I kursene på ungdomsskolen og videregående dekket elevene emnet «Brøker». Dette konseptet er imidlertid mye bredere enn det som er gitt i læringsprosessen. I dag møtes begrepet brøk ganske ofte, og ikke alle kan beregne noe uttrykk, for eksempel multiplisere brøker.
Hva er en brøk?
Historisk sett oppsto brøktall ut fra behovet for å måle. Som praksis viser, er det ofte eksempler på å bestemme lengden på et segment og volumet til et rektangulært rektangel.
Innledningsvis blir elevene introdusert for begrepet andel. For eksempel, hvis du deler en vannmelon i 8 deler, vil hver person få en åttendedel av vannmelonen. Denne ene delen av åtte kalles en andel.
En andel lik ½ av en hvilken som helst verdi kalles halvparten; ⅓ - tredje; ¼ - en fjerdedel. Poster av formen 5/8, 4/5, 2/4 kalles vanlige brøker. En vanlig brøk er delt inn i en teller og en nevner. Mellom dem er brøkstreken, eller brøkstreken. Brøklinjen kan tegnes enten som en horisontal eller en skrå linje. I dette tilfellet betegner det divisjonstegnet.
Nevneren representerer hvor mange like deler mengden eller objektet er delt inn i; og telleren er hvor mange identiske aksjer som tas. Telleren skrives over brøklinjen, nevneren skrives under den.
Det er mest praktisk å vise vanlige brøker på en koordinatstråle. Hvis et enkelt segment er delt inn i 4 like deler, er hver del utpekt med en latinsk bokstav, så resultatet kan være et utmerket visuelt hjelpemiddel. Så, punkt A viser en andel lik 1/4 av hele enhetssegmentet, og punkt B markerer 2/8 av et gitt segment.
Typer brøker
Brøker kan være vanlige, desimale og blandede tall. I tillegg kan brøker deles inn i riktige og uekte. Denne klassifiseringen er mer egnet for vanlige fraksjoner.
En egenbrøk er et tall hvis teller er mindre enn nevneren. Følgelig er en uekte brøk et tall hvis teller er større enn nevneren. Den andre typen skrives vanligvis som et blandet tall. Dette uttrykket består av et heltall og en brøkdel. For eksempel 1½. 1 er en heltallsdel, ½ er en brøkdel. Men hvis du trenger å utføre noen manipulasjoner med uttrykket (dele eller multiplisere brøker, redusere eller konvertere dem), konverteres det blandede tallet til en uekte brøk.
Et korrekt brøkuttrykk er alltid mindre enn én, og et uriktig uttrykk er alltid større enn eller lik 1.
Når det gjelder dette uttrykket, mener vi en post der et hvilket som helst tall er representert, hvor nevneren til brøkuttrykket kan uttrykkes i form av en med flere nuller. Hvis brøken er riktig, vil heltallsdelen i desimalnotasjon være lik null.
For å skrive en desimalbrøk må du først skrive hele delen, skille den fra brøken med komma, og deretter skrive brøkuttrykket. Det må huskes at etter desimaltegnet må telleren inneholde samme antall digitale tegn som det er null i nevneren.
Eksempel. Uttrykk brøken 7 21 / 1000 i desimalnotasjon.
Algoritme for å konvertere en uekte brøk til et blandet tall og omvendt
Det er feil å skrive en uekte brøk i svaret på et problem, så det må konverteres til et blandet tall:
- del telleren med den eksisterende nevneren;
- i et spesifikt eksempel er en ufullstendig kvotient en helhet;
- og resten er telleren til brøkdelen, mens nevneren forblir uendret.
Eksempel. Konverter uekte brøk til blandet tall: 47/5.
Løsning. 47: 5. Partialkvotienten er 9, resten = 2. Så 47/5 = 9 2/5.
Noen ganger må du representere et blandet tall som en uekte brøk. Da må du bruke følgende algoritme:
- heltallsdelen multipliseres med nevneren til brøkuttrykket;
- det resulterende produktet legges til telleren;
- resultatet skrives i telleren, nevneren forblir uendret.
Eksempel. Presenter det blandede tallet som en uekte brøk: 9 8 / 10.
Løsning. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 er telleren.
Svar: 98 / 10.
Multiplisere brøker
Ulike algebraiske operasjoner kan utføres på vanlige brøker. For å multiplisere to tall, må du multiplisere telleren med telleren, og nevneren med nevneren. Dessuten er det å multiplisere brøker med forskjellige nevnere ikke forskjellig fra å multiplisere brøker med de samme nevnerne.
Det skjer at etter å ha funnet resultatet må du redusere brøkdelen. Det er viktig å forenkle det resulterende uttrykket så mye som mulig. Man kan selvsagt ikke si at en uekte brøk i et svar er en feil, men det er også vanskelig å kalle det et riktig svar.
Eksempel. Finn produktet av to vanlige brøker: ½ og 20/18.
Som man kan se fra eksemplet, etter å ha funnet produktet, oppnås en reduserbar brøknotasjon. Både telleren og nevneren i dette tilfellet deles på 4, og resultatet er svaret 5/9.
