Når en person har tatt de første uavhengige skrittene i å studere matematisk analyse og begynner å stille ubehagelige spørsmål, er det ikke lenger så lett å komme unna med uttrykket om at "differensialregning ble funnet i kål." Derfor er tiden inne for å bestemme seg og avsløre hemmeligheten bak fødselen tabeller over derivater og differensieringsregler. Startet i artikkelen om betydningen av derivat, som jeg anbefaler å studere på det sterkeste, for der så vi nettopp på konseptet med et derivat og begynte å klikke på problemer om emnet. Denne samme leksjonen har en uttalt praktisk orientering, dessuten,
eksemplene omtalt nedenfor kan i prinsippet mestres rent formelt (for eksempel når det ikke er tid/lyst til å fordype seg i essensen av den deriverte). Det er også svært ønskelig (men igjen ikke nødvendig) å kunne finne derivater ved å bruke den "vanlige" metoden - i det minste på nivå med to grunnleggende leksjoner: Hvordan finne den deriverte og deriverte av en kompleks funksjon.
Men det er én ting vi definitivt ikke kan klare oss uten nå, det er funksjonsgrenser. Du må FORSTÅ hva en grense er og kunne løse dem i det minste på et mellomnivå. Og alt på grunn av derivatet
funksjon i et punkt bestemmes av formelen:
La meg minne deg om betegnelsene og begrepene: de kaller argumentøkning;
– funksjonsøkning;
– dette er ENKEL symboler ("delta" kan ikke "reves av" fra "X" eller "Y").
Det som er en "dynamisk" variabel er åpenbart en konstant og resultatet av å beregne grensen 
- Antall (noen ganger - "pluss" eller "minus" uendelig).
Som et poeng kan du vurdere ALLE verdier som tilhører definisjonsdomene funksjon der en derivert eksisterer.
Merk: klausulen "hvor derivatet finnes" er generelt er det betydelig! Så, for eksempel, selv om et punkt er inkludert i definisjonsdomenet til en funksjon, er dets deriverte
finnes ikke der. Derfor formelen
ikke aktuelt på punktet
og en forkortet formulering uten forbehold ville være feil. Lignende fakta gjelder for andre funksjoner med "brudd" i grafen, spesielt for arcsine og arccosine.
Dermed, etter å ha erstattet , får vi den andre arbeidsformelen:
Vær oppmerksom på en snikende omstendighet som kan forvirre tekanne: I denne grensen spiller "x", som er en uavhengig variabel, rollen som en statistikk, og "dynamikken" er igjen satt av inkrementet. Resultatet av å beregne grensen
er den deriverte funksjonen.
Basert på ovenstående formulerer vi betingelsene for to typiske problemer:
- Finn derivat på et punkt, ved å bruke definisjonen av derivat.
- Finn avledet funksjon, ved å bruke definisjonen av derivat. Denne versjonen, ifølge mine observasjoner, er mye mer vanlig og vil bli gitt hovedoppmerksomheten.
Den grunnleggende forskjellen mellom oppgavene er at i det første tilfellet må du finne nummeret (valgfritt, uendelig), og i den andre –
funksjon I tillegg kan det hende at derivatet ikke eksisterer i det hele tatt.
Hvordan ?
Lag et forhold og beregn grensen.
Hvor kom det fra? tabell over derivater og differensieringsregler ? Takket være den eneste grensen
Det virker som magi, men
i virkeligheten - lureri og ingen svindel. På timen Hva er et derivat? Jeg begynte å se på spesifikke eksempler hvor jeg ved å bruke definisjonen fant de deriverte av en lineær og kvadratisk funksjon. For kognitiv oppvarming vil vi fortsette å forstyrre tabell over derivater, finpusse algoritmen og tekniske løsninger:
I hovedsak må du bevise et spesielt tilfelle av den deriverte av en potensfunksjon, som vanligvis vises i tabellen: .
Løsningen er teknisk formalisert på to måter. La oss starte med den første, allerede kjente tilnærmingen: stigen starter med en planke, og den deriverte funksjonen starter med den deriverte på et punkt.
