Znajdowanie macierzy odwrotnej.
W tym artykule zrozumiemy pojęcie macierzy odwrotnej, jej właściwości i metody znajdowania. Zatrzymajmy się szczegółowo nad rozwiązywaniem przykładów, w których konieczne jest zbudowanie macierzy odwrotnej dla danego.
Nawigacja strony.
Macierz odwrotna - definicja.
Znajdowanie macierzy odwrotnej za pomocą macierzy z uzupełnień algebraicznych.
Własności macierzy odwrotnej.
Wyznaczanie macierzy odwrotnej metodą Gaussa-Jordana.
Znajdowanie elementów macierzy odwrotnej poprzez rozwiązanie odpowiednich układów liniowych równań algebraicznych.
Macierz odwrotna - definicja.
Pojęcie macierzy odwrotnej wprowadza się tylko dla macierzy kwadratowych, których wyznacznik jest różny od zera, czyli dla nieosobliwych macierzy kwadratowych.
Definicja.
Matrycanazywana odwrotnością macierzy, którego wyznacznik jest różny od zera, jeśli równości są prawdziwe 
, Gdzie mi– macierz porządku jednostkowego N NA N.
Znajdowanie macierzy odwrotnej za pomocą macierzy z uzupełnień algebraicznych.
Jak znaleźć macierz odwrotną dla danej?
Po pierwsze potrzebujemy koncepcji transponowana macierz, macierz moll i dopełnienie algebraiczne elementu macierzy.
Definicja.
Drobnykth zamówienie matryce A zamówienie M NA N jest wyznacznikiem macierzy rzędu k NA k, który otrzymuje się z elementów macierzy A znajduje się w wybranym k linie i k kolumny. ( k nie przekracza najmniejszej liczby M Lub N).
Drobny (n-1)-ty porządek, który składa się z elementów wszystkich wierszy z wyjątkiem i-t i wszystkie kolumny z wyjątkiem j, macierz kwadratowa A zamówienie N NA N oznaczmy to jako .
Innymi słowy, moll jest otrzymywany z macierzy kwadratowej A zamówienie N NA N poprzez przekreślenie elementów i-t linie i j kolumna.
Na przykład napiszmy drobne 2 porządek uzyskany z macierzy 
wybierając elementy drugiego, trzeciego wiersza i pierwszej, trzeciej kolumny 
. Pokażemy także moll, który otrzymujemy z macierzy 
poprzez skreślenie drugiej linii i trzeciej kolumny 
. Zilustrujmy konstrukcję tych nieletnich: i .
Definicja.
Dopełnienie algebraiczne element macierzy kwadratowej nazywany jest molowym (n-1)-ty porządek uzyskany z macierzy A, skreślając jego elementy i-t linie i j kolumna pomnożona przez .
Dopełnienie algebraiczne elementu oznacza się jako . Zatem, 
.
Na przykład dla matrixa 
dopełnieniem algebraicznym elementu jest .
Po drugie, będziemy potrzebować dwóch właściwości wyznacznika, które omówiliśmy w tym rozdziale obliczanie wyznacznika macierzy:
Na podstawie tych właściwości wyznacznika, definicja operacje mnożenia macierzy przez liczbę a koncepcja macierzy odwrotnej jest prawdziwa: 
, gdzie jest macierzą transponowaną, której elementy są dopełnieniami algebraicznymi.
Matryca 
jest rzeczywiście odwrotnością macierzy A, gdyż równości są spełnione 
. Pokażmy to 
Komponujmy algorytm znajdowania macierzy odwrotnej stosując równość 
.
Przyjrzyjmy się algorytmowi znajdowania macierzy odwrotnej na przykładzie.
Przykład.
Biorąc pod uwagę macierz 
. Znajdź macierz odwrotną.
Rozwiązanie.
Obliczmy wyznacznik macierzy A, rozkładając go na elementy trzeciej kolumny: 
Wyznacznik jest różny od zera, więc macierz A odwracalny.
Znajdźmy macierz dodatków algebraicznych: 
Dlatego 
Przetransponujmy macierz z dodawania algebraicznego: 
Teraz znajdujemy macierz odwrotną jako 
:
Sprawdźmy wynik: 
Równości 
są spełnione, zatem macierz odwrotna została znaleziona poprawnie.
Własności macierzy odwrotnej.
Pojęcie macierzy odwrotnej, równość 
, definicje operacji na macierzach i własności wyznacznika macierzy pozwalają na uzasadnienie następującego własności macierzy odwrotnej:
Znajdowanie elementów macierzy odwrotnej poprzez rozwiązanie odpowiednich układów liniowych równań algebraicznych.
Rozważmy inny sposób znalezienia macierzy odwrotnej dla macierzy kwadratowej A zamówienie N NA N.
Metoda ta opiera się na rozwiązaniu N układy liniowych niejednorodnych równań algebraicznych z N nieznany. Nieznane zmienne w tych układach równań są elementami macierzy odwrotnej.
Pomysł jest bardzo prosty. Oznaczmy macierz odwrotną jako X, to jest, 
. Ponieważ z definicji macierzy odwrotnej, to 
Porównując odpowiednie elementy według kolumn, otrzymujemy N układy równań liniowych 
Rozwiązujemy je w dowolny sposób i ze znalezionych wartości tworzymy macierz odwrotną.
Spójrzmy na tę metodę na przykładzie.
Przykład.
Biorąc pod uwagę macierz 
. Znajdź macierz odwrotną.
Rozwiązanie.
Zaakceptujmy 
. Równość daje nam trzy układy liniowych niejednorodnych równań algebraicznych: 
Nie będziemy opisywać rozwiązań dla tych systemów, jeśli to konieczne, patrz sekcja rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych.
Z pierwszego układu równań mamy, z drugiego - , z trzeciego - . Dlatego wymagana macierz odwrotna ma postać 
. Zalecamy sprawdzenie, czy wynik jest prawidłowy.
Podsumować.
Przyjrzeliśmy się pojęciu macierzy odwrotnej, jej właściwościom i trzem metodom jej znajdowania.
Przykład rozwiązań wykorzystujących metodę macierzy odwrotnej
Ćwiczenie 1. Rozwiąż SLAE metodą odwrotnej macierzy. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 = 4
Początek formularza
Koniec formy
Rozwiązanie. Zapiszmy macierz w postaci: Wektor B: B T = (1,2,3,4) Wyznacznik główny Minor dla (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) = -3 Drobne dla (2,1): = 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 Drobne dla (3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 Minor dla (4,1): = 3 (3 2- 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 Wyznacznik małego ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3
Transponowana macierz Dodawanie algebraiczne ∆ 1,1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1,2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1,3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4 ) = 3 ∆ 1,4 = -3 (3 2-2 6)-3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2,1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2,2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2,3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2,4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5) +1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3,1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3,2 = -2 (7 1-2 4)-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3,3 = 2 (5 1 -2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4 -5 4) = 1 ∆ 3,4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4,1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4,2 = 2 ( 7 3-6 4)-3 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -3 ∆ 4,3 = -2 (5 3-3 4)-3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4,4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3 6-3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 Macierz odwrotna Wektor wyników X X = A -1 ∙ B 
X T = (2,-1,-0,33,1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0,33 x 4 = 1
Zobacz też rozwiązania SLAE metodą odwrotnej macierzy online. Aby to zrobić, wpisz swoje dane i otrzymaj rozwiązanie ze szczegółowymi komentarzami.
