W równoległoboku punkt leży na boku ,. Wyraź wektor za pomocą wektorów i .
Rozwiązanie problemu
W tej lekcji pokażemy, jak wykorzystać znane wektory w postaci boków równoległoboku do wyrażenia dowolnego odcinka w postaci kompozycji wektorów pierwotnych. Problem ten nie miałby rozwiązania, gdybyśmy nie wiedzieli, w jakim stosunku jeden z boków równoległoboku jest podzielony przez punkt należący do żądanego odcinka. Dalsze działania sprowadzają się do określenia początku i końca danych wektorów oraz wektorów, na które podzielony jest bok. Wszystko to jest konieczne, aby poprawnie używać znaków podczas łączenia wektorów. Przecież trzeba pamiętać o zasadach dodawania wektorów: suma wektorów daje trzeci wektor, którego początek pokrywa się z początkiem pierwszego wektora, a koniec z końcem drugiego; oraz zasada odejmowania wektorów: różnicą dwóch wektorów jest trzeci wektor, którego początek pokrywa się z końcami drugiego wektora, a koniec z końcem pierwszego wektora. Opierając się na tych prostych zasadach, możemy uzyskać potrzebną nam kombinację.
Pojawią się także problemy do samodzielnego rozwiązania, na które możesz zobaczyć odpowiedzi.
Koncepcja wektora
Zanim nauczysz się wszystkiego o wektorach i operacjach na nich, przygotuj się do rozwiązania prostego problemu. Istnieje wektor Twojej przedsiębiorczości i wektor Twoich zdolności innowacyjnych. Wektor przedsiębiorczości prowadzi do Celu 1, a wektor zdolności innowacyjnych prowadzi do Celu 2. Zasady gry są takie, że nie można poruszać się wzdłuż kierunków tych dwóch wektorów jednocześnie i osiągnąć dwa cele na raz. Wektory oddziałują, czyli mówiąc językiem matematycznym, na wektorach dokonuje się jakiejś operacji. Wynikiem tej operacji jest wektor „Wynik”, który prowadzi do Celu 3.
A teraz powiedz mi: wynikiem jakiej operacji na wektorach „Przedsiębiorczość” i „Zdolności innowacyjne” jest wektor „Rezultat”? Jeśli nie możesz tego stwierdzić od razu, nie zniechęcaj się. W miarę postępów w tej lekcji będziesz w stanie odpowiedzieć na to pytanie.
Jak już widzieliśmy powyżej, wektor koniecznie pochodzi z określonego punktu A w linii prostej do pewnego punktu B. W konsekwencji każdy wektor ma nie tylko wartość liczbową - długość, ale także wartość fizyczną i geometryczną - kierunek. Z tego wynika pierwsza, najprostsza definicja wektora. Zatem wektor jest skierowanym odcinkiem pochodzącym z punktu A do momentu B. Oznacza się go następująco: .
I zacząć różne operacje na wektorach , musimy zapoznać się z jeszcze jedną definicją wektora.
Wektor jest rodzajem reprezentacji punktu, do którego należy dotrzeć z jakiegoś punktu początkowego. Na przykład trójwymiarowy wektor jest zwykle zapisywany jako (x, y, z) . Mówiąc najprościej, liczby te oznaczają, jak daleko musisz przejść w trzech różnych kierunkach, aby dotrzeć do punktu.
Niech będzie dany wektor. W której X = 3 (prawa ręka wskazuje na prawo), y = 1 (lewa ręka skierowana do przodu) z = 5 (pod punktem znajdują się schody prowadzące na górę). Korzystając z tych danych, znajdziesz punkt, idąc 3 metry w kierunku wskazanym przez twoją prawą rękę, następnie 1 metr w kierunku wskazanym przez twoją lewą rękę, a następnie czeka na ciebie drabina i wznosząc się na 5 metrów, w końcu znajdziesz siebie w punkcie końcowym.
Wszystkie pozostałe terminy stanowią wyjaśnienia przedstawionego powyżej wyjaśnienia, niezbędne do różnych operacji na wektorach, czyli rozwiązywania problemów praktycznych. Przejrzyjmy bardziej rygorystyczne definicje, skupiając się na typowych problemach wektorowych.
Przykłady fizyczne wielkościami wektorowymi mogą być przemieszczenie punktu materialnego poruszającego się w przestrzeni, prędkość i przyspieszenie tego punktu, a także działająca na niego siła.
Wektor geometryczny prezentowane w przestrzeni dwuwymiarowej i trójwymiarowej w formie odcinek kierunkowy. Jest to segment, który ma początek i koniec.
Jeśli A- początek wektora i B- jego koniec, wówczas wektor jest oznaczony symbolem lub jedną małą literą . Na rysunku koniec wektora jest oznaczony strzałką (ryc. 1)
Długość(Lub moduł) wektora geometrycznego jest długością odcinka go generującego
Nazywa się te dwa wektory równy , jeśli można je połączyć (jeśli kierunki się pokrywają) poprzez przeniesienie równoległe, tj. jeśli są równoległe, skierowane w tym samym kierunku i mają tę samą długość.
W fizyce jest to często brane pod uwagę przypięte wektory, określone przez miejsce zastosowania, długość i kierunek. Jeśli punkt przyłożenia wektora nie ma znaczenia, można go przenieść, zachowując długość i kierunek, w dowolne miejsce w przestrzeni. W tym przypadku wektor nazywa się bezpłatny. Zgodzimy się tylko rozważyć darmowe wektory.
