Sannsynlighetsteori forklaring. Konvergens av sekvenser av tilfeldige variabler

Hva er sannsynlighet?

Første gang jeg møtte dette begrepet, ville jeg ikke ha forstått hva det var. Derfor vil jeg prøve å forklare tydelig.

Sannsynlighet er sjansen for at arrangementet vi ønsker skal skje.

For eksempel bestemte du deg for å gå til en venns hus, du husker inngangen og til og med gulvet han bor på. Men jeg glemte nummeret og plasseringen av leiligheten. Og nå står du på trappen, og foran deg er det dører å velge mellom.

Hva er sjansen (sannsynligheten) for at hvis du ringer den første ringeklokken, vil vennen din svare på døren for deg? Det er bare leiligheter, og en venn bor bare bak en av dem. Med lik sjanse kan vi velge hvilken som helst dør.

Men hva er denne sjansen?

Døren, den rette døren. Sannsynlighet for å gjette ved å ringe den første ringeklokken: . Det vil si at én av tre vil gjette nøyaktig.

Vi vil vite, etter å ha ringt en gang, hvor ofte vil vi gjette døren? La oss se på alle alternativene:

1. Du ringte 1 dør
2. Du ringte 2 dør
3. Du ringte 3 dør

La oss nå se på alle alternativene der en venn kan være:

EN. Bak 1 døren
b. Bak 2 døren
V. Bak 3 døren

La oss sammenligne alle alternativene i tabellform. Et hakemerke indikerer alternativer når valget ditt faller sammen med en venns plassering, et kryss - når det ikke sammenfaller.

Hvordan ser du alt Kan være alternativer din venns plassering og ditt valg av hvilken dør du vil ringe.

EN gunstige resultater for alt . Det vil si at du vil gjette én gang ved å ringe én gang på døren, dvs. .

Dette er sannsynlighet - forholdet mellom et gunstig resultat (når valget ditt faller sammen med vennens plassering) og antall mulige hendelser.

Definisjonen er formelen. Sannsynlighet er vanligvis betegnet med p, så:

Det er ikke veldig praktisk å skrive en slik formel, så vi vil ta for - antall gunstige utfall, og for - det totale antallet utfall.

Sannsynligheten kan skrives som en prosentandel for å gjøre dette, må du multiplisere resultatet med:

Ordet "resultater" fanget sannsynligvis oppmerksomheten din. Siden matematikere kaller ulike handlinger (i vårt tilfelle er en slik handling en dørklokke) eksperimenter, kalles resultatet av slike eksperimenter vanligvis for utfallet.

Vel, det er gunstige og ugunstige utfall.

La oss gå tilbake til vårt eksempel. La oss si at vi ringte på en av dørene, men en fremmed åpnet den for oss. Vi gjettet ikke riktig. Hva er sannsynligheten for at hvis vi ringer på en av de gjenværende dørene, vil vennen vår åpne den for oss?

Hvis du trodde det, så er dette en feil. La oss finne ut av det.

Vi har to dører igjen. Så vi har mulige trinn:

1) Ring 1 dør
2) Ring 2 dør

Vennen, til tross for alt dette, står definitivt bak en av dem (han sto tross alt ikke bak den vi ringte):

a) Venn for 1 døren
b) Venn for 2 døren

La oss tegne tabellen igjen:

Som du kan se, er det bare alternativer, hvorav gunstige. Det vil si at sannsynligheten er lik.

Hvorfor ikke?

Situasjonen vi vurderte er eksempel på avhengige hendelser. Den første hendelsen er den første ringeklokken, den andre hendelsen er den andre ringeklokken.

Og de kalles avhengige fordi de påvirker følgende handlinger. Tross alt, hvis ringeklokken ble besvart av en venn etter den første ringingen, hva ville sannsynligheten være for at han var bak en av de to andre? Ikke sant, .

Men hvis det er avhengige hendelser, så må det også være det uavhengig? Det stemmer, de skjer.

Et lærebokeksempel er å kaste en mynt.

1. Kast en mynt en gang. Hva er sannsynligheten for å få hoder, for eksempel? Det er riktig - fordi det er alle alternativene (enten hoder eller haler, vi vil neglisjere sannsynligheten for at mynten lander på kanten), men det passer bare oss.
2. Men det kom opp i hodet. Ok, la oss kaste det igjen. Hva er sannsynligheten for å få hoder nå? Ingenting har endret seg, alt er det samme. Hvor mange alternativer? To. Hvor mange er vi fornøyd med? En.

Og la det komme opp i hodet minst tusen ganger på rad. Sannsynligheten for å få hoder med en gang vil være den samme. Det er alltid alternativer, og gunstige.

Det er lett å skille avhengige hendelser fra uavhengige:

1. Hvis eksperimentet utføres én gang (de kaster en mynt én gang, ringer på døren én gang osv.), så er hendelsene alltid uavhengige.
2. Hvis et eksperiment utføres flere ganger (en mynt kastes én gang, ringeklokken blir ringt flere ganger), er den første hendelsen alltid uavhengig. Og så, hvis antallet gunstige eller antallet av alle utfall endres, er hendelsene avhengige, og hvis ikke, er de uavhengige.

La oss øve litt på å bestemme sannsynlighet.

Eksempel 1.

Mynten kastes to ganger. Hva er sannsynligheten for å få hoder to ganger på rad?

Løsning:

La oss vurdere alle mulige alternativer:

1. Ørn-ørn
2. Hoder-haler
3. Haler-Hoder
4. Haler-haler

Som du kan se, er det bare alternativer. Av disse er vi bare fornøyd. Det vil si sannsynligheten:

Hvis betingelsen bare ber deg finne sannsynligheten, må svaret gis i form av en desimalbrøk. Hvis det var spesifisert at svaret skulle gis i prosent, så ville vi ganget med.

Svar:

Eksempel 2.

I en sjokoladeeske er alle sjokoladene pakket i samme innpakning. Men fra søtsaker - med nøtter, med cognac, med kirsebær, med karamell og med nougat.

Hva er sannsynligheten for å ta ett godteri og få et godteri med nøtter? Gi svaret ditt i prosent.

Løsning:

Hvor mange mulige utfall er det? .

Det vil si at hvis du tar ett godteri, vil det være et av de som er tilgjengelig i esken.

Hvor mange gunstige utfall?

Fordi boksen inneholder kun sjokolade med nøtter.

Svar:

Eksempel 3.

I en boks med ballonger. hvorav er hvite og svarte.

1. Hva er sannsynligheten for å tegne en hvit ball?
2. Vi la til flere svarte kuler i boksen. Hva er nå sannsynligheten for å tegne en hvit ball?

Løsning:

a) Det er bare baller i boksen. Av dem er hvite.

Sannsynligheten er:

b) Nå er det flere baller i boksen. Og det er like mange hvite igjen - .

Svar:

Total sannsynlighet

Sannsynligheten for alle mulige hendelser er lik ().

La oss si at det er røde og grønne kuler i en boks. Hva er sannsynligheten for å tegne en rød ball? Grønn ball? Rød eller grønn ball?

Sannsynlighet for å tegne en rød ball

Grønn ball:

Rød eller grønn ball:

Som du kan se, er summen av alle mulige hendelser lik (). Å forstå dette punktet vil hjelpe deg med å løse mange problemer.

Eksempel 4.

Det er markører i boksen: grønn, rød, blå, gul, svart.

Hva er sannsynligheten for å tegne IKKE en rød markør?

Løsning:

La oss telle tallet gunstige resultater.

IKKE en rød markør, det betyr grønn, blå, gul eller svart.

Sannsynligheten for at en hendelse ikke skal inntreffe er lik minus sannsynligheten for at hendelsen inntreffer.

Regel for å multiplisere sannsynlighetene for uavhengige hendelser

Du vet allerede hva uavhengige hendelser er.

Hva om du trenger å finne sannsynligheten for at to (eller flere) uavhengige hendelser vil skje på rad?

La oss si at vi vil vite hva er sannsynligheten for at hvis vi slår en mynt én gang, vil vi se hoder to ganger?

Vi har allerede vurdert - .

Hva om vi kaster en mynt én gang? Hva er sannsynligheten for å se en ørn to ganger på rad?

Totalt mulige alternativer:

1. Ørn-ørn-ørn
2. Hoder-hoder-haler
3. Hoder-hale-hoder
4. Hoder-haler-haler
5. Haler-hoder-hoder
6. Haler-hoder-haler
7. Haler-haler-hoder
8. Haler-haler-haler

Jeg vet ikke om deg, men jeg gjorde feil flere ganger da jeg kompilerte denne listen. Wow! Og det eneste alternativet (det første) passer oss.

For 5 kast kan du lage en liste over mulige utfall selv. Men matematikere er ikke like hardtarbeidende som deg.

Derfor la de først merke til og beviste deretter at sannsynligheten for en viss sekvens av uavhengige hendelser hver gang avtar med sannsynligheten for en hendelse.

Med andre ord,

La oss se på eksemplet med den samme skjebnesvangre mynten.

Sannsynlighet for å få hoder i en utfordring? . Nå snur vi mynten en gang.

Hva er sannsynligheten for å få hoder på rad?

Denne regelen fungerer ikke bare hvis vi blir bedt om å finne sannsynligheten for at den samme hendelsen vil skje flere ganger på rad.

Hvis vi ønsket å finne sekvensen TAILS-HEADS-TAILS for påfølgende kast, ville vi gjort det samme.

Sannsynligheten for å lande hoder er - , hoder - .

Sannsynligheten for å få sekvensen TAILS-HEADS-TAILS-HALER:

Du kan sjekke det selv ved å lage en tabell.

Regelen for å legge til sannsynlighetene for uforenlige hendelser.

Så stopp! Ny definisjon.

La oss finne ut av det. La oss ta den utslitte mynten vår og kaste den en gang.
Mulige alternativer:

1. Ørn-ørn-ørn
2. Hoder-hoder-haler
3. Hoder-hale-hoder
4. Hoder-haler-haler
5. Haler-hoder-hoder
6. Haler-hoder-haler
7. Haler-haler-hoder
8. Haler-haler-haler

Så uforenlige hendelser er en viss, gitt hendelsesforløp. - Dette er uforenlige hendelser.

Hvis vi ønsker å bestemme hva sannsynligheten for to (eller flere) uforenlige hendelser er, så legger vi til sannsynlighetene for disse hendelsene.

Du må forstå at hoder eller haler er to uavhengige hendelser.

Hvis vi ønsker å bestemme sannsynligheten for at en sekvens (eller en annen) skal oppstå, bruker vi regelen om å multiplisere sannsynligheter.
Hva er sannsynligheten for å få hoder på første kast, og haler på andre og tredje kast?

Men hvis vi vil vite hva som er sannsynligheten for å få en av flere sekvenser, for eksempel når hoder kommer opp nøyaktig én gang, dvs. alternativer, og så må vi legge sammen sannsynlighetene for disse sekvensene.

Totale alternativer passer oss.

Vi kan få det samme ved å legge sammen sannsynlighetene for forekomst av hver sekvens:

Dermed legger vi til sannsynligheter når vi ønsker å bestemme sannsynligheten for visse, inkonsistente hendelsesforløp.

Det er en god regel som hjelper deg å unngå å bli forvirret når du skal multiplisere og når du skal legge til:

La oss gå tilbake til eksemplet der vi kastet en mynt en gang og ønsket å vite sannsynligheten for å se hoder en gang.
Hva kommer til å skje?