Zadanie 2. Zapisz układ równań w postaci macierzowej i rozwiąż go korzystając z macierzy odwrotnej. Sprawdź powstałe rozwiązanie. Rozwiązanie:xml:xls
Przykład 2. Zapisz układ równań w postaci macierzowej i rozwiąż korzystając z macierzy odwrotnej. Rozwiązanie:xml:xls
Przykład. Dany jest układ trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi. Wymagane: 1) znaleźć rozwiązanie za pomocą Formuły Cramera; 2) zapisać układ w postaci macierzowej i rozwiązać go za pomocą rachunku macierzowego. Wytyczne. Po rozwiązaniu metodą Cramera znajdź przycisk „Rozwiązywanie metodą odwrotnej macierzy dla danych źródłowych”. Otrzymasz odpowiednie rozwiązanie. Dzięki temu nie będziesz musiał ponownie wypełniać danych. Rozwiązanie. Oznaczmy przez A macierz współczynników dla niewiadomych; X - macierz-kolumna niewiadomych; B - macierz-kolumna wolnych prętów:
|
|
Wektor B: B T =(4,-3,-3) Uwzględniając te oznaczenia, ten układ równań przyjmuje następującą postać macierzową: A*X = B. Jeżeli macierz A nie jest osobliwa (jej wyznacznik jest niezerowy , to ma macierz odwrotną A -1. Mnożąc obie strony równania przez A -1, otrzymujemy: A -1 *A*X = A -1 *B, A -1 *A=E. zapis macierzowy rozwiązania układu równań liniowych. Aby znaleźć rozwiązanie układu równań, należy obliczyć macierz odwrotną A -1. Układ będzie miał rozwiązanie, jeśli wyznacznik macierzy A będzie różny od zera. Znajdźmy główny wyznacznik. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 Zatem wyznacznik 14 ≠ 0, więc mamy kontynuować rozwiązanie. Aby to zrobić, znajdujemy macierz odwrotną poprzez dodawanie algebraiczne. Miejmy nieosobliwą macierz A:
|
|
Obliczamy uzupełnienia algebraiczne.
|
|
∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1
|
|
∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3
|
|
∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3
|
|
∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5
|
|
∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1
|
|
∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1
|
|
∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7
|
|
∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7
|
|
|
|
|
|
X T =(-1,1,2) x 1 = -14 / 14 =-1 x 2 = 14 / 14 =1 x 3 = 28 / 14 =2 Badanie. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 doktor:xml:xls Odpowiedź: -1,1,2.
W pierwszej części przyjrzeliśmy się, jak znaleźć macierz odwrotną za pomocą dodawania algebraicznego. Tutaj opiszemy inną metodę znajdowania macierzy odwrotnych: wykorzystanie transformacji Gaussa i Gaussa-Jordana. Ta metoda znajdowania macierzy odwrotnej nazywana jest często metodą przekształceń elementarnych.
Elementarna metoda transformacji
Aby zastosować tę metodę, daną macierz $A$ i macierz jednostkową $E$ zapisuje się w jedną macierz, tj. utwórz macierz w postaci $(A|E)$ (ta macierz nazywana jest także rozszerzoną). Następnie za pomocą elementarnych przekształceń wykonanych wierszami rozszerzonej macierzy zapewnia się, że macierz na lewo od prostej staje się identyczna, a rozszerzona macierz przyjmuje postać $\left(E| A^(- 1) \prawo)$. Do elementarnych przekształceń w tej sytuacji zaliczają się następujące działania:
- Wymiana dwóch linii.
- Mnożenie wszystkich elementów ciągu przez liczbę różną od zera.
- Dodanie do elementów jednego rzędu odpowiednich elementów innego rzędu, pomnożonych przez dowolny współczynnik.
Te elementarne przekształcenia można zastosować na różne sposoby. Zwykle wybiera się metodę Gaussa lub metodę Gaussa-Jordana. Generalnie metody Gaussa i Gaussa-Jordana służą do rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych, a nie do znajdowania macierzy odwrotnych. Wyrażenie „wykorzystanie metody Gaussa do znalezienia macierzy odwrotnej” należy tutaj rozumieć jako „wykorzystanie operacji właściwych metodzie Gaussa do znalezienia macierzy odwrotnej”.
Numeracja przykładów kontynuowana jest od części pierwszej. W przykładach omówiono zastosowanie metody Gaussa do znajdowania macierzy odwrotnej, a w przykładach omówiono zastosowanie metody Gaussa-Jordana. Należy zauważyć, że jeśli podczas rozwiązywania wszystkie elementy określonego wiersza lub kolumny macierzy znajdujące się przed linią zostaną wyzerowane, to macierz odwrotna nie istnieje.
Przykład nr 5
Znajdź macierz $A^(-1)$ jeśli $A=\left(\begin(array) (ccc) 7 i 4 i 6 \\ 2 i 5 i -4 \\ 1 i -1 i 3 \end( tablica) \right)$.
W tym przykładzie macierz odwrotna zostanie znaleziona metodą Gaussa. Rozszerzona macierz, która ogólnie ma postać $(A|E)$, w tym przykładzie przyjmie następującą postać: $ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 7 & 4 & 6 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & -4 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 \end(array) \right)$.
Cel: za pomocą przekształceń elementarnych doprowadzić rozszerzoną macierz do postaci $\left(E|A^(-1) \right)$. Zastosujmy te same operacje, które stosuje się przy rozwiązywaniu układów równań liniowych metodą Gaussa. Aby zastosować metodę Gaussa, wygodnie jest, gdy pierwszym elementem pierwszego wiersza rozszerzonej macierzy jest jeden. Aby to osiągnąć, zamieniamy pierwszy i trzeci wiersz rozwiniętej macierzy, co wygląda następująco: $ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 5 & - 4 & 0 & 1 & 0 \\ 7 & 4 & 6 & 1 & 0 & 0 \end(array) \right)$.
Przejdźmy teraz do rozwiązania. Metoda Gaussa dzieli się na dwa etapy: do przodu i do tyłu (szczegółowy opis tej metody rozwiązywania układów równań podano w przykładach odpowiedniego tematu). Te same dwa kroki zostaną zastosowane w procesie znajdowania macierzy odwrotnej.
Prosty udar
Pierwszy krok
Za pomocą pierwszej linii resetujemy elementy pierwszej kolumny znajdujące się pod pierwszą linią:
Pozwolę sobie na mały komentarz na temat wykonanej akcji. Zapis $II-2\cdot I$ oznacza, że od elementów drugiego rzędu odjęto odpowiednie elementy pierwszego rzędu, pomnożone wcześniej przez dwa. Działanie to można zapisać osobno w następujący sposób:
Akcja $III-7\cdot I$ wykonywana jest dokładnie w ten sam sposób. Jeśli występują trudności w wykonaniu tych operacji, można je wykonać osobno (podobnie jak pokazana powyżej akcja $II-2\cdot I$), a następnie wynik można wpisać do rozszerzonej macierzy.
Drugi krok
Za pomocą drugiej linii resetujemy element drugiej kolumny znajdujący się pod drugą linią:
Podziel trzecią linię przez 5:
Bezpośredni ruch dobiegł końca. Wszystkie elementy znajdujące się pod główną przekątną macierzy aż do linii są zerowane.
Skok odwrotny
Pierwszy krok
Za pomocą trzeciej linii resetujemy elementy trzeciej kolumny znajdujące się nad trzecią linią:
Zanim przejdziemy do następnego kroku, podzielmy drugą linię przez 7 $:
Drugi krok
Za pomocą drugiej linii resetujemy elementy drugiej kolumny znajdujące się nad drugą linią:
Transformacje są zakończone, macierz odwrotna znajduje się metodą Gaussa: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) -11/5 & 18/5 & 46/5 \\ 2 i -3 i -8 \ \7/5 i -11/5 i -27/5 \end(tablica) \right)$. W razie potrzeby kontrolę można przeprowadzić w taki sam sposób, jak w poprzednich przykładach. Jeśli pominiesz wszystkie wyjaśnienia, rozwiązanie będzie wyglądać następująco:
Odpowiedź: $A^(-1)=\left(\begin(tablica) (ccc) -11/5 i 18/5 i 46/5 \\ 2 i -3 i -8 \\ 7/5 i -11/ 5 i -27/5 \end(array) \right)$.
Przykład nr 6
Znajdź macierz $A^(-1)$ jeśli $A=\left(\begin(array) (cccc) -5 & 4 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 7 & -4 i -3 \\ 1 i 4 i 0 i 6 \end(tablica) \right)$.
Aby znaleźć macierz odwrotną w tym przykładzie, użyjemy tych samych operacji, które są stosowane przy rozwiązywaniu układów równań liniowych metodą Gaussa. Podano szczegółowe wyjaśnienia, ale tutaj ograniczymy się do krótkich komentarzy. Zapiszmy rozszerzoną macierz: $\left(\begin(array) (cccc|cccc) -5 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & -2 & 1 &0 &1&0 &0 \ \ 0 & 7 & -4 & -3 &0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 4 & 0 & 6 &0 &0 & 0 & 1 \end(array) \right)$. Zamieńmy pierwszy i czwarty wiersz tej macierzy: $\left(\begin(array) (cccc|cccc) 1 & 4 & 0 & 6 &0 &0 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & -2 & 1 &0 &1&0 &0 \ \0 & 7 & -4 & -3 &0 & 0 & 1 & 0\\ -5 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$.
