Załóżmy, że Achilles biegnie dziesięć razy szybciej niż żółw i jest o tysiąc kroków za nim. W czasie, jaki potrzebuje Achilles na pokonanie tej odległości, żółw wykona sto kroków w tym samym kierunku. Kiedy Achilles przebiegnie sto kroków, żółw czołga się przez kolejne dziesięć kroków i tak dalej. Proces ten będzie trwał w nieskończoność, Achilles nigdy nie dogoni żółwia.
To rozumowanie stało się logicznym szokiem dla wszystkich kolejnych pokoleń. Arystoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Wszyscy oni w ten czy inny sposób rozważali aporię Zenona. Wstrząs był tak silny, że „ ... dyskusje trwają do dziś, w środowisku naukowym nie udało się jeszcze dojść do wspólnej opinii co do istoty paradoksów ... w badaniu tego zagadnienia zaangażowano analizę matematyczną, teorię mnogości, nowe podejścia fizyczne i filozoficzne ; żaden z nich nie stał się ogólnie przyjętym rozwiązaniem problemu...„[Wikipedia, „Aporia Zenona”. Każdy rozumie, że daje się oszukać, ale nikt nie rozumie, na czym to oszustwo polega.
Z matematycznego punktu widzenia Zenon w swoich aporiach wyraźnie pokazał przejście od ilości do. To przejście oznacza zastosowanie, a nie trwałe. O ile rozumiem, aparat matematyczny do stosowania zmiennych jednostek miary albo nie został jeszcze opracowany, albo nie został zastosowany do aporii Zenona. Stosowanie naszej zwykłej logiki prowadzi nas w pułapkę. My, ze względu na bezwładność myślenia, do wartości odwrotności stosujemy stałe jednostki czasu. Z fizycznego punktu widzenia wygląda to na spowolnienie czasu, aż do całkowitego zatrzymania się w momencie, gdy Achilles dogoni żółwia. Jeśli czas się zatrzyma, Achilles nie będzie już w stanie przegonić żółwia.
Jeśli odwrócimy naszą zwykłą logikę, wszystko ułoży się na swoim miejscu. Achilles biegnie ze stałą prędkością. Każdy kolejny odcinek jego ścieżki jest dziesięć razy krótszy od poprzedniego. W związku z tym czas poświęcony na jego pokonanie jest dziesięć razy krótszy niż poprzedni. Jeśli zastosujemy w tej sytuacji koncepcję „nieskończoności”, wówczas słuszne będzie stwierdzenie: „Achilles nieskończenie szybko dogoni żółwia”.
Jak uniknąć tej logicznej pułapki? Pozostań w stałych jednostkach czasu i nie przełączaj się na jednostki odwrotne. W języku Zenona wygląda to tak:
W czasie, jaki zajmie Achillesowi przebiegnięcie tysiąca kroków, żółw wykona sto kroków w tym samym kierunku. W następnym odstępie czasowym, równym pierwszemu, Achilles przebiegnie kolejne tysiąc kroków, a żółw przeczołga się sto kroków. Teraz Achilles jest osiemset kroków przed żółwiem.
Podejście to adekwatnie opisuje rzeczywistość, bez żadnych logicznych paradoksów. Ale to nie jest pełne rozwiązanie problemu. Stwierdzenie Einsteina o nieodpartej prędkości światła jest bardzo podobne do aporii Zenona „Achilles i żółw”. Musimy jeszcze przestudiować, przemyśleć i rozwiązać ten problem. A rozwiązania należy szukać nie w nieskończenie dużych liczbach, ale w jednostkach miary.
Kolejna interesująca aporia Zenona opowiada o lecącej strzałce:
Lecąca strzała jest nieruchoma, ponieważ w każdej chwili jest w spoczynku, a ponieważ jest w spoczynku w każdej chwili, jest zawsze w spoczynku.
W tej aporii paradoks logiczny zostaje przezwyciężony w bardzo prosty sposób - wystarczy wyjaśnić, że w każdym momencie lecąca strzała znajduje się w spoczynku w różnych punktach przestrzeni, co w rzeczywistości jest ruchem. Należy tutaj zwrócić uwagę na jeszcze jedną kwestię. Na podstawie jednego zdjęcia samochodu na drodze nie da się określić ani faktu jego ruchu, ani odległości do niego. Aby ustalić, czy samochód się porusza, potrzebne są dwa zdjęcia wykonane z tego samego punktu w różnych momentach w czasie, ale nie można określić odległości od nich. Aby określić odległość do samochodu, potrzebujesz dwóch zdjęć zrobionych z różnych punktów przestrzeni w tym samym momencie, ale na ich podstawie nie można określić faktu ruchu (oczywiście nadal potrzebujesz dodatkowych danych do obliczeń, trygonometria ci pomoże ). To na co chcę zwrócić szczególną uwagę to fakt, że dwa punkty w czasie i dwa punkty w przestrzeni to różne rzeczy, których nie należy mylić, gdyż dają odmienne możliwości badawcze.