Tenk på et (spesifikt) punkt som hører til definisjonsdomene funksjon der det er en derivert. La oss sette økningen på dette punktet (selvfølgelig ikke gå utover o/o -ya) og komponer den tilsvarende økningen av funksjonen:
La oss beregne grensen:
Usikkerheten 0:0 elimineres ved en standardteknikk, ansett tilbake i det første århundre f.Kr. La oss multiplisere
teller og nevner for det konjugerte uttrykket 
:
Teknikken for å løse en slik grense diskuteres i detalj i den innledende leksjonen. om grensene for funksjoner.
Siden du kan velge hvilket som helst punkt i intervallet som
Så, etter å ha gjort erstatningen, får vi:
Nok en gang, la oss glede oss over logaritmer:
Finn den deriverte av en funksjon ved å bruke definisjonen av derivert
Løsning: La oss vurdere en annen tilnærming til å fremme den samme oppgaven. Det er akkurat det samme, men mer rasjonelt designmessig. Tanken er å bli kvitt
abonnere og bruke en bokstav i stedet for en bokstav.
Tenk på et vilkårlig punkt som tilhører definisjonsdomene funksjon (intervall), og angi inkrementet i den. Men her, forresten, som i de fleste tilfeller, kan du klare deg uten reservasjoner, siden den logaritmiske funksjonen er differensierbar når som helst i definisjonsdomenet.
Da er den tilsvarende økningen av funksjonen:
La oss finne den deriverte:
Enkelheten i designet balanseres av forvirringen som kan
forekomme blant nybegynnere (og ikke bare). Tross alt er vi vant til at bokstaven "X" endres i grensen! Men her er alt annerledes: - en antikk statue, og - en levende besøkende som raskt går langs museets korridor. Det vil si at "x" er "som en konstant."
Jeg vil kommentere eliminering av usikkerhet trinn for trinn:
(1)
Bruke logaritme-egenskapen
.
(2) I parentes, del telleren med nevneren ledd for ledd.
(3) I nevneren multipliserer vi kunstig og deler med "x" slik at
dra nytte av den fantastiske grensen 
, mens som uendelig liten handlinger.
Svar: per definisjon av et derivat:
Eller kort sagt:
Jeg foreslår å konstruere ytterligere to tabellformler selv:
Finn derivater per definisjon
I dette tilfellet er det praktisk å umiddelbart redusere det kompilerte inkrementet til en fellesnevner. Et omtrentlig utvalg av oppgaven på slutten av leksjonen (første metode).
Finn derivater per definisjon
Og her må alt reduseres til en bemerkelsesverdig grense. Løsningen formaliseres på den andre måten.
En rekke andre tabellformede derivater. Den fullstendige listen finner du i skoleboka, eller for eksempel 1. bind av Fichtenholtz. Jeg ser ikke mye poeng i å kopiere bevis på differensieringsregler fra bøker - de genereres også
formel
La oss gå videre til faktisk oppståtte oppgaver: Eksempel 5
Finn den deriverte av en funksjon 
, ved å bruke definisjonen av derivat
Løsning: bruk den første designstilen. La oss vurdere et punkt som hører til og sette økningen av argumentet på det. Da er den tilsvarende økningen av funksjonen:
Kanskje har noen lesere ennå ikke fullt ut forstått prinsippet for økninger. Ta et punkt (tall) og finn verdien av funksjonen i det: 
, altså inn i funksjonen
i stedet for "X" skal erstattes. La oss nå ta det
Kompilert funksjonsøkning Det kan være gunstig å umiddelbart forenkle. For hva? Tilrettelegge og forkorte løsningen til en ytterligere grense.
Vi bruker formler, åpner parentesene og reduserer alt som kan reduseres:
Kalkunen er sløyd, ikke noe problem med steken:
Etter hvert: 
Siden vi kan velge et hvilket som helst reelt tall som verdi, gjør vi erstatningen og får 
.
Svar : 
a-priory.
