Podstawowe charakterystyki numeryczne dyskretnych i ciągłych zmiennych losowych: oczekiwanie matematyczne, rozproszenie i odchylenie standardowe. Ich właściwości i przykłady.
Prawo rozkładu (funkcja rozkładu i szereg dystrybucyjny lub gęstość prawdopodobieństwa) całkowicie opisuje zachowanie zmiennej losowej. Jednak w przypadku wielu problemów wystarczy znać pewne cechy liczbowe badanej wartości (na przykład jej średnią wartość i możliwe odchylenie od niej), aby odpowiedzieć na postawione pytanie. Rozważmy główne cechy liczbowe dyskretnych zmiennych losowych.
Definicja 7.1.Oczekiwanie matematyczne Dyskretna zmienna losowa to suma iloczynów jej możliwych wartości i odpowiadających im prawdopodobieństw:
M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p p str.(7.1)
Jeśli liczba możliwych wartości zmiennej losowej jest nieskończona, to jeśli wynikowy szereg jest zbieżny absolutnie.
Notatka 1. Czasami nazywane jest oczekiwaniem matematycznym Średnia ważona, ponieważ jest w przybliżeniu równy średniej arytmetycznej zaobserwowanych wartości zmiennej losowej w dużej liczbie eksperymentów.
Uwaga 2. Z definicji oczekiwania matematycznego wynika, że jego wartość jest nie mniejsza niż najmniejsza możliwa wartość zmiennej losowej i nie większa niż największa.
Uwaga 3. Oczekiwanie matematyczne dyskretnej zmiennej losowej wynosi nie losowo(stały. Zobaczymy później, że to samo dotyczy ciągłych zmiennych losowych.
Przykład 1. Znajdź matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej X- liczbę części standardowych spośród trzech wybranych z partii 10 części, w tym 2 wadliwych. Stwórzmy serię dystrybucyjną dla X. Z warunków problemowych wynika, że X może przyjmować wartości 1, 2, 3. Następnie
Przykład 2. Określ oczekiwanie matematyczne zmiennej losowej X- liczba rzutów monetą przed pierwszym pojawieniem się herbu. Wielkość ta może przyjmować nieskończoną liczbę wartości (zbiór możliwych wartości to zbiór liczb naturalnych). Jego szereg dystrybucyjny ma postać:
| X | … | P | … | ||
| R | 0,5 | (0,5) 2 | … | (0,5)P | … |
+ (przy obliczeniach dwukrotnie wykorzystano wzór na sumę nieskończenie malejącego postępu geometrycznego: , skąd ).
Właściwości oczekiwań matematycznych.
1) Matematyczne oczekiwanie na stałą jest równe samej stałej:
M(Z) = Z.(7.2)
Dowód. Jeśli weźmiemy pod uwagę Z jako dyskretna zmienna losowa przyjmująca tylko jedną wartość Z z prawdopodobieństwem R= 1, zatem M(Z) = Z?1 = Z.
2) Stały współczynnik można wyjąć ze znaku oczekiwania matematycznego:
M(CX) = CM(X). (7.3)
Dowód. Jeśli zmienna losowa X podane przez szeregi dystrybucyjne
Następnie M(CX) = Cx 1 R 1 + Cx 2 R 2 + … + Cx p p str = Z(X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p r str) = CM(X).
Definicja 7.2. Wywoływane są dwie zmienne losowe niezależny, jeśli prawo podziału jednego z nich nie zależy od wartości, jakie przyjął drugi. W przeciwnym razie zmienne losowe zależny.
Definicja 7.3. Zadzwońmy iloczyn niezależnych zmiennych losowych X I Y zmienna losowa XY, których możliwe wartości są równe iloczynom wszystkich możliwych wartości X dla wszystkich możliwych wartości Y, a odpowiadające im prawdopodobieństwa są równe iloczynom prawdopodobieństw czynników.
3) Oczekiwanie matematyczne iloczynu dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich oczekiwań matematycznych:
M(XY) = M(X)M(Y). (7.4)
Dowód. Aby uprościć obliczenia, ograniczamy się do przypadku, gdy X I Y przyjmij tylko dwie możliwe wartości:
Stąd, M(XY) = X 1 y 1 ?P 1 G 1 + X 2 y 1 ?P 2 G 1 + X 1 y 2 ?P 1 G 2 + X 2 y 2 ?P 2 G 2 = y 1 G 1 (X 1 P 1 + X 2 P 2) + + y 2 G 2 (X 1 P 1 + X 2 P 2) = (y 1 G 1 + y 2 G 2) (X 1 P 1 + X 2 P 2) = M(X)?M(Y).
Notatka 1. W podobny sposób możesz udowodnić tę właściwość dla większej liczby możliwych wartości czynników.
Uwaga 2. Właściwość 3 jest prawdziwa dla iloczynu dowolnej liczby niezależnych zmiennych losowych, co udowadnia indukcja matematyczna.
Definicja 7.4. Zdefiniujmy suma zmiennych losowych X I Y jako zmienna losowa X+Y, których możliwe wartości są równe sumie każdej możliwej wartości X z każdą możliwą wartością Y; prawdopodobieństwa takich sum są równe iloczynom prawdopodobieństw wyrazów (dla zależnych zmiennych losowych - iloczynom prawdopodobieństwa jednego składnika przez prawdopodobieństwo warunkowe drugiego).
4) Oczekiwanie matematyczne sumy dwóch zmiennych losowych (zależnych lub niezależnych) jest równe sumie oczekiwań matematycznych wyrazów:
M (X+Y) = M (X) + M (Y). (7.5)
Dowód.
Rozważmy jeszcze raz zmienne losowe określone szeregiem rozkładów podanym w dowodzie własności 3. Następnie możliwe wartości X+Y Czy X 1 + Na 1 , X 1 + Na 2 , X 2 + Na 1 , X 2 + Na 2. Oznaczmy ich prawdopodobieństwa odpowiednio jako R 11 , R 12 , R 21 i R 22. Znajdziemy M(X+Y) = (X 1 + y 1)P 11 + (X 1 + y 2)P 12 + (X 2 + y 1)P 21 + (X 2 + y 2)P 22 =
= X 1 (P 11 + P 12) + X 2 (P 21 + P 22) + y 1 (P 11 + P 21) + y 2 (P 12 + P 22).
Udowodnijmy to R 11 + R 22 = R 1. Rzeczywiście, wydarzenie, które X+Y przyjmie wartości X 1 + Na 1 lub X 1 + Na 2 i którego prawdopodobieństwo wynosi R 11 + R 22 zbiega się z wydarzeniem, które X = X 1 (jego prawdopodobieństwo wynosi R 1). Udowodniono to w podobny sposób P 21 + P 22 = R 2 , P 11 + P 21 = G 1 , P 12 + P 22 = G 2. Oznacza,
M(X+Y) = X 1 P 1 + X 2 P 2 + y 1 G 1 + y 2 G 2 = M (X) + M (Y).
Komentarz. Z własności 4 wynika, że suma dowolnej liczby zmiennych losowych jest równa sumie oczekiwań matematycznych wyrazów.
Przykład. Znajdź matematyczne oczekiwanie sumy punktów uzyskanych w rzucie pięcioma kostkami.
Znajdźmy matematyczne oczekiwanie liczby punktów uzyskanych podczas rzucania jedną kostką:
M(X 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Ta sama liczba jest równa matematycznemu oczekiwaniu na liczbę punktów zdobytych na dowolnej kostce. Zatem według właściwości 4 M(X)=
Dyspersja.
Aby mieć pojęcie o zachowaniu zmiennej losowej, nie wystarczy znać tylko jej matematyczne oczekiwanie. Rozważ dwie zmienne losowe: X I Y, określone przez szereg dystrybucyjny postaci
| X | |||
| R | 0,1 | 0,8 | 0,1 |
| Y | ||
| P | 0,5 | 0,5 |
Znajdziemy M(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M(Y) = 0?0,5 + 100?0,5 = 50. Jak widać oczekiwania matematyczne obu wielkości są równe, ale jeśli dla HM(X) dobrze opisuje zachowanie zmiennej losowej, będąc jej najbardziej prawdopodobną możliwą wartością (a pozostałe wartości nie różnią się zbytnio od 50), to wartości Y znacznie odsunięty od M(Y). Dlatego wraz z oczekiwaniem matematycznym pożądane jest wiedzieć, jak bardzo od niego odbiegają wartości zmiennej losowej. Aby scharakteryzować ten wskaźnik, stosuje się dyspersję.
Definicja 7.5.Dyspersja (rozpraszanie) zmiennej losowej jest matematycznym oczekiwaniem kwadratu jej odchylenia od jej matematycznego oczekiwania:
D(X) = M (X-M(X))². (7,6)
Znajdźmy wariancję zmiennej losowej X(liczba części standardowych spośród wybranych) w przykładzie 1 tego wykładu. Obliczmy kwadratowe odchylenie każdej możliwej wartości od oczekiwań matematycznych:
(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. Stąd,
Notatka 1. Przy określaniu rozproszenia ocenia się nie odchylenie od samej średniej, ale jej kwadrat. Odbywa się to w taki sposób, aby odchylenia różnych znaków nie znosiły się wzajemnie.
Uwaga 2. Z definicji dyspersji wynika, że wielkość ta przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne.
Uwaga 3. Istnieje wygodniejszy do obliczeń wzór na obliczenie wariancji, którego ważność udowadnia następujące twierdzenie:
Twierdzenie 7.1.D(X) = M(X²) - M²( X). (7.7)
Dowód.
Używając czego M(X) jest wartością stałą, a własności oczekiwań matematycznych przekształcamy wzór (7.6) do postaci:
D(X) = M(X-M(X))² = M(X² - 2 X? M(X) + M²( X)) = M(X²) - 2 M(X)?M(X) + M²( X) =
= M(X²) - 2 M²( X) + M²( X) = M(X²) - M²( X), co należało udowodnić.
Przykład. Obliczmy wariancje zmiennych losowych X I Y omówione na początku tej sekcji. M(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.
M(Y) = (0 2 ?0,5 + 100²?0,5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. Zatem wariancja drugiej zmiennej losowej jest kilka tysięcy razy większa niż wariancja pierwszej. Zatem nawet nie znając praw rozkładu tych wielkości, na podstawie znanych wartości dyspersji możemy to stwierdzić X odbiega nieznacznie od oczekiwań matematycznych, natomiast for Y to odchylenie jest dość znaczne.
Właściwości dyspersji.
1) Wariancja wartości stałej Z równe zeru:
D (C) = 0. (7.8)
Dowód. D(C) = M((CM(C))²) = M((CC)²) = M(0) = 0.
2) Stały współczynnik można usunąć ze znaku dyspersji podnosząc go do kwadratu:
D(CX) = C² D(X). (7.9)
Dowód. D(CX) = M((CX-M(CX))²) = M((CX-CM(X))²) = M(C²( X-M(X))²) =
= C² D(X).
3) Wariancja sumy dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równa sumie ich wariancji:
D(X+Y) = D(X) + D(Y). (7.10)
Dowód. D(X+Y) = M(X² + 2 XY + Y²) - ( M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2 M(X)M(Y) +
+ M(Y²) - M²( X) - 2M(X)M(Y) - M²( Y) = (M(X²) - M²( X)) + (M(Y²) - M²( Y)) = D(X) + D(Y).
Wniosek 1. Wariancja sumy kilku wzajemnie niezależnych zmiennych losowych jest równa sumie ich wariancji.
Konsekwencja 2. Wariancja sumy stałej i zmiennej losowej jest równa wariancji zmiennej losowej.
4) Wariancja różnicy między dwiema niezależnymi zmiennymi losowymi jest równa sumie ich wariancji:
D(X-Y) = D(X) + D(Y). (7.11)
Dowód. D(X-Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1)² D(Y) = D(X) + D(X).
Wariancja podaje średnią wartość kwadratu odchylenia zmiennej losowej od średniej; Do oceny samego odchylenia używana jest wartość zwana odchyleniem standardowym.
Definicja 7.6.Odchylenie standardoweσ zmienna losowa X nazywa się pierwiastkiem kwadratowym wariancji:
Przykład. W poprzednim przykładzie odchylenia standardowe X I Y są odpowiednio równe
Oczekiwanie to rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej
Oczekiwanie matematyczne, definicja, oczekiwanie matematyczne dyskretnych i ciągłych zmiennych losowych, próbka, oczekiwanie warunkowe, obliczenia, własności, problemy, szacowanie oczekiwań, rozproszenie, dystrybuanta, wzory, przykłady obliczeń
Rozwiń zawartość
Zwiń zawartość
Oczekiwanie matematyczne jest definicją
Jedno z najważniejszych pojęć statystyki matematycznej i teorii prawdopodobieństwa, charakteryzujące rozkład wartości lub prawdopodobieństw zmiennej losowej. Zazwyczaj wyrażana jako średnia ważona wszystkich możliwych parametrów zmiennej losowej. Szeroko stosowane w analizie technicznej, badaniu szeregów liczbowych oraz badaniu procesów ciągłych i czasochłonnych. Jest ważny w ocenie ryzyka, przewidywaniu wskaźników cen podczas handlu na rynkach finansowych i jest wykorzystywany w opracowywaniu strategii i metod taktyki gier w teorii hazardu.
Oczekiwanie matematyczne jestśrednia wartość zmiennej losowej, rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej jest rozważany w teorii prawdopodobieństwa.
Oczekiwanie matematyczne jest miara średniej wartości zmiennej losowej w teorii prawdopodobieństwa. Oczekiwanie zmiennej losowej X oznaczony przez M(x).
Oczekiwanie matematyczne jest
Oczekiwanie matematyczne jest w teorii prawdopodobieństwa średnia ważona wszystkich możliwych wartości, jakie może przyjąć zmienna losowa.
Oczekiwanie matematyczne jest suma iloczynów wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej i prawdopodobieństw tych wartości.
Oczekiwanie matematyczne jestśrednia korzyść z danej decyzji, pod warunkiem, że taką decyzję można rozpatrywać w ramach teorii wielkich liczb i dużych odległości.
Oczekiwanie matematyczne jest w teorii hazardu oznacza średnią kwotę wygranych, jaką gracz może zarobić lub stracić w przypadku każdego zakładu. W żargonie hazardowym nazywa się to czasami „przewagą gracza” (jeśli jest pozytywna dla gracza) lub „przewagą kasyna” (jeśli jest ujemna dla gracza).
Oczekiwanie matematyczne jest procent zysku na wygraną pomnożony przez średni zysk minus prawdopodobieństwo straty pomnożone przez średnią stratę.
Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej w teorii matematyki
Jedną z ważnych liczbowych cech zmiennej losowej jest jej oczekiwanie matematyczne. Wprowadźmy pojęcie układu zmiennych losowych. Rozważmy zbiór zmiennych losowych, które są wynikami tego samego eksperymentu losowego. Jeśli jest jedną z możliwych wartości układu, wówczas zdarzenie odpowiada pewnemu prawdopodobieństwu, które spełnia aksjomaty Kołmogorowa. Funkcja zdefiniowana dla dowolnych możliwych wartości zmiennych losowych nazywana jest prawem rozkładu łącznego. Funkcja ta umożliwia obliczenie prawdopodobieństwa dowolnych zdarzeń z. W szczególności wspólne prawo dystrybucji zmiennych losowych i, które przyjmują wartości ze zbioru i, jest dane przez prawdopodobieństwa.
Termin „oczekiwanie matematyczne” został wprowadzony przez Pierre’a Simona Marquisa de Laplace’a (1795) i wywodzi się z koncepcji „oczekiwanej wartości wygranej”, która po raz pierwszy pojawiła się w XVII wieku w teorii hazardu w dziełach Blaise’a Pascala i Christiaana. Huygensa. Pierwszego jednak pełnego teoretycznego zrozumienia i oceny tej koncepcji dokonał Pafnuty Lwowicz Czebyszew (połowa XIX w.).
