2. Podstawy teorii prawdopodobieństwa
Wartość oczekiwana
Rozważ zmienną losową o wartościach liczbowych. Często warto powiązać z tą funkcją liczbę - jej „wartość średnią” lub, jak mówią, „wartość średnią”, „wskaźnik tendencji centralnej”. Z wielu powodów, z których część stanie się jasna później, oczekiwanie matematyczne jest zwykle używane jako „wartość średnia”.
Definicja 3. Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej X wywołany numer
te. matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej jest ważoną sumą wartości zmiennej losowej o wagach równych prawdopodobieństwu odpowiednich zdarzeń elementarnych.
Przykład 6. Obliczmy matematyczne oczekiwanie liczby, która pojawi się na górnej ściance kostki. Bezpośrednio z definicji 3 wynika, że
Oświadczenie 2. Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości x 1, x 2,…, xM. Wtedy równość jest prawdziwa
(5)
te. Oczekiwanie matematyczne zmiennej losowej jest ważoną sumą wartości zmiennej losowej o wagach równych prawdopodobieństwu, że zmienna losowa przyjmie określone wartości.
W przeciwieństwie do (4), gdzie sumowanie odbywa się bezpośrednio po zdarzeniach elementarnych, zdarzenie losowe może składać się z kilku zdarzeń elementarnych.
Czasami za definicję oczekiwań matematycznych przyjmuje się relację (5). Jednakże korzystając z Definicji 3, jak pokazano poniżej, łatwiej jest ustalić właściwości oczekiwań matematycznych niezbędnych do konstruowania probabilistycznych modeli zjawisk rzeczywistych, niż korzystając z zależności (5).
Aby udowodnić zależność (5), grupujemy w (4) wyrazy o identycznych wartościach zmiennej losowej:
Ponieważ stały współczynnik można odjąć od znaku sumy, zatem
Poprzez określenie prawdopodobieństwa zdarzenia
Korzystając z dwóch ostatnich zależności otrzymujemy wymagane:
Pojęcie oczekiwań matematycznych w teorii probabilistyczno-statystycznej odpowiada pojęciu środka ciężkości w mechanice. Ujmijmy to w punkty x 1, x 2,…, xM na osi liczby masowej P(X= X 1 ), P(X= X 2 ),…, P(X= x m) odpowiednio. Wówczas równość (5) pokazuje, że środek ciężkości tego układu punktów materialnych pokrywa się z oczekiwaniem matematycznym, co świadczy o naturalności Definicji 3.
Oświadczenie 3. Pozwalać X- wartość losowa, M(X)– jego oczekiwanie matematyczne, A– pewna liczba. Następnie
1) M(a)=a; 2) M(X-M(X))=0; 3M[(X- A) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(A- M(X)) 2 .
Aby to udowodnić, rozważmy najpierw zmienną losową, która jest stała, tj. funkcja odwzorowuje przestrzeń zdarzeń elementarnych w pojedynczy punkt A. Ponieważ stały mnożnik można wyciągnąć poza znak sumy
Jeżeli każdy element sumy dzieli się na dwa człony, wówczas całą sumę dzieli się na dwie sumy, z których pierwsza składa się z pierwszych składników, a druga z drugiego. Dlatego matematyczne oczekiwanie sumy dwóch zmiennych losowych X+Y, zdefiniowane na tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych, jest równe sumie oczekiwań matematycznych M(X) I M(U) te zmienne losowe:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
I dlatego M(X-M(X)) = M(X) - M(M(X)). Jak pokazane powyżej, M(M(X)) = M(X). Stąd, M(X-M(X)) = M(X) - M(X) = 0.
Ponieważ (X - a) 2 = ((X – M(X)) + (M(X) - A)} 2 = (X - M(X)) 2 + 2(X - M(X))(M(X) - A) + (M(X) – A) 2 , To M[(X - a) 2 ] =M(X - M(X)) 2 + M{2(X - M(X))(M(X) - A)} + M[(M(X) – A) 2 ]. Uprośćmy ostatnią równość. Jak pokazano na początku dowodu Twierdzenia 3, matematycznym oczekiwaniem na stałą jest sama stała, a zatem M[(M(X) – A) 2 ] = (M(X) – A) 2 . Ponieważ stały mnożnik można wyciągnąć poza znak sumy M{2(X - M(X))(M(X) - A)} = 2(M(X) - A)M(X - M(X)). Prawa strona ostatniej równości wynosi 0, ponieważ, jak pokazano powyżej, M(X-M(X))=0. Stąd, M[(X- A) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(A- M(X)) 2 , co należało udowodnić.
Z powyższego wynika, że M[(X- A) 2 ] osiąga minimum A, równy M[(X- M(X)) 2 ], Na a = M(X), ponieważ drugi wyraz w równości 3) jest zawsze nieujemny i wynosi 0 tylko dla określonej wartości A.