Skulle falle ut:
(hoder OG haler OG haler) ELLER (haler OG hoder OG haler) ELLER (haler OG haler OG hoder).
Slik blir det:

La oss se på noen få eksempler.

Eksempel 5.

Det er blyanter i esken. rød, grønn, oransje og gul og svart. Hva er sannsynligheten for å tegne røde eller grønne blyanter?

Løsning:

Eksempel 6.

Hvis en terning kastes to ganger, hva er sannsynligheten for å få totalt 8?

Løsning.

Hvordan kan vi få poeng?

(og) eller (og) eller (og) eller (og) eller (og).

Sannsynligheten for å få ett (hvilket som helst) ansikt er .

Vi beregner sannsynligheten:

Opplæring.

Jeg tror nå du forstår når du trenger å beregne sannsynligheter, når du skal legge dem til, og når du skal multiplisere dem. Er det ikke? La oss øve litt.

Oppgaver:

La oss ta en kortstokk som inneholder kort inkludert spar, hjerter, 13 kløver og 13 ruter. Fra til ess i hver farge.

1. Hva er sannsynligheten for å trekke køller på rad (vi legger det første kortet trukket ut tilbake i bunken og blander det)?
2. Hva er sannsynligheten for å trekke et svart kort (spar eller kløver)?
3. Hva er sannsynligheten for å tegne et bilde (knekt, dame, konge eller ess)?
4. Hva er sannsynligheten for å tegne to bilder på rad (vi fjerner det første kortet som trekkes fra bunken)?
5. Hva er sannsynligheten for å samle en kombinasjon - (knekt, dame eller konge) og et ess Rekkefølgen kortene trekkes i spiller ingen rolle.

Svar:

Hvis du var i stand til å løse alle problemene selv, så er du stor! Nå vil du knekke problemer med sannsynlighetsteori i Unified State-eksamenen som nøtter!

SANNSYNLIGHETSTEORI. GJENNOMSNITTLIG NIVÅ

La oss se på et eksempel. La oss si at vi kaster en terning. Hva slags bein er dette, vet du? Dette er hva de kaller en kube med tall på ansiktene. Hvor mange ansikter, så mange tall: fra til hvor mange? Før.

Så vi kaster terningen og vi vil at den skal komme opp eller. Og vi skjønner det.

I sannsynlighetsteori sier de hva som skjedde gunstig begivenhet(ikke å forveksle med velstående).

Hvis det skjedde, ville også arrangementet vært gunstig. Totalt kan bare to gunstige hendelser skje.

Hvor mange er ugunstige? Siden det er totalt mulige hendelser, betyr det at de ugunstige er hendelser (dette er hvis eller faller ut).

Definisjon:

Sannsynlighet er forholdet mellom antall gunstige hendelser og antallet av alle mulige hendelser. Det vil si at sannsynlighet viser hvor stor andel av alle mulige hendelser som er gunstige.

De betegner sannsynlighet med en latinsk bokstav (tilsynelatende fra det engelske ordet sannsynlighet - sannsynlighet).

Det er vanlig å måle sannsynligheten i prosent (se emne). For å gjøre dette må sannsynlighetsverdien multipliseres med. I terningeksemplet, sannsynlighet.

Og i prosent: .

Eksempler (bestem selv):

1. Hva er sannsynligheten for å få hoder når du kaster en mynt? Hva er sannsynligheten for å lande hoder?
2. Hva er sannsynligheten for å få et partall når du kaster en terning? Hvilken er rar?
3. I en boks med enkle, blå og røde blyanter. Vi tegner en blyant tilfeldig. Hva er sannsynligheten for å få en enkel?

Løsninger:

1. Hvor mange alternativer er det? Hoder og haler - bare to. Hvor mange av dem er gunstige? Bare én er en ørn. Så sannsynligheten

   Det er det samme med haler: .

2. Totale alternativer: (hvor mange sider kuben har, så mange forskjellige alternativer). Gunstige: (disse er alle partall:).
   Sannsynlighet. Selvfølgelig er det det samme med oddetall.
3. Total: . Gunstig: . Sannsynlighet: .

Total sannsynlighet

Alle blyanter i boksen er grønne. Hva er sannsynligheten for å tegne en rød blyant? Det er ingen sjanser: sannsynlighet (tross alt gunstige hendelser -).

En slik hendelse kalles umulig.

Hva er sannsynligheten for å tegne en grønn blyant? Det er nøyaktig samme antall gunstige arrangementer som det er totalt arrangementer (alle arrangementer er gunstige). Så sannsynligheten er lik eller.

En slik hendelse kalles pålitelig.

Hvis en boks inneholder grønne og røde blyanter, hva er sannsynligheten for å tegne grønt eller rødt? Men igjen. La oss merke dette: sannsynligheten for å trekke ut grønn er lik, og rød er lik.

I sum er disse sannsynlighetene nøyaktig like. Det er, summen av sannsynlighetene for alle mulige hendelser er lik eller.

Eksempel:

I en boks med blyanter, blant dem er blå, rød, grønn, vanlig, gul, og resten er oransje. Hva er sannsynligheten for ikke å tegne grønt?

Løsning:

Vi husker at alle sannsynligheter summerer seg. Og sannsynligheten for å bli grønn er lik. Dette betyr at sannsynligheten for ikke å tegne grønt er lik.

Husk dette trikset: Sannsynligheten for at en hendelse ikke skal inntreffe er lik minus sannsynligheten for at hendelsen inntreffer.

Uavhengige hendelser og multiplikasjonsregelen

Du slår en mynt én gang og vil at den skal komme opp begge gangene. Hva er sannsynligheten for dette?

La oss gå gjennom alle mulige alternativer og finne ut hvor mange det er:

Hoder-hoder, haler-hoder, hoder-haler, haler-haler. Hva annet?

Totale alternativer. Av disse er det bare en som passer oss: Eagle-Eagle. Totalt er sannsynligheten lik.

Fint. La oss slå en mynt en gang. Gjør regnestykket selv. Skjedd? (svar).

Du har kanskje lagt merke til at med tillegg av hvert påfølgende kast, reduseres sannsynligheten med det halve. Den generelle regelen kalles multiplikasjonsregel:

Sannsynlighetene for uavhengige hendelser endres.

Hva er uavhengige hendelser? Alt er logisk: dette er de som ikke er avhengige av hverandre. For eksempel, når vi kaster en mynt flere ganger, hver gang det gjøres et nytt kast, resultatet av dette er ikke avhengig av alle tidligere kast. Vi kan like gjerne kaste to forskjellige mynter samtidig.

Flere eksempler:

1. Terningene kastes to ganger. Hva er sannsynligheten for at det kommer opp begge gangene?
2. Mynten kastes én gang. Hva er sannsynligheten for at den vil komme opp med hodet første gang, og deretter haler to ganger?
3. Spilleren kaster to terninger. Hva er sannsynligheten for at summen av tallene på dem blir lik?

Svar:

1. Hendelsene er uavhengige, noe som betyr at multiplikasjonsregelen fungerer: .
2. Sannsynligheten for hoder er lik. Sannsynligheten for haler er den samme. Multiplisere:
3. 12 kan bare oppnås hvis to -ki rulles: .

Inkompatible hendelser og tilleggsregelen

Hendelser som utfyller hverandre til et punkt med full sannsynlighet kalles inkompatible. Som navnet antyder, kan de ikke skje samtidig. For eksempel, hvis vi snur en mynt, kan den komme opp enten hode eller haler.

Eksempel.

I en boks med blyanter, blant dem er blå, rød, grønn, vanlig, gul, og resten er oransje. Hva er sannsynligheten for å tegne grønt eller rødt?

Løsning .

Sannsynligheten for å tegne en grønn blyant er lik. Rød - .

Gunstige hendelser i alt: grønn + rød. Dette betyr at sannsynligheten for å tegne grønt eller rødt er lik.

Den samme sannsynligheten kan representeres i denne formen: .

Dette er tilleggsregelen: sannsynligheten for uforenlige hendelser summerer seg.

Problemer med blandede typer

Eksempel.

Mynten kastes to ganger. Hva er sannsynligheten for at resultatene av rullene blir annerledes?

Løsning .

Dette betyr at hvis det første resultatet er hoder, må det andre være haler, og omvendt. Det viser seg at det er to par uavhengige hendelser, og disse parene er uforenlige med hverandre. Hvordan ikke bli forvirret om hvor du skal multiplisere og hvor du skal legge til.

Det er en enkel regel for slike situasjoner. Prøv å beskrive hva som skal skje ved å bruke konjunksjonene "OG" eller "ELLER". For eksempel, i dette tilfellet:

Den skal komme opp (hoder og haler) eller (haler og hoder).

Der det er en konjunksjon "og" vil det være multiplikasjon, og der det er "eller" vil det være addisjon:

Prøv selv:

1. Hva er sannsynligheten for at hvis en mynt kastes to ganger, vil mynten lande på samme side begge gangene?
2. Terningene kastes to ganger. Hva er sannsynligheten for å få totalt poeng?

Løsninger:

Et annet eksempel:

Kast en mynt en gang. Hva er sannsynligheten for at hoder dukker opp minst én gang?

Løsning:

SANNSYNLIGHETSTEORI. KORT OM DE VIKTIGSTE TINGENE

Sannsynlighet er forholdet mellom antall gunstige hendelser og antallet av alle mulige hendelser.

Uavhengige arrangementer

To hendelser er uavhengige hvis forekomsten av den ene ikke endrer sannsynligheten for at den andre inntreffer.

Total sannsynlighet

Sannsynligheten for alle mulige hendelser er lik ().

Sannsynligheten for at en hendelse ikke skal inntreffe er lik minus sannsynligheten for at hendelsen inntreffer.

Regel for å multiplisere sannsynlighetene for uavhengige hendelser

Sannsynligheten for en viss sekvens av uavhengige hendelser er lik produktet av sannsynlighetene for hver hendelse

Inkompatible hendelser

Inkompatible hendelser er de som umulig kan oppstå samtidig som et resultat av et eksperiment. En rekke uforenlige hendelser utgjør en komplett gruppe hendelser.

Sannsynlighetene for uforenlige hendelser summerer seg.

Etter å ha beskrevet hva som skal skje, bruker vi konjunksjonene "AND" eller "OR", i stedet for "AND" setter vi et multiplikasjonstegn, og i stedet for "OR" legger vi et addisjonstegn.

Vel, emnet er over. Hvis du leser disse linjene, betyr det at du er veldig kul.

Fordi bare 5 % av mennesker er i stand til å mestre noe på egen hånd. Og hvis du leser til slutten, er du inne på disse 5%!

Nå er det viktigste.

Du har forstått teorien om dette emnet. Og, jeg gjentar, dette... dette er bare supert! Du er allerede bedre enn de aller fleste av dine jevnaldrende.

Problemet er at dette kanskje ikke er nok...

For hva?

For å ha bestått Unified State-eksamenen, for å gå inn på college på et budsjett og, VIKTIGST, for livet.

Jeg vil ikke overbevise deg om noe, jeg vil bare si en ting...

Folk som har fått en god utdannelse tjener mye mer enn de som ikke har fått den. Dette er statistikk.

Men dette er ikke hovedsaken.

Hovedsaken er at de er MER LYKKELIG (det finnes slike studier). Kanskje fordi mange flere muligheter åpner seg foran dem og livet blir lysere? Vet ikke...

