Scena miejska. Zmiany w zatrudnieniu kobiet i mężczyzn według zawodów

„OGÓLNOROSYJSKA OLIMPIADA DLA UCZNIÓW Miejsce na kod w STUDIACH SPOŁECZNYCH 2012/2013 SCENA MIEJSKA. MIASTO MOSKWA 10. KLASA. 1. Wybierz...”

OGÓLNOROSYJSKA OLIMPIADA DLA UCZNIÓW Miejsce na kod

W NAUKACH SPOŁECZNYCH 2012/2013

SCENA MIEJSKA. MOSKWA

1. W każdym zadaniu wybierz kilka poprawnych odpowiedzi i wpisz wybrane odpowiedzi

1.1. Znajdź na podanej liście wyniki działalności naukowej i zakreśl cyfry,

pod którymi są one wskazane.

1) znajomość podstawowych praw przyrody

2) laboratoria naukowe

3) zbiory problemów i ćwiczeń dla studentów

4) badania rozprawy doktorskiej

5) podręczniki dla szkół średnich

6) sprawozdania na konferencjach naukowych

1.2. Które z poniższych stwierdzeń jest charakterystyczne dla formacyjnego podejścia do historii ludzkości? Zapisz liczby, pod którymi są one wskazane.

1) ludzkość powstała w wyniku boskiego stworzenia

2) siłą napędową rozwoju historycznego jest walka klas

3) każda wspólnota kulturowa i historyczna przechodzi cykl rozwoju od powstania aż do śmierci

4) struktura społeczeństwa opiera się na tej czy innej metodzie produkcji społecznej

5) pod koniec XX wieku. rozpoczęło się przejście do społeczeństwa postindustrialnego

6) zespół relacji moralnych, prawnych i ideologicznych tworzy nadbudowę społeczeństwa

1.3. Podczas rozwoju związku prymitywnych plemion powstało państwo. Który z poniższych znaków może o tym świadczyć?

1) wszyscy dorośli mężczyźni ze wszystkich plemion noszą broń

2) wszyscy członkowie tych plemion płacą swojemu władcy pewien regularny hołd

3) wszyscy członkowie plemienia przeszli z koczowniczego trybu życia na siedzący tryb życia

4) głównym zajęciem ludzi należących do związku plemiennego było rolnictwo

5) w każdym plemieniu sąd najwyższy sprawuje namiestnik wysłany przez władcę

6) władca przy pomocy swojego oddziału regularnie odpiera ataki plemion nie wchodzących w skład tego związku 1.1. 1.2. 1.3.

2. Co łączy koncepcje tworzące każdy z prezentowanych cykli? Podaj krótką odpowiedź.

2.1. Zaspokajanie najważniejszych potrzeb społecznych, obecność trwałych form wspólnych działań, funkcjonowanie w oparciu o formalnie określone zasady

2.2. Po zakończeniu wojny przeprowadzono demobilizację, w ciągu roku trzykrotnie zwiększono płace nauczycieli, w latach 20. - 30. XX w. w ZSRR znaczna część dorosłych chłopów nauczyła się czytać i pisać w ramach programu alfabetyzacji _

3. Czym jest EXTRA w danym serialu? WYJAŚNIJ, dlaczego zdecydowałeś się na taki sposób. Zapisz swoją odpowiedź w podanych linijkach.

3.1. Relacje wydziału spraw wewnętrznych z obywatelami, relacje Wydziału Oświaty miasta z niepaństwową placówką oświatową, relacje klienta z wykonawcą, relacje dyrektora sklepu z przedstawicielami służby sanitarno-epidemiologicznej __________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

3.2. Dochód, wykształcenie, klasa, zawód, ilość władzy.

_____________________________________________________________________________________

4. Oto fragment eseju szkolnego na temat ideologii politycznych.

Szereg zapisów zawartych we fragmencie wzbudziło wątpliwości kolegów w trakcie obrony eseju. Przepisy te są ponumerowane.

