Jak obliczyć objętość pryzmatu. Objętość ogólnego graniastosłupa trójkątnego

Załóżmy, że musimy znaleźć objętość prawego trójkątnego pryzmatu, którego powierzchnia podstawy jest równa S, a wysokość jest równa H= AA’ = BB’ = CC’ (ryc. 306).

Narysujmy osobno podstawę pryzmatu, czyli trójkąt ABC (ryc. 307, a) i zbudujmy z niej prostokąt, dla którego rysujemy prostą KM przez wierzchołek B || AC i z punktów A i C obniżamy na tę prostą prostopadłe AF i CE. Otrzymujemy prostokąt ACEF. Rysując wysokość ВD trójkąta ABC, widzimy, że prostokąt ACEF jest podzielony na 4 trójkąty prostokątne. Ponadto \(\Delta\)ALL = \(\Delta\)BCD i \(\Delta\)BAF = \(\Delta\)BAD. Oznacza to, że pole prostokąta ACEF jest dwukrotnie większe od pola trójkąta ABC, czyli równe 2S.

Do tego pryzmatu z podstawą ABC przymocujemy pryzmaty z podstawami ALL i BAF oraz wysokością H(ryc. 307, b). Otrzymujemy prostokątny równoległościan z podstawą ACEF.

Jeśli rozcinamy ten równoległościan płaszczyzną przechodzącą przez linie proste BD i BB’, zobaczymy, że równoległościan prostokątny składa się z 4 pryzmatów o podstawach BCD, ALL, BAD i BAF.

Pryzmaty o podstawach BCD i BC można łączyć, ponieważ ich podstawy są równe (\(\Delta\)BCD = \(\Delta\)BCE) i ich krawędzie boczne, które są prostopadłe do tej samej płaszczyzny, również są równe. Oznacza to, że objętości tych pryzmatów są równe. Objętości pryzmatów o podstawach BAD i BAF są również równe.

Okazuje się zatem, że objętość danego graniastosłupa trójkątnego o podstawie ABC jest połową objętości równoległościanu prostokątnego o podstawie ACEF.

Wiemy, że objętość prostokątnego równoległościanu jest równa iloczynowi pola jego podstawy i jego wysokości, czyli w tym przypadku jest równa 2S H. Stąd objętość tego prostopadłościanu trójkątnego jest równa S H.

Objętość prostopadłościanu trójkątnego jest równa iloczynowi pola jego podstawy i jego wysokości.

2. Objętość prawego pryzmatu wielokątnego.

Aby znaleźć objętość prawego pryzmatu wielokątnego, na przykład pięciokątnego, o polu podstawy S i wysokości H, podzielmy go na trójkątne pryzmaty (ryc. 308).

Oznaczając pola podstawy trójkątnych pryzmatów przez S 1, S 2 i S 3 oraz objętość danego wielokątnego pryzmatu przez V, otrzymujemy:

V = S 1 H+ S2 H+ S 3 H, Lub

V = (S 1 + S 2 + S 3) H.

I wreszcie: V = S H.

W ten sam sposób wyprowadza się wzór na objętość prawego pryzmatu z dowolnym wielokątem u podstawy.

Oznacza, Objętość dowolnego prawego pryzmatu jest równa iloczynowi pola jego podstawy i jego wysokości.

Objętość pryzmatu

Twierdzenie. Objętość pryzmatu jest równa iloczynowi pola podstawy i wysokości.

Najpierw udowodnimy to twierdzenie dla pryzmatu trójkątnego, a następnie dla wielokątnego.

1) Narysujmy (Rys. 95) przez krawędź AA 1 trójkątnego pryzmatu ABCA 1 B 1 C 1 płaszczyznę równoległą do ściany BB 1 C 1 C, a przez krawędź CC 1 płaszczyznę równoległą do ściany AA 1 B 1 B ; następnie będziemy kontynuować płaszczyzny obu podstaw pryzmatu, aż przetną się z narysowanymi płaszczyznami.