środa, 4 lipca 2018 r
Różnice między zestawem a zestawem wielokrotnym są bardzo dobrze opisane w Wikipedii. Zobaczmy.
Jak widać „w zestawie nie mogą być dwa identyczne elementy”, ale jeśli w zestawie znajdują się identyczne elementy, taki zbiór nazywa się „multizbiorem”. Rozsądne istoty nigdy nie zrozumieją tak absurdalnej logiki. To jest poziom gadających papug i tresowanych małp, które nie mają inteligencji od słowa „całkowicie”. Matematycy zachowują się jak zwykli trenerzy, wmawiając nam swoje absurdalne pomysły.
Dawno, dawno temu inżynierowie, którzy zbudowali most, pływali łodzią pod mostem podczas testowania mostu. Jeśli most się zawali, przeciętny inżynier zginął pod gruzami swojego dzieła. Jeśli most wytrzymał obciążenie, utalentowany inżynier zbudował inne mosty.
Bez względu na to, jak matematycy ukrywają się za zwrotem „pamiętaj, jestem w domu” lub raczej „matematyka bada pojęcia abstrakcyjne”, istnieje jedna pępowina, która nierozerwalnie łączy ich z rzeczywistością. Ta pępowina to pieniądze. Zastosujmy matematyczną teorię mnogości do samych matematyków.
Bardzo dobrze uczyliśmy się matematyki, a teraz siedzimy przy kasie i wypłacamy pensje. Tak więc matematyk przychodzi do nas po swoje pieniądze. Odliczamy mu całą kwotę i układamy ją na naszym stole w różnych stosach, do których wkładamy banknoty o tym samym nominale. Następnie bierzemy po jednym rachunku z każdego stosu i dajemy matematykowi jego „matematyczny zestaw wynagrodzeń”. Wyjaśnijmy matematykowi, że resztę rachunków otrzyma dopiero wtedy, gdy udowodni, że zbiór bez identycznych elementów nie jest równy zbiorowi z identycznymi elementami. Tutaj zaczyna się zabawa.
Przede wszystkim sprawdzi się logika posłów: „Można to zastosować do innych, ale nie do mnie!” Wtedy zaczną nas uspokajać, że banknoty o tym samym nominale mają różne numery banknotów, a co za tym idzie, nie można ich uważać za te same elementy. OK, policzmy pensje w monetach - na monetach nie ma cyfr. Tutaj matematyk zacznie gorączkowo przypominać sobie fizykę: różne monety mają różną ilość brudu, struktura kryształu i układ atomów jest dla każdej monety unikalna...
I teraz mam najciekawsze pytanie: gdzie jest granica, za którą elementy multizbioru zamieniają się w elementy zbioru i odwrotnie? Taka linia nie istnieje – o wszystkim decydują szamani, nauka nawet nie jest bliska kłamstwa.
Popatrz tutaj. Wybieramy stadiony piłkarskie o tej samej powierzchni boiska. Pola pól są takie same - co oznacza, że mamy multizbiór. Ale jeśli spojrzymy na nazwy tych samych stadionów, otrzymamy wiele, ponieważ nazwy są różne. Jak widać, ten sam zbiór elementów jest jednocześnie zbiorem i multizbiorem. Który jest poprawny? I tu matematyk-szaman-sostrzysta wyciąga z rękawa asa atutowego i zaczyna nam opowiadać albo o zestawie, albo o wielokrotności. W każdym razie przekona nas, że ma rację.
Aby zrozumieć, jak współcześni szamani operują teorią mnogości, wiążąc ją z rzeczywistością, wystarczy odpowiedzieć na jedno pytanie: czym różnią się elementy jednego zbioru od elementów innego zbioru? Pokażę ci, bez żadnego „wyobrażalnego jako pojedyncza całość” lub „niewyobrażalnego jako pojedyncza całość”.