Prawo rozkładu losowych zmiennych liczbowych (funkcja rozkładu i szereg dystrybucyjny lub gęstość prawdopodobieństwa) całkowicie opisuje zachowanie zmiennej losowej. Jednak w przypadku wielu problemów wystarczy znać pewne cechy liczbowe badanej wielkości (na przykład jej średnią wartość i możliwe odchylenie od niej), aby odpowiedzieć na postawione pytanie. Głównymi cechami liczbowymi zmiennych losowych są matematyczne oczekiwanie, wariancja, moda i mediana.
Matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej jest sumą iloczynów jej możliwych wartości i odpowiadających im prawdopodobieństw. Czasami oczekiwanie matematyczne nazywa się średnią ważoną, ponieważ jest w przybliżeniu równe średniej arytmetycznej zaobserwowanych wartości zmiennej losowej w dużej liczbie eksperymentów. Z definicji oczekiwania matematycznego wynika, że jego wartość jest nie mniejsza niż najmniejsza możliwa wartość zmiennej losowej i nie większa niż największa. Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej jest zmienną nielosową (stałą).
Oczekiwanie matematyczne ma proste znaczenie fizyczne: jeśli umieścisz masę jednostkową na linii prostej, umieszczając w niektórych punktach określoną masę (dla rozkładu dyskretnego) lub „posmarowując” ją określoną gęstością (dla rozkładu absolutnie ciągłego) , wówczas punkt odpowiadający oczekiwaniu matematycznemu będzie współrzędną „środek ciężkości” jest prosty.
Wartość średnia zmiennej losowej to pewna liczba, która jest niejako jej „przedstawicielem” i zastępuje ją w mniej więcej przybliżonych obliczeniach. Kiedy mówimy: „średni czas pracy lampy wynosi 100 godzin” lub „średni punkt trafienia jest przesunięty względem celu o 2 m w prawo”, wskazujemy na pewną charakterystykę liczbową zmiennej losowej opisującej jej położenie na osi liczbowej, tj. „charakterystyka pozycji”.
Spośród cech pozycji w teorii prawdopodobieństwa najważniejszą rolę odgrywa matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej, które czasami nazywane jest po prostu średnią wartością zmiennej losowej.
Rozważ zmienną losową X, mający możliwe wartości x1, x2, …, xn z prawdopodobieństwami p1, p2, …, pkt. Musimy scharakteryzować jakąś liczbą położenie wartości zmiennej losowej na osi x, biorąc pod uwagę fakt, że wartości te mają różne prawdopodobieństwa. Naturalne jest w tym celu wykorzystanie tzw. „średniej ważonej” wartości xi, a każdą wartość xi podczas uśredniania należy uwzględnić z „wagą” proporcjonalną do prawdopodobieństwa tej wartości. W ten sposób obliczymy średnią zmiennej losowej X, które oznaczamy M |X|:
Ta średnia ważona nazywana jest matematycznym oczekiwaniem zmiennej losowej. Tym samym wprowadziliśmy pod uwagę jedno z najważniejszych pojęć teorii prawdopodobieństwa – pojęcie oczekiwań matematycznych. Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej jest sumą iloczynów wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej i prawdopodobieństw tych wartości.
X wiąże się osobliwa zależność ze średnią arytmetyczną zaobserwowanych wartości zmiennej losowej w dużej liczbie eksperymentów. Zależność ta jest tego samego typu, co zależność między częstotliwością a prawdopodobieństwem, a mianowicie: przy dużej liczbie eksperymentów średnia arytmetyczna obserwowanych wartości zmiennej losowej zbliża się (zbiega się pod względem prawdopodobieństwa) do jej oczekiwań matematycznych. Z obecności związku pomiędzy częstotliwością i prawdopodobieństwem można w konsekwencji wywnioskować istnienie podobnego związku pomiędzy średnią arytmetyczną i oczekiwaniem matematycznym. Rzeczywiście, rozważ zmienną losową X, charakteryzujący się szeregiem rozkładów:
Niech się wyprodukuje N niezależne eksperymenty, w każdym z nich wartość X przyjmuje określoną wartość. Załóżmy, że wartość x1 pojawił się m1 razy, wartość x2 pojawił się m2 czasy, ogólne znaczenie xi pojawiał się wiele razy. Obliczmy średnią arytmetyczną zaobserwowanych wartości wartości X, która w przeciwieństwie do oczekiwań matematycznych M|X| oznaczamy M*|X|:
Wraz ze wzrostem liczby eksperymentów N częstotliwości Liczba Pi zbliży się (zbiegnie pod względem prawdopodobieństwa) do odpowiednich prawdopodobieństw. W konsekwencji średnia arytmetyczna zaobserwowanych wartości zmiennej losowej M|X| wraz ze wzrostem liczby eksperymentów będzie zbliżał się (zbiegał się pod względem prawdopodobieństwa) do swoich matematycznych oczekiwań. Sformułowany powyżej związek średniej arytmetycznej z oczekiwaniem matematycznym stanowi treść jednej z form prawa wielkich liczb.
Wiemy już, że wszystkie formy prawa wielkich liczb stwierdzają, że niektóre średnie są stabilne w dużej liczbie eksperymentów. Mówimy tutaj o stabilności średniej arytmetycznej z serii obserwacji tej samej wielkości. Przy niewielkiej liczbie eksperymentów średnia arytmetyczna ich wyników jest losowa; przy wystarczającym wzroście liczby eksperymentów staje się „prawie nielosowy” i stabilizując się, zbliża się do stałej wartości - oczekiwania matematycznego.
Stabilność średnich w dużej liczbie eksperymentów można łatwo zweryfikować eksperymentalnie. Przykładowo ważąc ciało w laboratorium na wagach precyzyjnych, w wyniku ważenia za każdym razem uzyskujemy nową wartość; Aby zmniejszyć błąd obserwacji, ważymy ciało kilka razy i wykorzystujemy średnią arytmetyczną uzyskanych wartości. Łatwo zauważyć, że wraz ze wzrostem liczby doświadczeń (ważeń) średnia arytmetyczna coraz mniej reaguje na ten wzrost i przy odpowiednio dużej liczbie doświadczeń praktycznie przestaje się zmieniać.
Należy zauważyć, że najważniejsza cecha położenia zmiennej losowej – oczekiwanie matematyczne – nie istnieje dla wszystkich zmiennych losowych. Można ułożyć przykłady takich zmiennych losowych, dla których nie istnieje oczekiwanie matematyczne, ponieważ odpowiadająca im suma lub całka jest rozbieżna. Przypadki takie nie mają jednak większego znaczenia dla praktyki. Zazwyczaj zmienne losowe, z którymi mamy do czynienia, mają ograniczony zakres możliwych wartości i oczywiście mają matematyczne oczekiwanie.
Oprócz najważniejszych cech położenia zmiennej losowej – oczekiwania matematycznego – w praktyce czasami wykorzystuje się inne cechy położenia, w szczególności modę i medianę zmiennej losowej.
Modą zmiennej losowej jest jej najbardziej prawdopodobna wartość. Termin „najbardziej prawdopodobna wartość” ściśle rzecz biorąc odnosi się tylko do wielkości nieciągłych; dla wielkości ciągłej modą jest wartość, przy której gęstość prawdopodobieństwa jest maksymalna. Na rysunkach przedstawiono odpowiednio tryb nieciągłej i ciągłej zmiennej losowej.
Jeśli wielokąt rozkładu (krzywa rozkładu) ma więcej niż jedno maksimum, rozkład nazywa się „multimodalnym”.
Czasami istnieją rozkłady, które mają minimum pośrodku, a nie maksimum. Takie rozkłady nazywane są „antymodalnymi”.
W ogólnym przypadku tryb i oczekiwanie matematyczne zmiennej losowej nie pokrywają się. W szczególnym przypadku, gdy rozkład jest symetryczny i modalny (tj. ma modę) i istnieje oczekiwanie matematyczne, to pokrywa się on z modą i środkiem symetrii rozkładu.
Często wykorzystuje się inną charakterystykę pozycji – tzw. medianę zmiennej losowej. Cecha ta jest zwykle stosowana tylko dla ciągłych zmiennych losowych, chociaż można ją formalnie zdefiniować dla zmiennej nieciągłej. Z geometrycznego punktu widzenia mediana jest odciętą punktu, w którym obszar objęty krzywą rozkładu jest podzielony na pół.
W przypadku symetrycznego rozkładu modalnego mediana pokrywa się z matematycznym oczekiwaniem i modą.
Oczekiwanie matematyczne to średnia wartość zmiennej losowej – numeryczna charakterystyka rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej. Najogólniej mówiąc, matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej X(w) definiuje się jako całkę Lebesgue’a względem miary prawdopodobieństwa R w pierwotnej przestrzeni prawdopodobieństwa:
Oczekiwanie matematyczne można również obliczyć jako całkę Lebesgue’a X poprzez rozkład prawdopodobieństwa pikseli wielkie ilości X:
Pojęcie zmiennej losowej o nieskończonym oczekiwaniu matematycznym można zdefiniować w sposób naturalny. Typowym przykładem są czasy powrotu niektórych przypadkowych spacerów.
Za pomocą oczekiwania matematycznego wyznacza się wiele cech liczbowych i funkcjonalnych rozkładu (jako oczekiwanie matematyczne odpowiednich funkcji zmiennej losowej), np. funkcję generującą, funkcję charakterystyczną, momenty dowolnego rzędu, w szczególności dyspersję, kowariancję .
Oczekiwanie matematyczne jest cechą lokalizacji wartości zmiennej losowej (średniej wartości jej rozkładu). W tym charakterze oczekiwanie matematyczne służy jako „typowy” parametr rozkładu i jego rola jest podobna do roli momentu statycznego – współrzędnej środka ciężkości rozkładu masy – w mechanice. Od innych cech lokalizacji, za pomocą których rozkład jest opisywany w sposób ogólny - mediany, mody, oczekiwanie matematyczne, różni się tym, że ma większą wartość, jaką ona i odpowiadająca jej cecha rozpraszania - dyspersja - mają w twierdzeniach granicznych teorii prawdopodobieństwa. Znaczenie oczekiwań matematycznych najpełniej ujawnia prawo wielkich liczb (nierówność Czebyszewa) i wzmocnione prawo wielkich liczb.
Oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej
Niech będzie jakaś zmienna losowa, która może przyjąć jedną z kilku wartości liczbowych (na przykład liczba punktów przy rzucie kostką może wynosić 1, 2, 3, 4, 5 lub 6). Często w praktyce dla takiej wartości pojawia się pytanie: jaką wartość przyjmuje „średnio” przy dużej liczbie testów? Jaki będzie nasz średni dochód (lub strata) z każdej z ryzykownych transakcji?
Powiedzmy, że jest jakiś rodzaj loterii. Chcemy zrozumieć, czy opłaca się w nim uczestniczyć (lub nawet uczestniczyć wielokrotnie, regularnie), czy nie. Załóżmy, że co czwarty los jest zwycięzcą, nagroda wyniesie 300 rubli, a cena każdego losu wyniesie 100 rubli. Tak właśnie się dzieje przy nieskończenie dużej liczbie udziałów. W trzech czwartych przypadków przegramy, każde trzy straty będą kosztować 300 rubli. W co czwartym przypadku wygramy 200 rubli. (nagroda minus koszt), czyli za cztery uczestnictwo tracimy średnio 100 rubli, za jedno - średnio 25 rubli. W sumie średnia stawka naszej ruiny wyniesie 25 rubli za bilet.
Rzucamy kostką. Jeśli nie jest to oszustwo (bez przesuwania środka ciężkości itp.), to ile średnio będziemy mieli punktów na raz? Ponieważ każda opcja jest równie prawdopodobna, po prostu bierzemy średnią arytmetyczną i otrzymujemy 3,5. Skoro jest to ŚREDNIA, to nie ma się co oburzać, że żaden konkretny rzut nie da 3,5 punktu – cóż, ta kostka nie ma ścianki z taką liczbą!
Podsumujmy teraz nasze przykłady:
Spójrzmy na właśnie podany obraz. Po lewej stronie znajduje się tabela rozkładu zmiennej losowej. Wartość X może przyjąć jedną z n możliwych wartości (pokazanych w górnym wierszu). Nie może być innych znaczeń. Poniżej każdej możliwej wartości zapisane jest jej prawdopodobieństwo. Po prawej stronie znajduje się wzór, w którym M(X) nazywa się oczekiwaniem matematycznym. Znaczenie tej wartości jest takie, że przy dużej liczbie testów (z dużą próbą) średnia wartość będzie zgodna z tymi samymi oczekiwaniami matematycznymi.
Wróćmy jeszcze raz do tej samej kostki do gry. Matematyczne oczekiwanie liczby punktów przy rzucie wynosi 3,5 (oblicz to sam, korzystając ze wzoru, jeśli mi nie wierzysz). Powiedzmy, że rzuciłeś nim kilka razy. Wyniki wyniosły 4 i 6. Średnia wyniosła 5, czyli daleko od 3,5. Rzucili jeszcze raz, dostali 3, czyli średnio (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... Trochę daleko od matematycznych oczekiwań. A teraz wykonaj szalony eksperyment - rzuć kostką 1000 razy! I nawet jeśli średnia nie wyniesie dokładnie 3,5, to będzie blisko tej wartości.
Obliczmy matematyczne oczekiwanie dla opisanej powyżej loterii. Płytka będzie wyglądać następująco:
Wtedy oczekiwanie matematyczne będzie takie, jak ustaliliśmy powyżej:
Inna sprawa, że zrobienie tego „na palcach”, bez przepisu, byłoby trudne, gdyby było więcej opcji. Cóż, powiedzmy, że będzie 75% losów przegranych, 20% losów zwycięskich i 5% losów szczególnie zwycięskich.
Teraz niektóre właściwości oczekiwań matematycznych.
Łatwo to udowodnić:
Stały współczynnik można przyjąć jako znak oczekiwania matematycznego, czyli:
Jest to szczególny przypadek właściwości liniowości oczekiwań matematycznych.
Kolejna konsekwencja liniowości oczekiwań matematycznych:
oznacza to, że matematyczne oczekiwanie sumy zmiennych losowych jest równe sumie matematycznych oczekiwań zmiennych losowych.
Niech X, Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi, Następnie:
Można to również łatwo udowodnić) Praca XY sama w sobie jest zmienną losową i czy wartości początkowe mogą przyjąć N I M wartości zatem odpowiednio XY może przyjmować wartości nm. Prawdopodobieństwo każdej wartości oblicza się w oparciu o fakt, że prawdopodobieństwa niezależnych zdarzeń są mnożone. W rezultacie otrzymujemy to:
Oczekiwanie ciągłej zmiennej losowej
Ciągłe zmienne losowe mają taką cechę, jak gęstość rozkładu (gęstość prawdopodobieństwa). Charakteryzuje to zasadniczo sytuację, że zmienna losowa pewne wartości ze zbioru liczb rzeczywistych przyjmuje częściej, a inne rzadziej. Rozważmy na przykład ten wykres:
Tutaj X- rzeczywista zmienna losowa, k(x)- gęstość dystrybucji. Sądząc po tym wykresie, podczas eksperymentów wartość X często będzie liczbą bliską zera. Szanse zostały przekroczone 3 lub być mniejszy -3 raczej czysto teoretyczny.
Niech na przykład będzie rozkład równomierny:
Jest to całkiem zgodne ze zrozumieniem intuicyjnym. Załóżmy, że jeśli otrzymamy wiele losowych liczb rzeczywistych o równomiernym rozkładzie, każdy z segmentów |0; 1| , to średnia arytmetyczna powinna wynosić około 0,5.
Mają tu także zastosowanie właściwości oczekiwań matematycznych – liniowość itp., mające zastosowanie dla dyskretnych zmiennych losowych.
