Statistisk fysikk og termodynamikk. Dynamiske og statistiske lover

Forelesning 2.

Termodynamikk, statistisk fysikk, informasjonsentropi

1. Informasjon fra termodynamikk og statistisk fysikk. Distribusjonsfunksjon. Liouvilles teorem. Mikrokanonisk distribusjon. Termodynamikkens første lov. Adiabatiske prosesser. Entropi. Statistisk vekt. Boltzmanns formel. Termodynamikkens andre lov. Reversible og irreversible prosesser.

2. Shannon informasjonsentropi. Biter, nøtter, trits osv. Forholdet mellom entropi og informasjon.

Denne delen tilhører forelesning 1. Den er bedre vurdert i seksjon V ("The concept of entanglement of quantum states").

LE CNOT er avbildet som:

Vi lagrer verdien av (qu)bit a mens (qu)bit b endringer i henhold til XOR-loven:

bit b(mål = mål) endrer sin tilstand hvis og bare hvis tilstanden til kontrollbiten en kamper 1; Samtidig endres ikke tilstanden til kontrollbiten.

Den logiske operasjonen XOR (CNOT) illustrerer hvorfor klassiske data kan klones, men kvantedata ikke kan. Merk at i det generelle tilfellet vil vi ved kvantedata forstå superposisjoner av formen

, (1)

hvor og er komplekse tall eller amplituder av tilstander, og .

I følge sannhetstabellen, hvis XOR brukes på boolske data der den andre biten er i "0"-tilstanden (b) og den første er i "X"-tilstanden (a), endres ikke den første biten, og den andre blir kopien:

U XOR (X, 0) = (X, X), hvor X = "0" eller "1".

I kvantetilfellet bør dataene merket med symbolet "X" betraktes som superposisjon (1):

Fysisk kan dataene kodes, for eksempel i polarisasjonsgrunnlaget |V> = 1, |H> = 0 (H,V)= (0,1):

Det kan ses at statlig kopiering faktisk finner sted. Ikke-kloningsteoremet sier at det er umulig å kopiere vilkårlig kvantetilstand. I det betraktede eksemplet skjedde kopiering fordi operasjonen ble utført på sin egen basis (|0>, |1>), dvs. V privat tilfelle av en kvantetilstand.

Det ser ut til at XOR-operasjonen også kan brukes til å kopiere superposisjoner av to boolske tilstander, for eksempel |45 0 > ? |V> + |H>:

Men det er ikke sant! Enheten til kvanteevolusjon krever at en superposisjon av inngangstilstander transformeres til en tilsvarende superposisjon av utgangstilstander:

(2)

Dette er den såkalte en sammenfiltret tilstand (Ф+), der hver av de to utgangs-qubitene ikke har en spesifikk verdi (i dette tilfellet polarisering). Dette eksemplet viser at logiske operasjoner utført på kvanteobjekter følger andre regler enn i klassiske dataprosesser.

Det neste spørsmålet dukker opp: Ser ut til å være i utgangsmodus EN igjen kan representeres som en superposisjon , som motetilstanden b. Hvordan vise at dette ikke er slik, dvs. at det ikke er noen vits i å snakke om modus (bit)-tilstander i det hele tatt? en og mote (bit) b?

La oss bruke polarisasjonsanalogien når

(3).

Det er to måter. Sti 1 er lengre, men mer konsistent. Det er nødvendig å beregne gjennomsnittsverdiene til Stokes-parametrene for begge utgangsmodusene. Gjennomsnittene er hentet fra bølgefunksjonen (2). Hvis alle unntatt viser seg å være lik null, er denne tilstanden upolarisert, dvs. blandet og superposisjon (3) gir ingen mening. Vi jobber i Heisenberg-representasjonen, når operatørene transformeres, men bølgefunksjonen er det ikke.

Så vi finner det på moten en.

- total stråleintensitet a,

- andel vertikal polarisering,

- dele +45 0. polarisering,

- andel av høyre sirkulær polarisering.

Bølgefunksjonen som det utføres gjennomsnitt over er tatt i formen (2):

hvor er fødsels- og ødeleggelsesoperatørene i mods en Og b operere i henhold til reglene:

(Gjør beregningene i seksjon V (se notatbok). Regn også ut sannsynligheten for å registrere tilfeldigheter eller en korrelator av skjemaet }

Path II er mer visuell, men mindre "ærlig"!

La oss finne avhengigheten av lysintensiteten i modusen en på rotasjonsvinkelen til Polaroid plassert i denne modusen. Dette er en standard kvanteoptisk måte å kontrollere tilstand (2) - intensiteten skal ikke avhenge av rotasjon. Samtidig har en lignende avhengighet av antall kamper formen

. Slike avhengigheter ble først oppnådd av E. Fry (1976) og A. Aspek (1985) og tolkes ofte som bevis på kvantemekanikkens ikke-lokalitet.

Så den eksperimentelle situasjonen er avbildet i figuren:

A-priory

hvor er annihileringsoperatøren i modus a. Det er kjent at transformasjonen av operatørene til to ortogonalt polariserte moduser x og y når lys passerer gjennom en polaroid orientert i en vinkel har formen:

(bare det første, fjerde, femte og åttende leddet er forskjellig fra null) =

(bare første og åttende ledd er forskjellig fra null) = - avhenger ikke av vinkelen?!

Fysisk skjer dette fordi bølgefunksjonen (2) ikke faktoriseres og det er ingen vits i å snakke om tilstander i moduser EN Og b hver for seg. Dermed kan det ikke hevdes at modus a er i en superposisjonstilstand (3)!

Kommentar. Beregningene som er gjort (vei II) beviser slett ikke at staten er på moten EN upolarisert. For eksempel, hvis det var sirkulært polarisert lys i denne modusen, ville resultatet være det samme. Streng bevis - for eksempel gjennom Stokes-parametere (i avsnitt V).

Merk at ved å handle på samme måte kan vi bevise at tilstanden i modus a før CNOT-elementet er polarisert.

Her må det gjennomføres gjennomsnittsberegning over bølgefunksjonen til starttilstanden (3). Resultatet ser slik ut:

de. maksimale tellinger oppnås ved = 45 0 .

Informasjon og entropi.

Uten å introdusere det "operative" begrepet "informasjon" foreløpig, vil vi argumentere for å bruke "hverdagsspråk". De. informasjon er noe kunnskap om et objekt.

Følgende eksempel viser at begrepene informasjon og entropi er nært beslektet. La oss vurdere en ideell gass i termodynamisk likevekt. En gass består av et stort antall molekyler som beveger seg i volum V. Parametrene til tilstanden er trykk og temperatur. Antallet stater i et slikt system er enormt. Entropien til en gass ved TD-likevekt er maksimal og, som følger av Boltzmanns formel, bestemmes av antall mikrotilstander i systemet. Samtidig vet vi ikke noe om hvilken spesifikk tilstand systemet har på et gitt tidspunkt – informasjonen er minimal. La oss si at vi på en eller annen måte klarte, ved hjelp av en veldig rask enhet, å "kikke på statusen til systemet på et gitt tidspunkt. Så vi fikk litt informasjon om henne. Du kan til og med forestille deg at vi fotograferte ikke bare koordinatene til molekylene, men også hastigheten deres (for eksempel ved å ta flere bilder etter hverandre). Dessuten, i hvert øyeblikk når informasjon om systemets tilstand er tilgjengelig for oss, har entropi en tendens til null, fordi systemet er bare i én spesifikk tilstand av all deres enorme variasjon, og denne tilstanden er høyst ikke-likevekt. Dette eksemplet viser at informasjon og entropi på en eller annen måte henger sammen, og forbindelsens natur er allerede i ferd med å dukke opp: jo mer informasjon, jo mindre entropi.

Informasjon fra termodynamikk og statistisk fysikk.

Fysiske mengder som karakteriserer kroppens makroskopiske tilstander (mange molekyler) kalles termodynamisk (inkludert energi, volum). Det er imidlertid mengder som vises som et resultat av virkningen av rent statistiske lover og har betydning når de bare brukes på makroskopiske systemer. Slike er for eksempel entropi og temperatur.

Klassisk statistikk

*Liouvilles teorem. Fordelingsfunksjonen er konstant langs fasebanene til delsystemet (vi snakker om kvasi-lukkede delsystemer, så teoremet er kun gyldig i ikke veldig store tidsperioder, der delsystemet oppfører seg som lukket).

Her - - fordelingsfunksjon eller sannsynlighetstetthet. Det introduseres gjennom sannsynlighet w oppdage et delsystem i et faseromselement på dette tidspunktet: dw = ( s 1 ,..., ps , q 1 ,..., qs ) dpdq , og

Å finne den statistiske fordelingen for ethvert delsystem er hovedoppgaven til statistikk. Hvis den statistiske fordelingen er kjent, er det mulig å beregne sannsynlighetene for forskjellige verdier av alle fysiske mengder avhengig av tilstandene til dette undersystemet (dvs. på verdiene til koordinater og momenta):

*Mikrokanonisk distribusjon.

Fordelingen for settet av to delsystemer (de antas å være lukket, dvs. svakt samvirkende) er lik. Derfor - logaritme av fordelingsfunksjonen - verdi tilsetningsstoff. Fra Liouvilles teorem følger det at fordelingsfunksjonen må uttrykkes i form av slike kombinasjoner av variablene p og q som, når delsystemet beveger seg som et lukket system, må forbli konstant (slike størrelser kalles bevegelsesintegraler). Dette betyr at fordelingsfunksjonen i seg selv er en integral av bevegelse. Dessuten er dens logaritme også en integral av bevegelse, og tilsetningsstoff. Totalt i mekanikk er det syv integraler av bevegelse - energi, tre komponenter av momentum og tre komponenter av vinkelmomentum - (for delsystem a: E a (s, q), P EN (s, q), M A (s, q)). Den eneste additive kombinasjonen av disse mengdene er

Dessuten må koeffisientene (det er syv av dem) forbli de samme for alle delsystemer i et gitt lukket system, og velges fra normaliseringsbetingelsene (4).

For at normaliseringsbetingelsen (4) skal tilfredsstilles, er det nødvendig at funksjonen (s, q) kontaktet punktene E 0, P 0, M 0 til det uendelige. En mer presis formulering gir uttrykket

Mikrokanonisk distribusjon.

Tilstedeværelsen av - funksjoner sikrer at de forsvinner for alle punkter i faserommet der minst en av mengdene E, R, M ikke lik den angitte (gjennomsnittlige) verdien E 0, P 0, M 0 .

Fra seks integraler P Og M kan elimineres ved å lukke systemet i en solid boks som det hviler i.

Fysisk entropi

Igjen bruker vi konseptet med en ideell gass.

La en monoatomisk ideell gass med tetthet n og temperatur T tar opp volumet V. Vi skal måle temperatur i energienheter - Boltzmanns konstant vil ikke vises. Hvert gassatom har en gjennomsnittlig kinetisk energi av termisk bevegelse lik 3T/2. Derfor er den totale termiske energien til gassen lik

Det er kjent at gasstrykket er lik s = nT. Hvis en gass kan utveksle varme med det ytre miljøet, ser loven om bevaring av gassenergi slik ut:

. (5)

Dermed kan en endring i den indre energien til en gass oppstå både på grunn av arbeidet den gjør og på grunn av mottak av en viss mengde varme dQ utenfra. Denne ligningen uttrykker termodynamikkens første lov, dvs. loven om energisparing. Det antas at gassen er i likevekt, dvs. s = konst gjennom hele volumet.

Hvis vi antar at gassen også er i en tilstand av TD-likevekt, T =konst, så kan relasjon (5) betraktes som en elementær prosess for variasjon av gassparametere når de endres veldig sakte, når TD-likevekten ikke forstyrres. Det er for slike prosesser at begrepet entropi S introduseres ved å bruke relasjonen

Dermed hevdes det at i tillegg til intern energi, har en likevektsgass en annen indre egenskap assosiert med den termiske bevegelsen til atomer. I henhold til (5, 6) ved konstant volum dV= 0, er endringen i energi proporsjonal med endringen i temperatur, og i det generelle tilfellet

Fordi Hvor N = nV = konst er det totale antallet gassatomer, så kan den siste relasjonen skrives på formen

Etter integrering får vi

Uttrykket i firkantede parenteser representerer entropien per partikkel.

Altså, hvis både temperatur og volum endres på en slik måte at VT 3/2 forblir konstant, så endres ikke entropien S. I følge (6) betyr dette at gassen ikke utveksler varme med det ytre miljø, dvs. gassen skilles fra den av varmeisolerende vegger. Denne prosessen kalles adiabatisk.