Ustal, czy te zapisy są prawdziwe czy fałszywe („TAK” lub „NIE”) i wpisz odpowiedzi do tabeli:

Kultura młodzieżowa, jak każda kultura, jest systemem statycznym (1) zmian, w których w każdym nowym okresie czasu, utrwalonym w zewnętrznych przejawach, odzwierciedla się z jednej strony zdolność tego systemu do odpowiedniego reagowania na procesy zewnętrzne i wewnętrzne, z drugiej z drugiej strony przystosowanie się do zmieniających się zewnętrznych i wewnętrznych warunków swojej egzystencji. Subkultura młodzieżowa ma zazwyczaj charakter polityczny(2). Jednocześnie wahania w reżimach politycznych władzy, a co za tym idzie, sytuacja w podstawowej kulturze społeczeństwa, w ramach którego istnieje subkultura młodzieżowa, mają wpływ na dynamikę subkultury młodzieżowej. (3) Wybór pewnych wartości najczęściej kojarzony jest z indywidualnymi stereotypami (4) o dość sztywnym charakterze – ci, którzy się z nimi nie zgadzają, narażają się na duże ryzyko dołączenia do grona wyrzutków. Stereotypy grupowe i prestiżowa hierarchia wartości wyznaczana jest przez płeć, poziom wykształcenia oraz, w pewnym stopniu, miejsce zamieszkania i narodowość członków grupy. (5) W subkulturach młodzieżowych z reguły nie ma odrzucenia akceptowanej przez większość kultury narodowej, można natomiast znaleźć jedynie pewne odstępstwa od niej (6) Kultura ludowa (tradycje, zwyczaje, folklor) jest aktywnie postrzegana przez większość młodych ludzi. (7)

5. Oto zbiór fragmentów z różnych źródeł literackich. Fragmenty te przedstawiają różne rodzaje zjawisk określanych jednym terminem nauk społecznych.

5.1. Zapisz, o jakim zjawisku mowa we wszystkich przedstawionych fragmentach.

5.2. W tabeli pod literowym oznaczeniem każdego fragmentu wpisz termin oznaczający taki lub inny rodzaj zidentyfikowanego przez Ciebie zjawiska, odzwierciedlonego w tym fragmencie.

1. „Zbliżają się egzaminy. Gulya zabrała wiewiórkę do zielonego lasu, towarzyszyła matce, która wyjechała do Soczi, na stację i wróciła do pustego mieszkania. Frosya została z nią.

No cóż, Frosenka – powiedział Gula – nie opuszczę tego miejsca, dopóki nie przejdę przez całą fizykę.

I Gulya usiadła przy jej stole. Opierając głowę na dłoniach, zagłębiła się w książkę. Pokój był zalany słońcem. Przed oknem kwitła akacja.

„Jak dobrze teraz nad Dnieprem! - Gula pomyślał ze smutkiem. - Weź kajak i popłyń w dół rzeki. A potem połóż się na białym piasku i spójrz w niebo!”

Ale to później, po egzaminie. A teraz musimy zapomnieć o wszystkim na świecie, z wyjątkiem fizyki.

„Ciepło”... Szczęśliwie trzeba powtórzyć to niefortunne „ciepło”, gdy nie ma gdzie uciec przed upałem. (E. Ilyina) 2. „Pisam niemal bez przerwy, odkąd skończyłam sześć lat, ale nigdy wcześniej żaden pomysł nie był dla mnie tak podekscytowany. Po prostu siedziałem i myślałem przez cztery godziny (z opóźnieniem pociągu) i wszystkie szczegóły zaczęły pojawiać się w moim mózgu, a ten chudy, czarnowłosy chłopak w okularach, który nie wiedział, że jest czarodziejem, stawał się coraz bardziej dla mnie prawdziwe.” (J. Rowling) 3. „Zostaliśmy zwolnieni na wakacje. Fedka i ja snułyśmy najróżniejsze plany na lato.

Czekało nas mnóstwo pracy.

Po pierwsze, trzeba było zbudować tratwę, opuścić ją do stawu sąsiadującego z naszym ogrodem, ogłosić się władcami morza i stoczyć bitwę morską zjednoczoną flotą Pantyushkinsów i Simakowów, którzy strzegli podejść do swoich ogrodów z drugiej strony.

Mieliśmy jeszcze małą flotę - bramę ogrodową wypuszczaną do wody. Ale pod względem walki był znacznie gorszy od sił wroga, który miał połowę starej bramy, która zastąpiła ciężki krążownik, i lekki niszczyciel, przerobiony z bloku kłody, w którym wcześniej karmiono bydło. Siły były wyraźnie nierówne.” (A.P. Gajdar).

Wilgoć się wije – tutaj wybuchy rechoczą nieistotną mokrą wygodą, rozpraszają gangi niedźwiedzi, robotnicy siedzą w ciemności, a głębiny kopalni przeżuwają mokry chleb. sturożny „Gigant”.

Ale szept jest głośniejszy niż głód - Place budowy utworzą tu mury.

zakrywa krople upadku: dźwiękami, parą, sipi.

„Za cztery lata będziemy miastem-ogrodem za sto słońc z piecami o otwartym ogniu! Podpalmy Syberię (V.V. Majakowski).

5. „Rzeźbię z plasteliny.

