię wyboru aksjomatów. Wymagania dotyczące systemu aksjomatów stanowiącego podstawę teorii są następujące. Po pierwsze, system aksjomatów musi być spójny, to znaczy żadne zdanie wraz z jego negacją nie powinno z niego wynikać. Wymóg ten jest najważniejszy, jest absolutnie konieczny. Dalej będziemy mówić tylko o spójnych systemach aksjomatów. Po drugie, pożądane jest, aby system aksjomatów był niezależny, to znaczy, aby żaden z tych aksjomatów nie wynikał z innych. Spełnienie tego wymogu nie jest konieczne, jednak naturalnym jest dążenie do tego, aby wśród aksjomatów nie było „naddatku”. Po trzecie, chciałbym, aby system aksjomatów był kompletny, to znaczy nie byłoby możliwe dodanie do tego systemu nowego aksjomatu, aby nie wynikał z istniejących aksjomatów i nie był z nimi sprzeczny (co oznacza, że ​​wiele podstawowych pojęć pozostało przy pozostały bez zmian). Należy zauważyć, że systemy aksjomatów geometrii są kompletne, ale jest to raczej wyjątek niż reguła: zwykle w matematyce systemy aksjomatów okazują się niekompletne. Wreszcie, po czwarte, można wymagać od systemu aksjomatów, aby był domknięty, to znaczy, aby nie posługiwał się pojęciami z innej teorii. Systemy aksjomatów geometrycznych z reguły nie są zamknięte, ponieważ na przykład wykorzystują pojęcie liczby, które jest zwykle definiowane na kursach analizy matematycznej.

§ 2. Elementy logiki i teorii mnogości

„Ja bym tak powiedział” – zauważył Marcowy Zając. - Zawsze powinieneś mówić, co myślisz.

Właśnie to robię – Alice pospieszyła z wyjaśnieniami. - Przynajmniej... Przynajmniej zawsze myślę, co mówię... i to samo...

„To zupełnie nie to samo” – sprzeciwił się Blockhead-chic. - Więc powiesz coś innego dobrego, jakby „Widzę, co jem” i „Jem, co widzę” to to samo!

L. Carrolla. Alicja w krainie czarów

W tej sekcji przedstawiono podstawowe informacje z logiki i teorii mnogości. Być może zapoznałeś się już z prezentowanym tutaj materiałem, jednak ze względu na wagę omawianych pojęć najlepiej je powtórzyć jeszcze raz. Zajmujemy się logiką i teorią mnogości w stopniu niezbędnym do naszego kursu stereometrii. Bardziej szczegółowe i rygorystyczne wprowadzenie do tych działów matematyki można znaleźć na przykład w książce [Kutasov i in., 1981].

Zdaniem nazwiemy każde zdanie, o którym możemy powiedzieć, czy jest prawdziwe, czy fałszywe. Przykładowe stwierdzenia obejmują następujące stwierdzenia: reprezentacja Brazylii jest mistrzem Pucharu Świata FIFA 1994; liczba 100 jest parzysta; suma kątów w trójkącie wynosi 90°. Pierwsze dwa z tych stwierdzeń są prawdziwe, a ostatnie fałszywe. Na przykład następujące stwierdzenie nie jest stwierdzeniem: nauka w szkole jest łatwa; ponieważ nie można z całą pewnością stwierdzić, czy jest to prawda, czy fałsz. Wiele twierdzeń (w szczególności dotyczących bólu

1 Wyjaśnijmy znaczenie słowa „podąża” w tej definicji: zdanie wynika z systemu aksjomatów, jeśli w dowolnym modelu, w którym te aksjomaty są spełnione, stwierdzenie to jest również prawdziwe; jeżeli istnieje model tego systemu aksjomatów, w którym stwierdzenie to jest fałszywe, wówczas uważa się, że nie wynika ono z tego systemu aksjomatów.

• Ćwiczenia ustne z geometrii 9-10 KLASY 1983 pobierz podręcznik radziecki
• Początki stereometrii DLA KLASY X 1982 pobierz podręcznik radziecki

Stereometria wizualna w teorii, problemy, rysunki. Bobrovskaya A.V.