Oświadczenie 4. Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości x 1, x 2,…, xM, oraz f jest pewną funkcją argumentu liczbowego. Następnie
Aby to udowodnić, zgrupujmy po prawej stronie równości (4), która definiuje oczekiwanie matematyczne, wyrazy o tych samych wartościach:
Korzystając z faktu, że ze znaku sumy można wyjąć stały współczynnik oraz z definicji prawdopodobieństwa zdarzenia losowego (2), otrzymujemy
co było do okazania
Oświadczenie 5. Pozwalać X I U– zmienne losowe zdefiniowane na tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych, A I B- kilka liczb. Następnie M(topór+ przez)= jestem(X)+ bM(Y).
Korzystając z definicji oczekiwania matematycznego i właściwości symbolu sumowania, otrzymujemy łańcuch równości:
Wymagane zostało udowodnione.
Powyższe pokazuje, jak oczekiwanie matematyczne zależy od przejścia do innego punktu odniesienia i do innej jednostki miary (przejście Y=topór+B), a także do funkcji zmiennych losowych. Uzyskane wyniki są stale wykorzystywane w analizie techniczno-ekonomicznej, przy ocenie działalności finansowo-ekonomicznej przedsiębiorstwa, podczas przejścia z jednej waluty na drugą w zagranicznych obliczeniach ekonomicznych, w dokumentacji regulacyjnej i technicznej itp. Rozważane wyniki pozwalają na stosowanie tych samych wzorów obliczeniowych dla różnych parametrów skali i przesunięcia.
| Poprzedni |
Teoria prawdopodobieństwa jest specjalną gałęzią matematyki, którą studiują wyłącznie studenci uczelni wyższych. Czy lubisz obliczenia i formuły? Nie przeraża Cię perspektywa poznania rozkładu normalnego, entropii zespołowej, oczekiwań matematycznych i rozproszenia dyskretnej zmiennej losowej? Wtedy ten temat będzie dla Ciebie bardzo interesujący. Zapoznajmy się z kilkoma najważniejszymi podstawowymi pojęciami tej gałęzi nauki.
Pamiętajmy o podstawach
Nawet jeśli pamiętasz najprostsze pojęcia teorii prawdopodobieństwa, nie zaniedbuj pierwszych akapitów artykułu. Chodzi o to, że bez jasnego zrozumienia podstaw nie będziesz w stanie pracować z formułami omówionymi poniżej.
Zachodzi więc jakieś zdarzenie losowe, jakiś eksperyment. W wyniku podejmowanych przez nas działań możemy uzyskać kilka efektów – niektóre z nich występują częściej, inne rzadziej. Prawdopodobieństwo zdarzenia to stosunek liczby faktycznie uzyskanych wyników jednego typu do całkowitej liczby możliwych. Dopiero znając klasyczną definicję tego pojęcia można przystąpić do badań matematycznych oczekiwań i rozproszenia ciągłych zmiennych losowych.
Przeciętny
Jeszcze w szkole, na lekcjach matematyki, zacząłeś pracować ze średnią arytmetyczną. Pojęcie to jest szeroko stosowane w teorii prawdopodobieństwa i dlatego nie można go zignorować. Najważniejsze dla nas w tej chwili jest to, że spotkamy się z tym we wzorach na matematyczne oczekiwanie i rozproszenie zmiennej losowej.
Mamy ciąg liczb i chcemy znaleźć średnią arytmetyczną. Wszystko, co jest od nas wymagane, to zsumować wszystko, co jest dostępne i podzielić przez liczbę elementów w sekwencji. Załóżmy, że mamy liczby od 1 do 9. Suma elementów będzie równa 45 i tę wartość podzielimy przez 9. Odpowiedź: - 5.
Dyspersja
Z naukowego punktu widzenia dyspersja jest średnim kwadratem odchyleń uzyskanych wartości cechy od średniej arytmetycznej. Oznacza się ją jedną wielką literą łacińską D. Co jest potrzebne do jej obliczenia? Dla każdego elementu ciągu obliczamy różnicę między istniejącą liczbą a średnią arytmetyczną i podnosimy ją do kwadratu. Będzie dokładnie tyle wartości, ile może być wyników dla wydarzenia, które rozważamy. Następnie sumujemy wszystko otrzymane i dzielimy przez liczbę elementów w sekwencji. Jeśli mamy pięć możliwych wyników, podziel je przez pięć.
Dyspersja ma również właściwości, o których należy pamiętać, aby móc je wykorzystać przy rozwiązywaniu problemów. Na przykład, zwiększając zmienną losową X razy, wariancja wzrasta X razy do kwadratu (tj. X*X). Nigdy nie jest mniejsza od zera i nie polega na przesuwaniu wartości w górę lub w dół o równe wartości. Dodatkowo w przypadku prób niezależnych wariancja sumy jest równa sumie wariancji.
Teraz zdecydowanie musimy rozważyć przykłady wariancji dyskretnej zmiennej losowej i oczekiwań matematycznych.
Załóżmy, że przeprowadziliśmy 21 eksperymentów i otrzymaliśmy 7 różnych wyników. Każdy z nich obserwowaliśmy odpowiednio 1, 2, 2, 3, 4, 4 i 5 razy. Ile będzie równa wariancja?
