Notatka. Materiał ten zawiera twierdzenie i jego dowód, a także szereg problemów ilustrujących zastosowanie twierdzenia o sumie kątów wielokąta wypukłego na praktycznych przykładach.

Twierdzenie o sumie kątów wielokąta wypukłego

.

Dowód.

Aby udowodnić twierdzenie o sumie kątów wielokąta wypukłego, używamy już udowodnionego twierdzenia, że ​​suma kątów trójkąta jest równa 180 stopni.

Niech A 1 A 2... An będzie danym wielokątem wypukłym, a n > 3. Wyciągnijmy wszystkie przekątne wielokąta z wierzchołka A 1. Dzielą go na n – 2 trójkąty: Δ A 1 A 2 ZA 3, Δ ZA 1 ZA 3 ZA 4, ... , Δ ZA 1 Za n – 1 Za n . Suma kątów wielokąta to suma kątów wszystkich tych trójkątów. Suma kątów każdego trójkąta wynosi 180°, a liczba trójkątów wynosi (n – 2). Zatem suma kątów wypukłego n-kąta A 1 A 2... An wynosi 180° (n – 2).

Zadanie.

Wielokąt wypukły ma trzy kąty po 80 stopni, a reszta 150 stopni. Ile kątów ma wielokąt wypukły?

Rozwiązanie.

Twierdzenie stwierdza: Dla wypukłego n-kątu suma kątów wynosi 180°(n-2) .

Zatem w naszym przypadku:

180(n-2)=3*80+x*150, gdzie

Dane są nam 3 kąty po 80 stopni zgodnie z warunkami zadania, a liczba pozostałych kątów jest nam nadal nieznana, dlatego oznaczamy ich liczbę jako x.

Jednak z wpisu po lewej stronie określiliśmy liczbę kątów wielokąta jako n, ponieważ z nich znamy wartości trzech kątów z warunków zadania, oczywiste jest, że x = n-3.

Zatem równanie będzie wyglądać następująco:

180(n-2)=240+150(n-3)

Rozwiązujemy powstałe równanie

180n - 360 = 240 + 150n - 450

180n - 150n = 240 + 360 - 450

Odpowiedź: 5 szczytów

Zadanie.

Ile wierzchołków może mieć wielokąt, jeśli każdy kąt jest mniejszy niż 120 stopni?

Rozwiązanie.

Aby rozwiązać ten problem, używamy twierdzenia o sumie kątów wielokąta wypukłego.

Twierdzenie stwierdza: Dla wypukłego n-kątu suma wszystkich kątów wynosi 180°(n-2) .

Oznacza to, że w naszym przypadku konieczne jest najpierw oszacowanie warunków brzegowych problemu. Oznacza to, że załóżmy, że każdy z kątów jest równy 120 stopni. Otrzymujemy:

180n - 360 = 120n

180n - 120n = 360 (rozważymy to wyrażenie osobno poniżej)

Na podstawie powstałego równania dochodzimy do wniosku: jeśli kąty są mniejsze niż 120 stopni, liczba kątów wielokąta jest mniejsza niż sześć.

Wyjaśnienie:

Bazując na wyrażeniu 180n - 120n = 360, pod warunkiem, że odjemnik prawej strony jest mniejszy niż 120n, różnica powinna być większa niż 60n. Zatem iloraz dzielenia będzie zawsze mniejszy niż sześć.

Odpowiedź: liczba wierzchołków wielokąta będzie mniejsza niż sześć.

Zadanie

W wielokącie trzy kąty mają po 113 stopni każdy, pozostałe są równe, a ich miara stopnia jest liczbą całkowitą. Znajdź liczbę wierzchołków wielokąta.

Rozwiązanie.

Aby rozwiązać ten problem, używamy twierdzenia o sumie kątów zewnętrznych wielokąta wypukłego.

Twierdzenie stwierdza: W przypadku wypukłego n-kątu suma wszystkich kątów zewnętrznych wynosi 360° .

