Svar: serien divergerer.

Eksempel nr. 3

Finn summen av serien $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$.

Siden den nedre grensen for summering er 1, er den vanlige termen i serien skrevet under sumtegnet: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. La oss lage den n'te delsummen av serien, dvs. La oss summere de første $n$-leddene i en gitt tallserie:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9) )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$

Hvorfor jeg skriver nøyaktig $\frac(2)(3\cdot 5)$, og ikke $\frac(2)(15)$, vil fremgå av den videre fortellingen. Men å skrive ned et delvis beløp førte oss ikke en tøddel nærmere målet vårt. Vi må finne $\lim_(n\to\infty)S_n$, men hvis vi bare skriver:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\right), $$

da vil denne posten, helt korrekt i form, ikke gi oss noe i hovedsak. For å finne grensen må uttrykket for delsummen først forenkles.

Det er en standard transformasjon for dette, som består i å dekomponere brøken $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$, som representerer den generelle termen i rekken, til elementære brøker. Et eget emne er viet spørsmålet om å dekomponere rasjonelle brøker til elementære (se for eksempel eksempel nr. 3 på denne siden). Ved å utvide brøken $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ til elementære brøker, vil vi ha:

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n) +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$

Vi setter likhetstegn mellom tellerne av brøkene på venstre og høyre side av den resulterende likheten:

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$

Det er to måter å finne verdiene for $A$ og $B$. Du kan åpne parentesene og omorganisere vilkårene, eller du kan ganske enkelt erstatte noen passende verdier i stedet for $n$. Bare for variasjon, i dette eksemplet vil vi gå den første veien, og i den neste vil vi erstatte private verdier $n$. Ved å åpne parentesene og omorganisere vilkårene får vi:

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

På venstre side av likheten er $n$ foran med en null. Hvis du vil, for klarhetens skyld, kan venstre side av likheten representeres som $0\cdot n+ 2$. Siden på venstre side av likheten $n$ er innledet med null, og på høyre side av likheten er $n$ foran $2A+2B$, har vi den første ligningen: $2A+2B=0$. La oss umiddelbart dele begge sider av denne ligningen med 2, hvoretter vi får $A+B=0$.

Siden på venstre side av likheten er frileddet lik 2, og på høyre side av likheten er frileddet lik $3A+B$, deretter $3A+B=2$. Så vi har et system:

$$ \left\(\begin(aligned) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end(aligned)\right. $$

Vi vil gjennomføre beviset ved hjelp av metoden for matematisk induksjon. I det første trinnet må du sjekke om likheten som bevises er sann $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ for $n=1$. Vi vet at $S_1=u_1=\frac(2)(15)$, men vil uttrykket $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ gi verdien $\frac( 2 )(15)$, hvis vi erstatter $n=1$ i det? La oss sjekke:

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$

Så for $n=1$ er likheten $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ tilfredsstilt. Dette fullfører det første trinnet i metoden for matematisk induksjon.

La oss anta at for $n=k$ er likheten oppfylt, dvs. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. La oss bevise at den samme likheten vil være oppfylt for $n=k+1$. For å gjøre dette, vurder $S_(k+1)$:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$

Siden $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$, deretter $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. I henhold til antakelsen ovenfor $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$, derfor formelen $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ vil ta formen:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3). $$

Konklusjon: formelen $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ er riktig for $n=k+1$. Derfor, i henhold til metoden for matematisk induksjon, er formelen $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ sann for enhver $n\in N$. Likestilling er bevist.

I et standardkurs for høyere matematikk er de vanligvis fornøyd med å "krysse ut" kanselleringsvilkår, uten å kreve noe bevis. Så vi fikk uttrykket for den n-te delsummen: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. La oss finne verdien av $\lim_(n\to\infty)S_n$:

Konklusjon: den gitte serien konvergerer og summen er $S=\frac(1)(3)$.

Den andre måten å forenkle formelen for en delsum.

Ærlig talt, jeg foretrekker selv denne metoden :) La oss skrive ned delmengden i en forkortet versjon:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$

Vi fikk tidligere at $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$, derfor:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\venstre (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right). $$

Summen $S_n$ inneholder et begrenset antall ledd, så vi kan omorganisere dem som vi vil. Jeg vil først legge til alle ledd i formen $\frac(1)(2k+1)$, og først deretter gå videre til termer av formen $\frac(1)(2k+3)$. Dette betyr at vi vil presentere delbeløpet som følger:

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1 )-\venstre(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\right). $$

Selvfølgelig er den utvidede notasjonen ekstremt upraktisk, så likheten ovenfor kan skrives mer kompakt:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\venstre(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$

La oss nå transformere uttrykkene $\frac(1)(2k+1)$ og $\frac(1)(2k+3)$ til én form. Jeg synes det er praktisk å redusere det til en større fraksjon (selv om det er mulig å bruke en mindre, er dette en smakssak). Siden $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (jo større nevner, jo mindre brøk), vil vi gi brøken $\frac(1)(2k+) 3) $ til formen $\frac(1)(2k+1)$.