Najpierw obliczmy średnią arytmetyczną: suma elementów wynosi oczywiście 21. Podziel ją przez 7 i otrzymaj 3. Teraz odejmij 3 od każdej liczby w pierwotnej sekwencji, podnieś każdą wartość do kwadratu i dodaj wyniki. Wynik wynosi 12. Teraz wystarczy podzielić liczbę przez liczbę elementów i wydawałoby się, że to wszystko. Ale jest pewien haczyk! Omówmy to.
Zależność od liczby eksperymentów
Okazuje się, że przy obliczaniu wariancji w mianowniku może znajdować się jedna z dwóch liczb: N lub N-1. Tutaj N jest liczbą przeprowadzonych eksperymentów lub liczbą elementów w sekwencji (co w zasadzie jest tym samym). Od czego to zależy?
Jeśli liczbę testów mierzymy w setkach, to do mianownika należy wpisać N. Jeżeli w jednostkach, to N-1. Naukowcy postanowili wyznaczyć granicę dość symbolicznie: dziś przechodzi ona przez liczbę 30. Jeśli przeprowadziliśmy mniej niż 30 eksperymentów, to liczbę podzielimy przez N-1, a jeśli więcej, to przez N.
Zadanie
Wróćmy do naszego przykładu rozwiązania problemu wariancji i oczekiwań matematycznych. Otrzymaliśmy liczbę pośrednią 12, którą należało podzielić przez N lub N-1. Ponieważ przeprowadziliśmy 21 eksperymentów, czyli niecałe 30, wybierzemy drugą opcję. Zatem odpowiedź brzmi: wariancja wynosi 12/2 = 2.
Wartość oczekiwana
Przejdźmy do drugiej koncepcji, którą musimy rozważyć w tym artykule. Oczekiwanie matematyczne jest wynikiem dodania wszystkich możliwych wyników pomnożonych przez odpowiednie prawdopodobieństwa. Ważne jest, aby zrozumieć, że uzyskaną wartość, a także wynik obliczenia wariancji, uzyskuje się tylko raz dla całego problemu, niezależnie od tego, ile wyników jest w nim uwzględnianych.
Wzór na oczekiwanie matematyczne jest dość prosty: bierzemy wynik, mnożymy go przez prawdopodobieństwo, dodajemy to samo dla drugiego, trzeciego wyniku itd. Wszystko, co się z tym wiąże, nie jest trudne do obliczenia. Na przykład suma wartości oczekiwanych jest równa oczekiwanej wartości sumy. To samo tyczy się pracy. Nie każda wielkość w teorii prawdopodobieństwa pozwala na wykonanie tak prostych operacji. Weźmy problem i obliczmy znaczenie dwóch pojęć, które badaliśmy jednocześnie. Poza tym oderwała nas teoria – czas na praktykę.
Jeszcze jeden przykład
Przeprowadziliśmy 50 badań i otrzymaliśmy 10 rodzajów wyników – liczby od 0 do 9 – występujące w różnych procentach. Są to odpowiednio: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Przypomnijmy, że aby uzyskać prawdopodobieństwa, należy podzielić wartości procentowe przez 100. W ten sposób otrzymujemy 0,02; 0,1 itd. Przedstawmy przykład rozwiązania problemu wariancji zmiennej losowej i oczekiwania matematycznego.
Średnią arytmetyczną obliczamy korzystając ze wzoru, który pamiętamy z podstawówki: 50/10 = 5.
Przeliczmy teraz prawdopodobieństwa na liczbę wyników „w kawałkach”, aby ułatwić policzenie. Otrzymujemy 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 i 9. Od każdej uzyskanej wartości odejmujemy średnią arytmetyczną, po czym podwyższamy każdy uzyskany wynik do kwadratu. Zobacz jak to zrobić na przykładzie pierwszego elementu: 1 - 5 = (-4). Dalej: (-4) * (-4) = 16. W przypadku innych wartości wykonaj te operacje samodzielnie. Jeśli zrobiłeś wszystko poprawnie, to po zsumowaniu ich wszystkich otrzymasz 90.
Kontynuujmy obliczanie wariancji i wartości oczekiwanej, dzieląc 90 przez N. Dlaczego wybieramy N, a nie N-1? Poprawnie, bo liczba przeprowadzonych eksperymentów przekracza 30. Zatem: 90/10 = 9. Mamy wariancję. Jeśli otrzymasz inny numer, nie rozpaczaj. Najprawdopodobniej popełniłeś prosty błąd w obliczeniach. Sprawdź dokładnie to, co napisałeś, a prawdopodobnie wszystko się ułoży.
Na koniec pamiętajmy o wzorze na oczekiwanie matematyczne. Nie podamy wszystkich obliczeń, napiszemy jedynie odpowiedź, którą będziesz mógł sprawdzić po wykonaniu wszystkich wymaganych procedur. Oczekiwana wartość wyniesie 5,48. Przypomnijmy sobie tylko jak przeprowadzać operacje na przykładzie pierwszych elementów: 0*0,02 + 1*0,1... i tak dalej. Jak widać, po prostu mnożymy wartość wyniku przez jego prawdopodobieństwo.