Zatem,

3*(180-113)+(n-3)x=360

prawa strona wyrażenia to suma kątów zewnętrznych, po lewej stronie suma trzech kątów jest znana pod warunkiem, a miara stopnia reszty (ich liczba odpowiednio n-3, ponieważ znane są trzy kąty) jest oznaczony jako x.

159 rozkłada się tylko na dwa czynniki 53 i 3, przy czym 53 jest liczbą pierwszą. Oznacza to, że nie ma innych par czynników.

Zatem n-3 = 3, n=6, czyli liczba kątów wielokąta wynosi sześć.

Odpowiedź: sześć rogów

Zadanie

Udowodnić, że wielokąt wypukły może mieć co najwyżej trzy kąty ostre.

Rozwiązanie

Jak wiadomo, suma kątów zewnętrznych wielokąta wypukłego jest równa 360 0. Przeprowadźmy dowód przez sprzeczność. Jeżeli wielokąt wypukły ma co najmniej cztery ostre kąty wewnętrzne, to wśród jego kątów zewnętrznych znajdują się co najmniej cztery kąty rozwarte, co oznacza, że ​​suma wszystkich kątów zewnętrznych wielokąta jest większa niż 4 * 90 0 = 360 0 . Mamy sprzeczność. Stwierdzenie zostało udowodnione.

Na podstawowym kursie geometrii okazuje się, że suma kątów wypukłego n-kąta wynosi 180° (n-2). Okazuje się, że to stwierdzenie jest prawdziwe także dla wielokątów niewypukłych.

Twierdzenie 3. Suma kątów dowolnego n-kątu wynosi 180° (n - 2).

Dowód. Podzielmy wielokąt na trójkąty, rysując przekątne (ryc. 11). Liczba takich trójkątów wynosi n-2, a w każdym trójkącie suma kątów wynosi 180°. Ponieważ kąty trójkątów tworzą kąty wielokąta, suma kątów wielokąta wynosi 180° (n - 2).

Rozważmy teraz dowolne zamknięte linie łamane, ewentualnie z samoprzecięciami A1A2…AnA1 (ryc. 12, a). Takie samoprzecinające się linie przerywane nazwiemy wielokątami gwiazdowymi (ryc. 12, b-d).

Ustalmy kierunek liczenia kątów w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Należy pamiętać, że kąty utworzone przez zamkniętą polilinię zależą od kierunku, w którym jest ona poruszana. Jeśli kierunek przechodzenia wielokąta zostanie odwrócony, wówczas kątami wielokąta będą kąty dopełniające kąty pierwotnego wielokąta aż do 360°.

Jeśli M jest wielokątem utworzonym przez prostą zamkniętą linię łamaną, którą można przemierzać w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara (ryc. 13, a), wówczas suma kątów tego wielokąta będzie równa 180° (n - 2). Jeśli linia przerywana przebiega w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (ryc. 13, b), wówczas suma kątów będzie równa 180° (n + 2).

Zatem ogólny wzór na sumę kątów wielokąta utworzonego przez prostą zamkniętą linię łamaną ma postać = 180° (n 2), gdzie jest sumą kątów, n jest liczbą kątów wielokąta, „+” lub „-” przyjmuje się w zależności od kierunku, w którym przebiega linia przerywana.

Naszym zadaniem jest wyprowadzenie wzoru na sumę kątów dowolnego wielokąta utworzonego przez zamkniętą (prawdopodobnie przecinającą się) linię łamaną. W tym celu wprowadzamy pojęcie stopnia wielokąta.

Stopień wielokąta to liczba obrotów, jakie wykonuje punkt podczas całkowitego, sekwencyjnego przechodzenia przez jego boki. Ponadto obroty wykonane w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara liczy się ze znakiem „+”, a obroty wykonane w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara ze znakiem „-”.