Men tenk selv...

Hva skal til for å være sikker på å være bedre enn andre på Unified State-eksamenen og til slutt bli... lykkeligere?

FÅ HÅNDEN DIN VED Å LØSE PROBLEMER OM DETTE EMNET.

Du vil ikke bli spurt om teori under eksamen.

Du vil trenge løse problemer mot tiden.

Og hvis du ikke har løst dem (MYE!), vil du definitivt gjøre en dum feil et sted eller rett og slett ikke ha tid.

Det er som i sport - du må gjenta det mange ganger for å vinne sikkert.

Finn samlingen hvor du vil, nødvendigvis med løsninger, detaljert analyse og bestemme, bestemme, bestemme!

Du kan bruke oppgavene våre (valgfritt) og vi anbefaler dem selvfølgelig.

For å bli bedre til å bruke oppgavene våre, må du bidra til å forlenge levetiden til YouClever-læreboken du leser nå.

Hvordan? Det er to alternativer:

1. Lås opp alle skjulte oppgaver i denne artikkelen - 299 gni.
2. Lås opp tilgang til alle skjulte oppgaver i alle de 99 artiklene i læreboken - 499 gni.

Ja, vi har 99 slike artikler i læreboken vår og tilgang til alle oppgaver og alle skjulte tekster i dem kan åpnes umiddelbart.

Tilgang til alle skjulte oppgaver er gitt for HELE nettstedets levetid.

For å konkludere...

Hvis du ikke liker oppgavene våre, finn andre. Bare ikke stopp ved teorien.

«Forstått» og «Jeg kan løse» er helt forskjellige ferdigheter. Du trenger begge deler.

Finn problemer og løs dem!

men også all fremtid

observerte frekvenser er stabilisert,

På

Hva er den praktiske anvendelsen av sannsynlighetsteoretiske metoder?

Den praktiske anvendelsen av metodene for sannsynlighetsteori består i å beregne sannsynlighetene for "komplekse" hendelser på nytt gjennom sannsynlighetene for "enkle hendelser".

Eksempel. Sannsynligheten for at våpenskjoldet faller ut med et enkelt kast med en rettferdig mynt er ½ (den observerte frekvensen av våpenskjoldet som faller ut med et stort antall kast har en tendens til dette tallet). Du må finne sannsynligheten for at når du kaster en rettferdig mynt tre ganger, vil du få 2 våpenskjold.

Svar: Berullis formel svarer på dette spørsmålet:

0,375 (dvs. en slik hendelse forekommer i 37,5 % av tilfellene med 2 kast med en rettferdig mynt).

Et karakteristisk trekk ved moderne sannsynlighetsteori er det faktum at den, til tross for sin praktiske orientering, bruker de siste delene av nesten alle grener av matematikk.

Grunnleggende begreper: generell og utvalgspopulasjon.

Her er en tabell over korrelasjon mellom de grunnleggende begrepene for den generelle befolkningen og utvalg.

Befolkning	Utvalgspopulasjon
Tilfeldig variabel (x, h, z)	Tegn (x, y, z)
Sannsynlighet p, p-gen	Relativ frekvens p, p velg
Sannsynlighetsfordeling	Frekvensfordeling
Parameter (karakteristikk av sannsynlighetsfordeling)	Statistikk (en funksjon av utvalgsverdier av egenskaper) tjener til å estimere en eller annen parameter for den generelle sannsynlighetsfordelingen
Eksempler på parametere og tilsvarende statistikk
Univariate tilfeldige variabler (univariate fordelinger)
Matematisk forventning (m, Мx)	Aritmetisk gjennomsnitt (m, )
Mote (Mo)	Mote (Mo)
Median (meg)	Median (meg)
	Standardavvik)
Dispersjon (s 2 , Dx)	Dispersjon (s 2 , Dx)
Bivariate tilfeldige variabler (bivariate fordelinger)
Korrelasjonskoeffisient r(x, h)	Korrelasjonskoeffisient r(x,y)
Multivariate tilfeldige variabler (multivariatfordelinger)
Regresjonsligningskoeffisienter b 1 ,b 2 ,...,b n	Regresjonsligningskoeffisienter b 1, b 2, …, b n

Analyse av varianter

Forelesningsplan.

1. Enveis variansanalyse.

Forelesningsspørsmål.

Korrelasjonskoeffisient

Godtar verdier i området -1 til +1

Dimensjonsløs mengde

Viser tilkoblingens nærhet (tilkobling som synkronisitet, konsistens) mellom skiltene

Regresjonskoeffisient

Kan ta hvilken som helst verdi

Koblet til måleenhetene for begge egenskapene

Viser strukturen i forholdet mellom funksjoner: karakteriserer sammenhengen som avhengighet, påvirkning, etablerer årsak-virkningsforhold.

Tegnet til koeffisienten indikerer retningen til forbindelsen

Kompliserer modellen

Den totale effekten av alle uavhengige faktorer på den avhengige variabelen kan ikke representeres som en enkel sum av flere parvise regresjoner.

Denne kumulative effekten bestemmes av en mer kompleks metode - multippel regresjonsmetoden.

Stadier av korrelasjons- og regresjonsanalyse:

· Identifisere tilstedeværelsen av et forhold mellom egenskaper;

· Bestemme kommunikasjonsformen;

· Bestemmelse av koblingens styrke, tetthet og retning.

Oppgaver som skal løses etter å ha lest denne forelesningen:

Du kan skrive frem og tilbake regresjonsligninger for disse størrelsene. Lag passende grafer. Finn korrelasjonskoeffisienten til mengdene som vurderes. Bruk studentens kriterium, test hypotesen om betydningen av korrelasjonen. Vi bruker kommandoene: LINEST og Chart Wizard i Excel.

Litteratur.

1. Forelesningsnotater.

1. Gmurman, V.E. Sannsynlighetsteori og matematisk statistikk. - M.: Videregående skole, 2003. - 479 s.

1.8. Grunnleggende konsepter for eksperimentell design og noen anbefalinger

Forelesningsplan.

1. Eksperimentell planlegging: hovedstadier og prinsipper.

2. Konseptet eksperiment, respons, responsflate, faktorrom.

3. Bestemme formålet med å planlegge eksperimentet.

4. Hovedstadier i planleggingen:

Forelesningsspørsmål:

1. Grunnleggende begreper. Formulering av problemet.

Eksperimentell planlegging er den optimale (mest effektive) kontrollen av forløpet av et eksperiment for å oppnå størst mulig informasjon basert på den minste tillatte mengden data. Med selve eksperimentet mener vi et system av operasjoner, handlinger eller observasjoner rettet mot å innhente informasjon om et objekt.

Teorien om eksperimentplanlegging forutsetter tilstedeværelsen av viss kunnskap, og følgende stadier av planlegging kan grovt skilles:

1) innsamling og primærbehandling av statistiske data

2) fastsettelse av punkt- og intervallestimater for distribusjon

3) og deres påfølgende behandling, som forutsetter kunnskap om statistiske metoder for måling av en tilfeldig variabel, teorien om å teste statistiske hypoteser, metoder for eksperimentplanlegging, spesielt passive eksperimenter, metoder for variansanalyse, metoder for å søke etter ekstremumet av responsfunksjon;

2) utarbeide en eksperimentell plan, gjennomføre selve eksperimentet, behandle resultatene av eksperimentet, vurdere nøyaktigheten av eksperimentet.

Så la oss gi konseptet til selve eksperimentet.

Eksperiment. Eksperiment er den viktigste og mest avanserte metoden for erkjennelse, som kan være aktiv eller passiv.

Aktiv - hovedtypen eksperiment, som utføres under kontrollerte og kontrollerte forhold, som har følgende fordeler:

1) observasjonsresultater uavhengige normalfordelte tilfeldige variabler;

2) variansene er lik hverandre (på grunn av det faktum at utvalgsestimatene er homogene);

3) uavhengige variabler måles med en liten feil sammenlignet med feilen på verdien y ;

4) et aktivt eksperiment er bedre organisert: optimal bruk av faktorplass tillater, til minimale kostnader, å oppnå maksimal informasjon om prosessene eller fenomenene som studeres.

Et passivt eksperiment er ikke avhengig av eksperimentatoren, som i dette tilfellet fungerer som en utenforstående observatør.

Når du planlegger et eksperiment, presenteres objektet som studeres i form av en "svart boks", som påvirkes av kontrollerbare og ukontrollerbare faktorer:

her - kontrollerbare faktorer; - ukontrollerbare faktorer, - optimeringsparametere som kan karakterisere driften av objektet.

Faktorer. Hver faktor kan ta et visst antall verdier som kalles nivåer faktorer. Settet med mulige nivåer av en faktor kalles definisjonsdomene faktorer som kan være kontinuerlige eller diskrete, begrensede eller ubegrensede. Faktorer kan være:

- kompatibel: enhver kombinasjon av faktorer antas å være tillatt, noe som ikke bør påvirke bevaringen av prosessen som studeres;

- uavhengig: det skal ikke være noen korrelasjon mellom faktorene, det vil si at det er mulig å endre verdien av hver av faktorene som vurderes i systemet uavhengig av hverandre. Brudd på minst ett av disse kravene fører enten til umuligheten av å bruke eksperimentell design, eller til svært alvorlige vanskeligheter. Riktig valg av faktorer lar deg tydelig angi betingelsene for eksperimentet.

Parametre studert må oppfylle en rekke krav:

- effektivitet som bidrar til rask oppnåelse av målet;

- universalitet, karakteristisk ikke bare for objektet som studeres;

- statistisk homogenitet, som forutsetter samsvar, opp til eksperimentell feil, med et visst sett med faktorverdier av en viss faktorverdi;

- kvantitativt uttrykk i ett tall;

- enkel beregning;

- eksistens i hvilken som helst tilstand av objektet.

Modell. Forholdet mellom utgangsparameteren (respons) og inngangsparameterne (faktorene) kalles responsfunksjonen og har følgende form:

(1)

Her er responsen (resultatet av eksperimentet); - uavhengige variabler (faktorer) som kan varieres ved oppsett av forsøk.

Respons. Responsen er et resultat av erfaring under hensiktsmessige forhold, som også kalles målfunksjon, effektivitetskriterium, optimalitetskriterium, optimaliseringsparameter, etc.

I teorien om eksperimentell planlegging stilles krav til optimaliseringsparameteren, hvis oppfyllelse er nødvendig for en vellykket løsning av problemet. Valget av optimaliseringsparameter bør baseres på en klart formulert problemstilling, på en klar forståelse av det endelige målet for studien. Optimaliseringsparameteren må være effektiv i statistisk forstand, det vil si bestemt med tilstrekkelig nøyaktighet. Hvis det er en stor feil i bestemmelsen, er det nødvendig å øke antallet parallelle eksperimenter.

Det er ønskelig å ha så få optimaliseringsparametere som mulig. Imidlertid bør man ikke strebe etter å redusere antall optimaliseringsparametere på bekostning av fullstendigheten av systemkarakteristikkene. Det er også ønskelig at systemet er fullstendig preget av enkle optimaliseringsparametere som har en klar fysisk betydning. Naturligvis beskytter en enkel optimaliseringsparameter med en klar fysisk betydning eksperimentatoren mot mange feil og avlaster ham for mange vanskeligheter forbundet med å løse ulike metodologiske spørsmål om eksperimentering og teknologisk tolkning av de oppnådde resultatene.