Jeg vil presentere uttrykket i nevneren til brøken $\frac(1)(2k+3)$ som følger:

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$

Og summen $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ kan nå skrives som følger:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) ) )+1)=\sum\grenser_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$

Hvis likheten $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+) 1) $ reiser ingen spørsmål, så la oss gå videre. Hvis du har spørsmål, vennligst utvide notatet.

Hvordan fikk vi det konverterte beløpet? Vis skjul

Vi hadde en serie $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$. La oss introdusere en ny variabel i stedet for $k+1$ - for eksempel $t$. Så $t=k+1$.

Hvordan endret den gamle variabelen $k$ seg? Og den endret seg fra 1 til $n$. La oss finne ut hvordan den nye variabelen $t$ vil endre seg. Hvis $k=1$, så $t=1+1=2$. Hvis $k=n$, så $t=n+1$. Så uttrykket $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ blir nå: $\sum\limits_(t=2)^(n +1)\frac(1)(2t+1)$.

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1) )(2t+1). $$

Vi har summen $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$. Spørsmål: spiller det noen rolle hvilken bokstav som brukes i denne mengden? :) Bare å skrive bokstaven $k$ i stedet for $t$, får vi følgende:

$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$

Slik får vi likheten $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+ 1) \frac(1)(2k+1)$.

Dermed kan delsummen representeres som følger:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) )=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1) ). $$

Merk at summene $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ og $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1) )(2k+1)$ avviker bare i summeringsgrensene. La oss gjøre disse grensene like. "Ta bort" det første elementet fra summen $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ vil vi ha:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$

"Ta bort" det siste elementet fra summen $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$, får vi:

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3 ).$$

Da vil uttrykket for delsummen ha formen:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Hvis du hopper over alle forklaringene, vil prosessen med å finne en forkortet formel for den n-te delsummen ha følgende form:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\venstre(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\venstre(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2n+3)\right)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

La meg minne deg på at vi reduserte brøken $\frac(1)(2k+3)$ til formen $\frac(1)(2k+1)$. Selvfølgelig kan du gjøre det motsatte, dvs. representere brøken $\frac(1)(2k+1)$ som $\frac(1)(2k+3)$. Det endelige uttrykket for delsummen vil ikke endres. I dette tilfellet vil jeg skjule prosessen med å finne delbeløpet under en lapp.

Hvordan finne $S_n$ hvis den konverteres til en annen brøk? Vis skjul

$$ S_n =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) ) =\sum\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k= 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\høyre) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3 ). $$

Så $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Finn grensen $\lim_(n\to\infty)S_n$:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$

Den gitte serien konvergerer og summen $S=\frac(1)(3)$.

Svar: $S=\frac(1)(3)$.

Fortsettelsen av emnet å finne summen av en serie vil bli diskutert i andre og tredje del.

Grunnleggende definisjoner

Definisjon. Summen av leddene til en uendelig tallsekvens kalles en tallserie.

I dette tilfellet vil vi kalle tallene medlemmer av serien, og un - den vanlige betegnelsen for serien.

Definisjon. Summer, n = 1, 2, ... kalles private (delvise) summer av serien.

Dermed er det mulig å vurdere sekvenser av delsummer av serien S1, S2, …, Sn, …

Definisjon. En serie kalles konvergent hvis sekvensen av dens partielle summer konvergerer. Summen av en konvergent serie er grensen for sekvensen av dens partielle summer.

Definisjon. Hvis sekvensen av delsummer av en serie divergerer, dvs. har ingen grense, eller har en uendelig grense, så kalles serien divergent og ingen sum er tilordnet den.

Radegenskaper

1) Konvergensen eller divergensen til serien vil ikke bli krenket hvis du endrer, forkaster eller legger til et begrenset antall termer i serien.

2) Betrakt to serier og, hvor C er et konstant tall.

Teorem. Hvis en serie konvergerer og summen er lik S, så konvergerer serien også og summen er lik CS. (C 0)

3) Tenk på to rader og. Summen eller differansen av disse rekkene vil bli kalt en serie hvor elementene er oppnådd som et resultat av addisjon (subtraksjon) av de opprinnelige elementene med samme tall.