Odchylenie
Innym pojęciem ściśle związanym z dyspersją i oczekiwaniami matematycznymi jest odchylenie standardowe. Oznacza się go albo łacińskimi literami sd, albo grecką małą literą „sigma”. Koncepcja ta pokazuje, jak średnio wartości odbiegają od cechy centralnej. Aby znaleźć jego wartość, musisz obliczyć pierwiastek kwadratowy wariancji.
Jeśli wykreślisz wykres rozkładu normalnego i chcesz bezpośrednio zobaczyć na nim kwadrat odchylenia, można to zrobić w kilku etapach. Weź połowę obrazu na lewo lub na prawo od trybu (wartość środkowa), narysuj prostopadłą do osi poziomej, tak aby pola powstałych figur były równe. Rozmiar odcinka pomiędzy środkiem rozkładu a wynikowym rzutem na oś poziomą będzie reprezentował odchylenie standardowe.
Oprogramowanie
Jak widać z opisów wzorów i przedstawionych przykładów, obliczenie wariancji i oczekiwań matematycznych nie jest procedurą najprostszą z arytmetycznego punktu widzenia. Aby nie tracić czasu, warto skorzystać z programu stosowanego w szkołach wyższych - nazywa się to „R”. Posiada funkcje, które pozwalają obliczyć wartości dla wielu pojęć ze statystyki i teorii prawdopodobieństwa.
Na przykład określasz wektor wartości. Odbywa się to w następujący sposób: wektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
Wreszcie
Rozproszenie i oczekiwanie matematyczne to bez czego trudno cokolwiek w przyszłości obliczyć. W głównym toku wykładów na uczelniach omawiane są one już w pierwszych miesiącach studiowania przedmiotu. To właśnie z powodu braku zrozumienia tych prostych pojęć i nieumiejętności ich obliczenia, wielu studentów od razu zaczyna mieć zaległości w programie, a później na koniec sesji otrzymuje złe oceny, co pozbawia ich stypendiów.
Ćwicz przynajmniej tydzień, pół godziny dziennie, rozwiązując zadania podobne do tych przedstawionych w tym artykule. Wtedy na dowolnym teście z teorii prawdopodobieństwa będziesz w stanie poradzić sobie z przykładami bez zbędnych wskazówek i ściągawek.
Najbardziej kompletną cechą zmiennej losowej jest prawo jej rozkładu. Jednak nie zawsze jest to znane i w takich przypadkach należy zadowolić się mniejszą ilością informacji. Do takich informacji można zaliczyć: zakres zmian zmiennej losowej, jej największą (najmniejszą) wartość, inne cechy, które w jakiś sumaryczny sposób opisują zmienną losową. Wszystkie te wielkości nazywane są charakterystyki numeryczne zmienna losowa. Zazwyczaj jest to kilka nie losowo liczby, które w jakiś sposób charakteryzują zmienną losową. Głównym celem charakterystyk numerycznych jest wyrażenie w zwięzłej formie najważniejszych cech konkretnego rozkładu.
Najprostsza charakterystyka numeryczna zmiennej losowej X zadzwonił do niej wartość oczekiwana:
M(X)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x n p n. (1.3.1)
Tutaj x 1, x 2, …, x rz– możliwe wartości zmiennej losowej X, A str. 1, str. 2, …, р n– ich prawdopodobieństwa.
Przykład 1. Znajdź matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej, jeśli znane jest prawo jej rozkładu:
Rozwiązanie. M(X)=2×0,3+3×0,1+5×0,6=3,9.
Przykład 2. Znajdź matematyczne oczekiwanie liczby wystąpień zdarzenia A w jednej próbie, jeśli prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe R.
Rozwiązanie. Jeśli X– liczba wystąpień zdarzenia A w jednym teście, to oczywiście prawo dystrybucji X ma postać:
Następnie M(X)=0×(1–р)+1×р=р.
Zatem: matematyczne oczekiwanie liczby wystąpień zdarzenia w jednej próbie jest równe jego prawdopodobieństwu.
Probabilistyczne znaczenie oczekiwań matematycznych
Niech się wyprodukuje N testy, w których zmienna losowa X przyjęty m 1 razy wartość x 1, m 2 razy wartość x 2, …, m k razy wartość x k. Następnie suma wszystkich wartości w N testów jest równa:
x 1 m 1 +x 2 m 2 +…+x k m k.
Znajdźmy średnią arytmetyczną wszystkich wartości przyjętych przez zmienną losową:
Wartości – względne częstotliwości występowania wartości x i (i=1, …, k). Jeśli N wystarczająco duży (n®¥), to częstotliwości te są w przybliżeniu równe prawdopodobieństwu: . Ale wtedy
=x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x k p k =M(X).
Zatem oczekiwanie matematyczne jest w przybliżeniu równe (im dokładniej, tym większa liczba testów) średniej arytmetycznej obserwowanych wartości zmiennej losowej. Takie jest probabilistyczne znaczenie oczekiwań matematycznych.
Właściwości oczekiwań matematycznych
1. Matematyczne oczekiwanie na stałą jest równe samej stałej.
M(C)=C×1=C.
2. Ze znaku matematycznego oczekiwania można wyjąć stały współczynnik
M(CX)=C×M(X).