Niedziela, 18 marca 2018 r
Suma cyfr liczby to taniec szamanów z tamburynem, który nie ma nic wspólnego z matematyką. Tak, na lekcjach matematyki uczy się nas znajdować sumę cyfr liczby i posługiwać się nią, ale po to są szamani, aby uczyć swoich potomków swoich umiejętności i mądrości, w przeciwnym razie szamani po prostu wymrą.
Czy potrzebujesz dowodu? Otwórz Wikipedię i spróbuj znaleźć stronę „Suma cyfr liczby”. Ona nie istnieje. W matematyce nie ma wzoru, za pomocą którego można by znaleźć sumę cyfr dowolnej liczby. Przecież liczby to symbole graficzne, za pomocą których piszemy liczby, a w języku matematyki zadanie brzmi tak: „Znajdź sumę symboli graficznych reprezentujących dowolną liczbę”. Matematycy nie potrafią rozwiązać tego problemu, ale szamani mogą to zrobić z łatwością.
Zastanówmy się, co i jak zrobić, aby znaleźć sumę cyfr danej liczby. I tak otrzymamy liczbę 12345. Co należy zrobić, aby znaleźć sumę cyfr tej liczby? Rozważmy wszystkie kroki w kolejności.
1. Zapisz numer na kartce papieru. Co my zrobiliśmy? Przekonwertowaliśmy liczbę na graficzny symbol liczbowy. To nie jest operacja matematyczna.
2. Jeden powstały obraz wycinamy na kilka obrazków zawierających indywidualne liczby. Cięcie obrazu nie jest operacją matematyczną.
3. Zamień poszczególne symbole graficzne na liczby. To nie jest operacja matematyczna.
4. Dodaj powstałe liczby. Teraz to jest matematyka.
Suma cyfr liczby 12345 wynosi 15. Są to „kursy krojenia i szycia”, prowadzone przez szamanów, z których korzystają matematycy. Ale to nie wszystko.
Z matematycznego punktu widzenia nie ma znaczenia, w jakim systemie liczbowym zapiszemy liczbę. Zatem w różnych systemach liczbowych suma cyfr tej samej liczby będzie inna. W matematyce system liczbowy jest oznaczony jako indeks dolny po prawej stronie liczby. Przy dużej liczbie 12345, nie chcę oszukiwać głowy, rozważmy liczbę 26 z artykułu o. Zapiszmy tę liczbę w systemie binarnym, ósemkowym, dziesiętnym i szesnastkowym. Nie będziemy patrzeć na każdy krok pod mikroskopem, już to zrobiliśmy. Spójrzmy na wynik.
Jak widać, w różnych systemach liczbowych suma cyfr tej samej liczby jest inna. Wynik ten nie ma nic wspólnego z matematyką. To tak, jakby wyznaczając pole prostokąta w metrach i centymetrach, otrzymałbyś zupełnie inne wyniki.
Zero wygląda tak samo we wszystkich systemach liczbowych i nie ma sumy cyfr. To kolejny argument przemawiający za tym, że. Pytanie do matematyków: jak w matematyce oznacza się coś, co nie jest liczbą? Co, dla matematyków nie istnieje nic poza liczbami? Mogę na to pozwolić szamanom, ale nie naukowcom. Rzeczywistość to nie tylko liczby.
Uzyskany wynik należy uznać za dowód, że systemy liczbowe są jednostkami miary liczb. W końcu nie możemy porównywać liczb o różnych jednostkach miary. Jeśli te same działania z różnymi jednostkami miary tej samej wielkości prowadzą do różnych wyników po ich porównaniu, to nie ma to nic wspólnego z matematyką.
Czym jest prawdziwa matematyka? Dzieje się tak wtedy, gdy wynik operacji matematycznej nie zależy od wielkości liczby, użytej jednostki miary i tego, kto wykonuje tę czynność.
Oh! Czy to nie jest damska toaleta?
- Młoda kobieta! To laboratorium do badania niedefilicznej świętości dusz podczas ich wznoszenia się do nieba! Aureola na górze i strzałka w górę. Jaka inna toaleta?
Kobieta... Aureola na górze i strzałka w dół oznaczają mężczyznę.