Jest oczywiste, że wielokąt utworzony przez prostą zamkniętą polilinię ma stopień +1 lub -1 w zależności od kierunku przechodzenia. Stopień linii łamanej na rysunku 12a jest równy dwa. Stopień heptagonów w kształcie gwiazdy (ryc. 12, c, d) wynosi odpowiednio dwa i trzy.

Pojęcie stopnia definiuje się w podobny sposób dla zamkniętych krzywych na płaszczyźnie. Na przykład stopień krzywizny pokazany na rysunku 14 wynosi dwa.

Aby znaleźć stopień wielokąta lub krzywej, możesz postępować w następujący sposób. Załóżmy, że poruszając się po krzywej (ryc. 15, a), zaczynając od jakiegoś miejsca A1, wykonaliśmy pełny obrót i znaleźliśmy się w tym samym punkcie A1. Usuńmy odpowiedni odcinek z krzywej i kontynuujmy poruszanie się wzdłuż pozostałej krzywej (ryc. 15, b). Jeśli zaczynając od jakiegoś miejsca A2, ponownie wykonaliśmy pełny obrót i trafiliśmy w ten sam punkt, wówczas usuwamy odpowiedni odcinek krzywej i kontynuujemy ruch (ryc. 15, c). Licząc liczbę odległych odcinków ze znakami „+” lub „-” w zależności od kierunku ich przechodzenia, uzyskujemy wymagany stopień krzywizny.

Twierdzenie 4. Dla dowolnego wielokąta wzór jest spełniony

180° (n +2m),

gdzie jest sumą kątów, n jest liczbą kątów, m jest stopniem wielokąta.

Dowód. Niech wielokąt M ma stopień m i jest tradycyjnie przedstawiony na rysunku 16. M1, ..., Mk to proste, zamknięte linie łamane, wzdłuż których punkt wykonuje pełne obroty. A1, …, Ak są odpowiadającymi sobie punktami przecięcia linii łamanej, które nie są jej wierzchołkami. Oznaczmy liczbę wierzchołków wielokąta M wchodzących w skład wielokątów M1, …, Mk, odpowiednio przez n1, …, nk. Ponieważ oprócz wierzchołków wielokąta M do tych wielokątów dodawane są wierzchołki A1, ..., Ak, wówczas liczba wierzchołków wielokątów M1, ..., Mk będzie równa n1+1, . .., odpowiednio nk+1. Wtedy suma ich kątów będzie wynosić 180° (n1+12), ..., 180° (nk+12). Plus lub minus jest przyjmowany w zależności od kierunku przechodzenia linii przerywanych. Suma kątów wielokąta M0 pozostałych z wielokąta M po usunięciu wielokątów M1, ..., Mk wynosi 180° (n-n1- ...-nk+k2). Sumy kątów wielokątów M0, M1, ..., Mk dają sumę kątów wielokąta M i na każdym wierzchołku A1, ..., Ak dodatkowo otrzymujemy 360°. Zatem mamy równość

180° (n1+12)+…+180° (nk+12)+180° (n-n1- …-nk+k2)=+360°k.

180° (n2…2) = 180° (n+2m),

gdzie m jest stopniem wielokąta M.

Jako przykład rozważ obliczenie sumy kątów gwiazdy pięcioramiennej (ryc. 17, a). Stopień odpowiedniej zamkniętej linii przerywanej wynosi -2. Dlatego wymagana suma kątów wynosi 180.

Suma kątów twierdzenia o n-gonach. Suma kątów wypukłego n-kąta wynosi 180 o (n-2). Dowód. Z jakiegoś wierzchołka wypukłego n-kątu rysujemy wszystkie jego przekątne. Następnie n-gon zostanie podzielony na n-2 trójkąty. W każdym trójkącie suma kątów wynosi 180° i kąty te tworzą kąty n-gonu. Zatem suma kątów n-gonu wynosi 180 o (n-2).