Następnie otrzymujemy równoległościan BD 1, który jest podzielony płaszczyzną ukośną AA 1 C 1 C na dwa trójkątne pryzmaty (z których jeden jest ten). Udowodnimy, że te pryzmaty są równej wielkości. Aby to zrobić, rysujemy przekrój prostopadły abcd. W przekroju powstanie równoległobok, którego przekątna AC dzieli się na dwa równe trójkąty. Ten pryzmat ma wielkość równą prostemu pryzmatowi, którego podstawa wynosi \(\Delta\) ABC, a wysokość to krawędź AA 1. Inny trójkątny pryzmat ma pole równe linii prostej, której podstawa wynosi \(\Delta\) dop, a wysokość to krawędź AA 1. Ale dwa proste pryzmaty o równych podstawach i równych wysokościach są równe (ponieważ po włożeniu są połączone), co oznacza, że ​​​​pryzmaty ABCA 1 B 1 C 1 i ADCA 1 D 1 C 1 są równej wielkości. Wynika z tego, że objętość tego pryzmatu jest połową objętości równoległościanu BD 1; dlatego oznaczając wysokość pryzmatu przez H, otrzymujemy:

$$ V_(\Delta np.) = \frac(S_(ABCD)\cdot H)(2) = \frac(S_(ABCD))(2)\cdot H = S_(ABC)\cdot H $$

2) Narysujmy ukośne płaszczyzny AA 1 C 1 C i AA 1 D 1 D przez krawędź AA 1 wielokątnego pryzmatu (ryc. 96).

Następnie ten pryzmat zostanie pocięty na kilka trójkątnych pryzmatów. Suma objętości tych pryzmatów stanowi wymaganą objętość. Jeśli oznaczymy obszary ich podstaw przez B 1 , B 2 , B 3 i całkowitą wysokość przez H, otrzymujemy:

objętość wielokątnego pryzmatu = B 1H+ B 2H+ B 3H =( B 1 + B 2 + B 3) H =

= (obszar ABCDE) H.

Konsekwencja. Jeżeli V, B i H są liczbami wyrażającymi w odpowiednich jednostkach objętość, pole podstawy i wysokość graniastosłupa, to zgodnie z tym, co zostało udowodnione, możemy napisać:

Inne materiały

W szkolnym programie zajęć ze stereometrii badanie figur trójwymiarowych zwykle rozpoczyna się od prostego ciała geometrycznego - wielościanu pryzmatu. Rolę jego podstaw pełnią 2 równe wielokąty leżące w równoległych płaszczyznach. Szczególnym przypadkiem jest regularny pryzmat czworokątny. Jego podstawą są 2 jednakowe regularne czworokąty, do których boki są prostopadłe, mające kształt równoległoboków (lub prostokątów, jeśli pryzmat nie jest nachylony).

Jak wygląda pryzmat?

Regularny czworokątny pryzmat to sześciokąt, którego podstawy to 2 kwadraty, a ściany boczne są reprezentowane przez prostokąty. Inną nazwą tej figury geometrycznej jest prosty równoległościan.

Poniżej pokazano rysunek przedstawiający czworokątny pryzmat.

Widać też na zdjęciu najważniejsze elementy tworzące bryłę geometryczną. Obejmują one:

Czasem w zadaniach z geometrii można spotkać się z pojęciem przekroju. Definicja będzie brzmieć następująco: przekrój to wszystkie punkty bryły wolumetrycznej należące do płaszczyzny cięcia. Przekrój może być prostopadły (przecina krawędzie figury pod kątem 90 stopni). W przypadku pryzmatu prostokątnego uwzględnia się również przekrój przekątny (maksymalna liczba przekrojów, jakie można zbudować to 2), przechodzący przez 2 krawędzie i przekątne podstawy.

Jeśli przekrój zostanie narysowany w taki sposób, że płaszczyzna cięcia nie jest równoległa ani do podstaw, ani do ścian bocznych, efektem będzie ścięty pryzmat.

Aby znaleźć zredukowane elementy pryzmatyczne, stosuje się różne relacje i wzory. Część z nich znana jest z zajęć z planimetrii (np. aby obliczyć pole podstawy pryzmatu wystarczy przypomnieć sobie wzór na pole kwadratu).

Powierzchnia i objętość

Aby określić objętość pryzmatu za pomocą wzoru, musisz znać obszar jego podstawy i wysokość:

V = Sbas godz

Ponieważ podstawą foremnego graniastosłupa czworościennego jest kwadrat o boku A, Możesz napisać formułę w bardziej szczegółowej formie:

V = a²·h

Jeśli mówimy o sześcianie - regularnym pryzmacie o równej długości, szerokości i wysokości, objętość oblicza się w następujący sposób:

Aby zrozumieć, jak znaleźć powierzchnię boczną pryzmatu, musisz wyobrazić sobie jego rozwój.