Dowód. Niech prawo dystrybucji X podane przez tabelę:
Następnie zmienna losowa CX przyjmuje wartości Cx 1, Cx2, …, Сх n z tymi samymi prawdopodobieństwami, tj. prawo dystrybucyjne CX ma postać:
M(СХ)=Сх 1 ×р 1 +Сх 2 ×р 2 +…+Сх n ×p n =
=C(x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x n p n)=CM(X).
3. Oczekiwanie matematyczne iloczynu dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich oczekiwań matematycznych:
M(XY)=M(X)×M(Y).
Twierdzenie to podano bez dowodu (dowód opiera się na definicji oczekiwań matematycznych).
Konsekwencja. Oczekiwanie matematyczne iloczynu kilku wzajemnie niezależnych zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich oczekiwań matematycznych.
W szczególności dla trzech niezależnych zmiennych losowych
M(XYZ)=M(X)×M(Y)×M(Z).
Przykład. Znajdź matematyczne oczekiwanie iloczynu liczby punktów, które można uzyskać podczas rzucania dwiema kostkami.
Rozwiązanie. Pozwalać Xi– liczba punktów na I te kości. Mogą to być liczby 1 , 2 , …, 6 z prawdopodobieństwami. Następnie
M(X i)=1× +2× +…+6× = (1+2+…+6)= × ×6= .
Pozwalać X=X 1 × X 2. Następnie
M(X)=M(X1)×M(X2)==12,25.
4. Oczekiwanie matematyczne sumy dwóch zmiennych losowych (niezależnych lub zależnych) jest równe sumie oczekiwań matematycznych wyrazów:
M(X+Y)=M(X)+M(Y).
Właściwość tę uogólnia się na przypadek dowolnej liczby terminów.
Przykład. Oddaje się 3 strzały z prawdopodobieństwem trafienia w cel równym p1 =0,4, p2 =0,3 I p3 =0,6. Znajdź matematyczne oczekiwanie całkowitej liczby trafień.
Rozwiązanie. Pozwalać Xi– liczba trafień w I-ten strzał. Następnie
М(Х i)=1×p i +0×(1–p i)=p i.
Zatem,
M(X 1 + X 2 + X 3) = = 0,4 + 0,3 + 0,6 = 1,3.
Charakterystyka DSV i ich właściwości. Oczekiwanie, wariancja, odchylenie standardowe
Prawo dystrybucji w pełni charakteryzuje zmienną losową. Jeżeli jednak znalezienie prawa rozkładu nie jest możliwe lub nie jest to wymagane, można ograniczyć się do znalezienia wartości zwanych charakterystykami liczbowymi zmiennej losowej. Wartości te wyznaczają jakąś wartość średnią, wokół której grupowane są wartości zmiennej losowej oraz stopień ich rozproszenia wokół tej wartości średniej.
Oczekiwanie matematyczne Dyskretna zmienna losowa to suma iloczynów wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej i ich prawdopodobieństw.
Oczekiwanie matematyczne istnieje, jeśli szereg po prawej stronie równości jest zbieżny bezwzględnie.
Z punktu widzenia prawdopodobieństwa możemy powiedzieć, że oczekiwanie matematyczne jest w przybliżeniu równe średniej arytmetycznej obserwowanych wartości zmiennej losowej.
Przykład. Znane jest prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej. Znajdź oczekiwanie matematyczne.
| X | ||||
| P | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Rozwiązanie:
9.2 Właściwości oczekiwań matematycznych
1. Matematyczne oczekiwanie na stałą wartość jest równe samej stałej.
2. Stały współczynnik można przyjąć jako znak oczekiwania matematycznego.
3. Oczekiwanie matematyczne iloczynu dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich oczekiwań matematycznych.
Ta właściwość jest prawdziwa dla dowolnej liczby zmiennych losowych.
4. Oczekiwanie matematyczne sumy dwóch zmiennych losowych jest równe sumie oczekiwań matematycznych wyrazów.
Właściwość ta jest również prawdziwa dla dowolnej liczby zmiennych losowych.
Przeprowadźmy n niezależnych prób, a prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A będzie równe p.
Twierdzenie. Oczekiwanie matematyczne M(X) liczby wystąpień zdarzenia A w n niezależnych próbach jest równe iloczynowi liczby prób i prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia w każdej próbie.
Przykład. Znajdź matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej Z, jeśli znane są matematyczne oczekiwania X i Y: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.
Rozwiązanie:
9.3 Rozproszenie dyskretnej zmiennej losowej
Jednak oczekiwanie matematyczne nie może w pełni scharakteryzować procesu losowego. Oprócz oczekiwania matematycznego należy wprowadzić wartość charakteryzującą odchylenie wartości zmiennej losowej od oczekiwania matematycznego.
Odchylenie to jest równe różnicy między zmienną losową a jej oczekiwaniem matematycznym. W tym przypadku matematyczne oczekiwanie odchylenia wynosi zero. Wyjaśnia to fakt, że niektóre możliwe odchylenia są dodatnie, inne ujemne, a w wyniku ich wzajemnego zniesienia uzyskuje się zero.
