I denne artikkelen lærer du hvordan du finner arealet til en figur avgrenset av linjer ved å bruke integralberegninger. For første gang møter vi formuleringen av et slikt problem på videregående, når vi nettopp har fullført studiet av bestemte integraler og det er på tide å begynne den geometriske tolkningen av den ervervede kunnskapen i praksis.
Så, hva kreves for å lykkes med å løse problemet med å finne arealet til en figur ved å bruke integraler:
- Evne til å lage kompetente tegninger;
- Evne til å løse en bestemt integral ved å bruke den velkjente Newton-Leibniz-formelen;
- Evnen til å "se" et mer lønnsomt løsningsalternativ - dvs. forstå hvordan det vil være mer praktisk å gjennomføre integrering i ett eller annet tilfelle? Langs x-aksen (OX) eller y-aksen (OY)?
- Vel, hvor ville vi vært uten korrekte beregninger?) Dette inkluderer å forstå hvordan man løser den andre typen integraler og riktige numeriske beregninger.
Algoritme for å løse problemet med å beregne arealet til en figur avgrenset av linjer:
1. Vi bygger en tegning. Det anbefales å gjøre dette på et rutete stykke papir, i stor skala. Vi signerer navnet på denne funksjonen med en blyant over hver graf. Signering av grafene gjøres utelukkende for å lette videre beregninger. Etter å ha mottatt en graf over ønsket figur, vil det i de fleste tilfeller umiddelbart være klart hvilke grenser for integrasjon som skal brukes. Dermed løser vi problemet grafisk. Imidlertid hender det at verdiene til grensene er brøkdeler eller irrasjonelle. Derfor kan du gjøre ytterligere beregninger, gå til trinn to.
2. Hvis grensene for integrasjon ikke er eksplisitt spesifisert, så finner vi skjæringspunktene til grafene med hverandre og ser om vår grafiske løsning sammenfaller med den analytiske.
3. Deretter må du analysere tegningen. Avhengig av hvordan funksjonsgrafene er ordnet, er det forskjellige tilnærminger til å finne arealet til en figur. La oss se på forskjellige eksempler på å finne arealet til en figur ved å bruke integraler.
3.1. Den mest klassiske og enkle versjonen av problemet er når du trenger å finne området til en buet trapes. Hva er en buet trapes? Dette er en flat figur begrenset av x-aksen (y = 0), rette linjer x = a, x = b og en hvilken som helst kurve som er kontinuerlig i intervallet fra a til b. Dessuten er denne figuren ikke-negativ og ligger ikke under x-aksen. I dette tilfellet er arealet til den krumlinjede trapesen numerisk lik en viss integral, beregnet ved hjelp av Newton-Leibniz-formelen:
Eksempel 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Hvilke linjer er figuren avgrenset av? Vi har en parabel y = x2 - 3x + 3, som er plassert over OX-aksen, den er ikke-negativ, fordi alle punkter i denne parabelen har positive verdier. Deretter er de rette linjene x = 1 og x = 3 gitt, som går parallelt med aksen til op-ampen og er grenselinjene til figuren til venstre og høyre. Vel, y = 0, som også er x-aksen, som begrenser figuren nedenfra. Den resulterende figuren er skyggelagt, som du kan se fra figuren til venstre. I dette tilfellet kan du umiddelbart begynne å løse problemet. Før oss er et enkelt eksempel på en buet trapes, som vi løser videre ved hjelp av Newton-Leibniz-formelen.
3.2. I forrige avsnitt 3.1 undersøkte vi tilfellet når en buet trapes er plassert over x-aksen. Tenk nå på tilfellet når betingelsene for problemet er de samme, bortsett fra at funksjonen ligger under x-aksen. Et minus legges til standard Newton-Leibniz-formelen. Vi vil vurdere hvordan du løser et slikt problem nedenfor.
Eksempel 2. Beregn arealet av figuren avgrenset av linjene y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.