Teorem. Hvis serien og konvergerer og summene deres er lik henholdsvis S og, så konvergerer serien også og summen er lik S +.

Forskjellen på to konvergerende serier vil også være en konvergent serie.

Summen av en konvergent og en divergerende serie er en divergerende serie.

Det er umulig å gi en generell uttalelse om summen av to divergerende serier.

Når de studerer serier, løser de hovedsakelig to problemer: å studere konvergens og finne summen av seriene.

Cauchy kriterium.

(nødvendige og tilstrekkelige betingelser for konvergens av serien)

For at en sekvens skal være konvergent, er det nødvendig og tilstrekkelig at det for noen eksisterer et tall N slik at for n > N og enhver p > 0, der p er et heltall, vil ulikheten gjelde:

Bevis. (nødvendighet)

La da for et hvilket som helst tall er det et tall N slik at ulikheten

er oppfylt når n>N. For n>N og ethvert heltall p>0 gjelder også ulikheten. Ved å ta hensyn til begge ulikhetene får vi:

Behovet er bevist. Vi vil ikke vurdere beviset for tilstrekkelighet.

La oss formulere Cauchy-kriteriet for serien.

For at en serie skal være konvergent, er det nødvendig og tilstrekkelig at det for noen finnes et tall N slik at for n>N og enhver p>0 vil ulikheten gjelde

I praksis er det imidlertid ikke særlig praktisk å bruke Cauchy-kriteriet direkte. Derfor brukes som regel enklere konvergenstester:

1) Hvis rekken konvergerer, er det nødvendig at fellesbegrepet un har en tendens til null. Denne betingelsen er imidlertid ikke tilstrekkelig. Vi kan bare si at hvis den vanlige termen ikke har en tendens til null, så divergerer serien definitivt. For eksempel er den såkalte harmoniske serien divergent, selv om dens vanlige betegnelse har en tendens til null.

En tallserie er en sekvens som betraktes sammen med en annen sekvens (det kalles også en sekvens av delsummer). Lignende begreper brukes i matematisk og kompleks analyse.

Summen av en tallserie kan enkelt beregnes i Excel ved hjelp av funksjonen SERIE.SUM. La oss se på et eksempel på hvordan denne funksjonen fungerer, og deretter bygge en graf over funksjonene. La oss lære hvordan du kan bruke tallserien i praksis ved beregning av kapitalvekst. Men først, litt teori.

Tallseriesum

Tallserien kan betraktes som et system av tilnærminger til tall. For å angi det, bruk formelen:

Her er den første rekkefølgen av tall i serien og summeringsregelen:

• ∑ - matematisk tegn på summen;
• a i - generelt argument;
• i er en variabel, en regel for å endre hvert påfølgende argument;
• ∞ er uendelighetstegnet, "grensen" opp til som summeringen utføres.

Notasjonen betyr: naturlige tall fra 1 til "pluss uendelig" summeres. Siden i = 1, starter beregningen av summen fra én. Hvis det var et annet tall her (for eksempel 2, 3), ville vi begynne å summere fra det (fra 2, 3).

I samsvar med variabelen i kan serien skrives utvidet:

A 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + ... (opp til "pluss uendelig").

Definisjonen av summen av en tallserie er gitt gjennom «del-summer». I matematikk er de betegnet Sn. La oss skrive tallserien vår i form av delsummer:

S 2 = a 1 + a 2

S 3 = a 1 + a 2 + a 3

S 4 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4

Summen av en tallserie er grensen for delsummer S n . Hvis grensen er begrenset, snakker vi om en "konvergent" serie. Uendelig - om "divergent".

La oss først finne summen av tallserien:

La oss nå bygge en verditabell for seriemedlemmer i Excel:

Vi tar det generelle første argumentet fra formelen: i=3.

Vi finner alle følgende verdier av i ved å bruke formelen: =B4+$B$1. Plasser markøren i nedre høyre hjørne av celle B5 og multipliser formelen.

La oss finne verdiene. Gjør celle C4 aktiv og skriv inn formelen: =SUM(2*B4+1). Kopier celle C4 til det angitte området.

Verdien av summen av argumenter oppnås ved å bruke funksjonen: =SUM(C4:C11). Hurtigtastkombinasjon ALT+“+” (pluss på tastaturet).



