Co to jest podobieństwo figur? Własności figur podobnych

Geometria

Podobieństwo postaci

Własności figur podobnych

Twierdzenie. Kiedy figura jest podobna do figury, a figura jest podobna do figury, wówczas liczby i podobny.
Z właściwości transformacji podobieństwa wynika, że dla figur podobnych odpowiednie kąty są równe, a odpowiadające im odcinki są proporcjonalne. Na przykład w podobnych trójkątach ABC I :
; ; ;
.

Znaki podobieństwa trójkątów

Twierdzenie 1. Jeżeli dwa kąty jednego trójkąta są odpowiednio równe dwóm kątom drugiego trójkąta, to takie trójkąty są podobne.
Twierdzenie 2. Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta i kąty utworzone przez te boki są równe, to trójkąty są podobne.
Twierdzenie 3. Jeżeli boki jednego trójkąta są proporcjonalne do boków drugiego trójkąta, to takie trójkąty są podobne.
Z twierdzeń tych wynikają fakty przydatne do rozwiązywania problemów.
1. Prosta równoległa do boku trójkąta i przecinająca jego dwa pozostałe boki odcina z niego trójkąt podobny do tego.
Na obrazku.

2. W przypadku podobnych trójkątów odpowiednie elementy (wysokości, środkowe, dwusieczne itp.) są powiązane jako odpowiednie boki.
3. W przypadku podobnych trójkątów obwody są powiązane jako odpowiadające im boki.
4. Jeśli O- punkt przecięcia przekątnych trapezu ABCD, To .
Na rysunku w trapezie ABCD:.

5. Jeśli kontynuacja boków trapezu ABCD przecinają się w jednym punkcie K, następnie (patrz rysunek) .
.

Podobieństwo trójkątów prostokątnych

Twierdzenie 1. Jeśli trójkąty prostokątne mają równe kąty ostre, to są podobne.
Twierdzenie 2. Jeżeli dwie nogi jednego trójkąta prostokątnego są proporcjonalne do dwóch nóg drugiego trójkąta prostokątnego, to trójkąty te są podobne.
Twierdzenie 3. Jeżeli noga i przeciwprostokątna jednego trójkąta prostokątnego są proporcjonalne do nogi i przeciwprostokątnej drugiego trójkąta prostokątnego, to takie trójkąty są podobne.
Twierdzenie 4. Wysokość trójkąta prostokątnego narysowanego z wierzchołka kąta prostego dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty prostokątne podobne do tego.
Na obrazku .

Z podobieństwa trójkątów prostokątnych wynika co następuje.
1. Noga trójkąta prostokątnego to średnia proporcjonalna między przeciwprostokątną a rzutem tej nogi na przeciwprostokątną:
; ,
Lub
; .
2. Wysokość trójkąta prostokątnego wyciągniętego z wierzchołka kąta prostego jest średnią proporcjonalną między rzutami nóg na przeciwprostokątną:
, Lub .
3. Własność dwusiecznej trójkąta:
dwusieczna trójkąta (dowolna) dzieli przeciwny bok trójkąta na odcinki proporcjonalne do pozostałych dwóch boków.
Na zdjęciu w B.P.- dwusieczna.
, Lub .

Podobieństwa między trójkątami równobocznymi i równoramiennymi

1. Wszystkie trójkąty równoboczne są podobne.
2. Jeśli trójkąty równoramienne mają równe kąty między bokami, to są podobne.
3. Jeśli trójkąty równoramienne mają proporcjonalną podstawę i bok, to są podobne.