Dyspersja (rozpraszanie) dyskretnej zmiennej losowej jest oczekiwaniem matematycznym kwadratu odchylenia zmiennej losowej od jej oczekiwań matematycznych.
W praktyce ta metoda obliczania wariancji jest niewygodna, ponieważ prowadzi do uciążliwych obliczeń dla dużej liczby wartości zmiennych losowych.
Dlatego stosuje się inną metodę.
Twierdzenie. Wariancja jest równa różnicy między matematycznym oczekiwaniem kwadratu zmiennej losowej X a kwadratem jej matematycznego oczekiwania.
Dowód. Biorąc pod uwagę fakt, że oczekiwanie matematyczne M(X) i kwadrat oczekiwania matematycznego M2(X) są wielkościami stałymi, możemy zapisać:
Przykład. Znajdź wariancję dyskretnej zmiennej losowej określonej przez prawo dystrybucji.
| X | ||||
| X2 | ||||
| R | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Rozwiązanie: .
9.4 Właściwości dyspersyjne
1. Wariancja stałej wartości wynosi zero. .
2. Stały współczynnik można usunąć ze znaku dyspersji podnosząc go do kwadratu. .
3. Wariancja sumy dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równa sumie wariancji tych zmiennych. .
4. Wariancja różnicy między dwiema niezależnymi zmiennymi losowymi jest równa sumie wariancji tych zmiennych. .
Twierdzenie. Wariancja liczby wystąpień zdarzenia A w n niezależnych próbach, w których każde prawdopodobieństwo p zajścia zdarzenia jest stałe, jest równa iloczynowi liczby prób przez prawdopodobieństwa wystąpienia i nie- wystąpienie zdarzenia w każdej próbie.
9.5 Odchylenie standardowe dyskretnej zmiennej losowej
Odchylenie standardowe zmienna losowa X nazywana jest pierwiastkiem kwadratowym wariancji.
Twierdzenie. Odchylenie standardowe sumy skończonej liczby wzajemnie niezależnych zmiennych losowych jest równe pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów odchyleń standardowych tych zmiennych.
Ogrom
Podstawowe charakterystyki numeryczne losowości
Prawo rozkładu gęstości charakteryzuje zmienną losową. Ale często nie jest to znane i trzeba ograniczać się do mniejszej ilości informacji. Czasem jeszcze bardziej opłaca się zastosować liczby opisujące w sumie zmienną losową. Takie liczby nazywane są charakterystyki numeryczne zmienna losowa. Spójrzmy na główne.
Definicja:Oczekiwanie matematyczne M(X) dyskretnej zmiennej losowej jest sumą iloczynów wszystkich możliwych wartości tej wielkości i ich prawdopodobieństw:
Jeśli dyskretna zmienna losowa X przyjmuje zatem przeliczalnie wiele możliwych wartości
Co więcej, oczekiwanie matematyczne istnieje, jeśli szereg ten jest absolutnie zbieżny.
Z definicji wynika, że M(X) dyskretna zmienna losowa jest zmienną nielosową (stałą).
Przykład: Pozwalać X– liczba wystąpień zdarzenia A w jednym teście, P(A) = p. Musimy znaleźć oczekiwanie matematyczne X.
Rozwiązanie: Stwórzmy tabelaryczne prawo dystrybucji X:
| X | 0 | 1 |
| P | 1 - str | P |
Znajdźmy oczekiwanie matematyczne:
Zatem, matematyczne oczekiwanie liczby wystąpień zdarzenia w jednej próbie jest równe prawdopodobieństwu tego zdarzenia.
Pochodzenie terminu wartość oczekiwana związany z początkowym okresem powstania teorii prawdopodobieństwa (XVI-XVII w.), kiedy zakres jej zastosowania ograniczał się do hazardu. Gracza interesowała średnia wartość oczekiwanej wygranej, tj. matematyczne oczekiwanie na wygraną.
Rozważmy probabilistyczne znaczenie oczekiwań matematycznych.
Niech się wyprodukuje N testy, w których zmienna losowa X przyjęty m 1 razy wartość x 1, m 2 razy wartość x 2 i tak dalej, aż w końcu się zgodziła m k razy wartość x k, I m 1 + m 2 +…+ + m k = n.
Następnie suma wszystkich wartości przyjętych przez zmienną losową X, jest równy x 1 m 1 + x 2 m 2 +…+x k m k.
Średnia arytmetyczna wszystkich wartości przyjętych przez zmienną losową X,równa się:
ponieważ jest względną częstotliwością wartości dla dowolnej wartości ja = 1, …, k.
Jak wiadomo, jeśli liczba testów N jest wystarczająco duża, wówczas częstotliwość względna jest w przybliżeniu równa prawdopodobieństwu wystąpienia zdarzenia, zatem
Zatem, .
Wniosek:Oczekiwanie matematyczne dyskretnej zmiennej losowej jest w przybliżeniu równe (im dokładniej, tym większa liczba testów) średniej arytmetycznej zaobserwowanych wartości zmiennej losowej.
Rozważmy podstawowe właściwości oczekiwań matematycznych.
Właściwość 1:Matematyczne oczekiwanie na stałą wartość jest równe samej wartości stałej:
M(C) = C.