I dette eksemplet har vi en parabel y = x2 + 6x + 2, som kommer fra under OX-aksen, rette linjer x = -4, x = -1, y = 0. Her begrenser y = 0 ønsket tall ovenfra. De rette linjene x = -4 og x = -1 er grensene som det bestemte integralet vil bli beregnet innenfor. Prinsippet for å løse problemet med å finne arealet til en figur sammenfaller nesten fullstendig med eksempel nummer 1. Den eneste forskjellen er at den gitte funksjonen ikke er positiv, og er også kontinuerlig i intervallet [-4; -1] . Hva mener du ikke positivt? Som det fremgår av figuren, har figuren som ligger innenfor de gitte x-ene utelukkende "negative" koordinater, som er det vi må se og huske når vi løser problemet. Vi ser etter området til figuren ved å bruke Newton-Leibniz-formelen, bare med et minustegn i begynnelsen.
Artikkelen er ikke fullført.
Oppgave 1 (om å beregne arealet til en buet trapes).
I det kartesiske rektangulære koordinatsystemet xOy, er en figur gitt (se figur) avgrenset av x-aksen, rette linjer x = a, x = b (a av en krumlinjet trapes. Det kreves for å beregne arealet til en krumlinjet form). trapes.
Løsning. Geometri gir oss oppskrifter for å beregne arealene til polygoner og noen deler av en sirkel (sektor, segment). Ved å bruke geometriske betraktninger kan vi bare finne en omtrentlig verdi av det nødvendige området, resonnement som følger.
La oss dele segmentet [a; b] (grunnlaget av en buet trapes) i n like deler; denne partisjonen utføres ved å bruke punktene x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. La oss tegne rette linjer gjennom disse punktene parallelt med y-aksen. Da vil den gitte kurvelinjeformede trapesen deles inn i n deler, i n smale søyler. Arealet av hele trapeset er lik summen av arealene til kolonnene.
La oss vurdere den k-te kolonnen separat, dvs. en buet trapes hvis base er et segment. La oss erstatte det med et rektangel med samme grunnflate og høyde lik f(x k) (se figur). Arealet av rektangelet er lik \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), hvor \(\Delta x_k \) er lengden på segmentet; Det er naturlig å betrakte det resulterende produktet som en omtrentlig verdi av området til den kth kolonnen. 
Hvis vi nå gjør det samme med alle de andre kolonnene, kommer vi til følgende resultat: arealet S av en gitt kurvelinjeformet trapes er omtrent lik arealet S n av en trinnformet figur som består av n rektangler (se figur):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Her antar vi for ensartethet i notasjonen at a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - lengden på segmentet, \(\Delta x_1 \) - lengden på segmentet, etc.; i dette tilfellet, som vi ble enige om ovenfor, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)
Så, \(S \approx S_n \), og denne omtrentlige likheten er mer nøyaktig, jo større n.
Per definisjon antas det at det nødvendige området til en krumlinjet trapes er lik grensen for sekvensen (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Oppgave 2 (om å flytte et punkt)
Et materialpunkt beveger seg i en rett linje. Hastighetens avhengighet av tid uttrykkes med formelen v = v(t). Finn bevegelsen til et punkt over en tidsperiode [a; b].
Løsning. Hvis bevegelsen var ensartet, ville problemet være løst veldig enkelt: s = vt, dvs. s = v(b-a). For ujevn bevegelse må du bruke de samme ideene som løsningen på det forrige problemet var basert på.
1) Del tidsintervallet [a; b] i n like deler.
2) Betrakt et tidsrom og anta at hastigheten i denne tidsperioden var konstant, den samme som ved tidspunktet t k. Så vi antar at v = v(t k).
3) La oss finne den omtrentlige verdien av punktets bevegelse over en tidsperiode, vi betegner denne omtrentlige verdien som s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Finn den omtrentlige verdien av forskyvning s:
\(s \ca S_n \) hvor
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Den nødvendige forskyvningen er lik grensen for sekvensen (S n):
$$ s = \lim_(n \til \infty) S_n $$
La oss oppsummere. Løsninger på ulike problemer ble redusert til samme matematiske modell. Mange problemer fra ulike felt innen vitenskap og teknologi fører til den samme modellen i løsningsprosessen. Dette betyr at denne matematiske modellen må studeres spesielt.
Konseptet med en bestemt integralLa oss gi en matematisk beskrivelse av modellen som ble bygget i de tre betraktede oppgavene for funksjonen y = f(x), kontinuerlig (men ikke nødvendigvis ikke-negativ, slik det ble antatt i de betraktede oppgavene) på intervallet [a; b]:
1) del segmentet [a; b] i n like deler;
2) gjør opp summen $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) beregn $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$
I løpet av matematisk analyse ble det bevist at denne grensen eksisterer i tilfelle av en kontinuerlig (eller stykkevis kontinuerlig) funksjon. Det kalles det bestemte integralet til funksjonen y = f(x) over segmentet [a; b] og betegnet som følger:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Tallene a og b kalles integrasjonsgrensene (henholdsvis nedre og øvre).