Plastelina jest bardziej miękka niż glina.

Rzeźbię lalki, klaunów i psy z plasteliny.

Jeśli lalka okaże się zła, nazwę ją „durkha”.

Jeśli klaun wypadnie źle, nazwę go „głupcem”.

Podeszło do mnie 2 braci i powiedziało dość sucho:

Czy to wina lalki? Czy to wina klauna?

Źle je rzeźbisz. Sam jesteś głupi.

Sam je słabo rzeźbisz i nikt nie jest temu winny.

Rzeźbię z plasteliny.

Plastelina jest bardziej miękka niż glina.

Rzeźbię lalki, klaunów i psy z plasteliny.

Jeśli lalka okaże się zła, nazwę ją „biedną rzeczą”.

Jeśli klaun wypadnie źle, nazwę go „biednym człowiekiem”. (N.N. Matveeva)

6. W końcu Volka podjął decyzję: wziął pierwszy bilet, na jaki się natknął, powoli, powoli, próbując szczęścia, otworzył go i z radością zobaczył, że musi odpowiedzieć w sprawie Indii. Wiedział dużo o Indiach. Interesował się tym krajem od dawna.

„No cóż” – powiedział reżyser – „zgłoś”.

Volka pamiętała nawet słowo po słowie początek biletu z podręcznika. Otworzył usta i chciał powiedzieć, że Półwysep Hindustan w swym zarysie przypomina trójkąt, że ten ogromny trójkąt obmywa Ocean Indyjski i jego części: Morze Arabskie na zachodzie i Zatoka Bengalska na wschodzie, że na na tym półwyspie znajdują się dwa duże kraje - Indie i Pakistan, które zamieszkują życzliwi, miłujący pokój ludzie o starożytnej i bogatej kulturze. (L.

Lagina) 5.1. _________________________________________________________________________________

6. Zidentyfikuj brakujące terminy w tekście, oznaczone numerami porządkowymi.

Wpisz wymagane wkładki pod odpowiednimi numerami w poniższej tabeli.

Pieniądz to szczególny rodzaj produktu używany w wymianie, podobnie jak _(1)_ wszystkie inne towary.

Ekonomiści wyróżniają pięć głównych _(2)_ pieniędzy.

1. Miara wartości: pieniądz mierzy wartość towarów poprzez _(3)_, porównując w ten sposób towary o jakościowo różnych właściwościach konsumenckich. Aby pełnić tę funkcję, bardzo ważne jest, aby sam pieniądz miał stabilną wartość. Żaden rodzaj pieniądza nie ma jednak trwałej wartości. W epoce pieniądza papierowego _(4)_ (deprecjacja pieniądza) stała się w zasadzie zjawiskiem niemal stałym.

2. Środki _(5)_ - pieniądz pełni rolę pośrednika w wymianie dóbr. Zamiast bezpośrednio wymieniać jeden produkt na inny – nazywa się to _(6)_ – producenci towarów otrzymują pieniądze za sprzedane przez siebie towary, za które kupują inne potrzebne im towary.

3. Oznacza _(7)_ - za pomocą pieniędzy tworzona jest pewna rezerwa majątku. Nie mówimy oczywiście o pirackich skarbach, np. aby kupić samochód, trzeba oszczędzać pieniądze przez kilka lat, aż do zgromadzenia wymaganej kwoty. Te. pieniądze zostały tymczasowo usunięte z _(8)_ i są „w ręku”

od kupujących.

4. Oznacza _(9)_ - przepływ pieniędzy jest „oddzielony” od przepływu towarów i pozostaje w tyle. Dzieje się tak podczas opracowywania _(10)_. Kupujący może więc kupić samochód na raty, dzięki czemu od razu staje się jego właścicielem, ale nadal płaci za niego w ratach przez długi okres czasu.

Luka ta szczególnie wyraźnie objawia się w relacji obywatel–państwo: _(11)_ to co do zasady zapłata za „dobra publiczne” dostarczane przez państwo (usługi ochrony praw własności, ochrony militarnej, systemów edukacja i opieka zdrowotna).

5. _(12)_ pieniądz – swobodny obrót niektórymi rodzajami pieniądza poza granicami państwa. Aż do XX wieku ich rolę odegrały banknoty szlacheckie _(13)_: w tym przypadku, jak pisał K. Marks, „pieniądze zrzucają mundury narodowe”. Obecnie tę rolę pełni najbardziej wiarygodny krajowy _(14)_ (przede wszystkim dolar i euro).