For verifiseringsformål, la oss finne derivatet ved å bruke reglene
differensiering og tabeller:
Det er alltid nyttig og hyggelig å vite det riktige svaret på forhånd, så det er bedre å skille den foreslåtte funksjonen på en "rask" måte, enten mentalt eller i et utkast, helt i begynnelsen av løsningen.
Finn den deriverte av en funksjon ved definisjon av derivert
Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Resultatet er åpenbart:
La oss gå tilbake til stil #2: Eksempel 7
La oss finne ut umiddelbart hva som skal skje. Av regel for differensiering av komplekse funksjoner:
Løsning: vurder et vilkårlig punkt som tilhører, sett økningen av argumentet på det og lag opp inkrementet
La oss finne den deriverte:
(1) Vi bruker den trigonometriske formelen
(2) Under sinus åpner vi parentesene, under cosinus presenterer vi lignende termer.
(3) Under sinusen kansellerer vi leddene, under cosinus deler vi telleren med nevneren ledd for ledd.
(4) På grunn av sinusens merkelighet tar vi ut "minus". Under kosinus
vi indikerer at begrepet .
(5) Vi utfører kunstig multiplikasjon i nevneren for å bruke første fantastiske grensen. Dermed er usikkerheten eliminert, la oss rydde opp i resultatet.
Svar: per definisjon Som du kan se, hviler hovedvanskeligheten ved problemet under vurdering på
kompleksiteten til selve grensen + liten originalitet av emballasjen. I praksis forekommer begge designmetodene, så jeg beskriver begge tilnærmingene så detaljert som mulig. De er likeverdige, men likevel, etter mitt subjektive inntrykk, er det mer tilrådelig for dummies å holde seg til alternativ 1 med "X-null".
Bruk definisjonen, finn den deriverte av funksjonen
Dette er en oppgave du må løse på egenhånd. Prøven er utformet i samme ånd som forrige eksempel.
La oss se på en sjeldnere versjon av problemet:
Finn den deriverte av en funksjon i et punkt ved å bruke definisjonen av derivert.
For det første, hva bør bunnlinjen være? Tall La oss beregne svaret på standardmåten:
Løsning: fra et klarhetssynspunkt er denne oppgaven mye enklere, siden i formelen, i stedet for
en bestemt verdi vurderes.
La oss sette inkrementet på punktet og komponere det tilsvarende inkrementet til funksjonen:
La oss beregne den deriverte ved et punkt:
Vi bruker en svært sjelden tangentforskjellsformel 
og nok en gang reduserer vi løsningen til den første
bemerkelsesverdig grense:
Svar: per definisjon av derivat ved et punkt.
Problemet er ikke så vanskelig å løse "generelt" - det er nok å erstatte neglen, eller bare avhengig av designmetoden. I dette tilfellet er det klart at resultatet ikke vil være et tall, men en avledet funksjon.
Eksempel 10 Bruk definisjonen og finn den deriverte av funksjonen 
på punktet
Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd.
Den siste bonusoppgaven er først og fremst ment for studenter med fordypning i matematisk analyse, men den vil heller ikke skade noen andre:
Vil funksjonen være differensierbar? 
på punktet?
Løsning: Det er åpenbart at en stykkevis gitt funksjon er kontinuerlig i et punkt, men vil den være differensierbar der?
Løsningsalgoritmen, og ikke bare for stykkevise funksjoner, er som følger:
1) Finn den venstrederiverte ved et gitt punkt: .
2) Finn den høyrederiverte ved et gitt punkt: .
3) Hvis ensidige derivater er endelige og sammenfaller:
, så er funksjonen differensierbar på punktet
geometrisk er det en felles tangent her (se den teoretiske delen av leksjonen Definisjon og betydning av derivat).
Hvis to forskjellige verdier mottas: 
(hvorav en kan vise seg å være uendelig), så er ikke funksjonen differensierbar på punktet.
Hvis begge ensidige derivater er lik uendelig
(selv om de har forskjellige fortegn), så er ikke funksjonen det
er differensierbar ved punktet, men det er en uendelig derivert og en felles vertikal tangent til grafen (se eksempelleksjon 5Normal ligning) .
I denne leksjonen skal vi lære å bruke formler og differensieringsregler.
