Powyższe równanie wprowadziliśmy w § 7. Na początek przypomnijmy sobie, czym jest wyrażenie wymierne. Jest to wyrażenie algebraiczne składające się z liczb i zmiennej x, wykorzystujące operacje dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i potęgowania z wykładnikiem naturalnym.
Jeżeli r(x) jest wyrażeniem wymiernym, to równanie r(x) = 0 nazywa się równaniem wymiernym.
W praktyce jednak wygodniej jest zastosować nieco szerszą interpretację terminu „równanie racjonalne”: jest to równanie w postaci h(x) = q(x), gdzie h(x) i q(x) są racjonalne wyrażenia.
Do tej pory nie potrafiliśmy rozwiązać żadnego równania wymiernego, a jedynie takie, które w wyniku różnych przekształceń i rozumowań zostało sprowadzone do postaci równanie liniowe. Teraz nasze możliwości są znacznie większe: będziemy w stanie rozwiązać równanie wymierne, które sprowadza się nie tylko do liniowego
mu, ale także do równania kwadratowego.
Przypomnijmy sobie, jak już wcześniej rozwiązywaliśmy równania wymierne i spróbujmy sformułować algorytm rozwiązania.
Przykład 1. Rozwiązać równanie
Rozwiązanie. Przepiszmy równanie w postaci
W tym przypadku jak zwykle wykorzystujemy fakt, że równości A = B i A - B = 0 wyrażają tę samą zależność pomiędzy A i B. Pozwoliło nam to przesunąć wyraz na lewą stronę równania z przeciwny znak.
Przekształćmy lewą stronę równania. Mamy
Przypomnijmy warunki równości ułamki zero: wtedy i tylko wtedy, gdy jednocześnie spełnione są dwie relacje:
1) licznik ułamka wynosi zero (a = 0); 2) mianownik ułamka jest różny od zera).
Przyrównując licznik ułamka po lewej stronie równania (1) do zera, otrzymujemy
Pozostaje sprawdzić spełnienie drugiego warunku wskazanego powyżej. Zależność oznacza dla równania (1), że . Wartości x 1 = 2 i x 2 = 0,6 spełniają wskazane zależności i dlatego służą jako pierwiastki równania (1), a jednocześnie pierwiastki danego równania.
1) Przekształćmy równanie do postaci
2) Przekształćmy lewą stronę tego równania:
(jednocześnie zmieniłem znaki w liczniku i
ułamki).
Zatem podane równanie przyjmuje postać
3) Rozwiąż równanie x 2 - 6x + 8 = 0. Znajdź
4) Dla znalezionych wartości sprawdź spełnienie warunku 
. Liczba 4 spełnia ten warunek, ale liczba 2 nie. Oznacza to, że 4 jest pierwiastkiem danego równania, a 2 jest pierwiastkiem obcym.
ODPOWIEDŹ: 4.
2. Rozwiązywanie równań wymiernych poprzez wprowadzenie nowej zmiennej
Sposób wprowadzania nowej zmiennej jest Ci znany, korzystaliśmy z niego więcej niż raz. Pokażmy na przykładach, jak można go wykorzystać w rozwiązywaniu równań wymiernych.
Przykład 3. Rozwiąż równanie x 4 + x 2 - 20 = 0.
Rozwiązanie. Wprowadźmy nową zmienną y = x 2 . Ponieważ x 4 = (x 2) 2 = y 2, dane równanie można przepisać jako
y 2 + y - 20 = 0.
Jest to równanie kwadratowe, którego pierwiastki można znaleźć, korzystając ze znanych formuły; otrzymujemy y 1 = 4, y 2 = - 5.
Ale y = x 2, co oznacza, że problem został zredukowany do rozwiązania dwóch równań:
x2 =4; x 2 = -5.
Z pierwszego równania dowiadujemy się, że drugie równanie nie ma pierwiastków.
Odpowiedź: .
Równanie w postaci ax 4 + bx 2 +c = 0 nazywane jest równaniem dwukwadratowym („bi” to dwa, czyli rodzaj równania „podwójnego kwadratowego”). Równanie właśnie rozwiązane było dokładnie dwukwadratowe. Każde równanie dwukwadratowe rozwiązuje się w taki sam sposób, jak równanie z Przykładu 3: wprowadzamy nową zmienną y = x 2, rozwiązujemy powstałe równanie kwadratowe ze względu na zmienną y, a następnie wracamy do zmiennej x.