Zadanie 7. Rozwiąż zadanie prawne zadania

7.1. Urząd stanu cywilnego zarejestrował małżeństwo 16-letniej Eleny N. i Grigorija P. Rok później para rozstała się, składając oficjalny rozwód. Elena postanowiła sprzedać dom, który odziedziczyła po dziadku. Notariusz odmówił zarejestrowania zakupu i sprzedaży domu, powołując się na fakt, że Elena nie ukończyła 18 lat i nie pozostawała w zarejestrowanym związku małżeńskim, w związku z czym nie miała wystarczającej zdolności do czynności prawnych, aby sfinalizować taką transakcję.

Czy notariusz ma rację? Uzasadnij swoją odpowiedź.

_____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

7.2. Duma Miejska miasta N przyjęła decyzję o ustanowieniu podatku od nieruchomości dla organizacji prowadzących działalność skutkującą zanieczyszczeniem środowiska. Prokurator miejski złożył skargę dotyczącą niezgodności z prawem decyzji Dumy Miejskiej. Czy prokurator ma rację? Uzasadnij swoją odpowiedź.

_____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

Zadanie 8. Rozwiąż krzyżówkę z nauk społecznych.

W wyróżnionych komórkach będzie znajdować się termin używany w naukach humanistycznych

Oh. Wpisz jego definicję w wierszach pod krzyżówką.

1. Zakaz państwa importu do swojego kraju lub eksportu do innego kraju towarów, usług, waluty i innych wartościowych przedmiotów

2. Zachowania społeczne odbiegające od przyjętych, społecznie akceptowalnych w danym społeczeństwie.

3. Działania mające na celu zapewnienie popularności wśród mas kosztem bezpodstawnych obietnic i haseł demagogicznych.

4. Stan społeczeństwa, w którym następuje rozkład i dezintegracja systemu wartości i norm gwarantujących porządek publiczny.

6. Działania jednostek i grup społecznych powiązane relacjami dotyczącymi zdobycia, utrzymania i wykorzystania władzy w celu realizacji swoich interesów.

7. Skrajny nacjonalizm, wyrażający się w wygórowanym wywyższaniu własnego narodu, głoszeniu jego narodowej wyłączności, w polityce przeciwstawiania tego narodu innym

8. Spójność, unifikacja struktur politycznych, gospodarczych, państwowych i publicznych w obrębie regionu, kraju, świata.

9. Bezrobocie części ludności aktywnej zawodowo w działalności gospodarczej

10. Teoria ekonomii, według której ilość pieniądza w obiegu jest czynnikiem determinującym życie gospodarcze.

Definicja __________________________________________________________

– – –

ZMIANY ZATRUDNIENIA MĘŻCZYZN I KOBIET WEDŁUG ZAWODÓW,

1992-1998 W naszym życiu pojawia się nowa cywilizacja, a ci, którzy jej nie dostrzegają, starają się ją stłumić. Ta nowa cywilizacja niesie ze sobą nowe relacje rodzinne; różne sposoby pracy, kochania i życia; nowa gospodarka; nowe konflikty polityczne, a na dodatek zmieniona świadomość. Elementy nowej cywilizacji już istnieją. Miliony ludzi już dostosowują swoje życie do rytmów jutra. Inni ludzie, bojąc się przyszłości, wpadają w beznadziejną, bezużyteczną przeszłość; próbują przywrócić umierający świat, w którym się urodzili.

Początek tej nowej cywilizacji jest najbardziej wybuchowym faktem czasów, w których żyjemy.

To jest centralne wydarzenie, klucz do zrozumienia czasu następującego po teraźniejszości. Jest to zjawisko tak głębokie, jak pierwsza fala zmian wywołana wprowadzeniem rolnictwa 10 000 lat temu czy oszałamiająca druga fala zmian związana z rewolucją przemysłową.

Jesteśmy dziećmi późniejszej transformacji...

Szukamy słów, żeby opisać siłę i zakres tych niezwykłych zmian.

Źródło: E. Toffler. Trzecia fala W przeciwieństwie do poprzednich lat, gospodarka światowa nie ma już zasadniczo charakteru rolniczego ani przemysłowego. Wręcz przeciwnie, coraz częściej dominują w nim działania „nieważkie” i nieuchwytne. To, co wytwarza ta nieważka gospodarka, składa się z informacji — podobnie jak w przypadku oprogramowania, produktów medialnych i rozrywkowych oraz usług świadczonych przez Internet. Ten nowy kontekst gospodarczy opisuje się zazwyczaj koncepcją „gospodarki opartej na wiedzy”. Źródło: E. Giddens. Socjologia W miarę upowszechniania się systemów edukacji coraz więcej osób uczyło się nauk abstrakcyjnych (nauki takie jak matematyka, przedmioty ścisłe, historia, literatura itp.), a nie praktycznego przekazywania konkretnych umiejętności. We współczesnym społeczeństwie ludzie muszą posiadać podstawowe umiejętności, takie jak czytanie, pisanie, liczenie i ogólną wiedzę o otaczającym ich świecie. Ale bardzo ważne jest również, aby umieli się uczyć i potrafili opanować nowe, często bardzo specyficzne formy informacji.

