Weźmy dowolny kontur (G) i dowolną powierzchnię S w niejednorodnym polu elektrostatycznym (ryc. 3.7, a, b).
Następnie obieg wektora wzdłuż dowolnego konturu (Г) nazywany jest całką postaci:
a przepływ wektora FE przez dowolną powierzchnię S jest następującym wyrażeniem
Wektory i zawarte w tych wzorach są zdefiniowane w następujący sposób. W module są one równe elementarnej długości dl konturu (G) i polu powierzchni dS elementarnego pola powierzchni S. Kierunek wektora pokrywa się z kierunkiem przechodzenia po konturze (G), a wektor jest kierowany wzdłuż wektora normalnego do obszaru dS (ryc. 3.7).
W przypadku pola elektrostatycznego cyrkulacja wektora wzdłuż dowolnego zamkniętego konturu (G) jest równa stosunkowi pracy Akkrug sił pola potrzebnych do przemieszczenia ładunku punktowego q wzdłuż tego konturu do wartości ładunku i , zgodnie ze wzorem (3.20), będzie wynosić zero
Z teorii wiadomo, że jeśli dla dowolnego pola wektorowego cyrkulacja wektora po dowolnym zamkniętym konturze (G) jest równa zeru, to pole to jest potencjalne. Stąd, pole elektrostatyczne jest potencjalne, a znajdujące się w nim ładunki elektryczne mają energię potencjalną.
Jeśli weźmiemy pod uwagę, że gęstość linii określa wielkość wektora w danym punkcie pola, to strumień wektora będzie liczbowo równy liczbie N linii przecinających powierzchnię S.
Rysunek 3.8 pokazuje przykłady obliczania przepływu przez różne powierzchnie S (Rysunek 3.8, a, b, c, powierzchnia S jest płaska; Rysunek 3.8, d S jest powierzchnią zamkniętą). W tym drugim przypadku strumień przez zamkniętą powierzchnię wynosi zero, ponieważ liczba linii wchodzących () i wychodzących z niej () jest taka sama, ale są one pobierane z przeciwnymi znakami ( +>0, -<0).
Dla wektora możemy sformułować Twierdzenie Gaussa, który określa przepływ wektora przez dowolną zamkniętą powierzchnię.
Twierdzenie Gaussa w przypadku braku dielektryka (próżnia) jest sformułowany w następujący sposób: strumień wektora przez dowolną zamkniętą powierzchnię jest równy sumie algebraicznej wolnych ładunków objętych tą powierzchnią podzielonej przez .
Twierdzenie to jest konsekwencją prawa Coulomba i zasady superpozycji pól elektrostatycznych.
Pokażmy zasadność twierdzenia dla przypadku pola ładunku punktowego. Niech zamkniętą powierzchnią będzie kula o promieniu R, w środku której znajduje się punktowy ładunek dodatni q (ryc. 3.9, a).
Uzyskany wynik nie ulegnie zmianie, jeśli zamiast kuli wybierzemy dowolną zamkniętą powierzchnię (ryc. 3.9, b), ponieważ strumień wektora jest liczbowo równy liczbie linii przebijających powierzchnię oraz liczbie takich linii w przypadkach a i b jest takie samo.
To samo rozumowanie wykorzystując zasadę superpozycji pól elektrostatycznych można przeprowadzić w przypadku kilku ładunków padających na zamkniętą powierzchnię, co potwierdza twierdzenie Gaussa.
Wieża Gaussa dla wektora w obecności dielektryka. W tym przypadku oprócz ładunków swobodnych należy wziąć pod uwagę ładunki związane, które pojawiają się po przeciwnych stronach dielektryka, gdy jest on spolaryzowany w zewnętrznym elemencie elektrycznym (więcej szczegółów można znaleźć w rozdziale poświęconym dielektrykom). Dlatego twierdzenie Gaussa dla wektora w obecności dielektryka zostanie zapisane w następujący sposób:
gdzie po prawej stronie wzoru znajduje się suma algebraiczna ładunków swobodnych i związanych objętych powierzchnią S.
Ze wzoru (3.28) wynika fizyczne znaczenie twierdzenia Gaussa dla wektora : Źródłami wektora pola elektrostatycznego są ładunki swobodne i związane.