Prosty udar
Konwersje do przodu zostały zakończone. Wszystkie elementy znajdujące się pod główną przekątną macierzy po lewej stronie linii są zerowane.
Skok odwrotny
Macierz odwrotną wyznaczono metodą Gaussa, $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) -13/14 & -75/8 & 31/8 & 7/2 \\ -19 /8 i - 117/16 i 49/16 i 11/4 \\ -23/4 i -141/8 i 57/8 i 13/2 \\ 17/8 i 103/6 i -43/16 i - 9/4 \ koniec(tablica)\prawo)$. W razie potrzeby kontrolę przeprowadzamy analogicznie jak w przykładach nr 2 i nr 3.
Odpowiedź: $A^(-1)=\left(\begin(tablica) (cccc) -13/14 i -75/8 i 31/8 i 7/2 \\ -19/8 i -117/16 i 49 /16 i 11/4 \\ -23/4 i -141/8 i 57/8 i 13/2 \\ 17/8 i 103/6 i -43/16 i -9/4 \end(tablica) \ prawda) $.
Przykład nr 7
Znajdź macierz $A^(-1)$ jeśli $A=\left(\begin(array) (ccc) 2 & 3 & 4 \\ 7 & 1 & 9 \\ -4 & 5 & -2 \end( tablica) \right)$.
Aby znaleźć macierz odwrotną, stosujemy działania charakterystyczne dla metody Gaussa-Jordana. Różnica w porównaniu z metodą Gaussa omówioną w poprzednich przykładach polega na tym, że rozwiązanie przeprowadza się w jednym etapie. Przypomnę, że metoda Gaussa dzieli się na 2 etapy: ruch do przodu („doprowadzamy” zera pod główną przekątną macierzy do prostej) i ruch odwrotny (resetujemy elementy powyżej głównej przekątnej macierzy do linii). Aby obliczyć macierz odwrotną metodą Gaussa-Jordana, nie są wymagane dwa etapy rozwiązania. Najpierw utwórzmy rozszerzoną macierz: $(A|E)$:
$$ (A|E)=\left(\begin(tablica) (ccc|ccc) 2 i 3 i 4 i 1 i 0 i 0\\ 7 i 1 i 9 i 0 i 1 i 0\\ -4 & 5 i -2 &0 i 0 i 1 \end(array) \right) $$
Pierwszy krok
Zresetujmy wszystkie elementy pierwszej kolumny oprócz jednego. W pierwszej kolumnie wszystkie elementy są niezerowe, więc możemy wybrać dowolny element. Weźmy na przykład $(-4)$:
Wybrany element $(-4)$ znajduje się w trzeciej linii, dlatego używamy trzeciej linii do resetowania wybranych elementów pierwszej kolumny:
Niech pierwszy element trzeciego wiersza będzie równy jeden. Aby to zrobić, podziel elementy trzeciego wiersza rozszerzonej macierzy przez $(-4)$:
Przejdźmy teraz do zerowania odpowiednich elementów pierwszej kolumny:
W dalszych krokach nie będzie już możliwości skorzystania z trzeciej linii, gdyż wykorzystaliśmy ją już w pierwszym kroku.
Drugi krok
Wybierzmy pewien niezerowy element drugiej kolumny i zresetujmy wszystkie pozostałe elementy drugiej kolumny do zera. Możemy wybrać jeden z dwóch elementów: $\frac(11)(2)$ lub $\frac(39)(4)$. Nie można wybrać elementu $\left(-\frac(5)(4) \right)$, ponieważ znajduje się on w trzeciej linii, z której korzystaliśmy w poprzednim kroku. Wybierzmy element $\frac(11)(2)$, który znajduje się w pierwszej linii. Upewnijmy się, że zamiast $\frac(11)(2)$ w pierwszej linii znajduje się jeden:
Teraz zresetujmy odpowiednie elementy drugiej kolumny:
Pierwsza linijka nie może być wykorzystana w dalszych dyskusjach.
Trzeci krok
Musimy zresetować wszystkie elementy trzeciej kolumny z wyjątkiem jednego. Musimy wybrać jakiś niezerowy element trzeciej kolumny. Nie możemy jednak wziąć $\frac(6)(11)$ ani $\frac(13)(11)$, ponieważ te elementy znajdują się w pierwszej i trzeciej linii, z których korzystaliśmy wcześniej. Wybór jest niewielki: pozostaje tylko element $\frac(2)(11)$, który znajduje się w drugiej linii. Podzielmy wszystkie elementy drugiej linii przez $\frac(2)(11)$:
Teraz zresetujmy odpowiednie elementy trzeciej kolumny:
Zakończono transformacje metodą Gaussa-Jordana. Pozostaje tylko upewnić się, że macierz stanie się jednością aż do linii. Aby to zrobić, musisz zmienić kolejność linii. Najpierw zamieńmy pierwszą i trzecią linię:
$$ \left(\begin(tablica) (ccc|ccc) 1 i 0 i 0 i 47/4 i -13/2 i -23/4 \\ 0 i 0 i 1 i -39/4 i 11/2 & 19/4 \\ 0 i 1 i 0 i 11/2 & -3 i -5/2 \end(tablica) \right) $$
Zamieńmy teraz drugą i trzecią linię:
$$ \left(\begin(tablica) (ccc|ccc) 1 & 0 & 0 & 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 0 & 1 & 0 & 11/2 & -3 & - 5/2 \\ 0 i 0 i 1 i -39/4 i 11/2 i 19/4 \end(tablica) \right) $$
Zatem $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 47/4 i -13/2 i -23/4 \\ 11/2 i -3 i -5/2 \\ - 39/4 i 11/2 i 19/4 \end(array) \right)$. Naturalnie rozwiązanie można przeprowadzić w inny sposób, wybierając elementy znajdujące się na głównej przekątnej. Zwykle tak właśnie robią, ponieważ w tym przypadku na końcu rozwiązania nie ma potrzeby zamieniania linii. Poprzednie rozwiązanie podałem tylko w jednym celu: pokazać, że wybór linii na każdym kroku nie jest ważny. Jeśli na każdym etapie wybierzesz elementy ukośne, rozwiązanie będzie wyglądać następująco.
Macierz $A^(-1)$ nazywa się odwrotnością macierzy kwadratowej $A$, jeżeli spełniony jest warunek $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, gdzie $E $ jest macierzą jednostkową, której rząd jest równy rządowi macierzy $A$.
Macierz nieosobliwa to macierz, której wyznacznik nie jest równy zero. Odpowiednio macierz osobliwa to taka, której wyznacznik jest równy zero.
Macierz odwrotna $A^(-1)$ istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy macierz $A$ nie jest osobliwa. Jeśli istnieje macierz odwrotna $A^(-1)$, to jest ona unikalna.
Istnieje kilka sposobów znajdowania odwrotności macierzy, a my przyjrzymy się dwóm z nich. Na tej stronie omówiona zostanie metoda macierzy sprzężonych, która jest uważana za standard na większości kursów z matematyki wyższej. W drugiej części omówiono drugą metodę wyznaczania macierzy odwrotnej (metodę przekształceń elementarnych), która polega na wykorzystaniu metody Gaussa lub metody Gaussa-Jordana.
Metoda macierzy sprzężonych
Niech będzie podana macierz $A_(n\times n)$. Aby znaleźć macierz odwrotną $A^(-1)$, należy wykonać trzy kroki:
- Znajdź wyznacznik macierzy $A$ i upewnij się, że $\Delta A\neq 0$, tj. że macierz A nie jest osobliwa.
- Utwórz dopełnienia algebraiczne $A_(ij)$ każdego elementu macierzy $A$ i zapisz macierz $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ ze znalezionej algebraicznej uzupełnia.
- Zapisz macierz odwrotną uwzględniając wzór $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.
Macierz $(A^(*))^T$ nazywa się często sprzężoną (odwrotną, sprzymierzoną) z macierzą $A$.
Jeśli rozwiązanie odbywa się ręcznie, to pierwsza metoda jest dobra tylko dla macierzy stosunkowo małych rzędów: druga (), trzecia (), czwarta (). Aby znaleźć odwrotność macierzy wyższego rzędu, stosuje się inne metody. Na przykład metoda Gaussa, o której mowa w drugiej części.