Multiplisere desimalbrøker
Produktet av desimalbrøker er ganske forskjellig fra produktet av vanlige brøker i sitt prinsipp. Så, multiplisering av brøker er som følger:
- to desimalbrøker må skrives under hverandre slik at sifrene lengst til høyre er under hverandre;
- du må multiplisere de skrevne tallene, til tross for kommaene, det vil si som naturlige tall;
- telle antall sifre etter desimaltegnet i hvert tall;
- i resultatet oppnådd etter multiplikasjon, må du telle fra høyre så mange digitale symboler som er inneholdt i summen i begge faktorene etter desimaltegnet, og sette et skilletegn;
- hvis det er færre tall i produktet, må du skrive så mange nuller foran dem for å dekke dette tallet, sette et komma og legge til hele delen lik null.
Eksempel. Regn ut produktet av to desimalbrøker: 2,25 og 3,6.
Løsning.
Multiplisere blandede fraksjoner
For å beregne produktet av to blandede brøker, må du bruke regelen for å multiplisere brøker:
- konvertere blandede tall til uekte brøker;
- finn produktet av tellerne;
- finne produktet av nevnere;
- skriv ned resultatet;
- forenkle uttrykket så mye som mulig.
Eksempel. Finn produktet av 4½ og 6 2/5.
Multiplisere et tall med en brøk (brøker med et tall)
I tillegg til å finne produktet av to brøker og blandede tall, er det oppgaver der du må gange med en brøk.
Så for å finne produktet av en desimalbrøk og et naturlig tall, trenger du:
- skriv tallet under brøken slik at sifrene lengst til høyre står over hverandre;
- finn produktet til tross for komma;
- i det resulterende resultatet skiller du heltallsdelen fra brøkdelen ved å bruke komma, og teller fra høyre antall sifre som er plassert etter desimaltegnet i brøken.
For å multiplisere en vanlig brøk med et tall, må du finne produktet av telleren og den naturlige faktoren. Hvis svaret gir en brøk som kan reduseres, bør den konverteres.
Eksempel. Regn ut produktet av 5/8 og 12.
Løsning. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
Svar: 7 1 / 2.
Som du kan se fra forrige eksempel, var det nødvendig å redusere det resulterende resultatet og konvertere det ukorrekte brøkuttrykket til et blandet tall.
Multiplikasjon av brøker dreier seg også om å finne produktet av et tall i blandet form og en naturlig faktor. For å multiplisere disse to tallene, bør du multiplisere hele delen av den blandede faktoren med tallet, multiplisere telleren med samme verdi, og la nevneren være uendret. Om nødvendig må du forenkle resultatet så mye som mulig.
Eksempel. Finn produktet av 9 5 / 6 og 9.
Løsning. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.
Svar: 88 1 / 2.
Multiplikasjon med faktorer på 10, 100, 1000 eller 0,1; 0,01; 0,001
Følgende regel følger av forrige avsnitt. For å multiplisere en desimalbrøk med 10, 100, 1000, 10000 osv., må du flytte desimaltegnet til høyre med så mange sifre som det er null i faktoren etter den ene.
Eksempel 1. Finn produktet av 0,065 og 1000.
Løsning. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.
Svar: 65.
Eksempel 2. Finn produktet av 3.9 og 1000.
Løsning. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.
Svar: 3900.
Hvis du trenger å multiplisere et naturlig tall og 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 osv., bør du flytte kommaet i det resulterende produktet til venstre med så mange siffer som det er nuller før ett. Om nødvendig skrives et tilstrekkelig antall nuller før det naturlige tallet.
Eksempel 1. Finn produktet av 56 og 0,01.
Løsning. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.
Svar: 0,56.
Eksempel 2. Finn produktet av 4 og 0,001.
Løsning. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.
Svar: 0,004.
Så å finne produktet av forskjellige brøker burde ikke forårsake noen vanskeligheter, bortsett fra kanskje å beregne resultatet; i dette tilfellet kan du rett og slett ikke klare deg uten en kalkulator.
I denne artikkelen skal vi se på handlingen ved å multiplisere desimaler. La oss starte med å angi de generelle prinsippene, så viser vi hvordan du multipliserer en desimalbrøk med en annen og vurderer metoden for multiplikasjon med en kolonne. Alle definisjoner vil bli illustrert med eksempler. Deretter vil vi se på hvordan du korrekt multipliserer desimalbrøker med vanlige, så vel som blandede og naturlige tall (inkludert 100, 10, etc.)
I dette materialet vil vi kun berøre reglene for multiplisering av positive brøker. Saker med negative tall behandles separat i artikler om multiplikasjon av rasjonelle og reelle tall.
Yandex.RTB R-A-339285-1
La oss formulere generelle prinsipper som må følges når vi løser problemer som involverer multiplikasjon av desimalbrøker.
