Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa i jej własności.
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa F(x) zmiennej losowej X w punkcie x to prawdopodobieństwo, że w wyniku eksperymentu zmienna losowa przyjmie wartość mniejszą od x, tj. F(x)=P(X< х}.
Rozważmy własności funkcji F(x).
1. F(-∞)=lim (x→-∞) F(x)=0. Rzeczywiście, z definicji F(-∞)=P(X< -∞}. Событие (X < -∞) является невозможным событием: F(-∞)=P{X < - ∞}=p{V}=0.
2. F(∞)=lim (x→∞) F(x)=1, ponieważ z definicji F(∞)=P(X< ∞}. Событие Х < ∞ является достоверным событием. Следовательно, F(∞)=P{X < ∞}=p{U}=1.
3. Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartość z przedziału [Α Β] jest równe przyrostowi funkcji rozkładu prawdopodobieństwa w tym przedziale. P(Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α).
4. F(x 2)≥ F(x 1), jeśli x 2, > x 1, tj. Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa jest funkcją niemalejącą.
5. Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa pozostaje ciągła. FΨ(x o -0)=limFΨ(x)=FΨ(x o) dla x → x o
Różnice pomiędzy funkcjami rozkładu prawdopodobieństwa dyskretnych i ciągłych zmiennych losowych można dobrze zilustrować wykresami. Niech np. dyskretna zmienna losowa ma n możliwych wartości, których prawdopodobieństwa są równe P(X=x k )=p k , k=1,2,..n. Jeżeli x ≤ x 1, to F(X)=0, ponieważ po lewej stronie x nie ma możliwych wartości zmiennej losowej. Jeśli x 1< x ≤ x 2 , то левее х находится всего одно возможное значение, а именно, значение х 1 .
Oznacza to, że F(x)=P(X=x 1 )=p 1. Przy x 2< x ≤ x 3 слева от х находится уже два возможных значения, поэтому F(x)=P{X=x 1 }+P{X=x 2 }=p 1 +p 2 . Рассуждая аналогично,приходим к выводу, что если х k < x≤ x k+1 , то F(x)=1, так как функция будет равна сумме вероятностей всех возможных значений, которая по условию нормировки равна еденице. Таким образом, график функции распределения дискретной случайной величины является ступенчатым. Возможные значения непрерывной величины располагаются плотно на интервале задания этой величины, что обеспечивает плавное возрастания функции распределения F(x), т.е. ее непрерывность.
Rozważmy prawdopodobieństwo, że zmienna losowa znajdzie się w przedziale , Δx>0: P(x≤X< x+Δx}=F(x+ Δx)-F(x). Перейдем к пределу при Δx→0:
granica (Δx → 0) P(x≤ X< x+Δx}=lim (Δx→0) F(x+Δx)-F(x). Предел равен вероятности того, что случайная величина примет значение, равное х. Если функция F(x) непрерывна в точке х, то lim (Δx→0) F(x+Δx)=F(x), т.е. P{X=x}=0.
Jeżeli F(x) ma nieciągłość w punkcie x, to prawdopodobieństwo P(X=x) będzie równe skokowi funkcji w tym punkcie. Zatem prawdopodobieństwo wystąpienia jakiejkolwiek możliwej wartości dla wartości ciągłej wynosi zero. Przez wyrażenie P(X=x)=0 należy rozumieć granicę prawdopodobieństwa wpadnięcia zmiennej losowej w nieskończenie małe sąsiedztwo punktu x dla P(Α< X≤ Β},P{Α ≤ X< Β},P{Α< X< Β},P{Α ≤ X≤ Β} равны, если Х - непрерывная случайная величина.
W przypadku zmiennych dyskretnych prawdopodobieństwa te nie są takie same w przypadku, gdy granice przedziału Α i (lub) Β pokrywają się z możliwymi wartościami zmiennej losowej. W przypadku dyskretnej zmiennej losowej należy ściśle uwzględnić rodzaj nierówności we wzorze P(Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α).
Temat nr 11
W praktyce do określenia ogólnych zmiennych losowych zwykle używa się funkcji rozkładu.
Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie określoną wartość x 0, wyrażoną dystrybuantą zgodnie ze wzorem
R (X = x 0) = F(x 0 +0) – F(x 0).(3)
W szczególności, jeśli w punkcie x = x 0 funkcja F(x) jest ciągła, to
R (X = x 0) = 0.