Przykład nr 1
Znajdź odwrotność macierzy $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.
Ponieważ wszystkie elementy czwartej kolumny są równe zeru, to $\Delta A=0$ (czyli macierz $A$ jest liczbą pojedynczą). Ponieważ $\Delta A=0$, nie ma macierzy odwrotnej do macierzy $A$.
Przykład nr 2
Znajdź odwrotność macierzy $A=\left(\begin(array) (cc) -5 i 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.
Stosujemy metodę macierzy sprzężonych. Najpierw znajdźmy wyznacznik danej macierzy $A$:
$$ \Delta A=\lewo| \begin(tablica) (cc) -5 i 7\\ 9 i 8 \end(tablica)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$
Ponieważ $\Delta A \neq 0$, to istnieje macierz odwrotna, dlatego będziemy kontynuować rozwiązanie. Znajdowanie uzupełnień algebraicznych
\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\\end(wyrównane)
Tworzymy macierz dodawania algebraicznego: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.
Transponujemy otrzymaną macierz: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (the wynikową macierz często nazywa się macierzą przylegającą lub pokrewną do macierzy $A$). Korzystając ze wzoru $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ mamy:
$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(tablica) (cc) 8 i -7\\ -9 i -5 \end(tablica)\right) =\left(\begin(tablica) (cc) -8/103 i 7/103\\ 9/103 i 5/103 \end(array)\right) $$
Znaleziono więc macierz odwrotną: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 i 7/103\\ 9/103 i 5/103 \end(array )\po prawej) $. Aby sprawdzić prawdziwość wyniku, wystarczy sprawdzić prawdziwość jednej z równości: $A^(-1)\cdot A=E$ lub $A\cdot A^(-1)=E$. Sprawdźmy równość $A^(-1)\cdot A=E$. Aby mniej pracować z ułamkami, podstawimy macierz $A^(-1)$ nie w postaci $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$ i w postaci $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(tablica )\right)$:
Odpowiedź: $A^(-1)=\left(\begin(tablica) (cc) -8/103 i 7/103\\ 9/103 i 5/103 \end(array)\right)$.
Przykład nr 3
Znajdź macierz odwrotną macierzy $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$ .
Zacznijmy od obliczenia wyznacznika macierzy $A$. Zatem wyznacznikiem macierzy $A$ jest:
$$ \Delta A=\lewo| \begin(tablica) (ccc) 1 i 7 i 3 \\ -4 i 9 i 4 \\ 0 i 3 i 2\end(tablica) \right| = 18-36+56-12=26. $$
Ponieważ $\Delta A\neq 0$, to istnieje macierz odwrotna, dlatego będziemy kontynuować rozwiązanie. Znajdujemy uzupełnienia algebraiczne każdego elementu danej macierzy:
Tworzymy macierz dodatków algebraicznych i transponujemy ją:
$$ A^*=\left(\begin(tablica) (ccc) 6 i 8 i -12 \\ -5 i 2 i -3 \\ 1 i -16 i 37\end(tablica) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(tablica) (ccc) 6 i -5 i 1 \\ 8 i 2 i -16 \\ -12 i -3 i 37\end(tablica) \right) $$
Korzystając ze wzoru $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ otrzymujemy:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(tablica) (ccc) 6 i -5 i 1 \\ 8 i 2 i -16 \\ -12 i - 3 i 37\end(tablica) \right)= \left(\begin(tablica) (ccc) 3/13 i -5/26 i 1/26 \\ 4/13 i 1/13 i -8/13 \ \ -6/13 i -3/26 i 37/26 \end(tablica) \right) $$
Zatem $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 i -5/26 i 1/26 \\ 4/13 i 1/13 i -8/13 \\ - 6 /13 i -3/26 i 37/26 \end(array) \right)$. Aby sprawdzić prawdziwość wyniku, wystarczy sprawdzić prawdziwość jednej z równości: $A^(-1)\cdot A=E$ lub $A\cdot A^(-1)=E$. Sprawdźmy równość $A\cdot A^(-1)=E$. Aby mniej pracować z ułamkami, podstawimy macierz $A^(-1)$ nie w postaci $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 i 1/13 i -8/13 \\ -6/13 i -3/26 i 37/26 \end(array) \right)$ oraz w postaci $\frac(1)(26 )\cdot \left( \begin(tablica) (ccc) 6 i -5 i 1 \\ 8 i 2 i -16 \\ -12 i -3 i 37\end(tablica) \right)$:
Sprawdzenie wypadło pomyślnie, macierz odwrotna $A^(-1)$ została znaleziona poprawnie.
Odpowiedź: $A^(-1)=\left(\begin(tablica) (ccc) 3/13 i -5/26 i 1/26 \\ 4/13 i 1/13 i -8/13 \\ -6 /13 i -3/26 i 37/26 \end(array) \right)$.
Przykład nr 4
Znajdź macierz odwrotną macierzy $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 i -3 \end(array) \right)$.
W przypadku macierzy czwartego rzędu znalezienie macierzy odwrotnej za pomocą dodawania algebraicznego jest dość trudne. Jednakże takie przykłady zdarzają się w dokumentach testowych.
Aby znaleźć odwrotność macierzy, należy najpierw obliczyć wyznacznik macierzy $A$. Najlepszym sposobem na osiągnięcie tego w tej sytuacji jest rozłożenie wyznacznika wzdłuż wiersza (kolumny). Wybieramy dowolny wiersz lub kolumnę i znajdujemy uzupełnienia algebraiczne każdego elementu wybranego wiersza lub kolumny.
Metody znajdowania macierzy odwrotnej, . Rozważmy macierz kwadratową
Oznaczmy Δ =det A.
Nazywa się macierz kwadratową A niezdegenerowany, Lub nie specjalne, jeśli jego wyznacznik jest różny od zera, oraz zdegenerowany, Lub specjalny, JeśliΔ = 0.
Macierz kwadratowa B dotyczy macierzy kwadratowej A tego samego rzędu, jeśli jej iloczynem jest A B = B A = E, gdzie E jest macierzą jednostkową tego samego rzędu co macierze A i B.
Twierdzenie . Aby macierz A miała macierz odwrotną, konieczne i wystarczające jest, aby jej wyznacznik był różny od zera.
Odwrotna macierz macierzy A, oznaczona jako A- 1, więc B = A - 1 i oblicza się według wzoru
, (1)
gdzie A i j są dopełnieniami algebraicznymi elementów a i j macierzy A..
Obliczanie A -1 ze wzoru (1) dla macierzy wyższego rzędu jest bardzo pracochłonne, dlatego w praktyce wygodnie jest znaleźć A -1 metodą przekształceń elementarnych (ET). Dowolną nieosobliwą macierz A można sprowadzić do macierzy jednostkowej E, stosując do macierzy jednostkowej tylko kolumny (lub tylko wiersze). Jeśli transformacje doskonałe na macierzy A zostaną zastosowane w tej samej kolejności do macierzy jednostkowej E, wynikiem będzie macierz odwrotna. Wygodnie jest wykonać EP jednocześnie na macierzach A i E, zapisując obie macierze obok siebie w linii. Jeszcze raz zauważmy, że szukając postaci kanonicznej macierzy, aby ją znaleźć, można skorzystać z przekształceń wierszy i kolumn. Jeśli chcesz znaleźć odwrotność macierzy, w procesie transformacji powinieneś używać tylko wierszy lub tylko kolumn.
Przykład 2.10. Dla matrixa 
znajdź A-1.
Rozwiązanie.Najpierw znajdujemy wyznacznik macierzy A 
Oznacza to, że istnieje macierz odwrotna i możemy ją znaleźć korzystając ze wzoru: 
, gdzie A i j (i,j=1,2,3) są algebraicznymi dodatkami elementów a ij macierzy pierwotnej. 
Gdzie 
.
Przykład 2.11. Korzystając z metody przekształceń elementarnych, znajdź A -1 dla macierzy: A = .
Rozwiązanie.Do pierwotnej macierzy po prawej stronie przypisujemy macierz tożsamości tego samego rzędu: 
. Stosując elementarne przekształcenia kolumn, sprowadzimy lewą „połówkę” do tożsamości, wykonując jednocześnie dokładnie te same przekształcenia na prawej macierzy.