La oss først huske at desimalbrøker ikke er noe mer enn en spesiell form for å skrive vanlige brøker, derfor kan prosessen med å multiplisere dem reduseres til en lignende for vanlige brøker. Denne regelen fungerer for både endelige og uendelige brøker: etter å ha konvertert dem til vanlige brøker, er det lett å multiplisere med dem i henhold til reglene vi allerede har lært.
La oss se hvordan slike problemer løses.
Eksempel 1
Regn ut produktet av 1,5 og 0,75.
Løsning: La oss først erstatte desimalbrøker med vanlige. Vi vet at 0,75 er 75/100, og 1,5 er 15/10. Vi kan redusere brøken og velge hele delen. Vi vil skrive det resulterende resultatet 125 1000 som 1, 125.
Svar: 1 , 125 .
Vi kan bruke kolonnetellingsmetoden, akkurat som for naturlige tall.
Eksempel 2
Multipliser en periodisk brøk 0, (3) med en annen 2, (36).
La oss først redusere de opprinnelige brøkene til vanlige. Vi vil få:
0 , (3) = 0 , 3 + 0 , 03 + 0 , 003 + 0 , 003 + . . . = 0 , 3 1 - 0 , 1 = 0 , 3 9 = 3 9 = 1 3 2 , (36) = 2 + 0 , 36 + 0 , 0036 + . . . = 2 + 0 , 36 1 - 0 , 01 = 2 + 36 99 = 2 + 4 11 = 2 4 11 = 26 11
Derfor er 0, (3) · 2, (36) = 1 3 · 26 11 = 26 33.
Den resulterende ordinære brøken kan konverteres til desimalform ved å dele telleren med nevneren i en kolonne:
Svar: 0, (3) · 2, (36) = 0, (78).
Hvis vi har uendelige ikke-periodiske brøker i problemstillingen, må vi utføre foreløpig avrunding (se artikkelen om avrunding av tall hvis du har glemt hvordan du gjør dette). Etter dette kan du utføre multiplikasjonshandlingen med allerede avrundede desimalbrøker. La oss gi et eksempel.
Eksempel 3
Regn ut produktet av 5, 382... og 0, 2.
Løsning
I oppgaven vår har vi en uendelig brøk som først må avrundes til hundredeler. Det viser seg at 5.382... ≈ 5.38. Det gir ingen mening å avrunde den andre faktoren til hundredeler. Nå kan du beregne det nødvendige produktet og skrive ned svaret: 5,38 0,2 = 538 100 2 10 = 1 076 1000 = 1,076.
Svar: 5,382…·0,2 ≈ 1,076.
Kolonnetellingsmetoden kan brukes ikke bare for naturlige tall. Hvis vi har desimaler, kan vi gange dem på nøyaktig samme måte. La oss utlede regelen:
Definisjon 1
Multiplisering av desimalbrøker etter kolonne utføres i 2 trinn:
1. Utfør kolonnemultiplikasjon, uten å ta hensyn til komma.
2. Plasser et desimaltegn i det endelige tallet, og separer det med like mange sifre på høyre side da begge faktorene inneholder desimaler sammen. Hvis resultatet ikke er nok tall for dette, legg til nuller til venstre.
La oss se på eksempler på slike beregninger i praksis.
Eksempel 4
Multipliser desimalene 63, 37 og 0, 12 med kolonner.
Løsning
La oss først multiplisere tall, og ignorere desimaltegn.
Nå må vi sette kommaet på rett sted. Det vil skille de fire sifrene på høyre side fordi summen av desimalene i begge faktorene er 4. Det er ikke nødvendig å legge til nuller, fordi nok tegn:
Svar: 3,37 0,12 = 7,6044.
Eksempel 5
Regn ut hvor mye 3,2601 ganger 0,0254 er.
Løsning
Vi teller uten komma. Vi får følgende nummer:
Vi vil sette et komma som skiller 8 sifre på høyre side, fordi de opprinnelige brøkene til sammen har 8 desimaler. Men resultatet vårt har bare syv sifre, og vi kan ikke klare oss uten ekstra nuller:
Svar: 3,2601 · 0,0254 = 0,08280654.
Hvordan multiplisere en desimal med 0,001, 0,01, 01 osv.
Å multiplisere desimaler med slike tall er vanlig, så det er viktig å kunne gjøre det raskt og nøyaktig. La oss skrive ned en spesiell regel som vi skal bruke for denne multiplikasjonen:
Definisjon 2
Hvis vi multipliserer en desimal med 0, 1, 0, 01 osv., ender vi opp med et tall som ligner den opprinnelige brøken, med desimaltegnet flyttet til venstre det nødvendige antall plasser. Hvis det ikke er nok tall å overføre, må du legge til nuller til venstre.
Så for å multiplisere 45, 34 med 0, 1, må du flytte desimaltegnet i den opprinnelige desimalbrøken med ett sted. Vi vil ende opp med 4.534.
Eksempel 6
Multipliser 9,4 med 0,0001.
Løsning
Vi må flytte desimaltegnet fire plasser i henhold til antall nuller i den andre faktoren, men tallene i den første faktoren er ikke nok til dette. Vi tildeler de nødvendige nullene og får at 9,4 · 0,0001 = 0,00094.
