Powtarzane niezależne próby nazywane są próbami Bernoulliego, jeśli każda próba ma tylko dwa możliwe wyniki, a prawdopodobieństwa wyników pozostają takie same we wszystkich próbach.
Zwykle te dwa wyniki nazywane są „sukcesem” (S) lub „porażką” (F), a odpowiadające im prawdopodobieństwa są oznaczane P I Q. Jest oczywiste, że P 0, Q³ 0 i P+Q=1.
Przestrzeń zdarzeń elementarnych każdej próby składa się z dwóch zdarzeń U i H.
Przestrzeń zdarzeń elementarnych N Testy Bernoulliego Ω zawiera 2 N zdarzenia elementarne, będące ciągami (łańcuchami) zdarzeń N symbole U i N. Każde zdarzenie elementarne jest jednym z możliwych wyników ciągu N Testy Bernoulliego. Ponieważ testy są niezależne, zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu prawdopodobieństwa są mnożone, to znaczy prawdopodobieństwo dowolnej określonej sekwencji jest iloczynem otrzymanym przez zastąpienie symboli U i H przez P I Q odpowiednio, czyli np.: R( )=(U U N U N... N U )= p p q p q ... q q p .
Należy zauważyć, że wynik testu Bernoulliego jest często oznaczany przez 1 i 0, a następnie elementarne zdarzenie w sekwencji N Testy Bernoulliego - istnieje łańcuch składający się z zer i jedynek. Na przykład: =(1, 0, 0, ... , 1, 1, 0).
Testy Bernoulliego stanowią najważniejszy schemat rozważany w teorii prawdopodobieństwa. Schemat ten nosi imię szwajcarskiego matematyka J. Bernoulliego (1654-1705), który dogłębnie studiował ten model w swoich pracach.
Głównym problemem, który nas tutaj zainteresuje, jest: jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, które N Odbyły się testy Bernoulliego M powodzenie?
Jeśli zostaną spełnione określone warunki, prawdopodobieństwo, że podczas niezależnych testów wystąpi zdarzenie 
będą dokładnie przestrzegane M
razy (bez względu na to, w jakich eksperymentach) jest określana przez Wzór Bernoulliego:
(21.1)
Gdzie 
- prawdopodobieństwo wystąpienia 
w każdym teście i 
- prawdopodobieństwo, że w danym eksperymencie zajdzie zdarzenie 
Nie wydarzyło się.
Jeśli weźmiemy pod uwagę P N (M) jako funkcja M, następnie określa rozkład prawdopodobieństwa, który nazywa się dwumianem. Zbadajmy tę zależność P N (M) z M, 0£ M£ N.
Wydarzenia B M ( M
= 0, 1, ..., N), składające się z różnej liczby wystąpień zdarzenia A V N testy są niekompatybilne i tworzą kompletną grupę. Stąd, 
.
Rozważmy stosunek:
=
=
=
.
Wynika, że P N (m+1)>P N (M), Jeśli (N- poseł> (m+1)q, tj. funkcjonować P N (M) wzrasta jeśli M< n.p.- Q. Podobnie, P N (m+1)< P N (M), Jeśli (N- poseł< (m+1)q, tj. P N (M) maleje, jeśli M> n.p.- Q.
Zatem jest liczba M 0, przy którym P N (M) osiąga największą wartość. Znajdziemy M 0 .
Zgodnie ze znaczeniem liczby M 0 mamy P N (M 0)³ P N (M 0 -1) i P N (M 0) ³ P N (M 0 +1), stąd
,
(21.2)
.
(21.3)
Rozwiązywanie nierówności (21.2) i (21.3) ze względu na M 0, otrzymujemy:
P/ M 0 ³ Q/(N- M 0 +1) Þ M 0 £ n.p.+ P,
Q/(N- M 0 ) ³ P/(M 0 +1) Þ M 0 ³ n.p.- Q.