Operacje liniowe na wektorach geometrycznych
Mnożenie wektora przez liczbę
Iloczyn wektora na numer jest wektorem uzyskanym z wektora przez rozciągnięcie (at ) lub ściskanie (at ) o współczynnik, a kierunek wektora pozostaje taki sam, jeśli , i zmienia się w przeciwny, jeśli . (ryc. 2)
Z definicji wynika, że wektory i = zawsze leżą na jednej lub równoległych prostych. Takie wektory nazywane są współliniowy. (Możemy też powiedzieć, że te wektory są równoległe, ale w algebrze wektorów zwyczajowo mówi się „współliniowe”). Prawdziwa jest również sytuacja odwrotna: jeśli wektory są współliniowe, to są powiązane relacją
W konsekwencji równość (1) wyraża warunek współliniowości dwóch wektorów.
Dodawanie i odejmowanie wektorów
Dodając wektory, musisz o tym wiedzieć kwota wektory i nazywa się wektorem, którego początek pokrywa się z początkiem wektora, a koniec - z końcem wektora, pod warunkiem, że początek wektora jest dołączony do końca wektora. (ryc. 3)
Definicja ta może być rozłożona na dowolną skończoną liczbę wektorów. Niech zostaną dane w przestrzeni N darmowe wektory. Podczas dodawania kilku wektorów za ich sumę przyjmuje się wektor zamykający, którego początek pokrywa się z początkiem pierwszego wektora, a koniec z końcem ostatniego wektora. To znaczy, jeśli dołączysz początek wektora do końca wektora, a początek wektora do końca wektora itd. i wreszcie do końca wektora - początek wektora, wówczas suma tych wektorów jest wektorem zamykającym 
, którego początek pokrywa się z początkiem pierwszego wektora, a koniec z końcem ostatniego wektora. (ryc. 4)
Terminy nazywane są składnikami wektora, a sformułowana reguła tak reguła wielokąta. Ten wielokąt może nie być płaski.
Gdy wektor zostanie pomnożony przez liczbę -1, otrzymany zostanie wektor przeciwny. Wektory i mają tę samą długość i przeciwne kierunki. Ich suma daje wektor zerowy, którego długość wynosi zero. Kierunek wektora zerowego nie jest zdefiniowany.
W algebrze wektorowej nie ma potrzeby osobnego rozpatrywania operacji odejmowania: odejmowanie wektora od wektora oznacza dodanie do wektora przeciwnego wektora, tj. 
Przykład 1. Uprość wyrażenie:
.
,
to znaczy wektory można dodawać i mnożyć przez liczby w taki sam sposób, jak wielomiany (w szczególności także problemy z upraszczaniem wyrażeń). Zazwyczaj potrzeba uproszczenia liniowo podobnych wyrażeń za pomocą wektorów pojawia się przed obliczeniem iloczynów wektorów.
Przykład 2. Wektory i służą jako przekątne równoległoboku ABCD (ryc. 4a). Wyraź poprzez i wektory , , i , które są bokami tego równoległoboku.
Rozwiązanie. Punkt przecięcia przekątnych równoległoboku przecina każdą przekątną na pół. Długości wektorów wymagane w zadaniu znajdujemy albo jako połowę sumy wektorów tworzących trójkąt z wymaganymi, albo jako połowę różnic (w zależności od kierunku wektora służącego jako przekątna), lub tak jak w tym drugim przypadku połowa sumy ze znakiem minus. Wynikiem są wektory wymagane w opisie problemu:
Istnieją podstawy, by sądzić, że teraz poprawnie odpowiedziałeś na pytanie dotyczące wektorów „Przedsiębiorczość” i „Zdolności innowacyjne” na początku tej lekcji. Prawidłowa odpowiedź: na tych wektorach wykonywana jest operacja dodawania.
Rozwiązuj samodzielnie problemy wektorowe, a następnie spójrz na rozwiązania
Jak znaleźć długość sumy wektorów?
Problem ten zajmuje szczególne miejsce w operacjach na wektorach, gdyż wiąże się z wykorzystaniem własności trygonometrycznych. Załóżmy, że natrafiłeś na zadanie podobne do poniższego:
Podane są długości wektorów 
i długość sumy tych wektorów. Znajdź długość różnicy między tymi wektorami.
Rozwiązania tego i innych podobnych problemów oraz wyjaśnienia, jak je rozwiązać, znajdują się na lekcji ” Dodawanie wektorów: długość sumy wektorów i twierdzenie cosinus ".
Rozwiązanie takich problemów możesz sprawdzić na stronie Kalkulator online „Nieznany bok trójkąta (twierdzenie o dodawaniu wektorów i cosinusie)” .
Gdzie są iloczyny wektorów?
Produkty wektorowo-wektorowe nie są operacjami liniowymi i są rozpatrywane osobno. Mamy też lekcje „Iloczyn skalarny wektorów” oraz „Iloczyn wektorowy i mieszany wektorów”.
Rzut wektora na oś
Rzut wektora na oś jest równy iloczynowi długości rzutowanego wektora i cosinusa kąta między wektorem a osią:
Jak wiadomo, rzut punktu A na prostej (płaszczyźnie) znajduje się podstawa prostopadłej spuszczonej z tego punktu na prostą (płaszczyznę).
Niech będzie dowolnym wektorem (ryc. 5) i będzie rzutami jego pochodzenia (punkty A) i koniec (punkty B) na oś l. (Aby skonstruować rzut punktu A) narysuj linię prostą przez punkt A płaszczyzna prostopadła do prostej. Przecięcie linii i płaszczyzny określi wymagany rzut.
Składnik wektorowy na osi l nazywa się takim wektorem leżącym na tej osi, którego początek pokrywa się z rzutem początku, a koniec z rzutem końca wektora.