Związek oczekiwań matematycznych z innymi wskaźnikami statystycznymi
W analizie statystycznej, wraz z oczekiwaniami matematycznymi, istnieje system współzależnych wskaźników, które odzwierciedlają jednorodność zjawisk i stabilność procesów. Wskaźniki zmienności często nie mają samodzielnego znaczenia i służą do dalszej analizy danych. Wyjątkiem jest współczynnik zmienności, który charakteryzuje jednorodność danych, co jest cenną cechą statystyczną.
Stopień zmienności lub stabilności procesów w naukach statystycznych można mierzyć za pomocą kilku wskaźników.
Najważniejszym wskaźnikiem charakteryzującym zmienność zmiennej losowej jest Dyspersja, co jest najściślej i bezpośrednio związane z oczekiwaniami matematycznymi. Parametr ten jest aktywnie wykorzystywany w innych rodzajach analiz statystycznych (testowanie hipotez, analiza związków przyczynowo-skutkowych itp.). Podobnie jak średnie odchylenie liniowe, wariancja odzwierciedla również stopień rozproszenia danych wokół wartości średniej.
Przydatne jest przełożenie języka znaków na język słów. Okazuje się, że dyspersja jest średnim kwadratem odchyleń. Oznacza to, że najpierw obliczana jest wartość średnia, następnie różnica między każdą wartością pierwotną a wartością średnią jest podnoszona do kwadratu, dodawana, a następnie dzielona przez liczbę wartości w populacji. Różnica między wartością indywidualną a średnią odzwierciedla miarę odchylenia. Podnosi się go do kwadratu, aby wszystkie odchylenia stały się wyłącznie liczbami dodatnimi i aby podczas ich sumowania uniknąć wzajemnego niszczenia odchyleń dodatnich i ujemnych. Następnie, biorąc pod uwagę kwadraty odchyleń, po prostu obliczamy średnią arytmetyczną. Średnia - kwadrat - odchylenia. Odchylenia podniesiono do kwadratu i obliczono średnią. Odpowiedź na magiczne słowo „dyspersja” kryje się w zaledwie trzech słowach.
Jednakże w czystej postaci, takiej jak średnia arytmetyczna lub indeks, dyspersja nie jest stosowana. Jest to raczej wskaźnik pomocniczy i pośredni, wykorzystywany do innych rodzajów analiz statystycznych. Nie ma nawet normalnej jednostki miary. Sądząc po wzorze, jest to kwadrat jednostki miary oryginalnych danych.
Zmierzmy zmienną losową N razy, na przykład mierzymy prędkość wiatru dziesięć razy i chcemy znaleźć wartość średnią. Jak wartość średnia jest powiązana z funkcją rozkładu?
Albo rzucimy kostką wiele razy. Liczba punktów, które pojawią się na kostkach przy każdym rzucie, jest zmienną losową i może przyjmować dowolną wartość naturalną od 1 do 6. Średnia arytmetyczna upuszczonych punktów obliczona dla wszystkich rzutów kostką jest również zmienną losową, ale w przypadku dużych N zmierza do bardzo konkretnej liczby – oczekiwania matematycznego Mx. W tym przypadku Mx = 3,5.
Jak uzyskałeś tę wartość? Wpuść N testy n1 gdy zdobędziesz 1 punkt, n2 raz - 2 punkty i tak dalej. Następnie liczba wyników, w których spadł jeden punkt:
Podobnie w przypadku wyników, gdy wyrzucono 2, 3, 4, 5 i 6 punktów.
Załóżmy teraz, że znamy prawo rozkładu zmiennej losowej x, czyli wiemy, że zmienna losowa x może przyjmować wartości x1, x2, ..., xk z prawdopodobieństwami p1, p2, ..., pk.
Oczekiwanie matematyczne Mx zmiennej losowej x jest równe:
Oczekiwanie matematyczne nie zawsze jest rozsądnym oszacowaniem jakiejś zmiennej losowej. Zatem do oszacowania przeciętnego wynagrodzenia rozsądniej jest posłużyć się pojęciem mediany, czyli takiej wartości, aby pokrywała się liczba osób otrzymujących wynagrodzenie niższe od mediany i wyższe.
Prawdopodobieństwo p1, że zmienna losowa x będzie mniejsza niż x1/2 i prawdopodobieństwo p2, że zmienna losowa x będzie większa niż x1/2, są takie same i równe 1/2. Mediana nie jest określona jednoznacznie dla wszystkich rozkładów.
Standard lub odchylenie standardowe w statystyce nazywa się stopień odchylenia danych obserwacyjnych lub zbiorów od wartości ŚREDNIEJ. Oznaczone literami s lub s. Małe odchylenie standardowe wskazuje, że dane skupiają się wokół średniej, natomiast duże odchylenie standardowe wskazuje, że dane początkowe znajdują się daleko od niej. Odchylenie standardowe jest równe pierwiastkowi kwadratowemu wielkości zwanej wariancją. Jest to średnia sumy kwadratów różnic danych początkowych, które odbiegają od wartości średniej. Odchylenie standardowe zmiennej losowej to pierwiastek kwadratowy wariancji:
Przykład. W warunkach testowych podczas strzelania do celu oblicz rozrzut i odchylenie standardowe zmiennej losowej:
Zmiana- fluktuacja, zmienność wartości cechy pomiędzy jednostkami populacji. Poszczególne wartości liczbowe cechy występującej w badanej populacji nazywane są wariantami wartości. Niewystarczalność wartości średniej do pełnego scharakteryzowania populacji zmusza nas do uzupełnienia wartości średnich wskaźnikami, które pozwalają ocenić typowość tych średnich poprzez pomiar zmienności (wariacji) badanej cechy. Współczynnik zmienności oblicza się ze wzoru:
Zakres zmienności(R) reprezentuje różnicę między maksymalną i minimalną wartością atrybutu w badanej populacji. Wskaźnik ten daje najbardziej ogólne pojęcie o zmienności badanej cechy, ponieważ pokazuje różnicę tylko między maksymalnymi wartościami opcji. Zależność od skrajnych wartości cechy nadaje zakresowi zmienności charakter niestabilny, losowy.
Średnie odchylenie liniowe reprezentuje średnią arytmetyczną bezwzględnych (modulo) odchyleń wszystkich wartości analizowanej populacji od ich wartości średniej:
Oczekiwanie matematyczne w teorii hazardu
Oczekiwanie matematyczne jestŚrednia kwota pieniędzy, jaką gracz może wygrać lub przegrać w danym zakładzie. Jest to bardzo ważna koncepcja dla gracza, ponieważ ma fundamentalne znaczenie dla oceny większości sytuacji w grach. Oczekiwanie matematyczne jest również optymalnym narzędziem do analizy podstawowych układów kart i sytuacji w grach.
Załóżmy, że grasz ze znajomym w grę na monety i za każdym razem obstawiasz po 1 dolara, niezależnie od tego, co się wydarzy. Reszka oznacza wygraną, reszka oznacza przegraną. Szanse są 1 do 1, że wypadnie orzeł, więc obstawiasz od 1 $ do 1 $. Zatem Twoje matematyczne oczekiwania wynoszą zero, ponieważ Z matematycznego punktu widzenia nie możesz wiedzieć, czy po dwóch rzutach, czy po 200, będziesz prowadził, czy przegrał.
Twój zysk godzinowy wynosi zero. Wygrane godzinowe to kwota pieniędzy, jaką możesz wygrać w ciągu godziny. Możesz rzucić monetą 500 razy w ciągu godziny, ale nie wygrasz ani nie przegrasz, ponieważ... Twoje szanse nie są ani pozytywne, ani negatywne. Jeśli spojrzeć na to z punktu widzenia poważnego gracza, ten system zakładów nie jest zły. Ale to po prostu strata czasu.
Załóżmy jednak, że ktoś chce postawić 2 USD przeciwko Twojemu 1 USD w tej samej grze. Wtedy od razu będziesz miał pozytywne oczekiwanie na 50 centów z każdego zakładu. Dlaczego 50 centów? Średnio wygrywasz jeden zakład i przegrywasz drugi. Postaw pierwszego dolara, a stracisz 1 dolara, postaw drugiego, a wygrasz 2 dolary. Obstawiasz 1 $ dwa razy i masz przewagę o 1 $. Zatem każdy z Twoich jednodolarowych zakładów dał ci 50 centów.
Jeśli moneta pojawi się 500 razy w ciągu godziny, Twoja godzinna wygrana wyniesie już 250 $, ponieważ... Przeciętnie przegrałeś jednego dolara 250 razy i wygrałeś dwa dolary 250 razy. 500 $ minus 250 $ równa się 250 $, czyli całkowita wygrana. Należy pamiętać, że wartość oczekiwana, czyli średnia kwota wygranej w zakładzie, wynosi 50 centów. Wygrałeś 250 dolarów, stawiając dolara 500 razy, co równa się 50 centom za zakład.
Oczekiwania matematyczne nie mają nic wspólnego z wynikami krótkoterminowymi. Twój przeciwnik, który zdecydował się postawić przeciwko Tobie 2 $, mógłby Cię pokonać w pierwszych dziesięciu rzutach z rzędu, ale Ty, mając przewagę w zakładach 2 do 1, przy wszystkich pozostałych czynnikach bez zmian, zarobisz 50 centów za każdy zakład o wartości 1 $ w dowolnym okoliczności. Nie ma znaczenia, czy wygrasz, czy przegrasz jeden zakład czy kilka zakładów, o ile masz wystarczającą ilość gotówki, aby wygodnie pokryć koszty. Jeśli będziesz nadal stawiać zakłady w ten sam sposób, to przez długi czas Twoje wygrane będą zbliżać się do sumy oczekiwań w poszczególnych rzutach.
Za każdym razem, gdy robisz najlepszy zakład (zakład, który może okazać się opłacalny na dłuższą metę), gdy szanse są na twoją korzyść, na pewno coś wygrasz, niezależnie od tego, czy przegrasz, czy nie w podana ręka. I odwrotnie, jeśli postawisz zakład na słabszego gracza (zakład, który na dłuższą metę jest nieopłacalny), gdy szanse są przeciwko tobie, coś tracisz niezależnie od tego, czy wygrasz, czy przegrasz rozdanie.
Stawiasz zakład z najlepszym wynikiem, jeśli Twoje oczekiwania są pozytywne, i jest on pozytywny, jeśli szanse są po Twojej stronie. Kiedy stawiasz zakład z najgorszym wynikiem, masz negatywne oczekiwania, co ma miejsce, gdy szanse są przeciwko tobie. Poważni gracze obstawiają tylko najlepszy wynik; jeśli zdarzy się najgorszy, spasują. Co oznacza kurs na Twoją korzyść? Możesz wygrać więcej, niż oferują rzeczywiste kursy. Prawdziwe szanse na wylądowanie orła wynoszą 1 do 1, ale dzięki ilorazowi szans otrzymujesz 2 do 1. W tym przypadku szanse są na Twoją korzyść. Zdecydowanie najlepszy wynik uzyskasz przy pozytywnym oczekiwaniu 50 centów na zakład.
Oto bardziej złożony przykład oczekiwań matematycznych. Znajomy zapisuje liczby od jednego do pięciu i stawia 5 dolarów przeciwko Twojemu 1 dolara, że nie odgadniesz liczby. Czy warto zgodzić się na taki zakład? Jakie jest tutaj oczekiwanie?
Średnio mylisz się cztery razy. Na tej podstawie prawdopodobieństwo, że odgadniesz liczbę, wynosi 4 do 1. Szansa, że stracisz dolara przy jednej próbie. Jednak wygrywasz 5 do 1, z możliwością przegranej 4 do 1. Zatem szanse są na twoją korzyść, możesz przyjąć zakład i mieć nadzieję na najlepszy wynik. Jeśli postawisz ten zakład pięć razy, średnio cztery razy stracisz 1 dolara i raz wygrasz 5 dolarów. Na tej podstawie za wszystkie pięć prób zarobisz 1 dolara, przy dodatnim oczekiwaniu matematycznym wynoszącym 20 centów za zakład.
Gracz, który wygra więcej, niż postawił, jak w powyższym przykładzie, ryzykuje. Wręcz przeciwnie, rujnuje swoje szanse, gdy spodziewa się wygranej mniejszej niż stawia. Gracz może mieć albo pozytywne, albo negatywne oczekiwania, w zależności od tego, czy wygra, czy zrujnuje kursy.
Jeśli postawisz 50 $, aby wygrać 10 $, mając szansę na wygraną 4 do 1, otrzymasz ujemną oczekiwaną wartość 2 $, ponieważ Średnio cztery razy wygrasz 10 $ i raz przegrasz 50 $, co pokazuje, że strata na zakład wyniesie 10 $. Ale jeśli postawisz 30 $, aby wygrać 10 $, przy takich samych szansach na wygraną 4 do 1, to w tym przypadku masz dodatnie oczekiwanie na 2 $, ponieważ ponownie wygrywasz 10 $ cztery razy i tracisz 30 $ raz, co daje zysk w wysokości 10 $. Te przykłady pokazują, że pierwszy zakład jest zły, a drugi dobry.
Oczekiwania matematyczne stanowią sedno każdej sytuacji w grze. Kiedy bukmacher zachęca kibiców piłki nożnej do postawienia 11 dolarów, aby wygrać 10 dolarów, ma pozytywne oczekiwania w wysokości 50 centów za każde 10 dolarów. Jeśli kasyno wypłaca nawet pieniądze z linii pass w kościach, wówczas pozytywne oczekiwanie kasyna wyniesie około 1,40 dolara na każde 100 dolarów, ponieważ Ta gra jest tak skonstruowana, że każdy, kto obstawia tę linię, traci średnio 50,7% i wygrywa 49,3% całkowitego czasu. Bez wątpienia to właśnie te pozornie minimalne pozytywne oczekiwania przynoszą ogromne zyski właścicielom kasyn na całym świecie. Jak zauważył Bob Stupak, właściciel kasyna Vegas World, „negatywne prawdopodobieństwo wynoszące jedną tysięczną jednego procenta na wystarczająco dużej odległości zrujnuje najbogatszego człowieka na świecie”.
Oczekiwania podczas gry w pokera
Gra w pokera jest przykładem najbardziej ilustracyjnym i ilustracyjnym z punktu widzenia wykorzystania teorii i właściwości oczekiwań matematycznych.
Wartość oczekiwana w pokerze to średnia korzyść z konkretnej decyzji, pod warunkiem, że taką decyzję można rozpatrywać w ramach teorii wielkich liczb i odległości. Udana gra w pokera polega na tym, aby zawsze akceptować ruchy o dodatniej wartości oczekiwanej.
Matematyczne znaczenie oczekiwań matematycznych podczas gry w pokera polega na tym, że podczas podejmowania decyzji często spotykamy się ze zmiennymi losowymi (nie wiemy, jakie karty ma w ręku przeciwnik, jakie karty pojawią się w kolejnych rundach licytacji). Każde z rozwiązań musimy rozpatrywać z punktu widzenia teorii wielkich liczb, która głosi, że przy dostatecznie dużej próbie średnia wartość zmiennej losowej będzie zmierzać do jej matematycznych oczekiwań.
Spośród konkretnych wzorów obliczania oczekiwań matematycznych w pokerze najbardziej przydatne są następujące:
Podczas gry w pokera oczekiwaną wartość można obliczyć zarówno w przypadku zakładów, jak i połączeń. W pierwszym przypadku należy wziąć pod uwagę krotność equity, w drugim szanse własne banku. Oceniając matematyczne oczekiwania dotyczące konkretnego ruchu, powinieneś pamiętać, że spasowanie zawsze wiąże się z zerowymi oczekiwaniami. Zatem odrzucenie kart zawsze będzie bardziej opłacalną decyzją niż jakikolwiek negatywny ruch.