Rozwinięte społeczeństwo potrzebuje także czystych badań i spostrzeżeń, które nie przynoszą natychmiastowych korzyści praktycznych, ale przesuwają granice ludzkiej wiedzy.

...W dzisiejszych czasach wykształcenie i kwalifikacje stały się ważnym warunkiem zdobycia pracy i rozwoju kariery. Szkoły i uniwersytety nie tylko poszerzają horyzonty myślowe ludzi i ich perspektywy, ale mają przygotować nowe pokolenia obywateli do udziału w życiu gospodarczym. Źródło E. Giddens.

Socjologia

9.1. Analizuj dane statystyczne. Jakie oczywiste trendy widać w ich analizach (przynajmniej dwa)? Dla jakiego porządku społecznego (typu społeczeństwa) są charakterystyczne?

_____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

9.2. Na podstawie tekstu i wiedzy z przedmiotu nauki społeczne wskaż przejawy tego porządku społecznego (typu społeczeństwa).

_____________________________________________________________________________________

9.3. Znajdź w tekstach dwie instytucje społeczne powiązane z danym porządkiem społecznym (typem społeczeństwa). Zdefiniuj je.

_____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

9.4. Jakie znaczenie E. Toffler nadaje pojęciom „pierwszej” i „drugiej” fali. Wskaż co najmniej dwie charakterystyczne cechy każdej z tych fal.

_____________________________________________________________________________________

Zadanie 10. Drodzy uczestnicy! Oto wypowiedzi znanych krajowych i zagranicznych polityków, myślicieli i pisarzy. Wybierz jedno, które stanie się tematem Twojego eseju. Twoim zadaniem jest sformułowanie własnego stanowiska wobec problemu poruszonego w tym stwierdzeniu i uzasadnienie go argumentami, które wydają Ci się najistotniejsze.

Twoja praca zostanie oceniona przez jury na podstawie następujących kryteriów:

2.Prezentacja własnego punktu widzenia podczas dyskusji na dany temat.

3. Wewnętrzna jedność semantyczna, spójność kluczowych tez i twierdzeń, spójność osobistych sądów.

Streszczenie Artykuł ukazuje instytucjonalny charakter kryzysów wewnątrzfirmowych związanych z powikłaniami...” nabywców! Gratulujemy udanego zakupu. Zakupili Państwo nowoczesny symulator, który, mamy nadzieję,...” Krótka informacja o wynikach Państwowego Badania Jakości Kształcenia (NIQE) w szkołach podstawowych i średnich Informacje ogólne Państwowe Badanie Jakości Kształcenia (NIQE) ) prowadzony jest przez Federalną Służbę Nadzoru nad Oświatą. ..”

2017 www.site - „Bezpłatna biblioteka elektroniczna - materiały elektroniczne”

Materiały znajdujące się w tym serwisie zamieszczone są wyłącznie w celach informacyjnych, wszelkie prawa przysługują ich autorom.
Jeśli nie zgadzasz się na publikację Twojego materiału w tym serwisie, napisz do nas, usuniemy go w ciągu 1-2 dni roboczych.