W szczególnym przypadku symetrycznego układu ładunków i dielektryka, w obecności symetrii osiowej lub sferycznej lub w przypadku izotropowego jednorodnego dielektryka, względna przenikalność dielektryczna ośrodka pozostaje stałą wartością, niezależną od punktu rozpatrywanego wewnątrz dielektryka, zatem obecność dielektryka można uwzględnić we wzorze (3.28) nie tylko wprowadzając związane ładunki , ale także parametr , co jest wygodniejsze w praktycznych obliczeniach. Możemy więc napisać (patrz akapit 3.1.12.6, wzór (3.68))
Następnie twierdzenie Gaussa dla wektora w tym przypadku zostanie zapisane w następujący sposób
gdzie jest względną stałą dielektryczną ośrodka, w którym znajduje się powierzchnia S.
Należy zauważyć, że wzór (3.29) jest używany przy rozwiązywaniu problemów w tej sekcji, a także w większości przypadków spotykanych w praktyce.
Kółko obok znaku całki (3.14) oznacza, że całka jest przejmowana po zamkniętym konturze. Nazywa się całkę postaci (3.14) po zamkniętym konturze krążenie wektor Stąd, obieg wektorowy pole elektrostatyczne , obliczona z dowolnego zamkniętego konturu jest równa zeru. Jest to wspólna właściwość wszystkich pól sił zachowawczych (pól potencjalnych).
(3.17)
Jeśli wprowadzisz następującą notację:
(3.18)
wówczas wzór (3.17) zostanie zapisany w formie zwartej:
Obiekt matematyczny, który wprowadziliśmy, nazywa się operator gradientu a wzór (3.19) brzmi następująco: „wektor jest równy minus gradient j”.
Powierzchnie ekwipotencjalne, ich powiązanie z liniami sił.
Z samej nazwy wynika, że powierzchnie ekwipotencjalne – są to powierzchnie o równym potencjale. Stąd, równanie powierzchni ekwipotencjalnej ma postać:
Kształt powierzchni ekwipotencjalnych jest powiązany z kształtem linii pola: powierzchnie ekwipotencjalne rozmieszczone są w taki sposób, że w każdym punkcie przestrzeni linia pola i powierzchnia ekwipotencjalna są wzajemnie prostopadłe.
Jeśli zgodzimy się na narysowanie powierzchni ekwipotencjalnych tak, aby różnica potencjałów pomiędzy dwiema sąsiednimi powierzchniami wynosiła Jest taki sam, to zgodnie gęstość powierzchni ekwipotencjalnych, można ocenić wielkość natężenia pola.
Jeśli przetniesz powierzchnię ekwipotencjalną płaszczyzną, wówczas w przekroju otrzymasz linie o równym potencjale, linie ekwipotencjalne.
Przewodniki i dielektryki. Naładowany przewodnik. Przewodnik w zewnętrznym polu elektrycznym.
Przewodniki – Są to substancje posiadające swobodne ładunki elektryczne. Stężenie wolnych ładunków w przewodnikach metalowych jest tego samego rzędu, co stężenie atomów. Ładunki te mogą przemieszczać się w przewodniku, jeśli wytworzy się w nim pole elektryczne.
Dielektryki –Są to substancje, w których prawie nie ma swobodnych ładunków elektrycznych.
W idealnym modelu dielektrycznym nie ma ładunków swobodnych.
Półprzewodnikipod względem koncentracji wolnych ładunków zajmują pozycję pośrednią między przewodnikami a dielektrykami. Ich stężenie wolnych ładunków zależy w dużym stopniu od temperatury.
Jeśli przewodnik zostanie naładowany, wówczas wolne ładunki w nim zaczną się poruszać i będą się poruszać, aż natężenie pola elektrycznego w przewodniku stanie się równe zeru, ponieważ siła działająca na ładunek jest równa:
Jeżeli , to zgodnie z (3.16):
,
te. wszystkie pochodne potencjału są zatem równe zeru wewnątrz naładowanego przewodnika potencjał jest stały, tj. objętość przewodnika i jego powierzchnia– ekwipotencjalny.
Jeśli E = 0 wszędzie wewnątrz przewodnika, wówczas strumień wektora natężenia pola elektrycznego przez dowolną zamkniętą powierzchnię wewnątrz przewodnika wynosi zero. Z twierdzenia Gaussa wynika, że objętościowa gęstość ładunku wewnątrz przewodnika wynosi zero. Cały ładunek przewodnika jest rozłożony na jego powierzchni. Natężenie pola elektrycznego na zewnątrz przewodnika jest prostopadłe do jego powierzchni, ponieważ jest ekwipotencjalne.