ROW.SUM funksjon i Excel

For å finne summen av en tallserie i Excel, bruk den matematiske funksjonen SERIE.SUM. Programmet bruker følgende formel:

Funksjonsargumenter:

• x – variabel verdi;
• n – grad for det første argumentet;
• m er trinnet som graden økes med for hvert påfølgende semester;
• a er koeffisientene for de tilsvarende potensene til x.

Viktige betingelser for at funksjonen skal fungere:

• alle argumenter kreves (det vil si at alle må fylles ut);
• alle argumenter er NUMERISKE verdier;
• vektoren av koeffisienter har en fast lengde (grensen på "uendelig" vil ikke fungere);
• antall "koeffisienter" = antall argumenter.

Beregne summen av en serie i Excel

Den samme SERIES.SUM-funksjonen fungerer med effektserier (en av variantene av funksjonelle serier). I motsetning til numeriske, er argumentene deres funksjoner.

Funksjonelle serier brukes ofte i den finansielle og økonomiske sfæren. Du kan si at dette er deres bruksområde.

For eksempel satte de inn en viss sum penger (a) i banken for en viss periode (n). Vi har en årlig utbetaling på x prosent. For å beregne det påløpte beløpet ved slutten av den første perioden, brukes formelen:

S1 = a (1 + x).

På slutten av andre og påfølgende perioder er uttrykksformen som følger:

S2 = a (1 + x)2; S 3 = a (1 + x) 2, osv.

For å finne totalen:

S n = a (1 + x) + a (1 + x) 2 + a (1 + x) 3 + … + a (1 + x) n

Delsummer i Excel kan bli funnet ved å bruke BS()-funksjonen.

Innledende parametere for treningsoppgaven:

Ved å bruke en standard matematisk funksjon finner vi den akkumulerte mengden på slutten av begrepet. For å gjøre dette bruker vi i celle D2 formelen: =B2*GRAD(1+B3;4)

Nå i celle D3 vil vi løse det samme problemet ved å bruke den innebygde Excel-funksjonen: =BS(B3;B1;;-B2)

Resultatene er de samme, som det skal være.

Slik fyller du argumentene til BS()-funksjonen:

1. "Rate" er renten som innskuddet er gjort til. Siden prosentformatet er satt i celle B3, spesifiserte vi ganske enkelt en lenke til denne cellen i argumentfeltet. Hvis et tall ble spesifisert, ville det blitt skrevet som en hundredel av det (20/100).
2. "Nper" er antall perioder for rentebetalinger. I vårt eksempel – 4 år.
3. "Plt" - periodiske betalinger. I vårt tilfelle er det ingen. Derfor fyller vi ikke ut argumentfeltet.
4. "Ps" - "nåverdi", beløpet på innskuddet. Siden vi skiller oss med disse pengene en stund, indikerer vi parameteren med et "-"-tegn.

Dermed hjalp BS-funksjonen oss med å finne summen av funksjonsserien.

Excel har andre innebygde funksjoner for å finne ulike parametere. Vanligvis er dette funksjoner for å jobbe med investeringsprosjekter, verdipapirer og avskrivninger.

Plotte funksjoner av summen av en tallserie

La oss bygge en funksjonsgraf som gjenspeiler kapitalvekst. For å gjøre dette må vi konstruere en graf av en funksjon som er summen av den konstruerte rekken. Som et eksempel, la oss ta de samme dataene om innskuddet:

Den første linjen viser akkumulert beløp etter ett år. I den andre - i to. Og så videre.

La oss lage en annen kolonne der vi vil reflektere overskuddet:

Som vi trodde - i formellinjen.

Basert på innhentede data vil vi konstruere en graf over funksjoner.

La oss velge 2 områder: A5:A9 og C5:C9. Gå til fanen "Sett inn" - verktøyet "Diagrammer". Velg det første diagrammet:

La oss gjøre problemet enda mer "anvendt". I eksemplet brukte vi renters rente. De periodiseres på beløpet som er påløpt i forrige periode.

La oss ta enkel interesse for sammenligning. Enkel renteformel i Excel: =$B$2*(1+A6*B6)

La oss legge til de oppnådde verdiene til diagrammet "Kapitalvekst".

Det er åpenbart hvilke konklusjoner investoren vil trekke.

Matematisk formel for delsummen av en funksjonell serie (med enkel rente): S n = a (1 + x*n), hvor a er det opprinnelige innskuddsbeløpet, x er renter, n er periode.

For å beregne summen av en serie, du trenger bare å legge til elementene i raden et gitt antall ganger. For eksempel:

I eksemplet ovenfor ble dette gjort veldig enkelt, siden det måtte summeres et begrenset antall ganger. Men hva om den øvre grensen for summering er uendelig? For eksempel, hvis vi trenger å finne summen av følgende serier:

I analogi med forrige eksempel kan vi skrive dette beløpet slik:

Men hva skal man gjøre videre?! På dette stadiet er det nødvendig å introdusere konseptet delsummen av serien. Så, delsummen av serien(betegnet S n) er summen av de første n leddene i rekken. De. i vårt tilfelle:

Deretter kan summen av den opprinnelige serien beregnes som grensen for delsummen:

Altså for beregne summen av en serie, er det nødvendig å på en eller annen måte finne et uttrykk for delsummen av serien (S n ). I vårt spesielle tilfelle er serien en avtagende geometrisk progresjon med en nevner på 1/3. Som du vet, beregnes summen av de første n elementene i en geometrisk progresjon med formelen:

her er b 1 det første elementet i den geometriske progresjonen (i vårt tilfelle er det 1) og q er nevneren for progresjonen (i vårt tilfelle 1/3). Derfor er delsummen S n for serien vår lik:

Da er summen av serien vår (S) i henhold til definisjonen gitt ovenfor lik:

Eksemplene diskutert ovenfor er ganske enkle. Vanligvis er det mye vanskeligere å beregne summen av en serie, og den største vanskeligheten ligger i å finne delsummen av serien. Den elektroniske kalkulatoren presentert nedenfor, laget på grunnlag av Wolfram Alpha-systemet, lar deg beregne summen av ganske komplekse serier. Dessuten, hvis kalkulatoren ikke kunne finne summen av en serie, er det sannsynlig at serien er divergerende (i så fall viser kalkulatoren en melding som "sum divergerer"), dvs. Denne kalkulatoren hjelper også indirekte med å få en ide om konvergensen til serier.

For å finne summen av serien din, må du spesifisere variabelen til serien, de nedre og øvre grensene for summeringen, samt uttrykket for det n. leddet i serien (dvs. det faktiske uttrykket for selve serien) .

Grunnleggende definisjoner.

Definisjon. Summen av leddene til en uendelig tallsekvens kalles nummerserie.

Samtidig tallene
vi vil kalle dem medlemmer av serien, og u n– et vanlig medlem av serien.

Definisjon. Beløp
,n = 1, 2, … er kalt private (del)beløp rad.

Dermed er det mulig å vurdere sekvenser av delsummer av serien S 1 , S 2 , …, S n , …

Definisjon. Rad
kalt konvergent, hvis sekvensen av dens delsummer konvergerer. Summen av konvergerende serier er grensen for sekvensen av dens delsummer.

Definisjon. Hvis sekvensen av delsummer av en serie divergerer, dvs. har ingen grense, eller har en uendelig grense, så kalles serien avvikende og det er ikke tildelt noe beløp.

Egenskaper til rader.

1) Konvergensen eller divergensen til serien vil ikke bli krenket hvis du endrer, forkaster eller legger til et begrenset antall termer i serien.

2) Tenk på to rader
Og
, hvor C er et konstant tall.

Teorem. Hvis raden
konvergerer og summen er likS, deretter serien
konvergerer også, og summen er lik CS. (C  0)

3) Tenk på to rader
Og
.Beløp eller forskjell av disse seriene vil bli kalt en serie
, hvor elementene oppnås ved å addere (subtrahere) de opprinnelige elementene med de samme tallene.

Teorem. Hvis radene
Og
konvergere og summene deres er lik hhvSOg , deretter serien
konvergerer også og summen er likS +  .

Forskjellen på to konvergerende serier vil også være en konvergent serie.

Summen av en konvergent og en divergerende serie er en divergerende serie.

Det er umulig å gi en generell uttalelse om summen av to divergerende serier.

Når de studerer serier, løser de hovedsakelig to problemer: å studere konvergens og finne summen av seriene.

Cauchy kriterium.

(nødvendige og tilstrekkelige betingelser for konvergens av serien)

For rekkefølgen
var konvergent, er det nødvendig og tilstrekkelig at for evt
det var et slikt tallN, det kln > Nog eventuelles> 0, hvor p er et heltall, vil følgende ulikhet gjelde:

.

Bevis. (nødvendighet)

La
, deretter for et hvilket som helst tall
det er et tall N slik at ulikheten

er oppfylt når n>N. For n>N og ethvert heltall p>0 gjelder også ulikheten
. Ved å ta hensyn til begge ulikhetene får vi:

Behovet er bevist. Vi vil ikke vurdere beviset for tilstrekkelighet.