R. na D.: 2013. - 167 s.

Podręcznik jest praktycznym przewodnikiem po kursie stereometrii w szkole średniej. Prezentuje materiał z teorii obrazów figur przestrzennych w dowolnym rzucie równoległym. Książka zawiera algorytmy konstruowania obrazów wielościanów, ciał okrągłych i ich kombinacji, opisuje główne przypadki uzasadnienia wykonania rysunków oraz przedstawia szczegółową analizę możliwości rysunków rzutowych do rozwiązywania problemów konstruowania przekrojów wielościanów. Materiał teoretyczny zaopatrzony jest w dużą liczbę ilustracji, z których wiele wykonano „w dynamice”. Rozdział pierwszy poświęcony jest podstawom teorii obrazów figur płaskich i przestrzennych w rzucie równoległym, zawiera algorytmy konstruowania obrazów figur płaskich i przestrzennych. Rozdział drugi poświęcony jest rozwiązywaniu problemów pozycyjnych na rysunkach rzutowych. Podano tutaj koncepcje problemów pozycyjnych, obrazów pełnych i niekompletnych, podano techniki i metody konstruowania przekrojów wielościanów na kompletnych rysunkach. W rozdziale trzecim omówiono metody uzasadnienia wykonania rysunków oraz podano przykłady rozwiązywania problemów stereometrycznych na rysunkach rzutowych. Podręcznik przeznaczony jest dla uczniów klas 10–11, nauczycieli matematyki i studentów uczelni pedagogicznych.

Format: pdf

Rozmiar: 26,4 MB

Obejrzyj, pobierz:drive.google ; Rduch

SPIS TREŚCI
Rozdział 1. PRZEDSTAWIENIE FIGUR PŁASKICH I PRZESTRZENNYCH W RZUCIE RÓWNOLEGŁYM 5
1.1. Podstawy teorii projektowania równoległego. 5
1.2. Obraz płaskich postaci. 6
1.3. Obraz figur przestrzennych 11
1.3.1. Pryzmat 11
1.3.2. Piramida 11
1.3.3. Cylinder. 16
1.3.4. Stożek. 16
1.3.5. Bal 20
1.3.6. Kombinacje walca z wielościanami 20
1.3.7. Kombinacje stożków z wielościanami 26
1.3.8. Opisana kula 31
1.3.9. Wpisana kula 31
Rozdział 2. ZADANIA POZYCYJNE PRZY KONSTRUKCJI RYSUNKÓW KOMPLETNYCH I NIEKOMPLETNYCH 42
2.1. Zadanie pozycyjne, obrazy pełne i niekompletne 42
2.2. Podstawowe zadania pozycyjne 46
2.3. Podstawowe metody konstruowania przekrojów wielościanów 54
2.3.1. Aksjomatyczne podejście do konstruowania stereometrii 54
2.3.2. Aksjomaty i twierdzenia stereometrii w konstrukcji przekrojów wielościanów Ш
2.3.3. Równoległość prostych i płaszczyzn w konstruowaniu przekrojów wielościanów
2.4. Konstruowanie przekrojów wielościanów na kompletnych rysunkach IT
2.4.1. Metoda śledzenia płaszczyzny cięcia 7*
2.4.2. Metoda projektowania wewnętrznego 81
Rozdział 3. KONSTRUKCJA ELEMENTÓW WIELOŚCIANÓW I CIAŁ OKRĄGŁYCH NA CAŁYM RYSUNKU 87
3.1. Wysokość wielościanu 87
3.2. Kąt z płaszczyzną 94
3.3. Kąt dwuścienny. Liniowy kąt dwuścienny 97
3.4. Kształty ścian i przekrojów wielościanów 102
3.5. Prostopadle od punktu do linii i płaszczyzny w przestrzeni oprogramowania
3.5.1. Prostopadle od punktu do prostej w przestrzeni 110
3-5.2. Prostopadle od punktu do płaszczyzny 112
3.5.3. Odległość od prostej do płaszczyzny 114
3.6. Wspólna prostopadłość przecinających się linii 115
3.7. Kombinacje wielościanów i ciał okrągłych 120
3.7.1. Kombinacje walca z wielościanami 120
3.7.2. Kombinacje stożków z wielościanami 122
3.7.3. Kula opisana wielościanami i ciałami okrągłymi 125
3.7.4. Wpisana kula 129
3.7.5. Niestandardowe połączenia wielościanów i ciał okrągłych. 140
3.7.6. Obliczanie elementów wielościanów
i korpusy okrągłe na kompletnych rysunkach 150
Wniosek 161
Referencje 163

Za pomocą tych pomocy wizualnych prowadzę zajęcia ze stereometrii w klasach 10–11 w ramach przygotowań do jednolitego egzaminu państwowego. Oczywiście nauczyciel matematyki, który posługuje się prawdziwymi trójwymiarowymi analogiami rysunków, będzie w stanie szybko rozwinąć u ucznia niezbędne umiejętności pracy z wielościanami. Modele ułatwiają postrzeganie warunków zadania i pomagają korepetytorowi rozwijać myślenie przestrzenne ucznia. Zapobiega się błędom związanym z błędnym odczytaniem rysunku i przyspiesza proces poszukiwania algorytmów rozwiązywania złożonych problemów.