Svar: 0 , 00094 .
For uendelige desimaler bruker vi samme regel. Så, for eksempel, 0, (18) · 0, 01 = 0, 00 (18) eller 94, 938... · 0, 1 = 9, 4938.... og så videre.
Prosessen med slik multiplikasjon er ikke forskjellig fra handlingen med å multiplisere to desimalbrøker. Det er praktisk å bruke kolonnemultiplikasjonsmetoden hvis problemsetningen inneholder en siste desimalbrøk. I dette tilfellet er det nødvendig å ta hensyn til alle reglene som vi snakket om i forrige avsnitt.
Eksempel 7
Regn ut hvor mye 15 · 2,27 er.
Løsning
La oss multiplisere de opprinnelige tallene med en kolonne og skille to kommaer.
Svar: 15 · 2,27 = 34,05.
Hvis vi multipliserer en periodisk desimalbrøk med et naturlig tall, må vi først endre desimalbrøken til en vanlig.
Eksempel 8
Regn ut produktet av 0 , (42) og 22 .
La oss redusere den periodiske brøken til vanlig form.
0 , (42) = 0 , 42 + 0 , 0042 + 0 , 000042 + . . . = 0 , 42 1 - 0 , 01 = 0 , 42 0 , 99 = 42 99 = 14 33
0, 42 22 = 14 33 22 = 14 22 3 = 28 3 = 9 1 3
Vi kan skrive sluttresultatet i form av en periodisk desimalbrøk som 9, (3).
Svar: 0, (42) 22 = 9, (3) .
Uendelige brøker må først avrundes før beregninger.
Eksempel 9
Regn ut hvor mye 4 · 2, 145... vil være.
Løsning
La oss runde den opprinnelige uendelige desimalbrøken til hundredeler. Etter dette kommer vi til å multiplisere et naturlig tall og en siste desimalbrøk:
4 2,145… ≈ 4 2,15 = 8,60.
Svar: 4 · 2, 145… ≈ 8, 60.
Hvordan multiplisere en desimal med 1000, 100, 10 osv.
Å multiplisere en desimalbrøk med 10, 100 osv. støter ofte på i problemer, så vi vil analysere denne saken separat. Den grunnleggende regelen for multiplikasjon er:
Definisjon 3
For å multiplisere en desimalbrøk med 1000, 100, 10 osv., må du flytte desimaltegnet til 3, 2, 1 siffer avhengig av multiplikatoren og forkaste de ekstra nullene til venstre. Hvis det ikke er nok tall til å flytte kommaet, legger vi til så mange nuller til høyre som vi trenger.
La oss vise med et eksempel nøyaktig hvordan du gjør dette.
Eksempel 10
Multipliser 100 og 0,0783.
Løsning
For å gjøre dette må vi flytte desimaltegnet med 2 sifre til høyre. Vi vil ende opp med 007, 83 Nullene til venstre kan forkastes og resultatet skrives som 7, 38.
Svar: 0,0783 100 = 7,83.
Eksempel 11
Multipliser 0,02 med 10 tusen.
Løsning: Vi flytter kommaet fire sifre til høyre. Vi har ikke nok tegn for dette i den opprinnelige desimalbrøken, så vi må legge til nuller. I dette tilfellet vil tre 0 være nok. Resultatet er 0, 02000, flytt kommaet og få 00200, 0. Når vi ignorerer nullene til venstre, kan vi skrive svaret som 200.
Svar: 0,02 · 10 000 = 200.
Regelen vi har gitt vil fungere på samme måte ved uendelige desimalbrøker, men her bør du være veldig forsiktig med perioden til den siste brøken, siden det er lett å gjøre feil i den.
Eksempel 12
Regn ut produktet av 5,32 (672) ganger 1000.
Løsning: Først av alt vil vi skrive den periodiske brøken som 5, 32672672672 ..., så sannsynligheten for å gjøre en feil vil være mindre. Etter dette kan vi flytte kommaet til ønsket antall tegn (tre). Resultatet blir 5326, 726726... La oss sette punktum i parentes og skrive svaret som 5,326, (726).
Svar: 5, 32 (672) · 1,000 = 5,326, (726) .
Hvis problemforholdene inneholder uendelige ikke-periodiske brøker som må multipliseres med ti, hundre, tusen osv., ikke glem å runde dem før du multipliserer.
For å utføre multiplikasjon av denne typen, må du representere desimalbrøken som en vanlig brøk og deretter fortsette i henhold til de allerede kjente reglene.
Eksempel 13
Multipliser 0, 4 med 3 5 6
Løsning
La oss først konvertere desimalbrøken til en vanlig brøk. Vi har: 0, 4 = 4 10 = 2 5.
Vi fikk svaret i form av et blandet tall. Du kan skrive det som en periodisk brøk 1, 5 (3).
Svar: 1 , 5 (3) .
Hvis en uendelig ikke-periodisk brøk er involvert i beregningen, må du runde den av til et visst tall og deretter multiplisere den.