Oczekiwania mówią Ci, czego możesz się spodziewać (zysku lub straty) w odniesieniu do każdego ryzykowanego dolara. Kasyna zarabiają pieniądze, ponieważ matematyczne oczekiwania dotyczące wszystkich gier w nich rozgrywanych są na korzyść kasyna. Przy wystarczająco długiej serii gier możesz spodziewać się, że klient straci swoje pieniądze, ponieważ „szanse” są na korzyść kasyna. Jednakże profesjonalni gracze w kasynie ograniczają swoje gry do krótkich okresów czasu, zwiększając w ten sposób szanse na swoją korzyść. To samo tyczy się inwestowania. Jeśli Twoje oczekiwania są pozytywne, możesz zarobić więcej pieniędzy, dokonując wielu transakcji w krótkim czasie. Oczekiwanie to procent zysku na wygraną pomnożony przez średni zysk minus prawdopodobieństwo straty pomnożone przez średnią stratę.
Na pokera można również spojrzeć z punktu widzenia oczekiwań matematycznych. Możesz założyć, że dany ruch jest opłacalny, ale w niektórych przypadkach może nie być najlepszy, ponieważ inny ruch jest bardziej opłacalny. Załóżmy, że trafiłeś fulla w pokerze pięciokartowym. Twój przeciwnik stawia zakład. Wiesz, że jeśli podbijesz zakład, on zareaguje. Dlatego podbicie wydaje się najlepszą taktyką. Jeśli jednak podbijesz zakład, pozostali dwaj gracze na pewno spasują. Ale jeśli sprawdzisz, masz całkowitą pewność, że pozostali dwaj gracze za tobą zrobią to samo. Kiedy podbijesz swój zakład, otrzymasz jedną jednostkę, a kiedy po prostu sprawdzisz, otrzymasz dwie. Zatem sprawdzenie daje wyższą dodatnią wartość oczekiwaną i będzie najlepszą taktyką.
Oczekiwania matematyczne mogą również dać wyobrażenie o tym, które taktyki pokerowe są mniej opłacalne, a które bardziej. Na przykład, jeśli rozgrywasz określone rozdanie i myślisz, że Twoja strata wyniesie średnio 75 centów, włączając ante, powinieneś rozegrać to rozdanie, ponieważ jest to lepsze niż spasowanie, gdy ante wynosi 1 dolara.
Innym ważnym powodem, dla którego warto zrozumieć koncepcję wartości oczekiwanej, jest to, że daje ona poczucie spokoju ducha niezależnie od tego, czy wygrasz zakład, czy nie: jeśli postawiłeś dobry zakład lub spasowałeś we właściwym czasie, będziesz wiedział, że zarobiłeś lub zaoszczędził pewną ilość pieniędzy, której słabszy gracz nie był w stanie zaoszczędzić. Znacznie trudniej jest spasować, jeśli jesteś zdenerwowany, ponieważ przeciwnik ma silniejszą rękę. Dzięki temu pieniądze, które zaoszczędzisz, nie grając zamiast obstawiać, zostaną dodane do Twoich wygranych za noc lub miesiąc.
Pamiętaj tylko, że gdybyś zmienił ręce, przeciwnik by cię sprawdził, a jak zobaczysz w artykule o Podstawowych twierdzeniach pokera, jest to tylko jedna z twoich zalet. Powinieneś być szczęśliwy, kiedy to się stanie. Możesz nawet nauczyć się czerpać przyjemność z przegrywania rozdania, ponieważ wiesz, że inni gracze na twojej pozycji straciliby znacznie więcej.
Jak wspomniano na początku w przykładzie gry na monety, godzinowa stopa zysku jest powiązana z oczekiwaniami matematycznymi, a koncepcja ta jest szczególnie ważna dla profesjonalnych graczy. Kiedy idziesz grać w pokera, powinieneś w myślach oszacować, ile możesz wygrać w ciągu godziny gry. W większości przypadków będziesz musiał polegać na swojej intuicji i doświadczeniu, ale możesz też posłużyć się matematyką. Na przykład, grasz w remis lowball i widzisz trzech graczy, którzy stawiają 10 dolarów, a następnie wymieniają dwie karty, co jest bardzo złą taktyką. Możesz się dowiedzieć, że za każdym razem, gdy stawiają 10 dolarów, tracą około 2 dolarów. Każdy z nich robi to osiem razy na godzinę, co oznacza, że wszyscy trzej tracą około 48 dolarów na godzinę. Jesteś jednym z pozostałych czterech graczy, których liczba jest mniej więcej równa, więc ci czterej gracze (i ty wśród nich) muszą podzielić się 48 $, a każdy z nich zarabia 12 $ na godzinę. Twoje szanse godzinowe w tym przypadku są po prostu równe Twojemu udziałowi w kwocie pieniędzy przegranej przez trzech złych graczy w ciągu godziny.
W długim okresie łączne wygrane gracza stanowią sumę jego matematycznych oczekiwań w poszczególnych rozdaniach. Im więcej rąk rozegrasz z pozytywnymi oczekiwaniami, tym więcej wygrasz i odwrotnie, im więcej rąk rozegrasz z negatywnymi oczekiwaniami, tym więcej przegrasz. W rezultacie powinieneś wybrać grę, która może zmaksymalizować Twoje pozytywne oczekiwania lub zanegować negatywne oczekiwania, abyś mógł zmaksymalizować swoje godzinne wygrane.
Pozytywne oczekiwania matematyczne w strategii gier
Jeśli umiesz liczyć karty, możesz mieć przewagę nad kasynem, o ile cię nie zauważy i nie wyrzuci. Kasyna kochają pijanych graczy i nie tolerują graczy liczących karty. Przewaga pozwoli Ci wygrać więcej razy, niż stracisz w miarę upływu czasu. Dobre zarządzanie pieniędzmi przy użyciu obliczeń wartości oczekiwanej może pomóc Ci wydobyć większy zysk z przewagi i zmniejszyć straty. Bez korzyści lepiej przekazać pieniądze na cele charytatywne. W grze na giełdzie przewagę daje system gry, który generuje większe zyski niż straty, różnice cenowe i prowizje. Żadne zarządzanie pieniędzmi nie jest w stanie uratować złego systemu gier.
Pozytywne oczekiwanie definiuje się jako wartość większą od zera. Im większa jest ta liczba, tym silniejsze jest oczekiwanie statystyczne. Jeżeli wartość jest mniejsza od zera, wówczas oczekiwanie matematyczne również będzie ujemne. Im większy moduł wartości ujemnej, tym gorsza sytuacja. Jeśli wynik wynosi zero, oczekiwanie jest progiem rentowności. Możesz wygrać tylko wtedy, gdy masz pozytywne oczekiwania matematyczne i rozsądny system gry. Granie intuicją prowadzi do katastrofy.
Oczekiwania matematyczne i handel akcjami
Oczekiwanie matematyczne jest dość powszechnie stosowanym i popularnym wskaźnikiem statystycznym przy przeprowadzaniu obrotu giełdowego na rynkach finansowych. Przede wszystkim ten parametr służy do analizy sukcesu handlu. Nietrudno zgadnąć, że im wyższa jest ta wartość, tym więcej powodów, by uważać badaną branżę za udaną. Oczywiście analizy pracy tradera nie można przeprowadzić na podstawie samego tego parametru. Jednak obliczona wartość w połączeniu z innymi metodami oceny jakości pracy może znacznie zwiększyć dokładność analizy.
Oczekiwanie matematyczne jest często obliczane w usługach monitorowania konta handlowego, co pozwala szybko ocenić pracę wykonaną na depozycie. Wyjątkiem są strategie wykorzystujące nierentowne transakcje typu „przesiadywanie”. Trader może przez jakiś czas mieć szczęście i dlatego w jego pracy może w ogóle nie być strat. W takim przypadku nie będzie można kierować się wyłącznie oczekiwaniami matematycznymi, ponieważ ryzyko stosowane w pracy nie będzie brane pod uwagę.
W handlu rynkowym oczekiwania matematyczne są najczęściej wykorzystywane do przewidywania rentowności dowolnej strategii handlowej lub do przewidywania dochodu tradera na podstawie danych statystycznych z jego poprzednich transakcji.
Jeśli chodzi o zarządzanie pieniędzmi, bardzo ważne jest, aby zrozumieć, że dokonując transakcji z negatywnymi oczekiwaniami, nie ma schematu zarządzania pieniędzmi, który z pewnością przyniósłby wysokie zyski. Jeśli będziesz nadal grać na giełdzie w takich warunkach, niezależnie od tego, jak będziesz zarządzać swoimi pieniędzmi, stracisz całe konto, niezależnie od tego, jak duże było na początku.
Ten aksjomat jest prawdziwy nie tylko w przypadku gier lub transakcji z negatywnymi oczekiwaniami, jest również prawdziwy w przypadku gier o równych szansach. Dlatego jedyną szansą na osiągnięcie zysku w dłuższej perspektywie jest zawarcie transakcji o dodatniej wartości oczekiwanej.
Różnica między negatywnymi i pozytywnymi oczekiwaniami jest różnicą między życiem a śmiercią. Nie ma znaczenia, jak pozytywne lub negatywne są oczekiwania; Ważne jest tylko to, czy jest to pozytywne, czy negatywne. Dlatego zanim rozważysz zarządzanie pieniędzmi, powinieneś znaleźć grę z pozytywnymi oczekiwaniami.
Jeśli nie masz tej gry, żadne zarządzanie pieniędzmi na świecie Cię nie uratuje. Z drugiej strony, jeśli masz pozytywne oczekiwania, możesz – poprzez odpowiednie zarządzanie pieniędzmi – przekształcić je w funkcję wykładniczego wzrostu. Nie ma znaczenia, jak małe są pozytywne oczekiwania! Innymi słowy, nie ma znaczenia, jak opłacalny jest system transakcyjny oparty na pojedynczym kontrakcie. Jeśli masz system, który wygrywa 10 USD na kontrakt na transakcję (po prowizji i poślizgu), możesz zastosować techniki zarządzania pieniędzmi, aby uczynić go bardziej zyskownym niż system, w którym średnio 1000 USD na transakcję (po odjęciu prowizji i poślizgu).
Liczy się nie to, jak rentowny był system, ale to, jak pewna jest pewność, że system wykaże w przyszłości przynajmniej minimalny zysk. Dlatego najważniejszym przygotowaniem, jakie może poczynić trader, jest upewnienie się, że system będzie w przyszłości wykazywał dodatnią wartość oczekiwaną.
Aby w przyszłości uzyskać dodatnią wartość oczekiwaną, bardzo ważne jest, aby nie ograniczać stopni swobody systemu. Osiąga się to nie tylko poprzez eliminację lub redukcję liczby parametrów podlegających optymalizacji, ale także poprzez redukcję jak największej liczby reguł systemowych. Każdy dodany parametr, każda wprowadzona reguła, każda drobna zmiana dokonana w systemie zmniejsza liczbę stopni swobody. Idealnie byłoby zbudować dość prymitywny i prosty system, który będzie konsekwentnie generował niewielkie zyski na prawie każdym rynku. Ponownie ważne jest, abyś zrozumiał, że nie ma znaczenia, jak opłacalny jest system, ważne, aby był on opłacalny. Pieniądze, które zarobisz na handlu, zostaną zarobione dzięki efektywnemu zarządzaniu pieniędzmi.
System transakcyjny to po prostu narzędzie, które zapewnia dodatnią wartość oczekiwaną, dzięki czemu można zarządzać pieniędzmi. Systemy, które działają (wykazują przynajmniej minimalne zyski) tylko na jednym lub kilku rynkach lub mają różne zasady lub parametry dla różnych rynków, najprawdopodobniej nie będą działać w czasie rzeczywistym przez długi czas. Problem z większością traderów zorientowanych technicznie polega na tym, że spędzają zbyt dużo czasu i wysiłku na optymalizacji różnych zasad i wartości parametrów systemu transakcyjnego. Daje to zupełnie odwrotne rezultaty. Zamiast marnować energię i czas komputera na zwiększanie zysków systemu transakcyjnego, skieruj swoją energię na zwiększenie poziomu pewności uzyskania minimalnego zysku.
Wiedząc, że zarządzanie pieniędzmi to tylko gra liczbowa wymagająca pozytywnych oczekiwań, trader może przestać szukać „świętego Graala” w handlu akcjami. Zamiast tego może zacząć testować swoją metodę handlu, dowiedzieć się, jak logiczna jest ta metoda i czy daje pozytywne oczekiwania. Właściwe metody zarządzania pieniędzmi, zastosowane do wszelkich, nawet bardzo przeciętnych metod handlu, resztę pracy wykonają same.
Aby każdy trader odniósł sukces w swojej pracy, musi rozwiązać trzy najważniejsze zadania: . Aby zapewnić, że liczba udanych transakcji przewyższa nieuniknione błędy i błędne obliczenia; Skonfiguruj swój system transakcyjny tak, abyś miał możliwość zarabiania pieniędzy tak często, jak to możliwe; Osiągaj stabilne, pozytywne wyniki swojej działalności.
I tutaj, dla nas, pracujących traderów, oczekiwania matematyczne mogą być bardzo pomocne. Termin ten jest jednym z kluczowych w teorii prawdopodobieństwa. Za jego pomocą możesz podać średnie oszacowanie jakiejś losowej wartości. Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej jest podobne do środka ciężkości, jeśli wyobrażasz sobie wszystkie możliwe prawdopodobieństwa jako punkty o różnych masach.
W odniesieniu do strategii handlowej do oceny jej efektywności najczęściej stosuje się matematyczne oczekiwanie zysku (lub straty). Parametr ten definiuje się jako sumę iloczynów danych poziomów zysków i strat oraz prawdopodobieństwa ich wystąpienia. Przykładowo opracowana strategia handlowa zakłada, że 37% wszystkich transakcji przyniesie zysk, a pozostała część – 63% – będzie nieopłacalna. Jednocześnie średni dochód z udanej transakcji wyniesie 7 dolarów, a średnia strata wyniesie 1,4 dolara. Obliczmy matematyczne oczekiwania dotyczące handlu za pomocą tego systemu:
Co oznacza ta liczba? Mówi, że zgodnie z zasadami tego systemu z każdej zamkniętej transakcji otrzymamy średnio 1708 dolarów. Ponieważ uzyskana wydajność jest większa od zera, taki system można wykorzystać do rzeczywistej pracy. Jeśli w wyniku obliczeń matematyczne oczekiwanie okaże się ujemne, oznacza to już średnią stratę i taki handel doprowadzi do ruiny.
Kwotę zysku na transakcję można również wyrazić jako wartość względną w postaci %. Na przykład:
– procent dochodu na 1 transakcję – 5%;
– odsetek udanych operacji handlowych – 62%;
– procent straty na 1 transakcję – 3%;
– odsetek nieudanych transakcji – 38%;
Oznacza to, że średni handel przyniesie 1,96%.
Można opracować system, który pomimo przewagi transakcji nierentownych, przyniesie wynik dodatni, gdyż jego MO>0.
Jednak samo czekanie nie wystarczy. Trudno jest zarabiać pieniądze, jeśli system daje bardzo mało sygnałów transakcyjnych. W tym przypadku jego rentowność będzie porównywalna z oprocentowaniem banku. Niech każda operacja generuje średnio tylko 0,5 dolara, ale co, jeśli system obejmuje 1000 operacji rocznie? Będzie to bardzo znacząca kwota w stosunkowo krótkim czasie. Logicznie wynika z tego, że kolejną cechą wyróżniającą dobry system transakcyjny można uznać za krótki okres utrzymywania pozycji.