Losowa wartość X z dystrybucją rocznie) nazywa się dyskretnym, jeśli na osi liczbowej istnieje skończony lub przeliczalny zbiór W taki, że R(W,) = 1.
Niech W = ( x 1 , x 2 ,…) I Liczba Pi= P({x ja}) = P(X = x ja), I= 1,2,….Wtedy dla dowolnego zbioru borelowskiego A prawdopodobieństwo rocznie) jest określona jednoznacznie przez wzór
Wprowadzając tę formułę A = (x ja / x ja< x}, x Î R , otrzymujemy wzór na funkcję rozkładu F(x) Dyskretna zmienna losowa X:
F(x) = P(X < X) =. (5)
Wykres funkcji F(x) jest linią schodkową. Funkcja przeskakuje F(x) w punktach x = x 1, x 2…(x 1
Przykład 1: Znajdź funkcję dystrybucji
dyskretna zmienna losowa x z Przykładu 1 § 13.
Korzystając z funkcji rozkładu, oblicz
prawdopodobieństwo zdarzeń: x< 3, 1 £ x < 4, 1 £ x £ 3.
|
|
otrzymane w § 13 i wzór (5) otrzymujemy
funkcja dystrybucyjna:
Zgodnie ze wzorem (1) Р(x< 3) = F(3) = 0,1808; по формуле (2)
p(1 £ x< 4) = F (4) – F(1) = 0,5904 – 0,0016 = 0,5888;
p (1 £ x 3 £) = p (1 £ x<3) + p(x = 3) = F(3) – F(1) + F(3+0) – F(3) =
F(3+0) – F(1) = 0,5904 – 0,0016 = 0,5888.
Przykład 2. Podana funkcja
Czy funkcja F(x) jest dystrybuantą jakiejś zmiennej losowej? Jeśli odpowiedź brzmi tak, znajdź 
. Narysuj wykres funkcji F(x).
Rozwiązanie. Aby z góry określona funkcja F(x) była dystrybuantą jakiejś zmiennej losowej x, konieczne i wystarczające jest spełnienie następujących warunków (charakterystycznych właściwości funkcji dystrybuanty):
1. 
F(x) jest funkcją niemalejącą.
3. Dla dowolnego x О R F( X– 0) = F( X).
Dla danej funkcji F(x), wykonanie
przesłanki te są oczywiste. Oznacza,
F(x) – dystrybuanta.
Prawdopodobieństwo 
obliczyć według
wzór (2):
Wykres funkcji F( X) przedstawiono na rysunku 13.
Przykład 3. Niech F 1 ( X) i F 2 ( X) – funkcje rozkładu zmiennych losowych X 1 i X 2 odpowiednio, A 1 i A 2 to liczby nieujemne, których suma wynosi 1.
Udowodnić, że F( X) = A 1 F 1 ( X) + A 2 F 2 ( X) jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej X.
Rozwiązanie. 1) Ponieważ F 1 ( X) i F 2 ( X) są funkcjami niemalejącymi i A 1 ł 0, A 2 ³ 0, zatem A 1 F 1 ( X) I A 2 F 2 ( X) są niemalejące, dlatego ich suma F( X) również nie maleje.
3) Dla dowolnego x О R F( X - 0) = A 1 F 1 ( X - 0) + A 2 F 2 ( X - 0)= A 1 F 1 ( X) + A 2 F 2 ( X) = F( X).
Przykład 4. Podana funkcja
Czy F(x) jest dystrybuantą zmiennej losowej?
Rozwiązanie. Łatwo zauważyć, że F(1) = 0,2 > 0,11 = F(1,1). Dlatego F( X) nie jest niemalejący, a zatem nie jest funkcją rozkładu zmiennej losowej. Należy zauważyć, że pozostałe dwie właściwości obowiązują dla tej funkcji.
Zadanie testowe nr 11
1. Dyskretna zmienna losowa X
X) i korzystając z niego znaleźć prawdopodobieństwa zdarzeń: a) –2 £ X < 1; б) ½X½£ 2. Narysuj wykres funkcji rozkładu.