La oss gå tilbake til oppgavene diskutert ovenfor. Definisjonen av området gitt i oppgave 1 kan nå skrives om som følger:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
her er S arealet av den krumlinjede trapesen vist i figuren ovenfor. Dette er den geometriske betydningen av det bestemte integralet.
Definisjonen av forskyvningen s av et punkt som beveger seg i en rett linje med en hastighet v = v(t) over tidsperioden fra t = a til t = b, gitt i oppgave 2, kan omskrives som følger:
La oss først svare på spørsmålet: hva er sammenhengen mellom det bestemte integralet og antideriverten?
Svaret finner du i oppgave 2. På den ene siden beregnes forskyvningen s av et punkt som beveger seg i en rett linje med en hastighet v = v(t) over tidsrommet fra t = a til t = b av formelen
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
På den annen side er koordinaten til et bevegelig punkt en antiderivert for hastighet - la oss betegne det s(t); dette betyr at forskyvningen s uttrykkes med formelen s = s(b) - s(a). Som et resultat får vi:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
hvor s(t) er antiderivatet av v(t).
Følgende teorem ble bevist i løpet av matematisk analyse.
Teorem. Hvis funksjonen y = f(x) er kontinuerlig på intervallet [a; b], så er formelen gyldig
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
hvor F(x) er antiderivatet av f(x).
Formelen ovenfor kalles vanligvis Newton-Leibniz-formelen til ære for den engelske fysikeren Isaac Newton (1643-1727) og den tyske filosofen Gottfried Leibniz (1646-1716), som oppnådde den uavhengig av hverandre og nesten samtidig.
I praksis, i stedet for å skrive F(b) - F(a), bruker de notasjonen \(\venstre. F(x)\right|_a^b \) (noen ganger kalt dobbel substitusjon) og omskriver følgelig Newtonen. -Leibniz formel på denne måten danner:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \venstre. F(x)\høyre|_a^b \)
Når du beregner et bestemt integral, må du først finne antideriverten, og deretter utføre en dobbel substitusjon.
Basert på Newton-Leibniz-formelen kan vi få to egenskaper til det bestemte integralet.
Egenskap 1. Integralet av summen av funksjoner er lik summen av integralene:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
Egenskap 2. Konstantfaktoren kan tas ut av integrertegnet:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Ved å bruke integralet kan du beregne arealene ikke bare av buede trapeser, men også av plane figurer av en mer kompleks type, for eksempel den som er vist på figuren. Figuren P er begrenset av rette linjer x = a, x = b og grafer for kontinuerlige funksjoner y = f(x), y = g(x), og på segmentet [a; b] ulikheten \(g(x) \leq f(x) \) gjelder. For å beregne arealet S av en slik figur, vil vi fortsette som følger:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Så arealet S av en figur avgrenset av rette linjer x = a, x = b og grafer for funksjonene y = f(x), y = g(x), kontinuerlig på segmentet og slik at for enhver x fra segmentet [en; b] ulikheten \(g(x) \leq f(x) \) er oppfylt, beregnet med formelen
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
EN)
Løsning.
Det første og viktigste punktet i vedtaket er tegning.
La oss lage tegningen:
Ligningen y=0 setter "x"-aksen;
- x=-2 Og x=1- rett, parallelt med aksen OU;
- y=x 2 +2 - en parabel, hvis grener er rettet oppover, med toppunktet i punktet (0;2).
Kommentar. For å konstruere en parabel er det nok å finne punktene for dens skjæringspunkt med koordinataksene, dvs. sette x=0 finn skjæringspunktet med aksen OU og løse den tilsvarende andregradsligningen, finn skjæringspunktet med aksen Åh .
Toppunktet til en parabel kan bli funnet ved å bruke formlene: 
Du kan også bygge linjer punkt for punkt.