Fordi det

hvor = 5/3 kalles den adiabatiske eksponenten. Under en adiabatisk prosess endres temperatur og trykk med tetthet i henhold til loven

Boltzmann formel

Som følger av Liouvilles teorem, fordelingsfunksjonen? har et skarpt maksimum ved E = E 0 (gjennomsnittsverdi) og er ikke null bare i nærheten av dette punktet. Hvis du skriver inn bredden E på kurven (E), definerer du den som bredden på et rektangel hvis høyde er lik verdien av funksjonen (E) ved maksimumspunktet, og arealet er lik enhet (med riktig normalisering). Vi kan gå fra intervallet av energiverdier til antall tilstander Г med energier som tilhører E (dette er faktisk den gjennomsnittlige fluktuasjonen av energien til systemet). Da karakteriserer verdien Γ graden av utsmøring av den makroskopiske tilstanden til systemet over dets mikroskopiske tilstander. Med andre ord, for klassiske systemer er Г størrelsen på regionen av faserom der et gitt delsystem tilbringer nesten all sin tid antall kvantetilstander per det Nemlig, for hver kvantetilstand i faserommet er det en celle med volum , hvor s er antall frihetsgrader.

Verdien Γ kalles den statistiske vekten av den makroskopiske tilstanden den kan skrives som:

Logaritmen til den statistiske vekten kalles entropi:

hvor - statistisk vekt = antall mikrotilstander dekket av makrotilstanden til systemet som vurderes.

I kvantestatistikk er det vist at = 1. Da

Hvor med menes en statistisk matrise (densitet). På grunn av lineariteten til logaritmen til energifordelingsfunksjonen (*), hvor det utføres gjennomsnitt over fordelingsfunksjonen.

Siden antall tilstander i alle fall ikke er mindre enn én, kan ikke entropi være negativ. S bestemmer tettheten av nivåer i energispekteret til et makroskopisk system. På grunn av additiviteten til entropi, kan vi si at de gjennomsnittlige avstandene mellom nivåene til en makroskopisk kropp avtar eksponentielt med en økning i størrelsen (dvs. antall partikler i den). Den høyeste entropiverdien tilsvarer fullstendig statistisk likevekt.

Ved å karakterisere hver makroskopiske tilstand av systemet ved fordeling av energi mellom ulike delsystemer, kan vi si at en rekke suksessivt kryssede tilstander av systemet tilsvarer en stadig mer sannsynlig fordeling av energi. Denne økningen i sannsynlighet er stor på grunn av dens eksponentielle natur eS- eksponenten inneholder en additiv mengde - entropi. At. prosessene som skjer i et ikke-likevekts lukket system foregår på en slik måte at systemet kontinuerlig beveger seg fra tilstander med lavere entropi til tilstander med høyere entropi. Som et resultat når entropi høyest mulig verdi, tilsvarende fullstendig statistisk likevekt.

Således, hvis et lukket system på et tidspunkt er i en makroskopisk tilstand som ikke er likevekt, vil den mest sannsynlige konsekvensen ved påfølgende tidspunkter være en monoton økning i entropien til systemet. dette - termodynamikkens andre lov (R. Clausius, 1865). Dens statistiske begrunnelse ble gitt av L. Boltzmann i 1870. En annen definisjon:

hvis entropien til et lukket system på et tidspunkt er forskjellig fra maksimumet, vil ikke entropien avta i påfølgende øyeblikk. Den øker eller forblir i ekstreme tilfelle konstant. I henhold til disse to mulighetene er alle prosesser som skjer med makroskopiske kropper vanligvis delt inn i irreversible Og reversible . Irreversibel - de prosessene som er ledsaget av en økning i entropien til hele det lukkede systemet (prosesser som vil være deres repetisjoner i omvendt rekkefølge kan ikke forekomme, siden entropien i dette tilfellet må avta). Merk at en reduksjon i entropi kan være forårsaket av fluktuasjoner. Vendbar er prosesser der entropien til et lukket system forblir konstant og som derfor også kan skje i motsatt retning. En strengt reversibel prosess representerer et ideelt begrensningstilfelle.

Under adiabatiske prosesser absorberer eller frigjør ikke systemet varme ? Q = 0 .

Kommentar: (substantiv). Utsagnet om at et lukket system må gå over til en likevektstilstand over tilstrekkelig lang tid (lengre enn relaksasjonstiden) gjelder kun for et system under stasjonære ytre forhold. Et eksempel er oppførselen til et stort område av universet som er tilgjengelig for vår observasjon (egenskapene til naturen har ingenting til felles med egenskapene til et likevektssystem).

Informasjon.

La oss vurdere et bånd delt inn i celler - et klassisk register. Hvis bare ett av to tegn kan plasseres i hver celle, sies det at cellen inneholder litt informasjon. Det er åpenbart (se forelesning 1) at i registeret som inneholder N cellene inneholdt N litt informasjon og kan skrives i den 2 N meldinger. Så informasjonsentropi måles i biter:

(7)

Her Q N = 2 N- det totale antallet forskjellige meldinger. Fra (7) er det klart at informasjonsentropi er ganske enkelt lik det minste antallet binære celler som noe informasjon kan registreres med.

Definisjon (7) kan skrives om annerledes. La oss ha mange Q N ulike meldinger. La oss finne sannsynligheten for at meldingen vi trenger vil falle sammen med en tilfeldig valgt fra det totale antallet Q N ulike meldinger. Det er åpenbart lik P N = 1/ Q N. Da vil definisjon (7) skrives som:

(8)

Jo større antall celler N, jo mindre sannsynlig er det P N og jo større informasjonsentropien H B i denne spesielle meldingen.

Eksempel . Antall bokstaver i alfabetet er 32 (uten bokstaven ё). Tallet 32 er den femte potensen av to 32 = 2 5. For å matche hver bokstav med en bestemt kombinasjon av binære tall, må du ha 5 celler. Ved å legge til store bokstaver til små bokstaver dobler vi antall tegn vi ønsker å kode – det blir 64 = 2 6 – dvs. ekstra informasjon legges til H B= 6. Her H B- mengden informasjon per bokstav (små eller store bokstaver). En slik direkte beregning av informasjonsentropi er imidlertid ikke helt nøyaktig, siden det er bokstaver i alfabetet som er mindre vanlige eller mer vanlige. De bokstavene som forekommer sjeldnere kan gis et større antall celler, og for bokstaver som forekommer ofte kan man spare penger og gi dem de registertilstandene som opptar et mindre antall celler. Den nøyaktige definisjonen av informasjonsentropi ble gitt av Shannon:

(9)

Formelt kan utledningen av dette forholdet begrunnes som følger.

Vi viste over det

på grunn av additiviteten til logaritmen til fordelingsfunksjonen og dens linearitet i energi.

La s- distribusjonsfunksjon med en diskret verdi f i (for eksempel bokstaven "o" i denne teksten). Hvis du bruker funksjonen s konstruer satil ulike verdier av mengden f = f 1 , f 2 ,... f N, så vil denne funksjonen ha et maksimum ved , hvor og (normalisering). Deretter er p()= 1 og (generelt sett er dette sant for klassen av funksjoner som tilfredsstiller betingelsen (*))

Summen utføres over alle tegn (bokstaver i alfabetet), og p i betyr sannsynligheten for utseendet til et symbol med et tall Jeg. Som du kan se, dekker dette uttrykket både ofte brukte bokstaver og bokstaver hvis sannsynlighet for å vises i en gitt melding er lav.

Siden uttrykk (9) bruker den naturlige logaritmen, kalles den tilsvarende informasjonsenheten "nat".

Uttrykk (9) kan skrives om som

hvor parentesene betyr den vanlige klassiske gjennomsnittsberegningen ved bruk av fordelingsfunksjonen p i .

Kommentar . I de følgende forelesningene vil det bli vist at for kvantetilstander

hvor er tetthetsmatrisen. Formelt sett er uttrykk (10) og (11) de samme, men det er en betydelig forskjell. Klassisk gjennomsnittsberegning utføres over ortogonale (eigen) tilstander i systemet, mens det for kvantetilfellet også kan være ikke-ortogonale tilstander (superposisjoner). Derfor alltid H kvant H klasse !

Formler (8) og (9) bruker logaritmer i forskjellige baser. I (8) - basert på base 2, og i (9) - basert på base e. Informasjonsentropiene som tilsvarer disse formlene kan enkelt uttrykkes gjennom hverandre. La oss bruke relasjonen der M er et vilkårlig tall

Så med tanke på det og vi får

- antall bits er nesten halvannen ganger større enn antall nat!

Ved å resonnere på lignende måte kan vi få forholdet mellom entropier uttrykt i trits og bits:

I datateknologi brukes informasjon i binær base (i bits). For resonnement i fysikk er det mer praktisk å bruke Shannon-informasjon (i Nat), som kan karakterisere enhver diskret informasjon. Du kan alltid finne antall tilsvarende biter.

FORHOLDET AV ENTROPI OG INFORMASJON. Maxwells demon

Dette paradokset ble først vurdert av Maxwell i 1871 (se fig. 1). La en "overnaturlig" kraft åpne og lukke ventilen i et kar som er delt i to deler og inneholder gass. Ventilen styres av regelen om at den åpnes hvis raske molekyler som beveger seg fra høyre til venstre berører den eller hvis langsomme molekyler treffer den i motsatt retning. Dermed introduserer demonen en temperaturforskjell mellom to volumer uten å utføre arbeid, noe som bryter termodynamikkens andre lov.

Maxwells demon. Demonen etablerer en trykkforskjell ved å åpne spjeldet når antall gassmolekyler som treffer den fra venstre overstiger antall treff fra høyre. Dette kan gjøres på en fullstendig reversibel måte, så lenge demonens minne lagrer de tilfeldige resultatene av hans observasjoner av molekyler. Derfor varmes demonens minne (eller hodet) opp. Det irreversible trinnet er ikke at informasjon akkumuleres, men at informasjonen går tapt når demonen senere tømmer minnet. Over: Å fylle daemonens minne med biter av informasjon er en tilfeldig prosess. På høyre side av den stiplede linjen er et tomt minneområde (alle celler er i tilstand 0, til venstre er tilfeldige biter). Nedenfor er en demon.

En rekke forsøk har blitt gjort for å løse paradokset eller drive ut demonen. For eksempel ble det antatt at demonen ikke kunne trekke ut informasjon uten å gjøre arbeid eller uten å forstyrre (dvs. varme opp) gassen - men det viste seg at det ikke var slik! Andre forsøk kokte ned til det faktum at det andre prinsippet kunne krenkes under påvirkning av visse "fornuftige" eller "tenkende" krefter (skapninger). I 1929 Leo Szilard "avanserte" løsningen på problemet betydelig, reduserte den til en minimal formulering og fremhevet de essensielle komponentene. Det viktigste som demonen trenger å gjøre er å fastslå om et enkelt molekyl er plassert til høyre eller venstre for glideventilen, noe som vil tillate varme å bli ekstrahert. Denne enheten ble kalt Szilard-motoren. Szilard løste imidlertid ikke paradokset fordi analysen hans ikke tok hensyn til hvordan målingen som demonen vet om et molekyl er til høyre eller venstre påvirker økningen i entropi (se figur Szilard_demon.pdf). Motoren går på en seks-trinns syklus. Motoren er en sylinder med stempler i endene. En klaff settes inn i midten. Arbeidet med å flytte partisjonen kan reduseres til null (Szilard viste dette). Det er også en minneenhet (MU). Det kan være i en av tre stater. "Tom", "Molekyl til høyre" og "Molekyl til venstre". Utgangstilstand: UP = "Tom", stemplene presses ut, skilleveggen er utvidet, molekylet har en gjennomsnittlig hastighet, som bestemmes av temperaturen på termostaten (slide 1).

1. Partisjonen settes inn, og etterlater molekylet på høyre eller venstre side (lysbilde 2).

2. Minneenheten bestemmer hvor molekylet er og beveger seg til "høyre" eller "venstre" tilstand.

3. Kompresjon. Avhengig av tilstanden til UE, beveger stempelet seg inn fra siden der det ikke er noe molekyl. Dette stadiet krever ikke noe arbeid. Fordi vakuumet er komprimert (slide 3).

4. Septum fjernes. Molekylet begynner å utøve trykk på stempelet (slide 4).

5. Arbeidsslag. Molekylet treffer stempelet og får det til å bevege seg i motsatt retning. Energien til molekylet overføres til stempelet. Når stempelet beveger seg, bør gjennomsnittshastigheten reduseres. Dette skjer imidlertid ikke, siden veggene i fartøyet har en konstant temperatur. Derfor overføres varme fra termostaten til molekylet, og holder hastigheten konstant. Under arbeidsslaget blir den termiske energien som tilføres fra termostaten omdannet til mekanisk arbeid utført av stempelet (slide 6).