Eksempler. Finn deriverte av funksjoner.
1. y=x 7 + x 5 - x 4 + x 3 - x 2 + x-9. Bruker regelen Jeg, formler 4, 2 og 1. Vi får:
y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.
2. y=3x 6 -2x+5. Vi løser på samme måte ved å bruke samme formler og formel 3.
y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.
Bruker regelen Jeg, formler 3, 5
Og 6
Og 1.
Bruker regelen IV, formler 5
Og 1
.
I det femte eksemplet, ifølge regelen Jeg den deriverte av summen er lik summen av de deriverte, og vi fant nettopp den deriverte av det første leddet (eksempel 4 ), derfor vil vi finne derivater 2 Og 3 vilkår, og for 1 summen kan vi umiddelbart skrive resultatet.
La oss skille 2 Og 3 vilkår i henhold til formelen 4
. For å gjøre dette transformerer vi røttene til tredje og fjerde potens i nevnerne til potenser med negative eksponenter, og deretter, iht. 4
formel, finner vi deriverte av potenser.
Se på dette eksemplet og resultatet. Fikk du med deg mønsteret? Fint. Dette betyr at vi har en ny formel og kan legge den til i derivattabellen vår.
La oss løse det sjette eksemplet og utlede en annen formel.
La oss bruke regelen IV og formel 4
. La oss redusere de resulterende fraksjonene.
La oss se på denne funksjonen og dens deriverte. Du forstår selvfølgelig mønsteret og er klar til å navngi formelen:
Lær nye formler!
Eksempler.
1. Finn økningen til argumentet og økningen til funksjonen y= x 2, hvis startverdien til argumentet var lik 4 , og ny - 4,01 .
Løsning.
Ny argumentverdi x=x0 +Δx. La oss erstatte dataene: 4.01=4+Δx, derav økningen av argumentet Δx=4,01-4=0,01. Inkrementet til en funksjon er per definisjon lik forskjellen mellom de nye og tidligere verdiene til funksjonen, dvs. Δy=f (x 0 + Δx) - f (x 0). Siden vi har en funksjon y=x2, Det Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
Svar: argumentøkning Δx=0,01; funksjonsøkning Δу=0,0801.
Funksjonsøkningen kan bli funnet annerledes: Δy=y (x0 +Δx) -y (x0)=y(4,01) -y(4)=4,012-42 =16,0801-16=0,0801.
2. Finn helningsvinkelen til tangenten til grafen til funksjonen y=f(x) på punktet x 0, Hvis f "(x 0) = 1.
Løsning.
Verdien av den deriverte ved tangenspunktet x 0 og er verdien av tangenten til tangentvinkelen (den geometriske betydningen av den deriverte). Vi har: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, fordi tg45°=1.
Svar: tangenten til grafen til denne funksjonen danner en vinkel med den positive retningen til Ox-aksen lik 45°.
3. Utled formelen for den deriverte av funksjonen y=xn.
Differensiering er handlingen for å finne den deriverte av en funksjon.
Når du finner derivater, bruk formler som ble utledet basert på definisjonen av et derivat, på samme måte som vi utledet formelen for derivatgraden: (x n)" = nx n-1.
Dette er formlene.
Tabell over derivater Det vil være lettere å huske ved å uttale verbale formuleringer:
1. Den deriverte av en konstant mengde er lik null.
2. X primtall er lik en.
3. Konstantfaktoren kan tas ut av tegnet til den deriverte.
4. Den deriverte av en grad er lik produktet av eksponenten av denne graden med en grad med samme base, men eksponenten er en mindre.
5. Den deriverte av en rot er lik en delt på to like røtter.
6. Den deriverte av én delt på x er lik minus én delt på x i annen.
7. Den deriverte av sinus er lik cosinus.
8. Den deriverte av cosinus er lik minus sinus.
9. Den deriverte av tangenten er lik en delt på kvadratet av cosinus.
10. Den deriverte av cotangensen er lik minus én dividert med kvadratet av sinusen.
Vi underviser differensieringsregler.
1.