3. Dyskretna zmienna losowa X podane przez tablicę rozkładów:
| x ja | |||||
| Liczba Pi | 0,05 | 0,2 | 0,3 | 0,35 | 0,1 |
Znajdź funkcję rozkładu F( X) i znajdź prawdopodobieństwa następujących zdarzeń: a) X < 2; б) 1 £ X < 4; в) 1 £ X 4 GBP; d) 1< X 4 GBP; D) X = 2,5.
4. Znajdź dystrybuantę dyskretnej zmiennej losowej X, równa liczbie punktów zdobytych podczas jednego rzutu kostką. Korzystając z funkcji rozkładu, znajdź prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej 5 punktów.
5. Przeprowadzane są kolejne badania niezawodności 5 urządzeń. Każde kolejne urządzenie jest testowane tylko wtedy, gdy poprzednie okazało się niezawodne. Utwórz tabelę rozkładu i znajdź funkcję rozkładu losowej liczby testów urządzeń, jeśli prawdopodobieństwo zaliczenia testów dla każdego urządzenia wynosi 0,9.
6. Podano dystrybuantę dyskretnej zmiennej losowej X:
a) Znajdź prawdopodobieństwo zdarzenia 1 £ X 3 funty.
b) Znajdź tablicę rozkładu zmiennej losowej X.
7. Podano dystrybuantę dyskretnej zmiennej losowej X:
Zrób tabelę rozkładu tej zmiennej losowej.
8. Rzut monetą N raz. Utwórz tabelę rozkładu i znajdź funkcję rozkładu liczby wystąpień herbu. Wykreśl funkcję rozkładu w punkcie N = 5.
9. Monetę rzucamy do momentu pojawienia się herbu. Utwórz tabelę rozkładu i znajdź funkcję rozkładu liczby wystąpień cyfry.
10. Snajper strzela do celu aż do pierwszego trafienia. Prawdopodobieństwo chybienia przy pojedynczym strzale jest równe R. Znajdź dystrybuantę liczby chybień.
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej i jej własności.
Rozważ funkcję F(x), zdefiniowane na całej osi liczbowej następująco: dla każdego X oznaczający F(x) jest równe prawdopodobieństwu, że dyskretna zmienna losowa przyjmie wartość mniejszą niż X, tj.
 | (18) |
Ta funkcja nazywa się funkcja rozkładu prawdopodobieństwa lub krótko, funkcja dystrybucyjna.
Przykład 1. Znajdź rozkład zmiennej losowej podanej w przykładzie 1, punkt 1.
Rozwiązanie: Jasne jest, że jeśli , to F(x)=0, ponieważ nie przyjmuje wartości mniejszych niż jeden. Jeśli następnie ; Jeśli następnie . Ale wydarzenie<3 в данном случае является суммой двух несовместных событий: =1 и =2. Следовательно,
A więc mamy F(x)=1/3. Wartości funkcji w przedziałach i są obliczane w podobny sposób. Wreszcie, jeśli x>6 To F(x)=1, ponieważ w tym przypadku dowolna możliwa wartość (1, 2, 3, 4, 5, 6)
mniej niż X. Wykres funkcji F(x) pokazany na ryc. 4.
Przykład 2. Znajdź dystrybuantę zmiennej losowej podanej w przykładzie 2, akapit 1.
Rozwiązanie: To oczywiste
Harmonogram F(x) pokazany na ryc. 5.
Znajomość funkcji rozkładu F(x), łatwo jest znaleźć prawdopodobieństwo, że zmienna losowa spełnia nierówności.
Rozważmy przypadek, w którym zmienna losowa przyjmie wartość mniejszą niż . Zdarzenie to rozkłada się na sumę dwóch niezgodnych ze sobą zdarzeń: 1) zmienna losowa przyjmuje wartości mniejsze od , tj. ; 2) zmienna losowa przyjmuje wartości spełniające nierówności. Korzystając z aksjomatu dodawania, otrzymujemy
Ale z definicji funkcji dystrybucji F(x)[cm. wzór (18)], mamy 
, 
; W związku z tym,
| (19) |
Zatem, prawdopodobieństwo, że dyskretna zmienna losowa wpadnie do przedziału, jest równe przyrostowi funkcji rozkładu w tym przedziale.
Rozważmy podstawowe właściwości funkcji dystrybucji.