Przykład 4. Rozwiązać równanie
Rozwiązanie. Zauważ, że to samo wyrażenie x 2 + 3x pojawia się tutaj dwukrotnie. Oznacza to, że sensowne jest wprowadzenie nowej zmiennej y = x 2 + 3x. Pozwoli nam to przepisać równanie na prostszą i przyjemniejszą formę (co zresztą ma na celu wprowadzenie nowego zmienny- i uproszczenie nagrywania
staje się jaśniejsze i struktura równania staje się jaśniejsza):
Skorzystajmy teraz z algorytmu rozwiązywania równania wymiernego.
1) Przenieśmy wszystkie wyrazy równania do jednej części:
= 0
2) Przekształć lewą stronę równania
Zatem przekształciliśmy podane równanie do postaci
3) Z równania - 7y 2 + 29y -4 = 0 znajdujemy (ty i ja rozwiązaliśmy już sporo równań kwadratowych, więc chyba nie warto zawsze podawać szczegółowych obliczeń w podręczniku).
4) Sprawdźmy znalezione pierwiastki korzystając z warunku 5 (y - 3) (y + 1). Obydwa korzenie spełniają ten warunek.
Zatem równanie kwadratowe dla nowej zmiennej y zostało rozwiązane: 
Ponieważ y = x 2 + 3x, a y, jak ustaliliśmy, przyjmuje dwie wartości: 4 i , musimy jeszcze rozwiązać dwa równania: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx = . Pierwiastkami pierwszego równania są liczby 1 i - 4, pierwiastkami drugiego równania są liczby
W rozpatrywanych przykładach sposób wprowadzenia nowej zmiennej był, jak lubią mawiać matematycy, adekwatny do sytuacji, czyli dobrze jej odpowiadał. Dlaczego? Tak, ponieważ to samo wyrażenie wyraźnie pojawiło się w równaniu kilka razy i nie bez powodu oznaczono to wyrażenie nową literą. Ale nie zawsze tak się dzieje, czasami nowa zmienna „pojawia się” dopiero w procesie transformacji. Dokładnie to samo stanie się w następnym przykładzie.
Przykład 5. Rozwiązać równanie
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Rozwiązanie. Mamy
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1)(x - 2) = x 2 -Зx+2.
Oznacza to, że dane równanie można zapisać w postaci
(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24
Teraz „pojawiła się” nowa zmienna: y = x 2 - 3x.
Za jego pomocą równanie można przepisać w postaci y (y + 2) = 24, a następnie y 2 + 2y - 24 = 0. Pierwiastkami tego równania są liczby 4 i -6.
Wracając do pierwotnej zmiennej x, otrzymujemy dwa równania x 2 - 3x = 4 i x 2 - 3x = - 6. Z pierwszego równania znajdujemy x 1 = 4, x 2 = - 1; drugie równanie nie ma pierwiastków.
ODPOWIEDŹ: 4, - 1.
Rozwiązywanie równań z ułamkami Spójrzmy na przykłady. Przykłady są proste i ilustracyjne. Z ich pomocą będziesz w stanie zrozumieć w najbardziej zrozumiały sposób.
Na przykład musisz rozwiązać proste równanie x/b + c = d.
Równanie tego typu nazywa się liniowym, ponieważ W mianowniku znajdują się tylko liczby.
Rozwiązanie polega na pomnożeniu obu stron równania przez b, wówczas równanie przyjmuje postać x = b*(d – c), tj. mianownik ułamka po lewej stronie się znosi.
Na przykład, jak rozwiązać równanie ułamkowe:
x/5+4=9
Mnożymy obie strony przez 5. Otrzymujemy:
x+20=45
x=45-20=25
Inny przykład, gdy niewiadoma jest w mianowniku:
Równania tego typu nazywane są ułamkowo-wymiernymi lub po prostu ułamkowymi.
Rozwiązalibyśmy równanie ułamkowe, pozbywając się ułamków, po czym równanie to najczęściej zamienia się w równanie liniowe lub kwadratowe, które rozwiązuje się w zwykły sposób. Musisz tylko wziąć pod uwagę następujące punkty:
- wartość zmiennej zamieniającej mianownik na 0 nie może być pierwiastkiem;
- Nie można dzielić ani mnożyć równania przez wyrażenie =0.
Tutaj zaczyna obowiązywać koncepcja obszaru wartości dopuszczalnych (ADV) - są to wartości pierwiastków równania, dla których równanie ma sens.
Dlatego przy rozwiązywaniu równania należy znaleźć pierwiastki, a następnie sprawdzić je pod kątem zgodności z ODZ. Te korzenie, które nie odpowiadają naszemu ODZ, są wyłączone z odpowiedzi.
Na przykład musisz rozwiązać równanie ułamkowe:
W oparciu o powyższą regułę x nie może wynosić = 0, tj. ODZ w tym przypadku: x – dowolna wartość różna od zera.
Pozbywamy się mianownika, mnożąc wszystkie wyrazy równania przez x
I rozwiązujemy zwykłe równanie
5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3
Odpowiedź: x = 1/3
Rozwiążmy bardziej skomplikowane równanie:
ODZ jest również obecny tutaj: x -2.
Rozwiązując to równanie, nie przesuniemy wszystkiego na jedną stronę i sprowadzimy ułamki do wspólnego mianownika. Natychmiast pomnożymy obie strony równania przez wyrażenie, które usunie wszystkie mianowniki na raz.
Aby zmniejszyć mianowniki należy pomnożyć lewą stronę przez x+2, a prawą stronę przez 2. Oznacza to, że obie strony równania należy pomnożyć przez 2(x+2):
Jest to najczęstsze mnożenie ułamków, które omówiliśmy już powyżej.
Zapiszmy to samo równanie, ale nieco inaczej
Lewą stronę zmniejsza się o (x+2), a prawą o 2. Po redukcji otrzymujemy zwykłe równanie liniowe:
x = 4 – 2 = 2, co odpowiada naszemu ODZ
Odpowiedź: x = 2.
Rozwiązywanie równań z ułamkami nie tak trudne, jak mogłoby się wydawać. W tym artykule pokazaliśmy to na przykładach. Jeśli masz jakiekolwiek trudności z jak rozwiązywać równania z ułamkami, a następnie zrezygnuj z subskrypcji w komentarzach.
Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.
Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych
Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.
Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.
Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.
Jakie dane osobowe zbieramy:
- Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.
Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:
- Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
- Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
- Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
- Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.
Ujawnianie informacji osobom trzecim
Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.
Wyjątki:
- Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z przepisami prawa, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów rządowych na terytorium Federacji Rosyjskiej – do ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
- W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.
Ochrona danych osobowych
Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.
Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy
Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.
Prezentacja i lekcja na temat: „Równania wymierne. Algorytm i przykłady rozwiązywania równań wymiernych”
Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji i życzeń! Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.
Pomoce edukacyjne i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 8
Podręcznik do podręcznika Makaryczowa Yu.N. Podręcznik do podręcznika Mordkovich A.G.
Wprowadzenie do równań niewymiernych
Chłopaki, nauczyliśmy się rozwiązywać równania kwadratowe. Ale matematyka nie ogranicza się tylko do nich. Dzisiaj nauczymy się rozwiązywać równania wymierne. Pojęcie równań wymiernych jest pod wieloma względami podobne do pojęcia liczb wymiernych. Tylko oprócz liczb wprowadziliśmy teraz zmienną $x$. I tak otrzymujemy wyrażenie, w którym występują operacje dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i podnoszenia do potęgi całkowitej.Niech $r(x)$ będzie racjonalna ekspresja. Takim wyrażeniem może być prosty wielomian w zmiennej $x$ lub stosunek wielomianów (wprowadza się operację dzielenia, jak dla liczb wymiernych).
Nazywa się równanie $r(x)=0$ racjonalne równanie.
Każde równanie w postaci $p(x)=q(x)$, gdzie $p(x)$ i $q(x)$ są wyrażeniami wymiernymi, również będzie racjonalne równanie.
Spójrzmy na przykłady rozwiązywania równań wymiernych.
Przykład 1.Rozwiąż równanie: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.
Rozwiązanie.
Przesuńmy wszystkie wyrażenia na lewą stronę: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Gdyby lewa strona równania była reprezentowana przez liczby zwykłe, wówczas sprowadzilibyśmy oba ułamki do wspólnego mianownika.
Zróbmy tak: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Otrzymaliśmy równanie: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.
Ułamek jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy licznik ułamka jest równy zero, a mianownik jest niezerowy. Następnie osobno przyrównujemy licznik do zera i znajdujemy pierwiastki licznika.
3 $(x^2+2x-3)=0$ lub $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Sprawdźmy teraz mianownik ułamka: $(x-3)*x≠0$.
Iloczyn dwóch liczb jest równy zero, gdy co najmniej jedna z tych liczb jest równa zero. Następnie: $x≠0$ lub $x-3≠0$.
$x≠0$ lub $x≠3$.
Pierwiastki otrzymane w liczniku i mianowniku nie pokrywają się. Zapisujemy więc oba pierwiastki licznika w odpowiedzi.
Odpowiedź: $x=1$ lub $x=-3$.
Jeśli nagle jeden z pierwiastków licznika pokrywa się z pierwiastkiem mianownika, należy go wykluczyć. Takie korzenie nazywane są obcymi!
Algorytm rozwiązywania równań wymiernych:
1. Przesuń wszystkie wyrażenia zawarte w równaniu na lewą stronę znaku równości.2. Zamień tę część równania na ułamek algebraiczny: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Otrzymany licznik przyrównaj do zera, czyli rozwiąż równanie $p(x)=0$.
4. Przyrównaj mianownik do zera i rozwiąż powstałe równanie. Jeżeli pierwiastki mianownika pokrywają się z pierwiastkami licznika, należy je wykluczyć z odpowiedzi.
Przykład 2.
Rozwiąż równanie: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.
Rozwiązanie.
Rozwiążmy zgodnie z punktami algorytmu.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Przyrównaj licznik do zera: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Przyrównaj mianownik do zera:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ i $x=-1$.
Jeden z pierwiastków $x=1$ pokrywa się z pierwiastkiem licznika, wtedy nie wpisujemy tego w odpowiedzi.
Odpowiedź: $x=-1$.
Równania wymierne wygodnie jest rozwiązywać metodą zmiany zmiennych. Zademonstrujmy to.
Przykład 3.
Rozwiąż równanie: $x^4+12x^2-64=0$.
Rozwiązanie.
Wprowadźmy zamiennik: $t=x^2$.
Wtedy nasze równanie przyjmie postać:
$t^2+12t-64=0$ - zwykłe równanie kwadratowe.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 dolary.
Wprowadźmy odwrotne podstawienie: $x^2=4$ lub $x^2=-16$.
Pierwiastkami pierwszego równania jest para liczb $x=±2$. Po drugie, nie ma korzeni.
Odpowiedź: $x=±2$.
Przykład 4.
Rozwiąż równanie: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Rozwiązanie.
Wprowadźmy nową zmienną: $t=x^2+x+1$.
Wtedy równanie przyjmie postać: $t=\frac(15)(t+2)$.
Następnie będziemy postępować zgodnie z algorytmem.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 dolary.
4. $t≠-2$ - pierwiastki nie pokrywają się.
Wprowadźmy odwrotne podstawienie.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Rozwiążmy każde równanie osobno:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - nie korzenie.
I drugie równanie: $x^2+x-2=0$.
Pierwiastkami tego równania będą liczby $x=-2$ i $x=1$.
Odpowiedź: $x=-2$ i $x=1$.
Przykład 5.
Rozwiąż równanie: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.
Rozwiązanie.
Wprowadźmy zamiennik: $t=x+\frac(1)(x)$.
Następnie:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ lub $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Otrzymaliśmy równanie: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Pierwiastkami tego równania są pary:
$t=-3$ i $t=2$.
Wprowadźmy odwrotne podstawienie:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Zadecydujemy osobno.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Rozwiążmy drugie równanie:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Pierwiastkiem tego równania jest liczba $x=1$.
Odpowiedź: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.
Problemy do samodzielnego rozwiązania
Rozwiąż równania:1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.
2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.