Den deriverte av en algebraisk sum er lik den algebraiske summen av de deriverte av leddene.
2. Den deriverte av et produkt er lik produktet av den deriverte av den første faktoren og den andre pluss produktet av den første faktoren og den deriverte av den andre.
3. Den deriverte av "y" delt på "ve" er lik en brøk der telleren er "y primtall multiplisert med "ve" minus "y multiplisert med ve primtall", og nevneren er "ve i andre".
4. Et spesielt tilfelle av formelen 3.
La oss lære sammen!
Side 1 av 1 1
Definisjon. La funksjonen \(y = f(x)\) være definert i et bestemt intervall som inneholder punktet \(x_0\). La oss gi argumentet en økning \(\Delta x \) slik at det ikke forlater dette intervallet. La oss finne den tilsvarende økningen av funksjonen \(\Delta y \) (når vi flytter fra punktet \(x_0 \) til punktet \(x_0 + \Delta x \)) og komponere relasjonen \(\frac(\Delta) y)(\Delta x) \). Hvis det er en grense for dette forholdet ved \(\Delta x \rightarrow 0\), kalles den angitte grensen avledet av en funksjon\(y=f(x) \) ved punktet \(x_0 \) og angi \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
Symbolet y brukes ofte for å betegne den deriverte. Merk at y" = f(x) er en ny funksjon, men naturlig relatert til funksjonen y = f(x), definert på alle punktene x der grensen ovenfor eksisterer. Denne funksjonen kalles slik: deriverte av funksjonen y = f(x).
Geometrisk betydning av derivat er som følgende. Hvis det er mulig å tegne en tangent til grafen til funksjonen y = f(x) i punktet med abscisse x=a, som ikke er parallell med y-aksen, så uttrykker f(a) helningen til tangenten :
\(k = f"(a)\)
Siden \(k = tg(a) \), så er likheten \(f"(a) = tan(a) \) sann.
La oss nå tolke definisjonen av derivat fra synspunktet om omtrentlige likheter. La funksjonen \(y = f(x)\) ha en derivert i et spesifikt punkt \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Dette betyr at nær punktet x den omtrentlige likheten \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), dvs. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Delta x\). Den meningsfulle betydningen av den resulterende omtrentlige likheten er som følger: økningen av funksjonen er "nesten proporsjonal" med økningen av argumentet, og proporsjonalitetskoeffisienten er verdien av den deriverte ved et gitt punkt x. For eksempel, for funksjonen \(y = x^2\) er den omtrentlige likheten \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) gyldig. Hvis vi nøye analyserer definisjonen av en derivert, vil vi finne at den inneholder en algoritme for å finne den.
La oss formulere det.
Hvordan finne den deriverte av funksjonen y = f(x)?
1. Fiks verdien av \(x\), finn \(f(x)\)
2. Gi argumentet \(x\) en økning \(\Delta x\), gå til et nytt punkt \(x+ \Delta x \), finn \(f(x+ \Delta x) \)
3. Finn inkrementet til funksjonen: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Opprett relasjonen \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Beregn $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Denne grensen er den deriverte av funksjonen i punkt x.
Hvis en funksjon y = f(x) har en derivert i et punkt x, kalles den differensierbar i et punkt x. Prosedyren for å finne den deriverte av funksjonen y = f(x) kalles differensiering funksjoner y = f(x).
La oss diskutere følgende spørsmål: hvordan er kontinuitet og differensierbarhet av en funksjon på et punkt relatert til hverandre?
La funksjonen y = f(x) være differensierbar i punktet x. Deretter kan en tangent trekkes til grafen til funksjonen i punktet M(x; f(x)), og husk at vinkelkoeffisienten til tangenten er lik f "(x). En slik graf kan ikke "bryte" ved punkt M, dvs. funksjonen må være kontinuerlig i punkt x.
Dette var "hands-on" argumenter. La oss gi en mer streng begrunnelse. Hvis funksjonen y = f(x) er differensierbar i punktet x, så gjelder den omtrentlige likheten \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\). Hvis i denne likheten \(\Delta x \) har en tendens til null, så vil \(\Delta y \) ha en tendens til null, og dette er betingelsen for kontinuiteten til funksjonen i et punkt.