Eksempel 14
Beregn produktet 3, 5678. . . · 2 3
Løsning
Vi kan representere den andre faktoren som 2 3 = 0, 6666…. Deretter runder du begge faktorene til tusenplass. Etter dette må vi beregne produktet av to siste desimalbrøker 3,568 og 0,667. La oss telle med en kolonne og få svaret:
Sluttresultatet må avrundes til tusendeler, siden det var til dette sifferet vi rundet de opprinnelige tallene. Det viser seg at 2,379856 ≈ 2,380.
Svar: 3, 5678. . . · 2 3 ≈ 2, 380
Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter
Temaet Multiplisere desimaler inkluderer å multiplisere en desimal med et naturlig tall, å multiplisere en desimal med en desimal og noen viktige spesialtilfeller. La oss skrive ned alle reglene for dette emnet på én side.
For å multiplisere en desimalbrøk med et naturlig tall, trenger du
- i det resulterende produktet skiller du like mange sifre etter desimaltegnet som det er etter desimaltegnet i desimalbrøken.
Eksempler på å multiplisere en desimalbrøk med et naturlig tall.
Vi multipliserer uten å ta hensyn til kommaet, det vil si 342∙7=2394. Det er to sifre etter desimaltegnet i desimalbrøken 3,42. Derfor, i det resulterende produktet skiller vi to tall etter desimaltegnet: 23,94.
Dermed 3,42∙7=23,94.
Vi multipliserer tallene og ignorerer kommaet: 7135∙2=14270. I det resulterende resultatet bør du skille de to siste sifrene med komma: 142,70. Siden nuller etter desimaltegnet ikke skrives på slutten av desimalbrøken, da
71,35∙2=142,70=142,7.
3) 0, 000836∙17=?
Vi multipliserer uten å ta hensyn til kommaet: 836∙17=14212. Siden en desimalbrøk har 6 sifre etter desimaltegnet, må det resulterende produktet også ha 6 sifre etter desimaltegnet. Siden resultatet er totalt 5 siffer, supplerer vi det manglende ene sifferet med en null. Vi tildeler denne nullen foran nummeret: .01412. Når du mottar en slik post, skrives en null foran kommaet i heltallsdelen: 0,01412.
For å multiplisere to desimalbrøker trenger du:
- multiplisere tall uten å ta hensyn til kommaet;
- i det resulterende produktet skiller du like mange sifre etter desimaltegnet som det er etter desimaltegnet i begge faktorene sammen.
Eksempler på å multiplisere desimaler.
Vi multipliserer tallene uten å ta hensyn til kommaet: 13∙4=52. I det resulterende produktet bør du skrive ned like mange sifre etter desimaltegnet som det er etter desimaltegnet i begge faktorene sammen. I den første faktoren 1,3 er det ett siffer etter desimalpunktet, i den andre faktoren 0,4 er det ett siffer etter desimalpunktet, totalt 1+1=2 siffer, resultatet må skilles med komma: 0,52 (ved å legge til en null før desimaltegn):
2) 3,00504∙0,025=?
Vi multipliserer uten å ta hensyn til kommaet: 300504∙25=7512600. I det resulterende produktet må du få like mange sifre etter desimaltegnet som det er i begge faktorene etter desimaltegnet sammen, det vil si 5 + 3 = 8 sifre. Vi supplerer det manglende antallet sifre med null. Vi forkaster nullene etter desimaltegnet på slutten av desimalbrøken.
3,00504∙0,025=0,07512600=0,075126.
3) 1,37∙0,0061=?
Produktet uten komma er 137∙61=8357. Etter desimaltegnet skal det være 2+4=6 sifre. Vi supplerer antall siffer som mangler opptil 6 med to nuller (vi skriver dem foran tallet 8357. For det første, før kommaet i heltallsdelen, skriver vi en null:
1,37∙0,0061=0,008357.
3.Spesielle tilfeller av multiplikasjon av desimalbrøker.
For å multiplisere en desimalbrøk med 10, 100, 1000, 10000 osv., må du flytte kommaet i brøknotasjonen til 1, 2, 3, 4 osv. sifre til høyre.
Eksempler.
Flytt kommaet ett siffer til høyre:
1) 7,9∙10=79 (her 79,=79);
2) 8,53∙10=85,3;
3) 0, 6541=6,541.
Flytt kommaet to sifre til høyre:
1) 7,04∙100=704;
2) 3,8754∙100=387,54;
3) 4,5∙100=450 (det er bare ett siffer etter desimaltegnet. Det manglende 1-sifferet er supplert med en null).