Drugi sposób udowodnienia twierdzenia. Suma kątów wypukłego n-kąta wynosi 180 o (n-2). Dowód 2. Niech O będzie punktem wewnętrznym wypukłego n-kąta A 1 ...A n. Połączmy to z wierzchołkami tego wielokąta. Następnie n-gon zostanie podzielony na n trójkątów. W każdym trójkącie suma kątów wynosi 180 stopni. Kąty te tworzą kąty n-gonu i kolejne 360 ​​stopni. Zatem suma kątów n-gonu wynosi 180 o (n-2).

Ćwiczenie 3 Udowodnić, że suma kątów zewnętrznych wypukłego n-kąta wynosi 360 stopni. Dowód. Kąt zewnętrzny wielokąta wypukłego jest równy 180° minus odpowiadający mu kąt wewnętrzny. Dlatego suma kątów zewnętrznych wypukłego n-gotu jest równa 180 o n minus suma kątów wewnętrznych. Ponieważ suma kątów wewnętrznych wypukłego n-gonu jest równa 180 o (n-2), to suma kątów zewnętrznych będzie równa 180 o n o (n-2) = 360 o.

Ćwiczenie 4 Jakie są kąty foremnego: a) trójkąta; b) czworokąt; c) pięciokąt; d) sześciokąt; e) ośmiokąt; f) dziesięciokąt; g) dwunastokąt? Odpowiedź: a) 60 o, b) 90 o, c) 108 o, d) 120 o; e) 135 o, f) 144 o, g) 150 o.

Ćwiczenie 12* Jaka jest największa liczba kątów ostrych, jaką może mieć wypukły n-kąt? Rozwiązanie. Ponieważ suma kątów zewnętrznych wielokąta wypukłego jest równa 360 stopni, to wielokąt wypukły nie może mieć więcej niż trzy kąty rozwarte, a zatem nie może mieć więcej niż trzy wewnętrzne kąty ostre. Odpowiedź. 3.

W ósmej klasie na lekcjach geometrii uczniowie po raz pierwszy zapoznają się z pojęciem wielokąta wypukłego. Już wkrótce dowiedzą się, że liczba ta ma bardzo interesującą właściwość. Niezależnie od tego, jak bardzo jest to skomplikowane, suma wszystkich kątów wewnętrznych i zewnętrznych wielokąta wypukłego przyjmuje ściśle określoną wartość. W tym artykule nauczyciel matematyki i fizyki opowiada o tym, ile wynosi suma kątów wielokąta wypukłego.

Suma kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego

Jak udowodnić tę formułę?

Zanim przejdziemy do dowodu tego twierdzenia, przypomnijmy sobie, który wielokąt nazywamy wypukłym. Wielokąt wypukły to wielokąt leżący całkowicie po jednej stronie linii zawierającej którykolwiek z jej boków. Na przykład ten pokazany na tym rysunku:

Jeśli wielokąt nie spełnia określonego warunku, nazywa się go niewypukłym. Na przykład tak:

Suma kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego jest równa , gdzie jest liczbą boków wielokąta.

Dowód tego faktu opiera się na twierdzeniu o sumie kątów w trójkącie, dobrze znanym wszystkim dzieciom w wieku szkolnym. Jestem pewien, że to twierdzenie jest również Ci znane. Suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi .

Pomysł polega na podzieleniu wypukłego wielokąta na kilka trójkątów. Można to zrobić na różne sposoby. W zależności od tego, jaką metodę wybierzemy, dowody będą się nieco różnić.

1. Podziel wielokąt wypukły na trójkąty, wykorzystując wszystkie możliwe przekątne wyprowadzone z jakiegoś wierzchołka. Łatwo zrozumieć, że wtedy nasz n-gon zostanie podzielony na trójkąty:

Co więcej, suma wszystkich kątów wszystkich powstałych trójkątów jest równa sumie kątów naszego n-gonu. Przecież każdy kąt w powstałych trójkątach jest kątem cząstkowym w naszym wielokącie wypukłym. Oznacza to, że wymagana kwota jest równa .