Jeśli takie dzieło sztuki projektowej przelatuje Ci przed oczami kilka razy dziennie,
Nic więc dziwnego, że nagle w swoim samochodzie znajdujesz dziwną ikonę:
Osobiście staram się widzieć minus cztery stopnie u osoby robiącej kupę (jeden obrazek) (kompozycja kilku obrazków: znak minus, cyfra cztery, oznaczenie stopni). I nie sądzę, że ta dziewczyna jest głupia, która nie zna fizyki. Ma po prostu silny stereotyp postrzegania obrazów graficznych. A matematycy uczą nas tego cały czas. Oto przykład.
1A nie oznacza „minus cztery stopnie” ani „jeden a”. To jest „kupujący człowiek” lub liczba „dwadzieścia sześć” w zapisie szesnastkowym. Osoby, które stale pracują w tym systemie liczbowym, automatycznie postrzegają cyfrę i literę jako jeden symbol graficzny.
Równoległościan to figura geometryczna, której wszystkie 6 ścian jest równoległobokami.
W zależności od rodzaju tych równoległoboków wyróżnia się następujące typy równoległościanów:
- prosty;
- skłonny;
- prostokątny.
Równoległościan prawy to czworokątny pryzmat, którego krawędzie tworzą z płaszczyzną podstawy kąt 90°.
Prostokątny równoległościan to czworokątny pryzmat, którego wszystkie ściany są prostokątami. Sześcian to rodzaj czworokątnego pryzmatu, w którym wszystkie ściany i krawędzie są sobie równe.
Cechy figury określają jej właściwości. Należą do nich następujące 4 stwierdzenia:
Wszystkie powyższe właściwości są łatwe do zapamiętania, łatwe do zrozumienia i logicznie wyprowadzone na podstawie rodzaju i cech bryły geometrycznej. Jednak proste instrukcje mogą być niezwykle przydatne przy rozwiązywaniu typowych zadań USE i pozwolą zaoszczędzić czas potrzebny na zdanie testu.
Wzory równoległościenne
Aby znaleźć odpowiedź na problem, nie wystarczy znać tylko właściwości figury. Możesz także potrzebować wzorów na znalezienie pola i objętości bryły geometrycznej.
Obszar podstaw znajduje się w taki sam sposób, jak odpowiedni wskaźnik równoległoboku lub prostokąta. Możesz sam wybrać podstawę równoległoboku. Z reguły przy rozwiązywaniu problemów łatwiej jest pracować z pryzmatem, którego podstawą jest prostokąt.
Wzór na znalezienie powierzchni bocznej równoległościanu może być również potrzebny w zadaniach testowych.
Przykłady rozwiązywania typowych zadań egzaminu Unified State Exam
Ćwiczenie 1.
Dany: prostokątny równoległościan o wymiarach 3, 4 i 12 cm.
Niezbędny znajdź długość jednej z głównych przekątnych figury.
Rozwiązanie: Każde rozwiązanie problemu geometrycznego należy rozpocząć od zbudowania prawidłowego i przejrzystego rysunku, na którym zostanie wskazane „podana” i pożądana wartość. Poniższy rysunek przedstawia przykład prawidłowego wykonania warunków zadania.
Po zapoznaniu się z wykonanym rysunkiem i pamiętaniu o wszystkich właściwościach bryły geometrycznej dochodzimy do jedynej prawidłowej metody rozwiązania. Stosując czwartą właściwość równoległościanu otrzymujemy następujące wyrażenie:
Po prostych obliczeniach otrzymujemy wyrażenie b2=169, zatem b=13. Odpowiedź na zadanie została znaleziona, wystarczy poświęcić nie więcej niż 5 minut na jej znalezienie i narysowanie.
a, w kierunku podstawy PP;
z jego wysokością.
- co musimy wiedzieć, jakie mamy dane?
- jakie właściwości ma równoległościan prostokątny?
- czy twierdzenie Pitagorasa ma tutaj zastosowanie? Jak?
- Czy jest wystarczająco dużo danych, aby zastosować twierdzenie Pitagorasa, czy też potrzebne są jakieś inne obliczenia?
Przekątny kwadrat, kwadratowego równoległościanu (patrz właściwości kwadratowego równoległościanu) jest równe sumie kwadratów jego trzech różnych boków (szerokość, wysokość, grubość), a zatem przekątne kwadratowego równoległościanu są równe pierwiastkowi tę sumę.
Pamiętam program szkolny z geometrii, możemy powiedzieć tak: przekątna równoległościanu jest równa pierwiastkowi kwadratowemu uzyskanemu z sumy jego trzech boków (oznaczono je małymi literami a, b, c).
Długość przekątnej równoległościanu prostokątnego jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów jego boków.