A więc wymagana liczba M 0 spełnia nierówności
n.p.- Q£ M 0 £ np+p. (21.4)
Ponieważ P+Q=1, wówczas długość przedziału określonego nierównością (21.4) jest równa jedności i istnieje co najmniej jedna liczba całkowita M 0 spełniające nierówności (21.4):
1) jeśli n.p. - Q jest liczbą całkowitą, wówczas istnieją dwie wartości M 0, a mianowicie: M 0 = n.p. - Q I M 0 = n.p. - Q + 1 = n.p. + P;
2) jeśli n.p. - Q- ułamek, wtedy jest jedna liczba M 0, czyli jedyna liczba całkowita zawarta pomiędzy liczbami ułamkowymi uzyskanymi z nierówności (21,4);
3) jeśli n.p. jest liczbą całkowitą, to jest jedna liczba M 0, a mianowicie M 0 = n.p..
Numer M Wartość 0 nazywana jest najbardziej prawdopodobną lub najbardziej prawdopodobną wartością (liczbą) wystąpienia zdarzenia A w serii N niezależne testy.
W tej lekcji ustalimy prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w niezależnych próbach podczas powtarzania prób . Próby nazywa się niezależnymi, jeśli prawdopodobieństwo takiego lub innego wyniku każdej próby nie zależy od wyników innych prób. . Niezależne testy można przeprowadzić zarówno w tych samych warunkach, jak i w różnych warunkach. W pierwszym przypadku prawdopodobieństwo wystąpienia jakiegoś zdarzenia jest takie samo we wszystkich próbach, w drugim przypadku zmienia się w zależności od próby.
Przykłady niezależnych retestów :
- ulegną awarii jeden z węzłów urządzenia lub dwa lub trzy węzły, a awaria każdego węzła nie jest zależna od drugiego węzła, a prawdopodobieństwo awarii jednego węzła jest stałe we wszystkich testach;
- część lub trzy, cztery, pięć części wyprodukowanych w pewnych stałych warunkach technologicznych okaże się niestandardowa, a jedna część może okazać się niestandardowa niezależnie od innej części i prawdopodobieństwa, że część się odwróci niestandardowy jest stały we wszystkich testach;
- z kilku strzałów do tarczy jeden, trzy lub cztery strzały trafiają w tarczę niezależnie od wyniku pozostałych strzałów, a prawdopodobieństwo trafienia w tarczę jest stałe we wszystkich próbach;
- po upuszczeniu monety maszyna zadziała poprawnie jeden, dwa lub inną liczbę razy, niezależnie od wyniku innych upuszczeń monet, a prawdopodobieństwo, że maszyna będzie działać poprawnie, jest stałe we wszystkich próbach.
Zdarzenia te można opisać na jednym schemacie. Każde zdarzenie występuje w każdej próbie z tym samym prawdopodobieństwem, które nie zmienia się, jeśli znane są wyniki poprzednich prób. Takie testy nazywane są niezależnymi, a obwód nazywa się Schemat Bernoulliego . Zakłada się, że badania takie można powtarzać dowolną ilość razy.
Jeśli prawdopodobieństwo P wystąpienie zdarzenia A jest stała w każdej próbie, to prawdopodobieństwo, że w N niezależne wydarzenie testowe A przyjdzie M razy, znajduje się przy Wzór Bernoulliego :
(Gdzie Q= 1 – P- prawdopodobieństwo, że zdarzenie nie nastąpi)
Postawmy sobie zadanie - znaleźć prawdopodobieństwo zaistnienia zdarzenia tego typu N przyjdą niezależne testy M raz.
Wzór Bernoulliego: przykłady rozwiązywania problemów
Przykład 1. Znajdź prawdopodobieństwo, że spośród pięciu losowo wybranych części dwie będą standardowe, jeśli prawdopodobieństwo, że każda część okaże się standardowa, wynosi 0,9.