Z rysunku widać, że powierzchnia boczna składa się z 4 równych prostokątów. Jego pole oblicza się jako iloczyn obwodu podstawy i wysokości figury:

Strona = Poz. godz

Biorąc pod uwagę, że obwód kwadratu jest równy P = 4a, formuła przyjmuje postać:

Strona = 4a godz

Dla kostki:

Bok = 4a²

Aby obliczyć całkowitą powierzchnię pryzmatu, należy dodać 2 obszary podstawowe do obszaru bocznego:

Sfull = Bok + 2Smain

W odniesieniu do czworokątnego pryzmatu foremnego wzór wygląda następująco:

Stotal = 4a godz. + 2a²

Dla powierzchni sześcianu:

Pełny = 6a²

Znając objętość lub pole powierzchni, można obliczyć poszczególne elementy bryły geometrycznej.

Znajdowanie elementów pryzmatycznych

Często pojawiają się problemy, w których podana jest objętość lub znana jest wartość pola powierzchni bocznej, gdzie konieczne jest określenie długości boku podstawy lub wysokości. W takich przypadkach można wyprowadzić wzory:

  • długość boku podstawy: a = bok / 4h = √(V / h);
  • wysokość lub długość bocznych żeber: h = bok / 4a = V / a²;
  • powierzchnia podstawy: Sbas = V/h;
  • powierzchnia powierzchni bocznej: Strona gr = bok / 4.

Aby określić, ile powierzchni ma przekrój przekątny, musisz znać długość przekątnej i wysokość figury. Na kwadrat d = a√2. Dlatego:

Sdiag = ah√2

Aby obliczyć przekątną pryzmatu, skorzystaj ze wzoru:

dnagroda = √(2a² + h²)

Aby zrozumieć, jak zastosować podane zależności, możesz przećwiczyć i rozwiązać kilka prostych zadań.

Przykłady problemów z rozwiązaniami

Oto kilka zadań, które można znaleźć na państwowych egzaminach końcowych z matematyki.

Ćwiczenie 1.

Piasek wsypuje się do pudełka w kształcie zwykłego czworokątnego pryzmatu. Wysokość jego poziomu wynosi 10 cm.Jaki będzie poziom piasku, jeśli przeniesiemy go do pojemnika o tym samym kształcie, ale z dwukrotnie dłuższą podstawą?

Należy to uzasadnić w następujący sposób. Ilość piasku w pierwszym i drugim pojemniku nie uległa zmianie, tj. jego objętość w nich jest taka sama. Możesz oznaczyć długość podstawy przez A. W tym przypadku dla pierwszego pudełka objętość substancji będzie wynosić:

V₁ = ha² = 10a²

W przypadku drugiego pudełka długość podstawy wynosi 2a, ale wysokość poziomu piasku nie jest znana:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Ponieważ V₁ = V₂, możemy przyrównać wyrażenia:

10a² = 4ha²

Po zmniejszeniu obu stron równania przez a² otrzymujemy:

W efekcie powstanie nowy poziom piasku h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Zadanie 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ jest pryzmatem poprawnym. Wiadomo, że BD = AB₁ = 6√2. Znajdź całkowitą powierzchnię ciała.

Aby ułatwić zrozumienie, które elementy są znane, możesz narysować figurę.

Ponieważ mówimy o pryzmacie foremnym, możemy stwierdzić, że u podstawy znajduje się kwadrat o przekątnej 6√2. Przekątna ściany bocznej ma tę samą wielkość, dlatego też ściana boczna ma kształt kwadratu równego podstawie. Okazuje się, że wszystkie trzy wymiary - długość, szerokość i wysokość - są równe. Możemy stwierdzić, że ABCDA₁B₁C₁D₁ jest sześcianem.

Długość dowolnej krawędzi określa się za pomocą znanej przekątnej:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Powierzchnię całkowitą oblicza się ze wzoru na sześcian:

Pełny = 6a² = 6 6² = 216


Zadanie 3.