ABSTRAKCYJNY

Na temat: „Podobieństwo liczb”

Wykonane:

uczeń

Sprawdzony:

1. Transformacja podobieństwa

2. Własności transformacji podobieństwa

3. Podobieństwo figur

4. Znak podobieństwa trójkątów pod dwoma kątami

5. Znak podobieństwa trójkątów po dwóch bokach i kąt między nimi

6. Znak podobieństwa trójkątów z trzech stron

7. Podobieństwo trójkątów prostokątnych

8. Kąty wpisane w okrąg

9. Proporcjonalność odcinków cięciw i siecznych koła

10. Problemy na temat „Podobieństwo liczb”

1. TRANSFORMACJA PODOBIEŃSTWA

Przekształceniem figury F w figurę F” nazywamy transformacją podobieństwa, jeśli podczas tej transformacji odległości między punktami zmienią się taką samą liczbę razy (rys. 1). Oznacza to, że jeśli dowolne punkty X, Y figurę F, podczas transformacji podobieństwa zamień na punkty X”, Y”figurę F”, wówczas X”Y” = k-XY, a liczba k jest taka sama dla wszystkich punktów X, Y. Liczba k nazywana jest współczynnik podobieństwa. Dla k = l transformacja podobieństwa jest oczywiście ruchem.

Niech F będzie daną figurą, a O punktem stałym (rys. 2). Poprowadźmy promień OX przez dowolny punkt X figury F i narysujmy na nim odcinek OX” równy k·OX, gdzie k jest liczbą dodatnią. Transformacja figury F, w której każdy z jej punktów X zmierza do punktu X”, skonstruowanego we wskazany sposób, nazywa się jednorodnością względem środka O. Liczbę k nazywa się współczynnikiem jednorodności, cyfry F i F” nazywa się homotetycznymi.

Twierdzenie 1. Homotelia jest transformacją podobieństwa

Dowód. Niech O będzie centrum jednorodności, k będzie współczynnikiem jednorodności, X i Y będą dwoma dowolnymi punktami figury (ryc. 3)

Ryc.3 Ryc.4

Przy jednorodności punkty X i Y przechodzą w punkty X" i Y" odpowiednio na półprostych OX i OY oraz OX" = k·OX, OY" = k·OY. Oznacza to równości wektorów OX" = kOX, OY" = kOY.

Odejmując te równości wyraz po wyrazie, otrzymujemy: OY"-OX" = k (OY-OX).

Ponieważ OY" - OX"= X"Y", OY -OX=XY, to X"Y" = kХY. Oznacza to /X"Y"/=k /XY/, tj. X"Y" = kXY. Homotetyka jest więc przekształceniem podobieństwa. Twierdzenie zostało udowodnione.

Transformacja podobieństwa jest szeroko stosowana w praktyce przy wykonywaniu rysunków części maszyn, konstrukcji, planów terenu itp. Obrazy te są podobnymi transformacjami wyimaginowanych obrazów w pełnym rozmiarze. Współczynnik podobieństwa nazywany jest skalą. Na przykład, jeśli fragment terenu jest przedstawiony w skali 1:100, oznacza to, że jeden centymetr na planie odpowiada 1 m w terenie.

Zadanie. Na rycinie 4 przedstawiono plan osiedla w skali 1:1000. Określ wymiary osiedla (długość i szerokość).

Rozwiązanie. Długość i szerokość osiedla na planie wynoszą 4 cm i 2,7 cm.Ponieważ plan jest wykonany w skali 1:1000, wymiary osiedla wynoszą odpowiednio 2,7 x 1000 cm = 27 m, 4 x 100 cm = 40 m.

2. WŁAŚCIWOŚCI TRANSFORMACJI PODOBIEŃSTWA

Podobnie jak w przypadku ruchu, okazuje się, że podczas transformacji podobieństwa trzy punkty A, B, C leżące na tej samej prostej przekształcają się w trzy punkty A 1, B 1, C 1, również leżące na tej samej prostej. Ponadto, jeśli punkt B leży pomiędzy punktami A i C, to punkt B 1 leży pomiędzy punktami A 1 i C 1. Wynika z tego, że transformacja podobieństwa przekształca linie w linie proste, półproste w półproste, a segmenty w segmenty.

Udowodnimy, że transformacja podobieństwa zachowuje kąty między półprostymi.