Dowód: Stały Z można rozważyć , co ma jedno możliwe znaczenie Z i akceptuje to z prawdopodobieństwem p = 1. Stąd, M(C) =C 1 = S.
Zdefiniujmy iloczyn stałej zmiennej C i dyskretnej zmiennej losowej X jako dyskretna zmienna losowa CX, których możliwe wartości są równe iloczynom stałej Z do możliwych wartości X CX równe prawdopodobieństwom odpowiednich możliwych wartości X:
| CX | C | C | … | C |
| X | … | |||
| R | … |
Właściwość 2:Stały współczynnik można wyjąć z matematycznego znaku oczekiwania:
M(CX) = CM(X).
Dowód: Niech zmienna losowa X wynika z prawa rozkładu prawdopodobieństwa:
| X | … | |||
| P | … |
Napiszmy prawo rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej CX:
| CX | C | C | … | C |
| P | … |
M(CX) = C +C =C + ) = C M(X).
Definicja:Dwie zmienne losowe nazywane są niezależnymi, jeżeli prawo rozkładu jednej z nich nie zależy od tego, jakie możliwe wartości przyjęła druga zmienna. W przeciwnym razie zmienne losowe są zależne.
Definicja:Mówi się, że kilka zmiennych losowych jest wzajemnie niezależnych, jeżeli prawa rozkładu dowolnej ich liczby nie zależą od tego, jakie możliwe wartości przyjęły pozostałe zmienne.
Zdefiniujmy iloczyn niezależnych dyskretnych zmiennych losowych X i Y jako dyskretna zmienna losowa XY, których możliwe wartości są równe iloczynom każdej możliwej wartości X dla każdej możliwej wartości Y. Prawdopodobieństwa możliwych wartości XY są równe iloczynom prawdopodobieństw możliwych wartości czynników.
Niech zostaną dane rozkłady zmiennych losowych X I Y:
| X | … | |||
| P | … |
| Y | … | |||
| G | … |
Następnie rozkład zmiennej losowej XY ma postać:
| XY | … | |||
| P | … |
Niektóre prace mogą być równe. W tym przypadku prawdopodobieństwo możliwej wartości iloczynu jest równe sumie odpowiednich prawdopodobieństw. Na przykład, jeśli = , wówczas prawdopodobieństwo wartości wynosi
Właściwość 3:Oczekiwanie matematyczne iloczynu dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich oczekiwań matematycznych:
M(XY) = M(X) MÓJ).
Dowód: Niech niezależne zmienne losowe X I Y są określone przez ich własne prawa dotyczące rozkładu prawdopodobieństwa:
| X | ||
| P |
| Y | ||
| G |
Aby uprościć obliczenia, ograniczymy się do niewielkiej liczby możliwych wartości. W ogólnym przypadku dowód jest podobny.
Stwórzmy prawo rozkładu zmiennej losowej XY:
| XY | ||||
| P |
M(XY) =
M(X) MÓJ).
Konsekwencja:Oczekiwanie matematyczne iloczynu kilku wzajemnie niezależnych zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich oczekiwań matematycznych.
Dowód: Udowodnimy trzy wzajemnie niezależne zmienne losowe X,Y,Z. Zmienne losowe XY I Z niezależny, wówczas otrzymujemy:
M(XYZ) = M(XY Z) = M(XY) M(Z) = M(X) MÓJ) M(Z).
Dla dowolnej liczby wzajemnie niezależnych zmiennych losowych dowód przeprowadza się metodą indukcji matematycznej.
Przykład: Niezależne zmienne losowe X I Y
| X | 5 | 2 | |
| P | 0,6 | 0,1 | 0,3 |
| Y | 7 | 9 |
| G | 0,8 | 0,2 |
Trzeba znaleźć M(XY).
Rozwiązanie: Ponieważ zmienne losowe X I Y są w takim razie niezależne M(XY)=M(X) M(Y)=(5 0,6+2 0,1+4 0,3) (7 0,8+9 0,2)= 4,4 7,4 = =32,56.
Zdefiniujmy suma dyskretnych zmiennych losowych X i Y jako dyskretna zmienna losowa X+Y, których możliwe wartości są równe sumie każdej możliwej wartości X z każdą możliwą wartością Y. Prawdopodobieństwa możliwych wartości X+Y dla niezależnych zmiennych losowych X I Y są równe iloczynom prawdopodobieństw wyrazów, a dla zależnych zmiennych losowych - iloczynom prawdopodobieństwa jednego wyrazu przez prawdopodobieństwo warunkowe drugiego.
Jeśli = i prawdopodobieństwa tych wartości są odpowiednio równe, wówczas prawdopodobieństwo (tak samo jak ) jest równe .
Właściwość 4:Oczekiwanie matematyczne sumy dwóch zmiennych losowych (zależnych lub niezależnych) jest równe sumie oczekiwań matematycznych wyrazów:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
Dowód: Niech dwie zmienne losowe X I Y wynikają z następujących praw dystrybucji:
| X | ||
| P |
| Y | ||
| G |
Aby uprościć wniosek, ograniczymy się do dwóch możliwych wartości każdej wielkości. W ogólnym przypadku dowód jest podobny.