La oss formulere Cauchy-kriteriet for serien.

I rekkefølge for serien
var konvergent, er det nødvendig og tilstrekkelig at for evt
det var et nummerNslik at kln> Nog eventuelles>0 ulikheten ville holde

.

I praksis er det imidlertid ikke særlig praktisk å bruke Cauchy-kriteriet direkte. Derfor brukes som regel enklere konvergenstester:

1) Hvis raden
konvergerer, så er det nødvendig at fellesbegrepet u n hadde en tendens til null. Denne betingelsen er imidlertid ikke tilstrekkelig. Vi kan bare si at hvis den vanlige termen ikke har en tendens til null, så divergerer serien definitivt. For eksempel den såkalte harmoniske serien er divergent, selv om den vanlige termen har en tendens til null.

Eksempel. Undersøk konvergensen til serien

Vi finner
- det nødvendige kriteriet for konvergens er ikke oppfylt, noe som betyr at serien divergerer.

2) Hvis en serie konvergerer, er sekvensen av dens partielle summene avgrenset.

Dette skiltet er imidlertid heller ikke tilstrekkelig.

For eksempel divergerer serien 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +…, fordi sekvensen av dens delsummene divergerer på grunn av det faktum at

Imidlertid er rekkefølgen av delsummer begrenset, fordi
til enhver n.

Serier med ikke-negative termer.

Når vi studerer serier med konstant fortegn, vil vi begrense oss til å vurdere serier med ikke-negative termer, fordi bare å multiplisere med –1 fra disse seriene kan gi serier med negative termer.

Teorem. For konvergens av serien
med ikke-negative termer er det nødvendig og tilstrekkelig at delsummene av serien er avgrenset.

Et tegn for å sammenligne serier med ikke-negative termer.

La to rader gis
Og
på u n , v n  0 .

Teorem. Hvis u n  v n til enhver n, deretter fra konvergensen av serien
serien konvergerer
, og fra divergensen i serien
serien divergerer
.

Bevis. La oss betegne med S n Og  n delsummer av serier
Og
. Fordi i henhold til betingelsene for teoremet, serien
konvergerer, så er dens delsummene begrenset, dvs. foran alle n n  M, der M er et visst tall. Men fordi u n  v n, Det S n   n deretter delsummene av serien
er også begrenset, og dette er tilstrekkelig for konvergens.

Eksempel. Undersøk serien for konvergens

Fordi
, og den harmoniske serien divergerer, så divergerer serien
.

Eksempel.

Fordi
, og serien
konvergerer (som en avtagende geometrisk progresjon), deretter serien
konvergerer også.

Følgende konvergenskriterium brukes også:

Teorem. Hvis
og det er en grense
, Hvorh– et annet tall enn null, deretter serien
Og
oppføre seg identisk når det gjelder konvergens.

D'Alemberts tegn.

(Jean Leron d'Alembert (1717 - 1783) - fransk matematiker)

Hvis for en serie
med positive termer er det et slikt tallq<1, что для всех достаточно больших nulikhet holder

så en serie
konvergerer hvis det for alle er tilstrekkelig storenbetingelsen er oppfylt

så en serie
divergerer.

D'Alemberts begrensende tegn.

D'Alemberts begrensende kriterium er en konsekvens av ovennevnte D'Alembert-kriterium.

Hvis det er en grense
, da når < 1 ряд сходится, а при  > 1 – divergerer. Hvis = 1, så kan ikke spørsmålet om konvergens besvares.

Eksempel. Bestem konvergensen til serien .

Konklusjon: serien konvergerer.

Eksempel. Bestem konvergensen til serien

Konklusjon: serien konvergerer.

Cauchys tegn. (radikalt tegn)

Hvis for en serie
med ikke-negative termer er det et slikt tallq<1, что для всех достаточно больших nulikhet holder

,

så en serie
konvergerer, hvis det for alle er tilstrekkelig storenulikhet holder

så en serie
divergerer.

Konsekvens. Hvis det er en grense
, da når<1 ряд сходится, а при >Rad 1 divergerer.

Eksempel. Bestem konvergensen til serien
.

Konklusjon: serien konvergerer.

Eksempel. Bestem konvergensen til serien
.

De. Cauchy-testen svarer ikke på spørsmålet om seriens konvergens. La oss kontrollere at de nødvendige konvergensbetingelsene er oppfylt. Som nevnt ovenfor, hvis en serie konvergerer, har den vanlige termen til serien en tendens til null.

,

Dermed er ikke den nødvendige betingelsen for konvergens oppfylt, noe som betyr at serien divergerer.

Integrert Cauchy-test.

Hvis (x) er en kontinuerlig positiv funksjon som avtar over intervallet Og
deretter integralene
Og
oppføre seg identisk når det gjelder konvergens.

Vekslende serier.

Vekslende rader.

En vekslende serie kan skrives som:

Hvor

Leibniz sitt tegn.

Hvis tegnet på den vekslende raden absolutte verdieru Jeg er avtagende
og fellesbegrepet har en tendens til null
, så konvergerer serien.

Absolutt og betinget konvergens av serier.

La oss vurdere noen vekslende serier (med vilkår for vilkårlige tegn).

(1)

og en serie sammensatt av de absolutte verdiene til medlemmene i serien (1):

(2)

Teorem. Fra konvergensen av serie (2) følger konvergensen av serie (1).

Bevis. Serie (2) er en serie med ikke-negative termer. Hvis serie (2) konvergerer, er det ved Cauchy-kriteriet for enhver >0 et tall N slik at for n>N og ethvert heltall p>0 er følgende ulikhet sann:

I henhold til egenskapen til absolutte verdier:

Det vil si, ifølge Cauchy-kriteriet, fra konvergensen av serie (2) følger konvergensen av serie (1).

Definisjon. Rad
kalt absolutt konvergent, hvis serien konvergerer
.

Det er åpenbart at for serier med konstant fortegn faller begrepene konvergens og absolutt konvergens sammen.

Definisjon. Rad
kalt betinget konvergent, hvis det konvergerer og serien
divergerer.

D'Alemberts og Cauchys tester for alternerende serier.

La
- vekslende serier.

D'Alemberts tegn. Hvis det er en grense
, da når<1 ряд
vil være absolutt konvergent, og når>

Cauchys tegn. Hvis det er en grense
, da når<1 ряд
vil være absolutt konvergent, og hvis >1 vil serien være divergent. Når =1 gir tegnet ikke svar om konvergensen til rekken.

Egenskaper til absolutt konvergerende serier.

1) Teorem. For absolutt konvergens av serien
det er nødvendig og tilstrekkelig at det kan representeres som forskjellen mellom to konvergerende serier med ikke-negative termer.

Konsekvens. En betinget konvergent serie er forskjellen mellom to divergerende serier med ikke-negative termer som har en tendens til null.

2) I en konvergent serie bevarer enhver gruppering av termene i serien som ikke endrer rekkefølgen konvergensen og størrelsen på serien.

3) Hvis en serie konvergerer absolutt, så konvergerer serien som er oppnådd fra den ved en hvilken som helst permutasjon av termer også absolutt og har samme sum.

Ved å omorganisere vilkårene til en betinget konvergent serie, kan man oppnå en betinget konvergent serie som har en hvilken som helst forhåndsbestemt sum, og til og med en divergerende serie.

4) Teorem. For enhver gruppering av medlemmer av en absolutt konvergent serie (i dette tilfellet kan antallet grupper enten være endelig eller uendelig, og antall medlemmer i en gruppe kan være enten endelig eller uendelig), oppnås en konvergent serie, summen hvorav er lik summen av den opprinnelige serien.

5) Hvis radene Og konvergerer absolutt og summene deres er like hhv S og , deretter en serie sammensatt av alle produktene i formen
tatt i hvilken som helst rekkefølge, konvergerer også absolutt og summen er lik S - produktet av summene av den multipliserte rekken.

Hvis du multipliserer betinget konvergerende serier, kan du få en divergerende serie som resultat.

Funksjonelle sekvenser.

Definisjon. Hvis medlemmene i serien ikke er tall, men funksjoner av X, da heter serien funksjonell.

Studiet av konvergensen av funksjonelle serier er mer komplisert enn studiet av numeriske serier. Den samme funksjonelle serien kan, med de samme variabelverdiene X konvergere, og med andre - divergere. Derfor kommer spørsmålet om konvergens av funksjonelle serier ned til å bestemme disse verdiene til variabelen X, hvor serien konvergerer.

Settet med slike verdier kalles konvergensområdet.

Siden grensen for hver funksjon inkludert i konvergensregionen til serien er et visst tall, vil grensen for den funksjonelle sekvensen være en viss funksjon:

Definisjon. Etterfølge ( f n (x) } konvergererå fungere f(x) på segmentet hvis for et hvilket som helst tall >0 og et hvilket som helst punkt X fra segmentet under vurdering er det et tall N = N(, x), slik at ulikheten

er oppfylt når n>N.