Rzeczywiście, niech kąt ABC zostanie przekształcony poprzez transformację podobieństwa ze współczynnikiem k na kąt A 1 B 1 C 1 (ryc. 5). Poddajmy kąt ABC transformacji jednorodności względem jego wierzchołka B ze współczynnikiem jednorodności k. W takim przypadku punkty A i C zostaną przesunięte do punktów A 2 i C 2. Trójkąty A 2 BC 2 i A 1 B 1 C 1 są równe według trzeciego kryterium. Z równości trójkątów wynika, że kąty A 2 BC 2 i A 1 B 1 C 1 są równe. Oznacza to, że kąty ABC i A 1 B 1 C 1 są równe, co należało udowodnić.

3. PODOBIEŃSTWO FIGUR

Dwie figury nazywane są podobnymi, jeśli zostaną przekształcone w siebie poprzez transformację podobieństwa. Aby wskazać podobieństwo figur, używana jest specjalna ikona: ∞. Oznaczenie F∞F” brzmi następująco: „Rysunek F jest podobny do figury F”.”

Udowodnijmy, że jeśli figura F 1 jest podobna do figury F 2 i figura F 2 jest podobna do figury F 3, to liczby F 1 i F 3 są podobne.

Niech X 1 i Y 1 będą dwoma dowolnymi punktami figury F 1. Transformacja podobieństwa przekształcająca figurę F 1 w F 2 przekształca te punkty w punkty X 2, Y 2, dla których X 2 Y 2 = k 1 X 1 Y 1.

Transformacja podobieństwa przekształcająca figurę F 2 w F 3 przekształca punkty X 2, Y 2 w punkty X 3, Y 3, dla których X 3 Y 3 = - k 2 X 2 Y 2.

Z równości

X 2 Y 2= kX 1 Y 1, X 3 Y 3 = k 2 X 2 Y 2

wynika z tego, że X 3 Y 3 - k 1 k 2 X 1 Y 1 . Oznacza to, że przekształcenie figury F 1 w F 3, uzyskane poprzez wykonanie kolejno dwóch przekształceń podobieństwa, jest podobieństwem. W konsekwencji liczby F 1 i F 3 są podobne, co należało wykazać.

W zapisie podobieństwa trójkątów: ΔABC∞ΔA 1 B 1 C 1 - przyjmuje się, że wierzchołki połączone transformacją podobieństwa znajdują się w odpowiednich miejscach, czyli A przechodzi do A 1, B do B 1 i C do C 1.

Z właściwości transformacji podobieństwa wynika, że dla figur podobnych odpowiednie kąty są równe, a odpowiadające im odcinki są proporcjonalne. W szczególności dla podobnych trójkątów ABC i A 1 B 1 C 1

A=A 1, B=B 1, C=C 1

4. ZNACZENIE PODOBIEŃSTWA TRÓJKĄTÓW WEDŁUG DWÓCH KĄTÓW

Twierdzenie 2. Jeżeli dwa kąty jednego trójkąta są równe dwóm kątom innego trójkąta, to takie trójkąty są podobne.

Dowód. Niech trójkąty ABC i A 1 B 1 C 1 A=A 1, B=B 1. Udowodnijmy, że ΔАВС~ΔА 1 В 1 С 1.

Pozwalać . Poddajmy trójkąt A 1 B 1 C 1 transformacji podobieństwa ze współczynnikiem podobieństwa k, np. jednorodnością (ryc. 6). W tym przypadku otrzymujemy pewien trójkąt A 2 B 2 C 2 równy trójkątowi ABC. Rzeczywiście, ponieważ transformacja podobieństwa zachowuje kąty, wówczas A 2 = A 1, B 2 = B 1. Oznacza to, że trójkąty ABC i A mają 2 B 2 C 2 A = A 2 , B = B 2 . Następnie A 2 B 2 = kA 1 B 1 =AB. W konsekwencji trójkąty ABC i A 2 B 2 C 2 są równe według drugiego kryterium (przy boku i przyległych kątach).

Ponieważ trójkąty A 1 B 1 C 1 i A 2 B 2 C 2 są homotetyczne, a zatem podobne, a trójkąty A 2 B 2 C 2 i ABC są równe, a zatem również podobne, to trójkąty A 1 B 1 C 1 i ABC są podobne . Twierdzenie zostało udowodnione.

Zadanie. Prosta równoległa do boku AB trójkąta ABC przecina bok AC w punkcie A 1 i bok BC w punkcie B 1. Udowodnić, że Δ ABC ~ ΔA 1 B 1 C.

Rozwiązanie (ryc. 7). Trójkąty ABC i A 1 B 1 C mają wspólny kąt w wierzchołku C, a kąty CA 1 B 1 i CAB są równe odpowiednim kątom równoległych AB i A 1 B 1 z sieczną AC. Dlatego ΔАВС~ΔА 1 В 1 С pod dwoma kątami.

5. ZNACZENIE PODOBIEŃSTWA TRÓJKĄTÓW PO DWÓCH STRONACH I KĄTA MIĘDZY NIMI

Twierdzenie 3. Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków innego trójkąta i kąty utworzone przez te boki są równe, to trójkąty są podobne.

Dowód (podobny do dowodu Twierdzenia 2). Niech trójkąty ABC i A 1 B 1 C 1 C=C 1 i AC=kA 1 C 1, BC=kB 1 C 1. Udowodnijmy, że ΔАВС~ΔА 1 В 1 С 1.

Poddajmy trójkąt A 1 B 1 C 1 transformacji podobieństwa ze współczynnikiem podobieństwa k, np. jednorodnością (ryc. 8).

W tym przypadku otrzymujemy pewien trójkąt A 2 B 2 C 2 równy trójkątowi ABC. Rzeczywiście, ponieważ transformacja podobieństwa zachowuje kąty, wówczas C 2 = = C 1 . Oznacza to, że trójkąty ABC i A mają 2 B 2 C 2 C=C 2. Następnie A 2 do 2 = kA 1 do 1 =AC, B 2 do 2 = kB 1 do 1 =BC. Zatem trójkąty ABC i A 2 B 2 C 2 są równe według pierwszego kryterium (dwa boki i kąt między nimi).

Zadanie. W trójkącie ABC z kątem ostrym C narysowane są wysokości AE i BD (rys. 9). Udowodnić, że ΔABC~ΔEDC.

Rozwiązanie. Trójkąty ABC i EDC mają wspólny kąt wierzchołkowy C. Udowodnimy proporcjonalność boków trójkątów sąsiadujących z tym kątem. Mamy EC = AC cos γ, DC = BC cos γ. Oznacza to, że boki sąsiadujące z kątem C są proporcjonalne dla trójkątów. Oznacza to ΔABC~ΔEDC po dwóch stronach i kąt między nimi.

6. ZNACZENIE PODOBIEŃSTWA TRÓJKĄTÓW TRÓJKĄTNYCH

Twierdzenie 4. Jeżeli boki jednego trójkąta są proporcjonalne do boków innego trójkąta, to takie trójkąty są podobne.

Dowód (podobny do dowodu Twierdzenia 2). Niech trójkąty ABC i A 1 B 1 C 1 AB = kA 1 B 1, AC = kA 1 C 1, BC = kB 1 C 1. Udowodnijmy, że ΔАВС~ΔА 1 В 1 С 1.

Poddajmy trójkąt A 1 B 1 C 1 transformacji podobieństwa ze współczynnikiem podobieństwa k, np. jednorodnością (ryc. 10). W tym przypadku otrzymujemy pewien trójkąt A 2 B 2 C 2 równy trójkątowi ABC. Rzeczywiście, w przypadku trójkątów odpowiednie boki są równe:

A 2 B 2 = kA 1 B 1 = AB, A 2 do 2 = kA 1 do 1 =AC, B 2 do 2 = kB 1 do 1 =BC.

W konsekwencji trójkąty są równe według trzeciego kryterium (z trzech stron).

Zadanie. Udowodnij, że obwody trójkątów podobnych są powiązane jako odpowiednie boki.

Rozwiązanie. Niech ABC i A 1 B 1 C 1 będą trójkątami podobnymi. Wtedy boki trójkąta A 1 B 1 C 1 są proporcjonalne do boków trójkąta ABC, czyli A 1 B 1 =kAB, B 1 C 1 = kBC, A 1 C 1 =kAC. Dodając te równości termin po wyrazie, otrzymujemy:

ZA 1 B 1 + B 1 Do 1 +A 1 do 1 =k(AB+BC+AC).

to znaczy, że obwody trójkątów są powiązane jako odpowiednie boki.

7. PODOBIEŃSTWO TRÓJKĄTÓW PROSTOKĄTNYCH

Trójkąt prostokątny ma jeden kąt prosty. Zatem zgodnie z Twierdzeniem 2, aby dwa trójkąty prostokątne były podobne, wystarczy, aby każdy z nich miał równy kąt ostry.

Stosując ten test na podobieństwo trójkątów prostokątnych, udowodnimy pewne zależności w trójkątach.

Niech ABC będzie trójkątem prostokątnym o kącie prostym C. Wyznaczmy wysokość CD z wierzchołka kąta prostego (rys. 11).

Trójkąty ABC i CBD mają wspólny kąt w wierzchołku B. Są więc podobne: ΔABC~ΔCBD. Z podobieństwa trójkątów wynika, że odpowiadające im boki są proporcjonalne:

Zależność tę zwykle formułuje się w następujący sposób: ramię trójkąta prostokątnego jest średnią proporcjonalną między przeciwprostokątną a rzutem tej nogi na przeciwprostokątną.

Trójkąty prostokątne ACD i CBD są również podobne. Mają równe kąty ostre w wierzchołkach A i C. Z podobieństwa tych trójkątów wynika proporcjonalność ich boków:

Zależność tę zwykle formułuje się w następujący sposób: wysokość trójkąta prostokątnego narysowanego z wierzchołka kąta prostego jest średnią proporcjonalną pomiędzy rzutami nóg I na przeciwprostokątną.

Udowodnijmy następującą własność dwusiecznej trójkąta: dwusieczna trójkąta dzieli przeciwny bok na odcinki proporcjonalne do pozostałych dwóch boków.

Niech CD będzie dwusieczną trójkąta ABC (rys. 12). Jeśli trójkąt ABC jest równoramienny o podstawie AB, wówczas wskazana właściwość dwusiecznej jest oczywista, ponieważ w tym przypadku dwusieczna CD jest jednocześnie medianą.

Rozważmy ogólny przypadek, gdy AC≠BC. Spuśćmy prostopadłe AF i BE z wierzchołków A i B na prostą CD.

Trójkąty prostokątne ACF i VSE są podobne, ponieważ mają równe kąty ostre w wierzchołku C. Z podobieństwa trójkątów wynika proporcjonalność boków:

Trójkąty prostokątne ADF i BDE są również podobne. Ich kąty w wierzchołku D są równe kątom pionowym. Z podobieństwa trójkątów wynika proporcjonalność boków:

Porównując tę równość z poprzednią, otrzymujemy:

oznacza to, że odcinki AD i BD są proporcjonalne do boków AC i BC, co należało udowodnić.

8. KĄTY ZAWARTE W KOLE

Kąt dzieli płaszczyznę na dwie części. Każda z części nazywana jest kątem płaskim. Na rysunku 13 zacieniony jest jeden z kątów płaskich o bokach a i b. Kąty płaskie o wspólnych bokach nazywane są dodatkowymi.

Jeśli kąt płaski jest częścią półpłaszczyzny, wówczas jego miara stopnia nazywana jest miarą stopnia zwykłego kąta o tych samych bokach. Jeżeli kąt płaski zawiera półpłaszczyznę, to za miarę jego stopnia przyjmuje się 360° - α, gdzie α jest miarą stopnia dodatkowego kąta płaskiego (rys. 14).

Ryż. 13 Ryc.14

Kąt środkowy w okręgu to kąt płaski z wierzchołkiem w środku. Część koła znajdująca się wewnątrz kąta płaskiego nazywana jest łukiem koła odpowiadającym temu kątowi centralnemu (ryc. 15). Miara stopnia łuku koła jest miarą stopnia odpowiadającego mu kąta środkowego.

Ryż. 15 Ryc. 16

Kąt, którego wierzchołek leży na okręgu i którego boki przecinają ten okrąg, nazywa się wpisanym w okrąg. Kąt BAC na rysunku 16 jest wpisany w okrąg. Jego wierzchołek A leży na okręgu, a jego boki przecinają okrąg w punktach B i C. Mówi się również, że kąt A opiera się na cięciwie BC. Prosta BC dzieli okrąg na dwa łuki. Kąt środkowy odpowiadający kątowi tych łuków, który nie zawiera punktu A, nazywany jest kątem środkowym odpowiadającym danemu kątowi wpisanemu.

Twierdzenie 5. Kąt wpisany w okrąg jest równy połowie odpowiedniego kąta środkowego.

Dowód. Rozważmy najpierw szczególny przypadek, gdy jeden z boków kąta przechodzi przez środek koła (ryc. 17, a). Trójkąt AOB jest równoramienny, ponieważ jego boki OA i OB mają równe promienie. Zatem kąty A i B trójkąta są równe. A ponieważ ich suma jest równa kątowi zewnętrznemu trójkąta przy wierzchołku O, to kąt B trójkąta jest równy połowie kąta AOC, co należało udowodnić.

Przypadek ogólny sprowadza się do rozważanego przypadku specjalnego poprzez narysowanie średnicy pomocniczej BD (ryc. 17, b, c). W przypadku przedstawionym na rysunku 17, b, ABC = CBD + ABD = ½ COD + ½ AOD = ½ AOC.

W przypadku przedstawionym na rysunku 17, c,

ABC= CBD - ABD = ½ COD - ½ AOD = ½ AOC.

Twierdzenie zostało całkowicie udowodnione.

9. PROPORCJONALNOŚĆ SEGMENTÓW AKORDÓW I SEKANÓW KOŁA

Jeżeli cięciwy AB i CD okręgu przecinają się w punkcie S

ToAS·BS=CS·DS.

Udowodnijmy najpierw, że trójkąty ASD i CSB są podobne (rys. 19). Kąty wpisane DCB i DAB są równe zgodnie z wnioskiem z Twierdzenia 5. Kąty ASD i BSC są równe kątom pionowym. Z równości wskazanych kątów wynika, że trójkąty ASZ i CSB są podobne.

Z podobieństwa trójkątów wynika proporcja

AS BS = CS DS, i to właśnie musieliśmy udowodnić

Ryc.19 Ryc.20

Jeżeli z punktu P do okręgu poprowadzono dwie sieczne przecinające okrąg odpowiednio w punktach A, B i C, D, to

Niech punkty A i C będą punktami przecięcia siecznych z okręgiem najbliższym punktu P (ryc. 20). Trójkąty PAD i PCB są podobne. Mają one wspólny kąt w wierzchołku P, a kąty w wierzchołkach B i D są równe zgodnie z właściwością kątów wpisanych w okrąg. Z podobieństwa trójkątów wynika proporcja

Stąd PA·PB=PC·PD, co należało udowodnić.

10. Problemy na temat „Podobieństwo liczb”

Na temat: „Podobieństwo liczb”

Wykonane:

Sprawdzony:

1. Transformacja podobieństwa

2. Własności transformacji podobieństwa

3. Podobieństwo figur

4. Znak podobieństwa trójkątów pod dwoma kątami

5. Znak podobieństwa trójkątów po dwóch bokach i kąt między nimi

6. Znak podobieństwa trójkątów z trzech stron

7. Podobieństwo trójkątów prostokątnych

8. Kąty wpisane w okrąg

9. Proporcjonalność odcinków cięciw i siecznych koła

10. Problemy na temat „Podobieństwo liczb”

1. TRANSFORMACJA PODOBIEŃSTWA

Przekształceniem figury F w figurę F” nazywamy transformacją podobieństwa, jeśli podczas tej transformacji odległości między punktami zmienią się taką samą liczbę razy (rys. 1). Oznacza to, że jeśli dowolne punkty X, Y figurę F przekształcamy na punkty X", Y" figury F", wówczas X"Y" = k-XY, a liczba k jest taka sama dla wszystkich punktów X, Y. Liczba k nazywana jest współczynnikiem podobieństwa. Dla k = l transformacja podobieństwa jest oczywiście ruchem.

Twierdzenie 1. Homotelia jest transformacją podobieństwa

Dowód. Niech O będzie centrum jednorodności, k będzie współczynnikiem jednorodności, X i Y będą dwoma dowolnymi punktami figury (ryc. 3)

Ryc.3 Ryc.4

Przy jednorodności punkty X i Y przechodzą w punkty X" i Y" odpowiednio na półprostych OX i OY oraz OX" = k·OX, OY" = k·OY. Oznacza to równości wektorów OX" = kOX, OY" = kOY.

Odejmując te równości wyraz po wyrazie, otrzymujemy: OY"-OX" = k (OY-OX).

Ponieważ OY" - OX"= X"Y", OY -OX=XY, to X"Y" = kХY. Oznacza to /X"Y"/=k /XY/, tj. X"Y" = kXY. Homotetyka jest więc przekształceniem podobieństwa. Twierdzenie zostało udowodnione.

Zadanie. Na rycinie 4 przedstawiono plan osiedla w skali 1:1000. Określ wymiary osiedla (długość i szerokość).

2. WŁAŚCIWOŚCI TRANSFORMACJI PODOBIEŃSTWA

Udowodnimy, że transformacja podobieństwa zachowuje kąty między półprostymi.

Mediany trójkątów; 4. , gdzie BH i B1H1 to wysokości trójkątów. §5. Praca eksperymentalna Cel pracy eksperymentalnej: identyfikacja cech metodologicznych studiowania tematu „Podobne trójkąty” w szkole średniej. Pomysł: aby zidentyfikować cechy metodyczne, należy przeprowadzić kilka lekcji z wykorzystaniem opracowanej metodologii, a na koniec szkolenia przeprowadzić test, po analizie którego można ocenić...

Pozytywizm. Dla pozytywistów tylko to, co można uzyskać metodami ilościowymi, jest prawdziwe i sprawdzone. Za naukę uznaje się jedynie matematykę i nauki przyrodnicze, a nauki społeczne spycha się do sfery mitologii. Neopozytywizm Neopozytywiści widzą słabość pedagogiki w tym, że dominują w niej bezużyteczne idee i abstrakcje, a nie realne fakty. Jasny...

Wiemy już, co to są kształty równe: są to kształty, które można łączyć poprzez nakładanie się. Ale w życiu częściej spotykamy się nie z równymi sobie, ale z podobnymi postaciami. Na przykład zarówno moneta, jak i Słońce mają kształt koła. Są podobni, ale nie równi. Takie liczby nazywane są podobnymi. Na tej lekcji dowiemy się, jakie kształty nazywane są podobnymi i jakie mają właściwości.

Jeśli masz trudności ze zrozumieniem tematu, zalecamy obejrzenie lekcji i

Twierdzenie Talesa

Boki kąta są cięte równoległymi liniami prostymi na proporcjonalne części (patrz ryc. 5). To jest:

Podobną zależność można zapisać dla sumy długości odcinków:

Ryż. 5. Ilustracja do twierdzenia Talesa

Rozważmy dwa trójkąty i , których odpowiednie kąty są równe (patrz ryc. 6):

Ryż. 6. Trójkąty o równych kątach

Boki leżące naprzeciw równych kątów trójkątów nazywane są podobny.

Wymieńmy podobne boki: i (leżą naprzeciw równych kątów) i (leżą naprzeciw równych kątów) i (leżą naprzeciw równych kątów).

Definicja

Nazywa się dwa trójkąty podobny, jeśli odpowiednie kąty są równe, a boki podobne są proporcjonalne:

Ponadto , gdzie to jest współczynnik podobieństwa trójkąta.

Przykłady

Każda jednorodność jest podobieństwem.
Każdy ruch (w tym identyczny) można również uznać za transformację podobieństwa ze współczynnikiem k = 1 .