2. Możesz także wybrać punkt wewnątrz wypukłego wielokąta i połączyć go ze wszystkimi wierzchołkami. Wtedy nasz n-gon zostanie podzielony na trójkąty:

Co więcej, suma kątów naszego wielokąta w tym przypadku będzie równa sumie wszystkich kątów wszystkich tych trójkątów minus kąt środkowy, który jest równy . Oznacza to, że wymagana kwota jest ponownie równa .

Suma kątów zewnętrznych wielokąta wypukłego

Zadajmy teraz pytanie: „Jaka jest suma kątów zewnętrznych wielokąta wypukłego?” Na to pytanie można odpowiedzieć w następujący sposób. Każdy narożnik zewnętrzny sąsiaduje z odpowiednim narożnikiem wewnętrznym. Zatem jest równe:

Wtedy suma wszystkich kątów zewnętrznych jest równa . Oznacza to, że jest równy.

Oznacza to, że uzyskuje się bardzo zabawny wynik. Jeśli wykreślimy kolejno wszystkie kąty zewnętrzne dowolnego wypukłego n-kątu, wówczas wynikiem będzie dokładnie cała płaszczyzna.

Ten interesujący fakt można zilustrować w następujący sposób. Zmniejszmy proporcjonalnie wszystkie boki jakiegoś wypukłego wielokąta, aż połączy się on w punkt. Po tym czasie wszystkie kąty zewnętrzne zostaną odsunięte od siebie i w ten sposób wypełnią całą płaszczyznę.

Ciekawostka, prawda? A takich faktów w geometrii jest wiele. Uczcie się więc geometrii, drogie dzieci w wieku szkolnym!

Materiał na temat sumy kątów wielokąta wypukłego przygotował Siergiej Waleriewicz

Złamany

Definicja

linia przerywana lub w skrócie, linia przerywana, jest skończoną sekwencją odcinków, w której jeden z końców pierwszego odcinka służy jako koniec drugiego, drugi koniec drugiego odcinka służy jako koniec trzeciego itd. W tym przypadku sąsiednie odcinki nie leżą na tej samej linii prostej. Segmenty te nazywane są łączami linii łamanej.

Rodzaje polilinii

Linia przerywana nazywa się Zamknięte, jeśli początek pierwszego segmentu pokrywa się z końcem ostatniego.

Linia przerywana może się przecinać, dotykać lub nakładać na siebie. Jeżeli nie ma takich osobliwości, wówczas nazywa się taką linię przerywaną prosty.

Wielokąty

Definicja

Nazywa się prostą zamkniętą linię łamaną wraz z ograniczoną przez nią częścią płaszczyzny wielokąt.

Komentarz

W każdym wierzchołku wielokąta jego boki wyznaczają pewien kąt wielokąta. Może być mniej lub bardziej rozbudowany.

Nieruchomość

Każdy wielokąt ma kąt mniejszy niż 180 $\circ$.

Dowód

Niech będzie dany wielokąt $P$.

Narysujmy prostą, która jej nie przecina. Przesuniemy go równolegle do wielokąta. W pewnym momencie po raz pierwszy otrzymamy prostą $a$, która ma przynajmniej jeden punkt wspólny z wielokątem $P$. Wielokąt leży po jednej stronie tej prostej (część jego punktów leży na prostej $a$).

Linia $a$ zawiera co najmniej jeden wierzchołek wielokąta. Zbiegają się w nim dwa jego boki, leżące po jednej stronie prostej $a$ (również w przypadku, gdy jeden z nich leży na tej prostej). Oznacza to, że w tym wierzchołku kąt jest mniejszy niż kąt rozłożony.

Definicja

Nazywa się wielokąt wypukły, jeśli leży po jednej stronie każdej linii zawierającej jego bok. Jeśli wielokąt nie jest wypukły, nazywa się go nie wypukły.

Komentarz

Wielokąt wypukły to przecięcie półpłaszczyzn ograniczonych liniami zawierającymi boki wielokąta.