Źródła i linki
dic.academic.ru – akademicki słownik internetowy
matematyka.ru – edukacyjny portal matematyczny
nsu.ru – strona edukacyjna Nowosybirskiego Uniwersytetu Państwowego
webmath.ru to portal edukacyjny dla studentów, kandydatów i uczniów.
exponenta.ru edukacyjna strona matematyczna
ru.tradimo.com – bezpłatna szkoła handlu online
crypto.hut2.ru – multidyscyplinarne źródło informacji
poker-wiki.ru – darmowa encyklopedia pokera
sernam.ru – Biblioteka naukowa wybranych publikacji z zakresu nauk przyrodniczych
reshim.su – strona internetowa ROZWIĄZUJEMY problemy z zajęciami testowymi
unfx.ru – Forex na UNFX: szkolenia, sygnały handlowe, zarządzanie zaufaniem
slovopedia.com – Wielki słownik encyklopedyczny Slovopedia
pokermansion.3dn.ru – Twój przewodnik po świecie pokera
statanaliz.info – blog informacyjny „Analiza danych statystycznych”
forex-trader.rf – portal Forex-Trader
megafx.ru – aktualna analityka Forex
fx-by.com – wszystko dla tradera
To znaczy, jeśli śl. ilość ma zatem prawo dystrybucji
zwany jego matematyczne oczekiwania. Jeśli śl. ilość ma nieskończoną liczbę wartości, wówczas oczekiwanie matematyczne wyznacza się na podstawie sumy nieskończonego szeregu 
, pod warunkiem, że szereg ten jest bezwzględnie zbieżny (inaczej mówią, że oczekiwanie matematyczne nie istnieje) .
Dla ciągły śl. wartość określoną funkcją gęstości prawdopodobieństwa f(x), oczekiwanie matematyczne definiuje się jako całkę
pod warunkiem, że całka ta istnieje (jeśli całka jest rozbieżna, to mówią, że oczekiwanie matematyczne nie istnieje).
Przykład 1. Określmy matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej rozłożonej Prawo Poissona. A-przeorat
lub oznaczmy
, 
Zatem parametr , definiujące prawo rozkładu zmiennej losowej Poissona jest równe średniej wartości tej zmiennej.
Przykład 2. Dla zmiennej losowej mającej prawo rozkładu wykładniczego oczekiwanie matematyczne jest równe
(
):
(weź granice całki, biorąc pod uwagę fakt, że f (x) jest niezerowe tylko dla dodatniego x).
Przykład 3. Zmienna losowa rozłożona zgodnie z prawem dystrybucji Cauchy'ego, nie ma wartości średniej. Naprawdę
Właściwości oczekiwań matematycznych.
Właściwość 1. Matematyczne oczekiwanie na stałą jest równe samej tej stałej.
Stała C przyjmuje tę wartość z prawdopodobieństwem jeden i, z definicji, M(C)=C×1=C
Własność 2. Oczekiwanie matematyczne sumy algebraicznej zmiennych losowych jest równe sumie algebraicznej ich oczekiwań matematycznych.
Ograniczamy się do udowodnienia tej własności jedynie dla sumy dwóch dyskretnych zmiennych losowych, tj. udowodnijmy to
Pod sumą dwóch odrębnych słów. Ilości należy rozumieć w następujący sposób. Ilość, która przyjmuje wartości z prawdopodobieństwem
A-przeorat
gdzie jest prawdopodobieństwem zdarzenia obliczonym pod warunkiem, że . Prawa strona ostatniej równości wymienia wszystkie przypadki zajścia zdarzenia, zatem jest równa całkowitemu prawdopodobieństwu zajścia zdarzenia, tj. 
. Podobnie 
. Wreszcie mamy
Własność 3. Oczekiwanie matematyczne iloczynu dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich oczekiwań matematycznych.
| U | … | |||||||
| Q | … | |||||||
| X | … | |||||||
| R | … | |||||||
Dowody tej własności przedstawiamy jedynie dla wielkości dyskretnych. Dla ciągłych zmiennych losowych udowadnia się to w podobny sposób.
Niech X i Y będą niezależne i mają prawa dystrybucji
Iloczyn tych zmiennych losowych będzie zmienną losową, która przyjmuje wartości z jednakowym prawdopodobieństwem, ze względu na niezależność zmiennych losowych, . Następnie
Konsekwencja. Stały współczynnik można wyjąć jako znak oczekiwań matematycznych. Zatem stała stulecia C nie zależy od wartości, jaką przyjmuje słowo. wartość X, następnie według właściwości 3. mamy
M(CX)=M(C)×M(X)=C×M(X)
Przykład. Jeśli a i b są stałymi, to M(ax+b)=aM(x)+b.
Matematyczne oczekiwanie liczby wystąpień zdarzenia w projekcie niezależnych prób.
Przeprowadźmy n niezależnych eksperymentów, w których prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia jest równe P. Liczba wystąpień zdarzenia w tych n eksperymentach jest zmienną losową X o rozkładzie dwumianowym. Jednak bezpośrednie obliczenie jej średniej wartości jest kłopotliwe. Dla uproszczenia skorzystamy z rozwinięcia, które w przyszłości wykorzystamy jeszcze nie raz: Na liczbę wystąpień zdarzenia w n eksperymentach składa się liczba wystąpień zdarzenia w poszczególnych eksperymentach, tj.
gdzie ma prawo rozkładu (przyjmuje wartość 1, jeśli zdarzenie wystąpiło w danym eksperymencie i wartość 0, jeśli zdarzenie nie wystąpiło w danym eksperymencie).
| R | 1 | R |
Dlatego
te. średnia liczba wystąpień zdarzenia w n niezależnych eksperymentach jest równa iloczynowi liczby eksperymentów i prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia w jednym eksperymencie.
Przykładowo, jeśli prawdopodobieństwo trafienia w cel jednym strzałem wynosi 0,1, to średnia liczba trafień w 20 strzałach wynosi 20x0,1=2.
Oczekiwanie matematyczne jest definicją
Czekanie na mata jest jedno z najważniejszych pojęć statystyki matematycznej i teorii prawdopodobieństwa, charakteryzujące rozkład wartości lub prawdopodobieństwa zmienna losowa. Zazwyczaj wyrażana jako średnia ważona wszystkich możliwych parametrów zmiennej losowej. Szeroko stosowane w analizie technicznej, badaniu szeregów liczbowych oraz badaniu procesów ciągłych i czasochłonnych. Jest ważny przy ocenie ryzyka, przewidywaniu wskaźników cen podczas handlu na rynkach finansowych oraz jest wykorzystywany przy opracowywaniu strategii i metod taktyki gier w teorie hazardu.
Mat czeka- Ten wartość średnia zmiennej losowej, rozkład prawdopodobieństwa zmienna losowa jest uwzględniana w teorii prawdopodobieństwa.
Czekanie na mata jest miara średniej wartości zmiennej losowej w teorii prawdopodobieństwa. Zamatuj oczekiwanie zmiennej losowej X oznaczony przez M(x).
Oczekiwanie matematyczne (średnia populacji) wynosi
Czekanie na mata jest
Czekanie na mata jest w teorii prawdopodobieństwa średnia ważona wszystkich możliwych wartości, jakie może przyjąć zmienna losowa.
Czekanie na mata jest suma iloczynów wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej i prawdopodobieństw tych wartości.
Oczekiwanie matematyczne (średnia populacji) wynosi
Czekanie na mata jestśrednia korzyść z danej decyzji, pod warunkiem, że taką decyzję można rozpatrywać w ramach teorii wielkich liczb i dużych odległości.
Czekanie na mata jest w teorii hazardu oznacza kwotę wygranych, jaką spekulant może zarobić lub stracić średnio w każdym zakładzie. W języku hazardu spekulanci czasami nazywa się to „zaletą” spekulant" (jeśli jest pozytywny dla spekulanta) lub "przewaga kasyna" (jeśli jest negatywna dla spekulanta).
Oczekiwanie matematyczne (średnia populacji) wynosi
Czekanie na mata jest zysk na wygraną pomnożony przez średnią zysk, minus strata, pomnożona przez średnią stratę.
Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej w teorii matematyki
Jedną z ważnych cech liczbowych zmiennej losowej jest wartość oczekiwana. Wprowadźmy pojęcie układu zmiennych losowych. Rozważmy zbiór zmiennych losowych, które są wynikami tego samego eksperymentu losowego. Jeśli jest jedną z możliwych wartości układu, wówczas zdarzenie odpowiada pewnemu prawdopodobieństwu, które spełnia aksjomaty Kołmogorowa. Funkcja zdefiniowana dla dowolnych możliwych wartości zmiennych losowych nazywana jest prawem rozkładu łącznego. Funkcja ta umożliwia obliczenie prawdopodobieństwa dowolnych zdarzeń z. W szczególności wspólne prawo rozkłady zmiennych losowych i, które przyjmują wartości ze zbioru i, są podawane przez prawdopodobieństwa.
Termin „mat. oczekiwanie” zostało wprowadzone przez Pierre’a Simona Marquisa de Laplace’a (1795) i wywodzi się z koncepcji „oczekiwanej wartości wygranej”, która po raz pierwszy pojawiła się w XVII wieku w teorii hazardu w pracach Blaise’a Pascala i Christiaana Huygensa. Pierwszego jednak pełnego teoretycznego zrozumienia i oceny tej koncepcji dokonał Pafnuty Lwowicz Czebyszew (połowa XIX w.).
Prawo rozkłady losowych zmiennych liczbowych (funkcja rozkładu i szeregi rozkładów lub gęstość prawdopodobieństwa) całkowicie opisują zachowanie zmiennej losowej. Jednak w przypadku wielu problemów wystarczy znać pewne cechy liczbowe badanej wielkości (na przykład jej średnią wartość i możliwe odchylenie od niej), aby odpowiedzieć na postawione pytanie. Głównymi cechami liczbowymi zmiennych losowych są oczekiwanie, wariancja, moda i mediana.
Oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej jest sumą iloczynów jej możliwych wartości i odpowiadających im prawdopodobieństw. Czasem przeklinam. oczekiwanie nazywa się średnią ważoną, ponieważ jest w przybliżeniu równe średniej arytmetycznej zaobserwowanych wartości zmiennej losowej w dużej liczbie eksperymentów. Z definicji wartości oczekiwanej wynika, że jej wartość jest nie mniejsza niż najmniejsza możliwa wartość zmiennej losowej i nie większa niż największa. Oczekiwana wartość zmiennej losowej jest zmienną nielosową (stałą).
Oczekiwanie matematyczne ma proste znaczenie fizyczne: jeśli umieścisz masę jednostkową na linii prostej, umieszczając w niektórych punktach określoną masę (dla rozkładu dyskretnego) lub „posmarowując” ją określoną gęstością (dla rozkładu absolutnie ciągłego) , wówczas punkt odpowiadający oczekiwaniu matematycznemu będzie współrzędną „środek ciężkości” jest prosty.
Wartość średnia zmiennej losowej to pewna liczba, która jest niejako jej „przedstawicielem” i zastępuje ją w mniej więcej przybliżonych obliczeniach. Kiedy mówimy: „średni czas pracy lampy wynosi 100 godzin” lub „średni punkt trafienia jest przesunięty względem celu o 2 m w prawo”, wskazujemy na pewną charakterystykę liczbową zmiennej losowej opisującej jej położenie na osi liczbowej, tj. „charakterystyka pozycji”.
Wśród cech pozycji w teorii prawdopodobieństwa najważniejszą rolę odgrywa wartość oczekiwana zmiennej losowej, którą czasami nazywa się po prostu wartością średnią zmiennej losowej.
Rozważ zmienną losową X, mający możliwe wartości x1, x2, …, xn z prawdopodobieństwami p1, p2, …, pkt. Musimy scharakteryzować jakąś liczbą położenie wartości zmiennej losowej na osi odciętych biorąc pod uwagęże wartości te mają różne prawdopodobieństwa. Naturalne jest w tym celu wykorzystanie tzw. „średniej ważonej” wartości xi, a każdą wartość xi podczas uśredniania należy uwzględnić z „wagą” proporcjonalną do prawdopodobieństwa tej wartości. W ten sposób obliczymy średnią zmiennej losowej X, które oznaczamy M |X|:
Ta średnia ważona nazywana jest wartością oczekiwaną zmiennej losowej. Tym samym wprowadziliśmy pod uwagę jedno z najważniejszych pojęć teorii prawdopodobieństwa – pojęcie matematyki. oczekiwania. Mata. Oczekiwanie zmiennej losowej to suma iloczynów wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej i prawdopodobieństw tych wartości.
Mata. oczekiwanie na zmienną losową X wiąże się osobliwa zależność ze średnią arytmetyczną zaobserwowanych wartości zmiennej losowej w dużej liczbie eksperymentów. Zależność ta jest tego samego typu, co zależność między częstotliwością a prawdopodobieństwem, a mianowicie: przy dużej liczbie eksperymentów średnia arytmetyczna zaobserwowanych wartości zmiennej losowej zbliża się (zbiega się pod względem prawdopodobieństwa) do swojej matematyki. Czekanie. Z obecności związku pomiędzy częstotliwością i prawdopodobieństwem można w konsekwencji wywnioskować istnienie podobnego związku pomiędzy średnią arytmetyczną i oczekiwaniem matematycznym. Rzeczywiście, rozważ zmienną losową X, charakteryzujący się szeregiem rozkładów:
Niech się wyprodukuje N niezależne eksperymenty, w każdym z nich wartość X przyjmuje określoną wartość. Załóżmy, że wartość x1 pojawił się m1 razy, wartość x2 pojawił się m2 czasy, ogólne znaczenie xi pojawiał się wiele razy. Obliczmy średnią arytmetyczną zaobserwowanych wartości wartości X, która w przeciwieństwie do oczekiwań matematycznych M|X| oznaczamy M*|X|:
Wraz ze wzrostem liczby eksperymentów N częstotliwości Liczba Pi zbliży się (zbiegnie pod względem prawdopodobieństwa) do odpowiednich prawdopodobieństw. W konsekwencji średnia arytmetyczna zaobserwowanych wartości zmiennej losowej M|X| wraz ze wzrostem liczby eksperymentów będzie zbliżał się (zbiegał się pod względem prawdopodobieństwa) do swojej oczekiwanej wartości. Sformułowany powyżej związek średniej arytmetycznej z matematyką. oczekiwanie jest treścią jednej z form prawa wielkich liczb.
Wiemy już, że wszystkie formy prawa wielkich liczb stwierdzają, że niektóre średnie są stabilne w dużej liczbie eksperymentów. Mówimy tutaj o stabilności średniej arytmetycznej z serii obserwacji tej samej wielkości. Przy niewielkiej liczbie eksperymentów średnia arytmetyczna ich wyników jest losowa; przy wystarczającym wzroście liczby eksperymentów staje się „prawie nielosowy” i stabilizując się, zbliża się do stałej wartości - mat. Czekanie.
Stabilność średnich w dużej liczbie eksperymentów można łatwo zweryfikować eksperymentalnie. Przykładowo ważąc ciało w laboratorium na wagach precyzyjnych, w wyniku ważenia za każdym razem uzyskujemy nową wartość; Aby zmniejszyć błąd obserwacji, ważymy ciało kilka razy i wykorzystujemy średnią arytmetyczną uzyskanych wartości. Łatwo zauważyć, że wraz ze wzrostem liczby doświadczeń (ważeń) średnia arytmetyczna coraz mniej reaguje na ten wzrost i przy odpowiednio dużej liczbie doświadczeń praktycznie przestaje się zmieniać.
Należy zauważyć, że najważniejszą cechą położenia zmiennej losowej jest mat. oczekiwanie - nie istnieje dla wszystkich zmiennych losowych. Można stworzyć przykłady takich zmiennych losowych, dla których mat. nie ma oczekiwań, ponieważ odpowiednia suma lub całka jest rozbieżna. Przypadki takie nie mają jednak większego znaczenia dla praktyki. Zazwyczaj zmienne losowe, z którymi mamy do czynienia, mają ograniczony zakres możliwych wartości i oczywiście mają matematyczne oczekiwanie.
Oprócz najważniejszej z charakterystyk położenia zmiennej losowej – wartości oczekiwanej – w praktyce czasami wykorzystuje się inne charakterystyki położenia, w szczególności modę i medianę zmiennej losowej.
Modą zmiennej losowej jest jej najbardziej prawdopodobna wartość. Termin „najbardziej prawdopodobna wartość” ściśle rzecz biorąc odnosi się tylko do wielkości nieciągłych; dla wielkości ciągłej modą jest wartość, przy której gęstość prawdopodobieństwa jest maksymalna. Na rysunkach przedstawiono odpowiednio tryb nieciągłej i ciągłej zmiennej losowej.