Så, hvis en funksjon er differensierbar i et punkt x, så er den kontinuerlig i det punktet.
Det motsatte utsagnet er ikke sant. For eksempel: funksjon y = |x| er kontinuerlig overalt, spesielt i punktet x = 0, men tangenten til grafen til funksjonen ved "krysspunktet" (0; 0) eksisterer ikke. Hvis en tangent på et tidspunkt ikke kan trekkes til grafen til en funksjon, eksisterer ikke den deriverte på det punktet.
Et eksempel til. Funksjonen \(y=\sqrt(x)\) er kontinuerlig på hele tallinjen, inkludert i punktet x = 0. Og tangenten til grafen til funksjonen eksisterer på et hvilket som helst punkt, inkludert i punktet x = 0 Men på dette punktet faller tangenten sammen med y-aksen, dvs. den er vinkelrett på abscisseaksen, dens ligning har formen x = 0. En slik rett linje har ikke en vinkelkoeffisient, som betyr at \(f. "(0)\) eksisterer ikke.
Så vi ble kjent med en ny egenskap til en funksjon - differensieringsevne. Hvordan kan man konkludere fra grafen til en funksjon at den er differensierbar?
Svaret er faktisk gitt ovenfor. Hvis det på et tidspunkt er mulig å tegne en tangent til grafen til en funksjon som ikke er vinkelrett på abscisseaksen, så er funksjonen på dette punktet differensierbar. Hvis tangenten til grafen til en funksjon på et tidspunkt ikke eksisterer eller den er vinkelrett på abscisseaksen, er funksjonen på dette tidspunktet ikke differensierbar.
Regler for differensiering
Operasjonen med å finne den deriverte kalles differensiering. Når du utfører denne operasjonen, må du ofte jobbe med kvotienter, summer, produkter av funksjoner, så vel som "funksjoner av funksjoner", det vil si komplekse funksjoner. Ut fra definisjonen av derivat kan vi utlede differensieringsregler som gjør dette arbeidet enklere. Hvis C er et konstant tall og f=f(x), g=g(x) er noen differensierbare funksjoner, så er følgende sanne differensieringsregler:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
Tabell over derivater av noen funksjoner
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $Problemet med å finne den deriverte av en gitt funksjon er en av de viktigste i matematikkkurs på videregående skole og i høyere utdanningsinstitusjoner. Det er umulig å utforske en funksjon fullstendig og konstruere grafen uten å ta den deriverte. Den deriverte av en funksjon kan lett finnes hvis du kjenner de grunnleggende reglene for differensiering, samt tabellen over avledede funksjoner. La oss finne ut hvordan du finner den deriverte av en funksjon.
Den deriverte av en funksjon er grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet når økningen av argumentet har en tendens til null.
Å forstå denne definisjonen er ganske vanskelig, siden konseptet med en grense ikke er fullt studert på skolen. Men for å finne deriverte av ulike funksjoner, er det ikke nødvendig å forstå definisjonen, la oss overlate det til matematikere og gå rett til å finne den deriverte.
Prosessen med å finne den deriverte kalles differensiering. Når vi differensierer en funksjon, får vi en ny funksjon.
For å angi dem vil vi bruke de latinske bokstavene f, g, etc.
Det er mange forskjellige notasjoner for derivater. Vi vil bruke et slag. For eksempel, å skrive g" betyr at vi finner den deriverte av funksjonen g.
Derivattabell
For å svare på spørsmålet om hvordan du finner derivatet, er det nødvendig å gi en tabell over derivater av hovedfunksjonene. For å beregne deriverte av elementære funksjoner, er det ikke nødvendig å utføre komplekse beregninger. Det er nok bare å se på verdien i tabellen over derivater.
- (sin x)"=cos x
- (cos x)"= –sin x
- (x n)"=n x n-1
- (e x)"=e x
- (ln x)"=1/x
- (a x)"=a x ln a
- (log a x)"=1/x ln a
- (tg x)"=1/cos 2 x
- (ctg x)"= – 1/sin 2 x
- (arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
- (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
- (arctg x)"= 1/(1+x 2)
- (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)
Eksempel 1. Finn den deriverte av funksjonen y=500.
Vi ser at dette er en konstant. Fra tabellen over deriverte er det kjent at den deriverte av en konstant er lik null (formel 1).
Eksempel 2. Finn den deriverte av funksjonen y=x 100.
Dette er en potensfunksjon hvis eksponent er 100, og for å finne dens deriverte må du multiplisere funksjonen med eksponenten og redusere den med 1 (formel 3).
(x 100)"=100 x 99
Eksempel 3. Finn den deriverte av funksjonen y=5 x
Dette er en eksponentiell funksjon, la oss beregne dens deriverte ved å bruke formel 4.
Eksempel 4. Finn den deriverte av funksjonen y= log 4 x
Vi finner den deriverte av logaritmen ved å bruke formel 7.
(log 4 x)"=1/x ln 4
Regler for differensiering
La oss nå finne ut hvordan du finner den deriverte av en funksjon hvis den ikke er i tabellen. De fleste funksjonene som er studert er ikke elementære, men er kombinasjoner av elementære funksjoner ved bruk av enkle operasjoner (addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og multiplikasjon med et tall). For å finne deres derivater, må du kjenne reglene for differensiering. Under angir bokstavene f og g funksjoner, og C er en konstant.
1. Konstantkoeffisienten kan tas ut av fortegnet til den deriverte
Eksempel 5. Finn den deriverte av funksjonen y= 6*x 8
Vi tar ut en konstant faktor på 6 og differensierer kun x 4. Dette er en potensfunksjon, hvis deriverte er funnet ved hjelp av formel 3 i tabellen over deriverte.
(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7
2. Den deriverte av en sum er lik summen av de deriverte
(f + g)"=f" + g"
Eksempel 6. Finn den deriverte av funksjonen y= x 100 +sin x
En funksjon er summen av to funksjoner, de deriverte vi kan finne fra tabellen. Siden (x 100)"=100 x 99 og (sin x)"=cos x. Den deriverte av summen vil være lik summen av disse derivatene:
(x 100 +sin x)"= 100 x 99 +cos x
3. Den deriverte av differansen er lik differansen av de deriverte
(f – g)"=f" – g"
Eksempel 7. Finn den deriverte av funksjonen y= x 100 – cos x
Denne funksjonen er forskjellen mellom to funksjoner, de deriverte som vi også kan finne i tabellen. Da er den deriverte av forskjellen lik forskjellen av de deriverte og ikke glem å endre tegnet, siden (cos x)"= – sin x.
(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sin x
Eksempel 8. Finn den deriverte av funksjonen y=e x +tg x– x 2.
Denne funksjonen har både en sum og en forskjell, la oss finne de deriverte av hvert ledd:
(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Da er den deriverte av den opprinnelige funksjonen lik:
(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x
4. Avledet av produktet
(f * g)"=f" * g + f * g"
Eksempel 9. Finn den deriverte av funksjonen y= cos x *e x
For å gjøre dette finner vi først den deriverte av hver faktor (cos x)"=–sin x og (e x)"=e x. La oss nå erstatte alt i produktformelen. Vi multipliserer den deriverte av den første funksjonen med den andre og adderer produktet av den første funksjonen med den deriverte av den andre.
(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x
5. Derivat av kvotienten
(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2
Eksempel 10. Finn den deriverte av funksjonen y= x 50 /sin x
For å finne den deriverte av en kvotient, finner vi først den deriverte av telleren og nevneren hver for seg: (x 50)"=50 x 49 og (sin x)"= cos x. Ved å erstatte den deriverte av kvotienten i formelen får vi:
(x 50 /sin x)"= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x
Derivat av en kompleks funksjon
En kompleks funksjon er en funksjon representert ved en sammensetning av flere funksjoner. Det er også en regel for å finne den deriverte av en kompleks funksjon:
(u (v))"=u"(v)*v"
La oss finne ut hvordan du finner den deriverte av en slik funksjon. La y= u(v(x)) være en kompleks funksjon. La oss kalle funksjonen u ekstern, og v - intern.