1°. Funkcja dystrybucji nie maleje.
A właściwie niech< . Так как вероятность любого события неотрицательна, то 
. Zatem ze wzoru (19) wynika, że 
, tj. 
.
2°. Wartości funkcji rozkładu spełniają nierówności .
Własność ta wynika z faktu, że F(x) zdefiniowane jako prawdopodobieństwo [zob wzór (18)]. Jasne jest, że * i .
3°. Prawdopodobieństwo, że dyskretna zmienna losowa przyjmie jedną z możliwych wartości xi, jest równe skokowi funkcji rozkładu w punkcie xi.
Rzeczywiście, niech xi jest wartością przyjmowaną przez dyskretną zmienną losową, oraz . Zakładając , we wzorze (19) otrzymujemy
Te. oznaczający p(xi) równy skokowi funkcji** xi. Właściwość ta jest wyraźnie zilustrowana na ryc. 4 i rys. 5.
* W dalszej części wprowadza się następujące oznaczenia: 
, 
.
** Można to wykazać F(xi)=F(xi-0), tj. jaka jest funkcja F(x) pozostaje ciągły w pewnym punkcie xi.
3. Ciągłe zmienne losowe.
Oprócz dyskretnych zmiennych losowych, których możliwe wartości tworzą skończony lub nieskończony ciąg liczb, który nie wypełnia całkowicie żadnego przedziału, często występują zmienne losowe, których możliwe wartości tworzą pewien przedział. Przykładem takiej zmiennej losowej jest odchylenie od wartości nominalnej określonej wielkości części przy odpowiednio dostosowanym procesie technologicznym. Tego rodzaju zmiennych losowych nie można określić za pomocą prawa rozkładu prawdopodobieństwa p(x). Można je jednak określić za pomocą funkcji rozkładu prawdopodobieństwa F(x). Funkcję tę definiuje się dokładnie w taki sam sposób, jak w przypadku dyskretnej zmiennej losowej:
Zatem i tutaj funkcja F(x) zdefiniowaną na całej osi liczbowej, a jej wartość w punkcie X jest równe prawdopodobieństwu, że zmienna losowa przyjmie wartość mniejszą niż X.
Wzór (19) oraz własności 1° i 2° obowiązują dla rozkładu dowolnej zmiennej losowej. Dowód przeprowadza się analogicznie jak w przypadku wielkości dyskretnej.
Nazywa się zmienną losową ciągły, jeśli dla niego istnieje nieujemna funkcja odcinkowo ciągła*, która spełnia dla dowolnych wartości X równość
Bazując na geometrycznym znaczeniu całki jako pola, możemy powiedzieć, że prawdopodobieństwo spełnienia nierówności jest równe polu trapezu krzywoliniowego o podstawie , ograniczony powyżej krzywą (ryc. 6).
Od , i na podstawie wzoru (22)
Należy zauważyć, że dla ciągłej zmiennej losowej funkcja rozkładu F(x) ciągły w dowolnym punkcie X, gdzie funkcja jest ciągła. Wynika to z faktu, że F(x) jest różniczkowalna w tych punktach.
Na podstawie wzoru (23), zakładając x 1 = x, , mamy
Ze względu na ciągłość funkcji F(x) rozumiemy to
Stąd
Zatem, prawdopodobieństwo, że ciągła zmienna losowa może przyjąć dowolną pojedynczą wartość x, wynosi zero.
Wynika z tego, że zachodzą zdarzenia polegające na spełnieniu każdej z nierówności
Mają to samo prawdopodobieństwo, tj.
W rzeczywistości np.
Ponieważ
Komentarz. Jak wiemy, jeśli zdarzenie jest niemożliwe, prawdopodobieństwo jego wystąpienia wynosi zero. W przypadku klasycznej definicji prawdopodobieństwa, gdy liczba wyników testu jest skończona, zachodzi także twierdzenie odwrotne: jeśli prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi zero, to zdarzenie jest niemożliwe, ponieważ w tym przypadku żaden z wyników testu mu nie sprzyja. W przypadku ciągłej zmiennej losowej liczba jej możliwych wartości jest nieskończona. Prawdopodobieństwo, że wielkość ta przyjmie określoną wartość x 1 jak widzieliśmy, jest równa zeru. Nie wynika jednak z tego, że zdarzenie to jest niemożliwe, gdyż w wyniku testu zmienna losowa może w szczególności przyjąć wartość x 1. Dlatego w przypadku ciągłej zmiennej losowej sensowne jest mówienie o prawdopodobieństwie wpadnięcia zmiennej losowej do przedziału, a nie o prawdopodobieństwie, że przyjmie ona jakąś konkretną wartość.