På intervallet [-2;1] grafen til funksjonen y=x 2+2 plassert over aksen Okse, Derfor:
Svar: S=9 kvm enheter
Etter at oppgaven er fullført, er det alltid nyttig å se på tegningen og finne ut om svaret er ekte. I dette tilfellet teller vi "etter øyet" antall celler i tegningen - vel, det vil være omtrent 9, det ser ut til å være sant. Det er helt klart at hvis vi for eksempel fikk svaret: 20 kvadratenheter, så er det åpenbart at det ble gjort en feil et sted - 20 celler passer åpenbart ikke inn i den aktuelle figuren, på det meste et dusin. Hvis svaret er negativt, så ble også oppgaven løst feil.
Hva skal jeg gjøre hvis en buet trapes er plassert under aksen Åh?
b) Beregn arealet av figuren avgrenset av linjene y=-e x , x=1 og koordinatakser.
Løsning.
La oss lage en tegning.
Hvis en buet trapes er helt plassert under aksen Åh , da kan området bli funnet ved å bruke formelen:
Svar: S=(e-1) kvm enheter" 1,72 kvm enheter
Merk følgende! De to typene oppgaver bør ikke forveksles:
1) Hvis du blir bedt om å løse bare et bestemt integral uten noen geometrisk betydning, kan det være negativt.
2) Hvis du blir bedt om å finne arealet til en figur ved å bruke en bestemt integral, er arealet alltid positivt! Det er derfor minus vises i formelen som nettopp ble diskutert.
I praksis er figuren oftest plassert i både øvre og nedre halvplan.
c) Finn arealet til en flat figur avgrenset av linjer y=2x-x 2, y=-x.
Løsning.
Først må du fullføre tegningen. Generelt sett, når vi konstruerer en tegning i områdeproblemer, er vi mest interessert i skjæringspunktene mellom linjer. La oss finne skjæringspunktene til parabelen 
og rett 
Dette kan gjøres på to måter. Den første metoden er analytisk.
Vi løser ligningen:
Dette betyr at den nedre grensen for integrering a=0, øvre grense for integrering b=3 .
|
Vi bygger de gitte linjene: 1. Parabel - toppunkt ved punkt (1;1); akseskjæring Åh - poeng (0;0) og (0;2). 2. Rett linje - halveringslinje av 2. og 4. koordinatvinkel. Og nå OBS! Hvis på segmentet [ a;b] noen kontinuerlig funksjon f(x) større enn eller lik en kontinuerlig funksjon g(x), da kan området til den tilsvarende figuren bli funnet ved å bruke formelen: Og det spiller ingen rolle hvor figuren er plassert - over aksen eller under aksen, men det som betyr noe er hvilken graf som er HØYERE (i forhold til en annen graf), og hvilken som er UNDER. I eksemplet under vurdering er det åpenbart at på segmentet er parabelen plassert over den rette linjen, og derfor er det nødvendig å trekke fra |
.Du kan konstruere linjer punkt for punkt, og grensene for integrering blir tydelige «av seg selv». Likevel må den analytiske metoden for å finne grenser fortsatt noen ganger brukes hvis for eksempel grafen er stor nok, eller den detaljerte konstruksjonen ikke avslørte grensene for integrasjon (de kan være brøkdeler eller irrasjonelle).
Den ønskede figuren er begrenset av en parabel over og en rett linje under.
På segmentet 
, i henhold til den tilsvarende formelen:
Svar: S=4,5 kvm enheter
Hvordan sette inn matematiske formler på en nettside?
Hvis du noen gang trenger å legge til en eller to matematiske formler på en nettside, er den enkleste måten å gjøre dette på som beskrevet i artikkelen: matematiske formler settes enkelt inn på nettstedet i form av bilder som genereres automatisk av Wolfram Alpha . I tillegg til enkelhet, vil denne universelle metoden bidra til å forbedre synligheten til nettstedet i søkemotorer. Det har fungert lenge (og, tror jeg, vil fungere for alltid), men er allerede moralsk utdatert.
Hvis du regelmessig bruker matematiske formler på nettstedet ditt, anbefaler jeg at du bruker MathJax - et spesielt JavaScript-bibliotek som viser matematisk notasjon i nettlesere som bruker MathML, LaTeX eller ASCIIMathML-markering.