Aby to zrobić, zamień pierwszą i drugą kolumnę: 
~
. Do trzeciej kolumny dodajemy pierwszą, a do drugiej pierwszą, pomnożoną przez -2: 
. Od pierwszej kolumny odejmujemy drugą podwojoną, a od trzeciej drugą pomnożoną przez 6; 
. Dodajmy trzecią kolumnę do pierwszej i drugiej: 
. Pomnóż ostatnią kolumnę przez -1: 
. Macierz kwadratowa uzyskana na prawo od pionowej kreski jest macierzą odwrotną danej macierzy A. Zatem
.
Temat ten jest jednym z najbardziej znienawidzonych wśród studentów. Gorzej prawdopodobnie są kwalifikacje.
Rzecz w tym, że samo pojęcie elementu odwrotnego (i nie mówię tylko o macierzach) odsyła nas do operacji mnożenia. Nawet w programie szkolnym mnożenie uważane jest za operację złożoną, a mnożenie macierzy to generalnie odrębny temat, któremu poświęciłem cały akapit i lekcję wideo.
Dziś nie będziemy wdawać się w szczegóły obliczeń macierzowych. Pamiętajmy tylko: jak wyznacza się macierze, jak się je mnoży i co z tego wynika.
Przegląd: Mnożenie macierzy
Przede wszystkim uzgodnijmy notację. Macierz $A$ o rozmiarze $\left[ m\times n \right]$ jest po prostu tabelą liczb zawierającą dokładnie $m$ wierszy i $n$ kolumn:
\=\underbrace(\left[ \begin(macierz) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matrix) \right])_(n)\]
Aby uniknąć przypadkowego pomieszania wierszy i kolumn (uwierz mi, na egzaminie można pomylić jedynkę z dwójką, nie mówiąc już o niektórych wierszach), spójrz tylko na obrazek:
Wyznaczanie wskaźników dla komórek macierzy Co się dzieje? Jeśli umieścisz standardowy układ współrzędnych $OXY$ w lewym górnym rogu i skierujesz osie tak, aby obejmowały całą macierz, to każda komórka tej macierzy będzie mogła być jednoznacznie powiązana ze współrzędnymi $\left(x;y \right)$ - będzie to numer wiersza i numer kolumny.
Dlaczego układ współrzędnych jest umieszczony w lewym górnym rogu? Tak, bo to od niego zaczynamy czytać dowolne teksty. Bardzo łatwo to zapamiętać.
Dlaczego oś $x$ jest skierowana w dół, a nie w prawo? Znowu to proste: weź standardowy układ współrzędnych (oś $x$ idzie w prawo, oś $y$ idzie w górę) i obróć go tak, aby zakrył macierz. Jest to obrót o 90 stopni zgodnie z ruchem wskazówek zegara - efekt widzimy na zdjęciu.
Ogólnie rzecz biorąc, wymyśliliśmy, jak określić indeksy elementów macierzy. Teraz spójrzmy na mnożenie.
Definicja. Macierze $A=\left[ m\times n \right]$ i $B=\left[ n\times k \right]$, gdy liczba kolumn w pierwszej pokrywa się z liczbą wierszy w drugiej, to nazywany konsekwentnym.
Dokładnie w tej kolejności. Można się pomylić i powiedzieć, że macierze $A$ i $B$ tworzą uporządkowaną parę $\left(A;B \right)$: jeśli są spójne w tej kolejności, to wcale nie jest konieczne, aby $B $ i $A$ te. para $\left(B;A \right)$ jest również spójna.
Można mnożyć tylko dopasowane macierze.
Definicja. Iloczyn dopasowanych macierzy $A=\left[ m\times n \right]$ i $B=\left[ n\times k \right]$ to nowa macierz $C=\left[ m\times k \right ]$ , którego elementy $((c)_(ij))$ oblicza się według wzoru:
\[((c)_(ij))=\suma\limity_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]
Innymi słowy: aby otrzymać element $((c)_(ij))$ macierzy $C=A\cdot B$, musisz wziąć wiersz $i$ pierwszej macierzy, czyli $j$ -tą kolumnę drugiej macierzy, a następnie pomnóż parami elementy z tego wiersza i kolumny. Dodaj wyniki.
Tak, to bardzo ostra definicja. Wynika z niego bezpośrednio kilka faktów:
- Mnożenie macierzy, ogólnie rzecz biorąc, jest nieprzemienne: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
- Jednak mnożenie jest łączne: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
- A nawet rozdzielnie: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
- I jeszcze raz rozdzielnie: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.
Rozdzielność mnożenia musiała być opisana oddzielnie dla lewego i prawego współczynnika sumy właśnie ze względu na nieprzemienność operacji mnożenia.
Jeżeli okaże się, że $A\cdot B=B\cdot A$, to takie macierze nazywamy przemiennymi.
Wśród wszystkich macierzy, które są tam mnożone przez coś, są specjalne - takie, które pomnożone przez dowolną macierz $A$ ponownie dają $A$:
Definicja. Macierz $E$ nazywa się tożsamością, jeżeli $A\cdot E=A$ lub $E\cdot A=A$. W przypadku macierzy kwadratowej $A$ możemy napisać:
Macierz tożsamości jest częstym gościem przy rozwiązywaniu równań macierzowych. I w ogóle częsty gość w świecie matryc :)
I przez to $E$ ktoś wymyślił te wszystkie bzdury, które będą pisane dalej.
Co to jest macierz odwrotna
Ponieważ mnożenie macierzy jest operacją bardzo pracochłonną (trzeba pomnożyć kilka wierszy i kolumn), koncepcja macierzy odwrotnej również okazuje się nietrywialna. I wymagające wyjaśnień.
Definicja klucza
Cóż, czas poznać prawdę.
Definicja. Macierz $B$ nazywa się odwrotnością macierzy $A$ if
Macierz odwrotna jest oznaczona przez $((A)^(-1))$ (nie mylić ze stopniem!), zatem definicję można przepisać w następujący sposób:
Wydawać by się mogło, że wszystko jest niezwykle proste i przejrzyste. Ale analizując tę definicję, od razu pojawia się kilka pytań:
- Czy zawsze istnieje macierz odwrotna? A jeśli nie zawsze, to jak ustalić: kiedy istnieje, a kiedy nie?
- A kto powiedział, że istnieje dokładnie jedna taka macierz? A co jeśli dla jakiejś macierzy początkowej $A$ istnieje cała masa odwrotności?
- Jak wyglądają te wszystkie „odwroty”? A jak dokładnie powinniśmy je policzyć?
Jeśli chodzi o algorytmy obliczeniowe, porozmawiamy o tym nieco później. Ale na pozostałe pytania odpowiemy już teraz. Sformułujmy je w formie odrębnych twierdzeń-lematów.
Podstawowe właściwości
Zacznijmy od tego jak w zasadzie powinna wyglądać macierz $A$, aby dla niej istniała $((A)^(-1))$. Teraz upewnimy się, że obie te macierze muszą być kwadratowe i mieć ten sam rozmiar: $\left[ n\times n \right]$.
Lemat 1. Biorąc pod uwagę macierz $A$ i jej odwrotność $((A)^(-1))$. Wtedy obie te macierze są kwadratowe i tego samego rzędu $n$.
Dowód. To proste. Niech macierz $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Ponieważ iloczyn $A\cdot ((A)^(-1))=E$ istnieje z definicji, macierze $A$ i $((A)^(-1))$ są spójne w pokazanej kolejności:
\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( wyrównywać)\]
Jest to bezpośrednia konsekwencja algorytmu mnożenia macierzy: współczynniki $n$ i $a$ są „przejściowe” i muszą być równe.
Jednocześnie definiuje się także odwrotne mnożenie: $((A)^(-1))\cdot A=E$, zatem macierze $((A)^(-1))$ i $A$ są również spójne w określonej kolejności:
\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( wyrównywać)\]
Zatem bez utraty ogólności możemy założyć, że $A=\lewo[ m\razy n \prawo]$, $((A)^(-1))=\lewo[ n\razy m \prawo]$. Jednak zgodnie z definicją $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$ zatem rozmiary macierzy są ściśle zgodne:
\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]
Okazuje się więc, że wszystkie trzy macierze - $A$, $((A)^(-1))$ i $E$ - są macierzami kwadratowymi o rozmiarze $\left[ n\times n \right]$. Lemat został udowodniony.