Olimpiada Matematyczna Etap Miejski w roku akademickim 2013/2014. d. Zadania z instrukcjami i rozwiązaniami, klasa 7. Dwa sąsiednie boki prostokąta są w stosunku 3:7. Jakie jest pole prostokąta, jeśli jego obwód wynosi 40 cm? Odpowiedź. 84 cm2. Notatka. Z warunków zadania wynika, że dla pewnego x mniejszy bok prostokąta wynosi 3x, a większy bok 7x. Wtedy obwód wynosi 2(3 x  7 x)  40, skąd x =2. Obszar 7.1. prostokąt ma wymiary 3x  7 x  21x2  84. Petya powiedziała Vasyi: „Pomyślałem o liczbie dwucyfrowej. Jeśli przestawisz jej cyfry, otrzymasz liczbę, która po dodaniu do zamierzonej liczby da 143. Odgadnij zamierzoną liczbę, jeśli wiesz, że jest to liczba pierwsza. Jaką liczbę miał na myśli Petya? Odpowiedź. 67. Instrukcja. Niech a, b będą cyframi zamierzonej liczby. Następnie z warunków zadania 10a  b  10b  a  143, skąd a + b = 13. Biorąc pod uwagę, że a, b są liczbami, otrzymujemy sześć możliwych opcji dla zamierzonej liczby: 94, 85, 76, 67 , 58, 49. Spośród tych opcji tylko 67 jest liczbą pierwszą. 7.2. Dana jest 300-cyfrowa liczba 22…21…100…0 zawierająca 100 dwójek, 100 jedynek i 100 zer. Czy można przestawić cyfry tej liczby tak, aby otrzymać kwadrat liczby naturalnej? Odpowiedź. To jest zabronione. Notatka. Suma cyfr danej liczby wynosi 2100 + 1100 = 300. Ze znaków podzielności przez 3 i 9 wynika, że liczba ta jest podzielna przez 3, ale nie jest podzielna przez 9. Przestawiając cyfry, suma cyfr się nie zmienia, dlatego po przestawieniu nie otrzymasz dokładnego kwadratu (ponieważ liczba poddawana do kwadratu musi być podzielna przez 3, a jej kwadrat musi być podzielny przez 9). 7.3. Na tablicy zapisanych jest 10 liczb: 1, 2, ..., 10. W jednej operacji możesz usunąć z tablicy dowolne dwie liczby a, b, a w ich miejsce wpisać liczby a + 2b i b + 2a . Czy może się zdarzyć, że w wyniku kilku operacji na tablicy zostanie zapisanych 10 identycznych liczb? Odpowiedź. Nie mogę. Notatka. Załóżmy przez sprzeczność, że po określonej liczbie operacji wszystkie liczby na planszy są równe. Należy zauważyć, że dla dowolnej operacji parzystość liczb się nie zmienia (ponieważ a + 2b ma tę samą parzystość co a i podobnie b + 2a ma tę samą parzystość co b). Na początku było 5 liczb parzystych i 5 nieparzystych, więc na końcu powinno być 5 liczb parzystych i 5 nieparzystych, ale ostatecznie otrzymaliśmy wszystkie 10 liczb o tej samej parzystości. Powstała sprzeczność potwierdza sformułowanie problemu. 7.4. W klasie 7a jest 30 osób. Może każdy uczeń ma dokładnie trzy Odpowiedzi. Może. Notatka. Zobacz diagram segmentów łączących pary przyjaciół. 7,5. 3 2 14 czy można mieć w klasie przyjaciela? (wykres), na którym 15 16 1 17 30 8. klasa 18 29 8.1. Petya powiedziała Vasyi: „Pomyślałem o liczbie dwucyfrowej. Jeśli przestawisz jej cyfry, otrzymasz liczbę, która po dodaniu do zamierzonej liczby da 143. Odgadnij zamierzoną liczbę, jeśli wiesz, że jest to liczba pierwsza. Jaką liczbę miał na myśli Petya? Odpowiedź. 67. Instrukcja. Zobacz Problem 7.2. 8.2. Mając sto liczb: 1, 22, 32,..., 1002. Obliczmy 98 różnic: a1  3 2  1, a 2  4 2  2 2,..., a98  100 2  98 2. Jaka jest suma tych wszystkich różnic? Odpowiedź. 19796. Wskazanie. a1  a2  ...  a98  (3  12)  (4  22)  2 2  (52  32)  (62  42)...  (992  972)  (1002  982 ) ) . Przy obliczaniu sumy  ~ podkreślone wyrazy znoszą się z odpowiednimi wyrazami, które mają przeciwny znak. Pozostaną „niezniszczone” liczby: 1002  992  12  22  19796. Dana jest 300-cyfrowa liczba 22…21…100…0 zawierająca 100 dwójek, 100 jedynek i 100 zer. Czy można przestawić cyfry tej liczby tak, aby otrzymać kwadrat liczby naturalnej? Odpowiedź. To jest zabronione. Notatka. Zobacz Problem 7.3. 