Jeśli wielokąt rozkładu (krzywa rozkładu) ma więcej niż jedno maksimum, rozkład nazywa się „multimodalnym”.
Czasami istnieją rozkłady, które mają minimum pośrodku, a nie maksimum. Takie rozkłady nazywane są „antymodalnymi”.
W ogólnym przypadku tryb i wartość oczekiwana zmiennej losowej nie pokrywają się. W szczególnym przypadku, gdy rozkład jest symetryczny i modalny (tj. ma modę) i występuje mata. oczekiwania, to pokrywa się on z trybem i środkiem symetrii rozkładu.
Często wykorzystuje się inną charakterystykę pozycji – tzw. medianę zmiennej losowej. Cecha ta jest zwykle stosowana tylko dla ciągłych zmiennych losowych, chociaż można ją formalnie zdefiniować dla zmiennej nieciągłej. Z geometrycznego punktu widzenia mediana jest odciętą punktu, w którym obszar objęty krzywą rozkładu jest podzielony na pół.
W przypadku symetrycznego rozkładu modalnego środkowa pokrywa się z matą. oczekiwania i moda.
Wartość oczekiwana to średnia wartość zmiennej losowej – numeryczna charakterystyka rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej. Najprościej mówiąc, zamatuj oczekiwanie zmiennej losowej X(w) definiuje się jako całkę Lebesgue’a względem miary prawdopodobieństwa R w pierwotnej przestrzeni prawdopodobieństwa:
Mata. oczekiwanie można również obliczyć jako całkę Lebesgue’a X poprzez rozkład prawdopodobieństwa pikseli wielkie ilości X:
Naturalne jest zdefiniowanie pojęcia zmiennej losowej z nieskończonym oczekiwaniem. Typowym przykładem są czasy repatriacji podczas niektórych przypadkowych spacerów.
Przy pomocy maty. oczekiwania określają wiele liczbowych i funkcjonalnych cech rozkładu (jako matematyczne oczekiwanie odpowiednich funkcji od zmiennej losowej), na przykład funkcję generującą, funkcję charakterystyczną, momenty dowolnego rzędu, w szczególności dyspersję, kowariancję.
Oczekiwanie matematyczne (średnia populacji) wynosi
Oczekiwanie matematyczne jest cechą lokalizacji wartości zmiennej losowej (średniej wartości jej rozkładu). W tym charakterze oczekiwanie matematyczne służy jako „typowy” parametr rozkładu i jego rola jest podobna do roli momentu statycznego – współrzędnej środka ciężkości rozkładu masy – w mechanice. Oczekiwanie różni się od innych cech lokalizacji, za pomocą których opisuje się rozkład w sposób ogólny - mediany, mody, maty - tym większą wartością, jaką ma ona i odpowiadająca jej cecha rozproszenia - dyspersja - w twierdzeniach granicznych teorii prawdopodobieństwa. Znaczenie partnera oczekiwań najpełniej ujawnia prawo wielkich liczb (nierówność Czebyszewa) i wzmocnione prawo wielkich liczb.
Oczekiwanie matematyczne (średnia populacji) wynosi
Oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej
Niech będzie jakaś zmienna losowa, która może przyjąć jedną z kilku wartości liczbowych (na przykład liczba punktów przy rzucie kostką może wynosić 1, 2, 3, 4, 5 lub 6). Często w praktyce dla takiej wartości pojawia się pytanie: jaką wartość przyjmuje „średnio” przy dużej liczbie testów? Jaki będzie nasz średni dochód (lub strata) z każdej z ryzykownych transakcji?
Powiedzmy, że jest jakiś rodzaj loterii. Chcemy zrozumieć, czy opłaca się w nim uczestniczyć (lub nawet uczestniczyć wielokrotnie, regularnie), czy nie. Załóżmy, że co czwarty los jest zwycięzcą, nagroda wyniesie 300 rubli, a każdy los będzie kosztował 100 rubli. Tak właśnie się dzieje przy nieskończenie dużej liczbie udziałów. W trzech czwartych przypadków przegramy, każde trzy straty będą kosztować 300 rubli. W co czwartym przypadku wygramy 200 rubli. (nagroda minus koszt), czyli za cztery uczestnictwo tracimy średnio 100 rubli, za jedno - średnio 25 rubli. W sumie średnia stawka naszej ruiny wyniesie 25 rubli za bilet.
Rzucamy kostką. Jeśli nie jest to oszustwo (bez przesuwania środka ciężkości itp.), to ile średnio będziemy mieli punktów na raz? Ponieważ każda opcja jest równie prawdopodobna, po prostu bierzemy średnią arytmetyczną i otrzymujemy 3,5. Skoro jest to ŚREDNIA, to nie ma się co oburzać, że żaden konkretny rzut nie da 3,5 punktu – cóż, ta kostka nie ma ścianki z taką liczbą!
Podsumujmy teraz nasze przykłady:
Spójrzmy na właśnie podany obraz. Po lewej stronie znajduje się tabela rozkładu zmiennej losowej. Wartość X może przyjąć jedną z n możliwych wartości (pokazanych w górnym wierszu). Nie może być innych znaczeń. Poniżej każdej możliwej wartości zapisane jest jej prawdopodobieństwo. Po prawej stronie znajduje się wzór, w którym M(X) nazywa się matą. Czekanie. Znaczenie tej wartości jest takie, że przy dużej liczbie testów (z dużą próbą) średnia wartość będzie zgodna z tymi samymi oczekiwaniami.
Wróćmy jeszcze raz do tej samej kostki do gry. Mata. oczekiwana liczba punktów przy rzucie wynosi 3,5 (oblicz to sam, korzystając ze wzoru, jeśli mi nie wierzysz). Powiedzmy, że rzuciłeś nim kilka razy. Wyniki wyniosły 4 i 6. Średnia wyniosła 5, czyli daleko od 3,5. Rzucili jeszcze raz, dostali 3, czyli średnio (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... Jakoś daleko od maty. oczekiwania. A teraz wykonaj szalony eksperyment - rzuć kostką 1000 razy! I nawet jeśli średnia nie wyniesie dokładnie 3,5, to będzie blisko tej wartości.
Obliczmy matę. czekam na loterię opisaną powyżej. Płytka będzie wyglądać następująco:
Wtedy oczekiwanie na mata będzie takie, jak ustaliliśmy powyżej:
Inna sprawa, że zrobienie tego „na palcach”, bez przepisu, byłoby trudne, gdyby było więcej opcji. Cóż, powiedzmy, że będzie 75% losów przegranych, 20% losów zwycięskich i 5% losów szczególnie zwycięskich.
Teraz niektóre nieruchomości spełniają oczekiwania.
Mata. oczekiwanie jest liniowe.Łatwo to udowodnić:
Stały mnożnik można wyciągnąć poza znak mata. oczekiwania, czyli:
Jest to szczególny przypadek właściwości liniowości towarzysza oczekiwań.
Kolejna konsekwencja liniowości maty. oczekiwania:
czyli mat. oczekiwanie sumy zmiennych losowych jest równe sumie oczekiwań matematycznych zmiennych losowych.
Niech X, Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi, Następnie:
Można to również łatwo udowodnić) Praca XY sama w sobie jest zmienną losową i czy wartości początkowe mogą przyjąć N I M wartości zatem odpowiednio XY może przyjmować wartości nm. każda wartość jest obliczana na podstawie mnożenia prawdopodobieństw niezależnych zdarzeń. W rezultacie otrzymujemy to:
Oczekiwanie ciągłej zmiennej losowej
Ciągłe zmienne losowe mają taką cechę, jak gęstość rozkładu (gęstość prawdopodobieństwa). Charakteryzuje to zasadniczo sytuację, że zmienna losowa pewne wartości ze zbioru liczb rzeczywistych przyjmuje częściej, a inne rzadziej. Rozważmy na przykład ten wykres:
Tutaj X- rzeczywista zmienna losowa, k(x)- gęstość dystrybucji. Sądząc po tym wykresie, podczas eksperymentów wartość X często będzie liczbą bliską zera. Szanse zostały przekroczone 3 lub być mniejszy -3 raczej czysto teoretyczny.
Jeśli znana jest gęstość rozkładu, wartość oczekiwaną oblicza się w następujący sposób:
Niech na przykład będzie rozkład równomierny:
Znajdźmy szacha-mata. oczekiwanie:
Jest to całkiem zgodne ze zrozumieniem intuicyjnym. Załóżmy, że jeśli otrzymamy wiele losowych liczb rzeczywistych o równomiernym rozkładzie, każdy z segmentów |0; 1| , to średnia arytmetyczna powinna wynosić około 0,5.
Mają tu także zastosowanie właściwości oczekiwań matematycznych – liniowość itp., mające zastosowanie dla dyskretnych zmiennych losowych.
Związek oczekiwań matematycznych z innymi wskaźnikami statystycznymi
W statystyczny analizie wraz z oczekiwaniami matematycznymi istnieje system współzależnych wskaźników, które odzwierciedlają jednorodność zjawisk i stabilność procesy. Wskaźniki zmienności często nie mają samodzielnego znaczenia i służą do dalszej analizy danych. Wyjątkiem jest współczynnik zmienności, który charakteryzuje jednorodność dane co jest cenne statystyczny Charakterystyka.
Stopień zmienności lub stabilności procesy w statystyce można mierzyć za pomocą kilku wskaźników.
Najważniejszy wskaźnik charakteryzujący zmienność zmienna losowa to Dyspersja, który jest najbliżej i bezpośrednio związany z matą. Czekanie. Parametr ten jest aktywnie wykorzystywany w innych rodzajach analiz statystycznych (testowanie hipotez, analiza związków przyczynowo-skutkowych itp.). Podobnie jak średnie odchylenie liniowe, rozproszenie odzwierciedla również miarę rozproszenia dane wokół wartości średniej.
Przydatne jest przełożenie języka znaków na język słów. Okazuje się, że dyspersja jest średnim kwadratem odchyleń. Oznacza to, że najpierw obliczana jest wartość średnia, następnie różnica między każdą wartością pierwotną a wartością średnią jest podnoszona do kwadratu, dodawana, a następnie dzielona przez liczbę wartości w populacji. Różnica pomiędzy wartością indywidualną a średnią odzwierciedla miarę odchylenia. Podnosi się go do kwadratu, aby wszystkie odchylenia stały się wyłącznie liczbami dodatnimi i aby podczas ich sumowania uniknąć wzajemnego niszczenia odchyleń dodatnich i ujemnych. Następnie, biorąc pod uwagę kwadraty odchyleń, po prostu obliczamy średnią arytmetyczną. Średnia – kwadrat – odchylenia. Odchylenia podniesiono do kwadratu i obliczono średnią. Odpowiedź na magiczne słowo „dyspersja” kryje się w zaledwie trzech słowach.
Jednakże w czystej postaci, takiej jak średnia arytmetyczna lub dyspersja, nie jest stosowana. Jest to raczej wskaźnik pomocniczy i pośredni, wykorzystywany do innych rodzajów analiz statystycznych. Nie ma nawet normalnej jednostki miary. Sądząc po wzorze, jest to kwadrat jednostki miary oryginalnych danych.
Oczekiwanie matematyczne (średnia populacji) wynosi
Zmierzmy zmienną losową N razy, na przykład mierzymy prędkość wiatru dziesięć razy i chcemy znaleźć wartość średnią. Jak wartość średnia jest powiązana z funkcją rozkładu?
Albo rzucimy kostką wiele razy. Liczba punktów, które pojawią się na kostkach przy każdym rzucie, jest zmienną losową i może przyjmować dowolną wartość naturalną od 1 do 6. Średnia arytmetyczna upuszczonych punktów obliczona dla wszystkich rzutów kostką jest również zmienną losową, ale w przypadku dużych N zmierza do bardzo konkretnej liczby – mata. Czekanie Mx. W tym przypadku Mx = 3,5.
Jak uzyskałeś tę wartość? Wpuść N testy n1 gdy zdobędziesz 1 punkt, n2 raz - 2 punkty i tak dalej. Następnie liczba wyników, w których spadł jeden punkt:
Podobnie w przypadku wyników, gdy wyrzucono 2, 3, 4, 5 i 6 punktów.
Załóżmy teraz, że znamy rozkłady zmiennej losowej x, czyli wiemy, że zmienna losowa x może przyjmować wartości x1, x2,..., xk z prawdopodobieństwami p1, p2,..., pk .
Oczekiwanie matematyczne Mx zmiennej losowej x jest równe:
Oczekiwanie matematyczne nie zawsze jest rozsądnym oszacowaniem jakiejś zmiennej losowej. Zatem do oszacowania przeciętnego wynagrodzenia rozsądniej jest posłużyć się pojęciem mediany, czyli takiej wartości, że liczba osób zarabiających mniej od mediany wynagrodzenie i duże, pokrywają się.
Prawdopodobieństwo p1, że zmienna losowa x będzie mniejsza niż x1/2 i prawdopodobieństwo p2, że zmienna losowa x będzie większa niż x1/2, są takie same i równe 1/2. Mediana nie jest określona jednoznacznie dla wszystkich rozkładów.
Standard lub odchylenie standardowe w statystyce nazywa się stopień odchylenia danych obserwacyjnych lub zbiorów od wartości ŚREDNIEJ. Oznaczone literami s lub s. Małe odchylenie standardowe wskazuje, że dane skupiają się wokół średniej, natomiast duże odchylenie standardowe wskazuje, że dane początkowe znajdują się daleko od niej. Odchylenie standardowe jest równe pierwiastkowi kwadratowemu wielkości zwanej wariancją. Jest to średnia sumy kwadratów różnic danych początkowych, które odbiegają od wartości średniej. Odchylenie standardowe zmiennej losowej to pierwiastek kwadratowy wariancji:
Przykład. W warunkach testowych podczas strzelania do celu oblicz rozrzut i odchylenie standardowe zmiennej losowej:
Zmiana- fluktuacja, zmienność wartości cechy pomiędzy jednostkami populacji. Poszczególne wartości liczbowe cechy występującej w badanej populacji nazywane są wartościami wariantowymi. Niewystarczalność wartości średniej do pełnego scharakteryzowania populacji zmusza nas do uzupełnienia wartości średnich wskaźnikami, które pozwalają ocenić typowość tych średnich poprzez pomiar zmienności (wariacji) badanej cechy. Współczynnik zmienności oblicza się ze wzoru:
Zakres zmienności(R) reprezentuje różnicę między maksymalną i minimalną wartością atrybutu w badanej populacji. Wskaźnik ten daje najbardziej ogólne pojęcie o zmienności badanej cechy, jak pokazuje różnica tylko pomiędzy skrajnymi wartościami opcji. Zależność od skrajnych wartości cechy nadaje zakresowi zmienności charakter niestabilny, losowy.
Średnie odchylenie liniowe reprezentuje średnią arytmetyczną bezwzględnych (modulo) odchyleń wszystkich wartości analizowanej populacji od ich wartości średniej:
Oczekiwanie matematyczne w teorii hazardu
Czekanie na mata jestśrednia kwota pieniędzy, jaką spekulant hazardowy może wygrać lub przegrać w danym zakładzie. Jest to bardzo ważna koncepcja dla spekulanta, ponieważ ma fundamentalne znaczenie dla oceny większości sytuacji związanych z hazardem. Checkmate to także optymalne narzędzie do analizy podstawowych układów kart i sytuacji w grach.
Załóżmy, że grasz ze znajomym w grę na monety i za każdym razem obstawiasz po 1 dolara, niezależnie od tego, co się wydarzy. Reszka oznacza, że wygrywasz, reszki przegrywasz. Szanse są 1 do 1, że wypadnie orzeł, więc obstawiasz od 1 $ do 1 $. Zatem oczekiwanie na mata jest równe zeru, ponieważ Z matematycznego punktu widzenia nie możesz wiedzieć, czy po dwóch rzutach, czy po 200, będziesz prowadził, czy przegrał.