No to już dobrze. Widzimy, że odwracalne są tylko macierze kwadratowe. Teraz upewnijmy się, że macierz odwrotna jest zawsze taka sama.
Lemat 2. Biorąc pod uwagę macierz $A$ i jej odwrotność $((A)^(-1))$. Wtedy ta macierz odwrotna jest jedyna.
Dowód. Przejdźmy przez sprzeczność: niech macierz $A$ ma co najmniej dwie odwrotności - $B$ i $C$. Zatem zgodnie z definicją prawdziwe są następujące równości:
\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(align)\]
Z Lematu 1 wnioskujemy, że wszystkie cztery macierze - $A$, $B$, $C$ i $E$ - są kwadratami tego samego rzędu: $\left[ n\times n \right]$. Dlatego produkt jest zdefiniowany:
Ponieważ mnożenie macierzy jest łączne (ale nie przemienne!), możemy napisać:
\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Strzałka w prawo B=C. \\ \end(align)\]
Mamy jedyną możliwą opcję: dwie kopie macierzy odwrotnej są równe. Lemat został udowodniony.
Powyższe argumenty powtarzają niemal dosłownie dowód niepowtarzalności elementu odwrotnego dla wszystkich liczb rzeczywistych $b\ne 0$. Jedynym istotnym dodatkiem jest uwzględnienie wymiaru macierzy.
Nadal jednak nie wiemy nic na temat tego, czy każda macierz kwadratowa jest odwracalna. Tutaj z pomocą przychodzi nam wyznacznik - jest to kluczowa cecha wszystkich macierzy kwadratowych.
Lemat 3. Biorąc pod uwagę macierz $A$. Jeżeli istnieje jej macierz odwrotna $((A)^(-1))$, to wyznacznik macierzy pierwotnej jest różny od zera:
\[\lewo| A\prawo|\ne 0\]
Dowód. Wiemy już, że $A$ i $((A)^(-1))$ są macierzami kwadratowymi o rozmiarze $\left[ n\times n \right]$. Dlatego dla każdego z nich możemy obliczyć wyznacznik: $\left| A\prawo|$ i $\lewo| ((A)^(-1)) \right|$. Jednakże wyznacznik iloczynu jest równy iloczynowi wyznaczników:
\[\lewo| A\cdot B \prawo|=\lewo| A \right|\cdot \left| B \right|\Strzałka w prawo \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \prawo|\]
Ale zgodnie z definicją $A\cdot ((A)^(-1))=E$, a wyznacznik $E$ jest zawsze równy 1, więc
\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \w lewo| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\prawo|; \\ & \w lewo| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \prawo|=1. \\ \end(align)\]
Iloczyn dwóch liczb jest równy jeden tylko wtedy, gdy każda z tych liczb jest różna od zera:
\[\lewo| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]
Okazuje się, że $\left| A \right|\ne 0$. Lemat został udowodniony.
W rzeczywistości wymóg ten jest dość logiczny. Teraz przeanalizujemy algorytm znajdowania macierzy odwrotnej - i stanie się całkowicie jasne, dlaczego przy zerowym wyznaczniku w zasadzie nie może istnieć żadna macierz odwrotna.
Ale najpierw sformułujmy definicję „pomocniczą”:
Definicja. Macierz pojedyncza to macierz kwadratowa o rozmiarze $\left[ n\times n \right]$, której wyznacznikiem jest zero.
Możemy zatem twierdzić, że każda macierz odwracalna jest nieosobliwa.
Jak znaleźć odwrotność macierzy
Teraz rozważymy uniwersalny algorytm znajdowania macierzy odwrotnych. Ogólnie rzecz biorąc, istnieją dwa ogólnie przyjęte algorytmy i dzisiaj rozważymy również drugi.
Ten, który zostanie teraz omówiony, jest bardzo efektywny dla macierzy o rozmiarze $\left[ 2\times 2 \right]$ i - częściowo - size $\left[ 3\times 3 \right]$. Ale zaczynając od rozmiaru $\left[ 4\times 4 \right]$ lepiej go nie używać. Dlaczego - teraz sam wszystko zrozumiesz.
Dodatki algebraiczne
Przygotuj się. Teraz będzie ból. Nie, nie martw się: piękna pielęgniarka w spódniczce, koronkowych pończochach nie przyjdzie do Ciebie i nie zrobi Ci zastrzyku w pośladek. Wszystko jest o wiele bardziej prozaiczne: przychodzą do ciebie dodatki algebraiczne i Jej Wysokość „Macierz Unii”.
Zacznijmy od najważniejszej rzeczy. Niech istnieje macierz kwadratowa o rozmiarze $A=\left[ n\times n \right]$, której elementy nazywane są $((a)_(ij))$. Następnie dla każdego takiego elementu możemy zdefiniować dopełnienie algebraiczne:
Definicja. Dopełnienie algebraiczne $((A)_(ij))$ do elementu $((a)_(ij))$ znajdującego się w $i$tym wierszu i $j$th kolumnie macierzy $A=\left[ n \times n \right]$ jest konstrukcją formy
\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]
Gdzie $M_(ij)^(*)$ jest wyznacznikiem macierzy otrzymanej z pierwotnego $A$ poprzez usunięcie tego samego $i$tego wiersza i $j$tej kolumny.
Ponownie. Dopełnienie algebraiczne elementu macierzy o współrzędnych $\left(i;j \right)$ oznaczamy jako $((A)_(ij))$ i obliczamy według schematu:
- Najpierw usuwamy wiersz $i$ i kolumnę $j$ z oryginalnej macierzy. Otrzymujemy nową macierz kwadratową i oznaczamy jej wyznacznik jako $M_(ij)^(*)$.
- Następnie mnożymy ten wyznacznik przez $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - na początku to wyrażenie może wydawać się oszałamiające, ale w istocie po prostu szukamy znaku przed $M_(ij)^(*) $.
- Liczymy i otrzymujemy konkretną liczbę. Te. dodawanie algebraiczne jest dokładnie liczbą, a nie jakąś nową macierzą itp.
Sama macierz $M_(ij)^(*)$ nazywana jest dodatkowym mollem elementu $((a)_(ij))$. I w tym sensie powyższa definicja dopełnienia algebraicznego jest szczególnym przypadkiem bardziej złożonej definicji - o czym pisaliśmy na lekcji o wyznaczniku.
Ważna uwaga. Właściwie w matematyce „dla dorosłych” dodawanie algebraiczne definiuje się w następujący sposób:
- W macierzy kwadratowej bierzemy $k$ wierszy i $k$ kolumn. Na ich przecięciu otrzymujemy macierz o rozmiarze $\left[ k\times k \right]$ - jej wyznacznik nazywamy mollem rzędu $k$ i oznaczamy $((M)_(k))$.
- Następnie skreślamy te „wybrane” wiersze i kolumny $k$. Ponownie otrzymujemy macierz kwadratową, której wyznacznik nazywamy dodatkowym mollem i oznaczamy $M_(k)^(*)$.
- Pomnóż $M_(k)^(*)$ przez $((\left(-1 \right))^(t))$, gdzie $t$ to (uwaga!) suma liczb wszystkich zaznaczonych wierszy i kolumny. To będzie dodawanie algebraiczne.
Spójrz na trzeci krok: w rzeczywistości istnieje suma warunków o wartości 2 tys. $! Inna sprawa, że dla $k=1$ otrzymamy tylko 2 wyrazy - będą to te same $i+j$ - „współrzędne” elementu $((a)_(ij))$ dla którego jesteśmy szukam dopełnienia algebraicznego.
Dlatego dzisiaj używamy nieco uproszczonej definicji. Ale jak zobaczymy później, będzie to więcej niż wystarczające. O wiele ważniejsze jest to, co następuje:
Definicja. Macierz pokrewna $S$ macierzy kwadratowej $A=\left[ n\times n \right]$ jest nową macierzą o rozmiarze $\left[ n\times n \right]$, którą otrzymujemy z $A$ zastępując $((a)_(ij))$ dodatkami algebraicznymi $((A)_(ij))$:
\\Strzałka w prawo S=\left[ \begin(macierz) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(macierz) \right]\]
Pierwsza myśl, która pojawia się w momencie realizacji tej definicji, brzmi: „ile trzeba będzie policzyć!” Spokojnie: będziesz musiał policzyć, ale nie aż tak :)
Cóż, wszystko to jest bardzo miłe, ale dlaczego jest to konieczne? Ale dlaczego.