Pokój jest w trakcie remontu. Wiadomo, że jego podłoga ma kształt kwadratu o powierzchni 9 m². Wysokość pokoju wynosi 2,5 m. Jaki jest najniższy koszt tapetowania pokoju, jeśli 1 m² kosztuje 50 rubli?

Ponieważ podłoga i sufit mają kształt kwadratów, czyli regularnych czworokątów, a jej ściany są prostopadłe do powierzchni poziomych, możemy stwierdzić, że jest to graniastosłup foremny. Konieczne jest określenie obszaru jego powierzchni bocznej.

Długość pokoju wynosi za = √9 = 3 M.

Powierzchnia zostanie pokryta tapetą Bok = 4 3 2,5 = 30 m².

Najniższy koszt tapety dla tego pokoju będzie 50,30 = 1500 ruble

Zatem, aby rozwiązać problemy z pryzmatem prostokątnym, wystarczy umieć obliczyć pole i obwód kwadratu i prostokąta, a także znać wzory na znalezienie objętości i pola powierzchni.

Jak znaleźć obszar sześcianu















Objętość pryzmatu. Rozwiązywanie problemów

Geometria jest najpotężniejszym środkiem wyostrzającym nasze zdolności umysłowe i umożliwiającym nam prawidłowe myślenie i rozumowanie.

G. Galileo

Cel lekcji:

  • uczyć rozwiązywania problemów z obliczaniem objętości pryzmatów, podsumowywać i systematyzować wiedzę uczniów o pryzmacie i jego elementach, rozwijać umiejętność rozwiązywania problemów o większym stopniu złożoności;
  • rozwijać logiczne myślenie, umiejętność samodzielnej pracy, umiejętność wzajemnej kontroli i samokontroli, umiejętność mówienia i słuchania;
  • rozwijaj nawyk stałego zatrudnienia w jakiejś pożytecznej działalności, sprzyjającej szybkości reagowania, ciężkiej pracy i dokładności.

Typ lekcji: lekcja stosowania wiedzy, umiejętności i zdolności.

Sprzęt: karty kontrolne, rzutnik multimedialny, prezentacja „Lekcja. Pryzmat”, komputery.

Podczas zajęć

  • Boczne żebra pryzmatu (ryc. 2).
  • Powierzchnia boczna pryzmatu (ryc. 2, ryc. 5).
  • Wysokość pryzmatu (ryc. 3, ryc. 4).
  • Prosty pryzmat (rysunek 2,3,4).
  • Nachylony pryzmat (ryc. 5).
  • Prawidłowy pryzmat (ryc. 2, ryc. 3).
  • Przekrój ukośny pryzmatu (ryc. 2).
  • Przekątna pryzmatu (ryc. 2).
  • Przekrój prostopadły pryzmatu (ryc. 3, ryc. 4).
  • Boczna powierzchnia pryzmatu.
  • Całkowita powierzchnia pryzmatu.
  • Objętość pryzmatu.

    1. KONTROLA PRACY DOMOWEJ (8 min)

      2. Wymieńcie się zeszytami, sprawdźcie rozwiązanie na slajdach i zaznaczcie je (zaznacz 10, jeśli zadanie zostało opracowane)

      Na podstawie obrazka wymyśl zadanie i rozwiąż je. Student broni ułożonego przez siebie problemu na tablicy. Rysunek 6 i Rysunek 7.

      Rozdział 2, §3
      Problem.2. Długości wszystkich krawędzi foremnego trójkątnego pryzmatu są sobie równe. Oblicz objętość pryzmatu, jeśli jego powierzchnia wynosi cm 2 (ryc. 8)

      Rozdział 2, §3
      Zadanie 5. Podstawą prawego pryzmatu ABCA 1B 1C1 jest trójkąt prostokątny ABC (kąt ABC=90°), AB=4cm. Oblicz objętość pryzmatu, jeśli promień okręgu opisanego na trójkącie ABC wynosi 2,5 cm, a wysokość pryzmatu wynosi 10 cm. (Rysunek 9).

      Rozdział 2, §3
      Zadanie 29. Długość boku podstawy foremnego czworokątnego graniastosłupa wynosi 3 cm. Przekątna pryzmatu tworzy z płaszczyzną boku kąt 30°. Oblicz objętość pryzmatu (ryc. 10).

    2. Współpraca nauczyciela z klasą (2-3 min.).

      3. Cel: podsumowanie wyników rozgrzewki teoretycznej (uczniowie oceniają się nawzajem), nauczenie się rozwiązywania problemów z danego tematu.