Flytt kommaet tre sifre til høyre:
1) 45,8096∙1000=45809,6;
2) 0,67∙1000=670 (det er 2 sifre etter desimaltegnet. Det manglende 1-sifferet er supplert med null);
1. En vanlig brøk hvis nevner er 10, 100, 1000 osv. kalles en desimalbrøk.
2. Brøker med nevner 10 n kan skrives som desimal.
3. Legger du til en eller flere nuller til desimalbrøken til høyre, får du en brøk lik den gitte.
4. Hvis en eller flere nuller i en desimalbrøk fjernes fra høyre, vil du få en brøk lik den gitte.
5. Heltallsdelen fra brøkdelen i desimalnotasjonen til et tall er atskilt med komma.
6. Brøkdelen fra heltallsdelen i desimalnotasjonen til et tall er atskilt med komma.
7. En desimalbrøk som har et endelig antall sifre etter desimaltegnet kalles en endelig desimalbrøk.
8. En desimalbrøk som har et uendelig antall sifre etter desimaltegnet kalles en uendelig desimalbrøk.
9. Uendelige desimalbrøker er delt inn i periodiske og ikke-periodiske desimalbrøker
10. Et fortløpende gjentatt siffer eller minimal gruppe av sifre i notasjonen av en uendelig desimalbrøk etter desimaltegnet kalles perioden for denne uendelige desimalbrøken.
11. Irreduserbare vanlige brøker hvis nevnere ikke inneholder andre primfaktorer enn 2 og 5 skrives som en siste desimalbrøk.
12. Irreduserbare vanlige brøker, i hvis nevner det i tillegg til 2 og 5 er andre primfaktorer, skrives som en uendelig desimalbrøk.
13. Regelen for å konvertere en desimalbrøk til en vanlig brøk.
For å skrive en desimalbrøk som en brøk, må du:
1) la hele delen være uendret;
2) skriv tallet etter desimaltegnet i telleren, og i nevneren - én og like mange nuller som det er sifre etter desimaltegnet i desimalbrøken.
14. Regelen for å konvertere en brøk til en desimal.
1) (1 metode) For å skrive en irreduserbar ordinær brøk, hvis nevner ikke inneholder andre primfaktorer enn 2 og 5, som en desimal, må du presentere den som en brøk med nevneren 10,100,1000, etc.
(2. metode) – del telleren med nevneren.
2) For å skrive en irreduserbar ordinær brøk, i hvis nevner det i tillegg til 2 og 5 er andre primfaktorer som desimal, må du dele telleren med nevneren.
15. Desimaler – … hundrevis, tiere, enheter, tideler, hundredeler, tusendeler … ti tusendeler….
16. Tallene i desimalbrøken til høyre for desimaltegnet kalles desimaler.
17. Sammenligning av desimaler:
1) (1. metode) På en koordinatstråle er den mindre desimalbrøken plassert til venstre, og den større desimalbrøken er plassert til høyre. Like desimalbrøker er representert på koordinatstrålen med samme punkt.
2) (2. metode) Desimalbrøker sammenlignes sted for siffer, og starter med det høyeste sifferet.
1) Hvis heltallsdelene av desimalbrøkene er forskjellige, er desimaltallsbrøken større, og den mindre er desimalbrøken hvis heltallsdel er mindre.
2) hvis hele delene av desimalbrøkene er like, så er den største desimalbrøken hvis første av de ikke-matchende sifrene skrevet etter desimaltegnet er større.
18. Regler for avrunding av hele delen av en desimalbrøk. For å runde en desimalbrøk til desimalplassen tiere, hundrevis osv., kan du forkaste brøkdelen og bruke regelen om avrunding av naturlige tall på det lærte tallet.
19. Regler for avrunding av brøkdelen av en desimal. For å avrunde en desimal til enhetene, tideler, hundredeler osv., kan du:
1) forkast alle sifre etter dette sifferet;
2) hvis det første forkastede sifferet er 5, 6, 7, 8, 9, øk det resulterende tallet med ett siffer som vi runder av til;
3) hvis det første forkastede sifferet er 0,1,2,3,4. la deretter det resulterende tallet være uendret.
20. Regelen for å legge til (trekke fra) desimalbrøker. For å legge til (trekke fra) desimalbrøker, må du:
1) utjevne antall desimaler i desimalbrøker;
2) skriv dem ned etter hverandre slik at kommaet står under kommaet, og tallene med de samme sifrene står under hverandre;
3) utføre addisjon (subtraksjon) bit for bit;
4) plasser et komma i den resulterende verdien av summen (forskjellen) under kommaene til begrepene (minert og subtrahert).
21. Regelen for å multiplisere en desimalbrøk med et naturlig tall. For å multiplisere en desimalbrøk med et naturlig tall, må du:
1) multipliser det med dette tallet, og ignorer kommaet;
2) i det resulterende produktet skiller du like mange sifre til høyre med komma som det er i desimalbrøken atskilt med komma.
22. Regelen for å multiplisere en desimalbrøk med tallene 10,100,1000 osv. For å multiplisere en desimalbrøk med 10.100.1000 osv., må du flytte desimaltegnet til høyre med like mange sifre som det er null i sifferenheten.
23. Regelen for å multiplisere desimalbrøk med tall 0,1; 0,01; 0,01 osv. For å multiplisere en desimal med 0,1; 0,01; 0,01 osv., må du flytte desimaltegnet til venstre med like mange sifre som det er desimaler i divisoren.