Zatem np. wykonując wałek nie interesuje nas prawdopodobieństwo, że jego średnica będzie równa wartości nominalnej. Ważne jest dla nas prawdopodobieństwo, że średnica walca mieści się w zakresie tolerancji.
Definicja funkcji zmiennych losowych. Funkcja dyskretnego argumentu losowego i jej charakterystyki liczbowe. Funkcja ciągłego argumentu losowego i jej charakterystyki liczbowe. Funkcje dwóch losowych argumentów. Wyznaczanie funkcji rozkładu prawdopodobieństwa i gęstości dla funkcji dwóch losowych argumentów.
Prawo rozkładu prawdopodobieństwa funkcji jednej zmiennej losowej
Przy rozwiązywaniu problemów związanych z oceną dokładności działania różnych układów automatyki, dokładności wykonania poszczególnych elementów układów itp. często konieczne jest uwzględnienie funkcji jednej lub większej liczby zmiennych losowych. Funkcje takie są również zmiennymi losowymi. Dlatego przy rozwiązywaniu problemów konieczna jest znajomość praw rozkładu zmiennych losowych występujących w zadaniu. W tym przypadku zwykle znane jest prawo rozkładu układu argumentów losowych i zależność funkcjonalna.
Powstaje zatem problem, który można sformułować następująco.
Biorąc pod uwagę system zmiennych losowych (X_1,X_2,\ldots,X_n), którego prawo podziału jest znane. Pewna zmienna losowa Y jest uważana za funkcję tych zmiennych losowych:
Y=\varphi(X_1,X_2,\ldots,X_n).
Należy wyznaczyć prawo rozkładu zmiennej losowej Y, znając postać funkcji (6.1) i prawo łącznego rozkładu jej argumentów.
Rozważmy problem prawa dystrybucji funkcji jednego losowego argumentu
Y=\varphi(X).
\begin(array)(|c|c|c|c|c|)\hline(X)&x_1&x_2&\cdots&x_n\\\hline(P)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(array)
Wtedy Y=\varphi(X) jest również dyskretną zmienną losową o możliwych wartościach. Jeśli wszystkie wartości y_1, y_2,\ldots,y_n są różne, to dla każdego k=1,2,\ldots,n zdarzenia \(X=x_k\) i \(Y=y_k=\varphi(x_k)\) są identyczne. Stąd,
P\(Y=y_k\)=P\(X=x_k\)=p_k
a wymagany szereg dystrybucyjny ma postać
\begin(array)(|c|c|c|c|c|)\hline(Y)&y_1=\varphi(x_1)&y_2=\varphi(x_2)&\cdots&y_n=\varphi(x_n)\\\hline (P)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(tablica)
Jeśli wśród liczb y_1=\varphi(x_1),y_2=\varphi(x_2),\ldots,y_n=\varphi(x_n) są identyczne, to każdej grupie identycznych wartości y_k=\varphi(x_k) należy przydzielić jedną kolumnę w tabeli i zsumować odpowiednie prawdopodobieństwa.
Dla ciągłych zmiennych losowych problem postawiono następująco: znając gęstość rozkładu f(x) zmiennej losowej X, znajdź gęstość rozkładu g(y) zmiennej losowej Y=\varphi(X). Rozwiązując problem, rozważamy dwa przypadki.
Załóżmy najpierw, że funkcja y=\varphi(x) jest monotonicznie rosnąca, ciągła i różniczkowalna na przedziale (a;b), na którym leżą wszystkie możliwe wartości X. Wówczas istnieje funkcja odwrotna x=\psi(y), która jednocześnie jest monotonicznie rosnąca, ciągła i różniczkowalna. W tym przypadku otrzymujemy
G(y)=f\bigl(\psi(y)\bigr)\cdot |\psi"(y)|.