Rzut wektora na oś l wywołany numer
,
równa długości wektora składowych na tej osi, brane ze znakiem plus, jeśli kierunek składowych pokrywa się z kierunkiem osi l i ze znakiem minus, jeśli te kierunki są przeciwne.
Podstawowe właściwości rzutów wektorowych na oś:
1. Rzuty równych wektorów na tę samą oś są sobie równe.
2. Kiedy wektor jest mnożony przez liczbę, jego rzut jest mnożony przez tę samą liczbę.
3. Rzut sumy wektorów na dowolną oś jest równy sumie rzutów sum wektorów na tę samą oś.
4. Rzut wektora na oś jest równy iloczynowi długości rzutowanego wektora i cosinusa kąta między wektorem a osią:
.
Rozwiązanie. Rzućmy wektory na oś l jak zdefiniowano w tle teoretycznym powyżej. Z rys. 5a widać, że rzut sumy wektorów jest równy sumie rzutów wektorów. Obliczamy te prognozy:
Znajdujemy ostateczny rzut sumy wektorów:
Zależność wektora od prostokątnego kartezjańskiego układu współrzędnych w przestrzeni
Poznawać prostokątny kartezjański układ współrzędnych w przestrzeni miał miejsce na odpowiedniej lekcji, wskazane jest otwarcie go w nowym oknie.
W uporządkowanym układzie osi współrzędnych 0xyz oś Wół zwany oś x, oś 0 lat – oś y i oś 0z – zastosowanie osi.
Z dowolnym punktem M wektor połączenia kosmicznego
zwany wektor promienia zwrotnica M i rzuć go na każdą z osi współrzędnych. Oznaczmy wielkości odpowiednich rzutów:
Liczby x, y, z są nazywane współrzędne punktu M odpowiednio odcięta, rzędna I zastosować i są zapisywane jako uporządkowany punkt liczbowy: M(x;y;z)(ryc. 6).
Nazywa się wektor o jednostkowej długości, którego kierunek pokrywa się z kierunkiem osi wektor jednostkowy(Lub ortom) osie. Oznaczmy przez
Odpowiednio wektory jednostkowe osi współrzędnych Wół, Oj, Oz
Twierdzenie. Dowolny wektor można rozwinąć na wektory jednostkowe osi współrzędnych:
(2)
Równość (2) nazywa się rozwinięciem wektora wzdłuż osi współrzędnych. Współczynnikami tego rozwinięcia są rzuty wektora na osie współrzędnych. Zatem współczynniki rozwinięcia (2) wektora wzdłuż osi współrzędnych są współrzędnymi wektora.
Po wybraniu określonego układu współrzędnych w przestrzeni wektor i trójka jego współrzędnych jednoznacznie się wzajemnie określają, zatem wektor można zapisać w postaci
Reprezentacje wektora w postaci (2) i (3) są identyczne.
Warunek współliniowości wektorów we współrzędnych
Jak już zauważyliśmy, wektory nazywane są współliniowymi, jeśli są powiązane relacją
Niech zostaną dane wektory 
. Wektory te są współliniowe, jeśli współrzędne wektorów są powiązane zależnością
,
oznacza to, że współrzędne wektorów są proporcjonalne.
Przykład 6. Podano wektory 
. Czy te wektory są współliniowe?
Rozwiązanie. Znajdźmy związek między współrzędnymi tych wektorów:
.
Współrzędne wektorów są proporcjonalne, zatem wektory są współliniowe, czyli równoległe.
Cosinusy długości i kierunku wektora
Ze względu na wzajemną prostopadłość osi współrzędnych długość wektora
równa długości przekątnej równoległościanu prostokątnego zbudowanego na wektorach
i wyraża się przez równość
(4)
Wektor jest całkowicie zdefiniowany poprzez określenie dwóch punktów (początku i końca), więc współrzędne wektora można wyrazić w postaci współrzędnych tych punktów.
Niech w danym układzie współrzędnych początek wektora będzie w punkcie
i koniec jest w tym miejscu
Od równości
Podąża za tym
lub w formie współrzędnych
Stąd, współrzędne wektora są równe różnicom między tymi samymi współrzędnymi końca i początku wektora . Wzór (4) w tym przypadku będzie miał postać
Kierunek wektora jest określony cosinusy kierunkowe . Są to cosinusy kątów, jakie wektor tworzy z osiami Wół, Oj I Oz. Oznaczmy odpowiednio te kąty α , β I γ . Następnie cosinusy tych kątów można znaleźć za pomocą wzorów
Cosinusy kierunkowe wektora są także współrzędnymi wektora tego wektora, a zatem wektorem wektora
.
Biorąc pod uwagę, że długość wektora jednostkowego jest równa jednej jednostce, to znaczy
,
otrzymujemy następującą równość dla cosinusów kierunku:
Przykład 7. Znajdź długość wektora X = (3; 0; 4).
Rozwiązanie. Długość wektora wynosi
Przykład 8. Przyznane punkty:
Sprawdź, czy trójkąt zbudowany na tych punktach jest równoramienny.
Rozwiązanie. Korzystając ze wzoru na długość wektora (6), znajdujemy długości boków i ustalamy, czy są wśród nich dwa równe:
Znaleziono dwa równe boki, zatem nie ma potrzeby szukać długości trzeciego boku, a dany trójkąt jest równoramienny.
Przykład 9. Znajdź długość wektora i jego cosinusy kierunku, jeśli 
.
Rozwiązanie. Podano współrzędne wektora:
.
Długość wektora jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów współrzędnych wektora:
.