8.3. 8.4. Czy istnieje trapez równoramienny, którego linia środkowa jest równa jego przekątnej? Odpowiedź. Nie istnieje. Notatka. Niech ABCD będzie trapezem równoramiennym o bokach AB i CD. Obniżmy wysokość CM od punktu C do podstawy. Wtedy odcinek AM jest równy linii środkowej, ponieważ środkowa linia to 1 BC  AD  1 BC  BC  2MD   BC  MD  AM . 2 2 W trójkącie prostokątnym ASM przeciwprostokątna AC jest większa niż noga AM, dlatego przekątna jest zawsze większa niż linia środkowa trapezu równoramiennego. Na tablicy zapisanych jest 10 liczb: 1, 2, ..., 10. W jednej operacji możesz usunąć z tablicy dowolne dwie liczby a, b, a w ich miejsce wpisać liczby 2a + 3b i 2b + 3a . Czy może się zdarzyć, że w wyniku kilku operacji na tablicy zostanie zapisanych 10 identycznych liczb? Odpowiedź. Nie mogę. Notatka. Zauważ, że liczba 2a + 3b ma taką samą parzystość jak b, a liczba 2b + 3a ma taką samą parzystość jak a. Dlatego po każdej operacji na planszy powinno pozostać 5 liczb parzystych i 5 nieparzystych (ponieważ na początku było 5 parzystych i 5 nieparzystych). Oznacza to, że wszystkie 10 liczb nie może mieć tej samej parzystości. 8,5. 9.1. Klasa 9 Biorąc pod uwagę sto liczb: 1, 2, 3,…, 100. Obliczmy 98 różnic: a1  3 2  1 , a 2  4 2  2 2 , …, 2 2 2 a98  100 2  98 2 . Jaka jest suma tych wszystkich różnic? Odpowiedź. 19796. Wskazanie. Zobacz Problem 8.2. 9.2. Czy istnieje trapez równoramienny, którego linia środkowa jest równa jego przekątnej? Odpowiedź. Nie istnieje. Notatka. Zobacz Problem 8.4. 9.3. Biorąc pod uwagę liczby dodatnie a  b. Czy można powiedzieć, że a  4 b  b  4 a ? Odpowiedź. To jest zabronione. Notatka. Po podniesieniu do kwadratu otrzymujemy równoważną nierówność: a  b, wówczas dane a  b  4 a  4 b  (4 a  4 b) (4 a  4 b) (a  b)  4 a  4 b . Ponieważ nierówność jest równoważna: (4 a  4 b) (a  b)  1 . Dla małych a, b (na przykład dla a  10 4, b  10 8) ostatnia nierówność jest oczywiście fałszywa. 9.4. Na bokach AB, BC i AC trójkąta ABC bierze się odpowiednio punkty C1, A1 i B1 tak, że C1A1 || AC. Udowodnić, że S A1B1C1  1 S ABC . 4 Uwaga. Z warunku C1A1 || AC wynika, że trójkąty BC1 A1 i BAC są podobne. Niech x  C1 A1 / AC będzie współczynnikiem podobieństwa. Wtedy wysokość w trójkącie BC1A1 obniżonym z punktu B do C1A1 jest równa xh, gdzie h jest wysokością trójkąta BCA od punktu B. Oznacza to, że wysokość w trójkącie wynosi h  xh  (1  x) h . B1C1A1 od punktu B1 do C1A1 jest równe Zatem 1 (x  AC)  (1  x)h  x(1  x) S ABC . Maksimum funkcji kwadratowej y (x)  x(1  x) 2 1 1 osiąga się w punkcie x0  (odcięta wierzchołek paraboli) i jest równe, co implikuje wynik. 2 4 S A1 B1C1  Na tablicy zapisanych jest 10 liczb: 1, 2, …, 10. W jednej operacji możesz wymazać z tablicy dowolne dwie liczby a, b i zapisać liczby a3 + 6b i b3 + 6a na ich miejscu. Czy mogłoby się zdarzyć, że w wyniku kilku operacji a) na tablicy zostanie zapisanych wszystkie 10 identycznych liczb? b) co najmniej trzy identyczne liczby? Odpowiedź. a) nie mogę, b) nie mogę. Notatka. a) Wynik punktu a) (taki sam jak w zadaniach 7.4 i 8.5) wynika z faktu, że po każdej operacji otrzymujemy liczby o tej samej parzystości. b) Zauważmy mocniejszy fakt, a mianowicie, że po każdej operacji liczby dają takie same reszty z dzielenia przez 6 jak przed operacją. Rzeczywiście, a3 + 6b  a  (a  1)a(a  1)  6b , a iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych (a  1)a(a  1) jest podzielny zarówno przez 3, jak i 2, t . mi. dzieli się przez 6. Oznacza to, że w wyniku wszystkich operacji należy otrzymać taki sam zbiór reszt (przy dzieleniu przez 6), jak na początku. Ale na początku na każdą z reszt 0, 1, 2, 3, 4, 5 przypadały nie więcej niż dwie liczby (a dokładniej po jednej liczbie z resztą 0 i 5 - są to liczby 6 i 5 -, i dwie liczby, każda z pozostałymi resztami). Zatem na końcu nie mogły zostać trzy liczby z takimi samymi resztami. 