Główne twierdzenie
Cofnijmy się trochę. Przypomnijmy, w Lemacie 3 stwierdzono, że macierz odwracalna $A$ jest zawsze nieosobliwa (tzn. jej wyznacznik jest niezerowy: $\left| A \right|\ne 0$).
Zatem jest też odwrotnie: jeśli macierz $A$ nie jest osobliwa, to zawsze jest odwracalna. Istnieje nawet schemat wyszukiwania $((A)^(-1))$. Sprawdź to:
Twierdzenie o macierzy odwrotnej. Niech zostanie podana macierz kwadratowa $A=\left[ n\times n \right]$, której wyznacznik jest różny od zera: $\left| A \right|\ne 0$. Wówczas istnieje macierz odwrotna $((A)^(-1))$, którą oblicza się ze wzoru:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]
A teraz - wszystko jest takie samo, ale czytelnym pismem. Aby znaleźć macierz odwrotną, potrzebujesz:
- Oblicz wyznacznik $\left| A \right|$ i upewnij się, że jest różny od zera.
- Skonstruuj macierz sumy $S$, tj. policz 100500 dodatków algebraicznych $((A)_(ij))$ i umieść je w miejscu $((a)_(ij))$.
- Transponuj tę macierz $S$, a następnie pomnóż ją przez pewną liczbę $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.
To wszystko! Znaleziono macierz odwrotną $((A)^(-1))$. Spójrzmy na przykłady:
\[\left[ \begin(macierz) 3 i 1 \\ 5 i 2 \\\end(macierz) \right]\]
Rozwiązanie. Sprawdźmy odwracalność. Obliczmy wyznacznik:
\[\lewo| A\prawo|=\lewo| \begin(macierz) 3 i 1 \\ 5 i 2 \\\end(macierz) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]
Wyznacznik jest różny od zera. Oznacza to, że macierz jest odwracalna. Stwórzmy macierz unii:
Obliczmy dodawanie algebraiczne:
\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \prawo|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5 \prawo|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \prawo|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\prawo|=3. \\ \end(align)\]
Uwaga: wyznaczniki |2|, |5|, |1| i |3| są wyznacznikami macierzy rozmiaru $\left[ 1\times 1 \right]$, a nie modułami. Te. Jeżeli w wyznacznikach były liczby ujemne, nie ma potrzeby usuwania „minusu”.
W sumie nasza macierz unii wygląda następująco:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 i -5 \\ -1 i 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (tablica)(*(35)(r)) 2 i -1 \\ -5 i 3 \\\end(tablica) \right]\]
OK, wszystko już skończone. Problem jest rozwiązany.
Odpowiedź. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 i -1 \\ -5 i 3 \\\end(array) \right]$
Zadanie. Znajdź macierz odwrotną:
\[\left[ \begin(tablica)(*(35)(r)) 1 i -1 i 2 \\ 0 i 2 i -1 \\ 1 i 0 i 1 \\\end(array) \right] \]
Rozwiązanie. Ponownie obliczamy wyznacznik:
\[\begin(align) & \left| \begin(tablica)(*(35)(r)) 1 i -1 i 2 \\ 0 i 2 i -1 \\ 1 i 0 i 1 \\\end(tablica) \right|=\begin(macierz ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]
Wyznacznik jest niezerowy – macierz jest odwracalna. Ale teraz będzie naprawdę ciężko: musimy policzyć aż 9 (dziewięć, skurwielu!) dodatków algebraicznych. I każdy z nich będzie zawierał wyznacznik $\left[ 2\times 2 \right]$. Latał:
\[\begin(macierz) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(macierz) 2 i -1 \\ 0 i 1 \\\end(macierz) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(macierz) 0 i -1 \\ 1 i 1 \\\end(macierz) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(macierz) 0 i 2 \\ 1 i 0 \\\end(macierz) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(macierz) 1 i -1 \\ 0 i 2 \\\end(macierz) \right|=2; \\ \end(macierz)\]
W skrócie macierz unii będzie wyglądać następująco:
Zatem macierz odwrotna będzie miała postać:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(macierz) 2 i -1 i -2 \\ 1 i -1 i -1 \\ -3 i 1 i 2 \\\end(macierz) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 i 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 i 1 i -2 \\\end(tablica) \right]\]
Otóż to. Oto odpowiedź.
Odpowiedź. $\left[ \begin(tablica)(*(35)(r)) -2 i -1 i 3 \\ 1 i 1 i -1 \\ 2 i 1 i -2 \\\end(array) \right ]$
Jak widać, na końcu każdego przykładu przeprowadziliśmy kontrolę. W związku z tym ważna uwaga:
Nie bądź leniwy, aby sprawdzić. Pomnóż pierwotną macierz przez znalezioną macierz odwrotną - powinieneś otrzymać $E$.
Wykonanie tego sprawdzenia jest znacznie łatwiejsze i szybsze niż szukanie błędu w dalszych obliczeniach, gdy na przykład rozwiązuje się równanie macierzowe.
Alternatywny sposób
Jak powiedziałem, twierdzenie o odwrotnej macierzy działa świetnie dla rozmiarów $\left[ 2\times 2 \right]$ i $\left[ 3\times 3 \right]$ (w tym drugim przypadku nie jest już tak „świetnie” " ), ale przy większych matrycach zaczyna się smutek.
Ale nie martwcie się: istnieje alternatywny algorytm, dzięki któremu spokojnie znajdziecie odwrotność nawet dla macierzy $\left[ 10\times 10 \right]$. Jednak, jak to często bywa, aby rozważyć ten algorytm, potrzebujemy małego wprowadzenia teoretycznego.
Transformacje elementarne
Wśród wszystkich możliwych transformacji macierzy jest kilka specjalnych - nazywane są one elementarnymi. Istnieją dokładnie trzy takie transformacje:
- Mnożenie. Możesz wziąć $i$ty wiersz (kolumnę) i pomnożyć go przez dowolną liczbę $k\ne 0$;
- Dodatek. Dodaj do $i$-tego wiersza (kolumny) dowolny inny $j$-ty wiersz (kolumna), pomnożony przez dowolną liczbę $k\ne 0$ (możesz oczywiście zrobić $k=0$, ale co to jest o co chodzi? ? Nic się nie zmieni).
- Przegrupowanie. Weź $i$th i $j$th wiersze (kolumny) i zamień miejscami.
Dlaczego te przekształcenia nazywane są elementarnymi (dla dużych macierzy nie wyglądają one już tak elementarnie) i dlaczego są tylko trzy - te pytania wykraczają poza zakres dzisiejszej lekcji. Dlatego nie będziemy wdawać się w szczegóły.
Ważna jest jeszcze jedna rzecz: wszystkie te perwersje musimy wykonać na macierzy sprzężonej. Tak, tak: dobrze słyszałeś. Teraz będzie jeszcze jedna definicja - ostatnia w dzisiejszej lekcji.
Macierz sprzężona
Z pewnością w szkole rozwiązywaliście układy równań metodą dodawania. Cóż, odejmij kolejną od jednej linii, pomnóż jakąś linię przez liczbę - to wszystko.
A więc: teraz wszystko będzie po staremu, ale w „dorosłym” wydaniu. Gotowy?
Definicja. Niech zostanie podana macierz $A=\left[ n\times n \right]$ i macierz jednostkowa $E$ o tej samej wielkości $n$. Następnie macierz przylegająca $\left[ A\left| E\ prawda. \right]$ to nowa macierz o rozmiarze $\left[ n\times 2n \right]$, która wygląda następująco:
\[\lewy[ A\lewy| E\ prawda. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(array) \right]\]
Krótko mówiąc, bierzemy macierz $A$, po prawej stronie przypisujemy jej macierz tożsamościową $E$ o wymaganej wielkości, dla urody oddzielamy je pionową kreską - tutaj mamy łącznik :)
Jaki jest haczyk? Oto co:
Twierdzenie. Niech macierz $A$ będzie odwracalna. Rozważmy macierz połączoną $\left[ A\left| E\ prawda. \prawo]$. Jeśli używasz konwersje ciągów elementarnych sprowadź go do postaci $\left[ E\left| Jasny. \right]$, tj. mnożąc, odejmując i przestawiając wiersze, aby z $A$ otrzymać macierz $E$ po prawej stronie, wówczas macierz $B$ uzyskana po lewej stronie jest odwrotnością $A$:
\[\lewy[ A\lewy| E\ prawda. \right]\to \left[ E\left| Jasny. \right]\Strzałka w prawo B=((A)^(-1))\]
To takie proste! W skrócie algorytm znajdowania macierzy odwrotnej wygląda następująco:
- Zapisz macierz połączoną $\left[ A\left| E\ prawda. \right]$;
- Wykonuj podstawowe konwersje ciągów znaków, aż zamiast $A$ pojawi się $E$;
- Oczywiście po lewej stronie też pojawi się coś - pewna macierz $B$. To będzie odwrotnie;
- ZYSK!:)
Oczywiście znacznie łatwiej to powiedzieć, niż zrobić. Spójrzmy więc na kilka przykładów: dla rozmiarów $\left[ 3\times 3 \right]$ i $\left[ 4\times 4 \right]$.