Podobne figury na obrazku mają te same kolory.

Powiązane definicje

Nieruchomości

W przestrzeniach metrycznych tak samo jak w N dwuwymiarowych przestrzeni Riemanna, pseudo-Riemanna i Finslera, podobieństwo definiuje się jako transformację, która przenosi metrykę przestrzeni w siebie aż do stałego współczynnika.

Zbiór wszystkich podobieństw n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej, pseudoeuklidesowej, riemannowskiej, pseudo-riemannowskiej lub Finslera to R-elementowa grupa przekształceń Liego, zwana grupą podobnych (homotetycznych) przekształceń odpowiedniej przestrzeni. W każdej z przestrzeni określonych typów R-member grupa podobnych transformacji Liego zawiera ( R− 1) -członkowa podgrupa normalna ruchów.

Zobacz też

Fundacja Wikimedia. 2010.

Zobacz, jakie „figury podobne” znajdują się w innych słownikach:

PODOBNE FIGURKI- figury, w których odpowiednie elementy liniowe są proporcjonalne, a kąty między nimi są równe, czyli przy tym samym kształcie mają różne rozmiary... Wielka encyklopedia politechniczna

Dwie figury homologiczne nazywane są grupą, jeśli odległości odpowiednich punktów od środka są proporcjonalne. Z tego jasno wynika, że figury G. są figurami podobnymi i podobnie położonymi, lub podobnymi i odwrotnie umiejscowionymi. Centrum homologii w tym... ... Słownik encyklopedyczny F.A. Brockhausa i I.A. Efron

Twierdzenie Pitagorasa jest jednym z podstawowych twierdzeń geometrii euklidesowej, ustalającym związek między bokami trójkąta prostokątnego. Spis treści 1 Oświadczenia 2 Dowody... Wikipedia

Tarcza Nalewki Uchwyt Tarczy Uchwyt Tarczy (motto)... Wikipedia

Słynna Sheela na Gig z kościoła w Kilpeck w Anglii Sheela na Gig (angielski: Sheela na Gig) rzeźbiarskie wizerunki nagich kobiet, zwykle powiększone w… Wikipedia

- ... Wikipedii

Już drugi raz planowałem wybrać się do kraju czarnych, nie zwracając uwagi na to, że tamtejszy piekielny klimat już przy pierwszej wyprawie omal mnie nie zabił. Wyruszyłem w tę podróż z bardzo mieszanymi uczuciami i nie mogłem się pozbyć różnych... ...zwierząt

Ogólna nazwa o stosunkowo jasnej treści i stosunkowo jasno określonym zakresie. P. to na przykład „pierwiastek chemiczny”, „prawo”, „siła grawitacyjna”, „astronomia”, „poezja” itp. Istnieje wyraźna granica pomiędzy tymi nazwami, które można nazwać P... Encyklopedia filozoficzna

Tutaj zebrano definicje terminów z planimetrii. Odniesienia do terminów w tym glosariuszu (na tej stronie) są zaznaczone kursywą. # A B C D E E E F G H I J K L M N O P R S ... Wikipedia

Tutaj zebrano definicje terminów z planimetrii. Odniesienia do terminów w tym glosariuszu (na tej stronie) są zaznaczone kursywą. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedia

Książki

Prorocy i cudotwórcy. Szkice o mistyce, V. E. Rozhnov. Moskwa, 1977. Polityczność. Obowiązek właściciela. Stan jest dobry. Spirytualizm i astrologia, teozofia i okultyzm – te słowa nieustannie można znaleźć na łamach magazynów i gazet…
Liczba, kształt, rozmiar. Na zajęcia z dziećmi w wieku od 4 do 5 lat. Książka z grą i naklejkami, Dorofeeva A.. Album „Konto. Formularz. Wielkość” z cyklu Szkoła Siedmiu Krasnoludków, piąty rok studiów, to poradnik rozwojowy, w którym każda lekcja prowadzona jest w zabawny sposób i nadal dostarcza dzieciom…