Twój zysk godzinowy wynosi zero. Wygrane godzinowe to kwota pieniędzy, jaką możesz wygrać w ciągu godziny. Możesz rzucić monetą 500 razy w ciągu godziny, ale nie wygrasz ani nie przegrasz, ponieważ... Twoje szanse nie są ani pozytywne, ani negatywne. Z punktu widzenia poważnego spekulanta ten system zakładów nie jest zły. Ale to po prostu strata czasu.
Załóżmy jednak, że ktoś chce postawić 2 USD przeciwko Twojemu 1 USD w tej samej grze. Wtedy od razu będziesz miał pozytywne oczekiwanie na 50 centów z każdego zakładu. Dlaczego 50 centy? Średnio wygrywasz jeden zakład i przegrywasz drugi. Postaw pierwszy, a stracisz 1 USD, postaw drugi, a wygrasz 2 USD. Obstawiasz 1 $ dwa razy i masz przewagę o 1 $. Zatem każdy z Twoich zakładów za jednego dolara dał ci 50 centy.
Jeśli moneta pojawi się 500 razy w ciągu godziny, Twoja godzinna wygrana wyniesie już 250 $, ponieważ... średnio traciłeś jednego dolar 250 razy i wygrał dwa dolar 250 razy. 500 $ minus 250 $ równa się 250 $, czyli całkowita wygrana. Należy pamiętać, że wartość oczekiwana, czyli średnia kwota wygranej w zakładzie, wynosi 50 centów. Wygrałeś 250 dolarów, stawiając dolara 500 razy, co równa się 50 centom za zakład.
Oczekiwanie matematyczne (średnia populacji) wynosi
Mata. czekanie nie ma nic wspólnego z krótkoterminowymi wynikami. Twój przeciwnik, który zdecydował się postawić przeciwko Tobie 2 $, mógłby Cię pokonać w pierwszych dziesięciu rzutach z rzędu, ale Ty, mając przewagę w zakładach 2 do 1, przy wszystkich pozostałych czynnikach bez zmian, zarobisz 50 centów za każdy zakład o wartości 1 $ w dowolnym okoliczności. Nie ma znaczenia, czy wygrasz, czy przegrasz jeden zakład czy kilka zakładów, o ile masz wystarczającą ilość gotówki, aby wygodnie pokryć koszty. Jeśli będziesz nadal stawiać zakłady w ten sam sposób, to przez długi czas Twoje wygrane będą zbliżać się do sumy oczekiwań w poszczególnych rzutach.
Za każdym razem, gdy robisz najlepszy zakład (zakład, który może okazać się opłacalny na dłuższą metę), gdy szanse są na twoją korzyść, na pewno coś wygrasz, niezależnie od tego, czy przegrasz, czy nie w podana ręka. I odwrotnie, jeśli postawisz zakład na słabszego gracza (zakład, który na dłuższą metę jest nieopłacalny), gdy szanse są przeciwko tobie, coś tracisz niezależnie od tego, czy wygrasz, czy przegrasz rozdanie.
Oczekiwanie matematyczne (średnia populacji) wynosi
Stawiasz zakład z najlepszym wynikiem, jeśli Twoje oczekiwania są pozytywne, i jest on pozytywny, jeśli szanse są po Twojej stronie. Kiedy stawiasz zakład z najgorszym wynikiem, masz negatywne oczekiwania, co ma miejsce, gdy szanse są przeciwko tobie. Poważni spekulanci obstawiają tylko najlepszy wynik; jeśli zdarzy się najgorszy, spasują. Co oznacza kurs na Twoją korzyść? Możesz wygrać więcej, niż oferują rzeczywiste kursy. Prawdziwe szanse na wylądowanie orła wynoszą 1 do 1, ale dzięki ilorazowi szans otrzymujesz 2 do 1. W tym przypadku szanse są na Twoją korzyść. Zdecydowanie najlepszy wynik uzyskasz przy pozytywnym oczekiwaniu 50 centów na zakład.
Oto bardziej złożony przykład maty. oczekiwania. Znajomy zapisuje liczby od jednego do pięciu i stawia 5 dolarów przeciwko Twojemu 1 dolara, że nie odgadniesz liczby. Czy warto zgodzić się na taki zakład? Jakie jest tutaj oczekiwanie?
Średnio mylisz się cztery razy. Na tej podstawie prawdopodobieństwo, że odgadniesz liczbę, wynosi 4 do 1. Szansa, że stracisz dolara przy jednej próbie. Jednak wygrywasz 5 do 1, z możliwością przegranej 4 do 1. Zatem szanse są na twoją korzyść, możesz przyjąć zakład i mieć nadzieję na najlepszy wynik. Jeśli postawisz ten zakład pięć razy, średnio cztery razy stracisz 1 dolara i raz wygrasz 5 dolarów. Na tej podstawie za wszystkie pięć prób zarobisz 1 dolara, przy dodatnim oczekiwaniu matematycznym wynoszącym 20 centów za zakład.
Spekulant, który spodziewa się wygrać więcej, niż stawia, jak w powyższym przykładzie, ryzykuje. Wręcz przeciwnie, rujnuje swoje szanse, gdy spodziewa się wygranej mniejszej niż stawia. Spekulant zawierający zakład może mieć albo pozytywne, albo negatywne oczekiwania, w zależności od tego, czy wygra, czy zrujnuje szanse.
Jeśli postawisz 50 $, aby wygrać 10 $, mając szansę na wygraną 4 do 1, otrzymasz ujemną oczekiwaną wartość 2 $, ponieważ Średnio cztery razy wygrasz 10 $ i raz przegrasz 50 $, co pokazuje, że strata na zakład wyniesie 10 $. Ale jeśli postawisz 30 $, aby wygrać 10 $, przy takich samych szansach na wygraną 4 do 1, to w tym przypadku masz dodatnie oczekiwanie na 2 $, ponieważ znowu wygrywasz cztery razy 10 $ i przegrywasz raz 30 $, czyli zysk za 10 dolarów. Te przykłady pokazują, że pierwszy zakład jest zły, a drugi dobry.
Mata. oczekiwanie jest podstawą każdej sytuacji w grze. Kiedy bukmacher zachęca kibiców piłki nożnej do postawienia 11 dolarów, aby wygrać 10 dolarów, ma pozytywne oczekiwania w wysokości 50 centów za każde 10 dolarów. Jeśli kasyno wypłaca nawet pieniądze z linii pass w kościach, wówczas pozytywne oczekiwanie kasyna wyniesie około 1,40 dolara na każde 100 dolarów, ponieważ Ta gra jest tak skonstruowana, że każdy, kto obstawia tę linię, traci średnio 50,7% i wygrywa 49,3% całkowitego czasu. Bez wątpienia to właśnie te pozornie minimalne pozytywne oczekiwania przynoszą kolosalne zyski właścicielom kasyn na całym świecie. Jak zauważył właściciel kasyna Vegas World, Bob Stupak, „jedna tysięczna procent ujemne prawdopodobieństwo na wystarczająco dużą odległość zrujnuje najbogatszego człowieka na świecie.
Oczekiwania podczas gry w pokera
Gra w pokera jest przykładem najbardziej ilustracyjnym i ilustracyjnym z punktu widzenia wykorzystania teorii i właściwości partnera oczekiwanego.
Mata. Wartość oczekiwana w pokerze to średnia korzyść z konkretnej decyzji, pod warunkiem, że taką decyzję można rozpatrywać w ramach teorii wielkich liczb i odległości. Udana gra w pokera polega na tym, aby zawsze akceptować ruchy o dodatniej wartości oczekiwanej.
Oczekiwanie matematyczne (średnia populacji) wynosi
Matematyczne znaczenie matematyki. Grając w pokera oczekuje się, że przy podejmowaniu decyzji często spotykamy się ze zmienną losową (nie wiemy dokładnie, jakie karty ma w ręku przeciwnik, jakie karty pojawią się w kolejnych rundach handel). Każde z rozwiązań musimy rozpatrywać z punktu widzenia teorii wielkich liczb, która głosi, że przy dostatecznie dużej próbie średnia wartość zmiennej losowej będzie dążyć do jej wartości oczekiwanej.
Spośród konkretnych wzorów obliczania oczekiwań na matę, w pokerze najbardziej przydatne są poniższe:
Podczas gry w pokera szach mat. oczekiwanie można obliczyć zarówno dla zakładów, jak i połączeń. W pierwszym przypadku należy wziąć pod uwagę krotność equity, w drugim szanse własne banku. Przy ocenie mat. oczekiwania co do konkretnego ruchu, należy pamiętać, że spasowanie zawsze wiąże się z zerowymi oczekiwaniami. Zatem odrzucenie kart zawsze będzie bardziej opłacalną decyzją niż jakikolwiek negatywny ruch.
Oczekiwanie matematyczne (średnia populacji) wynosi
Oczekiwania mówią Ci, czego możesz się spodziewać (lub straty) w przypadku każdego podjętego ryzyka. Kasyna zarabiają pieniądze pieniądze, ponieważ mat jest oczekiwaniem od wszystkich gier, które są w nich praktykowane, na korzyść kasyna. Przy wystarczająco długiej serii gier możesz spodziewać się, że klient straci swoją pieniądze, ponieważ „szanse” są na korzyść kasyna. Jednak profesjonalni spekulanci kasynowi ograniczają swoje gry do krótkich okresów czasu, zwiększając w ten sposób szanse na swoją korzyść. To samo tyczy się inwestowania. Jeśli Twoje oczekiwania są pozytywne, możesz zarobić więcej pieniędzy, dokonując wielu transakcji w krótkim czasie okres czas. Oczekiwanie to procent zysku na wygraną pomnożony przez średni zysk minus prawdopodobieństwo straty pomnożone przez średnią stratę.
Na pokera można również spojrzeć z punktu widzenia oczekiwań wobec mata. Możesz założyć, że dany ruch jest opłacalny, ale w niektórych przypadkach może nie być najlepszy, ponieważ inny ruch jest bardziej opłacalny. Załóżmy, że trafiłeś fulla w pokerze pięciokartowym. Twój przeciwnik stawia zakład. Wiesz, że jeśli podbijesz zakład, on zareaguje. Dlatego podbicie wydaje się najlepszą taktyką. Jeśli jednak podbijesz zakład, pozostali dwaj spekulanci na pewno spasują. Ale jeśli sprawdzisz, masz całkowitą pewność, że pozostali dwaj spekulanci po tobie zrobią to samo. Kiedy podbijesz swój zakład, otrzymasz jedną jednostkę, a kiedy po prostu sprawdzisz, otrzymasz dwie. Zatem sprawdzenie daje wyższą dodatnią wartość oczekiwaną i będzie najlepszą taktyką.
Mata. oczekiwania mogą również dać wyobrażenie o tym, które taktyki pokerowe są mniej opłacalne, a które bardziej. Na przykład, jeśli rozgrywasz określone rozdanie i myślisz, że Twoja strata wyniesie średnio 75 centów, włączając ante, powinieneś rozegrać to rozdanie, ponieważ jest to lepsze niż spasowanie, gdy ante wynosi 1 dolara.
Kolejny ważny powód, aby zrozumieć istotę mate. oczekuje się, że da ci to poczucie spokoju, niezależnie od tego, czy wygrasz zakład, czy nie: jeśli postawiłeś dobry zakład lub spasowałeś w odpowiednim momencie, będziesz wiedział, że zarobiłeś lub zaoszczędziłeś pewną kwotę pieniędzy, którą mógłby uzyskać słabszy spekulant Nie chroniony. Znacznie trudniej jest spasować, jeśli jesteś zdenerwowany, ponieważ przeciwnik ma silniejszą rękę. Dzięki temu to, co zaoszczędziłeś, nie grając, zamiast stawiać zakłady, zostanie dodane do Twoich wygranych za noc lub miesiąc.
Pamiętaj tylko, że gdybyś zmienił ręce, przeciwnik by cię sprawdził, a jak zobaczysz w artykule o Podstawowych twierdzeniach pokera, jest to tylko jedna z twoich zalet. Powinieneś być szczęśliwy, kiedy to się stanie. Możesz nawet nauczyć się czerpać przyjemność z przegrywania rozdania, ponieważ wiesz, że inni spekulanci na twoim miejscu straciliby znacznie więcej.
Jak wspomniano na początku w przykładzie gry na monety, godzinowy wskaźnik zysku jest powiązany z oczekiwanym terminem zapadalności, a koncepcja ta jest szczególnie ważna dla profesjonalnych spekulantów. Kiedy idziesz grać w pokera, powinieneś w myślach oszacować, ile możesz wygrać w ciągu godziny gry. W większości przypadków będziesz musiał polegać na swojej intuicji i doświadczeniu, ale możesz też posłużyć się matematyką. Na przykład, grasz w remis lowball i widzisz trzech graczy, którzy stawiają 10 dolarów, a następnie wymieniają dwie karty, co jest bardzo złą taktyką. Możesz się dowiedzieć, że za każdym razem, gdy stawiają 10 dolarów, tracą około 2 dolarów. Każdy z nich robi to osiem razy na godzinę, co oznacza, że wszyscy trzej tracą około 48 dolarów na godzinę. Jesteś jednym z pozostałych czterech spekulantów, których liczba jest w przybliżeniu równa, więc ci czterej spekulanci (i ty wśród nich) muszą podzielić 48 dolarów, a każdy z nich będzie zarabiał 12 dolarów na godzinę. Twoje szanse godzinowe w tym przypadku są po prostu równe Twojemu udziałowi w kwocie pieniędzy utraconej przez trzech złych spekulantów w ciągu godziny.
Oczekiwanie matematyczne (średnia populacji) wynosi
W długim okresie łączne wygrane spekulanta stanowią sumę jego matematycznych oczekiwań w poszczególnych rozdaniach. Im więcej rąk rozegrasz z pozytywnymi oczekiwaniami, tym więcej wygrasz i odwrotnie, im więcej rąk rozegrasz z negatywnymi oczekiwaniami, tym więcej przegrasz. W rezultacie powinieneś wybrać grę, która może zmaksymalizować Twoje pozytywne oczekiwania lub zanegować negatywne oczekiwania, abyś mógł zmaksymalizować swoje godzinne wygrane.
Pozytywne oczekiwania matematyczne w strategii gier
Jeśli umiesz liczyć karty, możesz mieć przewagę nad kasynem, o ile cię nie zauważy i nie wyrzuci. Kasyna uwielbiają pijanych spekulantów i nie znoszą liczenia kart. Przewaga pozwoli Ci wygrać więcej razy, niż stracisz w miarę upływu czasu. Dobre zarządzanie pieniędzmi podczas korzystania z obliczeń towarzysza oczekiwań może pomóc Ci wydobyć większy zysk ze swojej przewagi i zmniejszyć straty. Bez korzyści lepiej przekazać pieniądze na cele charytatywne. W grze na giełdzie przewagę daje system gry, który generuje większe zyski niż straty, różnica ceny i prowizje. Nic zarządzanie kapitałem nie uratuje złego systemu do gier.
Pozytywne oczekiwanie definiuje się jako wartość większą od zera. Im większa jest ta liczba, tym silniejsze jest oczekiwanie statystyczne. Jeżeli wartość jest mniejsza od zera, wówczas szach mata. oczekiwania będą również negatywne. Im większy moduł wartości ujemnej, tym gorsza sytuacja. Jeśli wynik wynosi zero, oczekiwanie jest progiem rentowności. Możesz wygrać tylko wtedy, gdy masz pozytywne oczekiwania matematyczne i rozsądny system gry. Granie intuicją prowadzi do katastrofy.