6. Rensing av UE, sett den tilbake til "Empty"-tilstand (lysbilde 7). Syklusen er fullført (lysbilde 8 = lysbilde 1).

Det er overraskende at dette paradokset ikke ble løst før på 1980-tallet. I løpet av denne tiden ble det slått fast at i prinsippet kan enhver prosess gjøres på en reversibel måte, d.v.s. uten "betaling" ved entropi. Til slutt, Bennett i 1982 etablerte den definitive sammenhengen mellom denne uttalelsen og Maxwells paradoks. Han foreslo at demonen faktisk kunne vite hvor et molekyl var i Szilards motor uten å gjøre arbeid eller øke entropien til miljøet (termostaten) og dermed gjøre nyttig arbeid i én motorsyklus. Informasjon om posisjonen til molekylet må imidlertid forbli i demonens minne (rsi.1). Ettersom flere sykluser utføres, akkumuleres mer og mer informasjon i minnet. For å fullføre den termodynamiske syklusen, må demonen slette informasjonen som er lagret i minnet. Det er denne operasjonen med å slette informasjon som må klassifiseres som en prosess for å øke entropien i miljøet, slik den andre loven krever. Dette fullfører den grunnleggende fysiske delen av Maxwells demonenhet.

Disse ideene fikk en viss utvikling i verkene til D.D. Kadomtsev.

La oss vurdere en ideell gass som består av bare en partikkel (Kadomtsev, "dynamikk og informasjon"). Dette er ikke absurd. Hvis en partikkel er innelukket i et kar med volum V med vegger ved temperatur T, vil den før eller siden komme i likevekt med disse veggene. I hvert øyeblikk er den på et veldig spesifikt punkt i rommet og med en veldig bestemt hastighet. Vi vil utføre alle prosessene så sakte at partikkelen i gjennomsnitt vil ha tid til å fylle hele volumet og gjentatte ganger endre størrelsen og retningen på hastigheten under uelastiske kollisjoner med karets vegger. Dermed utøver partikkelen et gjennomsnittstrykk på veggene og har en temperatur T og dens hastighetsfordeling er Maxwellsk med temperatur T. Dette systemet av en partikkel kan komprimeres adiabatisk, temperaturen kan endres, noe som gir den muligheten til å komme i likevekt med karets vegger.

Gjennomsnittlig trykk på veggen kl N = 1 , er lik s= T/V, og gjennomsnittlig tetthet n = 1/ V. La oss vurdere tilfellet med en isoterm prosess når T =konst. Fra første start kl T =konst. Og s= T/V vi får

, fordi det

Herfra finner vi at endringen i entropien ikke er avhengig av temperatur, altså

Her introduseres integrasjonskonstanten: "partikkelstørrelse"<

Arbeid i en isoterm prosess

arbeid bestemmes av forskjellen i entropi.

Anta at vi har ideelle skillevegger som kan brukes til å dele opp fartøyet i deler uten å kaste bort energi. La oss dele fartøyet vårt i to like deler med et volum V/2 Hver. I dette tilfellet vil partikkelen være i en av halvdelene - men vi vet ikke hvilken. La oss si at vi har en enhet som lar oss bestemme hvilken del en partikkel befinner seg i for eksempel en presisjonsskala. Så fra en symmetrisk sannsynlighetsfordeling på 50 % til 50 % i to halvdeler, får vi en 100 % sannsynlighet for en av halvdelene - en "kollaps" av sannsynlighetsfordelingen skjer. Følgelig vil den nye entropien være mindre enn den opprinnelige entropien med mengden

Ved å redusere entropien kan arbeid utføres. For å gjøre dette er det nok å flytte partisjonen mot det tomme volumet til det forsvinner. Arbeidet vil være lik Hvis ingenting endret seg i den ytre verden, så ved å gjenta disse syklusene, er det mulig å bygge en evighetsmaskin av den andre typen. Dette er Maxwells demon i Szilards versjon. Men termodynamikkens andre lov forbyr å oppnå arbeid bare gjennom varme. Det betyr at noe må skje i omverdenen. Hva er dette? Påvisning av en partikkel i en av halvdelene endrer informasjon om en partikkel - Av de to mulige halvdelene er kun én angitt, hvor partikkelen befinner seg. Denne kunnskapen tilsvarer én bit informasjon. Måleprosessen reduserer entropien til partikkelen (overføres til en ikke-likevektstilstand) og øker informasjonen om systemet (partikkelen) med nøyaktig samme mengde. Hvis du gjentatte ganger deler i halvparten av de tidligere oppnådde halvdelene, kvartalene, åttendedeler, etc., vil entropien konsekvent avta, og informasjonen vil øke! Med andre ord

Jo mer vi vet om et fysisk system, jo lavere er entropien. Hvis alt er kjent om systemet, betyr dette at vi har overført det til en svært ikke-likevektstilstand, når parametrene er så langt som mulig fra likevektsverdier. Hvis i vår modell kan partikkelen plasseres i en elementær celle med volum V 0 , da på samme tid S = 0 , og informasjon når sin maksimale verdi siden sannsynlighet p min finne en partikkel i en gitt celle er lik V 0 / V. Hvis partikkelen i påfølgende øyeblikk begynner å fylle et større volum, vil informasjon gå tapt og entropien vil øke. Vi understreker at du må betale for informasjon (i henhold til andre lov) ved å øke entropien S e eksternt system, og faktisk, hvis enheten (det eksterne systemet) for én bit informasjon økte sin entropi med en mengde mindre enn én bit, så kunne vi reversere varmemotoren. Nemlig, ved å utvide volumet som okkuperes av en partikkel, vil vi øke dens entropi med mengden ln2 få en jobb Tln2 , og den totale entropien til partikkel pluss enhetssystemet ville avta. Men dette er umulig i henhold til det andre prinsippet. Formelt, , derfor er en reduksjon i entropien til systemet (partikkelen) ledsaget av en økning i entropien til enheten.

Altså informasjonsentropi er et mål på mangelen (eller graden av usikkerhet) av informasjon om den faktiske tilstanden til et fysisk system.

Shannon informasjonsentropi:

, hvor (dette refererer til to-nivåsystemer, for eksempel biter: "0" og "1". Hvis dimensjonen er n, Det H = logg n. Ja, for n = 3, N =Logg 3 og, = 3.)

Mengde informasjon Jeg(eller ganske enkelt informasjon) om tilstanden til et klassisk system, oppnådd som et resultat av målinger av en ekstern enhet koblet til systemet som vurderes ved hjelp av en kommunikasjonskanal, er definert som forskjellen i informasjonsentropi som tilsvarer den initiale usikkerheten til systemet stat H 0 , og informasjonsentropi av den endelige tilstanden til systemet etter måling H. Dermed,

Jeg + H = H 0 = konst .

I det ideelle tilfellet, når det ikke er støy og interferens skapt av eksterne kilder i kommunikasjonskanalen, reduseres den endelige sannsynlighetsfordelingen etter måling til en spesifikk verdi p n= 1, dvs. H = 0, og den maksimale verdien av informasjonen som er oppnådd under målingen vil bli bestemt: Imax = H 0 . Således har Shannon informasjonsentropien til et system betydningen av den maksimale informasjonen som finnes i systemet; det kan bestemmes under ideelle forhold for å måle systemets tilstand i fravær av støy og interferens, når entropien til slutttilstanden er null:

La oss vurdere et klassisk logisk element som kan være i en av to like sannsynlige logiske tilstander "0" og "1". Et slikt element, sammen med miljøet - termostaten og signalet generert av et eksternt termisk isolert objekt, danner et enkelt ikke-likevekts lukket system. Overgangen av et element til en av tilstandene, for eksempel til "0"-tilstanden, tilsvarer en reduksjon i stat. vekten av tilstanden sammenlignet med den opprinnelige tilstanden er 2 ganger (for tre-nivåsystemer - 3 ganger). La oss finne nedgangen informasjonsentropi Shannon, som tilsvarer en økning i mengden informasjon om et element med én, som kalles bit:

Derfor bestemmer informasjonsentropi antall biter som kreves for å kode informasjon i det aktuelle systemet eller meldingen.

LITTERATUR

1. D. Landau, I. Lifshits. Statistisk fysikk. Del 1. Science, M 1976.

2. M.A. Leontovich. Introduksjon til termodynamikk. Statistisk fysikk. Moskva, Nauka, 1983. - 416 s.

3. B.B. Kadomtsev. Dynamikk og informasjon. UFN, 164, nr. 5, 449 (1994).

10. Grunnleggende postulater av statistisk termodynamikk

Når man skal beskrive systemer som består av et stort antall partikler, kan to tilnærminger brukes: mikroskopiske og makroskopiske. I den første tilnærmingen, basert på klassisk eller kvantemekanikk, er mikrotilstanden til systemet karakterisert i detalj, for eksempel koordinatene og momenta til hver partikkel i hvert øyeblikk i tid. Mikroskopisk beskrivelse krever å løse klassiske eller kvanteligninger av bevegelse for et stort antall variabler. Dermed er hver mikrotilstand av en ideell gass i klassisk mekanikk beskrevet av 6 N variabler ( N- antall partikler): 3 N koordinater og 3 N impulsprojeksjoner.

Den makroskopiske tilnærmingen, som brukes av klassisk termodynamikk, karakteriserer bare makrotilstandene i systemet og bruker et lite antall variabler for dette, for eksempel tre: temperatur, volum og antall partikler. Hvis et system er i en likevektstilstand, er dets makroskopiske parametere konstante, mens dets mikroskopiske parametere endres med tiden. Dette betyr at for hver makrotilstand er det flere (faktisk uendelig mange) mikrotilstander.

Statistisk termodynamikk etablerer en sammenheng mellom disse to tilnærmingene. Den grunnleggende ideen er denne: hvis hver makrotilstand har mange mikrotilstander knyttet til seg, så bidrar hver av dem til makrotilstanden. Da kan egenskapene til makrotilstanden beregnes som gjennomsnitt over alle mikrotilstander, dvs. oppsummerer bidragene deres med hensyn til statistiske vekter.

Gjennomsnitt over mikrostater utføres ved å bruke konseptet med et statistisk ensemble. Ensemble er et uendelig sett med identiske systemer plassert i alle mulige mikrotilstander som tilsvarer én makrotilstand. Hvert system i ensemblet er én mikrostat. Hele ensemblet er beskrevet av noen distribusjonsfunksjon etter koordinater og momenta ( s, q, t), som er definert som følger:

(s, q, t) dp dq er sannsynligheten for at ensemblesystemet er plassert i et volumelement dp dq nærpunkt ( s, q) på tidspunktet t.

Betydningen av fordelingsfunksjonen er at den bestemmer den statistiske vekten til hver mikrotilstand i makrotilstanden.

Fra definisjonen følger de elementære egenskapene til fordelingsfunksjonen:

1. Normalisering

. (10.1)

2. Positiv sikkerhet

(s, q, t) i 0 (10,2)

Mange makroskopiske egenskaper til et system kan defineres som gjennomsnittlig verdi funksjoner til koordinater og momenta f(s, q) etter ensemble:

For eksempel er intern energi gjennomsnittet av Hamilton-funksjonen H(s,q):

Eksistensen av en distribusjonsfunksjon er essensen grunnleggende postulat av klassisk statistisk mekanikk:

Den makroskopiske tilstanden til systemet er fullstendig spesifisert av en distribusjonsfunksjon som tilfredsstiller betingelsene (10.1) og (10.2).

For likevektssystemer og likevektsensembler er ikke distribusjonsfunksjonen eksplisitt avhengig av tid: = ( s,q). Den eksplisitte formen for distribusjonsfunksjonen avhenger av typen ensemble. Det er tre hovedtyper av ensembler:

1) Mikrokanonisk ensemblet beskriver isolerte systemer og er preget av følgende variabler: E(energi), V(volum), N(antall partikler). I et isolert system er alle mikrotilstander like sannsynlige ( postulat med like stor sannsynlighet):

2) Kanonisk ensemble beskriver systemer som er i termisk likevekt med omgivelsene. Termisk likevekt er preget av temperatur T. Derfor avhenger fordelingsfunksjonen også av temperatur:

(10.6)

(k= 1,38 10 -23 J/K - Boltzmann konstant). Verdien av konstanten i (10.6) bestemmes av normaliseringsbetingelsen (se (11.2)).