24. Regel for å multiplisere desimaler. Slik multipliserer du desimalbrøker:
1) multiplisere dem uten å ta hensyn til kommaet;
2) i det resulterende produktet, separer med komma like mange sifre til høyre som det er atskilt med komma i to faktorer sammen.
25. Regelen for å dele en desimalbrøk med tallene 10,100,1000 osv. For å dele en desimalbrøk med 10 100 1000 osv., må du flytte desimaltegnet til venstre med like mange sifre som det er null i sifferenheten.
26. Regelen for å dele en desimalbrøk med tall 0,1; 0,01; 0,01 osv. For å dele en desimal med 0,1; 0,01; 0,01 osv., må du flytte desimaltegnet til høyre med like mange sifre som det er desimaler i divisoren.
27. Regelen for å dele en desimalbrøk med et naturlig tall. For å dele en desimalbrøk med et naturlig tall, må du:
1) del det med dette tallet, og ignorer kommaet; 2) i den resulterende kvotienten skiller du like mange sifre til høyre med komma som det er atskilt med komma i desimalbrøken.
28. Å dele en desimal med en desimal. Slik deler du et tall med en desimalbrøk:
1) i utbytte og divisor, flytt kommaet til høyre med så mange sifre som det er etter desimaltegnet i divisoren;
2) utføre divisjon med et naturlig tall.
Kommentar:
For eksempel, 0,333...=0,(3) De leser: "Omtrent så mange som tre i en periode." Hvis i en uendelig periodisk desimalbrøk begynner perioden umiddelbart etter desimaltegnet, så kalles det en ren periodisk desimalbrøk. Hvis en periodisk desimalbrøk har andre desimalplasser mellom desimaltegn og punktum, kalles det en blandet periodisk desimalbrøk. Heltall kan skrives som rene periodiske desimalbrøker med en periode lik null. Uendelig desimal ikke-periodiske brøker kalles irrasjonelle tall. Irrasjonelle tall skrives bare som en uendelig desimal ikke-periodisk brøk.
I den siste leksjonen lærte vi å legge til og subtrahere desimaler (se leksjonen "Legge til og trekke desimaler"). Samtidig vurderte vi hvor mye beregninger som er forenklet sammenlignet med vanlige «to-etasjers» brøker.
Dessverre oppstår ikke denne effekten ved å multiplisere og dele desimaler. I noen tilfeller kompliserer desimalnotasjon til og med disse operasjonene.
Først, la oss introdusere en ny definisjon. Vi vil se ham ganske ofte, og ikke bare i denne leksjonen.
Den signifikante delen av et tall er alt mellom det første og siste ikke-null-sifferet, inkludert endene. Vi snakker kun om tall, desimaltegn er ikke tatt i betraktning.
Sifrene som inngår i den signifikante delen av et tall kalles signifikante sifre. De kan gjentas og til og med være lik null.
Tenk for eksempel på flere desimalbrøker og skriv ut de tilsvarende betydelige delene:
- 91,25 → 9125 (signifikante tall: 9; 1; 2; 5);
- 0,008241 → 8241 (signifikante tall: 8; 2; 4; 1);
- 15,0075 → 150075 (signifikante tall: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
- 0,0304 → 304 (signifikante tall: 3; 0; 4);
- 3000 → 3 (det er bare ett signifikant tall: 3).
Vær oppmerksom på: nullene i den betydelige delen av tallet går ingen vei. Vi har allerede støtt på noe lignende da vi lærte å konvertere desimalbrøker til vanlige (se leksjonen “Desimaler”).
Dette punktet er så viktig, og feil blir gjort her så ofte, at jeg i nær fremtid vil publisere en test om dette emnet. Sørg for å øve! Og vi, bevæpnet med konseptet om den betydelige delen, vil faktisk gå videre til temaet for leksjonen.
Multiplisere desimaler
Multiplikasjonsoperasjonen består av tre påfølgende trinn:
- For hver brøk, skriv ned den betydelige delen. Du vil få to vanlige heltall - uten noen nevnere og desimaltegn;
- Multipliser disse tallene på en passende måte. Direkte, hvis tallene er små, eller i en kolonne. Vi får den betydelige delen av den ønskede brøken;
- Finn ut hvor og med hvor mange sifre desimaltegnet i de opprinnelige brøkene forskyves for å få den tilsvarende signifikante delen. Utfør reverserte skift for den betydelige delen oppnådd i forrige trinn.
La meg minne deg nok en gang om at nuller på sidene av den betydelige delen aldri blir tatt i betraktning. Å ignorere denne regelen fører til feil.
- 0,28 12,5;
- 6,3 · 1,08;
- 132,5 · 0,0034;
- 0,0108 1600,5;
- 5,25 · 10 000.
Vi jobber med det første uttrykket: 0,28 · 12,5.
- La oss skrive ned de signifikante delene for tallene fra dette uttrykket: 28 og 125;
- Produktet deres: 28 · 125 = 3500;
- I den første faktoren forskyves desimaltegnet 2 sifre til høyre (0,28 → 28), og i den andre forskyves det med 1 siffer til. Totalt trenger du en forskyvning til venstre med tre sifre: 3500 → 3500 = 3,5.