Oczekiwanie matematyczne i
Oczekiwanie na mat jest dość powszechnie pożądanym i popularnym wskaźnikiem statystycznym podczas przeprowadzania transakcji giełdowych na rynkach finansowych rynki. Przede wszystkim parametr ten służy do analizy sukcesu handel. Nietrudno zgadnąć, że im wyższa jest ta wartość, tym więcej powodów, by uważać badaną branżę za udaną. Oczywiście analiza praca trader nie może zostać dokonany wyłącznie przy użyciu tego parametru. Jednak obliczona wartość w połączeniu z innymi metodami oceny jakości praca, może znacznie poprawić dokładność analizy.
Mat oczekiwań jest często obliczany w usługach monitorowania konta handlowego, co pozwala szybko ocenić pracę wykonaną na depozycie. Wyjątkiem są strategie wykorzystujące nierentowne transakcje typu „przesiadywanie”. Handlowiec szczęście może mu towarzyszyć przez jakiś czas i dlatego w jego pracy może w ogóle nie być strat. W takim przypadku nie będzie można kierować się wyłącznie oczekiwaniami matematycznymi, ponieważ ryzyko stosowane w pracy nie będzie brane pod uwagę.
W handlu dalej rynek Mat jest najczęściej używany przy przewidywaniu rentowności dowolnej strategii handlowej lub przy prognozowaniu dochodu handlowiec na podstawie danych statystycznych z jego poprzedniego licytacja.
Oczekiwanie matematyczne (średnia populacji) wynosi
Jeśli chodzi o zarządzanie pieniędzmi, bardzo ważne jest, aby zrozumieć, że nie ma wzorca przy zawieraniu transakcji z negatywnymi oczekiwaniami kierownictwo pieniądze, które z pewnością mogą przynieść wysokie zyski. Jeśli będziesz grać dalej Giełda Papierów Wartościowych w tych warunkach, to niezależnie od metody kierownictwo pieniądze, stracisz całe konto, niezależnie od tego, jak duże było na początku.
Ten aksjomat jest prawdziwy nie tylko w przypadku gier lub transakcji z negatywnymi oczekiwaniami, jest również prawdziwy w przypadku gier o równych szansach. Dlatego jedyną szansą na osiągnięcie zysku w dłuższej perspektywie jest zawarcie transakcji o dodatniej wartości oczekiwanej.
Różnica między negatywnymi i pozytywnymi oczekiwaniami jest różnicą między życiem a śmiercią. Nie ma znaczenia, jak pozytywne lub negatywne są oczekiwania; Ważne jest tylko to, czy jest to pozytywne, czy negatywne. Dlatego przed rozważeniem kwestii zarządzania kapitał musisz znaleźć grę z pozytywnymi oczekiwaniami.
Jeśli nie masz tej gry, żadne zarządzanie pieniędzmi na świecie Cię nie uratuje. Z drugiej strony, jeśli masz pozytywne oczekiwania, możesz – poprzez odpowiednie zarządzanie pieniędzmi – przekształcić je w funkcję wykładniczego wzrostu. Nie ma znaczenia, jak małe są pozytywne oczekiwania! Innymi słowy, nie ma znaczenia, jak opłacalny jest system transakcyjny oparty na pojedynczym kontrakcie. Jeśli masz system, który wygrywa 10 USD na kontrakt na transakcję (po prowizji i poślizgu), możesz zastosować techniki zarządzania kapitał w sposób, który czyni go bardziej opłacalnym niż system, który pokazuje średni zysk w wysokości 1000 USD na transakcję (po prowizji i poślizgu).
Liczy się nie to, jak rentowny był system, ale to, jak pewna jest pewność, że system wykaże w przyszłości przynajmniej minimalny zysk. Dlatego najważniejszym przygotowaniem, jakie można poczynić, jest zapewnienie, że system będzie w przyszłości wykazywał dodatnią wartość oczekiwaną.
Aby w przyszłości uzyskać dodatnią wartość oczekiwaną, bardzo ważne jest, aby nie ograniczać stopni swobody systemu. Osiąga się to nie tylko poprzez eliminację lub redukcję liczby parametrów podlegających optymalizacji, ale także poprzez redukcję jak największej liczby reguł systemowych. Każdy dodany parametr, każda wprowadzona reguła, każda drobna zmiana dokonana w systemie zmniejsza liczbę stopni swobody. Idealnie byłoby zbudować dość prymitywny i prosty system, który będzie konsekwentnie generował niewielkie zyski na prawie każdym rynku. Ponownie ważne jest, abyś zrozumiał, że nie ma znaczenia, jak opłacalny jest system, ważne, aby był on opłacalny. Pieniądze, które zarobisz na handlu, zostaną zarobione poprzez efektywne zarządzanie pieniędzmi.
Oczekiwanie matematyczne (średnia populacji) wynosi
System transakcyjny to po prostu narzędzie, które zapewnia dodatnią wartość oczekiwaną, dzięki czemu można zarządzać pieniędzmi. Systemy, które działają (wykazują przynajmniej minimalne zyski) tylko na jednym lub kilku rynkach lub mają różne zasady lub parametry dla różnych rynków, najprawdopodobniej nie będą działać w czasie rzeczywistym przez długi czas. Problem z większością traderów zorientowanych technicznie polega na tym, że spędzają zbyt dużo czasu i wysiłku na optymalizacji różnych zasad i wartości parametrów systemu transakcyjnego. Daje to zupełnie odwrotne rezultaty. Zamiast marnować energię i czas komputera na zwiększanie zysków systemu transakcyjnego, skieruj swoją energię na zwiększenie poziomu pewności uzyskania minimalnego zysku.
Wiedząc to zarządzanie kapitałem to tylko gra liczbowa, która wymaga pozytywnych oczekiwań, trader może przestać szukać „świętego Graala” handlu akcjami. Zamiast tego może zacząć testować swoją metodę handlu, dowiedzieć się, jak logiczna jest ta metoda i czy daje pozytywne oczekiwania. Właściwe metody zarządzania pieniędzmi, zastosowane do wszelkich, nawet bardzo przeciętnych metod handlu, resztę pracy wykonają same.
Aby każdy trader odniósł sukces w swojej pracy, musi rozwiązać trzy najważniejsze zadania: Aby zapewnić, że liczba udanych transakcji przewyższa nieuniknione błędy i błędne obliczenia; Skonfiguruj swój system transakcyjny tak, abyś miał możliwość zarabiania pieniędzy tak często, jak to możliwe; Osiągaj stabilne, pozytywne wyniki swojej działalności.
I tutaj, dla nas, pracujących handlowców, kumpel może być dobrą pomocą. oczekiwanie. Termin ten jest jednym z kluczowych w teorii prawdopodobieństwa. Za jego pomocą możesz podać średnie oszacowanie jakiejś losowej wartości. Oczekiwanie na zmienną losową jest podobne do środka ciężkości, jeśli wyobrażasz sobie wszystkie możliwe prawdopodobieństwa jako punkty o różnych masach.
W odniesieniu do strategii handlowej do oceny jej efektywności najczęściej wykorzystuje się oczekiwanie zysku (lub straty). Parametr ten definiuje się jako sumę iloczynów danych poziomów zysków i strat oraz prawdopodobieństwa ich wystąpienia. Przykładowo opracowana strategia handlowa zakłada, że 37% wszystkich transakcji przyniesie zysk, a pozostała część – 63% – będzie nieopłacalna. Jednocześnie średnia dochód z udanej transakcji wyniesie 7 USD, a średnia strata wyniesie 1,4 USD. Obliczmy matematykę. oczekiwania dotyczące handlu przy użyciu tego systemu:
Co oznacza ta liczba? Mówi, że zgodnie z zasadami tego systemu z każdej zamkniętej transakcji otrzymamy średnio 1708 dolarów. Ponieważ uzyskana wydajność jest większa od zera, taki system można wykorzystać do rzeczywistej pracy. Jeśli w wyniku obliczenia mata oczekiwanie okaże się negatywne, oznacza to już średnią stratę, a to doprowadzi do ruiny.
Wielkość zysku na transakcję można również wyrazić jako wartość względną w postaci %. Na przykład:
Procent dochodu na 1 transakcję wynosi 5%;
Procent udanych operacji handlowych wynosi 62%;
Procent straty na 1 transakcję - 3%;
Odsetek nieudanych transakcji wynosi 38%;
W tym przypadku szach-mat. oczekiwanie będzie następujące:
Oznacza to, że średni handel przyniesie 1,96%.
Można opracować system, który pomimo przewagi transakcji nierentownych, przyniesie wynik dodatni, gdyż jego MO>0.
Jednak samo czekanie nie wystarczy. Trudno jest zarabiać pieniądze, jeśli system daje bardzo mało sygnałów transakcyjnych. W tym przypadku będzie to porównywalne z odsetkami bankowymi. Niech każda operacja generuje średnio tylko 0,5 dolara, ale co, jeśli system obejmuje 1000 operacji rocznie? Będzie to bardzo znacząca kwota w stosunkowo krótkim czasie. Logicznie wynika z tego, że kolejną cechą wyróżniającą dobry system transakcyjny można uznać za krótki okres utrzymywania pozycji.
Źródła i linki
dic.academic.ru - akademicki słownik internetowy
matematyka.ru - strona edukacyjna z matematyki
nsu.ru - strona edukacyjna Nowosybirskiego Uniwersytetu Państwowego
webmath.ru to portal edukacyjny dla studentów, kandydatów i uczniów.
exponenta.ru edukacyjna strona matematyczna
ru.tradimo.com - bezpłatna szkoła handlu online
crypto.hut2.ru - multidyscyplinarne źródło informacji
poker-wiki.ru - darmowa encyklopedia pokera
sernam.ru - Biblioteka naukowa wybranych publikacji z zakresu nauk przyrodniczych
reshim.su - strona internetowa ROZWIĄZUJEMY problemy z zajęciami testowymi
unfx.ru - Forex na UNFX: szkolenia, sygnały handlowe, zarządzanie zaufaniem
- — oczekiwanie matematyczne Jedna z liczbowych charakterystyk zmiennej losowej, często nazywana jej średnią teoretyczną. Dla dyskretnej zmiennej losowej X matematyczne... ... Przewodnik tłumacza technicznegoWARTOŚĆ OCZEKIWANA- (wartość oczekiwana) Średnia wartość rozkładu zmiennej ekonomicznej, jaką może ona przyjąć. Jeżeli рt jest ceną produktu w chwili t, to jego matematyczne oczekiwanie oznacza się przez Ept. Aby wskazać punkt w czasie, do którego ... ... Słownik ekonomiczny
Wartość oczekiwana- średnia wartość zmiennej losowej. Oczekiwanie matematyczne jest wielkością deterministyczną. Średnia arytmetyczna realizacji zmiennej losowej jest oceną oczekiwań matematycznych. Przeciętny… … Oficjalna terminologia - (wartość średnia) zmiennej losowej - liczbowa charakterystyka zmiennej losowej. Jeśli zmienna losowa zdefiniowana jest w przestrzeni prawdopodobieństwa (patrz teoria prawdopodobieństwa), to jej M. o. MX (lub EX) definiuje się jako całkę Lebesgue'a: gdzie... Encyklopedia fizyczna
WARTOŚĆ OCZEKIWANA- zmienna losowa jest jej charakterystyką numeryczną. Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład F(x), to jej M. o. będzie: . Jeśli rozkład X jest dyskretny, to M.o.: , gdzie x1, x2, ... możliwe wartości dyskretnej zmiennej losowej X; p1... Encyklopedia geologiczna
WARTOŚĆ OCZEKIWANA- Język angielski wartość oczekiwana Niemiecki Erwartung mathematische. Średnia stochastyczna lub środek rozproszenia zmiennej losowej. Antynaziści. Encyklopedia Socjologii, 2009... Encyklopedia socjologii
Wartość oczekiwana- Zobacz także: Warunkowe oczekiwanie matematyczne Oczekiwanie matematyczne to średnia wartość zmiennej losowej, rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej, rozpatrywany w teorii prawdopodobieństwa. W literaturze anglojęzycznej i matematycznej... ...Wikipedii
Wartość oczekiwana- 1.14 Oczekiwanie matematyczne E (X) gdzie xi jest wartością dyskretnej zmiennej losowej; p = P (X = xi); f(x) gęstość ciągłej zmiennej losowej * Jeśli to wyrażenie istnieje w sensie zbieżności absolutnej Źródło ... Słownik-podręcznik terminów dokumentacji normatywnej i technicznej
Książki
Wir verwenden Cookies für die beste Präsentation unserer Website. Wenn Sie diese Strona internetowa weiterhin nutzen, stimmen Sie dem zu. OK
Oczekiwanie matematyczne (wartość średnia) zmiennej losowej X danej na dyskretnej przestrzeni prawdopodobieństwa jest liczbą m =M[X]=∑x i p i, jeśli szereg jest zbieżny bezwzględnie.
Cel usługi. Korzystanie z serwisu internetowego obliczane są oczekiwania matematyczne, wariancja i odchylenie standardowe(patrz przykład). Dodatkowo wykreślany jest wykres funkcji rozkładu F(X).
Własności oczekiwań matematycznych zmiennej losowej
- Matematyczne oczekiwanie wartości stałej jest sobie równe: M[C]=C, C – stała;
- M=C M[X]
- Oczekiwanie matematyczne sumy zmiennych losowych jest równe sumie ich oczekiwań matematycznych: M=M[X]+M[Y]
- Oczekiwanie matematyczne iloczynu niezależnych zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich oczekiwań matematycznych: M=M[X] M[Y] , jeśli X i Y są niezależne.
Właściwości dyspersyjne
- Wariancja stałej wartości wynosi zero: D(c)=0.
- Stały współczynnik można wyjąć spod znaku dyspersji podnosząc go do kwadratu: D(k*X)= k 2 D(X).
- Jeżeli zmienne losowe X i Y są niezależne, to wariancja sumy jest równa sumie wariancji: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Jeżeli zmienne losowe X i Y są zależne: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Dla dyspersji obowiązuje następujący wzór obliczeniowy:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Przykład. Znane są matematyczne oczekiwania i wariancje dwóch niezależnych zmiennych losowych X i Y: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Znajdź matematyczne oczekiwanie i wariancję zmiennej losowej Z=9X-8Y+7.
Rozwiązanie. Bazując na własnościach oczekiwań matematycznych: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Bazując na własnościach dyspersji: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Algorytm obliczania oczekiwań matematycznych
Właściwości dyskretnych zmiennych losowych: wszystkie ich wartości można przenumerować liczbami naturalnymi; Przypisz każdej wartości niezerowe prawdopodobieństwo.- Pary mnożymy jeden po drugim: x i przez p i .
- Dodaj iloczyn każdej pary x i p i .
Na przykład dla n = 4: m = ∑x i p ja = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Przykład nr 1.
| x ja | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| Liczba Pi | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Oczekiwanie matematyczne znajdujemy za pomocą wzoru m = ∑x i p i .
Oczekiwanie M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Wariancję znajdujemy za pomocą wzoru d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Wariancja D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Odchylenie standardowe σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78
Przykład nr 2. Dyskretna zmienna losowa ma następujący szereg rozkładów:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| R | A | 0,32 | 2A | 0,41 | 0,03 |
Rozwiązanie. Wartość a wyznaczamy z zależności: Σp i = 1
Σp ja = za + 0,32 + 2 za + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 za = 1
0,76 + 3 a = 1 lub 0,24=3 a , skąd a = 0,08
Przykład nr 3. Wyznacz prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej, jeśli znana jest jej wariancja, oraz x 1
p1 = 0,3; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p4 =0,3
d(x)=12,96
Rozwiązanie.
Tutaj musisz utworzyć wzór na znalezienie wariancji d(x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
gdzie oczekiwanie m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Dla naszych danych
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
lub -9/100 (x 2 -20x+96)=0
W związku z tym musimy znaleźć pierwiastki równania, a będą dwa z nich.
x 3 = 8, x 3 = 12
Wybierz ten, który spełnia warunek x 1
Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej
x 1 = 6; x2 =9; x 3 = 12; x 4 = 15
p1 = 0,3; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p4 =0,3