O ile wiem z programu szkolnego, klasa 9, jeśli się nie mylę i jeśli pamięć służy, przekątna równoległościanu prostokątnego jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów wszystkich trzech boków.
kwadrat przekątnej jest równy sumie kwadratów szerokości, wysokości i długości, na podstawie tego wzoru otrzymujemy odpowiedź, przekątna jest równa pierwiastkowi kwadratowemu sumy jej trzech różnych wymiarów, z literami oznaczają ncz abc
Prostokątny równoległościan (PP) to nic innego jak pryzmat, którego podstawą jest prostokąt. W przypadku PP wszystkie przekątne są równe, co oznacza, że dowolną z jego przekątnych oblicza się ze wzoru:
Inną definicję można podać, biorąc pod uwagę kartezjański prostokątny układ współrzędnych:
Przekątna PP jest wektorem promienia dowolnego punktu w przestrzeni określonego przez współrzędne x, yiz w kartezjańskim układzie współrzędnych. Ten wektor promienia do punktu jest rysowany od początku. Współrzędne punktu będą rzutami wektora promienia (przekątnych PP) na osie współrzędnych. Rzuty pokrywają się z wierzchołkami tego równoległościanu.
Prostokątny równoległościan to rodzaj wielościanu składającego się z 6 ścian, u podstawy których znajduje się prostokąt. Przekątna to odcinek łączący przeciwległe wierzchołki równoległoboku.
Wzór na znalezienie długości przekątnej jest taki, że kwadrat przekątnej jest równy sumie kwadratów trzech wymiarów równoległoboku.
Znalazłem w Internecie dobrą tabelę ze schematami zawierającą pełną listę wszystkiego, co znajduje się w równoległościanie. Istnieje wzór na znalezienie przekątnej, który jest oznaczony przez d.
Jest obraz krawędzi, wierzchołka i innych ważnych rzeczy dla równoległościanu.
Jeśli znana jest długość, wysokość i szerokość (a, b, c) równoległościanu prostokątnego, wówczas wzór na obliczenie przekątnej będzie wyglądał następująco:
Zazwyczaj nauczyciele nie oferują swoim uczniom samej recepty, ale starają się, aby mogli ją sami wyprowadzić, zadając naprowadzające pytania:
Zwykle po udzieleniu odpowiedzi na zadane pytania uczniowie mogą z łatwością samodzielnie wyprowadzić ten wzór.
Przekątne równoległościanu prostokątnego są równe. Jak również przekątne jego przeciwległych ścian. Długość przekątnej można obliczyć znając długość krawędzi równoległoboku wychodzącego z jednego wierzchołka. Długość ta jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów długości jej krawędzi.
Prostopadłościan to jeden z tzw. wielościanów, który składa się z 6 ścian, z których każda jest prostokątem. Przekątna to odcinek łączący przeciwległe wierzchołki równoległoboku. Jeżeli długość, szerokość i wysokość prostokątnego równoległościanu przyjmiemy odpowiednio jako a, b, c, to wzór na jego przekątną (D) będzie wyglądał następująco: D^2=a^2+b^2+c ^2.
Przekątna równoległościanu prostokątnego jest odcinkiem łączącym przeciwległe wierzchołki. Więc mamy prostopadłościan z przekątną d i bokami a, b, c. Jedną z właściwości równoległościanu jest to, że jest kwadratem długość przekątnej d jest równe sumie kwadratów trzech wymiarów a, b, c. Stąd wniosek taki długość przekątnej można łatwo obliczyć za pomocą następującego wzoru:
Również:
Jak znaleźć wysokość równoległościanu?
Prostopadłościan to rodzaj wielościanu składającego się z 6 ścian, z których każda jest prostokątem. Z kolei przekątna to odcinek łączący przeciwne wierzchołki równoległoboku. Jego długość można określić na dwa sposoby.
Będziesz potrzebować
- Znajomość długości wszystkich boków równoległoboku.
Instrukcje
1. Metoda 1. Biorąc pod uwagę prostokątny równoległościan o bokach a, b, c i przekątnej d. Zgodnie z jedną z właściwości równoległoboku, kwadrat przekątnej jest równy sumie kwadratów jego 3 boków. Wynika z tego, że długość samej przekątnej można obliczyć, wyjmując kwadrat z danej sumy (ryc. 1).
2. Metoda 2. Możliwe jest, że prostokątny równoległościan jest sześcianem. Sześcian to prostokątny równoległościan, w którym każda ściana jest reprezentowana przez kwadrat. W rezultacie wszystkie jego boki są równe. Wtedy wzór na obliczenie długości jego przekątnej będzie wyrażony następująco: d = a*?3
Równoległościan to szczególny przypadek pryzmatu, w którym wszystkie sześć ścian jest równoległobokami lub prostokątami. Równoległościan o prostokątnych ścianach nazywany jest również prostokątnym. Równoległościan ma cztery przecinające się przekątne. Jeśli dane są trzy krawędzie a, b, c, wszystkie przekątne równoległościanu prostokątnego można znaleźć, wykonując dodatkowe konstrukcje.
Instrukcje
1. Narysuj prostokątny równoległościan. Zapisz znane dane: trzy krawędzie a, b, c. Najpierw zbuduj jedną przekątną m. Aby to określić, używamy jakości prostokątnego równoległościanu, zgodnie z którym wszystkie jego kąty są proste.
2. Skonstruuj przekątną n jednej ze ścian równoległościanu. Wykonaj konstrukcję tak, aby słynna krawędź, pożądana przekątna równoległościanu i przekątna twarzy razem tworzyły trójkąt prostokątny a, n, m.
3. Znajdź zbudowaną przekątną twarzy. Jest przeciwprostokątną innego trójkąta prostokątnego b, c, n. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa n² = c² + b². Oblicz to wyrażenie i weź pierwiastek kwadratowy z otrzymanej wartości - będzie to przekątna ściany n.
4. Znajdź przekątną równoległościanu m. Aby to zrobić, w prawym trójkącie a, n, m znajdź nieznaną przeciwprostokątną: m² = n² + a². Zastąp znane wartości i oblicz pierwiastek kwadratowy. Wynikowy wynik będzie pierwszą przekątną równoległościanu m.
5. Podobnie narysuj stopniowo wszystkie pozostałe trzy przekątne równoległościanu. Ponadto dla wszystkich wykonaj dodatkową konstrukcję przekątnych sąsiednich ścian. Patrząc na powstałe trójkąty prostokątne i stosując twierdzenie Pitagorasa, odkryj wartości pozostałych przekątnych prostopadłościanu.
Wideo na ten temat
Wiele rzeczywistych obiektów ma kształt równoległościanu. Przykładami są pokój i basen. Części o tym kształcie nie są rzadkością w przemyśle. Z tego powodu często pojawia się zadanie znalezienia objętości danej figury.
Instrukcje
1. Równoległościan to pryzmat, którego podstawą jest równoległobok. Równoległościan ma ściany – wszystkie płaszczyzny tworzące tę figurę. Każdy z nich ma sześć ścian i wszystkie są równoległobokami. Jego przeciwne strony są równe i równoległe do siebie. Ponadto ma przekątne, które przecinają się w jednym punkcie i przecinają się w nim na pół.
2. Istnieją 2 rodzaje równoległościanów. W pierwszym przypadku wszystkie ściany są równoległobokami, a w drugim prostokątami. Ostatni nazywa się prostokątnym równoległościanem. Wszystkie jego ściany są prostokątne, a ściany boczne są prostopadłe do podstawy. Jeśli prostokątny równoległościan ma ściany, których podstawy są kwadratami, wówczas nazywa się go sześcianem. W tym przypadku jego ściany i krawędzie są równe. Krawędź to bok dowolnego wielościanu, który zawiera równoległościan.
3. Aby znaleźć objętość równoległościanu, musisz znać obszar jego podstawy i wysokość. Objętość wyznacza się na podstawie tego, który konkretny równoległościan pojawia się w warunkach zadania. Zwykły równoległościan ma u podstawy równoległobok, natomiast prostokątny ma prostokąt lub kwadrat, który niezmiennie ma kąty proste. Jeśli u podstawy równoległościanu znajduje się równoległobok, wówczas jego objętość określa się w następujący sposób: V = S * H, gdzie S jest polem podstawy, H jest wysokością równoległościanu. Wysokość równoległościanu jest zwykle jego boczną krawędzią. U podstawy równoległościanu może znajdować się również równoległobok, który nie jest prostokątem. Z przebiegu planimetrii wiadomo, że pole równoległoboku jest równe: S=a*h, gdzie h jest wysokością równoległoboku, a jest długością podstawy, tj. :V=a*hp*H
4. Jeżeli zachodzi drugi przypadek, gdy podstawą równoległościanu jest prostokąt, wówczas objętość oblicza się według tego samego wzoru, ale pole podstawy oblicza się w nieco inny sposób: V=S*H,S= a*b, gdzie aib to boki odpowiednio prostokąta i krawędzi równoległościanu.V=a*b*H
5. Aby znaleźć objętość sześcianu, należy kierować się prymitywnymi metodami logicznymi. Ponieważ wszystkie ściany i krawędzie sześcianu są równe, a u podstawy sześcianu znajduje się kwadrat, kierując się powyższymi wzorami, możemy wyprowadzić następujący wzór: V = a^3
Zamknięta figura geometryczna utworzona przez dwie pary równoległych odcinków o tej samej długości leżących naprzeciw siebie nazywa się równoległobokiem. Równoległobok, którego wszystkie kąty są równe 90°, nazywany jest również prostokątem. Na tym rysunku możesz narysować dwa odcinki o tej samej długości, łączące przeciwne wierzchołki - przekątne. Długość tych przekątnych oblicza się kilkoma metodami.
Instrukcje
1. Jeśli znane są długości 2 sąsiednich boków prostokąt(A i B), wówczas długość przekątnej (C) jest bardzo prosta do określenia. Wyjdź z faktu, że przekątna leży naprzeciwko kąta prostego w trójkącie utworzonym przez niego i te dwa boki. Dzięki temu możemy zastosować twierdzenie Pitagorasa w obliczeniach i obliczyć długość przekątnej, znajdując pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów długości boków wiodących: C = v (A? + B?).
2. Jeśli znana jest długość tylko jednego boku prostokąt(A), a także wielkość kąta (?), który z nim tworzy przekątna, to do obliczenia długości tej przekątnej (C) będziesz musiał skorzystać z jednej z bezpośrednich funkcji trygonometrycznych - cosinusa. Podziel długość boku wiodącego przez cosinus słynnego kąta - będzie to pożądana długość przekątnej: C=A/cos(?).
3. Jeżeli prostokąt jest określony przez współrzędne jego wierzchołków, to zadanie obliczenia długości jego przekątnej sprowadzi się do znalezienia odległości między dwoma punktami tego układu współrzędnych. Zastosuj twierdzenie Pitagorasa do trójkąta tworzącego rzut przekątnej na każdą z osi współrzędnych. Możliwe jest, że prostokąt o współrzędnych dwuwymiarowych tworzą wierzchołki A(X?;Y?), B(X?;Y?), C(X?;Y?) i D(X?;Y? ). Następnie należy obliczyć odległość pomiędzy punktami A i C. Długość rzutu tego odcinka na oś X będzie równa modułowi różnicy współrzędnych |X?-X?|, a rzutowi na oś Y – |T?-T?|. Kąt między osiami wynosi 90°, z czego wynika, że te dwa rzuty są ramionami, a długość przekątnej (przeciwprostokątnej) jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów ich długości: AC=v(( X?-X?)?+(Y?- Y?)?).
4. Aby znaleźć przekątną prostokąt w trójwymiarowym układzie współrzędnych postępujemy analogicznie jak w kroku poprzednim, dodając jedynie do wzoru długość rzutu na trzecią oś współrzędnych: AC=v((X?-X?)?+(Y ?-Y?)?+(Z?- Z?)?).
Wideo na ten temat
W pamięci wielu pozostaje matematyczny żart: spodnie pitagorejskie są równe we wszystkich kierunkach. Użyj go do obliczeń przekątna prostokąt .
Będziesz potrzebować
- Kartka papieru, linijka, ołówek, kalkulator z funkcją obliczania pierwiastków.
Instrukcje
1. Prostokąt to czworokąt, którego kąty są dobre. Przekątna prostokąt- odcinek prosty łączący jego dwa przeciwległe wierzchołki.
2. Na kartce papieru opartej na linijce i ołówku narysuj dowolny prostokąt ABCD. Lepiej jest to zrobić na kwadratowej kartce notesu - łatwiej będzie narysować kąty proste. Połącz wierzchołki odcinkiem prostokąt A i C. Wynikowy odcinek AC to przekątna Yu prostokąt ABCD.
3. Notatka, przekątna AC dzieli prostokąt ABCD na trójkąty ABC i ACD. Powstałe trójkąty ABC i ACD są trójkątami prostokątnymi, ponieważ kąty ABC i ADC są równe 90 stopni (z definicji prostokąt). Pamiętaj o twierdzeniu Pitagorasa - kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg.
4. Przeciwprostokątna to bok trójkąta leżący naprzeciwko kąta prostego. Nogi to boki trójkąta sąsiadujące z kątem prostym. W odniesieniu do trójkątów ABC i ACD: AB i BC, AD i DC są nogami, AC jest przeciwprostokątną uniwersalną obu trójkątów (pożądane przekątna). W rezultacie AC kwadrat = kwadrat AB + kwadrat BC lub AC kwadrat = kwadrat AD + kwadrat DC. Zastąp długości boków prostokąt do powyższego wzoru i oblicz długość przeciwprostokątnej (przekątna prostokąt).
5. Powiedzmy, że strony prostokąt ABCD są równe następującym wartościom: AB = 5 cm i BC = 7 cm. Kwadrat przekątnej AC danego prostokąt obliczone przy użyciu twierdzenia Pitagorasa: AC kwadrat = kwadrat AB + kwadrat BC = 52+72 = 25 + 49 = 74 cm2. Za pomocą kalkulatora oblicz pierwiastek kwadratowy z 74. Powinieneś otrzymać 8,6 cm (wartość zaokrąglona). Należy pamiętać, że zgodnie z jedną z właściwości prostokąt, jego przekątne są równe. Zatem długość drugiej przekątnej BD prostokąt ABCD jest równe długości przekątnej AC. W powyższym przykładzie wartość ta wynosi 8,6 cm.
Wideo na ten temat
Wskazówka 6: Jak znaleźć przekątną równoległoboku, mając dane boki
Równoległobok to czworokąt, którego przeciwne strony są równoległe. Linie proste łączące jego przeciwne kąty nazywane są przekątnymi. Ich długość zależy nie tylko od długości boków figury, ale także od wartości kątów w wierzchołkach tego wielokąta, dlatego nie znając prawdziwości jednego z kątów, obliczamy długości przekątnych jest dozwolone tylko w wyjątkowych przypadkach. Są to szczególne przypadki równoległoboków - kwadrat i prostokąt.
Instrukcje
1. Jeśli długości wszystkich boków równoległoboku są identyczne (a), wówczas figurę tę można również nazwać kwadratem. Wartości wszystkich jego kątów są równe 90°, a długości przekątnych (L) są identyczne i można je obliczyć za pomocą twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego. Pomnóż długość boku kwadratu przez pierwiastek z dwóch - wynikiem będzie długość każdej z jego przekątnych: L=a*?2.
2. Jeżeli o równoległoboku wiadomo, że jest to prostokąt o długości (a) i szerokości (b) wskazanych w warunkach, to w tym przypadku długości przekątnych (L) będą równe. I tutaj także skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta, w którym przeciwprostokątna jest przekątną, a ramiona są dwoma sąsiadującymi bokami czworoboku. Oblicz żądaną wartość, biorąc pierwiastek z sumy kwadratu szerokości i wysokości prostokąta: L=?(a?+b?).
3. We wszystkich innych przypadkach sama znajomość długości boków wystarczy, aby wyznaczyć wartość obejmującą długości obu przekątnych jednocześnie - suma ich kwadratów z definicji jest równa dwukrotności sumy kwadratów boku długości. Jeżeli oprócz długości dwóch sąsiednich boków równoległoboku (a i b) znany jest także kąt między nimi (?), to pozwoli nam to obliczyć długości dowolnego odcinka łączącego przeciwległe narożniki równoległoboku postać. Znajdź długość przekątnej (L?), leżącej naprzeciw podanego kąta, korzystając z twierdzenia o cosinusie - dodaj kwadraty długości sąsiednich boków, odejmij od sumy iloczyn tych samych długości przez cosinus kąta między nimi , a z otrzymanej wartości wyciągnąć pierwiastek kwadratowy: L? = ?(a?+b?-2*a*b*cos(?)). Aby obliczyć długość kolejnej przekątnej (L?), możesz skorzystać z własności równoległoboku podanej na początku tego kroku - podwoić sumę kwadratów długości 2 boków, odejmij kwadrat obliczonej przekątnej od total i wyjmij pierwiastek z wynikowej wartości. Ogólnie wzór ten można zapisać w następujący sposób: L? = ?(a?+b?- L??) = ?(a?+b?-(a?+b?-2*a*b*cos(?))) = ?(a?+b?- a?-b?+2*a*b*cos(?)) = ?(2*a*b*cos(?)).