Zadanie. Znajdź macierz odwrotną:
\[\left[ \begin(tablica)(*(35)(r)) 1 i 5 i 1 \\ 3 i 2 i 1 \\ 6 i -2 i 1 \\\end(array) \right]\ ]
Rozwiązanie. Tworzymy macierz sprzężoną:
\[\left[ \begin(tablica)(rrr|rrr) 1 i 5 i 1 i 1 i 0 i 0 \\ 3 i 2 i 1 i 0 i 1 i 0 \\ 6 i -2 i 1 i 0 & 0 i 1 \\\end(tablica) \right]\]
Ponieważ ostatnia kolumna oryginalnej macierzy jest wypełniona jedynkami, odejmij pierwszy wiersz od pozostałych:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 i 1 i 0 i 0 i 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(macierz)\to \\ & \to \left [ \begin(tablica)(rrr|rrr) 1 i 5 i 1 i 1 i 0 i 0 \\ 2 i -3 i 0 i -1 i 1 i 0 \\ 5 i -7 i 0 i -1 i 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Nie ma już jednostek poza pierwszą linią. Ale nie dotykamy tego, w przeciwnym razie nowo usunięte jednostki zaczną „mnożyć się” w trzeciej kolumnie.
Ale drugą linię możemy odjąć dwukrotnie od ostatniej - otrzymamy jedną w lewym dolnym rogu:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 i 5 i 1 i 1 i 0 i 0 \\ 2 i -3 i 0 i -1 i 1 i 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(macierz) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(macierz)\to \\ & \left [ \begin(tablica)(rrr|rrr) 1 i 5 i 1 i 1 i 0 i 0 \\ 2 i -3 i 0 i -1 i 1 i 0 \\ 1 i -1 i 0 i 1 i -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Teraz możemy odjąć ostatni wiersz od pierwszego i dwukrotnie od drugiego - w ten sposób „zerujemy” pierwszą kolumnę:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 i 5 i 1 i 1 i 0 i 0 \\ 2 i -3 i 0 i -1 i 1 i 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(macierz) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(macierz)\to \\ & \ do \left[ \begin(tablica)(rrr|rrr) 0 i 6 i 1 i 0 i 2 i -1 \\ 0 i -1 i 0 i -3 i 5 i -2 \\ 1 i -1 i 0 & 1 i -2 i 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Pomnóż drugą linię przez -1, a następnie odejmij ją 6 razy od pierwszej i dodaj 1 raz do ostatniej:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 i 6 i 1 i 0 i 2 i -1 \\ 0 i -1 i 0 i -3 i 5 i -2 \ \ 1 i -1 i 0 i 1 i -2 i 1 \\\end(tablica) \right]\begin(macierz) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\end(macierz)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 i -5 i 2 \\ 1 i -1 i 0 i 1 i -2 i 1 \\\end(array) \right]\begin(macierz) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (macierz)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 i 0 i 0 i 4 i -7 i 3 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Pozostaje tylko zamienić linie 1 i 3:
\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 i 32 i -13 \\\end(tablica) \right]\]
Gotowy! Po prawej stronie znajduje się wymagana macierz odwrotna.
Odpowiedź. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 i -7 i 3 \\ 3 i -5 i 2 \\ -18 i 32 i -13 \\\end(array) \right ]$
Zadanie. Znajdź macierz odwrotną:
\[\left[ \begin(macierz) 1 i 4 i 2 i 3 \\ 1 i -2 i 1 i -2 \\ 1 i -1 i 1 i 1 \\ 0 i -10 i -2 i -5 \\\end(macierz) \right]\]
Rozwiązanie. Ponownie tworzymy dodatek:
\[\left[ \begin(tablica)(rrrr|rrrr) 1 i 4 i 2 i 3 i 1 i 0 i 0 i 0 \\ 1 i -2 i 1 i -2 i 0 i 1 i 0 i 0 \ \ 1 i -1 i 1 i 1 i 0 i 0 i 1 i 0 \\ 0 i -10 i -2 i -5 i 0 i 0 i 0 i 1 \\\end(array) \right]\]
Popłaczmy trochę, posmućmy się, ile mamy teraz doliczyć... i zacznijmy liczyć. Najpierw „wyzerujmy” pierwszą kolumnę, odejmując wiersz 1 od wierszy 2 i 3:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 i 4 i 2 i 3 i 1 i 0 i 0 i 0 \\ 1 i -2 i 1 i -2 i 0 & 1 i 0 i 0 \\ 1 i -1 i 1 i 1 i 0 i 0 i 1 i 0 \\ 0 i -10 i -2 i -5 i 0 i 0 i 0 i 1 \\\end(tablica) \right]\begin(macierz) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(macierz)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 i 2 i 3 i 1 i 0 i 0 i 0 \\ 0 i -6 i -1 i -5 i -1 i 1 i 0 i 0 \\ 0 i -5 i -1 i -2 i -1 & 0 i 1 i 0 \\ 0 i -10 i -2 i -5 i 0 i 0 i 0 i 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Widzimy zbyt wiele „minusów” w wierszach 2-4. Pomnóż wszystkie trzy wiersze przez -1, a następnie wypal trzecią kolumnę, odejmując wiersz 3 od reszty:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 i 4 i 2 i 3 i 1 i 0 i 0 i 0 \\ 0 i -6 i -1 i -5 i - 1 i 1 i 0 i 0 \\ 0 i -5 i -1 i -2 i -1 i 0 i 1 i 0 \\ 0 i -10 i -2 i -5 i 0 i 0 i 0 i 1 \\ \end(tablica) \right]\begin(macierz) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \po lewej| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \po lewej| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(macierz)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 i 1 i -1 i 0 i 0 \\ 0 i 5 i 1 i 2 i 1 i 0 i -1 i 0 \\ 0 i 10 i 2 i 5 i 0 i 0 i 0 i -1 \\ \end (tablica) \right]\begin(macierz) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(macierz)\to \\ & \to \left[ \begin(tablica)( rrrr|. rrrr) 1 i -6 i 0 i -1 i -1 i 0 i 2 i 0 \\ 0 i 1 i 0 i 3 i 0 i -1 i 1 i 0 \\ 0 i 5 i 1 i 2 & 1 i 0 i -1 i 0 \\ 0 i 0 i 0 i 1 i -2 i 0 i 2 i -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Teraz czas na „usmażenie” ostatniej kolumny oryginalnej macierzy: od reszty odejmij wiersz 4:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array ) \right]\begin(macierz) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(macierz)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 i -6 i 0 i 0 i -3 i 0 i 4 i -1 \\ 0 i 1 i 0 i 0 i 6 i -1 i -5 i 3 \\ 0 i 5 i 1 i 0 i 5 i 0 & -5 i 2 \\ 0 i 0 i 0 i 1 i -2 i 0 i 2 i -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Ostatni rzut: „wypal” drugą kolumnę, odejmując linię 2 od linii 1 i 3:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 i -5 i 3 \\ 0 i 5 i 1 i 0 i 5 i 0 i -5 i 2 \\ 0 i 0 i 0 i 1 i -2 i 0 i 2 i -1 \\\end( array) \right]\begin(macierz) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
I znowu macierz tożsamości jest po lewej stronie, co oznacza, że odwrotność jest po prawej stronie :)
Odpowiedź. $\left[ \begin(macierz) 33 i -6 i -26 i 17 \\ 6 i -1 i -5 i 3 \\ -25 i 5 i 20 i -13 \\ -2 i 0 i 2 i - 1 \\\end(macierz) \right]$