Det er to måter å begynne å bruke MathJax på: (1) ved å bruke en enkel kode kan du raskt koble et MathJax-skript til nettstedet ditt, som automatisk lastes fra en ekstern server til rett tid (liste over servere); (2) last ned MathJax-skriptet fra en ekstern server til serveren din og koble det til alle sidene på nettstedet ditt. Den andre metoden – mer kompleks og tidkrevende – vil øke hastigheten på innlastingen av sidene til nettstedet ditt, og hvis den overordnede MathJax-serveren blir midlertidig utilgjengelig av en eller annen grunn, vil dette ikke påvirke ditt eget nettsted på noen måte. Til tross for disse fordelene, valgte jeg den første metoden da den er enklere, raskere og ikke krever tekniske ferdigheter. Følg mitt eksempel, og på bare 5 minutter vil du kunne bruke alle funksjonene til MathJax på nettstedet ditt.
Du kan koble til MathJax-biblioteksskriptet fra en ekstern server ved å bruke to kodealternativer hentet fra MathJax hovednettsted eller på dokumentasjonssiden:
Et av disse kodealternativene må kopieres og limes inn i koden til nettsiden din, helst mellom tagger og eller rett etter taggen. I henhold til det første alternativet laster MathJax raskere og bremser siden mindre. Men det andre alternativet overvåker og laster automatisk de nyeste versjonene av MathJax. Hvis du setter inn den første koden, må den oppdateres med jevne mellomrom. Hvis du setter inn den andre koden, vil sidene lastes saktere, men du trenger ikke å overvåke MathJax-oppdateringer konstant.
Den enkleste måten å koble MathJax på er i Blogger eller WordPress: i nettstedets kontrollpanel legger du til en widget som er utformet for å sette inn tredjeparts JavaScript-kode, kopierer den første eller andre versjonen av nedlastingskoden presentert ovenfor, og plasser widgeten nærmere. til begynnelsen av malen (forresten, dette er ikke i det hele tatt nødvendig, siden MathJax-skriptet lastes asynkront). Det er alt. Lær nå markup-syntaksen til MathML, LaTeX og ASCIIMathML, og du er klar til å sette inn matematiske formler på nettstedets nettsider.
Enhver fraktal er konstruert i henhold til en bestemt regel, som konsekvent brukes et ubegrenset antall ganger. Hver slik tid kalles en iterasjon.
Den iterative algoritmen for å konstruere en Menger-svamp er ganske enkel: den originale kuben med side 1 er delt av plan parallelt med flatene i 27 like terninger. En sentral kube og 6 terninger ved siden av den langs ansiktene fjernes fra den. Resultatet er et sett bestående av de resterende 20 mindre terningene. Gjør vi det samme med hver av disse kubene, får vi et sett bestående av 400 mindre terninger. Hvis vi fortsetter denne prosessen i det uendelige, får vi en Menger-svamp.
I forrige seksjon, viet til analysen av den geometriske betydningen av et bestemt integral, mottok vi en rekke formler for å beregne arealet til en krumlinjet trapes:
Yandex.RTB R-A-339285-1
S (G) = ∫ a b f (x) d x for en kontinuerlig og ikke-negativ funksjon y = f (x) på intervallet [ a ; b ] ,
S (G) = - ∫ a b f (x) d x for en kontinuerlig og ikke-positiv funksjon y = f (x) på intervallet [ a ; b].
Disse formlene er anvendelige for å løse relativt enkle problemer. I realiteten vil vi ofte måtte jobbe med mer komplekse figurer. I denne forbindelse vil vi vie denne delen til en analyse av algoritmer for å beregne arealet av figurer som er begrenset av funksjoner i eksplisitt form, dvs. som y = f(x) eller x = g(y).
TeoremLa funksjonene y = f 1 (x) og y = f 2 (x) være definerte og kontinuerlige på intervallet [ a ; b ] , og f 1 (x) ≤ f 2 (x) for enhver verdi x fra [ a ; b]. Da vil formelen for å beregne arealet til figuren G, avgrenset av linjene x = a, x = b, y = f 1 (x) og y = f 2 (x) se ut som S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .
En lignende formel vil være gjeldende for arealet til en figur avgrenset av linjene y = c, y = d, x = g 1 (y) og x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .
Bevis
La oss se på tre tilfeller der formelen vil være gyldig.
I det første tilfellet, med tanke på egenskapen til additivitet av området, er summen av arealene til den opprinnelige figuren G og den krumlinjede trapesformen G 1 lik arealet til figuren G 2. Det betyr at
Derfor er S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.
Vi kan utføre den siste overgangen ved å bruke den tredje egenskapen til det bestemte integralet.