Przykład 1. Zmienna losowa X o rozkładzie gęstości
F(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))e^(-x^2/2)
Znajdź prawo rozkładu zmiennej losowej Y powiązanej z wartością X z zależności Y=X^3.
Rozwiązanie. Ponieważ funkcja y=x^3 jest monotoniczna na przedziale (-\infty;+\infty), możemy zastosować wzór (6.2). Funkcja odwrotna względem funkcji \varphi(x)=x^3 to \psi(y)=\sqrt(y) , jej pochodna \psi"(y)=\frac(1)(3\sqrt(y^2)). Stąd,
G(y)=\frac(1)(3\sqrt(2\pi))e^(-\sqrt(y^2)/2)\frac(1)(\sqrt(y^2))
Rozważmy przypadek funkcji niemonotonicznej. Niech funkcja y=\varphi(x) będzie taka, że funkcja odwrotna x=\psi(y) będzie niejednoznaczna, czyli jednej wartości y odpowiada kilka wartości argumentu x, które oznaczamy x_1=\psi_1(y),x_2=\psi_2(y),\ldots,x_n=\psi_n(y), gdzie n jest liczbą odcinków, w których funkcja y=\varphi(x) zmienia się monotonicznie. Następnie
G(y)=\sum\limits_(k=1)^(n)f\bigl(\psi_k(y)\bigr)\cdot |\psi"_k(y)|.
Przykład 2. W warunkach z przykładu 1 znajdź rozkład zmiennej losowej Y=X^2.
Rozwiązanie. Funkcja odwrotna x=\psi(y) jest niejednoznaczna. Jedna wartość argumentu y odpowiada dwóm wartościom funkcji x
Stosując wzór (6.3) otrzymujemy:
\begin(zebrane)g(y)=f(\psi_1(y))|\psi"_1(y)|+f(\psi_2(y))|\psi"_2(y)|=\\\\ =\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-\left(-\sqrt(y^2)\right)^2/2)\!\left|-\frac(1 )(2\sqrt(y))\right|+\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-\left(\sqrt(y^2)\right)^2/2 )\!\left|\frac(1)(2\sqrt(y))\right|=\frac(1)(\sqrt(2\pi(y)))\,e^(-y/2) .\end(zebrane)
Prawo rozkładu funkcji dwóch zmiennych losowych
Niech zmienna losowa Y będzie funkcją dwóch zmiennych losowych tworzących układ (X_1;X_2), tj. Y=\varphi(X_1;X_2). Zadanie polega na znalezieniu rozkładu zmiennej losowej Y korzystając ze znanego rozkładu układu (X_1;X_2).
Niech f(x_1;x_2) będzie gęstością rozkładu układu zmiennych losowych (X_1;X_2) . Wprowadźmy pod uwagę nową wielkość Y_1 równą X_1 i rozważmy układ równań
Założymy, że ten układ jest jednoznacznie rozwiązywalny ze względu na x_1,x_2
i spełnia warunki różniczkowalności.
Gęstość rozkładu zmiennej losowej Y
G_1(y)=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x_1;\psi(y;x_1))\!\left|\frac(\partial\psi(y;x_1)) (\częściowe(y))\right|dx_1.
Należy zauważyć, że rozumowanie nie ulega zmianie, jeśli wprowadzona nowa wartość Y_1 zostanie ustawiona na wartość X_2.
Matematyczne oczekiwanie funkcji zmiennych losowych
W praktyce często zdarzają się przypadki, gdy nie ma szczególnej potrzeby całkowitego wyznaczania prawa rozkładu funkcji zmiennych losowych, wystarczy jedynie wskazać jej charakterystykę liczbową. Powstaje zatem problem wyznaczenia charakterystyk numerycznych funkcji zmiennych losowych w uzupełnieniu do praw rozkładu tych funkcji.
Niech zmienna losowa Y będzie funkcją losowego argumentu X z danym prawem dystrybucji
Y=\varphi(X).
Wymagane jest, bez znajdowania prawa rozkładu wielkości Y, określenie jej oczekiwań matematycznych
M(Y)=M[\varphi(X)].