Rozwiązanie. Prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegający na tym, że część wybrana losowo jest standardowa, istnieje P=0,9 i istnieje prawdopodobieństwo, że jest on niestandardowy Q=1–P=0,1 . Zdarzenie wskazane w opisie problemu (oznaczamy je przez W) nastąpi, jeśli np. dwie pierwsze części okażą się standardowe, a trzy kolejne niestandardowe. Ale wydarzenie W nastąpi również wtedy, gdy część pierwsza i trzecia okażą się standardowe, a pozostałe części niestandardowe, lub jeśli część druga i piąta będą standardowe, a reszta niestandardowa. Istnieją inne możliwości wystąpienia zdarzenia. W. Każdy z nich charakteryzuje się tym, że z pięciu wybranych części, dwie, zajmujące dowolne miejsca z pięciu, okażą się standardowe. Zatem całkowita liczba różnych możliwości wystąpienia zdarzenia W jest równa liczbie możliwości umieszczenia dwóch części standardowych w pięciu miejscach, tj. jest równa liczbie kombinacji pięciu elementów przez dwa, oraz .
Prawdopodobieństwo każdej możliwości zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu prawdopodobieństwa jest równe iloczynowi pięciu czynników, z czego dwa, odpowiadające wyglądowi części standardowych, są równe 0,9, a pozostałe trzy odpowiadają wyglądowi niestandardowych części są równe 0,1, tj. to prawdopodobieństwo wynosi . Ponieważ te dziesięć możliwości jest zdarzeniami niezgodnymi, na podstawie twierdzenia o dodawaniu prawdopodobieństwo zdarzenia W, które oznaczamy
Przykład 2. Prawdopodobieństwo, że maszyna będzie wymagała uwagi pracownika w ciągu godziny, wynosi 0,6. Zakładając, że problemy występujące na maszynach są niezależne, znajdź prawdopodobieństwo, że w ciągu godziny uwaga pracownika będzie wymagała dowolnej maszyny z czterech, które obsługuje.
Rozwiązanie. Za pomocą Wzór Bernoulliego Na N=4 , M=1 , P=0,6 i Q=1–P= 0,4, otrzymujemy
Przykład 3. Do normalnej pracy carpoolingu na linii musi znajdować się co najmniej osiem pojazdów, a jest ich dziesięć. Prawdopodobieństwo, że każdy pojazd nie wjedzie na linię, wynosi 0,1. Znajdź prawdopodobieństwo normalnej pracy zajezdni w następnym dniu.
Rozwiązanie. Wspólne przejazdy będą działać normalnie (wydarzenie F), jeśli osiem lub osiem pojawi się na linii (event A) lub dziewięć (zdarzenie W) lub wydarzenie wszystkich dziesięciu samochodów (event C). Zgodnie z twierdzeniem o dodawaniu prawdopodobieństw,
Znajdujemy każdy termin zgodnie ze wzorem Bernoulliego. Tutaj N=10 , M=8; 10 i P=1-0,1=0,9, ponieważ P powinien wskazywać prawdopodobieństwo wjazdu pojazdu na linię; Następnie Q=0,1 . W rezultacie otrzymujemy
Przykład 4. Niech prawdopodobieństwo, że klient potrzebuje butów męskich w rozmiarze 41 będzie równe 0,25. Znajdź prawdopodobieństwo, że spośród sześciu kupujących co najmniej dwóch potrzebuje butów w rozmiarze 41.
Schemat testu Bernoulliego. Wzór Bernoulliego
Niech zostanie wykonanych kilka testów. Co więcej, prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia $A$ w każdej próbie nie zależy od wyników innych prób. Takie próby nazywane są niezależnymi w odniesieniu do zdarzenia A. W różnych niezależnych próbach zdarzenie A może mieć różne prawdopodobieństwa lub to samo. Rozważymy tylko te niezależne próby, w których zdarzenie $A$ ma to samo prawdopodobieństwo.
Przez zdarzenie złożone rozumiemy kombinację prostych zdarzeń. Niech zostanie wykonanych n-testów. Podczas każdej próby zdarzenie $A$ może się pojawić lub nie. Zakładamy, że w każdej próbie prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia $A$ jest takie samo i równe $p$. Wtedy prawdopodobieństwo $\overline A $ (lub niewystąpienia A) jest równe $P(( \overline A ))=q=1-p$.