Et spesialtilfelle av den kanoniske fordelingen (10.6) er Maxwell distribusjon ved hastighet v, som er gyldig for gasser:

(10.7)

(m- massen til et gassmolekyl). Uttrykk (v) d v beskriver sannsynligheten for at et molekyl har en absolutt hastighetsverdi mellom v og v+ d v. Maksimum av funksjon (10,7) gir den mest sannsynlige hastigheten til molekyler, og integralet

Gjennomsnittlig hastighet på molekyler.

Hvis systemet har diskrete energinivåer og beskrives kvantemekanisk, så i stedet for Hamilton-funksjonen H(s,q) bruk Hamilton-operatøren H, og i stedet for distribusjonsfunksjonen - tetthetsmatriseoperatoren:

(10.9)

De diagonale elementene i tetthetsmatrisen gir sannsynligheten for at systemet er inne Jeg-th energitilstand og har energi E i:

(10.10)

Verdien av konstanten bestemmes av normaliseringstilstanden: S Jeg = 1:

(10.11)

Nevneren til dette uttrykket kalles sum over tilstander (se kapittel 11). Det er av sentral betydning for den statistiske vurderingen av systemets termodynamiske egenskaper Fra (10.10) og (10.11) kan man finne antall partikler N i ha energi E i:

(10.12)

(N- totalt antall partikler). Fordelingen av partikler (10.12) over energinivåer kalles Boltzmann distribusjon, og telleren for denne fordelingen er Boltzmann-faktoren (multiplikator). Noen ganger er denne fordelingen skrevet i en annen form: hvis det er flere nivåer med samme energi E i, så kombineres de til én gruppe ved å summere Boltzmann-faktorene:

(10.13)

(g i- antall energinivåer E i, eller statistisk vekt).

Mange makroskopiske parametere for et termodynamisk system kan beregnes ved å bruke Boltzmann-fordelingen. For eksempel er gjennomsnittlig energi definert som gjennomsnittet av energinivåer som tar hensyn til deres statistiske vekter:

, (10.14)

3) Grand Canonical Ensemble beskriver åpne systemer som er i termisk likevekt og i stand til å utveksle stoff med omgivelsene. Termisk likevekt er preget av temperatur T, og likevekten i antall partikler er det kjemiske potensialet. Derfor avhenger fordelingsfunksjonen av temperatur og kjemisk potensial. Vi vil ikke bruke et eksplisitt uttrykk for fordelingsfunksjonen til det store kanoniske ensemblet her.

I statistisk teori er det bevist at for systemer med et stort antall partikler (~ 10 23) er alle tre typer ensembler likeverdige med hverandre. Bruken av ethvert ensemble fører til de samme termodynamiske egenskapene, derfor er valget av et eller annet ensemble for å beskrive et termodynamisk system diktert bare av bekvemmeligheten av matematisk behandling av distribusjonsfunksjoner.

EKSEMPLER

Eksempel 10-1. Et molekyl kan være på to nivåer med energier på 0 og 300 cm -1. Hva er sannsynligheten for at et molekyl vil være på det øvre nivået ved 250 o C?

Løsning. Det er nødvendig å bruke Boltzmann-fordelingen, og for å konvertere den spektroskopiske enheten for energi cm -1 til joule, bruk multiplikatoren hc (h= 6,63 10 -34 J. s, c= 3 10 10 cm/s): 300 cm -1 = 300 6,63 10 -34 3 10 10 = 5,97 10 -21 J.

Svar. 0.304.

Eksempel 10-2. Et molekyl kan være på et nivå med energi 0 eller på ett av tre nivåer med energi E. Ved hvilken temperatur vil a) alle molekyler være på lavere nivå, b) antall molekyler på lavere nivå vil være lik antall molekyler på øvre nivå, c) antall molekyler på lavere nivå vil være tre ganger mindre enn antall molekyler på de øvre nivåene?

Løsning. La oss bruke Boltzmann-distribusjonen (10.13):

EN) N 0 / N= 1; exp(- E/kT) = 0; T= 0. Når temperaturen synker, akkumuleres molekyler på lavere nivåer.

b) N 0 / N= 1/2; exp(- E/kT) = 1/3; T = E / [k ln(3)].

V) N 0 / N= 1/4; exp(- E/kT) = 1; T= . Ved høye temperaturer er molekyler jevnt fordelt over energinivåer, pga alle Boltzmann-faktorer er nesten like og lik 1.

Svar. EN) T= 0; b) T = E / [k ln(3)]; V) T = .

Eksempel 10-3. Når et termodynamisk system varmes opp, øker populasjonen av noen nivåer og andre reduseres. Ved hjelp av Boltzmanns distribusjonslov bestemmer du hva energien til et nivå må være for at befolkningen skal øke med økende temperatur.

Løsning. Occupancy er andelen molekyler som befinner seg på et visst energinivå. Av betingelser må den deriverte av denne mengden med hensyn til temperatur være positiv:

I den andre linjen brukte vi definisjonen av gjennomsnittlig energi (10,14). Dermed øker befolkningen med temperaturen for alle nivåer over gjennomsnittsenergien til systemet.

Svar. .

OPPGAVER

10-1. Et molekyl kan være på to nivåer med energier på 0 og 100 cm -1. Hva er sannsynligheten for at et molekyl vil være på sitt laveste nivå ved 25 o C?

10-2. Et molekyl kan være på to nivåer med energier på 0 og 600 cm -1. Ved hvilken temperatur vil det være dobbelt så mange molekyler på øvre nivå som på nedre nivå?

10-3. Et molekyl kan være på et nivå med energi 0 eller på ett av tre nivåer med energi E. Finn den gjennomsnittlige energien til molekyler: a) ved svært lave temperaturer, b) ved svært høye temperaturer.

10-4. Når et termodynamisk system avkjøles, øker populasjonen av noen nivåer og andre reduseres. Ved hjelp av Boltzmanns distribusjonslov bestemmer du hva energien til et nivå må være for at befolkningen skal øke med synkende temperatur.

10-5. Beregn den mest sannsynlige hastigheten til karbondioksidmolekyler ved en temperatur på 300 K.

10-6. Beregn gjennomsnittshastigheten til heliumatomer under normale forhold.

10-7. Beregn den mest sannsynlige hastigheten til ozonmolekyler ved en temperatur på -30 o C.

10-8. Ved hvilken temperatur er gjennomsnittshastigheten til oksygenmolekyler lik 500 m/s?

10-9. Under noen forhold er gjennomsnittshastigheten til oksygenmolekyler 400 m/s. Hva er gjennomsnittshastigheten til hydrogenmolekyler under de samme forholdene?

10-10. Hva er andelen av molekyler som veier m, med en hastighet over gjennomsnittet ved temperatur T? Er denne fraksjonen avhengig av massen av molekyler og temperatur?

10-11. Beregn den gjennomsnittlige kinetiske energien til bevegelse av massemolekyler ved å bruke Maxwells fordeling m ved en temperatur T. Er denne energien lik kinetisk energi ved gjennomsnittlig hastighet?

Statistisk fysikk og termodynamikk

Statistiske og termodynamiske forskningsmetoder . Molekylærfysikk og termodynamikk er grener av fysikk der de studerer makroskopiske prosesser i legemer, assosiert med det enorme antallet atomer og molekyler som finnes i kroppene. For å studere disse prosessene brukes to kvalitativt forskjellige og gjensidig komplementære metoder: statistisk (molekylær kinetikk) Og termodynamisk. Den første ligger til grunn for molekylfysikk, den andre - termodynamikk.

Molekylær fysikk - en gren av fysikken som studerer materiens struktur og egenskaper basert på molekylære kinetiske konsepter, basert på det faktum at alle legemer består av molekyler i kontinuerlig kaotisk bevegelse.

Ideen om materiens atomstruktur ble uttrykt av den gamle greske filosofen Democritus (460-370 f.Kr.). Atomisme ble gjenopplivet igjen først på 1600-tallet. og utvikler seg i verk hvis syn på materiens struktur og termiske fenomener var nær moderne. Den strenge utviklingen av molekylær teori går tilbake til midten av 1800-tallet. og er assosiert med verkene til den tyske fysikeren R. Clausius (1822-1888), J. Maxwell og L. Boltzmann.

Prosessene studert av molekylær fysikk er resultatet av den kombinerte virkningen av et stort antall molekyler. Atferdslovene til et stort antall molekyler, som er statistiske lover, studeres ved hjelp av statistisk metode. Denne metoden er basert på det faktum at egenskapene til et makroskopisk system til slutt bestemmes av egenskapene til partiklene i systemet, egenskapene til deres bevegelse og gjennomsnitt verdier for de dynamiske egenskapene til disse partiklene (hastighet, energi, etc.). For eksempel bestemmes temperaturen til en kropp av hastigheten på den kaotiske bevegelsen til molekylene, men siden forskjellige molekyler til enhver tid har forskjellige hastigheter, kan den bare uttrykkes gjennom gjennomsnittsverdien av bevegelseshastigheten til kroppen. molekyler. Du kan ikke snakke om temperaturen til ett molekyl. Dermed har de makroskopiske egenskapene til legemer en fysisk betydning bare når det gjelder et stort antall molekyler.

Termodynamikk- en gren av fysikk som studerer de generelle egenskapene til makroskopiske systemer i en tilstand av termodynamisk likevekt og overgangsprosessene mellom disse tilstandene. Termodynamikk tar ikke hensyn til mikroprosessene som ligger til grunn for disse transformasjonene. Dette termodynamisk metode forskjellig fra statistisk. Termodynamikk er basert på to prinsipper - grunnleggende lover etablert som et resultat av generalisering av eksperimentelle data.

Anvendelsesområdet for termodynamikk er mye bredere enn det for molekylær kinetisk teori, siden det ikke er noen områder innen fysikk og kjemi der den termodynamiske metoden ikke kan brukes. På den annen side er den termodynamiske metoden imidlertid noe begrenset: termodynamikken sier ikke noe om materiens mikroskopiske struktur, om fenomenenes mekanisme, men etablerer kun sammenhenger mellom materiens makroskopiske egenskaper. Molekylær kinetisk teori og termodynamikk utfyller hverandre, danner en enkelt helhet, men er forskjellige i ulike forskningsmetoder.

Grunnleggende postulater av molekylær kinetisk teori (MKT)

1. Alle kropper i naturen består av et stort antall bittesmå partikler (atomer og molekyler).

2. Disse partiklene er inne kontinuerlige kaotisk(uordnet) bevegelse.

3. Bevegelsen av partikler er relatert til kroppstemperatur, og det er derfor det kalles termisk bevegelse.

4. Partikler samhandler med hverandre.

Bevis på gyldigheten av MCT: diffusjon av stoffer, Brownsk bevegelse, termisk ledningsevne.

Fysiske mengder som brukes til å beskrive prosesser i molekylær fysikk er delt inn i to klasser:

mikroparametere– mengder som beskriver oppførselen til individuelle partikler (masse av et atom (molekyl), hastighet, momentum, kinetisk energi til individuelle partikler);
makro parametere– mengder som ikke kan reduseres til enkeltpartikler, men som karakteriserer egenskapene til stoffet som helhet. Verdiene til makroparametere bestemmes av resultatet av den samtidige virkningen av et stort antall partikler. Makroparametere er temperatur, trykk, konsentrasjon osv.

Temperatur er et av de grunnleggende konseptene som spiller en viktig rolle ikke bare i termodynamikk, men også i fysikk generelt. Temperatur- en fysisk størrelse som karakteriserer tilstanden til termodynamisk likevekt i et makroskopisk system. I samsvar med beslutningen fra XI General Conference on Weights and Measures (1960), kan bare to temperaturskalaer brukes for øyeblikket - termodynamisk Og Internasjonal praktisk, gradert i henholdsvis kelvin (K) og grader Celsius (°C).

På den termodynamiske skalaen er frysepunktet til vannet 273,15 K (på samme måte

trykk som i den internasjonale praktiske skalaen), derfor per definisjon termodynamisk temperatur og internasjonal praktisk temperatur

skalaen er relatert av forholdet

T= 273,15 + t.

Temperatur T = 0 K kalles null kelvin. Analyse av ulike prosesser viser at 0 K er uoppnåelig, selv om det er mulig å nærme seg det så nært som ønsket. 0 K er temperaturen ved hvilken teoretisk all termisk bevegelse av partikler av et stoff skal opphøre.

I molekylær fysikk utledes en sammenheng mellom makroparametre og mikroparametre. For eksempel kan trykket til en ideell gass uttrykkes med formelen:

stilling:slektning; topp:5.0pt">- masse av ett molekyl, - konsentrasjon, font-size: 10.0pt">Fra den grunnleggende MKT-ligningen kan du få en ligning som er praktisk for praktisk bruk:

font-size: 10.0pt">En ideell gass er en idealisert gassmodell der det antas at:

1. det indre volumet av gassmolekyler er ubetydelig sammenlignet med volumet til beholderen;

2. det er ingen interaksjonskrefter mellom molekyler (tiltrekning og frastøting på avstand;

3. kollisjoner av molekyler med hverandre og med veggene i fartøyet er absolutt elastiske.

En ideell gass er en forenklet teoretisk modell av en gass. Men tilstanden til mange gasser under visse forhold kan beskrives med denne ligningen.

For å beskrive tilstanden til virkelige gasser, må korreksjoner innføres i tilstandsligningen. Tilstedeværelsen av frastøtende krefter som motvirker penetrering av andre molekyler inn i volumet som er okkupert av et molekyl, betyr at det faktiske frie volumet som molekyler av en ekte gass kan bevege seg i vil være mindre. Hvorb - det molare volumet som opptas av molekylene selv.

Virkningen av attraktive gasskrefter fører til utseendet av ytterligere trykk på gassen, kalt indre trykk. I følge van der Waals beregninger er det indre trykket omvendt proporsjonalt med kvadratet på molvolumet, dvs. hvor A - van der Waals konstant, som karakteriserer kreftene til intermolekylær tiltrekning,V m - molar volum.

Til slutt får vi tilstandsligningen til ekte gass eller van der Waals ligning:

font-size:10.0pt;font-family:" times new roman> Fysisk betydning av temperatur: temperatur er et mål på intensiteten av termisk bevegelse av partikler av stoffer. Begrepet temperatur gjelder ikke for et enkelt molekyl. Bare for et tilstrekkelig stort antall molekyler som skaper en viss mengde stoff, Det er fornuftig å inkludere termen temperatur.

For en ideell monatomisk gass kan vi skrive ligningen:

font-size:10.0pt;font-family:" times new roman>Den første eksperimentelle bestemmelsen av molekylhastigheter ble utført av den tyske fysikeren O. Stern (1888-1970). Hans eksperimenter gjorde det også mulig å estimere hastighetsfordelingen av molekyler.

"Konfrontasjonen" mellom de potensielle bindingsenergiene til molekyler og energiene til termisk bevegelse av molekyler (kinetiske molekyler) fører til eksistensen av ulike aggregerte materietilstander.

Termodynamikk

Ved å telle antall molekyler i et gitt system og estimere deres gjennomsnittlige kinetiske og potensielle energier, kan vi estimere den indre energien til et gitt system U.

font-size:10.0pt;font-family:" times new roman>For en ideell monoatomisk gass.

Den indre energien til et system kan endres som et resultat av ulike prosesser, for eksempel å utføre arbeid på systemet eller gi varme til det. Så, ved å skyve et stempel inn i en sylinder der det er en gass, komprimerer vi denne gassen, som et resultat av at temperaturen øker, det vil si, og dermed endre (øke) den indre energien til gassen. På den annen side kan temperaturen til en gass og dens indre energi økes ved å gi den en viss mengde varme - energi som overføres til systemet av eksterne kropper gjennom varmeveksling (prosessen med å utveksle indre energier når kropper kommer i kontakt med forskjellige temperaturer).

Dermed kan vi snakke om to former for energioverføring fra en kropp til en annen: arbeid og varme. Energien til mekanisk bevegelse kan omdannes til energien til termisk bevegelse, og omvendt. Under disse transformasjonene blir loven om bevaring og transformasjon av energi observert; i forhold til termodynamiske prosesser er denne loven termodynamikkens første lov, etablert som et resultat av generalisering av flere hundre år gamle eksperimentelle data:

I en lukket sløyfe, altså font-size:10.0pt;font-family:" times new roman>Varmemotoreffektivitet: .

Fra termodynamikkens første lov følger det at effektiviteten til en varmemotor ikke kan være mer enn 100 %.

Postulerer eksistensen av ulike former for energi og sammenhengen mellom dem, det første prinsippet til TD sier ingenting om retningen til prosesser i naturen. I full overensstemmelse med det første prinsippet kan man mentalt konstruere en motor der nyttig arbeid ville bli utført ved å redusere den indre energien til stoffet. For eksempel, i stedet for drivstoff, ville en varmemotor bruke vann, og ved å kjøle ned vannet og gjøre det om til is, ville det bli utført arbeid. Men slike spontane prosesser forekommer ikke i naturen.

Alle prosesser i naturen kan deles inn i reversible og irreversible.

I lang tid forble et av hovedproblemene i klassisk naturvitenskap problemet med å forklare den fysiske naturen til irreversibiliteten til virkelige prosesser. Essensen av problemet er at bevegelsen til et materiell punkt, beskrevet av Newtons II lov (F = ma), er reversibel, mens et stort antall materielle punkter oppfører seg irreversibelt.

Hvis antallet partikler som studeres er lite (for eksempel to partikler i figur a)), vil vi ikke være i stand til å bestemme om tidsaksen er rettet fra venstre til høyre eller fra høyre til venstre, siden en hvilken som helst sekvens av rammer er like mulig. Det er det det er reversibelt fenomen. Situasjonen endres betydelig dersom antallet partikler er svært stort (fig. b)). I dette tilfellet bestemmes tidsretningen entydig: fra venstre til høyre, siden det er umulig å forestille seg at jevnt fordelte partikler av seg selv, uten ytre påvirkninger, vil samles i hjørnet av "boksen". Denne oppførselen, når systemets tilstand bare kan endres i en viss sekvens, kalles irreversible. Alle reelle prosesser er irreversible.

Eksempler på irreversible prosesser: diffusjon, varmeledningsevne, viskøs strømning. Nesten alle virkelige prosesser i naturen er irreversible: dette er demping av en pendel, utviklingen av en stjerne og menneskeliv. Ureversibiliteten til prosesser i naturen setter så å si retningen på tidsaksen fra fortid til fremtid. Den engelske fysikeren og astronomen A. Eddington kalte billedlig denne egenskapen til tiden «tidens pil».

Hvorfor, til tross for reversibiliteten til oppførselen til en partikkel, oppfører et ensemble av et stort antall slike partikler irreversibelt? Hva er irreversibilitetens natur? Hvordan rettferdiggjøre irreversibiliteten til virkelige prosesser basert på Newtons mekanikklover? Disse og andre lignende spørsmål bekymret hodet til de mest fremragende vitenskapsmennene på 1700- og 1800-tallet.

Termodynamikkens andre lov setter retningen latskap av alle prosesser i isolerte systemer. Selv om den totale mengden energi i et isolert system er bevart, dens kvalitative sammensetning endres irreversibelt.

1. I Kelvins formulering er den andre loven: "Det er ingen prosess mulig hvis eneste resultat ville være absorpsjon av varme fra en varmeovn og fullstendig konvertering av denne varmen til arbeid."

2. I en annen formulering: "Varme kan bare overføres spontant fra en mer oppvarmet kropp til en mindre oppvarmet."

3. Den tredje formuleringen: "Entropi i et lukket system kan bare øke."

Termodynamikkens andre lov forbyr eksistensen evighetsmaskin av den andre typen , dvs. en maskin som er i stand til å utføre arbeid ved å overføre varme fra en kald kropp til en varm. Termodynamikkens andre lov indikerer eksistensen av to forskjellige former for energi - varme som et mål på partiklers kaotiske bevegelse og arbeid knyttet til ordnet bevegelse. Arbeid kan alltid omdannes til tilsvarende varme, men varme kan ikke fullstendig omdannes til arbeid. Dermed kan en uordnet form for energi ikke transformeres til en ordnet uten noen ekstra handlinger.

Vi fullfører transformasjonen av mekanisk arbeid til varme hver gang vi trykker på bremsepedalen i en bil. Men uten ytterligere handlinger i en lukket syklus av motordrift, er det umulig å overføre all varmen til arbeid. En del av den termiske energien brukes uunngåelig på å varme opp motoren, pluss at det bevegelige stempelet hele tiden jobber mot friksjonskrefter (dette forbruker også en tilførsel av mekanisk energi).

Men betydningen av termodynamikkens andre lov viste seg å være enda dypere.

En annen formulering av termodynamikkens andre lov er følgende utsagn: entropien til et lukket system er en ikke-avtagende funksjon, det vil si at den enten øker eller forblir uendret under enhver reell prosess.

Begrepet entropi, introdusert i termodynamikken av R. Clausius, var opprinnelig kunstig. Den fremragende franske vitenskapsmannen A. Poincaré skrev om dette: «Entropi virker noe mystisk i den forstand at denne mengden er utilgjengelig for noen av våre sanser, selv om den har den virkelige egenskapen til fysiske mengder, siden den, i det minste i prinsippet, er fullstendig målbar"

I følge Clausius sin definisjon er entropi en fysisk størrelse hvis økning er lik mengden varme , mottatt av systemet, delt på den absolutte temperaturen:

font-size:10.0pt;font-family:" times new roman>I samsvar med termodynamikkens andre lov, i isolerte systemer, dvs. systemer som ikke utveksler energi med omgivelsene, kan en uordnet tilstand (kaos) ikke selvstendig forvandle seg til orden I isolerte systemer kan altså entropien bare øke. prinsippet om økende entropi. I henhold til dette prinsippet streber ethvert system etter en tilstand av termodynamisk likevekt, som identifiseres med kaos. Siden en økning i entropi karakteriserer endringer over tid i lukkede systemer, fungerer entropi som en slags tidens piler.

Vi kalte staten med maksimal entropi uordnet, og staten med lav entropi ordnet. Et statistisk system, hvis det overlates til seg selv, går fra en ordnet til en uordnet tilstand med maksimal entropi tilsvarende gitte ytre og indre parametere (trykk, volum, temperatur, antall partikler osv.).

Ludwig Boltzmann koblet begrepet entropi med begrepet termodynamisk sannsynlighet: font-size:10.0pt;font-family:" times new roman> Dermed går ethvert isolert system, overlatt til sine egne enheter, over tid fra en ordenstilstand til en tilstand av maksimal uorden (kaos).

Fra dette prinsippet følger en pessimistisk hypotese om universets varmedød, formulert av R. Clausius og W. Kelvin, ifølge hvilke:

· energien til universet er alltid konstant;

· Universets entropi øker alltid.

Dermed er alle prosesser i universet rettet mot å oppnå en tilstand av termodynamisk likevekt, tilsvarende tilstanden med størst kaos og desorganisering. Alle typer energi brytes ned, blir til varme, og stjernene vil avslutte sin eksistens og frigjøre energi til det omkringliggende rommet. En konstant temperatur vil kun etableres noen få grader over absolutt null. Livløse, avkjølte planeter og stjerner vil bli spredt i dette rommet. Det vil ikke være noe - ingen energikilder, ikke noe liv.

Dette dystre utsikten ble spådd av fysikk frem til 1960-tallet, selv om konklusjonene fra termodynamikk motsier resultatene av forskning innen biologi og samfunnsvitenskap. Dermed vitnet Darwins evolusjonsteori om at levende natur utvikler seg først og fremst i retning av forbedring og kompleksitet av nye arter av planter og dyr. Historie, sosiologi, økonomi og andre samfunns- og humanvitenskaper har også vist at i samfunnet, til tross for individuell utviklingssikksakk, observeres generelt fremgang.

Erfaring og praktisk aktivitet har vist at begrepet et lukket eller isolert system er en ganske grov abstraksjon som forenkler virkeligheten, siden det i naturen er vanskelig å finne systemer som ikke samhandler med omgivelsene. Motsetningen begynte å bli løst da man i termodynamikk, i stedet for konseptet om et lukket isolert system, introduserte det grunnleggende konseptet om et åpent system, det vil si et system som utveksler materie, energi og informasjon med omgivelsene.

Metoder Utdanning Om dette nettstedet Bibliotek Mat. fora

Bibliotek > Fysikkbøker > Statistisk fysikk

Statistisk fysikk

Aizenshits R. Statistisk teori om irreversible prosesser. M.: Forlag. Fremmed lit., 1963 (djvu)
Anselm A.I. Grunnleggende om statistisk fysikk og termodynamikk. M.: Nauka, 1973 (djvu)
Akhiezer A.I., Peletminsky S.V. Metoder for statistisk fysikk. M.: Nauka, 1977 (djvu)
Bazarov I.P. Metodiske problemer i statistisk fysikk og termodynamikk. M.: Moscow State University Publishing House, 1979 (djvu)
Bogolyubov N.N. Utvalgte arbeider om statistisk fysikk. M.: Moscow State University Publishing House, 1979 (djvu)
Bogolyubov N.N. (Jr.), Sadovnikov B.I. Noen spørsmål om statistisk mekanikk. M.: Høyere. skole, 1975 (djvu)
Bonch-Bruevich V.L., Tyablikov S.V. Greens funksjonsmetode i statistisk mekanikk. M.: Fizmatlit, 1961 (djvu, 2,61 Mb)
Vasiliev A.M. Introduksjon til statistisk fysikk. M.: Høyere. skole, 1980 (djvu)
Vlasov A.A. Ikke-lokal statistisk mekanikk. M.: Nauka, 1978 (djvu)
Gibbs J.W. Grunnleggende prinsipper for statistisk mekanikk (presentert med spesiell anvendelse på det rasjonelle grunnlaget for termodynamikk). M.-L.: OGIZ, 1946 (djvu)
Gurov K.P. Grunnlaget for kinetisk teori. Metode N.N. Bogolyubova. M.: Nauka, 1966 (djvu)
Zaslavsky G.M. Statistisk irreversibilitet i ikke-lineære systemer. M.: Nauka, 1970 (djvu)
Zakharov A.Yu. Gittermodeller for statistisk fysikk. Veliky Novgorod: NovGU, 2006 (pdf)
Zakharov A.Yu. Funksjonelle metoder i klassisk statistisk fysikk. Veliky Novgorod: NovGU, 2006 (pdf)
Ios G. Kurs i teoretisk fysikk. Del 2. Termodynamikk. Statistisk fysikk. Kvanteteori. Kjernefysikk. M.: Utdanning, 1964 (djvu)
Ishihara A. Statistisk fysikk. M.: Mir, 1973 (djvu)
Kadanov L., Beim G. Kvantestatistisk mekanikk. Greens funksjonsmetoder i teorien om likevekts- og ikke-likevektsprosesser. M.: Mir, 1964 (djvu)
Katz M. Sannsynlighet og relaterte problemstillinger i fysikk. M.: Mir, 1965 (djvu)
Katz M. Flere probabilistiske problemer i fysikk og matematikk. M.: Nauka, 1967 (djvu)
Kittel Ch. Elementær statistisk fysikk. M.: IL, 1960 (djvu)
Kittel Ch. Statistisk termodynamikk. M: Nauka, 1977 (djvu)
Kozlov V.V. Termisk likevekt ifølge Gibbs og Poincaré. Moskva-Izhevsk: Institutt for dataforskning, 2002 (djvu)
Kompaneets A.S. Lover for fysisk statistikk. Sjokkbølger. Supertett stoff. M.: Nauka, 1976 (djvu)
Kompaneets A.S. Kurs i teoretisk fysikk. Bind 2. Statistiske lover. M.: Utdanning, 1975 (djvu)
Kotkin G.L. Forelesninger om statistisk fysikk, NSU (pdf)
Krylov N.S. Arbeider med å underbygge statistisk fysikk. M.-L.: Fra USSR Academy of Sciences, 1950 (djvu)
Kubo R. Statistisk mekanikk. M.: Mir, 1967 (djvu)
Landsberg P. (red.) Problemer i termodynamikk og statistisk fysikk. M.: Mir, 1974 (djvu)
Levich V.G. Introduksjon til statistisk fysikk (2. utg.) M.: GITTL, 1954 (djvu)
Libov R. Introduksjon til teorien om kinetiske ligninger. M.: Mir, 1974 (djvu)
Mayer J., Geppert-Mayer M. Statistisk mekanikk. M.: Mir, 1980 (djvu)
Minlos R.A. (red.) Matematikk. Nytt i utenlandsk vitenskap-11. Gibbs stater i statistisk fysikk. Sammendrag av artikler. M.: Mir, 1978 (djvu)
Nozdrev V.F., Senkevich A.A. Kurs i statistisk fysikk. M.: Høyere. skole, 1965 (djvu)
Prigogine I. Nonequilibrium statistisk mekanikk. M.: Mir, 1964 (djvu)
Radushkevich L.V. Kurs i statistisk fysikk (2. utg.) M.: Education, 1966 (djvu)
Reif F. Berkeley kurs i fysikk. Bind 5. Statistisk fysikk. M.: Nauka, 1972 (djvu)
Rumer Yu.B., Ryvkin M.Sh. Termodynamikk, statistisk fysikk og kinetikk. M.: Nauka, 1972 (djvu)
Rumer Yu.B., Ryvkin M.Sh. Termodynamikk, statistisk fysikk og kinetikk (2. utg.). M.: Nauka, 1977 (djvu)
Ruel D. Statistisk mekanikk. M.: Mir, 1971 (djvu)
Savukov V.V. Klargjøring av de aksiomatiske prinsippene for statistisk fysikk. SPb.: Balt. stat tech. Univ. "Voenmekh", 2006

STATISTISK, statistisk seksjon. fysikk, dedikert til å underbygge lover basert på samhandlingslovene. og bevegelsene til partiklene som utgjør systemet. For systemer i likevektstilstand tillater statistisk å beregne, registrere, fase og kjemiske forhold. . Nonequilibrium statistical gir en begrunnelse for sammenhengene (likninger for overføring av energi, momentum, masse og deres grensebetingelser) og lar en beregne kinetikken inkludert i overføringsligningene. koeffisienter. Statistisk fastslår mengder. sammenheng mellom mikro- og makroegenskaper av fysiske. og chem. systemer Statistiske beregningsmetoder brukes på alle områder av moderne vitenskap. teoretisk .

Enkle konsepter. For statistikk makroskopiske beskrivelser systemer J. Gibbs (1901) foreslo å bruke begrepene statistisk. ensemble og faserom, som gjør det mulig å anvende metoder for sannsynlighetsteori for å løse problemer. Statistisk ensemble - en samling av et veldig stort antall identiske flertallssystemer. partikler (dvs. "kopier" av systemet som vurderes) plassert i samme makrotilstand, som bestemmes av ; Mikrotilstandene til systemet kan variere. Grunnleggende statistisk ensembler - mikrokanoniske, kanoniske, store kanoniske. og isobarisk-isotermisk.

Mikrokanonisk Gibbs-ensemblet brukes når man vurderer (ikke bytte energi E med) å ha et konstant volum V og antall identiske partikler N (E, V og N-systemer). Kanonich. Gibbs-ensemblet brukes til å beskrive systemer med konstant volum som er i termisk c (absolutt temperatur T) med et konstant antall partikler N (V, T, N). Grand Canon. Gibbs-ensemblet brukes til å beskrive de som befinner seg i termisk c (temperatur T) og materiale med et reservoar av partikler (alle partikler utveksles gjennom "veggene" som omgir systemet med volum V). av et slikt system - V, T og m - kjemisk potensial for partikler. Isobarisk-isotermisk Gibbs-ensemblet brukes til å beskrive systemer innen termisk og pels. s ved konstant P (T, P, N).

Faseplass i statistikk mekanikk er et flerdimensjonalt rom, hvis akser er alle de generaliserte koordinatene q i og de tilhørende impulsene p i (i = 1,2,..., M) til et system med M frihetsgrader. For et system som består av N, tilsvarer q i og p i den kartesiske koordinat- og momentumkomponenten (a = x, y, z) til en viss j og M = 3N. Settet med koordinater og momenta er angitt med henholdsvis q og p. Tilstanden til systemet er representert av et punkt i faserommet med dimensjon 2M, og endringen i systemets tilstand i tid er representert ved bevegelsen av et punkt langs en linje, kalt. fasebane. For statistikk For å beskrive tilstanden til systemet introduseres begrepene fasevolum (et element av volumet av faserom) og fordelingsfunksjonen f(p, q), som karakteriserer sannsynlighetstettheten for å finne et punkt som representerer tilstanden til system i et element av faserom nær et punkt med koordinater p, q. I stedet for fasevolum brukes begrepet diskret energi. spektrum av et endelig volumsystem, fordi tilstanden til en individuell partikkel bestemmes ikke av momentum og koordinater, men av en bølgefunksjon, et kutt i stasjonær dynamikk. tilstanden til systemet tilsvarer energien. område .

Distribusjonsfunksjon klassisk system f(p, q) karakteriserer sannsynlighetstettheten for implementering av en gitt mikrotilstander (p, q) i volumelementet dГ av faserom. Sannsynligheten for at N partikler er i et uendelig lite volum av faserom er lik:

der dГ N er elementet i fasevolumet til systemet i enheter av h 3N, h er Plancks konstant; deler N! tar hensyn til det faktum at omorganisering av identiteter. partikler endrer ikke tilstanden til systemet. Fordelingsfunksjonen tilfredsstiller normaliseringsbetingelsen t f(p, q)dГ N = 1, fordi systemet er pålitelig i k.-l. betingelse. For kvantesystemer bestemmer fordelingsfunksjonen sannsynligheten w i, N for å finne et system av N partikler i et gitt sett med kvantetall i, med energi E i, N, underlagt normalisering

Gjennomsnittsverdien på tidspunktet t (dvs. ihtuendelig lite tidsintervall fra t til t + dt) enhver fysisk. verdien A(p, q), som er en funksjon av koordinatene og momenta til alle partikler i systemet, beregnes ved å bruke fordelingsfunksjonen i henhold til regelen (inkludert for ikke-likevektsprosesser):

Integrasjon over koordinater utføres over hele volumet av systemet, og integrasjon over impulser fra - , til +, . Termodynamisk tilstand systemer bør betraktes som en grense t: , . For likevektstilstander bestemmes fordelingsfunksjonene uten å løse bevegelsesligningen til partiklene som utgjør systemet. Formen til disse funksjonene (den samme for klassiske og kvantesystemer) ble etablert av J. Gibbs (1901).

I mikrokanon. I Gibbs-ensemblet er alle mikrotilstander med en gitt energi E like sannsynlige og fordelingsfunksjonen for den klassiske systemer har formen:

f(p,q) = A d,

Hvor d - Diracs deltafunksjon, H(p, q) - Hamiltons funksjon, som er summen av kinetikken. og potensial energier av alle partikler; konstanten A bestemmes fra normaliseringsbetingelsen til funksjonen f(p, q). For kvantesystemer, med en spesifikasjonsnøyaktighet lik verdien av DE, i samsvar med mellom energi og tid (mellom momentum og partikkelkoordinat), funksjon w (E k) = -1, hvis EE k E + DE, og w ( E k ) = 0 hvis E k< Е и E k >E + D E. Verdi g(E, N, V)-t. kalt statistisk , lik tallet i energi. lag D E. En viktig statistisk sammenheng er sammenhengen mellom systemet og det statistiske. :

S(E, N, V) = klng(E, N, V), hvor k-Boltzmann-konstanten.

I kanon. I Gibbs-ensemblet har sannsynligheten for at systemet er i en mikrotilstand bestemt av koordinatene og momenta til alle N partikler eller verdiene til E i,N formen: f(p, q) = exp (/kT) ; w i,N = exp[(F - E i,N)/kT],hvor F-fri. energi (), avhengig av verdiene til V, T, N:

F = -kTlnZ N ,

hvor Z N -statistikk. sum (når det gjelder et kvantesystem) eller statistisk. integral (når det gjelder et klassisk system), bestemt fra betingelsen for normalisering av funksjonene w i,N eller f(p, q):

Z N = t exp[-H(р, q)/kT]dpdq/(N!h 3N)

(sum over r over alle systemer, og integrasjon utføres over hele faserommet).

I den store kanonen. Gibbs ensemblefordelingsfunksjon f(p, q) og statistisk. summen X, bestemt fra normaliseringsbetingelsen, har formen:

Hvor W - termodynamisk potensial avhengig av variablene V, T, m (summering utføres over alle positive heltall N). I isobarisk-isotermisk Gibbs ensemblefordeling og statistisk funksjon. summen Q, bestemt fra normaliseringsbetingelsen, har formen:

hvor G-systemer (isobarisk-isotermisk potensial, fri).

For å beregne termodynamisk funksjoner, kan du bruke hvilken som helst distribusjon: de er likeverdige med hverandre og tilsvarer forskjellige fysiske. forhold. Mikrokanonisk Gibbs-fordelingen brukes. arr. i teoretisk forskning. For å løse spesifikke problemer vurderes ensembler, der det er en utveksling av energi med miljøet (kanonisk og isobarisk-isotermisk) eller en utveksling av energi og partikler (stort kanonisk ensemble). Sistnevnte er spesielt praktisk for å studere fase og kjemi. . Statistisk summene av Z N og Q gjør det mulig å bestemme F, G, samt termodynamisk. egenskapene til systemet oppnådd ved differensiering av statistisk. beløp i henhold til relevante parametere (per 1 landsby): intern. energi U = RT 2 (9 lnZ N /9 T) V , H = RT 2 (9 lnQ/9 T) P , S = RlnZ N + RT(9 lnZ N /9 T) V = = R ln Q + RT (9 ln Q/9 T) P, ved konstant volum С V = 2RT(9 lnZ N/9 T) V + RT 2 (9 2 lnZ N/9 T 2) V, ved konstant С Р = 2RT (9 lnZ N /9 T) P + + RT 2 (9 2 lnZ N /9 T 2) P etc. Resp. alle disse mengdene får statistisk signifikans. betydning. Dermed identifiseres det med den gjennomsnittlige energien til systemet, noe som gjør at vi kan betrakte det som bevegelsen til partiklene som utgjør systemet; gratis energi er relatert til statistikk summen av systemet, entropi - med antall mikrotilstander g i en gitt makrotilstand, eller statistisk. makrotilstand, og derfor med dens sannsynlighet. Betydningen som et mål på sannsynligheten for en tilstand er bevart i forhold til vilkårlige (ikke-likevekts) tilstander. I en tilstand av isolasjon. systemet har størst mulig verdi for gitt ekstern. forhold (E, V, N), dvs. likevektstilstanden er mest. sannsynlig tilstand (med maks. statistisk ). Derfor er overgangen fra en ikke-likevektstilstand til en likevektstilstand en overgangsprosess fra mindre sannsynlige tilstander til mer sannsynlige. Dette er det statistiske poenget. betydningen av økningens lov, ifølge hvilken bare kan øke (se). Ved t-re abs. fra bunnen av, ethvert system er grunnleggende tilstand hvor w 0 = 1 og S = 0. Denne setningen er (se). Det er viktig at for en entydig bestemmelse er det nødvendig å bruke kvantebeskrivelsen, fordi i klassisk statistikk m.b. er definert bare opp til et vilkårlig begrep.

Ideelle systemer. Beregning av statistikk summen av de fleste systemer er en vanskelig oppgave. Det er betydelig forenklet hvis bidraget av potensial. energi inn i den totale energien til systemet kan neglisjeres. I dette tilfellet uttrykkes den fullstendige fordelingsfunksjonen f(p, q) for N partikler i et ideelt system gjennom produktet av enkf 1 (p, q):

Fordelingen av partikler mellom mikrotilstander avhenger av deres kinetikk. energi og fra kvantehelgener i systemet, pgapå grunn av identiteten til partikler. Alle partikler er delt inn i to klasser: fermioner og bosoner. Typen statistikk som partikler er underlagt er unikt relatert til deres .

Fermi-Dirac-statistikk beskriver fordelingen i et system av identiteter. partikler med halvt heltall 1/2, 3/2,... i enheter ђ = h/2p. En partikkel (eller kvasipartikkel) som følger den angitte statistikken kalles. fermion. Fermioner inkluderer i, og med oddetall, med odde forskjeller og tall, kvasipartikler (for eksempel hull i), etc. Denne statistikken ble foreslått av E. Fermi i 1926; samme år oppdaget P. Dirac dens kvantemekanikk. betydning. Bølgefunksjonen til fermionsystemet er antisymmetrisk, dvs. endrer fortegn ved omorganisering av koordinater og eventuelle identiteter. partikler. Hver kan ikke inneholde mer enn én partikkel (se). Gjennomsnittlig antall fermionpartikler n i i en tilstand med energi E i bestemmes av Fermi-Dirac-fordelingsfunksjonen:

n i =(1+exp[(E i - m )/kT]) -1 ,

hvor i er et sett med kvantetall som karakteriserer tilstanden til partikkelen.

Bose-Einstein-statistikk beskriver identitetssystemer. partikler med null eller heltall (0, ђ, 2ђ, ...). En partikkel eller kvasipartikkel som følger den angitte statistikken kalles. boson. Denne statistikken ble foreslått av S. Bose (1924) for fotoner og utviklet av A. Einstein (1924) i forhold til , betraktet som sammensatte partikler av et jevnt antall fermioner, for eksempel. med et partall totalt og (deuteron, 4 He-kjerne, etc.). Bosoner inkluderer også fononer i og flytende 4 He, eksitoner i og. Bølgefunksjonen til systemet er symmetrisk med hensyn til permutasjonen av eventuelle identiteter. partikler. Fyllingstallene er ikke begrenset på noen måte, dvs. Et hvilket som helst antall partikler kan eksistere i en tilstand. Gjennomsnittlig antall partikler n i bosoner i en tilstand med energi E i er beskrevet av Bose-Einstein distribusjonsfunksjonen:

n i =(exp[(E i - m)/kT]-1)-1.

Boltzmann-statistikk er et spesielt tilfelle av kvantestatistikk, når kvanteeffekter kan neglisjeres (høye temperaturer). Den vurderer fordelingen av partikler etter momenta og koordinater i faserommet til en partikkel, og ikke i faserommet til alle partikler, som i Gibbs-fordelingene. Som et minimum volumenheter av faserom, som har seks dimensjoner (tre koordinater og tre projeksjoner av partikkelmomentum), i samsvar med kvantemekanikk. , kan du ikke velge et volum mindre enn h 3 . Gjennomsnittlig antall partikler n i i en tilstand med energi E i er beskrevet av Boltzmann-fordelingsfunksjonen:

n i =exp[( m-Ei)/kT].

For partikler som beveger seg etter klassiske lover. mekanikk i ekstern potensiell felt U(r), den statistiske likevektsfunksjonen til fordelingen f 1 (p,r) over momenta p og koordinatene r til partikler har formen:f 1 (p,r) = A exp( - [p 2/2m + U(r)]/kT). Her p 2 /2t-kinetisk. energi av masse w, konstant A bestemmes fra normaliseringsbetingelsen. Dette uttrykket kalles ofte Maxwell-Boltzmann distribusjon, og Boltzmann distribusjonen kalles. funksjon

n(r) = n 0 exp[-U(r)]/kT],

hvor n(r) = t f 1 (p, r)dp - tetthet av antall partikler ved punkt r (n 0 - tetthet av antall partikler i fravær av et eksternt felt). Boltzmann-fordelingen beskriver fordelingenkjølig i gravitasjonsfeltet (barometrisk f-la), og svært spredte partikler i feltet for sentrifugalkrefter, i ikke-degenererte, og brukes også til å beregne fordelingen i fortynnet. p-maks (i volumet og på grensen med) osv. Ved U(r) = 0 følger Maxwell-Boltzmann-fordelingen av Maxwell-Boltzmann-fordelingen, som beskriver fordelingen av partiklers hastigheter i statistisk tilstand. (J. Maxwell, 1859). I henhold til denne fordelingen er det sannsynlige antallet per volumenhet av hastighetskomponenter, som ligger i intervallene fra u i til u i + du i (i = x, y, z), bestemt av følgende funksjon:

Maxwell-fordelingen er ikke avhengig av interaksjonen. mellom partikler og gjelder ikke bare for , men også for (hvis en klassisk beskrivelse er mulig for dem), så vel som for Brownske partikler suspendert i og . Den brukes til å telle antall kollisjoner mellom hverandre under kjemiske reaksjoner. distriktet og fra overflaten.

Beløp etter stat. Statistisk beløp i kanonisk Gibbs ensemble uttrykkes gjennom summen over tilstandene til en Q 1:

hvor E i er energien til det i-te kvantenivået (i = O tilsvarer nullnivået), er g i statistisk. i-te nivå. I det generelle tilfellet henger individuelle bevegelsestyper, og grupper i, samt bevegelse som helhet sammen, men tilnærmet kan de betraktes som uavhengige. Da kan summen over statene bli presentert i form av et produkt av individuelle komponenter knyttet til trinnene. bevegelse (Q post) og med intramol. bevegelser (Q int):

Q 1 = Q-post ·Q int, Q-post = l (V/N),

Hvor l = (2p mkT/t 2) 3/2. For Q representerer ext summen av de elektroniske og kjernefysiske tilstandene; for Q int - summen av elektroniske, nukleære, oscillasjoner. og roter. stater. I temperaturområdet fra 10 til 10 3 K brukes vanligvis en omtrentlig beskrivelse, der hver av de angitte bevegelsestypene vurderes uavhengig: Q in = Q el · Q gift · Q rotasjon · Q telling /g, hvor g er tallet, identitet lik nummer. konfigurasjoner som oppstår under rotasjon, bestående av identiske eller grupper.

Summen av tilstandene for elektronisk bevegelse Q el er lik statistisk. R t bas. elektronisk tilstand. I flertall tilfeller bas. nivået er ikke-degenerert og atskilt fra nærmeste eksiterte nivå, som betyr. energi: (P t = 1). Men i noen tilfeller, f.eks. for O 2, Р t = з, i utgangspunktet. tilstand er momentet for bevegelsesmengden forskjellig fra null og finner sted, og energien kan evt. ganske lav. Summen over tilstandene til Q-gift, på grunn av degenerasjonen av kjernefysiske, er lik:

hvor s i er spinnet til kjernen i, overtas produktet alt . Sum ved oscillasjonstilstander. bevegelse hvor v i -frekvenser små svingninger, n er tallet i . Summen etter stat vil bli rotert. bevegelser av et polyatom med store treghetsmomenter kan betraktes klassisk [høytemperaturtilnærming, T/q i 1, hvor q i = h 2 /8p 2 kI i (i = x, y, z), I t er hovedmomentet av rotasjonstreghet rundt i-aksen]: Q tid = (p T 3 /q x q y q z) 1/2. For lineære med treghetsmoment I statistisk. sum Q tid = T/q, hvor q = h 2 /8p 2 *kI.

Ved beregning ved temperaturer over 10 3 K, er det nødvendig å ta hensyn til anharmonisiteten til vibrasjoner, interaksjonseffekter. svinge og roter. frihetsgrader (se), så vel som elektroniske tilstander, populasjon av eksiterte nivåer, etc. Ved lave temperaturer (under 10 K) er det nødvendig å ta hensyn til kvanteeffekter (spesielt for diatomiske). Ok, la oss rotere det. bevegelsen til heteronukleær AB er beskrevet med følgende formel:

l-nummer rotere. tilstander, og for homonukleær A 2 (spesielt for H 2, D 2, T 2) nukleær og rotere. grader av frihet interaksjon Vennmed en venn: Q gift. rotere

Å kjenne summen over tilstander gjør at man kan beregne termodynamikken. Hellige og, inkl. chem. , likevektsgrad av ionisering, etc. Viktig i abs teori. hastigheter r-tions har evnen til å beregne prosessen med dannelse av aktivering. kompleks (overgangstilstand), som presenteres som en modifikasjon. partikkel, en av vibrasjonene. frihetsgrader kuttet erstattes av frihetsgraden til input. bevegelser.

Ikke-ideelle systemer. I samspill sammen. I dette tilfellet reduseres ikke summen over statene til ensemblet til produktet av summene over statene til de enkelte. Hvis vi antar at intermol. interaksjon påvirker ikke indre stater, statistisk summen av systemet i klassisk tilnærming for , bestående av N identiteter. partikler har formen:

Hvor

Her<2 N-konfig. integrert med tanke på samspillet. . Naib, ofte potensial. energi U betraktes som summen av parpotensialer: U = =hvor U(r ij) er senterpotensialet. krefter avhengig avavstander r ij mellom i og j. Multipartikkelbidrag til potensialet tas også i betraktning. energi, orienteringseffekter osv. Behovet for å beregne konfigurasjonen. integral oppstår når man vurderer en eventuell kondensator. faser og fasegrenser. Nøyaktig løsning på flertallsproblemet. organer er derfor nesten umulig å beregne statistiske data. summer og alt termodynamisk. St. in, hentet fra statistisk. summer ved differensiering i henhold til tilsvarende parametere, bruk diff. omtrentlige metoder.

I følge den såkalte metode for gruppeutvidelser, blir systemets tilstand betraktet som et sett med komplekser (grupper) som består av forskjellige tall og konfigurasjoner. integralet dekomponerer til et sett med gruppeintegraler. Denne tilnærmingen lar oss forestille oss hvilken som helst termodynamikk. f-sjon i form av en serie med grader av tetthet. Naib. Et viktig forhold av denne typen er statens viriale nivå.