9,5. 10. klasa 10.1. Biorąc pod uwagę liczby dodatnie a  b. Czy można powiedzieć, że Odpowiedź. To jest zabronione. Notatka. Zobacz zadanie 9.3. 10.2. a 4 b  b 4 a ? Na tablicy zapisanych jest 10 liczb: 12, 22, …, 102. W jednej operacji możesz usunąć z tablicy dowolne dwie liczby a, b, a w ich miejsce wpisać liczby ab i 2 ab. Czy jest możliwe, że w wyniku kilku operacji wszystkie liczby zapisane na tablicy będą większe niż 40? Odpowiedź. Nie mogę. Notatka. Ponieważ ab  ab dla dodatnich a, b, to w wyniku 2 każdej operacji suma liczb na planszy nie może wzrosnąć. Początkowo suma liczb wynosiła 1  2 2  ...  10 2  10 11  21 n (n  1)(2n  1)  385 (tutaj skorzystaliśmy ze wzoru na sumę 6 6 najpierw n kwadratów, ale w tym zadaniu możemy tę sumę obliczyć bezpośrednio), a na koniec suma liczb będzie większa niż 4010=400, jeśli założymy odwrotnie. Powstała sprzeczność pokazuje, że założenie to jest błędne. 10.3. Znajdź wszystkie wartości parametru a takie, że równanie x 2  4ax  5a  0 ma dwa pierwiastki rzeczywiste, których suma kwadratów wynosi 6,3 a   . Notatka. Z warunków zadania wynika, że warunek 8 2 D  4(4a  5a)  0 i równość x12  x22  (x1  x2) 2  2 x1 x2  (4a) 2  1`0a  6 (tutaj 5  11 wykorzystaliśmy twierdzenie Viety). Rozwiązując ostatnie równanie dla a, otrzymujemy a  . 16 3 Pierwiastek a 2   tego równania spełnia nierówność 4a 2  5a  0, natomiast pierwiastek a1=1 nie. 8 Odpowiedź. 10.4. W trójkąt ABC wpisano okrąg o środku O. Punkty M i N są punktami styczności okręgu wpisanego o bokach AB i AC. Znajdź A, jeśli wiadomo, że AO = 2 MN. Odpowiedź. 30 lub 150. Notatka. Niech K będzie punktem przecięcia AO i MN. Według własności incircle MK  KN, AK  MN i AMO  90. Oznaczmy   MAO. Następnie MK  AM sin   (AO  cos )  sin  , i pod warunkiem AO cos  sin   1 1 AO  sin 2   2  30 lub 2 150 (tj. e  15 lub   75). 4 2 Udowodnij, że równanie y 2  x 4  2013x5 ma nieskończoną liczbę rozwiązań w liczbach naturalnych x, y. Notatka. Zapiszmy równanie w postaci y 2  x 4 (2013x  1) . Rozwiązywalność tego równania w liczbach naturalnych jest równoważna temu, że nawias 2013x + 1 jest dokładnym kwadratem: 2013 x  1  t 2  (t  1) (t  1)  2013 x . Dla t wystarczy przyjąć liczby w postaci t  2013k  1, gdzie k jest dowolną liczbą naturalną. Następnie 2013 tys. (2013 tys.  2)  2013x  x  tys. (2013 tys.  2) . Stąd y  x 2t  k 2 (2013 tys.  2)2 (2013 tys.  1) . Ponieważ k jest dowolną liczbą naturalną, twierdzenie zostaje udowodnione. 10,5. 11 klasa 11.1. Rozwiąż równanie cos 2 (2 x)  sin 2 2 x  1. Odpowiedź. x = 0. Uwaga. Lewa strona równania nie jest większa od jedności i może być równa jeden tylko wtedy, gdy spełnione są jednocześnie dwie równości: cos 2 (2 x)  1 i sin 2 x  0. Stąd 2 x   n i 2 x   k , k, n  Z . Następnie istnieje kilka liczb całkowitych n, k. Ponieważ n k , tj. 2n  2k gdy 2 2 2 jest liczbą niewymierną, to z ostatniej równości wynika, że k musi być równe zero. Oznacza to k = n = 0 i x = 0. 11.2. Znajdź wszystkie wartości parametru a takie, że równanie x 2  4ax  5a  0 ma dwa pierwiastki rzeczywiste, których suma kwadratów wynosi 6. Odpowiedź. a = 2. Uwaga. Zobacz Problem 10.3. 11.3. Biorąc pod uwagę funkcję f (x)  x 2  2 x . Znajdź dziedzinę funkcji f(f(x)). Odpowiedź. x  (, 5  1]  (0)  (2)  )