Załóżmy, że musimy obliczyć prawdopodobieństwo, że N-testuje wystąpienie zdarzenia $A$ k- raz i $n-k$ razy - nie nastąpi. Oznaczymy to prawdopodobieństwo przez $P_n (k)$. Co więcej, kolejność występowania zdarzenia $A$ nie jest istotna. Na przykład: $(( AAA\overline A , AA\overline A A, A\overline A AA, \overline A AAA ))$
$P_5 (3)-$ w pięciu próbach zdarzenie $A$ pojawiło się 3 razy i nie pojawiło się 2 razy. Prawdopodobieństwo to można obliczyć korzystając ze wzoru Bernoulliego.
Wyprowadzenie wzoru Bernoulliego
Zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu prawdopodobieństw niezależnych zdarzeń, prawdopodobieństwo, że zdarzenie $A$ wystąpi $k$ razy i nie nastąpi $n-k$ razy, będzie równe $p^k\cdot q^ ( n-k ) $ . A takich złożonych zdarzeń może być tyle, ile można złożyć $C_n^k $. Ponieważ zdarzenia złożone są niezgodne, to zgodnie z twierdzeniem o sumie prawdopodobieństw zdarzeń niezgodnych musimy dodać prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń złożonych i jest ich dokładnie $C_n^k $. Wtedy prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia $A$ jest dokładnie równe k za każdym razem N testów, istnieje $P_n (( A,\,k ))=P_n (k)=C_n^k \cdot p^k\cdot q^ ( n-k ) $ Wzór Bernoulliego.
Przykład. Kostką rzucamy 4 razy. Znajdź prawdopodobieństwo, że jeden pojawi się w połowie przypadków.
Rozwiązanie. $A=$ (pojawienie się jednego)
$ P(A)=p=\frac ( 1 ) ( 6 ) \, \,P(( \overline A ))=q=1-\frac ( 1 ) ( 6 ) =\frac ( 5 ) ( 6 ) $ $ P_4 (2)=C_4^2 \cdot p^2\cdot q^ ( 4-2 ) =\frac ( 4! ) ( 2!\cdot 2! ) \cdot 6^2\cdot (( \frac ( 5 ) ( 6 ) ))^2=0,115 $
Łatwo to zauważyć dla dużych wartości N Obliczenie prawdopodobieństwa jest dość trudne ze względu na ogromne liczby. Okazuje się, że prawdopodobieństwo to można obliczyć nie tylko za pomocą wzoru Bernoulliego.
Krótka teoria
Teoria prawdopodobieństwa zajmuje się eksperymentami, które można powtarzać (przynajmniej teoretycznie) nieograniczoną liczbę razy. Niech jakiś eksperyment zostanie powtórzony raz, a wyniki każdego powtórzenia nie będą zależeć od wyników poprzednich powtórzeń. Takie serie powtórzeń nazywane są niezależnymi próbami. Szczególnym przypadkiem takich testów są niezależne testy Bernoulliego, które charakteryzują się dwoma warunkami:
1) wynikiem każdego testu jest jeden z dwóch możliwych wyników, zwanych odpowiednio „sukcesem” lub „porażką”.
2) prawdopodobieństwo „sukcesu” w każdym kolejnym teście nie zależy od wyników poprzednich testów i pozostaje stałe.
Twierdzenie Bernoulliego
Jeżeli przeprowadza się serię niezależnych prób Bernoulliego, w których „sukces” pojawia się z prawdopodobieństwem , to prawdopodobieństwo, że „sukces” pojawi się dokładnie raz w próbach, wyraża się wzorem:
gdzie jest prawdopodobieństwo „porażki”.
– liczba kombinacji elementów według (patrz podstawowe wzory kombinatoryki)
Ta formuła nazywa się Wzór Bernoulliego.
Wzór Bernoulliego pozwala pozbyć się dużej liczby obliczeń – dodawania i mnożenia prawdopodobieństw – przy odpowiednio dużej liczbie testów.
Schemat testu Bernoulliego nazywany jest również schematem dwumianowym, a odpowiadające mu prawdopodobieństwa nazywane są dwumianowym, co wiąże się z zastosowaniem współczynników dwumianowych.
Rozkład według schematu Bernoulliego pozwala w szczególności znaleźć najbardziej prawdopodobną liczbę wystąpień zdarzenia.
Jeśli liczba testów N jest duży, użyj:
Przykład rozwiązania problemu
Zadanie
Szybkość kiełkowania niektórych nasion roślin wynosi 70%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że z 10 wysianych nasion: 8, co najmniej 8; przynajmniej 8?