Den geometriske analogen til parameteren (responsfunksjonen), tilsvarende ligning (1), kalles responsflaten, og rommet der den spesifiserte flaten er konstruert kalles faktorrommet. I det enkleste tilfellet, når avhengigheten av responsen på en faktor studeres, er responsflaten en linje på et plan, det vil si i todimensjonalt rom. Generelt, når faktorer vurderes, beskriver ligning (1) responsoverflaten i - dimensjonalt rom. Så, for eksempel, med to faktorer, er faktorrommet et faktorplan.

Hensikten med å planlegge et eksperiment er å få en matematisk modell av objektet eller prosessen som studeres. Med svært begrenset kunnskap om prosessens mekanisme er det analytiske uttrykket for responsfunksjonen ukjent, derfor brukes vanligvis polynomiske matematiske modeller (algebraiske polynomer) kalt regresjonsligninger, den generelle formen for disse er:

(2)

Hvor – prøveregresjonskoeffisienter som kan oppnås ved å bruke resultatene av eksperimentet.

4. Hovedstadiene i planleggingen av et eksperiment inkluderer:

1. Innsamling, studie, analyse av alle data om objektet.

2. Koding av faktorer.

3. Tegne opp en eksperimentplanleggingsmatrise.

4. Kontrollere reproduserbarheten av eksperimenter.

5. Beregning av estimater av regresjonsligningskoeffisienter.

6. Sjekke betydningen av regresjonskoeffisienter.

7. Sjekke tilstrekkeligheten til den resulterende modellen.

8. Overgang til fysiske variabler.

Litteratur

1. Forelesningsnotater.

4.1 Markov-kjeder. Tilfeldige funksjoner. Monte Carlo-metoden. Simuleringsmodellering. Nettverksplanlegging. Dynamisk og heltallsprogrammering

Forelesningsplan.

1. Monte Carlo metoder.

2. Statistisk testmetode (Monte Carlo-metoder)

Forelesningsspørsmål.

Hva studerer sannsynlighetsteori?

Sannsynlighetsteori studerer såkalte tilfeldige hendelser og etablerer mønstre i manifestasjonen av slike hendelser vi kan si at sannsynlighetsteori er en gren av matematikken der matematiske modeller av tilfeldige eksperimenter studeres, dvs. eksperimenter, hvis utfall ikke kan bestemmes entydig av betingelsene for eksperimentet.

For å introdusere konseptet med en tilfeldig hendelse, er det nødvendig å vurdere noen eksempler på virkelige eksperimenter.

2. Gi begrepet et tilfeldig eksperiment og gi eksempler på tilfeldige eksperimenter.

Her er eksempler på tilfeldige eksperimenter:

1. Kast en mynt én gang.

2. Kast terningen en gang.

3. Tilfeldig valg av en ball fra urnen.

4. Måling av oppetiden til en lyspære.

5. Måling av antall samtaler som ankommer PBX per tidsenhet.

Et eksperiment er tilfeldig hvis det er umulig å forutsi utfallet av ikke bare det første eksperimentet, men også all fremtid. For eksempel utføres en kjemisk reaksjon, hvis utfall er ukjent. Hvis det utføres en gang og et visst resultat oppnås, forsvinner tilfeldigheten med ytterligere eksperimentering under de samme forholdene.

Du kan gi så mange eksempler av denne typen du vil. Hva er fellesskapet med eksperimenter med tilfeldige utfall? Det viser seg at til tross for at det er umulig å forutsi resultatene av hvert av forsøkene som er oppført ovenfor, har det i praksis lenge vært lagt merke til en viss type mønster for dem, nemlig: når du utfører et stort antall tester observerte frekvenser forekomst av hver tilfeldig hendelse er stabilisert, de. avvike mindre og mindre fra et visst tall kalt sannsynligheten for en hendelse.

Den observerte frekvensen av hendelse A () er forholdet mellom antall forekomster av hendelse A () og det totale antallet forsøk (N):

Denne egenskapen til frekvensstabilitet tillater, uten å kunne forutsi utfallet av et enkelt eksperiment, nøyaktig forutsi egenskapene til fenomener knyttet til den aktuelle opplevelsen. Derfor har metodene for sannsynlighetsteori i moderne liv trengt inn i alle sfærer av menneskelig aktivitet, ikke bare innen naturvitenskap, økonomi, men også innen humaniora, som historie, lingvistikk, etc. Basert på denne tilnærmingen statistisk bestemmelse av sannsynlighet.

På (den observerte frekvensen av en hendelse har en tendens til dens sannsynlighet ettersom antall eksperimenter øker, det vil si med n).

Definisjonen av sannsynlighet når det gjelder frekvens er imidlertid ikke tilfredsstillende for sannsynlighetsteori som matematisk vitenskap. Dette skyldes det faktum at det er praktisk talt umulig å gjennomføre et uendelig antall tester og den observerte frekvensen varierer fra eksperiment til eksperiment. Derfor A.N. Kolmogorov foreslo en aksiomatisk definisjon av sannsynlighet, som for tiden er akseptert.

Sannsynlighetsteori er en gren av matematikken som studerer mønstrene til tilfeldige fenomener: tilfeldige hendelser, tilfeldige variabler, deres egenskaper og operasjoner på dem.

I lang tid hadde ikke sannsynlighetsteori en klar definisjon. Den ble formulert først i 1929. Fremveksten av sannsynlighetsteori som vitenskap går tilbake til middelalderen og de første forsøkene på matematisk analyse av gambling (flake, terninger, rulett). Franske matematikere fra 1600-tallet, Blaise Pascal og Pierre Fermat, oppdaget, mens de studerte spådommen om gevinster i gambling, de første sannsynlighetsmønstrene som oppstår når de kaster terninger.

Sannsynlighetsteori oppsto som en vitenskap fra troen på at tilfeldige massehendelser er basert på visse mønstre. Sannsynlighetsteori studerer disse mønstrene.

Sannsynlighetsteori omhandler studiet av hendelser hvis forekomst ikke er kjent med sikkerhet. Det lar deg bedømme graden av sannsynlighet for forekomsten av noen hendelser sammenlignet med andre.

For eksempel: det er umulig å entydig bestemme resultatet av "hoder" eller "haler" som et resultat av å kaste en mynt, men ved gjentatt kast vises omtrent like mange "hoder" og "haler", noe som betyr at sannsynligheten for at "hoder" eller "haler" vil falle ", er lik 50%.

Test i dette tilfellet kalles implementeringen av et visst sett med betingelser, det vil si i dette tilfellet å kaste en mynt. Utfordringen kan spilles et ubegrenset antall ganger. I dette tilfellet inkluderer settet med vilkår tilfeldige faktorer.

Testresultatet er begivenhet. Hendelsen skjer:

1. Pålitelig (oppstår alltid som et resultat av testing).
2. Umulig (skjer aldri).
3. Tilfeldig (kan eller ikke forekomme som et resultat av testen).

For eksempel, når du kaster en mynt, en umulig hendelse - mynten vil lande på kanten, en tilfeldig hendelse - utseendet til "hoder" eller "haler". Det spesifikke testresultatet kalles elementær begivenhet. Som et resultat av testen oppstår bare elementære hendelser. Settet med alle mulige, forskjellige, spesifikke testresultater kalles rom for elementære begivenheter.

Grunnleggende begreper i teorien

Sannsynlighet- graden av mulighet for at en hendelse inntreffer. Når årsakene til at en mulig hendelse faktisk oppstår oppveier de motsatte årsakene, kalles denne hendelsen sannsynlig, ellers - usannsynlig eller usannsynlig.

Tilfeldig verdi- dette er en mengde som som følge av testing kan ta en eller annen verdi, og det er ikke kjent på forhånd hvilken. For eksempel: antall per brannstasjon per dag, antall treff med 10 skudd osv.

Tilfeldige variabler kan deles inn i to kategorier.

1. Diskret tilfeldig variabel er en mengde som, som et resultat av testing, kan anta visse verdier med en viss sannsynlighet, og danner et tellbart sett (et sett hvis elementer kan nummereres). Dette settet kan enten være endelig eller uendelig. For eksempel er antall skudd før første treff på skiven en diskret tilfeldig variabel, fordi denne mengden kan få et uendelig, om enn tellbart, antall verdier.
2. Kontinuerlig tilfeldig variabel er en mengde som kan ta hvilken som helst verdi fra et endelig eller uendelig intervall. Åpenbart er antallet mulige verdier for en kontinuerlig tilfeldig variabel uendelig.

Sannsynlighetsrom- konsept introdusert av A.N. Kolmogorov på 30-tallet av det 20. århundre for å formalisere begrepet sannsynlighet, noe som ga opphav til den raske utviklingen av sannsynlighetsteori som en streng matematisk disiplin.

Et sannsynlighetsrom er en trippel (noen ganger omsluttet av vinkelparenteser: , hvor

Dette er et vilkårlig sett, hvis elementer kalles elementære hendelser, utfall eller poeng;
- sigma algebra av delmengder kalt (tilfeldige) hendelser;
- sannsynlighetsmål eller sannsynlighet, dvs. sigma-additivt endelig mål slik at .

De Moivre-Laplace teorem- en av grensesetningene for sannsynlighetsteori, etablert av Laplace i 1812. Den sier at antall suksesser når man gjentar samme tilfeldige eksperiment om og om igjen med to mulige utfall er tilnærmet normalfordelt. Den lar deg finne en omtrentlig sannsynlighetsverdi.

Hvis sannsynligheten for forekomsten av en tilfeldig hendelse for hver av de uavhengige forsøkene er lik () og er antallet forsøk der den faktisk forekommer, så er sannsynligheten for at ulikheten er sann nær (for store verdier) verdien av Laplace-integralet.

Fordelingsfunksjon i sannsynlighetsteori- en funksjon som karakteriserer fordelingen av en tilfeldig variabel eller tilfeldig vektor; sannsynligheten for at en tilfeldig variabel X vil ha en verdi mindre enn eller lik x, der x er et vilkårlig reelt tall. Hvis kjente betingelser er oppfylt, bestemmer den fullstendig den tilfeldige variabelen.

Forventet verdi- gjennomsnittsverdien av en tilfeldig variabel (dette er sannsynlighetsfordelingen til en tilfeldig variabel, vurdert i sannsynlighetsteori). I engelskspråklig litteratur er det betegnet med , på russisk - . I statistikk brukes ofte notasjonen.

La et sannsynlighetsrom og en tilfeldig variabel definert på det gis. Det er per definisjon en målbar funksjon. Så, hvis det er et Lebesgue-integral av over rom, kalles det den matematiske forventningen, eller middelverdien, og betegnes .

Varians av en tilfeldig variabel- et mål på spredningen av en gitt tilfeldig variabel, dvs. dens avvik fra den matematiske forventningen. Det er utpekt i russisk og utenlandsk litteratur. I statistikk brukes ofte notasjonen eller. Kvadratroten av variansen kalles standardavviket, standardavviket eller standardspredningen.

La være en tilfeldig variabel definert på noen sannsynlighetsrom. Deretter

hvor symbolet angir den matematiske forventningen.

I sannsynlighetsteori kalles to tilfeldige hendelser uavhengig, hvis forekomsten av en av dem ikke endrer sannsynligheten for forekomsten av den andre. På samme måte kalles to tilfeldige variabler avhengig, hvis verdien av en av dem påvirker sannsynligheten for verdiene til den andre.