Skomponujmy wszystkie możliwe wartości zmiennej losowej X+Y(załóżmy dla uproszczenia, że wartości te są różne; jeśli nie, to dowód jest podobny):
| X+Y | ||||
| P |
Znajdźmy matematyczne oczekiwanie tej wartości.
M(X+Y) = + + + +
Udowodnijmy, że + = .
Wydarzenie X = ( jego prawdopodobieństwo P(X = ) pociąga za sobą zdarzenie, w którym zmienna losowa X+Y przyjmie wartość lub (prawdopodobieństwo tego zdarzenia, zgodnie z twierdzeniem o dodawaniu, jest równe ) i odwrotnie. Wtedy = .
Równości = = = dowodzi się w podobny sposób
Podstawiając prawe strony tych równości do otrzymanego wzoru na oczekiwanie matematyczne, otrzymujemy:
M(X + Y) = + ) = M(X) + M(Y).
Konsekwencja:Oczekiwanie matematyczne sumy kilku zmiennych losowych jest równe sumie oczekiwań matematycznych tych terminów.
Dowód: Udowodnimy dla trzech zmiennych losowych X,Y,Z. Znajdźmy matematyczne oczekiwanie zmiennych losowych X+Y I Z:
M(X+Y+Z)=M((X+Y Z)=M(X+Y) M(Z)=M(X)+M(Y)+M(Z)
Dla dowolnej liczby zmiennych losowych dowód przeprowadza się metodą indukcji matematycznej.
Przykład: Znajdź średnią sumę punktów, które można uzyskać rzucając dwiema kostkami.
Rozwiązanie: Pozwalać X– liczba punktów, jaka może pojawić się na pierwszej kostce, Y- Na drugim. Jest oczywiste, że zmienne losowe X I Y mają takie same rozkłady. Zapiszmy dane dotyczące dystrybucji X I Y w jedną tabelę:
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Y | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| P | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
M(X) = M(Y) (1+2+3+4+5+6) = =
M(X + Y) = 7.
Zatem średnia wartość sumy punktów, które mogą pojawić się przy rzucie dwiema kostkami, wynosi 7 .
Twierdzenie:Oczekiwanie matematyczne M(X) liczby wystąpień zdarzenia A w n niezależnych próbach jest równe iloczynowi liczby prób i prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia w każdej próbie: M(X) = np.
Dowód: Pozwalać X– liczba wystąpień zdarzenia A V N niezależne testy. Oczywiście całkowita liczba X wystąpienia zdarzenia A w tych próbach jest sumą liczby wystąpień zdarzenia w poszczególnych próbach. Następnie, jeśli liczba wystąpień zdarzenia w pierwszej próbie, w drugiej i tak dalej, to w końcu liczba wystąpień zdarzenia w N-tego testu, wówczas całkowitą liczbę wystąpień zdarzenia oblicza się ze wzoru:
Przez właściwość 4 oczekiwań matematycznych mamy:
M(X) = M( ) + … + M( ).
Ponieważ matematyczne oczekiwanie liczby wystąpień zdarzenia w jednej próbie jest równe prawdopodobieństwu zdarzenia
M( ) = M( )= … = M( ) = str.
Stąd, M(X) = np.
Przykład: Prawdopodobieństwo trafienia w cel podczas strzelania z broni wynosi p = 0,6. Znajdź średnią liczbę trafień, jeśli zostały wykonane 10 strzały.
Rozwiązanie: Trafienie każdego strzału nie zależy od wyników innych strzałów, dlatego rozpatrywane zdarzenia są niezależne i dlatego wymagane oczekiwanie matematyczne jest równe:
M(X) = np = 10 0,6 = 6.
Zatem średnia liczba trafień wynosi 6.
Rozważmy teraz matematyczne oczekiwanie ciągłej zmiennej losowej.
Definicja:Matematyczne oczekiwanie ciągłej zmiennej losowej X, której możliwe wartości należą do przedziału,nazywana całką oznaczoną:
gdzie f(x) jest gęstością rozkładu prawdopodobieństwa.
Jeśli możliwe wartości ciągłej zmiennej losowej X należą do całej osi Wółu, to
Zakłada się, że ta całka niewłaściwa jest zbieżna bezwzględnie, tj. całka jest zbieżna Gdyby ten wymóg nie był spełniony, wówczas wartość całki zależałaby od szybkości, z jaką (osobno) dolna granica dąży do -∞, a górna granica dąży do +∞.
Można to udowodnić wszystkie właściwości matematycznego oczekiwania dyskretnej zmiennej losowej są zachowane dla ciągłej zmiennej losowej. Dowód opiera się na własnościach całek oznaczonych i niewłaściwych.
Oczywiste jest, że oczekiwanie matematyczne M(X) większa od najmniejszej i mniejsza od największej możliwej wartości zmiennej losowej X. Te. na osi liczb możliwe wartości zmiennej losowej znajdują się po lewej i prawej stronie jej oczekiwań matematycznych. W tym sensie oczekiwanie matematyczne M(X) charakteryzuje lokalizację dystrybucji i dlatego jest często nazywany Centrum dystrybucji.