For teoretisk beskrivelser av egenskapene til tett, og løsninger av ikke-elektrolytter og grensesnitt i disse systemene er mer praktisk enn direkte beregning av statistiske data. sum er metoden for n-partikkelfordelingsfunksjoner. I den, i stedet for å telle statistikk. hver stat med en fast energi bruker relasjonene mellom fordelingsfunksjoner f n, som karakteriserer sannsynligheten for at partikler samtidig er på punkter i rommet med koordinatene r 1,..., r n; for n = N f N = b t f(p, r)dp (her og under qi = ri). Enkeltpartikkelfunksjonen f 1 (r 1) (n = 1) karakteriserer tetthetsfordelingen til stoffet. For dette tidsskriftet. f-sjon med maksima ved krystallinske noder. strukturer; for eller i fravær av eksterne felt er en konstant verdi lik makroskopisk. tettheten til elven To-partikkelfordelingsfunksjonen (n = 2) karakteriserer sannsynligheten for funnto partikler ved punkt 1 og 2, bestemmer den såkalte. korrelasjonsfunksjon g(|r 1 - r 2 |) = f 2 (r 1, r 2)/r 2, som karakteriserer den gjensidige korrelasjonen i fordelingen av partikler. Gir relevant eksperimentell informasjon.

Fordelingsfunksjoner av dimensjonene n og n + 1 er forbundet med et uendelig system av sammenlåsende integrodifferensialer. Bogolyubov-Born-Green-Kirkwood-Yvon-ligninger, hvis løsning er ekstremt vanskelig, derfor tas effekten av korrelasjon mellom partikler i betraktning ved å introdusere dekomp. tilnærminger, som bestemmer hvordan funksjonen f n uttrykkes gjennom funksjoner med lavere dimensjon. Resp. utviklet av flere omtrentlige metoder for å beregne funksjoner f n, og gjennom dem alle termodynamiske. egenskapene til systemet som vurderes. Naib. Perkus-Ievik og hyperkjedetilnærmingene brukes.

Gitterkondensatormodeller. stater har funnet bred anvendelse innen termodynamikk. hensyn til nesten alle fysisk-kjemiske. oppgaver. Hele volumet av systemet er delt inn i lokale regioner med en karakteristisk størrelse i størrelsesorden størrelsen u 0 . Generelt kan størrelsen på lokalområdet være i ulike modeller både større og mindre enn u 0 ; i de fleste tilfeller er de like. Overgangen til en diskret fordeling i rommet forenkler beregningen av diff. . Gittermodeller tar hensyn til samspillet. sammen; energiinteraksjon beskrevet energisk. parametere. I en rekke tilfeller tillater gittermodeller eksakte løsninger, noe som gjør det mulig å evaluere arten av tilnærmingene som brukes. Med deres hjelp er det mulig å vurdere multipartikkel og spesifikke. samhandling, orientering effekter osv. Gittermodeller er grunnleggende i studiet og implementeringen av anvendte beregninger og svært inhomogene systemer.

Numeriske metoder for å bestemme termodynamikk. St.-in blir stadig viktigere etter hvert som databehandling utvikler seg. teknologi. I Monte Carlo-metoden beregnes flerdimensjonale integraler direkte, noe som gjør at man direkte kan få statistiske data. gjennomsnitt observertverdier A(r1.....r N) i henhold til noen av statistikkene ensembler(for eksempel A er energien til systemet). Altså i kanon. termodynamisk ensemble gjennomsnittet ser slik ut:

Denne metoden kan brukes på nesten alle systemer; gjennomsnittsverdiene oppnådd med dens hjelp for begrensede volumer (N = 10 2 -10 5) tjener som en god tilnærming for å beskrive makroskopiske egenskaper. objekter og kan betraktes som nøyaktige resultater.

I metoden sier de. Dynamikken i systemets tilstand vurderes ved å bruke den numeriske integrasjonen av Newtons ligninger for bevegelsen til hver partikkel (N = = 10 2 -10 5) ved gitte potensialer for interpartikkelinteraksjon. Systemets likevektsegenskaper oppnås ved å beregne gjennomsnitt over fasebaner (over hastigheter og koordinater) over lange tider, etter å ha etablert den Maxwellske fordelingen av partikler over hastigheter (den såkalte termaliseringsperioden).

Begrensninger i bruk av numeriske metoder i grunnleggende. bestemt av egenskapene til datamaskinen. Spesialist. vil beregne. teknikker lar deg omgå vanskelighetene knyttet til det faktum at det ikke er et ekte system som vurderes, men et lite volum; dette er spesielt viktig når man tar hensyn til langdistanse interaksjonspotensialer, overganger osv.

Fysisk kinetikk er en del av statistikk. fysikk, som gir begrunnelse for relasjonene som beskriver overføringen av energi, momentum og masse, samt påvirkningen av ytre påvirkninger på disse prosessene. Enger. Kinetisk. makroskopiske koeffisienter egenskaper ved et kontinuerlig medium som bestemmer avhengighetene til fysiske strømmer. mengder (varme, momentum, masse av komponenter, etc.) fragradientstrømmene som forårsaker disse strømmene er hydrodynamiske. hastighet osv. Det er nødvendig å skille Onsager-koeffisientene som inngår i ligningene som forbinder strømninger med termodynamikk. krefter (termodynamisk bevegelsesligning), og overføringskoeffisienter (osv.) inkludert i overføringsligningen. Den første m.b. uttrykt gjennom sistnevnte ved hjelp av relasjonene mellom makroskopiske. egenskaper ved systemet, så i fremtiden vil kun koeffisienter bli vurdert. overføre.

For å beregne makroskopisk koeffisient overføring, er det nødvendig å gjennomføre gjennomsnittsberegning over sannsynlighetene for realisering av elementære overføringer ved å bruke en ikke-likevektsfordelingsfunksjon. Den største vanskeligheten er at analytten. formen til fordelingsfunksjonen f(p, q, t) (t-tid) er ukjent (i motsetning til systemets likevektstilstand, som er beskrevet ved hjelp av Gibbs-fordelingsfunksjonene oppnådd ved t: , ). Tenk på n-partikkelfordelingsfunksjoner f n (r, q, t), som er hentet fra funksjoner f (p, q, t) ved å beregne gjennomsnitt over koordinatene og momenta til de gjenværende (N - n) partiklene:

For dem, kanskje. det er kompilert et likningssystem som lar en beskrive vilkårlige ikke-likevektstilstander. Å løse dette ligningssystemet er veldig vanskelig. Som regel i kinetisk teori og gassformige kvasipartikler (fermioner og bosoner), brukes kun ligningen for enkf 1. Under antakelsen om at det ikke er noen korrelasjon mellom tilstandene til noen partikler (hypotese om molekylært kaos), s.k. kinetisk Boltzmann-ligning (L. Boltzmann, 1872). Denne ligningen tar hensyn til endringen i fordelingen av partikler under påvirkning av ytre påvirkninger. krefter F(r, m) og parkollisjoner mellom partikler:

Hvor f 1 (u, r, t) og partikkelfordelingsfunksjoner opp tilkollisjoner, f " 1 (u", r, t) og fordelingsfunksjoneretter en kollisjon; u og -hastigheter til partikler før kollisjonen, u" og -hastigheter til de samme partiklene etter kollisjonen, og = |u -|-modulen til den relative hastigheten til de kolliderende partiklene, q - vinkelen mellom den relative hastigheten til de kolliderende partiklene. u - kolliderende partikler og linjen som forbinder deres sentre , s (u,q )dW - differensielt effektivt tverrsnitt for partikkelspredning ved romvinkelen dW i laboratoriekoordinatsystemet, avhengig av partikkelinteraksjonsloven , er differensialtverrsnittet uttrykt i form av kollisjonsparameterne b og e (den korresponderende støtavstanden og asimutvinkelen til senterlinjen): s dW = bdbde , og betraktes som kreftsentre med et potensial avhengig av avstand . det effektive tverrsnittet er tatt i betraktning påvirkningen av påvirkning på sannsynligheten for kollisjon.

Hvis systemet er i statistikk , er kollisjonsintegralet Stf lik null og løsningen av kinetikken. Boltzmann-ligningen vil være Maxwell-fordelingen. For ikke-likevektstilstander, løsningene av kinetikken. Boltzmann-ligninger søkes vanligvis i form av en serieutvidelse av funksjonen f 1 (u, r, m) i små parametere i forhold til Maxwell-fordelingsfunksjonen. I den enkleste (relaksasjons-) tilnærmingen er kollisjonsintegralet tilnærmet som Stgas; for (den vanlige en-partikkelfordelingsfunksjonen f 1 til molekyler i væsker avslører ikke de spesifikke fenomenene og hensynet til to-partikkelfordelingsfunksjonen f 2 er nødvendig. Men for tilstrekkelig langsomme prosesser og i tilfeller hvor skalaene til romlige inhomogeniteter er betydelig mindre enn korrelasjonsskalaen mellom partikler, kan du bruke en lokalt likevekts emed t-roy, kjemiske potensialer og hydrodynamisk hastighet, som tilsvarer det lille volumet som vurderes til komponentene, og beregne strømmene av impulser, energi og materie, og begrunn også Navier-Stokes-ligningen, og hver komponent.

For å beskrive materie ved og ved grensesnitt, er gitterkondensatormodellen mye brukt. faser. tilstanden til systemet er grunnleggende beskrevet. kinetisk hovedligning angående fordelingsfunksjonen P(q, t):

hvor P(q,т)= t f(p,q,t)du-fordelingsfunksjon, gjennomsnittlig over impulsene (hastighetene) til alle N partikler, som beskriver fordelingen av partikler over nodene til gitterstrukturen (deres antall er N y, N< N y), q- номер узла или его координата. В модели "решеточного " частица может находиться в узле (узел занят) или отсутствовать (узел свободен); W(q : q") er sannsynligheten for at systemet går over per tidsenhet fra tilstand q, beskrevet av et komplett sett med partikkelkoordinater, til en annen tilstand q". Den første summen beskriver bidraget fra alle prosesser der en overgang til en gitt tilstand q utføres, den andre summen beskriver utgangen fra denne tilstanden. Ved likevektsfordeling av partikler (t : , ) P(q) = exp[-H(q)/kT]/Q, hvor Q-statistikk. sum, H(q) er energien til systemet i tilstand q. Overgangssannsynlighetene tilfredsstiller det detaljerte prinsippet: W(q" : q)exp[-H(q")/kT] = W(q:q")exp[-H(q)/kT]. Basert på likningene for funksjonene P(q,t) konstrueres en kinetisk likning. ligninger for n-partikkelfordelingsfunksjoner, som oppnås ved å beregne gjennomsnitt over plasseringen av alle andre (N - n) partikler. For små h i grensen med, vekst, fasetransformasjoner osv. For interfaseoverføring, på grunn av forskjeller i de karakteristiske tidspunktene for elementærpartikkelmigrasjonsprosesser, spiller typen grenseforhold ved fasegrensene en viktig rolle.

For små systemer (antall noder N y = 10 2 - 10 5) kan ligningssystemet i forhold til funksjonen P(q,t) være løst numerisk ved hjelp av Monte Carlo-metoden. Stadiet av systemet mot en likevektstilstand lar oss vurdere forskjellene. forbigående prosesser i studiet av kinetikken til fasetransformasjoner, vekst, kinetikk av overflatereaksjoner, etc. og bestemme deres dynamikk. egenskaper, inkludert koeffisient. overføre.

For å beregne koeffisienten. overføring i gassformige, flytende og faste faser, samt ved fasegrenser, brukes aktivt ulike varianter av mol-metoden. dynamikk, som lar oss spore systemene i detalj fra tider på ~10 -15 s til ~10 -10 s (til tider i størrelsesorden 10 -10 - 10 -9 s og mer, er den såkalte Langevin-ligningen brukt, denne ligningen Newtons konsepter som inneholder et stokastisk begrep på høyre side).

For systemer med kjemikalier p-sjoner på arten av fordelingen av partikler er sterkt påvirket av forholdet mellom de karakteristiske overføringstidene og deres kjemikalier. transformasjoner. Hvis hastigheten på kjemiske transformasjonen er liten, fordelingen av partikler skiller seg ikke mye fra tilfellet når det ikke er noen løsning. Hvis hastigheten på fordelingen er høy, er dens innflytelse på arten av fordelingen av partikler stor, og det er umulig å bruke gjennomsnittlige partikler (dvs. fordelingsfunksjoner med n = 1), slik man gjør ved bruk. Det er nødvendig å beskrive fordelingen mer detaljert ved hjelp av fordelingsfunksjonene f n med n > 1. Viktig for å beskrive reaksjonen. partikkelstrømmer på overflaten og hastigheter har randbetingelser (se).

Lit.: Kubo R., Statistisk mekanikk, overs. fra English, M., 1967; Zubarev D.N., Nonequilibrium statistical, M., 1971; Ishihara A., Statistisk fysikk, trans. fra English, M., 1973; Landau L. D., Lifshits E. M. L