Właściwości wielokąta wypukłego

Wielokąt wypukły ma wszystkie kąty mniejsze niż 180^\circ$.

Odcinek linii łączący dowolne dwa punkty wielokąta wypukłego (w szczególności dowolną jego przekątną) jest zawarty w tym wielokącie.

Dowód

Udowodnijmy pierwszą własność

Weź dowolny kąt $A$ wielokąta wypukłego $P$ i jego bok $a$ wychodzący z wierzchołka $A$. Niech $l$ będzie linią zawierającą bok $a$. Ponieważ wielokąt $P$ jest wypukły, leży po jednej stronie prostej $l$. W związku z tym jego kąt $A$ również leży po jednej stronie tej prostej. Oznacza to, że kąt $A$ jest mniejszy niż kąt rozwinięty, czyli mniejszy niż 180^\circ$.

Udowodnijmy drugą własność

Weź dowolne dwa punkty $A$ i $B$ wielokąta wypukłego $P$. Wielokąt $P$ jest przecięciem kilku półpłaszczyzn. W każdej z tych półpłaszczyzn zawarty jest odcinek $AB$. Dlatego jest on również zawarty w wielokącie $P$.

Definicja

Przekątna wielokąta nazywany odcinkiem łączącym jego niesąsiadujące ze sobą wierzchołki.

Twierdzenie (o liczbie przekątnych n-kąta)

Liczbę przekątnych wypukłego $n$-gon oblicza się ze wzoru $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Dowód

Z każdego wierzchołka n-kąta można narysować przekątne $n-3$ (nie można narysować przekątnej do sąsiednich wierzchołków ani do samego wierzchołka). Jeśli policzymy wszystkie takie możliwe segmenty, będzie ich $n\cdot(n-3)$, ponieważ istnieje $n$ wierzchołków. Ale każda przekątna będzie liczona dwukrotnie. Zatem liczba przekątnych n-kąta jest równa $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Twierdzenie (o sumie kątów n-kąta)

Suma kątów wypukłego $n$-gon wynosi $180^\circ(n-2)$.

Dowód

Rozważ $n$-gon $A_1A_2A_3\ldots A_n$.

Weźmy dowolny punkt $O$ wewnątrz tego wielokąta.

Suma kątów wszystkich trójkątów $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_(n-1)OA_n$ jest równa $180^\circ\cdot n$.

Z drugiej strony suma ta jest sumą wszystkich kątów wewnętrznych wielokąta i kąta całkowitego $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=30^\circ$.

Wtedy suma kątów rozważanego $n$-gonu jest równa $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Konsekwencja

Suma kątów niewypukłego $n$-gonu wynosi 180^\circ(n-2)$.

Dowód

Rozważmy wielokąt $A_1A_2\ldots A_n$, którego jedyny kąt $\angle A_2$ jest niewypukły, to znaczy $\angle A_2>180^\circ$.

Oznaczmy sumę jego połowu jako $S$.

Połączmy punkty $A_1A_3$ i rozważmy wielokąt $A_1A_3\ldots A_n$.

Suma kątów tego wielokąta wynosi:

$180^\circ\cdot(n-1-2)=S-\kąt A_2+\angle 1+\angle 2=S-\angle A_2+180^\circ-\angle A_1A_2A_3=S+180^\circ-( \angle A_1A_2A_3+\angle A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.

Zatem $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Jeżeli pierwotny wielokąt ma więcej niż jeden kąt niewypukły, to opisaną powyżej operację można wykonać na każdym takim kącie, co doprowadzi do udowodnienia twierdzenia.

Twierdzenie (o sumie kątów zewnętrznych wypukłego n-kąta)

Suma kątów zewnętrznych wypukłego $n$-gonu wynosi 360 $^\circ$.

Dowód

Kąt zewnętrzny w wierzchołku $A_1$ jest równy $180^\circ-\angle A_1$.

Suma wszystkich kątów zewnętrznych jest równa:

$\sum\limits_(n)(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_(n)A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n -2)=360^\circ$.