Najedź kursorem na zdjęcie i kliknij je. Otworzy się na większą skalę.

Zwróć uwagę na specjalne zapięcia na żebrach modeli. Poruszają się i mogę za ich pomocą ustalić dowolne położenie dowolnych sekcji. Pozwala to na skompletowanie modeli dokładnie tak, aby odpowiadały warunkom konkretnego zadania.

Możemy symulować przekroje, rysować linie na twarzach, pokazywać wysokość piramidy, wysokość pryzmatu, trójkąty apotemiczne i krawędziowe i wiele więcej...

Zamiast konieczności porządkowania licznych bałaganów i zniekształceń w notatniku, zadanie można odtworzyć w rzeczywistości.

Wykorzystanie prawdziwych modeli przez nauczyciela matematyki pomaga uczniowi rozpoznać

• przecinanie linii
• prostopadłe do płaszczyzn
• kąt między linią prostą a płaszczyzną
• kąt między płaszczyznami

Podczas rozwiązywania problemów uczeń otrzymuje szansę

• podnieś model
• obróć go do siebie wygodną stroną
• włóż kartkę papieru symulującą przekrój
• narysuj dowolne linie w przekroju
• wskaż wierzchołki przekroju A, B, C...

Dla nauczyciela matematyki wygodne jest używanie modeli

• udzielać wyjaśnień do zadań
• zapoznanie ucznia z rodzajami wielościanów i ich właściwościami
• wskazać błędy w identyfikacji różnych kątów
• udowadniać twierdzenia stereometryczne i wyprowadzać wzory

Fragmenty listów wychowawców:

Vera Viktorovna, emerytowana nauczycielka matematyki
„Masz doskonałe modele stereometryczne. Naprawdę sam je zrobiłeś?! A może zostały kupione? Czy możesz mi powiedzieć, gdzie mogę zamówić przejrzyste instrukcje? Może robi je któryś z Twoich znajomych nauczycieli? Chętnie skorzystam z ich usług.”

Od nikogo nic nie kupowałem poza materiałami do montażu. Wszystkie modele zostały wykonane własnymi rękami latem na daczy i, o ile wiem, żaden z korepetytorów matematyki w Moskwie nie oferuje czegoś takiego. Przynajmniej nikt nie ma otwartych modeli. Jest mało prawdopodobne, że uda się je kupić, a już na pewno nikt nie montuje ich na zamówienie. To bardzo kłopotliwe zadanie. Nad każdym egzemplarzem spędzam średnio 5-6 godzin. Przycinam, czyszczę, dopasowuję.

Krayuvtseva I.P., początkujący nauczyciel: "To jest fantastyczne! Modele bardzo mi się podobały!!! Sama jestem korepetytorką matematyki i większość czasu spędzam na przygotowaniach do egzaminu Unified State Exam. Ciągle walczę z rysunkami w stereometrii. Uczniowie nie są w stanie wyobrazić sobie całości problemu. Jak udało Ci się połączyć żebra modeli ze sobą? Podziel się proszę tajemnicą produkcyjną.”

Do końca nie zdradzę tajemnic projektów. Mogę tylko powiedzieć, że na żebra zastosowano cewkę z bardzo sztywnego drutu o idealnej średnicy dla otworów w plastikowych mechanizmach mocujących. Aby połączyć żebra boczne z wielokątem podstawy, łączniki te zostały specjalnie wycięte w zależności od kątów figury u podstawy. Najłatwiejszym zadaniem było złożenie wielokątów do podstaw. W tym celu zdjąłem uzwojenie z kawałka innego drutu (miękkiego), pociąłem go na kawałki o długości około 1 centymetra i po prostu włożyłem w każdy z nich wycięte kawałki twardego drutu z różnych stron. Na szczęście dla mnie wszystkie rozmiary idealnie do siebie pasują.