La oss nå se på uttrykket 6.3 · 1.08.
- La oss skrive ut de vesentlige delene: 63 og 108;
- Produktet deres: 63 · 108 = 6804;
- Igjen, to skift til høyre: med henholdsvis 2 og 1 siffer. Totalt - igjen 3 sifre til høyre, så omvendt skift vil være 3 sifre til venstre: 6804 → 6.804. Denne gangen er det ingen etterfølgende nuller.
Vi nådde det tredje uttrykket: 132,5 · 0,0034.
- Vesentlige deler: 1325 og 34;
- Produktet deres: 1325 · 34 = 45 050;
- I den første brøken flyttes desimalpunktet til høyre med 1 siffer, og i den andre - med så mange som 4. Totalt: 5 til høyre. Vi skifter med 5 til venstre: 45 050 → .45050 = 0,4505. Nulltallet ble fjernet på slutten og lagt til foran for ikke å etterlate et "bart" desimaltegn.
Følgende uttrykk er: 0,0108 · 1600,5.
- Vi skriver de vesentlige delene: 108 og 16 005;
- Vi multipliserer dem: 108 · 16.005 = 1.728.540;
- Vi teller tallene etter desimaltegnet: i det første tallet er det 4, i det andre er det 1. Totalen er igjen 5. Vi har: 1 728 540 → 17,28540 = 17,2854. På slutten ble den "ekstra" nullen fjernet.
Til slutt, det siste uttrykket: 5,25 10 000.
- Vesentlige deler: 525 og 1;
- Vi multipliserer dem: 525 · 1 = 525;
- Den første brøken flyttes 2 siffer til høyre, og den andre brøken flyttes 4 siffer til venstre (10 000 → 1,0000 = 1). Totalt 4 − 2 = 2 sifre til venstre. Vi utfører en omvendt forskyvning med 2 sifre til høyre: 525, → 52 500 (vi måtte legge til nuller).
Merk i det siste eksemplet: siden desimaltegnet beveger seg i forskjellige retninger, blir det totale skiftet funnet gjennom differansen. Dette er et veldig viktig poeng! Her er et annet eksempel:
Tenk på tallene 1,5 og 12 500. Vi har: 1,5 → 15 (forskyv med 1 til høyre); 12 500 → 125 (skift 2 til venstre). Vi "tråkker" 1 siffer til høyre, og deretter 2 til venstre. Som et resultat gikk vi 2 − 1 = 1 siffer til venstre.
Desimaldeling
Divisjon er kanskje den vanskeligste operasjonen. Her kan du selvfølgelig handle analogt med multiplikasjon: dele de signifikante delene, og deretter "flytte" desimaltegnet. Men i dette tilfellet er det mange finesser som negerer potensielle besparelser.
Derfor, la oss se på en universell algoritme, som er litt lengre, men mye mer pålitelig:
- Konverter alle desimalbrøker til vanlige brøker. Med litt øvelse vil dette trinnet ta deg noen sekunder;
- Del de resulterende brøkene på klassisk måte. Med andre ord, multipliser den første brøken med den "inverterte" andre (se leksjonen "Multipisere og dele numeriske brøker");
- Hvis mulig, presenter resultatet på nytt som en desimalbrøk. Dette trinnet er også raskt, siden nevneren ofte allerede er en potens på ti.
Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:
- 3,51: 3,9;
- 1,47: 2,1;
- 6,4: 25,6:
- 0,0425: 2,5;
- 0,25: 0,002.
La oss vurdere det første uttrykket. La oss først konvertere brøker til desimaler:
La oss gjøre det samme med det andre uttrykket. Telleren til den første brøken vil igjen bli faktorisert:
Det er et viktig poeng i det tredje og fjerde eksemplet: etter å ha blitt kvitt desimalnotasjonen, vises reduserbare brøker. Vi vil imidlertid ikke utføre denne reduksjonen.
Det siste eksemplet er interessant fordi telleren til den andre brøken inneholder et primtall. Det er rett og slett ingenting å faktorisere her, så vi vurderer det rett frem:
Noen ganger resulterer divisjon i et heltall (jeg snakker om det siste eksemplet). I dette tilfellet utføres ikke det tredje trinnet i det hele tatt.
I tillegg oppstår det ofte «stygge» brøker ved deling som ikke kan konverteres til desimaler. Dette skiller divisjon fra multiplikasjon, hvor resultatene alltid er representert i desimalform. Selvfølgelig, i dette tilfellet blir det siste trinnet igjen ikke utført.
Vær også oppmerksom på det tredje og fjerde eksemplet. I dem reduserer vi bevisst ikke vanlige brøker hentet fra desimaler. Ellers vil dette komplisere den inverse oppgaven - representere det endelige svaret igjen i desimalform.
Husk: den grunnleggende egenskapen til en brøk (som enhver annen regel i matematikk) i seg selv betyr ikke at den må brukes overalt og alltid, ved enhver anledning.