Znajdowanie cosinusów kierunku:
Rozwiąż samodzielnie problem wektorowy, a następnie spójrz na rozwiązanie
Działania na wektorach podanych w postaci współrzędnych
Niech będą dane dwa wektory i określone przez ich rzuty:
Wskażmy działania na tych wektorach.
Wreszcie udało mi się zająć tym obszernym i długo oczekiwanym tematem. geometria analityczna. Na początek trochę o tym dziale matematyki wyższej... Na pewno pamiętasz teraz szkolny kurs geometrii z licznymi twierdzeniami, ich dowodami, rysunkami itp. Co ukryć, temat niekochany i często niejasny dla znacznej części uczniów. Co dziwne, geometria analityczna może wydawać się bardziej interesująca i przystępna. Co oznacza przymiotnik „analityczny”? Od razu przychodzą mi na myśl dwa banalne wyrażenia matematyczne: „metoda rozwiązania graficznego” i „metoda rozwiązania analitycznego”. Metoda graficzna wiąże się oczywiście z konstruowaniem wykresów i rysunków. Analityczny Lub metoda polega na rozwiązywaniu problemów głównie poprzez operacje algebraiczne. Pod tym względem algorytm rozwiązywania prawie wszystkich problemów geometrii analitycznej jest prosty i przejrzysty, często wystarczy dokładnie zastosować niezbędne wzory - i odpowiedź jest gotowa! Nie, oczywiście, bez rysunków w ogóle się nie obejdziemy, a poza tym dla lepszego zrozumienia materiału postaram się je zacytować bez konieczności.
Nowo otwarty kurs lekcji geometrii nie pretenduje do kompletności teoretycznej, lecz koncentruje się na rozwiązywaniu problemów praktycznych. W moich wykładach będę poruszał tylko to, co z mojego punktu widzenia jest istotne z praktycznego punktu widzenia. Jeśli potrzebujesz pełniejszej pomocy w którymkolwiek podrozdziale, polecam następującą, dość przystępną literaturę:
1) Rzecz, którą bez wątpienia zna kilka pokoleń: Podręcznik szkolny do geometrii, autorzy - L.S. Atanasjan i Spółka. Ten wieszak do szatni szkolnej doczekał się już 20 (!) przedruków, co oczywiście nie jest limitem.
2) Geometria w 2 tomach. Autorski L.S. Atanasjan, Bazylew V.T.. To literatura dla liceum, będzie Ci potrzebna pierwszy tom. Rzadko spotykane zadania mogą mi umknąć z oczu, a tutorial będzie nieocenioną pomocą.
Obie książki można pobrać bezpłatnie online. Dodatkowo możesz skorzystać z mojego archiwum z gotowymi rozwiązaniami, które znajdziesz na stronie Pobierz przykłady z matematyki wyższej.
Wśród narzędzi ponownie proponuję własny rozwój - pakiet oprogramowania w geometrii analitycznej, co znacznie ułatwi życie i zaoszczędzi mnóstwo czasu.
Zakłada się, że czytelnik zna podstawowe pojęcia i figury geometryczne: punkt, linia, płaszczyzna, trójkąt, równoległobok, równoległościan, sześcian itp. Wskazane jest zapamiętanie niektórych twierdzeń, przynajmniej twierdzenia Pitagorasa, witam powtarzaczy)
A teraz rozważymy kolejno: koncepcję wektora, działania z wektorami, współrzędne wektora. Polecam czytać dalej najważniejszy artykuł Iloczyn skalarny wektorów, i również Iloczyn wektorowy i mieszany wektorów. Nie będzie też zbędne zadanie lokalne – podział segmentu pod tym względem. Na podstawie powyższych informacji możesz opanować równanie prostej w płaszczyźnie Z najprostsze przykłady rozwiązań, co pozwoli nauczyć się rozwiązywać problemy z geometrii. Przydatne są również następujące artykuły: Równanie płaszczyzny w przestrzeni, Równania prostej w przestrzeni, Podstawowe zagadnienia na prostej i płaszczyźnie, inne działy geometrii analitycznej. Naturalnie, po drodze będą brane pod uwagę standardowe zadania.
Koncepcja wektora. Wolny wektor
Najpierw powtórzmy szkolną definicję wektora. Wektor zwany skierowany odcinek, dla którego wskazany jest jego początek i koniec:
W tym przypadku początkiem odcinka jest punkt, a końcem odcinka jest punkt. Sam wektor jest oznaczony przez . Kierunek jest istotne, jeśli przesuniesz strzałkę na drugi koniec segmentu, otrzymasz wektor i to już jest zupełnie inny wektor. Wygodnie jest utożsamić pojęcie wektora z ruchem ciała fizycznego: trzeba się zgodzić, wejście do drzwi instytutu lub opuszczenie drzwi instytutu to zupełnie różne rzeczy.
Wygodnie jest rozpatrywać poszczególne punkty płaszczyzny lub przestrzeni jako tzw wektor zerowy. Dla takiego wektora koniec i początek pokrywają się.
!!! Notatka: Tu i dalej można założyć, że wektory leżą w tej samej płaszczyźnie lub można założyć, że znajdują się w przestrzeni – istota prezentowanego materiału dotyczy zarówno płaszczyzny, jak i przestrzeni.
Oznaczenia: Wielu od razu zauważyło kij bez strzałki w oznaczeniu i stwierdziło, że na górze jest też strzałka! Co prawda można to napisać strzałką: , ale jest to również możliwe wpis, z którego skorzystam w przyszłości. Dlaczego? Najwyraźniej ten nawyk rozwinął się ze względów praktycznych; moi strzelcy w szkole i na uniwersytecie okazali się być zbyt różnej wielkości i kudłaci. W literaturze edukacyjnej czasami w ogóle nie zawracają sobie głowy pismem klinowym, ale podkreślają pogrubione litery: , sugerując w ten sposób, że jest to wektor.