Weźmy mały obszar na powierzchni przewodnika i zbudujmy na nim „pudełko Gaussa”, tak jak ma to miejsce przy obliczaniu pola w pobliżu równomiernie naładowanej płaszczyzny. Zatem wewnątrz przewodnika E = 0.
Energia potencjalna i potencjał pola elektrostatycznego.
Z części dynamiki wiadomo, że każde ciało (punkt) znajdujące się w polu potencjalnym ma zapas energii potencjalnej W p, dzięki czemu pracę wykonują siły pola. Pracy sił zachowawczych towarzyszy spadek energii potencjalnej A=W p1 -W p2. Korzystając ze wzoru na działanie siły pola elektrostatycznego na ruch ładunku, otrzymujemy, że może służyć jako charakterystyka pola i nazywa się potencjał pola elektrostatycznego j. Potencjał pola J - skalarna wielkość fizyczna, energia charakterystyczna pola, określona przez energię potencjalną pojedynczego ładunku dodatniego umieszczonego w tym punkcie .
Różnica potencjałów pomiędzy dwoma punktami pola jest określona przez pracę sił pola podczas przemieszczania jednostki
potencjał punktu pola jest liczbowo równy pracy wykonanej przez siły elektryczne podczas przemieszczania jednostkowego ładunku dodatniego z danego punktu pola do nieskończoności.
3) elektr. Dipol- wyidealizowany układ służący do przybliżonego opisu pola statycznego lub propagacji fal elektromagnetycznych daleko od źródła (zwłaszcza od źródła o całkowitym zerowym, ale przestrzennie oddzielonym ładunku).
Polarny- są to dielektryki, w cząsteczkach których środki rozkładu ładunków dodatnich i ujemnych są rozdzielone nawet przy braku pola, tj. cząsteczka jest dipolem. Polaryzacja: w zew. elektr. Pole cząsteczki jest zorientowane wzdłuż wektora natężenia pola zewnętrznego Eo(kiedy pole jest włączone, cząsteczki obracają się wzdłuż linii pola)
Niepolarny- dielektryki, w których cząsteczkach środki rozkładu ładunków dodatnich i ujemnych pokrywają się przy braku pola. Polaryzacja: w zewnętrznym polu elektrycznym w wyniku odkształcenia cząsteczek pojawiają się dipole, zorientowane wzdłuż wektora natężenia pola zewnętrznego Eo. (kiedy pole jest włączone, cząsteczki są spolaryzowane)
W polu elektrycznym dipole podsieci ulegają deformacji: wydłużają się, jeśli ich osie są skierowane wzdłuż pola i skracają się, jeśli ich osie są skierowane w stronę pola. Tego rodzaju polaryzacja zwany joński. Stopień polaryzacji jonów zależy od właściwości dielektryka i natężenia pola.
Polaryzacja to zjawisko pojawiania się ładunków na powierzchni dielektryka, którego pole częściowo kompensuje zewnętrzne pole elektryczne
Wielkość kompensacji opisuje się za pomocą stałej dielektrycznej ośrodka, która pokazuje, ile razy ośrodek ten zmniejsza pole elektryczne:
Reguły Kirchhoffa dla łańcuchów rozgałęzionych
| . |
Pierwsza zasada Kirchhoffa: algebraiczna suma sił prądów w węźle jest równa zeru: .
Druga zasada Kirchhoffa odnosi się do dowolnej zamkniętej pętli wyróżnionej w obwodzie rozgałęzionym: suma algebraiczna iloczynów prądów i rezystancji, w tym wewnętrznych, we wszystkich odcinkach obwodu zamkniętego jest równa sumie algebraicznej sił elektromotorycznych występujących w tym obwodzie .
Cyrkulacja wektora natężenia pola elektrostatycznego.
Całka…. nazywa się cyrkulacją wektora napięcia. Zatem, cyrkulacja wektora natężenia pola elektrostatycznego wzdłuż dowolnej zamkniętej pętli wynosi zero. Jest to warunek potencjalności pola.