Korepetytor matematyki o modelach „najnowszej generacji”.
Latem zacząłem ulepszać pomoce wizualne. Żeberka najnowszych modeli wyposażone są w specjalne suwaki z otworami, przez które można przewlec miękki drut lub grubą nitkę imitującą nacięcie. Kliknij na małe zdjęcie, które widzisz po prawej stronie tekstu, a otworzy się ono w nowym oknie w powiększonej wersji. Na zdjęciu widać takie zbliżenie slidera. Suwaki pozwalają nauczycielowi matematyki symulować ślady z dowolnych odcinków płaszczyzn o powierzchni wielościanu.

Kołpakow Aleksander Nikołajewicz, nauczyciel matematyki w Moskwie.

Podręcznik jest praktycznym przewodnikiem po kursie stereometrii w szkole średniej. Prezentuje materiał z teorii obrazów figur przestrzennych w dowolnym rzucie równoległym.
Książka zawiera algorytmy konstruowania obrazów wielościanów, ciał okrągłych i ich kombinacji, opisuje główne przypadki uzasadnienia wykonania rysunków oraz przedstawia szczegółową analizę możliwości rysunków rzutowych do rozwiązywania problemów konstruowania przekrojów wielościanów. Materiał teoretyczny zaopatrzony jest w dużą liczbę ilustracji, z których wiele wykonano „w dynamice”.
Rozdział pierwszy poświęcony jest podstawom teorii obrazów figur płaskich i przestrzennych w rzucie równoległym, zawiera algorytmy konstruowania obrazów figur płaskich i przestrzennych.
Rozdział drugi poświęcony jest rozwiązywaniu problemów pozycyjnych na rysunkach rzutowych. Tutaj podano zrozumienie problemów pozycyjnych, pełnych i niekompletnych obrazów, podano techniki i metody konstruowania przekrojów wielościanów na kompletnych rysunkach.
W rozdziale trzecim omówiono metody uzasadnienia wykonania rysunków oraz podano przykłady rozwiązywania problemów stereometrycznych na rysunkach rzutowych.
Podręcznik przeznaczony jest dla uczniów klas 10-11, nauczycieli matematyki i studentów uczelni pedagogicznych.

Piramida.
Przedstawiamy podstawę piramidy jako wielokąt, a następnie wysokość piramidy jako odcinek pionowy. Wybierz górę piramidy i narysuj boczne krawędzie. Wybierz widoczne i niewidoczne linie. Rysunek 16 przedstawia dowolną piramidę SABCD, której położenie wysokości SO nie jest określone przez warunek problemowy.

Jednak w większości przypadków położenie podstawy wysokości piramidy, punktu O, jest określone przez warunki problemu. W szczególności, jeśli piramida jest regularna, wówczas O jest środkiem podstawy. Rysunek 17 przedstawia regularną trójkątną piramidę. Zwróćmy szczególną uwagę na piramidy, w których wszystkie krawędzie lub wszystkie ściany są jednakowo nachylone do płaszczyzny podstawy, a także piramidy, w których krawędź boczna lub dwie ściany są prostopadłe do płaszczyzny podstawy. Położenie wysokościowe takich piramid zostało szczegółowo omówione w rozdziale 3 tego podręcznika.