    3. MINUTA FIZYCZNA (3 min)
    4. ROZWIĄZANIE PROBLEMÓW (10 min)

      5. Na tym etapie nauczyciel organizuje pracę frontalną nad powtarzaniem metod rozwiązywania problemów planimetrycznych i wzorów planimetrycznych. Klasa jest podzielona na dwie grupy, niektórzy rozwiązują problemy, inni pracują przy komputerze. Potem się zmieniają. Studenci proszeni są o rozwiązanie wszystkich zadań nr 8 (ustnie), nr 9 (ustnie). Następnie dzielą się na grupy i przystępują do rozwiązywania zadań nr 14, nr 30, nr 32.

      Rozdział 2, §3, strony 66-67

      Zadanie 8. Wszystkie krawędzie regularnego trójkątnego pryzmatu są sobie równe. Znajdź objętość pryzmatu, jeśli pole przekroju poprzecznego płaszczyzny przechodzącej przez krawędź dolnej podstawy i środek boku górnej podstawy jest równe cm (ryc. 11).

      Rozdział 2, §3, s. 66-67
      Zadanie 9. Podstawą prostego graniastosłupa jest kwadrat, a jego boczne krawędzie są dwukrotnie większe od boku podstawy. Oblicz objętość pryzmatu, jeśli promień okręgu opisanego w pobliżu przekroju pryzmatu przez płaszczyznę przechodzącą przez bok podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej jest równy cm (ryc. 12)

      Rozdział 2, §3, s. 66-67
      Problem 14 Podstawą prostego graniastosłupa jest romb, którego jedna z przekątnych jest równa jego bokowi. Oblicz obwód przekroju płaszczyzną przechodzącą przez większą przekątną dolnej podstawy, jeśli objętość pryzmatu jest równa, a wszystkie ściany boczne są kwadratami (ryc. 13).

      Rozdział 2, §3, s. 66-67
      Zadanie 30 ABCA 1 B 1 C 1 to regularny trójkątny pryzmat, którego wszystkie krawędzie są sobie równe, punkt jest środkiem krawędzi BB 1. Oblicz promień okręgu wpisanego w przekrój pryzmatu przez płaszczyznę AOS, jeśli objętość pryzmatu jest równa (rys. 14).

      Rozdział 2, §3, s. 66-67
      Zadanie 32.W regularnym czworokątnym pryzmacie suma pól podstaw jest równa polu powierzchni bocznej. Oblicz objętość pryzmatu, jeżeli średnica okręgu opisanego w pobliżu przekroju pryzmatu przez płaszczyznę przechodzącą przez dwa wierzchołki dolnej podstawy i przeciwległy wierzchołek podstawy górnej wynosi 6 cm (ryc. 15).

      Rozwiązując zadania, uczniowie porównują swoje odpowiedzi z odpowiedziami wskazanymi przez nauczyciela. Oto przykładowe rozwiązanie problemu ze szczegółowym komentarzem... Praca indywidualna nauczyciela z „silnymi” uczniami (10 min.).

    5. Studenci pracujący samodzielnie nad testem przy komputerze

      6. 1. Bok podstawy regularnego trójkątnego pryzmatu jest równy , a wysokość wynosi 5. Znajdź objętość pryzmatu.

      1) 152) 45 3) 104) 125) 18

      2. Wybierz poprawne stwierdzenie.

      1) Objętość prawego pryzmatu, którego podstawą jest trójkąt prostokątny, jest równa iloczynowi pola podstawy i wysokości.

      2) Objętość regularnego trójkątnego pryzmatu oblicza się ze wzoru V = 0,25a · 2 h - gdzie a to bok podstawy, h to wysokość pryzmatu.

      3) Objętość prostego pryzmatu jest równa połowie iloczynu pola podstawy i wysokości.

      4) Objętość regularnego czworokątnego pryzmatu oblicza się ze wzoru V = a 2 h-gdzie a to bok podstawy, h to wysokość pryzmatu.

      5) Objętość regularnego graniastosłupa sześciokątnego oblicza się ze wzoru V = 1,5a 2 h, gdzie a to bok podstawy, h to wysokość pryzmatu.