Jeśli w polu elektrostatycznym ładunku punktowego Q inny ładunek punktowy Q o przemieszcza się z punktu 1 do punktu 2 po dowolnej trajektorii, wówczas siła przyłożona do ładunku działa. Praca wykonana przez siłę F przy elementarnym przemieszczeniu dl jest równa:
Praca przy przenoszeniu ładunku Q o z punktu 1 do punktu 2:
Rabat nie zależy od trajektorii ruchu, ale jest określany jedynie na podstawie pozycji początkowego 1 i końcowych 2 punktów. Stąd, pole elektrostatyczne ładunku punktowego jest potencjalne, a siły elektrostatyczne są zachowawcze.
Praca wykonana podczas przemieszczania ładunku elektrycznego w zewnętrznym polu elektrostatycznym po dowolnej drodze zamkniętej L jest równa zeru, tj.
Całka ta nazywa się cyrkulacja wektora napięcia. Zatem cyrkulacja wektora natężenia pola elektrostatycznego wzdłuż dowolnego zamkniętego konturu wynosi zero. Pole siłowe posiadające tę właściwość nazywa się potencjał .
Z zaniku cyrkulacji wektora E wynika, że linie natężenia pola elektrostatycznego nie mogą być domknięte, zaczynają się i kończą na ładunkach (odpowiednio dodatnich lub ujemnych) lub biegną w nieskończoność.
Twierdzenie o obiegu
Wcześniej dowiedzieliśmy się, że na ładunek (q) znajdujący się w polu elektrostatycznym działają siły zachowawcze, których praca ($A$) na dowolnej drodze zamkniętej (L) jest równa zeru:
gdzie $\overrightarrow(s)$ to wektor przemieszczenia (nie mylić z polem), $\overrightarrow(E)$ to wektor natężenia pola.
Dla jednostkowego ładunku dodatniego możemy napisać:
Całką po lewej stronie równania (2) jest cyrkulacja wektora natężenia wzdłuż konturu L. Charakterystyczną właściwością pola elektrostatycznego jest to, że cyrkulacja jego wektora natężenia wzdłuż dowolnego zamkniętego konturu wynosi zero. To stwierdzenie nazywa się twierdzeniem o cyrkulacji wektora natężenia pola elektrostatycznego.
Udowodnijmy twierdzenie o cyrkulacji na podstawie tego, że praca pola powodująca przemieszczanie ładunku nie zależy od trajektorii ruchu ładunku w polu elektrostatycznym, co wyraża się równością:
gdzie $L_1\ i\ L_2$ to różne ścieżki pomiędzy punktami A i B. Weźmy pod uwagę, że zastępując granice całkowania otrzymujemy:
Wyrażenie (4) jest reprezentowane jako:
gdzie $L=L_1+L_2$. Zatem twierdzenie zostało udowodnione.
Konsekwencją twierdzenia o cyrkulacji jest to, że linie natężenia pola elektrycznego nie są zamknięte. Zaczynają się od ładunków dodatnich, a kończą na ładunkach ujemnych lub idą w nieskończoność. Twierdzenie jest prawdziwe szczególnie dla ładunków statycznych. Kolejna konsekwencja twierdzenia: ciągłość składowych stycznych napięcia (w przeciwieństwie do składowych normalnych). Oznacza to, że składowe napięcia, które są styczne do dowolnej wybranej powierzchni w dowolnym punkcie, mają równe wartości po obu stronach powierzchni.
Wybierzmy dowolną powierzchnię S, która opiera się na konturze L (rys. 1).
Zgodnie ze wzorem Stokesa (twierdzenie Stokesa) całka wirnika wektora naprężenia ($rot\overrightarrow(E)$), przyjęta po powierzchni S, jest równa cyrkulacji wektora naprężenia po konturze na którym opiera się ta powierzchnia:
gdzie $d\overrightarrow(S)=dS\cdot \overrightarrow(n)$, $\overrightarrow(n)$ jest wektorem jednostkowym prostopadłym do odcinka dS. Wirnik ($rot\overrightarrow(E)$) charakteryzuje intensywność „zawirowania” wektora. Wizualną reprezentację wirnika wektorowego można uzyskać, umieszczając w strumieniu płynu mały, lekki wirnik (rys. 2). W miejscach, w których wirnik nie jest równy zero, wirnik będzie się obracał, a prędkość jego obrotu będzie tym większa, im większy będzie moduł rzutu wirnika na oś wirnika.