I det andre tilfellet er likheten sann: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x
Den grafiske illustrasjonen vil se slik ut:
Hvis begge funksjonene er ikke-positive, får vi: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Den grafiske illustrasjonen vil se slik ut:
La oss gå videre til å vurdere det generelle tilfellet når y = f 1 (x) og y = f 2 (x) skjærer O x-aksen.
Vi betegner skjæringspunktene som x i, i = 1, 2, . . . n-1. Disse punktene deler segmentet [a; b] i n deler x i-1; x i, i = 1, 2, . . . , n, hvor α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
Derfor,
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Vi kan gjøre den siste overgangen ved å bruke den femte egenskapen til det bestemte integralet.
La oss illustrere det generelle tilfellet på grafen.
Formelen S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x kan anses som bevist.
La oss nå gå videre til å analysere eksempler på beregning av arealet av figurer som er begrenset av linjene y = f (x) og x = g (y).
Vi vil begynne vår vurdering av noen av eksemplene med å konstruere en graf. Bildet vil tillate oss å representere komplekse former som foreninger av enklere former. Hvis det er vanskelig for deg å konstruere grafer og figurer på dem, kan du studere avsnittet om grunnleggende elementære funksjoner, geometrisk transformasjon av grafer av funksjoner, samt å konstruere grafer mens du studerer en funksjon.
Eksempel 1
Det er nødvendig å bestemme arealet av figuren, som er begrenset av parabelen y = - x 2 + 6 x - 5 og rette linjer y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.
Løsning
La oss tegne linjene på grafen i det kartesiske koordinatsystemet.
På segmentet [ 1 ; 4 ] grafen til parablen y = - x 2 + 6 x - 5 er plassert over den rette linjen y = - 1 3 x - 1 2. I denne forbindelse, for å få svaret, bruker vi formelen oppnådd tidligere, samt metoden for å beregne det bestemte integralet ved å bruke Newton-Leibniz-formelen:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Svar: S(G) = 13
La oss se på et mer komplekst eksempel.
Eksempel 2
Det er nødvendig å beregne arealet til figuren, som er begrenset av linjene y = x + 2, y = x, x = 7.
Løsning
I dette tilfellet har vi bare en rett linje plassert parallelt med x-aksen. Dette er x = 7. Dette krever at vi selv finner den andre grensen for integrering.
La oss bygge en graf og plotte linjene gitt i problemstillingen på den.
Når vi har grafen foran øynene, kan vi enkelt bestemme at den nedre grensen for integrasjon vil være abscissen til skjæringspunktet til grafen til den rette linjen y = x og semi-parablen y = x + 2. For å finne abscissen bruker vi likhetene:
y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ
Det viser seg at abscissen til skjæringspunktet er x = 2.
Vi gjør oppmerksom på det faktum at i det generelle eksemplet på tegningen, skjærer linjene y = x + 2, y = x i punktet (2; 2), så slike detaljerte beregninger kan virke unødvendige. Vi har gitt en så detaljert løsning her bare fordi løsningen i mer komplekse tilfeller kanskje ikke er så åpenbar. Dette betyr at det alltid er bedre å beregne koordinatene til skjæringspunktet mellom linjer analytisk.
På intervallet [2; 7] grafen til funksjonen y = x er plassert over grafen til funksjonen y = x + 2. La oss bruke formelen for å beregne arealet:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Svar: S (G) = 59 6
Eksempel 3
Det er nødvendig å beregne arealet til figuren, som er begrenset av grafene til funksjonene y = 1 x og y = - x 2 + 4 x - 2.
Løsning
La oss plotte linjene på grafen.
La oss definere grensene for integrering. For å gjøre dette bestemmer vi koordinatene til skjæringspunktene til linjene ved å likestille uttrykkene 1 x og - x 2 + 4 x - 2. Forutsatt at x ikke er null, blir likheten 1 x = - x 2 + 4 x - 2 ekvivalent med tredjegradsligningen - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 med heltallskoeffisienter. For å friske opp minnet om algoritmen for å løse slike ligninger, kan vi referere til avsnittet "Løse kubiske ligninger."
Roten til denne ligningen er x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.