      3. Bok podstawy regularnego trójkątnego pryzmatu jest równy . Przez bok dolnej podstawy i przeciwległy wierzchołek górnej podstawy poprowadzono płaszczyznę, która przechodzi do podstawy pod kątem 45°. Znajdź objętość pryzmatu.

      1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

      4. Podstawą prawego pryzmatu jest romb, którego bok wynosi 13, a jedna z przekątnych wynosi 24. Znajdź objętość pryzmatu, jeśli przekątna ściany bocznej wynosi 14.

Kurs wideo „Zdobądź piątkę” obejmuje wszystkie tematy niezbędne do pomyślnego zdania jednolitego egzaminu państwowego z matematyki z wynikiem 60–65 punktów. Całkowicie wszystkie zadania 1-13 z egzaminu państwowego Profile Unified z matematyki. Nadaje się również do zdania podstawowego jednolitego egzaminu państwowego z matematyki. Jeśli chcesz zdać Unified State Exam z 90-100 punktami, musisz rozwiązać część 1 w 30 minut i bez błędów!

Kurs przygotowawczy do Jednolitego Egzaminu Państwowego dla klas 10-11, a także dla nauczycieli. Wszystko, czego potrzebujesz, aby rozwiązać część 1 egzaminu państwowego Unified State Exam z matematyki (pierwsze 12 zadań) i zadanie 13 (trygonometria). A to ponad 70 punktów na egzaminie Unified State Exam i ani 100-punktowy student, ani student nauk humanistycznych nie mogą się bez nich obejść.

Cała niezbędna teoria. Szybkie rozwiązania, pułapki i tajemnice Unified State Exam. Przeanalizowano wszystkie aktualne zadania części 1 z Banku Zadań FIPI. Kurs w pełni odpowiada wymogom Unified State Exam 2018.

Kurs zawiera 5 dużych tematów, każdy po 2,5 godziny. Każdy temat jest podany od podstaw, prosto i przejrzyście.

Setki zadań z egzaminu Unified State Exam. Zadania tekstowe i teoria prawdopodobieństwa. Proste i łatwe do zapamiętania algorytmy rozwiązywania problemów. Geometria. Teoria, materiały referencyjne, analiza wszystkich typów zadań Unified State Examation. Stereometria. Podstępne rozwiązania, przydatne ściągawki, rozwój wyobraźni przestrzennej. Trygonometria od podstaw do zadania 13. Zrozumienie zamiast wkuwania. Jasne wyjaśnienia skomplikowanych pojęć. Algebra. Pierwiastki, potęgi i logarytmy, funkcja i pochodna. Podstawa do rozwiązywania złożonych problemów części 2 jednolitego egzaminu państwowego.

pryzmat bezpośredni. POWIERZCHNIA I OBJĘTOŚĆ PRAZMU BEZPOŚREDNIEGO.

§ 68. OBJĘTOŚĆ PRAZMU BEZPOŚREDNIEGO.

1. Objętość prostopadłościanu trójkątnego.

Załóżmy, że musimy znaleźć objętość prawego trójkątnego pryzmatu, którego powierzchnia podstawy jest równa S, a wysokość jest równa H= AA” = = BB” = SS” (rysunek 306).

Narysujmy osobno podstawę pryzmatu, czyli trójkąt ABC (ryc. 307, a) i zbudujmy z niej prostokąt, dla którego rysujemy prostą KM przez wierzchołek B || AC i z punktów A i C obniżamy na tę prostą prostopadłe AF i CE. Otrzymujemy prostokąt ACEF. Rysując wysokość ВD trójkąta ABC, widzimy, że prostokąt ACEF jest podzielony na 4 trójkąty prostokątne. Ponadto /\ WSZYSTKIE = /\ BCD i /\ VAF = /\ VAD. Oznacza to, że pole prostokąta ACEF jest dwukrotnie większe od pola trójkąta ABC, czyli równe 2S.

Do tego pryzmatu z podstawą ABC przymocujemy pryzmaty z podstawami ALL i BAF oraz wysokością H(Rysunek 307, b). Otrzymujemy prostokątny równoległościan z podstawą
ACEF.

Jeśli rozcinamy ten równoległościan płaszczyzną przechodzącą przez proste BD i BB", zobaczymy, że równoległościan prostokątny składa się z 4 pryzmatów o podstawach
BCD, WSZYSTKIE, ZŁE i BAF.

Pryzmaty o podstawach BCD i VSE można łączyć, ponieważ ich podstawy są równe ( /\ ВСD = /\ BSE), a ich boczne krawędzie są również równe i są prostopadłe do tej samej płaszczyzny. Oznacza to, że objętości tych pryzmatów są równe. Objętości pryzmatów o podstawach BAD i BAF są również równe.

Okazuje się zatem, że objętość danego trójkątnego pryzmatu z podstawą
ABC to połowa objętości prostokątnego równoległościanu o podstawie ACEF.

Wiemy, że objętość prostokątnego równoległościanu jest równa iloczynowi pola jego podstawy i jego wysokości, czyli w tym przypadku jest równa 2S H. Stąd objętość tego prostopadłościanu trójkątnego jest równa S H.

Objętość prostopadłościanu trójkątnego jest równa iloczynowi pola jego podstawy i jego wysokości.

2. Objętość prawego pryzmatu wielokątnego.

Aby znaleźć objętość prawego pryzmatu wielokątnego, na przykład pięciokątnego, o polu podstawy S i wysokości H, podzielmy go na trójkątne pryzmaty (ryc. 308).

Oznaczając pola podstawy trójkątnych pryzmatów przez S 1, S 2 i S 3 oraz objętość danego wielokątnego pryzmatu przez V, otrzymujemy:

V = S 1 H+ S2 H+ S 3 H, Lub
V = (S 1 + S 2 + S 3) H.

I wreszcie: V = S H.

W ten sam sposób wyprowadza się wzór na objętość prawego pryzmatu z dowolnym wielokątem u podstawy.

Oznacza, Objętość dowolnego prawego pryzmatu jest równa iloczynowi pola jego podstawy i jego wysokości.

Ćwiczenia.

1. Oblicz objętość prostego pryzmatu mającego u podstawy równoległobok, korzystając z następujących danych:

2. Oblicz objętość prostego pryzmatu mającego u podstawy trójkąt, korzystając z następujących danych:

3. Oblicz objętość prostego graniastosłupa, którego podstawą jest trójkąt równoboczny o boku 12 cm (32 cm, 40 cm). Wysokość pryzmatu 60 cm.

4. Oblicz objętość prostego graniastosłupa, którego podstawa ma trójkąt prostokątny o ramionach o długości 12 cm i 8 cm (16 cm i 7 cm; 9 m i 6 m). Wysokość pryzmatu wynosi 0,3 m.

5. Oblicz objętość prostego pryzmatu, który ma u podstawy trapez o równoległych bokach 18 cm i 14 cm i wysokości 7,5 cm Wysokość pryzmatu wynosi 40 cm.

6. Oblicz objętość swojej sali lekcyjnej (sali wychowania fizycznego, swojego pokoju).

7. Całkowita powierzchnia sześcianu wynosi 150 cm 2 (294 cm 2, 864 cm 2). Oblicz objętość tego sześcianu.

8. Długość cegły budowlanej wynosi 25,0 cm, szerokość 12,0 cm, grubość 6,5 cm a) Oblicz jej objętość, b) Określ jej wagę, jeśli 1 centymetr sześcienny cegły waży 1,6 g.

9. Ile sztuk cegieł budowlanych potrzeba do zbudowania pełnego muru ceglanego w kształcie prostokątnego równoległościanu o długości 12 m, szerokości 0,6 m i wysokości 10 m? (Wymiary cegły z ćwiczenia 8.)

10. Długość czysto wyciętej deski wynosi 4,5 m, szerokość - 35 cm, grubość - 6 cm a) Oblicz objętość b) Określ jej wagę, jeśli decymetr sześcienny deski waży 0,6 kg.

11. Ile ton siana można ułożyć w stodole przykrytej dachem dwuspadowym (ryc. 309), jeśli długość stodoły wynosi 12 m, szerokość 8 m, wysokość 3,5 m i wysokość kalenica wynosi 1,5 m? (Przyjmij ciężar właściwy siana jako 0,2.)

12. Należy wykopać rów o długości 0,8 km; w przekroju rów powinien mieć kształt trapezu o podstawach 0,9 m i 0,4 m, a głębokość rowu powinna wynosić 0,5 m (rys. 310). Ile metrów sześciennych ziemi trzeba będzie usunąć?