To była stylistyka, a teraz o sposobach pisania wektorów:
1) Wektory można pisać dwiema dużymi literami łacińskimi: 
i tak dalej. W tym przypadku pierwsza litera Koniecznie oznacza punkt początkowy wektora, a druga litera oznacza punkt końcowy wektora.
2) Wektory są również pisane małymi literami łacińskimi:
W szczególności nasz wektor można dla skrócenia zmienić na małą literę łacińską.
Długość Lub moduł niezerowy wektor nazywany jest długością odcinka. Długość wektora zerowego wynosi zero. Logiczny.
Długość wektora jest oznaczona znakiem modułu: ,
Jak znaleźć długość wektora (lub powtórzymy to, w zależności od kogo) nauczymy się nieco później.
Była to podstawowa wiedza o wektorach, znana wszystkim uczniom. W geometrii analitycznej tzw wolny wektor.
Mówiąc najprościej - wektor można wykreślić z dowolnego punktu:
Przyzwyczailiśmy się nazywać takie wektory równymi (definicja wektorów równych zostanie podana poniżej), ale z czysto matematycznego punktu widzenia są to SAME WEKTORY lub wolny wektor. Dlaczego za darmo? Ponieważ w trakcie rozwiązywania problemów możesz „dołączyć” ten lub inny wektor „szkolny” do DOWOLNEGO punktu płaszczyzny lub przestrzeni, której potrzebujesz. To bardzo fajna funkcja! Wyobraźmy sobie skierowany odcinek o dowolnej długości i kierunku – można go „klonować” nieskończoną ilość razy i w dowolnym punkcie przestrzeni, tak naprawdę istnieje WSZĘDZIE. Jest taki student, który mówi: wektor ma w dupie każdego wykładowcę. W końcu to nie tylko dowcipny rym, wszystko jest prawie poprawne - tam też można dodać wyreżyserowany fragment. Ale nie spiesz się z radością, to sami uczniowie często cierpią =)
Więc, wolny wektor- Ten pęczek identyczne skierowane segmenty. Podana na początku akapitu szkolna definicja wektora: „Odcinek skierowany nazywa się wektorem...” implikuje konkretny skierowany segment pobrany z danego zbioru, który jest powiązany z określonym punktem na płaszczyźnie lub przestrzeni.
Należy zauważyć, że z punktu widzenia fizyki koncepcja wektora swobodnego jest generalnie błędna i liczy się punkt zastosowania. Rzeczywiście, bezpośrednie uderzenie o tej samej sile w nos lub czoło, wystarczające do rozwinięcia mojego głupiego przykładu, pociąga za sobą różne konsekwencje. Jednakże, niewolny wektory można znaleźć także w trakcie wyszmatu (nie idź tam :)).
Działania z wektorami. Kolinearność wektorów
Szkolny kurs geometrii obejmuje szereg działań i zasad z wektorami: dodawanie według reguły trójkąta, dodawanie według reguły równoległoboku, zasada różnicy wektorów, mnożenie wektora przez liczbę, iloczyn skalarny wektorów itp. Na początek powtórzmy dwie zasady, które są szczególnie istotne przy rozwiązywaniu problemów geometrii analitycznej.
Zasada dodawania wektorów za pomocą reguły trójkąta
Rozważmy dwa dowolne niezerowe wektory i: 
Musisz znaleźć sumę tych wektorów. Ze względu na to, że wszystkie wektory są uważane za wolne, odłożymy wektor z koniec wektor: 
Suma wektorów to wektor. Dla lepszego zrozumienia reguły warto nadać jej sens fizyczny: pozwolić ciału przemieszczać się wzdłuż wektora , a następnie wzdłuż wektora . Wówczas suma wektorów jest wektorem powstałej ścieżki, której początek znajduje się w punkcie wyjścia, a koniec w punkcie dotarcia. Podobną regułę formułuje się dla sumy dowolnej liczby wektorów. Jak mówią, ciało może iść swoją drogą bardzo pochylając się po zygzaku, a może na autopilocie - wzdłuż wynikowego wektora sumy.
Nawiasem mówiąc, jeśli wektor zostanie przełożony Rozpoczęty wektor, wtedy otrzymujemy odpowiednik reguła równoległoboku dodawanie wektorów.
Najpierw o kolinearności wektorów. Nazywa się te dwa wektory współliniowy, jeśli leżą na tej samej linii lub na liniach równoległych. Z grubsza mówimy o wektorach równoległych. Ale w odniesieniu do nich zawsze używany jest przymiotnik „współliniowy”.
Wyobraź sobie dwa współliniowe wektory. Jeżeli strzałki tych wektorów są skierowane w tym samym kierunku, wówczas nazywane są takie wektory współreżyserowany. Jeśli strzałki wskazują w różnych kierunkach, wówczas wektory będą przeciwne kierunki.
Oznaczenia: kolinearność wektorów jest zapisywana za pomocą zwykłego symbolu równoległości: , natomiast możliwe jest uszczegółowienie: (wektory są współkierunkowane) lub (wektory są skierowane przeciwnie).
Praca niezerowy wektor na liczbie to wektor, którego długość jest równa , a wektory i są współskierowane i przeciwnie skierowane na .
Zasadę mnożenia wektora przez liczbę łatwiej zrozumieć za pomocą obrazu: 
Przyjrzyjmy się temu bardziej szczegółowo:
1) Kierunek. Jeśli mnożnik jest ujemny, to wektor zmienia kierunek odwrotnie.