For eksempel:
y=sin (x 3) er en kompleks funksjon.
Da er y=sin(t) en ekstern funksjon
t=x 3 - intern.
La oss prøve å beregne den deriverte av denne funksjonen. I henhold til formelen må du multiplisere derivatene til de interne og eksterne funksjonene.
(sin t)"=cos (t) - derivert av den eksterne funksjonen (der t=x 3)
(x 3)"=3x 2 - derivert av den interne funksjonen
Da er (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 den deriverte av en kompleks funksjon.
Bevis og utledning av formlene for den deriverte av eksponentialen (e til x-potensen) og eksponentialfunksjonen (a til x-potensen). Eksempler på beregning av derivater av e^2x, e^3x og e^nx. Formler for derivater av høyere orden.
Den deriverte av en eksponent er lik eksponenten selv (den deriverte av e til x-potensen er lik e til x-potensen):
(1)
(e x )′ = e x.
Den deriverte av en eksponentiell funksjon med en base a er lik funksjonen i seg selv multiplisert med den naturlige logaritmen til a:
(2)
.
Avledning av formelen for den deriverte av eksponentialen, e til x potens
En eksponentiell er en eksponentiell funksjon hvis grunntall er lik tallet e, som er følgende grense:
.
Her kan det enten være et naturlig tall eller et reelt tall. Deretter utleder vi formel (1) for den deriverte av eksponentialen.
Avledning av eksponentiell derivatformel
Tenk på eksponentialen, e til x-potensen:
y = e x .
Denne funksjonen er definert for alle. La oss finne dens deriverte med hensyn til variabelen x. Per definisjon er derivatet følgende grense:
(3)
.
La oss transformere dette uttrykket for å redusere det til kjente matematiske egenskaper og regler. For å gjøre dette trenger vi følgende fakta:
EN) Eksponentegenskap:
(4)
;
B) Egenskapen til logaritmen:
(5)
;
I) Kontinuitet til logaritmen og egenskapen til grenser for en kontinuerlig funksjon:
(6)
.
Her er en funksjon som har en grense og denne grensen er positiv.
G) Betydningen av den andre bemerkelsesverdige grensen:
(7)
.
La oss bruke disse fakta til vår grense (3). Vi bruker eiendom (4):
;
.
La oss gjøre en erstatning. Deretter ; .
På grunn av kontinuiteten til eksponentialen,
.
Derfor, når , . Som et resultat får vi:
.
La oss gjøre en erstatning. Deretter . Kl , .
.
Og vi har:
La oss bruke logaritme-egenskapen (5):
.
. Deretter
.
La oss bruke eiendom (6). Siden det er en positiv grense og logaritmen er kontinuerlig, så:
.
Her brukte vi også den andre bemerkelsesverdige grensen (7). Deretter
Dermed fikk vi formel (1) for den deriverte av eksponentialen.
Avledning av formelen for den deriverte av en eksponentiell funksjon
(8)
Nå utleder vi formel (2) for den deriverte av eksponentialfunksjonen med en base av grad a. Det tror vi og . Deretter eksponentialfunksjonen
Definert for alle. La oss transformere formel (8). Til dette vil vi bruke egenskapene til eksponentialfunksjonen
;
.
og logaritme.
.
Så vi transformerte formel (8) til følgende form:
Høyere ordens deriverte av e i x-potensen
(14)
.
(1)
.
La oss nå finne derivater av høyere ordener. La oss først se på eksponenten:
;
.
Vi ser at den deriverte av funksjon (14) er lik funksjon (14) i seg selv. Ved å differensiere (1), får vi derivater av andre og tredje orden:
.
Dette viser at den n-te ordens deriverte også er lik den opprinnelige funksjonen:
Derivater av høyere ordener av eksponentialfunksjonen
.
Tenk nå på en eksponentiell funksjon med basis av grad a:
(15)
.
Vi fant dens første-ordens derivat:
;
.
Ved å differensiere (15), får vi derivater av andre og tredje orden:
.