Den enkleste formen for loven om store tall er Bernoullis teorem, som sier at hvis sannsynligheten for en hendelse er den samme i alle forsøk, vil frekvensen av hendelsen tendere til sannsynligheten for hendelsen når antallet forsøk øker. slutter å være tilfeldig.

Loven om store tall i sannsynlighetsteori sier at det aritmetiske gjennomsnittet av et begrenset utvalg fra en fast fordeling er nær det teoretiske gjennomsnittet av den fordelingen. Avhengig av typen konvergens skilles det mellom den svake loven om store tall, når konvergens oppstår etter sannsynlighet, og den sterke loven om store tall, når konvergens er nesten sikker.

Den generelle betydningen av loven om store tall er at felles handling av et stort antall identiske og uavhengige tilfeldige faktorer fører til et resultat som i grensen ikke er avhengig av tilfeldigheter.

Metoder for å estimere sannsynlighet basert på endelig prøveanalyse er basert på denne egenskapen. Et tydelig eksempel er prognosen for valgresultater basert på en spørreundersøkelse blant et utvalg velgere.

Sentrale grensesetninger- en klasse av teoremer i sannsynlighetsteori som sier at summen av et tilstrekkelig stort antall svakt avhengige stokastiske variabler som har tilnærmet samme skala (ingen av leddene dominerer eller gir et bestemmende bidrag til summen) har en fordeling nær normalen.

Siden mange tilfeldige variabler i applikasjoner dannes under påvirkning av flere svakt avhengige tilfeldige faktorer, anses fordelingen deres som normal. I dette tilfellet må vilkåret være oppfylt om at ingen av faktorene er dominerende. Sentrale grensesetninger i disse tilfellene rettferdiggjør bruken av normalfordelingen.

Nizhny Novgorod State Technical University

dem. A.E. Alekseeva

Abstrakt om disiplinteorien om sannsynlighet

Fullført av: Ruchina N.A gr 10MEnz

Sjekket av: Gladkov V.V.

Nizhny Novgorod, 2011

Sannsynlighetsteori………………………………………………

Emne for sannsynlighetsteori …………………………

Grunnleggende begreper i sannsynlighetsteori …………

Tilfeldige hendelser, sannsynligheter for hendelser………………………………………………………………………

Grensesetninger …………………………………………………

Tilfeldige prosesser………………………………………………………………

Historisk referanse………………………………………

Brukte bøker………………………………………………

Sannsynlighetsteori

Sannsynlighetsteori - en matematisk vitenskap som tillater, fra sannsynlighetene for noen tilfeldige hendelser, å finne sannsynlighetene for andre tilfeldige hendelser relatert på en eller annen måte til den første.

Et utsagn om at en hendelse inntreffer med sannsynlighet , lik for eksempel 0,75, representerer ikke i seg selv en endelig verdi, siden vi etterstreber pålitelig kunnskap. Den endelige kognitive verdien er de resultatene av sannsynlighetsteori som lar oss si at sannsynligheten for at en hendelse skal inntreffe EN svært nær enhet eller (som er det samme) sannsynligheten for at hendelsen ikke inntreffer EN veldig liten. I samsvar med prinsippet om "forsømmelse av tilstrekkelig små sannsynligheter", anses en slik hendelse med rette som praktisk sikker. Konklusjoner av denne typen som har vitenskapelig og praktisk interesse er vanligvis basert på antakelsen om at forekomsten eller ikke-forekomsten av en hendelse EN avhenger av et stort antall tilfeldige faktorer, lite relatert til hverandre . Derfor kan vi også si at sannsynlighetsteori er en matematisk vitenskap som belyser mønstrene som oppstår under samspillet mellom et stort antall tilfeldige faktorer

Emne for sannsynlighetsteori

Emne for sannsynlighetsteori. For å beskrive det naturlige forholdet mellom visse forhold S og arrangement EN, hvis forekomst eller ikke-forekomst under gitte forhold kan bestemmes nøyaktig, bruker naturvitenskap vanligvis ett av følgende to skjemaer:

a) når vilkårene er oppfylt S en begivenhet kommer EN. Denne formen har for eksempel alle lover i klassisk mekanikk, som sier at gitt startforhold og krefter som virker på en kropp eller et system av kropper, vil bevegelse skje på en unikt definert måte.

b) Under forhold S begivenhet EN har en viss sannsynlighet P(SOM), lik R. Så, for eksempel, sier lovene for radioaktiv stråling at for hvert radioaktivt stoff er det en viss sannsynlighet for at fra en gitt mengde stoff i en gitt tidsperiode vil et antall forfalle N atomer.

La oss kalle det frekvensen av hendelsen EN i denne serien fra n tester (det vil si fra n gjentatt implementering av vilkår S) holdning h = m/n tall m de testene der EN kom, til deres totale antall n. Tilgjengelighet av arrangementet EN under forhold S en viss sannsynlighet lik R, manifesterer seg i det faktum at i nesten alle tilstrekkelig lange serier av tester frekvensen av hendelsen EN omtrent lik R.

Statistiske mønstre, det vil si mønstre beskrevet av et skjema av type (b), ble først oppdaget i gamblingspill som terninger. Statistiske mønstre for fødsel og død har også vært kjent i svært lang tid (for eksempel er sannsynligheten for at en nyfødt gutt er 0,515). Sent på 1800-tallet og 1. halvdel av det 20. århundre. preget av oppdagelsen av et stort antall statistiske lover innen fysikk, kjemi, biologi, etc.

Muligheten for å anvende metodene for sannsynlighetsteori til studiet av statistiske mønstre knyttet til vitenskapsfelt som er svært fjernt fra hverandre er basert på det faktum at sannsynlighetene for hendelser alltid tilfredsstiller visse enkle sammenhenger. Studiet av egenskapene til hendelsessannsynligheter på grunnlag av disse enkle sammenhengene er gjenstand for sannsynlighetsteori.

Grunnleggende begreper i sannsynlighetsteori

Grunnleggende begreper i sannsynlighetsteori. De grunnleggende begrepene i sannsynlighetsteori, som en matematisk disiplin, er enklest definert innenfor rammen av den såkalte elementære sannsynlighetsteorien. Hver test T, betraktet i elementær sannsynlighetsteori er slik at den ender i én og bare én av hendelsene E 1 , E 2 ,..., E S (på en eller annen måte, avhengig av tilfelle). Disse hendelsene kalles prøveutfall. Med hvert resultat E k positivt tall tilknyttet R Til - sannsynligheten for dette utfallet. Tall s k må legge opp til én. Deretter vurderes hendelsene EN, bestående i at «det forekommer eller E Jeg , eller E j ,..., eller E k" Utfall E Jeg , E j ,..., E k kalles gunstige EN, og per definisjon antar de sannsynligheten R(EN) arrangementer EN, lik summen av sannsynlighetene for utfall som er gunstige for ham:

P(EN) =s Jeg +s s +… +s k . (1)

Spesielt tilfelle s 1 =s 2 =...s s = 1/S fører til formelen

R(EN) =r/s.(2)

Formel (2) uttrykker den såkalte klassiske definisjonen av sannsynlighet, ifølge hvilken sannsynligheten for en hendelse EN lik forholdet mellom tallet r gunstige resultater EN, til nummeret s alle "like mulige" utfall. Den klassiske definisjonen av sannsynlighet reduserer bare begrepet "sannsynlighet" til begrepet "lik mulighet", som forblir uten en klar definisjon.

Eksempel. Når du kaster to terninger, kan hvert av de 36 mulige utfallene indikeres med ( Jeg,j), Hvor Jeg- antall poeng kastet på den første terningen, j- På den andre. Utfall antas å være like sannsynlige. Begivenhet A -"summen av poeng er 4", tre utfall er gunstige (1; 3), (2; 2), (3; 1). Derfor, R(EN) = 3/36= 1/12.

Basert på en gitt hendelse, kan to nye hendelser bestemmes: deres forening (sum) og kombinasjon (produkt).

Begivenhet I kalt hendelsespooling EN 1 , A 2 ,..., A r ,-, hvis den har formen: «kommer eller EN 1 , eller EN 2 ,..., eller EN r ».

Hendelse C kalles en kombinasjon av hendelser EN 1 , A. 2 ,..., A r , hvis den har formen: «kommer og EN 1 , Og EN 2 ,..., Og EN r » . Kombinasjonen av hendelser er betegnet med tegnet, og kombinasjonen med tegnet. Dermed skriver de:

B = A 1  EN 2  …  EN r , C = EN 1  EN 2  …  EN r .

arrangementer EN Og I kalles inkompatible hvis den samtidige implementeringen er umulig, det vil si hvis det ikke er en eneste gunstig blant testresultatene og EN Og I.

De introduserte operasjonene med å kombinere og kombinere hendelser er assosiert med to hovedteoremer av sannsynlighetsteori - teoremene om addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter.

Sannsynlighetsaddisjonsteorem: Hvis hendelser EN 1 ,EN 2 ,...,EN r er slik at hver to av dem er inkompatible, så er sannsynligheten for deres forening lik summen av sannsynlighetene deres.

Så, i eksemplet ovenfor med å kaste to terninger, hendelsen IN -"summen av poeng overstiger ikke 4", det er en forening av tre uforenlige hendelser EN 2 ,EN 3 ,EN 4, bestående av at summen av poeng er lik henholdsvis 2, 3, 4. Sannsynligheten for disse hendelsene er 1/36. 2/36; 3/36. I følge addisjonsteoremet er sannsynligheten R(I) lik

1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.

arrangementer EN 1 ,EN 2 ,...,EN r kalles uavhengig hvis den betingede sannsynligheten for hver av dem, forutsatt at noen av de andre har skjedd, er lik dens "ubetingede" sannsynlighet.

Sannsynlighetsmultiplikasjonsteorem: Sannsynlighet for å kombinere hendelser EN 1 ,EN 2 ,...,EN r er lik sannsynligheten for hendelsen EN 1 , multiplisert med sannsynligheten for hendelsen EN 2 tatt under forutsetning av at EN 1 skjedde,..., multiplisert med sannsynligheten for hendelsen EN r forutsatt at EN 1 ,EN 2 ,...,EN r-1 har ankommet. For uavhengige hendelser fører multiplikasjonssetningen til formelen:

P(EN 1 EN 2 …EN r) =P(EN 1 )P(EN 2 )· … · P(EN r), (3)

det vil si at sannsynligheten for å kombinere uavhengige hendelser er lik produktet av sannsynlighetene for disse hendelsene. Formel (3) forblir gyldig hvis noen av hendelsene i begge deler erstattes med deres motsetninger.

Eksempel. Det avfyres 4 skudd mot skiven med en treffsannsynlighet på 0,2 per skudd. Måltreff fra forskjellige skudd antas å være uavhengige hendelser. Hva er sannsynligheten for å treffe målet nøyaktig tre ganger?

Hvert testresultat kan angis med en sekvens på fire bokstaver [f.eks. (y, n, n, y) betyr at det første og fjerde skuddet traff (suksess), og det andre og tredje skuddet ikke traff (mislykket)]. Det blir totalt 2·2·2·2 = 16 utfall. I samsvar med antakelsen om uavhengighet av resultatene av individuelle skudd, bør formel (3) og en merknad til den brukes for å bestemme sannsynlighetene for disse utfallene. Dermed bør sannsynligheten for utfall (y, n. n, n) settes lik 0,2·0,8·0,8·0,8 = 0,1024; her er 0,8 = 1-0,2 sannsynligheten for en miss med et enkelt skudd. Hendelsen "målet er truffet tre ganger" favoriseres av utfallene (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y). (n, y, y, y), sannsynligheten for hver er den samme:

0,2 0,2 ​​0,2 ​​0,8 =...... =0,8 0,2 0,2 ​​0,2 ​​= 0,0064;

derfor er den nødvendige sannsynligheten lik

4·0,0064 = 0,0256.

Ved å oppsummere resonnementet til det analyserte eksemplet, kan vi utlede en av de grunnleggende formlene for sannsynlighetsteori: hvis hendelser EN 1 , A 2 ,..., A n uavhengig og hver har en sannsynlighet R, da er sannsynligheten for forekomst nøyaktig m hvorav er lik

P n (m)=C n m s m (1 - s) n-m ; (4)

Her C n m angir antall kombinasjoner av n elementer av m. For øvrig n beregninger ved hjelp av formel (4) blir vanskelige.

Blant grunnformlene til elementær sannsynlighetsteori er også den såkalte total sannsynlighetsformel: hvis hendelser EN 1 , A 2 ,..., A r er parvis inkompatible og deres forening er en pålitelig hendelse, da for enhver hendelse I sannsynligheten er lik summen deres.

Sannser spesielt nyttig når man vurderer sammensatte tester. De sier det er en test T består av tester T 1 , T 2 ,..., T n-1 , T n, Hvis hvert testresultat T det er en kombinasjon av noen utfall EN Jeg , B j ,..., X k , Y l relevante tester T 1 , T 2 ,..., T n-1 , T n. Av en eller annen grunn er sannsynlighetene ofte kjent

P(EN Jeg), P(B j /EN Jeg), …,P(Y l /EN Jeg B j …X k). (5)

Fra sannsynligheter (5) ved bruk av multiplikasjonssetningen kan sannsynlighetene bestemmes R(E) for alle utfall E sammensatt test, og samtidig sannsynligheten for alle hendelser knyttet til denne testen. Fra et praktisk synspunkt synes to typer sammensatte tester å være de viktigste:

a) komponentene i testen er uavhengige, det vil si at sannsynlighetene (5) er lik de ubetingede sannsynlighetene P(EN Jeg), P(B j),..., P(Y l);

b) sannsynlighetene for resultatene av en test påvirkes bare av resultatene fra den umiddelbart foregående testen, det vil si at sannsynlighetene (5) er like, henholdsvis: P(EN Jeg), P(B j /EN Jeg),..., P(Y Jeg /X k). I dette tilfellet snakker vi om tester koblet i en Markov-kjede. Sannsynlighetene for alle hendelser knyttet til en sammensatt test bestemmes her fullt ut av de opprinnelige sannsynlighetene R(EN Jeg) og overgangssannsynligheter P(B j /EN Jeg),..., P(Y l /X k).

Grunnleggende formler i sannsynlighetsteori

Formler for sannsynlighetsteori.

1. Grunnleggende formler for kombinatorikk

a) omorganiseringer.

\b) plassering

c) kombinasjoner .

2. Klassisk definisjon av sannsynlighet.

Hvor er antallet utfall som er gunstige for arrangementet, er antallet av alle elementære like mulige utfall.

3. Sannsynlighet for summen av hendelser

Teorem for å legge til sannsynlighetene for inkompatible hendelser:

Teorem for å legge til sannsynligheter for felles hendelser:

4. Sannsynlighet for at hendelser inntreffer

Teorem for å multiplisere sannsynlighetene for uavhengige hendelser:

Teorem for å multiplisere sannsynlighetene for avhengige hendelser:

,

Betinget sannsynlighet for en hendelse gitt at hendelsen inntraff

Den betingede sannsynligheten for en hendelse gitt at hendelsen inntraff.

Kombinatorikk er en gren av matematikken som studerer spørsmål om hvor mange forskjellige kombinasjoner, under visse betingelser, kan lages av gitte objekter. Det grunnleggende om kombinatorikk er svært viktig for å estimere sannsynlighetene for tilfeldige hendelser, fordi Det er de som lar oss beregne det grunnleggende mulige antallet forskjellige scenarier for utvikling av hendelser.

Grunnformel for kombinatorikk

La det være k grupper av elementer, og den i-te gruppen består av ni elementer. La oss velge ett element fra hver gruppe. Da er det totale antallet N måter et slikt valg kan gjøres på, bestemt av forholdet N=n1*n2*n3*...*nk.

Eksempel 1. La oss forklare denne regelen med et enkelt eksempel. La det være to grupper av elementer, og den første gruppen består av n1 elementer, og den andre - av n2 elementer. Hvor mange forskjellige elementpar kan lages fra disse to gruppene, slik at paret inneholder ett element fra hver gruppe? La oss si at vi tok det første elementet fra den første gruppen og, uten å endre det, gikk gjennom alle mulige par, og endret bare elementene fra den andre gruppen. Det er n2 slike par for dette elementet. Så tar vi det andre elementet fra den første gruppen og lager også alle mulige par for det. Det vil også være n2 slike par. Siden det bare er n1 elementer i den første gruppen, vil de totale mulige alternativene være n1*n2.

Eksempel 2. Hvor mange tresifrede partall kan lages av sifrene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, hvis sifrene kan gjentas?

Løsning: n1=6 (fordi du kan ta et hvilket som helst tall fra 1, 2, 3, 4, 5, 6 som det første sifferet), n2=7 (fordi du kan ta et hvilket som helst tall fra 0 som det andre sifferet , 1, 2 , 3, 4, 5, 6), n3=4 (siden et hvilket som helst tall fra 0, 2, 4, 6 kan tas som det tredje sifferet).

Så, N=n1*n2*n3=6*7*4=168.

I tilfellet når alle grupper består av like mange elementer, dvs. n1=n2=...nk=n vi kan anta at hvert utvalg er gjort fra samme gruppe, og elementet etter seleksjon returneres til gruppen. Da er antallet av alle seleksjonsmetoder lik nk Denne seleksjonsmetoden kalles sampling med retur.

Eksempel. Hvor mange firesifrede tall kan lages av sifrene 1, 5, 6, 7, 8?

Løsning. For hvert siffer i et firesifret tall er det fem muligheter, som betyr N=5*5*5*5=54=625.

Tenk på et sett som består av n elementer. Vi vil kalle dette settet den generelle befolkningen.

Definisjon 1. Et arrangement av n elementer med m er et ordnet sett av m forskjellige elementer valgt fra en populasjon av n elementer.

Eksempel. Ulike arrangementer av tre elementer (1, 2, 3) med to vil være settene (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3) , 2). Plasseringer kan avvike fra hverandre både i elementer og rekkefølge.

Antall plasseringer er angitt med A, m fra n og beregnes med formelen:

Merk: n!=1*2*3*...*n (les: "en factorial"), i tillegg antas det at 0!=1.

Eksempel 5. Hvor mange tosifrede tall er det der titallet og enhetssifferet er distinkte og oddetall?

Løsning: fordi Hvis det er fem oddetall, nemlig 1, 3, 5, 7, 9, så kommer denne oppgaven ned på å velge og plassere to av de fem forskjellige sifrene i to forskjellige posisjoner, dvs. de angitte tallene vil være:

Definisjon 2. En kombinasjon av n elementer av m er et hvilket som helst uordnet sett av m forskjellige elementer valgt fra en populasjon av n elementer.

Eksempel 6. For et sett (1, 2, 3) er kombinasjonene (1, 2), (1, 3), (2, 3).

Antall kombinasjoner er angitt med Cnm og beregnes med formelen:

Definisjon 3. En permutasjon av n elementer er et hvilket som helst ordnet sett av disse elementene.

Eksempel 7a. Alle mulige permutasjoner av et sett som består av tre elementer (1, 2, 3) er: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , (3, 2, 1), (3, 1, 2).

Antall forskjellige permutasjoner av n elementer er betegnet med Pn og beregnes med formelen Pn=n!.

Eksempel 8. På hvor mange måter kan syv bøker av forskjellige forfattere ordnes på én rad på en hylle?

Løsning: Dette problemet handler om antall permutasjoner av syv forskjellige bøker. Det er P7=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 måter å ordne bøker på.

Diskusjon. Vi ser at antall mulige kombinasjoner kan beregnes i henhold til forskjellige regler (permutasjoner, kombinasjoner, plasseringer) og resultatet vil bli annerledes, fordi Beregningsprinsippet og selve formlene er forskjellige. Ser du nøye på definisjonene, vil du legge merke til at resultatet avhenger av flere faktorer samtidig.

For det første, fra hvor mange elementer vi kan kombinere settene deres (hvor stor er totalen av elementer).

For det andre avhenger resultatet av størrelsen på settene med elementer vi trenger.

Til slutt er det viktig å vite om rekkefølgen av elementene i settet er viktig for oss. La oss forklare den siste faktoren ved å bruke følgende eksempel.

Eksempel. Det er 20 personer tilstede på foreldremøtet. Hvor mange ulike alternativer er det for sammensetningen av foreldreutvalget dersom det skal omfatte 5 personer?

Løsning: I dette eksemplet er vi ikke interessert i rekkefølgen av navn på komitélisten. Hvis de samme menneskene som et resultat viser seg å være en del av det, så er dette det samme alternativet for oss. Derfor kan vi bruke en formel for å telle antall kombinasjoner av 20 elementer av 5.

Ting vil være annerledes hvis hvert komitémedlem i utgangspunktet er ansvarlig for et bestemt arbeidsområde. Da er det med samme listesammensetning av komiteen muligens 5 i den! permutasjoner som betyr noe. Antall forskjellige (både i sammensetning og ansvarsområde) alternativer bestemmes i dette tilfellet av antall plasseringer av 20 elementer av 5.

Geometrisk definisjon av sannsynlighet

La en tilfeldig test tenkes som å kaste et punkt tilfeldig inn i et eller annet geometrisk område G (på en rett linje, et plan eller et rom). Elementære utfall er individuelle punkter av G, enhver hendelse er en delmengde av dette området, rommet av elementære utfall av G. Vi kan anta at alle punktene til G er "like" og da er sannsynligheten for at et punkt faller inn i en viss delmengde. proporsjonal med mål (lengde, areal, volum) og er ikke avhengig av plasseringen og formen.

Den geometriske sannsynligheten for hendelse A bestemmes av relasjonen: , hvor m(G), m(A) er geometriske mål (lengder, arealer eller volumer) av hele rommet av elementære utfall og hendelse A.

Eksempel. En sirkel med radius r () kastes tilfeldig på et plan tegnet av parallelle strimler med bredde 2d, hvor avstanden mellom de aksiale linjene er lik 2D. Finn sannsynligheten for at sirkelen vil skjære en bestemt stripe.

Løsning. Som et elementært resultat av denne testen vil vi vurdere avstanden x fra sentrum av sirkelen til senterlinjen på stripen nærmest sirkelen. Da er hele rommet av elementære utfall et segment. Skjæringen av en sirkel med en stripe vil oppstå hvis sentrum faller inn i stripen, dvs., eller er plassert fra kanten av stripen i en avstand mindre enn radiusen, dvs.

For ønsket sannsynlighet får vi: .

Klassifisering av hendelser i mulig, sannsynlig og tilfeldig. Konsepter av enkle og komplekse elementære hendelser. Operasjoner på arrangementer. Klassisk definisjon av sannsynligheten for en tilfeldig hendelse og dens egenskaper. Elementer av kombinatorikk i sannsynlighetsteori. Geometrisk sannsynlighet. Aksiomer for sannsynlighetsteori.

1. Klassifisering av hendelser

Et av de grunnleggende begrepene i sannsynlighetsteori er begrepet en hendelse. En hendelse er ethvert faktum som kan oppstå som et resultat av en opplevelse eller test. Med erfaring, eller test, mener vi implementeringen av et bestemt sett med betingelser.

Eksempler på hendelser:

– å treffe målet når det avfyres fra en pistol (erfaring - å lage et skudd; hendelse - å treffe målet);

– tap av to emblemer når du kaster en mynt tre ganger (erfaring - å kaste en mynt tre ganger; hendelse - tap av to emblemer);

– utseendet til en målefeil innenfor angitte grenser ved måling av avstanden til et mål (erfaring - avstandsmåling; hendelse - målefeil).

Utallige lignende eksempler kan gis. Hendelser er indikert med store bokstaver i det latinske alfabetet, etc.

Det skilles mellom felles og ikke-felles arrangementer. Hendelser kalles felles hvis forekomsten av en av dem ikke utelukker forekomsten av den andre. Ellers kalles hendelsene uforenlige. For eksempel kastes to terninger. Begivenhet - tre poeng som faller på den første terningen, begivenhet - tre poeng som faller på den andre terningen, og - felleshendelser. La butikken motta et parti sko i samme stil og størrelse, men forskjellige farger. Begivenhet - en boks tatt tilfeldig vil vise seg å inneholde svarte sko, en begivenhet - boksen vil vise seg å inneholde brune sko, og - inkompatible hendelser.

En hendelse kalles pålitelig hvis den er sikker på å skje under betingelsene for en gitt opplevelse.

En hendelse kalles umulig hvis den ikke kan skje under betingelsene for en gitt opplevelse. For eksempel er tilfellet at en standarddel vil bli tatt fra et parti med standarddeler pålitelig, men en ikke-standarddel er umulig.

En hendelse kalles mulig, eller tilfeldig, hvis den som et resultat av erfaring kan dukke opp, men kanskje ikke vises. Et eksempel på en tilfeldig hendelse kan være identifisering av produktdefekter under inspeksjon av et parti ferdige produkter, et avvik mellom størrelsen på det behandlede produktet og det spesifiserte, eller svikt i en av koblingene i det automatiserte kontrollsystemet .

Hendelser kalles like mulige dersom ingen av disse hendelsene objektivt sett er mer mulig enn de andre i henhold til testbetingelsene. La for eksempel flere produksjonsanlegg levere lyspærer til en butikk (og i like mengder). Begivenheter som involverer kjøp av en lyspære fra noen av disse fabrikkene er like mulige.

Et viktig konsept er hele gruppen av arrangementer. Flere hendelser i et gitt eksperiment danner en komplett gruppe hvis minst én av dem er sikker på å dukke opp som et resultat av eksperimentet. For eksempel inneholder en urne ti kuler, seks av dem er røde, fire er hvite og fem kuler har tall. - utseendet til en rød ball under en trekning, - utseendet til en hvit ball, - utseendet til en ball med et tall. Arrangementer utgjør en komplett gruppe av felles arrangementer.

La oss introdusere konseptet med en motsatt eller tilleggshendelse. En motsatt hendelse er en hendelse som nødvendigvis må inntreffe hvis en hendelse ikke inntreffer. Motsatte hendelser er inkompatible og de eneste mulige. De utgjør en komplett gruppe av arrangementer. For eksempel, hvis et parti med produserte produkter består av gode og defekte, så når ett produkt fjernes, kan det vise seg å være enten bra - en begivenhet, eller defekt - en begivenhet.

2. Operasjoner på hendelser

Når man skal utvikle et apparat og metodikk for å studere tilfeldige hendelser i sannsynlighetsteori, er begrepet sum og produkt av hendelser svært viktig.

"Ulykker er ikke tilfeldige"... Det høres ut som noe en filosof sa, men faktisk er det å studere tilfeldighet skjebnen til den store vitenskapen om matematikk. I matematikk håndteres tilfeldigheter av sannsynlighetsteori. Formler og eksempler på oppgaver, samt de grunnleggende definisjonene av denne vitenskapen vil bli presentert i artikkelen.

Hva er sannsynlighetsteori?

Sannsynlighetsteori er en av de matematiske disiplinene som studerer tilfeldige hendelser.

For å gjøre det litt tydeligere, la oss gi et lite eksempel: Hvis du kaster en mynt opp, kan den lande på hodet eller halen. Mens mynten er i luften, er begge disse sannsynlighetene mulige. Det vil si at sannsynligheten for mulige konsekvenser er 1:1. Hvis du trekker ett kort fra en kortstokk med 36 kort, vil sannsynligheten bli angitt som 1:36. Det ser ut til at det ikke er noe å utforske og forutsi her, spesielt ved hjelp av matematiske formler. Men hvis du gjentar en bestemt handling mange ganger, kan du identifisere et bestemt mønster og, basert på det, forutsi utfallet av hendelser under andre forhold.

For å oppsummere alt det ovennevnte, studerer sannsynlighetsteori i klassisk forstand muligheten for forekomsten av en av de mulige hendelsene i en numerisk verdi.

Fra historiens sider

Sannsynsteorien, formler og eksempler på de første oppgavene dukket opp i den fjerne middelalderen, da forsøk på å forutsi utfallet av kortspill først dukket opp.

I utgangspunktet hadde sannsynlighetsteori ingenting med matematikk å gjøre. Det ble begrunnet med empiriske fakta eller egenskaper ved en hendelse som kunne reproduseres i praksis. De første verkene på dette området som en matematisk disiplin dukket opp på 1600-tallet. Grunnleggerne var Blaise Pascal og Pierre Fermat. De studerte gambling i lang tid og så visse mønstre, som de bestemte seg for å fortelle offentligheten om.

Den samme teknikken ble oppfunnet av Christiaan Huygens, selv om han ikke var kjent med resultatene av forskningen til Pascal og Fermat. Konseptet "sannsynlighetsteori", formler og eksempler, som regnes som de første i disiplinens historie, ble introdusert av ham.

Verkene til Jacob Bernoulli, Laplaces og Poissons teoremer er også av ikke liten betydning. De gjorde sannsynlighetsteori mer som en matematisk disiplin. Sannsynlighetsteori, formler og eksempler på grunnleggende oppgaver fikk sin nåværende form takket være Kolmogorovs aksiomer. Som et resultat av alle endringene ble sannsynlighetsteori en av de matematiske grenene.

Grunnleggende begreper i sannsynlighetsteori. arrangementer

Hovedkonseptet i denne disiplinen er "begivenhet". Det er tre typer arrangementer:

• Pålitelig. De som vil skje uansett (mynten vil falle).
• Umulig. Hendelser som ikke vil skje under noen omstendigheter (mynten vil forbli hengende i luften).
• Tilfeldig. De som vil skje eller ikke vil skje. De kan påvirkes av ulike faktorer som er svært vanskelig å forutsi. Hvis vi snakker om en mynt, så er det tilfeldige faktorer som kan påvirke resultatet: de fysiske egenskapene til mynten, dens form, dens opprinnelige posisjon, kraften til kastet, etc.

Alle hendelser i eksemplene er angitt med store latinske bokstaver, med unntak av P, som har en annen rolle. For eksempel:

• A = "studenter kom for å forelese."
• Ā = "studenter kom ikke til forelesningen."

I praktiske oppgaver skrives hendelser som regel ned med ord.

En av de viktigste egenskapene til hendelser er deres like mulighet. Det vil si at hvis du kaster en mynt, er alle alternativer for det første fallet mulig til den faller. Men hendelser er heller ikke like mulige. Dette skjer når noen bevisst påvirker et utfall. For eksempel "merkede" spillekort eller terninger, der tyngdepunktet forskyves.

Hendelser kan også være kompatible og inkompatible. Kompatible hendelser utelukker ikke hverandres forekomst. For eksempel:

• A = "studenten kom til forelesningen."
• B = "studenten kom til forelesningen."

Disse hendelsene er uavhengige av hverandre, og forekomsten av en av dem påvirker ikke forekomsten av den andre. Inkompatible hendelser er definert ved at forekomsten av en utelukker forekomsten av en annen. Hvis vi snakker om den samme mynten, gjør tapet av "haler" det umulig for utseendet til "hoder" i det samme eksperimentet.

Handlinger på hendelser

Hendelser kan multipliseres og legges til følgelig, logiske koblinger "AND" og "OR" introduseres i disiplinen.

Beløpet bestemmes av det faktum at enten hendelse A eller B, eller to, kan inntreffe samtidig. Hvis de er inkompatible, er det siste alternativet umulig, enten A eller B vil bli rullet.

Multiplikasjon av hendelser består i utseendet til A og B på samme tid.

Nå kan vi gi flere eksempler for bedre å huske det grunnleggende, sannsynlighetsteori og formler. Eksempler på problemløsning nedenfor.

Øvelse 1: Bedriften deltar i en konkurranse om å få kontrakter på tre typer arbeider. Mulige hendelser som kan oppstå:

• A = "firmaet vil motta den første kontrakten."
• A 1 = "firmaet vil ikke motta den første kontrakten."
• B = "firmaet vil motta en andre kontrakt."
• B 1 = "firmaet vil ikke motta en ny kontrakt"
• C = "firmaet vil motta en tredje kontrakt."
• C 1 = "firmaet vil ikke motta en tredje kontrakt."

Ved å bruke handlinger på hendelser vil vi prøve å uttrykke følgende situasjoner:

• K = "selskapet vil motta alle kontrakter."

På matematisk form vil ligningen ha følgende form: K = ABC.

• M = "bedriften vil ikke motta en eneste kontrakt."

M = A 1 B 1 C 1.

La oss komplisere oppgaven: H = "selskapet vil motta en kontrakt." Siden det ikke er kjent hvilken kontrakt selskapet vil motta (første, andre eller tredje), er det nødvendig å registrere hele spekteret av mulige hendelser:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

Og 1 f.Kr. 1 er en serie hendelser der firmaet ikke mottar den første og tredje kontrakten, men mottar den andre. Andre mulige hendelser ble registrert ved bruk av passende metode. Symbolet υ i disiplinen angir bindeleddet "ELLER". Hvis vi oversetter eksemplet ovenfor til menneskelig språk, vil selskapet motta enten den tredje kontrakten, eller den andre, eller den første. På lignende måte kan du skrive ned andre forhold i faget «Sannsynlighetsteori». Formlene og eksemplene på problemløsning presentert ovenfor vil hjelpe deg med å gjøre dette selv.

Faktisk, sannsynligheten

Kanskje, i denne matematiske disiplinen, er sannsynligheten for en hendelse det sentrale konseptet. Det er 3 definisjoner av sannsynlighet:

• klassisk;
• statistisk;
• geometriske.

Hver har sin plass i studiet av sannsynlighet. Sannsynlighetsteori, formler og eksempler (9. klasse) bruker hovedsakelig den klassiske definisjonen, som høres slik ut:

• Sannsynligheten for situasjon A er lik forholdet mellom antall utfall som favoriserer dens forekomst og antallet av alle mulige utfall.

Formelen ser slik ut: P(A)=m/n.