2) Długość. Jeśli mnożnik zawiera się w lub , to długość wektora maleje. Zatem długość wektora jest połową długości wektora. Jeżeli moduł mnożnika jest większy niż jeden, to długość wektora wzrasta w samą porę.
3) Proszę o tym pamiętać wszystkie wektory są współliniowe, podczas gdy jeden wektor jest wyrażany przez inny, na przykład . Odwrotna sytuacja jest również prawdą: jeśli jeden wektor można wyrazić przez inny, to wektory takie są z konieczności współliniowe. Zatem: jeśli pomnożymy wektor przez liczbę, otrzymamy współliniowość(w stosunku do oryginału) wektor.
4) Wektory są współkierowane. Vectors i są również współreżyserowane. Każdy wektor z pierwszej grupy jest skierowany przeciwnie do dowolnego wektora z drugiej grupy.
Które wektory są równe?
Dwa wektory są równe, jeśli mają ten sam kierunek i tę samą długość. Należy zauważyć, że współkierunkowość implikuje współliniowość wektorów. Definicja byłaby niedokładna (zbędna), gdybyśmy powiedzieli: „Dwa wektory są równe, jeśli są współliniowe, współkierunkowe i mają tę samą długość”.
Z punktu widzenia koncepcji wektora swobodnego wektory równe są tym samym wektorem, co omówiono w poprzednim akapicie.
Współrzędne wektorowe na płaszczyźnie i w przestrzeni
Pierwszą kwestią jest rozważenie wektorów na płaszczyźnie. Przedstawmy kartezjański prostokątny układ współrzędnych i wykreślmy go od początku współrzędnych pojedynczy wektory i:
Wektory i prostokątny. Ortogonalny = Prostopadły. Radzę powoli przyzwyczajać się do terminów: zamiast równoległości i prostopadłości używamy odpowiednio tych słów kolinearność I ortogonalność.
Przeznaczenie: Ortogonalność wektorów jest zapisywana za pomocą zwykłego symbolu prostopadłości, na przykład: .
Rozważane wektory nazywane są wektory współrzędnych Lub orty. Powstają te wektory podstawa na powierzchni. Myślę, że dla wielu jest intuicyjnie jasne, czym jest podstawa, bardziej szczegółowe informacje można znaleźć w artykule Liniowa (nie)zależność wektorów. Baza wektorów Krótko mówiąc, podstawa i pochodzenie współrzędnych określa cały układ - jest to rodzaj fundamentu, na którym gotuje się pełne i bogate życie geometryczne.
Czasami nazywana jest skonstruowana podstawa ortonormalny podstawa płaszczyzny: „orto” - ponieważ wektory współrzędnych są ortogonalne, przymiotnik „znormalizowany” oznacza jednostkę, tj. długości wektorów bazowych są równe jeden.
Przeznaczenie: podstawa jest zwykle zapisana w nawiasach, wewnątrz których w ścisłej kolejności wektory bazowe są wymienione, na przykład: . Współrzędne wektorów to jest zabronione przemieniać.
Każdy wektor samolotu jedyny sposób wyrażony jako: 
, Gdzie - liczby które nazywają się współrzędne wektora na tej podstawie. I samo wyrażenie 
zwany rozkład wektorowywedług podstawy .
Kolacja serwowana:
Zacznijmy od pierwszej litery alfabetu: . Rysunek wyraźnie pokazuje, że przy dekompozycji wektora na bazę wykorzystuje się te, które właśnie omówiliśmy:
1) zasada mnożenia wektora przez liczbę: i ;
2) dodawanie wektorów zgodnie z zasadą trójkąta: .
Teraz wykreśl w myślach wektor z dowolnego innego punktu na płaszczyźnie. Jest całkiem oczywiste, że jego upadek „będzie za nim nieustannie podążał”. Oto swoboda wektora - wektor „nosi wszystko ze sobą”. Własność ta jest oczywiście prawdziwa dla dowolnego wektora. Zabawne, że same wektory bazowe (swobodne) nie muszą być wykreślane z początku układu współrzędnych, jeden można narysować na przykład w lewym dolnym rogu, a drugi w prawym górnym rogu i nic się nie zmieni! To prawda, że \u200b\u200bnie musisz tego robić, ponieważ nauczyciel również wykaże się oryginalnością i wyciągnie „zaliczenie” w nieoczekiwanym miejscu.
Wektory ilustrują dokładnie zasadę mnożenia wektora przez liczbę, wektor jest współkierunkowy z wektorem bazowym, wektor jest skierowany przeciwnie do wektora bazowego. Dla tych wektorów jedna ze współrzędnych jest równa zeru, można to skrupulatnie zapisać w następujący sposób:
Nawiasem mówiąc, wektory bazowe są takie: (w rzeczywistości są wyrażane przez siebie).
I w końcu: , . Swoją drogą, czym jest odejmowanie wektorów i dlaczego nie wspomniałem o zasadzie odejmowania? Gdzieś w algebrze liniowej, nie pamiętam gdzie, zauważyłem, że odejmowanie jest szczególnym przypadkiem dodawania. Zatem rozwinięcia wektorów „de” i „e” można łatwo zapisać jako sumę: , 
. Postępuj zgodnie z rysunkiem, aby zobaczyć, jak wyraźnie działa w takich sytuacjach stare, dobre dodawanie wektorów zgodnie z zasadą trójkąta.