Ved å dele uttrykket - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 med binomialet x - 1, får vi: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Vi kan finne de gjenværende røttene fra ligningen x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0. 3
Vi fant intervallet x ∈ 1; 3 + 13 2, hvor figuren G finnes over den blå og under den røde linjen. Dette hjelper oss med å bestemme arealet av figuren:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Svar: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Eksempel 4
Det er nødvendig å beregne arealet til figuren, som er begrenset av kurvene y = x 3, y = - log 2 x + 1 og abscisseaksen.
Løsning
La oss plotte alle linjene på grafen. Vi kan få grafen til funksjonen y = - log 2 x + 1 fra grafen y = log 2 x hvis vi plasserer den symmetrisk om x-aksen og flytter den en enhet opp. Ligningen til x-aksen er y = 0.
La oss markere skjæringspunktene til linjene.
Som det fremgår av figuren, skjærer grafene til funksjonene y = x 3 og y = 0 hverandre i punktet (0; 0). Dette skjer fordi x = 0 er den eneste reelle roten av ligningen x 3 = 0.
x = 2 er den eneste roten av ligningen - log 2 x + 1 = 0, så grafene til funksjonene y = - log 2 x + 1 og y = 0 skjærer hverandre i punktet (2; 0).
x = 1 er den eneste roten av ligningen x 3 = - log 2 x + 1 . I denne forbindelse skjærer grafene til funksjonene y = x 3 og y = - log 2 x + 1 i punktet (1; 1). Det siste utsagnet er kanskje ikke åpenbart, men ligningen x 3 = - log 2 x + 1 kan ikke ha mer enn én rot, siden funksjonen y = x 3 er strengt økende, og funksjonen y = - log 2 x + 1 er strengt minkende.
Den videre løsningen innebærer flere alternativer.
Valg 1
Vi kan forestille oss figuren G som summen av to kurvelinjeformede trapeser plassert over x-aksen, hvorav den første er plassert under midtlinjen på segmentet x ∈ 0; 1, og den andre er under den røde linjen på segmentet x ∈ 1; 2. Dette betyr at arealet vil være lik S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .
Alternativ nr. 2
Figur G kan representeres som forskjellen mellom to figurer, hvorav den første er plassert over x-aksen og under den blå linjen på segmentet x ∈ 0; 2, og den andre mellom de røde og blå linjene på segmentet x ∈ 1; 2. Dette lar oss finne området som følger:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
I dette tilfellet, for å finne området, må du bruke en formel på formen S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Faktisk kan linjene som binder figuren representeres som funksjoner av argumentet y.
La oss løse ligningene y = x 3 og - log 2 x + 1 med hensyn til x:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Vi får det nødvendige området:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Svar: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
Eksempel 5
Det er nødvendig å beregne arealet til figuren, som er begrenset av linjene y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.
Løsning
Med en rød linje plotter vi linjen definert av funksjonen y = x. Vi tegner linjen y = - 1 2 x + 4 i blått, og linjen y = 2 3 x - 3 i svart.
La oss markere skjæringspunktene.
La oss finne skjæringspunktene til grafene til funksjonene y = x og y = - 1 2 x + 4:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Sjekk: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 ikke Er løsningen på ligningen x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 er løsningen på ligningen ⇒ (4; 2) skjæringspunktet i y = x og y = - 1 2 x + 4
La oss finne skjæringspunktet for grafene til funksjonene y = x og y = 2 3 x - 3:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Sjekk: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 er løsningen på ligningen ⇒ (9 ; 3) punkt a s y = x og y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Det er ingen løsning på ligningen
La oss finne skjæringspunktet mellom linjene y = - 1 2 x + 4 og y = 2 3 x - 3:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6; 1 ) skjæringspunktet y = - 1 2 x + 4 og y = 2 3 x - 3
Metode nr. 1
La oss forestille oss arealet til den ønskede figuren som summen av arealene til individuelle figurer.
Da er arealet av figuren:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Metode nr. 2
Arealet til den opprinnelige figuren kan representeres som summen av to andre figurer.
Deretter løser vi ligningen til linjen i forhold til x, og først etter det bruker vi formelen for å beregne arealet av figuren.
y = x ⇒ x = y 2 rød linje y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 svart linje y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e
Så området er:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Som du kan se, er verdiene de samme.
Svar: S (G) = 11 3
ResultaterFor å finne arealet til en figur som er begrenset av gitte linjer, må vi konstruere linjer på et plan, finne skjæringspunktene deres og bruke formelen for å finne området. I denne delen har vi undersøkt de vanligste variantene av oppgaver.
Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter