Trójkąt MNP z bokami MP=6\kw.(3) i MN=NP leży u podstawy prawego pryzmatu MNPM_(1)N_(1)P_(1) . Punkt K jest wybrany na krawędzi NN_(1) tak, że NK:N_(1)K=3:4 . W tym przypadku kąt pomiędzy płaszczyzną MNP a płaszczyzną MKP wynosi 60^(\circ) .
a) Udowodnij, że odległość pomiędzy prostymi MN i M_1P_1 jest równa bocznej krawędzi pryzmatu.
b) Mając KP=9, oblicz odległość pomiędzy prostymi MN i M_(1)P_(1) .
Pokaż rozwiązanieRozwiązanie
a) Prosta MN leży w płaszczyźnie \left (MNN_(1) \right) , \left (M_(1)P_(1) \right) i przecina \left (MNN_(1) \right) w punkcie M_(1 ) , to według kryterium linii skośnych MN i M_(1)P_(1) są liniami skośnymi.
Płaszczyzny MNP i M_(1)N_(1)P_(1) są równoległe jak podstawy pryzmatu. Zgodnie z warunkiem pryzmat jest prosty, co oznacza, że każda krawędź boczna jest prostopadła do podstaw, zatem jest to odległość pomiędzy przecięciami MN i M_(1)P_(1), co należało udowodnić.
b) Narysujmy NH\perp MP, wówczas NH będzie wysokością i medianą w równoramiennym \bigtriangleup MNP. KH jest medianą \bigtriangleup MKP . NH jest rzutem KH na \left (MPN \right) i NH\perp MP . Zatem KH\perp MP (z twierdzenia o trzech prostopadłych).
\angle KHN jest kątem liniowym kąta dwuściennego KMPN, z którego \angle KHN = 60^(\circ) .
W odcinku \bigtriangleup KPH KH=\sqrt(KP^(2)-PH^(2))= \sqrt(81-27)=\sqrt(54)=3\sqrt(6).
Zadanie C2 #29
Podstawą prawego pryzmatu jest trójkąt równoramienny
Dodany 22.03.2011 23:17
Stan : schorzenie:
U podstawy prostego pryzmatu ABCA1B1C1 leży trójkąt równoramienny ABC, którego podstawa BC jest równa 3. Powierzchnia boczna pryzmatu wynosi 32. Znajdź pole przekroju poprzecznego pryzmatu płaszczyzny przechodzącej przez CB1 równolegle do wysokość podstawy AD. Odległość od A do płaszczyzny przekroju wynosi 6/5.Rozwiązanie:
1. Zajmijmy się przekrojem. Ponieważ jest równoległa do AD, to jej płaszczyzna należy do prostej LK, równoległej do AD i przechodzącej przez środek CB1. Odcinek LK jest równy AD, a ponieważ K jest środkiem odcinka CB1, zatem L jest środkiem odcinka AA1.
2. Ponieważ L jest środkiem odcinka AA1, to LC = LB1, co oznacza, że trójkąt CLB1 jest równoramienny, a jego pole, które musimy znaleźć, jest równe CB1*LK/2.
3. Niech x = AD = LK, y = AA1 = BB1 = CC1.
Następnie z warunków, że powierzchnia bocznej powierzchni pryzmatu jest równa 32, a BC = 3, otrzymujemy
(AB+BC+AC)*AA1 = 32
y*(2*sqrt((3/2)^2+x^2)+3) = 32, lub
Y*(3+sqrt(9+4*x^2)) = 32 (1)
4. Odległość AH od punktu A do płaszczyzny CLB1 jest równa odległości od A do prostej LM równoległej do CB1 i przechodzącej przez punkt L.
LAM jest trójkątem prostokątnym, gdzie AM = DC = 3/2, AL = y/2.
Jego powierzchnia wynosi
1/2*AM*AL = 1/2*LM*AH.
Stąd dostajemy
1/2*3/2*y/2 = 1/2*6/5*kwadrat((3/2)^2+(y/2)^2)
Y = 4/5*kwadrat(9+y^2) (2)
5. Z równania (2)
stwierdzamy, że wysokość pryzmatu wynosi y = 4.
6. Z równania (1)
, znając y, stwierdzamy, że wysokość podstawy pryzmatu wynosi x = 2.
7. Pole trójkąta CLB1
S = x*kwadrat(3^2+y^2)/2 = 2*kwadrat(9+16)/2 = 5
Zadanie C2 #29
Podstawą prawego pryzmatu jest trójkąt równoramienny
Dodany 22.03.2011 23:17
Stan : schorzenie:
U podstawy prostego pryzmatu ABCA1B1C1 leży trójkąt równoramienny ABC, którego podstawa BC jest równa 3. Powierzchnia boczna pryzmatu wynosi 32. Znajdź pole przekroju poprzecznego pryzmatu płaszczyzny przechodzącej przez CB1 równolegle do wysokość podstawy AD. Odległość od A do płaszczyzny przekroju wynosi 6/5.Rozwiązanie:
1. Zajmijmy się przekrojem. Ponieważ jest równoległa do AD, to jej płaszczyzna należy do prostej LK, równoległej do AD i przechodzącej przez środek CB1. Odcinek LK jest równy AD, a ponieważ K jest środkiem odcinka CB1, zatem L jest środkiem odcinka AA1.
2. Ponieważ L jest środkiem odcinka AA1, to LC = LB1, co oznacza, że trójkąt CLB1 jest równoramienny, a jego pole, które musimy znaleźć, jest równe CB1*LK/2.
3. Niech x = AD = LK, y = AA1 = BB1 = CC1.
Następnie z warunków, że powierzchnia bocznej powierzchni pryzmatu jest równa 32, a BC = 3, otrzymujemy
(AB+BC+AC)*AA1 = 32
y*(2*sqrt((3/2)^2+x^2)+3) = 32, lub
Y*(3+sqrt(9+4*x^2)) = 32 (1)
4. Odległość AH od punktu A do płaszczyzny CLB1 jest równa odległości od A do prostej LM równoległej do CB1 i przechodzącej przez punkt L.
LAM jest trójkątem prostokątnym, gdzie AM = DC = 3/2, AL = y/2.
Jego powierzchnia wynosi
1/2*AM*AL = 1/2*LM*AH.
Stąd dostajemy
1/2*3/2*y/2 = 1/2*6/5*kwadrat((3/2)^2+(y/2)^2)
Y = 4/5*kwadrat(9+y^2) (2)
5. Z równania (2)
stwierdzamy, że wysokość pryzmatu wynosi y = 4.
6. Z równania (1)
, znając y, stwierdzamy, że wysokość podstawy pryzmatu wynosi x = 2.
7. Pole trójkąta CLB1
S = x*kwadrat(3^2+y^2)/2 = 2*kwadrat(9+16)/2 = 5