Rozważany rozkład formy 
czasami nazywany rozkładem wektorowym w systemie ort(tj. w układzie wektorów jednostkowych). Ale nie jest to jedyny sposób napisania wektora; powszechna jest następująca opcja:
Lub ze znakiem równości:
Same wektory bazowe są zapisane w następujący sposób: i
Oznacza to, że współrzędne wektora podano w nawiasach. W problemach praktycznych stosuje się wszystkie trzy opcje notacji.
Wątpiłem czy się odezwać, ale i tak to powiem: współrzędnych wektorowych nie można zmieniać. Ściśle na pierwszym miejscu zapisujemy współrzędną odpowiadającą wektorowi jednostkowemu, ściśle na drugim miejscu zapisujemy współrzędną odpowiadającą wektorowi jednostkowemu. Rzeczywiście, i są dwoma różnymi wektorami.
Ustaliliśmy współrzędne w samolocie. Przyjrzyjmy się teraz wektorom w przestrzeni trójwymiarowej, tutaj prawie wszystko jest takie samo! Po prostu doda jeszcze jedną współrzędną. Trudno jest wykonać rysunki trójwymiarowe, dlatego ograniczę się do jednego wektora, który dla uproszczenia odłożę na bok od początku: 
Każdy Wektor przestrzeni 3D jedyny sposób rozwinąć w oparciu o bazę ortonormalną: 
, gdzie są współrzędne wektora (liczby) w tej podstawie.
Przykład z obrazka: 
. Zobaczmy, jak działają tutaj reguły wektorów. Najpierw pomnóż wektor przez liczbę: (czerwona strzałka), (zielona strzałka) i (malinowa strzałka). Po drugie, oto przykład dodania kilku, w tym przypadku trzech, wektorów: . Wektor sumy zaczyna się w początkowym punkcie wyjścia (początku wektora) i kończy w końcowym punkcie przybycia (końcu wektora).
Wszystkie wektory przestrzeni trójwymiarowej są oczywiście również wolne; spróbuj mentalnie odsunąć wektor od jakiegokolwiek innego punktu, a zrozumiesz, że jego rozkład „pozostanie z nim”.
Podobny do płaskiego etui, oprócz pisania 
powszechnie stosowane są wersje z nawiasami: albo .
Jeśli w rozwinięciu brakuje jednego (lub dwóch) wektorów współrzędnych, w ich miejsce wstawiane są zera. Przykłady:
wektor (starannie 
) - napiszmy ;
wektor (skrupulatnie) – zapisz;
wektor (starannie 
) - napiszmy .
Wektory bazowe zapisuje się w następujący sposób:
Być może jest to cała minimalna wiedza teoretyczna niezbędna do rozwiązywania problemów geometrii analitycznej. Terminów i definicji może być wiele, dlatego zalecam ponowne przeczytanie i zrozumienie tych informacji. Każdemu czytelnikowi przyda się od czasu do czasu odwołanie się do podstawowej lekcji, aby lepiej przyswoić sobie materiał. Kolinearność, ortogonalność, baza ortonormalna, rozkład wektorów – te i inne pojęcia będą często stosowane w przyszłości. Zauważam, że materiały na stronie nie wystarczą, aby zaliczyć test teoretyczny lub kolokwium z geometrii, ponieważ starannie szyfruję wszystkie twierdzenia (i bez dowodów) - ze szkodą dla naukowego stylu prezentacji, ale plus dla twojego zrozumienia temat. Aby otrzymać szczegółowe informacje teoretyczne, prosimy o ukłon w stronę profesora Atanasyana.
I przechodzimy do części praktycznej:
Najprostsze problemy geometrii analitycznej.
Działania z wektorami we współrzędnych
Zdecydowanie wskazane jest nauczenie się rozwiązywania zadań, które będą rozpatrywane w pełni automatycznie, oraz formuł zapamiętać, nie musisz nawet specjalnie o tym pamiętać, oni sami to zapamiętają =) Jest to bardzo ważne, ponieważ inne problemy geometrii analitycznej opierają się na najprostszych elementarnych przykładach, a spędzanie dodatkowego czasu na jedzeniu pionków będzie denerwujące . Górnych guzików koszuli nie trzeba zapinać, wiele rzeczy znasz ze szkoły.
Prezentacja materiału będzie przebiegać równolegle – zarówno w płaszczyźnie, jak i przestrzeni. Z tego powodu, że wszystkie formuły... przekonasz się sam.
Jak znaleźć wektor z dwóch punktów?
Jeżeli dane są dwa punkty płaszczyzny i, to wektor ma następujące współrzędne: 
Jeżeli dane są dwa punkty w przestrzeni i, to wektor ma następujące współrzędne:
To jest, ze współrzędnych końca wektora musisz odjąć odpowiednie współrzędne początek wektora.
Ćwiczenia: Dla tych samych punktów zapisz wzory na znalezienie współrzędnych wektora. Wzory na końcu lekcji.
Przykład 1
Biorąc pod uwagę dwa punkty płaszczyzny i . Znajdź współrzędne wektora
Rozwiązanie: według odpowiedniego wzoru:
Alternatywnie można zastosować następujący wpis:
Estetycy zadecydują o tym:
Osobiście jestem przyzwyczajony do pierwszej wersji nagrania.
Odpowiedź:
Zgodnie z warunkiem nie było potrzeby konstruowania rysunku (co jest typowe dla problemów geometrii analitycznej), ale aby wyjaśnić manekinom niektóre punkty, nie będę leniwy: 
Zdecydowanie musisz zrozumieć różnica między współrzędnymi punktu i współrzędnymi wektorowymi:
Współrzędne punktu– są to współrzędne zwykłe w prostokątnym układzie współrzędnych. Myślę, że już w klasach 5-6 każdy wie jak wykreślać punkty na płaszczyźnie współrzędnych. Każdy punkt ma ściśle określone miejsce na płaszczyźnie i nie można go nigdzie przenieść.