Niech X będzie dyskretną zmienną losową mającą szereg dystrybucyjny
\begin(array)(|c|c|c|c|c|)\hline(x_i)&x_1&x_2&\cdots&x_n\\\hline(p_i)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(array)
Zróbmy tabelę wartości wartości Y i prawdopodobieństw tych wartości:
\begin(array)(|c|c|c|c|c|)\hline(y_i=\varphi(x_i))&y_1=\varphi(x_1)&y_2=\varphi(x_2)&\cdots&y_n=\varphi( x_n)\\\hline(p_i)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(tablica)
Ta tabela nie jest serią rozkładów zmiennej losowej Y, ponieważ w ogólnym przypadku niektóre wartości mogą się ze sobą pokrywać, a wartości w górnym wierszu niekoniecznie są w porządku rosnącym. Jednakże matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej Y można określić za pomocą wzoru
M[\varphi(X)]=\sum\limits_(i=1)^(n)\varphi(x_i)p_i,
ponieważ wartość określona wzorem (6.4) nie może się zmienić, ponieważ pod znakiem sumy niektóre wyrazy zostaną z góry połączone i zmieni się kolejność wyrazów.
Wzór (6.4) nie zawiera jawnie prawa dystrybucji samej funkcji \varphi(X), lecz zawiera jedynie prawo dystrybucji argumentu X. Zatem, aby wyznaczyć matematyczne oczekiwanie funkcji Y=\varphi(X), wcale nie jest konieczna znajomość prawa rozkładu funkcji \varphi(X), lecz znajomość prawa rozkładu argumentu X.
W przypadku ciągłej zmiennej losowej oczekiwanie matematyczne oblicza się za pomocą wzoru
M[\varphi(X)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)\varphi(x)f(x)\,dx,
gdzie f(x) jest gęstością rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.
Rozważmy przypadki, gdy do znalezienia matematycznego oczekiwania funkcji losowych argumentów nie jest wymagana znajomość nawet praw rozkładu argumentów, a wystarczy znać tylko niektóre ich charakterystyki liczbowe. Sformułujmy te przypadki w formie twierdzeń.
Twierdzenie 6.1. Oczekiwanie matematyczne sumy dwóch zmiennych losowych zależnych i niezależnych jest równe sumie oczekiwań matematycznych tych zmiennych:
M(X+Y)=M(X)+M(Y).
Twierdzenie 6.2. Oczekiwanie matematyczne iloczynu dwóch zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich oczekiwań matematycznych plus moment korelacji:
M(XY)=M(X)M(Y)+\mu_(xy).
Wniosek 6.1. Oczekiwanie matematyczne iloczynu dwóch nieskorelowanych zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich oczekiwań matematycznych.
Wniosek 6.2. Oczekiwanie matematyczne iloczynu dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich oczekiwań matematycznych.
Wariancja funkcji zmiennych losowych
Z definicji dyspersji mamy D[Y]=M[(Y-M(Y))^2].. Stąd,
D[\varphi(x)]=M[(\varphi(x)-M(\varphi(x)))^2], Gdzie .
Podajemy wzory obliczeniowe tylko dla przypadku ciągłych argumentów losowych. Dla funkcji jednego losowego argumentu Y=\varphi(X) wariancję wyraża się wzorem
D[\varphi(x)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)(\varphi(x)-M(\varphi(x)))^2f(x)\,dx,
Gdzie M(\varphi(x))=M[\varphi(X)]- matematyczne oczekiwanie funkcji \varphi(X) ; f(x) - gęstość rozkładu wartości X.
Wzór (6.5) można zastąpić następującym:
D[\varphi(x)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)\varphi^2(x)f(x)\,dx-M^2(X)
Rozważmy twierdzenia o dyspersji, które odgrywają ważną rolę w teorii prawdopodobieństwa i jej zastosowaniach.
Twierdzenie 6.3. Wariancja sumy zmiennych losowych jest równa sumie wariancji tych wielkości plus podwojona suma momentów korelacji każdej z sum ze wszystkimi kolejnymi:
D\!\left[\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right]=\sum\limits_(i=1)^(n)D+2\sum\limits_(i Wniosek 6.3. Wariancja sumy nieskorelowanych zmiennych losowych jest równa sumie wariancji wyrazów: D\!\left[\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right]=\sum\limits_(i=1)^(n)D\mu_(y_1y_2)= M(Y_1Y_2)-M(Y_1)M(Y_2). \mu_(y_1y_2)=M(\varphi_1(X)\varphi_2(X))-M(\varphi_1(X))M(\varphi_2(X)). Spójrzmy na główne właściwości momentu korelacji i współczynnika korelacji. Właściwość 1. Dodanie stałych do zmiennych losowych nie powoduje zmiany momentu korelacji i współczynnika korelacji. Własność 2. Dla dowolnych zmiennych losowych X i Y wartość bezwzględna momentu korelacji nie przekracza średniej geometrycznej wariancji tych wartości: |\mu_(xy)|\leqslant\sqrt(D[X]\cdot D[Y])=\sigma_x\cdot \sigma_y, Definicja funkcji rozkładu Niech $X$ będzie zmienną losową, a $x$ będzie prawdopodobieństwem rozkładu tej zmiennej losowej. Definicja 1 Funkcja dystrybucji to funkcja $F(x)$ spełniająca warunek $F\left(x\right)=P(X W przeciwnym razie czasami nazywa się funkcję dystrybucji Dystrybuanta
Lub integralne prawo dystrybucji.
Ogólnie wykres funkcji rozkładu jest wykresem niemalejącej funkcji z zakresem wartości należących do segmentu $\left$ (a 0 i 1 są koniecznie zawarte w zakresie wartości). W takim przypadku funkcja może mieć skoki funkcyjne lub nie (ryc. 1) Rysunek 1. Przykład wykresu funkcji rozkładu Niech zmienna losowa $X$ będzie dyskretna. I niech będzie za to podany szereg jego rozkładów. Dla takiej wartości funkcję rozkładu prawdopodobieństwa można zapisać w postaci: Niech zmienna losowa $X$ będzie teraz ciągła. Wykres rozkładu takiej zmiennej losowej zawsze przedstawia niemalejącą funkcję ciągłą (rys. 3). Rozważmy teraz przypadek, w którym zmienna losowa $X$ jest mieszana. Wykres rozkładu takiej zmiennej losowej jest zawsze funkcją niemalejącą, która ma minimalną wartość 0 i maksymalną wartość 1, ale która nie jest funkcją ciągłą w całej dziedzinie definicji (tzn. ma skoki w poszczególnych punktach) (ryc. 4). Rysunek 4. Funkcja rozkładu zmiennej losowej mieszanej Przykład 1 Podano liczbę rozkładów wystąpienia zdarzenia $A$ w trzech eksperymentach. Rysunek 5. Znajdź funkcję rozkładu prawdopodobieństwa i wykreśl ją. Rozwiązanie. Ponieważ zmienna losowa jest dyskretna, możemy użyć wzoru $\F\left(x\right)=\sum\limits_(x_i Dla $x>3$, $F\lewo(x\prawo)=0,2+0,1+0,3+0,4=1$; Stąd otrzymujemy następującą funkcję rozkładu prawdopodobieństwa: Rysunek 6. Zbudujmy jego wykres: Rysunek 7. Przykład 2 Przeprowadza się jeden eksperyment, w którym zdarzenie $A$ może wystąpić lub nie. Prawdopodobieństwo wystąpienia tego zdarzenia wynosi 0,6 $. Znajdź i skonstruuj dystrybuantę zmiennej losowej. Rozwiązanie. Ponieważ prawdopodobieństwo, że zdarzenie $A$ nastąpi, jest równe 0,6$, zatem prawdopodobieństwo, że to zdarzenie nie nastąpi, wynosi 1-0,6=0,4$. Najpierw skonstruujmy szereg rozkładów dla tej zmiennej losowej: Cyfra 8. Ponieważ zmienna losowa jest dyskretna, dystrybuantę wyznaczamy analogicznie do zadania 1: Gdy $x\le 0$, $F\lewo(x\prawo)=0$; Dla $x>1$, $F\lewo(x\prawo)=0,4+0,6=1$; Otrzymujemy w ten sposób następującą dystrybuantę: Rysunek 9. Zbudujmy jego wykres: Rysunek 10.
to znaczy moment korelacji dwóch funkcji zmiennych losowych jest równy matematycznemu oczekiwaniu iloczynu tych funkcji minus iloczyn oczekiwań matematycznych. Funkcja rozkładu dyskretnej zmiennej losowej
Funkcja rozkładu ciągłej zmiennej losowej
Przykłady problemów ze znalezieniem dystrybuanty