A er faktisk en hendelse. Hvis en kasus motsatt av A vises, kan den skrives som  eller A 1 .

m er antall mulige gunstige tilfeller.

n - alle hendelser som kan skje.

For eksempel, A = "trekk et kort av hjertedrakten." Det er 36 kort i en standard kortstokk, 9 av dem er av hjerter. Følgelig vil formelen for å løse problemet se slik ut:

P(A)=9/36=0,25.

Som et resultat vil sannsynligheten for at et kort i hjertefargen trekkes fra kortstokken være 0,25.

Mot høyere matematikk

Nå har det blitt litt kjent hva som er sannsynlighetsteori, formler og eksempler på å løse problemer som kommer over i skolepensum. Imidlertid finnes sannsynlighetsteori også i høyere matematikk, som undervises på universiteter. Oftest opererer de med geometriske og statistiske definisjoner av teorien og komplekse formler.

Sannsynsteorien er veldig interessant. Det er bedre å begynne å studere formler og eksempler (høyere matematikk) i det små - med den statistiske (eller frekvens) definisjonen av sannsynlighet.

Den statistiske tilnærmingen motsier ikke den klassiske, men utvider den litt. Hvis det i det første tilfellet var nødvendig å bestemme med hvilken sannsynlighet en hendelse vil oppstå, er det i denne metoden nødvendig å indikere hvor ofte det vil skje. Her introduseres et nytt konsept med "relativ frekvens", som kan betegnes med W n (A). Formelen er ikke forskjellig fra den klassiske:

Hvis den klassiske formelen beregnes for prediksjon, beregnes den statistiske i henhold til resultatene av eksperimentet. La oss ta en liten oppgave for eksempel.

Den teknologiske kontrollavdelingen kontrollerer produkter for kvalitet. Blant 100 produkter ble 3 funnet å være av dårlig kvalitet. Hvordan finne frekvenssannsynligheten for et kvalitetsprodukt?

A = "utseendet til et kvalitetsprodukt."

Wn(A)=97/100=0,97

Dermed er frekvensen til et kvalitetsprodukt 0,97. Hvor fikk du 97 fra? Av 100 produkter som ble kontrollert, ble 3 funnet å være av dårlig kvalitet. Vi trekker 3 fra 100 og får 97, dette er mengden kvalitetsvarer.

Litt om kombinatorikk

En annen metode for sannsynlighetsteori kalles kombinatorikk. Dets grunnleggende prinsipp er at hvis et bestemt valg A kan gjøres på m forskjellige måter, og et valg B kan gjøres på n forskjellige måter, så kan valget av A og B gjøres ved multiplikasjon.

For eksempel er det 5 veier som fører fra by A til by B. Det er 4 stier fra by B til by C. På hvor mange måter kan du komme deg fra by A til by C?

Det er enkelt: 5x4=20, det vil si på tjue forskjellige måter du kan komme deg fra punkt A til punkt C.

La oss komplisere oppgaven. Hvor mange måter er det å legge ut kort i kabal? Det er 36 kort i kortstokken - dette er utgangspunktet. For å finne ut antall måter, må du "trekke fra" ett kort om gangen fra startpunktet og gange.

Det vil si at 36x35x34x33x32...x2x1= resultatet passer ikke på kalkulatorskjermen, så det kan ganske enkelt angis 36!. Signer "!" ved siden av tallet indikerer at hele tallserien multipliseres sammen.

I kombinatorikk er det slike begreper som permutasjon, plassering og kombinasjon. Hver av dem har sin egen formel.

Et ordnet sett med elementer i et sett kalles et arrangement. Plasseringer kan gjentas, det vil si at ett element kan brukes flere ganger. Og uten repetisjon, når elementer ikke gjentas. n er alle elementer, m er elementer som deltar i plasseringen. Formelen for plassering uten repetisjon vil se slik ut:

A n m =n!/(n-m)!

Forbindelser av n elementer som bare er forskjellige i rekkefølgen på plassering kalles permutasjoner. I matematikk ser det slik ut: P n = n!

Kombinasjoner av n elementer av m er de forbindelsene der det er viktig hvilke elementer de var og hva deres totale antall er. Formelen vil se slik ut:

A n m =n!/m!(n-m)!

Bernoullis formel

I sannsynlighetsteori, som i alle disipliner, er det verk av fremragende forskere innen sitt felt som har tatt det til et nytt nivå. Et av disse verkene er Bernoulli-formelen, som lar deg bestemme sannsynligheten for at en bestemt hendelse skal skje under uavhengige forhold. Dette antyder at forekomsten av A i et eksperiment ikke er avhengig av forekomsten eller ikke-forekomsten av den samme hendelsen i tidligere eller etterfølgende forsøk.

Bernoullis ligning:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

Sannsynligheten (p) for at hendelsen (A) skal inntreffe er konstant for hver forsøk. Sannsynligheten for at situasjonen vil oppstå nøyaktig m ganger i n antall eksperimenter vil bli beregnet ved formelen presentert ovenfor. Følgelig oppstår spørsmålet om hvordan man finner ut tallet q.

Hvis hendelse A inntreffer p antall ganger, kan det hende at den ikke forekommer. Enhet er et tall som brukes til å angi alle utfall av en situasjon i en disiplin. Derfor er q et tall som angir muligheten for at en hendelse ikke inntreffer.

Nå kjenner du Bernoullis formel (sannsynlighetsteori). Vi vil ta for oss eksempler på problemløsning (første nivå) nedenfor.

Oppgave 2: En butikkbesøkende vil foreta et kjøp med sannsynlighet 0,2. 6 besøkende kom uavhengig inn i butikken. Hva er sannsynligheten for at en besøkende vil foreta et kjøp?

Løsning: Siden det er ukjent hvor mange besøkende som bør foreta et kjøp, en eller alle seks, er det nødvendig å beregne alle mulige sannsynligheter ved å bruke Bernoulli-formelen.

A = "besøkende vil foreta et kjøp."

I dette tilfellet: p = 0,2 (som angitt i oppgaven). Følgelig er q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (siden det er 6 kunder i butikken). Tallet m vil variere fra 0 (ikke en eneste kunde vil foreta et kjøp) til 6 (alle besøkende i butikken vil kjøpe noe). Som et resultat får vi løsningen:

P 6 (0) = C 0 6 × p 0 × q 6 = q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Ingen av kjøperne vil foreta et kjøp med sannsynlighet 0,2621.

Hvordan brukes ellers Bernoullis formel (sannsynlighetsteori)? Eksempler på problemløsning (andre nivå) nedenfor.

Etter eksemplet ovenfor dukker det opp spørsmål om hvor C og r gikk. I forhold til p vil et tall i potensen 0 være lik én. Når det gjelder C, kan den bli funnet med formelen:

C n m = n! /m!(n-m)!

Siden i det første eksemplet henholdsvis m = 0 er C = 1, noe som i prinsippet ikke påvirker resultatet. Ved å bruke den nye formelen, la oss prøve å finne ut hva som er sannsynligheten for at to besøkende kjøper varer.

P 6 (2) = C 6 2 × p 2 × q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Sannsynsteorien er ikke så komplisert. Bernoullis formel, som eksempler er presentert ovenfor, er et direkte bevis på dette.

Poissons formel

Poissons ligning brukes til å beregne tilfeldige situasjoner med lav sannsynlighet.

Grunnformel:

P n (m)=λ m/m! × e (-λ).

I dette tilfellet λ = n x p. Her er en enkel Poisson-formel (sannsynlighetsteori). Vi vil ta for oss eksempler på problemløsning nedenfor.

Oppgave 3: Fabrikken produserte 100 000 deler. Forekomst av en defekt del = 0,0001. Hva er sannsynligheten for at det vil være 5 defekte deler i en batch?

Som du kan se, er ekteskap en usannsynlig hendelse, og derfor brukes Poisson-formelen (sannsynlighetsteori) til beregning. Eksempler på å løse problemer av denne typen er ikke forskjellig fra andre oppgaver i faget vi erstatter de nødvendige dataene i den gitte formelen:

A = "en tilfeldig valgt del vil være defekt."

p = 0,0001 (i henhold til oppgaveforholdene).

n = 100 000 (antall deler).

m = 5 (defekte deler). Vi erstatter dataene i formelen og får:

R 100 000 (5) = 10 5 /5! Xe-10 = 0,0375.

Akkurat som Bernoulli-formelen (sannsynlighetsteori), eksempler på løsninger som er skrevet ovenfor, har Poisson-ligningen en ukjent e. Den kan faktisk finnes av formelen:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Imidlertid er det spesielle tabeller som inneholder nesten alle verdier av f.

De Moivre-Laplace teorem

Hvis antallet forsøk i Bernoulli-skjemaet er tilstrekkelig stort, og sannsynligheten for forekomst av hendelse A i alle skjemaer er den samme, så kan sannsynligheten for forekomst av hendelse A et visst antall ganger i en serie tester finnes ved å Laplaces formel:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

For bedre å huske Laplaces formel (sannsynlighetsteori), er eksempler på problemer nedenfor for å hjelpe.

Først, la oss finne X m, erstatte dataene (de er alle oppført ovenfor) i formelen og få 0,025. Ved å bruke tabeller finner vi tallet ϕ(0,025), hvis verdi er 0,3988. Nå kan du erstatte alle dataene i formelen:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Dermed er sannsynligheten for at flyer vil fungere nøyaktig 267 ganger 0,03.

Bayes formel

Bayes-formelen (sannsynlighetsteori), eksempler på å løse problemer ved hjelp av denne vil bli gitt nedenfor, er en ligning som beskriver sannsynligheten for en hendelse basert på omstendighetene som kan være forbundet med den. Den grunnleggende formelen er som følger:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A og B er klare hendelser.

P(A|B) er en betinget sannsynlighet, det vil si at hendelse A kan inntreffe forutsatt at hendelse B er sann.

P (B|A) - betinget sannsynlighet for hendelse B.

Så den siste delen av det korte kurset "Sannsynlighetsteori" er Bayes-formelen, eksempler på løsninger på problemer som er nedenfor.

Oppgave 5: Telefoner fra tre firmaer ble brakt til lageret. Samtidig er andelen telefoner som produseres ved det første anlegget 25%, ved det andre - 60%, ved det tredje - 15%. Det er også kjent at den gjennomsnittlige prosentandelen av defekte produkter på den første fabrikken er 2%, ved den andre - 4% og ved den tredje - 1%. Du må finne sannsynligheten for at en tilfeldig valgt telefon vil være defekt.

A = "tilfeldig valgt telefon."

B 1 - telefonen som den første fabrikken produserte. Følgelig vil innledende B 2 og B 3 vises (for den andre og tredje fabrikken).

Som et resultat får vi:

P (B1) = 25%/100% = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - dermed fant vi sannsynligheten for hvert alternativ.

Nå må du finne de betingede sannsynlighetene for den ønskede hendelsen, det vil si sannsynligheten for defekte produkter i selskaper:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0,02;

P(A/B2) = 0,04;

P (A/B 3) = 0,01.

La oss nå erstatte dataene i Bayes-formelen og få:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Artikkelen presenterer sannsynlighetsteori, formler og eksempler på problemløsning, men dette er bare toppen av isfjellet til en enorm disiplin. Og etter alt som er skrevet, vil det være logisk å stille spørsmålet om sannsynlighetsteorien er nødvendig i livet. Det er vanskelig for en vanlig person å svare, det er bedre å spørre noen som har brukt det til å vinne jackpotten mer enn én gang.