Współrzędne wektora– w tym przypadku jest to jego rozwinięcie według podstawy. Dowolny wektor jest dowolny, więc jeśli zajdzie taka potrzeba lub potrzeba, możemy go łatwo odsunąć od innego punktu na płaszczyźnie. Co ciekawe, dla wektorów nie trzeba w ogóle budować osi ani prostokątnego układu współrzędnych, wystarczy baza, w tym przypadku ortonormalna baza płaszczyzny.
Zapisy współrzędnych punktów i współrzędnych wektorów wydają się być podobne: , i znaczenie współrzędnych absolutnie różny i powinieneś być świadomy tej różnicy. Ta różnica dotyczy oczywiście także przestrzeni.
Szanowni Państwo, zapełnijmy ręce:
Przykład 2
a) Punkty i są przyznawane. Znajdź wektory i .
b) Przyznawane są punkty 
I . Znajdź wektory i .
c) Punkty i są przyznawane. Znajdź wektory i .
d) Przyznawane są punkty. Znajdź wektory 
.
Być może to wystarczy. To przykłady, o których możesz decydować samodzielnie, staraj się ich nie zaniedbywać, to się opłaci ;-). Nie ma potrzeby wykonywania rysunków. Rozwiązania i odpowiedzi na końcu lekcji.
Co jest ważne przy rozwiązywaniu problemów z geometrii analitycznej? Ważne jest, aby zachować DUŻĄ OSTROŻNOŚĆ, aby uniknąć mistrzowskiego błędu „dwa plus dwa równa się zero”. Od razu przepraszam, jeśli gdzieś popełniłem błąd =)
Jak znaleźć długość odcinka?
Długość, jak już wspomniano, jest oznaczona znakiem modułu.
Jeżeli dane są dwa punkty płaszczyzny i , to długość odcinka można obliczyć ze wzoru
Jeżeli dane są dwa punkty w przestrzeni i, to długość odcinka można obliczyć za pomocą wzoru
Notatka: Formuły pozostaną poprawne, jeśli zamienimy odpowiednie współrzędne: i , ale pierwsza opcja jest bardziej standardowa
Przykład 3
Rozwiązanie: według odpowiedniego wzoru:
Odpowiedź: 
Dla jasności zrobię rysunek 
Odcinek - to nie jest wektor i oczywiście nie można go nigdzie przenieść. Dodatkowo, jeśli rysujesz w skali: 1 jednostka. = 1 cm (dwie komórki notesu), wówczas uzyskaną odpowiedź można sprawdzić zwykłą linijką, bezpośrednio mierząc długość odcinka.
Tak, rozwiązanie jest krótkie, ale jest w nim kilka ważnych punktów, które chciałbym wyjaśnić:
Po pierwsze, w odpowiedzi podajemy wymiar: „jednostki”. Warunek nie mówi CO to jest, milimetry, centymetry, metry czy kilometry. Dlatego matematycznie poprawnym rozwiązaniem byłoby ogólne sformułowanie: „jednostki” - w skrócie „jednostki”.
Po drugie, powtórzmy materiał szkolny, który będzie przydatny nie tylko w rozważanym zadaniu:
Zwróć uwagę na ważna technika – usunięcie mnożnika spod pierwiastka. W wyniku obliczeń otrzymujemy wynik, a dobry styl matematyczny polega na usunięciu współczynnika spod pierwiastka (jeśli to możliwe). Bardziej szczegółowo proces wygląda następująco: 
. Oczywiście pozostawienie odpowiedzi bez zmian nie byłoby błędem - ale z pewnością byłoby mankamentem i poważnym argumentem za sprzeczeniem ze strony nauczyciela.
Oto inne częste przypadki: 
Często korzeń daje dość dużą liczbę, na przykład . Co zrobić w takich przypadkach? Korzystając z kalkulatora sprawdzamy, czy liczba jest podzielna przez 4: . Tak, został całkowicie podzielony, a więc: 
. A może liczbę można ponownie podzielić przez 4? . Zatem: 
. Ostatnia cyfra liczby jest nieparzysta, więc dzielenie przez 4 po raz trzeci oczywiście nie będzie działać. Spróbujmy podzielić przez dziewięć: . W rezultacie:
Gotowy.
Wniosek: jeśli pod pierwiastkiem otrzymamy liczbę, której nie da się wydobyć w całości, to staramy się usunąć czynnik spod pierwiastka - za pomocą kalkulatora sprawdzamy, czy liczba jest podzielna przez: 4, 9, 16, 25, 36, 49 itd.
Rozwiązując różne zadania, często spotyka się korzenie, zawsze staraj się wyciągać czynniki spod pierwiastka, aby uniknąć niższej oceny i niepotrzebnych problemów z finalizacją rozwiązań w oparciu o uwagi nauczyciela.
Powtórzmy także pierwiastki kwadratowe i inne potęgi: 
Zasady działania z potęgami w postaci ogólnej można znaleźć w szkolnym podręczniku algebry, ale myślę, że z podanych przykładów wszystko lub prawie wszystko jest już jasne.
Zadanie samodzielnego rozwiązania segmentu w przestrzeni:
Przykład 4
Punkty i są przyznawane. Znajdź długość odcinka.
Rozwiązanie i odpowiedź znajdują się na końcu lekcji.
Jak znaleźć długość wektora?
Jeśli podany jest wektor płaski, jego długość oblicza się ze wzoru.
Jeśli podany jest wektor przestrzenny, jego długość oblicza się ze wzoru 
.