Rozwiązanie problemu
Skorzystajmy ze wzoru Bernoulliego:
W naszym przypadku
Niech stanie się tak, że z 10 nasion 8 wykiełkuje:
Niech wydarzenie będzie wynosić co najmniej 8 (czyli 8, 9 lub 10)
Niech wydarzenie wzrośnie co najmniej 8 (oznacza to 8,9 lub 10)
Odpowiedź
Przeciętny koszt rozwiązania testu wynosi 700 - 1200 rubli (ale nie mniej niż 300 rubli za całe zamówienie). Na cenę duży wpływ ma pilność decyzji (od jednego dnia do kilku godzin). Koszt pomocy online do egzaminu/testu wynosi od 1000 rubli. za rozwiązanie biletu.
Możesz zostawić prośbę bezpośrednio na czacie, po uprzednim przesłaniu warunków zadań i poinformowaniu Cię o terminach potrzebnego rozwiązania. Czas odpowiedzi to kilka minut.
Przeprowadźmy n testów dotyczących zdarzenia A. Przedstawmy zdarzenia: Ak - zdarzenie A miało miejsce podczas k-tej próby, $ k=1,2,\dots , n$. Wtedy $\bar(A)_(k) $ jest zdarzeniem odwrotnym (zdarzenie A nie zaszło podczas k-tej próby, $k=1,2,\dots , n$).
Co to są testy jednorodne i niezależne?
Definicja
Testy mówimy, że są tego samego typu w odniesieniu do zdarzenia A, jeżeli prawdopodobieństwa zdarzeń $A1, A2, \dots , Аn$ pokrywają się: $P(A1)=P(A2)= \dots =P(An)$ (tj. prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzeń A w jednej próbie jest stałe we wszystkich próbach).
Oczywiście w tym przypadku prawdopodobieństwa zdarzeń przeciwnych również się pokrywają: $P(\bar(A)_(1))=P(\bar(A)_(2))=...=P(\bar(A ) _(n))$.
Definicja
Testy nazywamy niezależnymi w odniesieniu do zdarzenia A, jeżeli zdarzenia $A1, A2, \dots, Аn$ są niezależne.
W tym przypadku
W tym przypadku równość zostaje zachowana, gdy dowolne zdarzenie Аk zostanie zastąpione przez $\bar(A)_(k) $.
Niech zostanie przeprowadzona seria n niezależnych testów tego samego typu w odniesieniu do zdarzenia A. Stosujemy następującą notację: p – prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A w jednej próbie; q jest prawdopodobieństwem zdarzenia odwrotnego. Zatem P(Ak)=p, $P(\bar(A)_(k))=q$ dla dowolnego k i p+q=1.
Prawdopodobieństwo, że w ciągu n prób zdarzenie A wystąpi dokładnie k razy (0 ≤ k ≤ n) oblicza się ze wzoru:
$P_(n) (k)=C_(n)^(k) p^(k) q^(n-k) $ (1)
Równość (1) nazywa się wzorem Bernoulliego.
Prawdopodobieństwo, że w ciągu n identycznych niezależnych prób zdarzenie A wystąpi nie mniej niż k1 razy i nie więcej niż k2 razy oblicza się ze wzoru:
$P_(n) (k_(1) \le k\le k_(2))=\suma \limits _(k=k_(1) )^(k_(2) )C_(n)^(k) p ^(k) q^(n-k) $ (2)
Stosowanie wzoru Bernoulliego dla dużych wartości n prowadzi do uciążliwych obliczeń, dlatego w takich przypadkach lepiej jest zastosować inne wzory – asymptotyczne.
Uogólnienie schematu Bernoulliego
Rozważmy uogólnienie schematu Bernoulliego. Jeśli w serii n niezależnych prób, z których każda ma m par niekompatybilnych i możliwych wyników Ak z odpowiednimi prawdopodobieństwami Pk = pk(Ak). Wtedy obowiązuje wzór na rozkład wielomianowy:
Przykład 1
Prawdopodobieństwo zarażenia się grypą w czasie epidemii wynosi 0,4. Znajdź prawdopodobieństwo, że spośród 6 pracowników firmy zachoruje
- dokładnie 4 pracowników;
- nie więcej niż 4 pracowników.
Rozwiązanie. 1) Oczywiście do rozwiązania tego problemu można zastosować wzór Bernoulliego, gdzie n=6; k=4; p=0,4; q=1-р=0,6. Stosując wzór (1) otrzymujemy: $P_(6) (4)=C_(6)^(4) \cdot 0,4^(4) \cdot 0,6^(2) \około 0,138$.
Do rozwiązania tego problemu można zastosować wzór (2), gdzie k1=0 i k2=4. Mamy:
\[\begin(array)(l) (P_(6) (0\le k\le 4)=\suma \limits _(k=0)^(4)C_(6)^(k) p^( k) q^(6-k) =C_(6)^(0) \cdot 0,4^(0) \cdot 0,6^(6) +C_(6)^(1) \cdot 0,4 ^(1) \cdot 0,6^(5) +C_(6)^(2) \cdot 0,4^(2) \cdot 0,6^(4) +) \\ (+C_(6) ^(3) \cdot 0,4^(3) \ cdot 0,6^(3) +C_(6)^(4) \cdot 0,4^(4) \cdot 0,6^(2) \ około 0,959.) \end(array)\]
Należy zaznaczyć, że problem ten łatwiej rozwiązać stosując zdarzenie odwrotne – zachorowało ponad 4 pracowników. Następnie, biorąc pod uwagę wzór (7) na prawdopodobieństwa zdarzeń przeciwnych, otrzymujemy:
Odpowiedź: $\$0,959.
Przykład 2
W urnie znajduje się 20 kul białych i 10 czarnych. Wyjmuje się 4 kule i każdą usuniętą kulę należy wrzucić z powrotem do urny, po czym wyjmuje się następną i miesza się kule w urnie. Znajdź prawdopodobieństwo, że spośród czterech wylosowanych kul będą 2 białe (rysunek 1).
Obrazek 1.
Rozwiązanie. Niech zdarzeniem A będzie wyjęcie białej kuli. Następnie prawdopodobieństwa $D (A)=\frac(2)(3) ,\, \, D (\overline(A))=1-\frac(2)(3) =\frac(1)(3) $ .
Zgodnie ze wzorem Bernoulliego wymagane prawdopodobieństwo wynosi $D_(4) (2)=N_(4)^(2) \left(\frac(2)(3) \right)^(2) \left(\ frac(1)( 3) \right)^(2) =\frac(8)(27) $.
Odpowiedź: $\frac(8)(27) $.
Przykład 3
Oblicz prawdopodobieństwo, że w rodzinie pięciorga dzieci nie będzie więcej niż trzech dziewczynek. Zakłada się, że prawdopodobieństwo urodzenia chłopca i dziewczynki jest takie samo.
Rozwiązanie. Prawdopodobieństwo urodzenia dziewczynki $\partial =\frac(1)(2) ,\, q=\frac(1)(2) $ to prawdopodobieństwo posiadania chłopca. W rodzinie są nie więcej niż trzy dziewczynki, co oznacza, że urodziła się jedna, dwie lub trzy dziewczynki, albo też rodzina składa się wyłącznie z chłopców.
Znajdźmy prawdopodobieństwo, że w rodzinie nie ma dziewcząt, urodziła się jedna, dwie lub trzy dziewczynki: $D_(5) (0)=q^(5) =\frac(1)(32) $,
\ \ \
Zatem pożądane prawdopodobieństwo $D =D_(5) (0)+D_(5) (1)+D_(5) (2)+D_(5) (3)=\frac(13)(16) $.
Odpowiedź: $\frac(13)(16) $.
Przykład 4
Pierwszy strzelec jednym strzałem może trafić w pierwszą dziesiątkę z prawdopodobieństwem 0,6, dziewięć z prawdopodobieństwem 0,3, a ósemkę z prawdopodobieństwem 0,1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy pomocy 10 strzałów trafi sześć razy do pierwszej dziesiątki, trzy razy do dziewięciu, a raz do ośmiu?