W praktycznych obliczeniach wirnika najczęściej stosuje się następujące wzory:
Ponieważ zgodnie z równaniem (6) cyrkulacja wektora napięcia wynosi zero, otrzymujemy:
Warunek (8) musi być spełniony dla dowolnej powierzchni S spoczywającej na konturze L. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy całka wynosi:
i dla każdego punktu pola.
Analogicznie do wirnika na rys. 2 wyobraźcie sobie elektryczny „wirnik”. Na końcach takiego „wirnika” znajdują się ładunki q jednakowej wielkości. Układ umieszczony jest w jednolitym polu o natężeniu E. W miejscach gdzie $rot\overrightarrow(E)\ne 0$ takie „urządzenie” będzie obracało się z przyspieszeniem zależnym od rzutu wirnika na oś wirnika. W przypadku pola elektrostatycznego takie „urządzenie” nie obracałoby się w żadnej orientacji osi. Ponieważ charakterystyczną cechą pola elektrostatycznego jest to, że jest ono bezwirowe. Równanie (9) przedstawia twierdzenie o cyrkulacji w postaci różniczkowej.
Przykład 1
Zadanie: Na rys. 3 przedstawia pole elektrostatyczne. Co możesz powiedzieć o charakterystyce tego pola na podstawie rysunku?
O tym polu można powiedzieć, że istnienie takiego pola elektrostatycznego jest niemożliwe. Jeśli wybierzesz kontur (jest on pokazany jako linia przerywana). Dla takiego obwodu cyrkulacja wektora napięcia wynosi:
\[\oint\limits_L(\overrightarrow(E)d\overrightarrow(s)\ne 0)\left(1.1\right),\]
co jest sprzeczne z twierdzeniem o cyrkulacji dla pola elektrostatycznego. Natężenie pola zależy od gęstości linii pola, nie jest takie samo w różnych częściach pola, w rezultacie praca wzdłuż zamkniętej pętli będzie różna od zera, dlatego cyrkulacja wektora siły nie jest równy zeru.
Przykład 2
Zadanie: Na podstawie twierdzenia o cyrkulacji wykazać, że składowe styczne wektora natężenia pola elektrostatycznego nie zmieniają się podczas przejścia przez granicę dielektryka.
Rozważmy granicę między dwoma dielektrykami o stałych dielektrycznych $(\varepsilon )_2\ i\ (\varepsilon )_1$ (rys. 4). Wybierzmy na tej granicy mały prostokątny kontur o parametrach a - długość, b - szerokość. Oś X przechodzi przez środki boków b.
Dla pola elektrostatycznego spełnione jest twierdzenie o cyrkulacji, które wyraża się równaniem:
\[\oint\limits_L(\overrightarrow(E)d\overrightarrow(s)=0\ \left(2.1\right).)\]
Dla małych rozmiarów obwodów, obiegu wektora napięcia i zgodnie ze wskazanym kierunkiem przemieszczania się obwodu, całkę we wzorze (2.1) można przedstawić jako:
\[\oint\limits_L(\overrightarrow(E)d\overrightarrow(s)=E_(1x)a-E_(2x)a+\left\langle E_b\right\rangle 2b=0\ \left(2.2\right) ,)\]
gdzie $\left\lange E_b\right\rangle $ jest średnią wartością $\overrightarrow(E)$ w obszarach prostopadłych do interfejsu.
Z (2.2) wynika, że:
\[((E)_(2x)-E_(1x))a=\lewy\langole E_b\prawy\rangle 2b\ (2.3).\]
Jeśli $b\to 0$, to otrzymujemy, że:
Wyrażenie (2.4) zadowala się dowolnym wyborem osi X, która leży na granicy faz dielektrycznej. Jeśli wyobrazimy sobie wektor napięcia w postaci dwóch składowych (stycznej $E_(\tau )\ $ i normalnej $E_n$):
\[\overrightarrow(E_1)=\overrightarrow(E_(1n))+\overrightarrow(E_(1\tau )),\overrightarrow(E_2)=\overrightarrow(E_(2n))+\overrightarrow(E_(2\ tau ))\ \lewo(2,5\prawo).\]
W tym przypadku z (2.4) piszemy:
gdzie $E_(\tau i)$ jest rzutem wektora natężenia na jednostkę jednostkową $\tau $ skierowaną wzdłuż granicy dielektrycznej.