Spis treści
Rozdział 1. PRZEDSTAWIENIE FIGUR PŁASKICH I PRZESTRZENNYCH W RZUCIE RÓWNOLEGŁYM
1.1. Podstawy teorii projektowania równoległego
1.2. Obraz płaskich postaci
1.3. Obraz figur przestrzennych
1.3.1. Pryzmat
1.3.2. Piramida
1.3.3. Cylinder
1.3.4. Stożek
1.3.5. Piłka
1.3.6. Kombinacje walca z wielościanami
1.3.7. Kombinacje stożków z wielościanami
1.3.8. Opisana kula
1.3.9. Wpisana kula
Rozdział 2. PROBLEMY POZYCYJNE KONSTRUKCJI NA RYSUNKACH KOMPLETNYCH I NIEKOmpletnych
2.1. Zadanie pozycyjne, obrazy pełne i niekompletne
2.2. Podstawowe zadania pozycyjne
2.3. Podstawowe metody konstruowania przekrojów wielościanów
2.3.1. Aksjomatyczne podejście do konstruowania stereometrii
2.3.2. Aksjomaty i twierdzenia stereometrii w konstruowaniu przekrojów wielościanów
2.3.3. Równoległość prostych i płaszczyzn w konstruowaniu przekrojów wielościanów
2.4. Konstruowanie przekrojów wielościanów na pełnych rysunkach
2.4.1. Metoda śledzenia płaszczyzny cięcia
2.4.2. Metoda „projektowania wewnętrznego”.
Rozdział 3. KONSTRUKCJA ELEMENTÓW WIELOŚCIANÓW I CIAŁ OKRĄGŁYCH NA CAŁYM RYSUNKU
3.1. Wysokość wielościanu
3.2. Kąt z płaszczyzną
3.3. Kąt dwuścienny. Liniowy kąt dwuścienny
3.4. Kształt ścian i przekrojów wielościanów
3.5. Prostopadle od punktu do linii i płaszczyzny w przestrzeni
3.5.1. Prostopadle od punktu do linii w przestrzeni
3.5.2. Prostopadle od punktu do płaszczyzny
3.5.3. Odległość od prostej do płaszczyzny
3.6. Wspólna prostopadłość linii skośnych
3.7. Kombinacje wielościanów i ciał okrągłych
3.7.1. Kombinacje walca z wielościanami
3.7.2. Kombinacje stożków z wielościanami
3.7.3. Kula opisana wielościanami i ciałami okrągłymi
3.7.4. Wpisana kula
3.7.5. Niestandardowe połączenia wielościanów i ciał okrągłych
3.7.6. Obliczanie elementów wielościanów i brył kołowych na pełnych rysunkach
Wniosek
Bibliografia.

Pobierz e-book za darmo w wygodnym formacie, obejrzyj i przeczytaj:
Pobierz książkę Wizualna stereometria w teorii, problemy, rysunki, Bobrovskaya A.V., 2013 - fileskachat.com, szybkie i bezpłatne pobieranie.

MBOU „Szkoła Średnia nr 7”

Rozwój metodologiczny

metodą stereometrii

dla uczniów klas 10-11

Belousova E.N., nauczycielka matematyki

2012, Nalczyk

„Podstawowe pojęcia i aksjomaty stereometrii.

Równoległość prostych i płaszczyzn”

Stereometria to dziedzina geometrii, w której bada się właściwości figur w przestrzeni.

Słowo „stereometria” pochodzi od greckich słów „στερεοσ” – wolumetryczny, przestrzenny i „μετρεο” – mierzyć.

Najprostsze figury w kosmosie: punkt, linia prosta, płaszczyzna.

Aksjomaty stereometrii i ich konsekwencje

Aksjomat 1. Przez dowolne trzy punkty nie leżące na tej samej prostej przechodzi płaszczyzna i tylko jedna.
Aksjomat 2. Jeżeli dwa punkty prostej leżą na płaszczyźnie, to wszystkie punkty prostej leżą na tej płaszczyźnie. (Prosta leży na płaszczyźnie lub płaszczyzna przechodzi przez linię prostą).
Z Aksjomatu 2 wynika, że ​​jeśli prosta nie leży na danej płaszczyźnie, to ma z nią co najwyżej jeden punkt wspólny. Jeżeli prosta i płaszczyzna mają jeden punkt wspólny, to mówimy, że się przecinają.
Aksjomat 3. Jeśli dwie różne płaszczyzny mają wspólny punkt, to mają wspólną linię, na której leżą wszystkie wspólne punkty tych płaszczyzn. W tym przypadku mówią, że płaszczyzny przecinają się w linii prostej. Przykład: przecięcie dwóch sąsiednich ścian, ściany i sufitu pomieszczenia.
Niektóre wnioski z aksjomatów Twierdzenie 1. Płaszczyzna i tylko jedna płaszczyzna przechodzi przez prostą a i punkt A, który na niej nie leży.
Twierdzenie 2. Samolot przechodzi przez dwie przecinające się linie a i b i tylko jedną.
Linie równoległe w przestrzeni Dwie linie w przestrzeni nazywane są równoległymi, jeśli leżą w tej samej płaszczyźnie i nie przecinają się.
Twierdzenie o prostych równoległych. Przez dowolny punkt przestrzeni nie leżący na danej prostej przechodzi prosta równoległa do danej i w dodatku tylko jedna.
Lemat o przecięciu płaszczyzny przez proste równoległe. Jeżeli jedna z dwóch prostych równoległych przecina daną płaszczyznę, to druga prosta również przecina tę płaszczyznę.