Med den valgte verdien >0 har hvert punkt på segmentet sitt eget nummer, og derfor vil det være et uendelig antall tall som tilsvarer alle punktene på segmentet. Hvis du velger det største av alle disse tallene, vil dette tallet passe for alle punktene i segmentet, dvs. vil være felles for alle punkter.

Definisjon. Etterfølge ( f n (x) } konvergerer jevntå fungere f(x) på segmentet, hvis det for et hvilket som helst tall >0 er et tall N = N() slik at ulikheten

er oppfylt for n>N for alle punktene i segmentet.

Eksempel. Vurder sekvensen

Denne sekvensen konvergerer på hele tallaksen til funksjonen f(x)=0 , fordi

La oss plotte denne sekvensen:

sinx

Som man kan se, med økende antall n sekvensgrafen nærmer seg aksen X.

Funksjonell serie.

Definisjon. Private (del)beløp funksjonell rekkevidde
funksjoner kalles

Definisjon. Funksjonell rekkevidde
kalt konvergent på punktet ( x=x 0 ), hvis sekvensen av dens delsummer konvergerer på dette punktet. Sekvensgrense
kalt beløp rad
på punktet X 0 .

Definisjon. Sett med alle verdier X, som serien konvergerer for
kalt konvergensområdet rad.

Definisjon. Rad
kalt jevnt konvergent på intervallet hvis sekvensen av delsummer av denne serien konvergerer jevnt på dette intervallet.

Teorem. (Cauchy-kriterium for enhetlig konvergens av serier)

For jevn konvergens av serien
det er nødvendig og tilstrekkelig for et hvilket som helst tall >0 et slikt tall eksisterteN( ), som kln> Nog enhver helhets>0 ulikhet

vil holde for alle x i intervallet [en, b].

Teorem. (Weierstrass-test for enhetlig konvergens)

(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 – 1897) – tysk matematiker)

Rad
konvergerer jevnt og dessuten absolutt på intervallet [en, b], hvis modulene til leddene i samme segment ikke overskrider de tilsvarende leddene i en konvergent tallserie med positive ledd:

de. det er en ulikhet:

.

De sier også at i dette tilfellet den funksjonelle serien
er hovedfag nummerserie
.

Eksempel. Undersøk serien for konvergens
.

Fordi
alltid, det er åpenbart at
.

Dessuten er det kjent at den generelle harmoniske serien når =3>1 konvergerer, så, i samsvar med Weierstrass-testen, konvergerer serien som studeres jevnt og dessuten i et hvilket som helst intervall.

Eksempel. Undersøk serien for konvergens .

På intervallet [-1,1] holder ulikheten
de. i henhold til Weierstrass-kriteriet konvergerer serien som studeres på dette segmentet, men divergerer på intervallene (-, -1)  (1, ).

Egenskaper til jevnt konvergerende serier.

1) Teorem om kontinuiteten til summen av en serie.

Hvis medlemmene av serien
- kontinuerlig på segmentet [en, b] funksjon og serien konvergerer jevnt, deretter summenS(x) er en kontinuerlig funksjon på intervallet [en, b].

2) Teorem om term-for-term integrasjon av en serie.

Ensartet konvergerende på segmentet [en, b] en serie med kontinuerlige ledd kan integreres ledd for ledd på dette intervallet, dvs. en serie sammensatt av integraler av dens termer over segmentet [en, b] , konvergerer til integralet av summen av serien over dette segmentet.

3) Teorem om ledd-for-ledd differensiering av en serie.

Hvis medlemmene av serien
konvergerer på segmentet [en, b] representerer kontinuerlige funksjoner som har kontinuerlige deriverte, og en serie sammensatt av disse deriverte
konvergerer jevnt på dette segmentet, så konvergerer denne serien jevnt og kan differensieres begrep for begrep.

Basert på at summen av rekken er en funksjon av variabelen X, kan du utføre operasjonen med å representere en funksjon i form av en serie (utvidelse av en funksjon til en serie), som er mye brukt i integrasjon, differensiering og andre operasjoner med funksjoner.

I praksis brukes ofte potensserieutvidelse av funksjoner.

Power-serien.

Definisjon. Power-serien kalt en serie av formen

.

For å studere konvergensen av kraftserier er det praktisk å bruke d'Alembert-testen.

Eksempel. Undersøk serien for konvergens

Vi bruker d'Alemberts tegn:

.

Vi finner at denne serien konvergerer kl
og divergerer kl
.

Nå bestemmer vi konvergensen ved grensepunktene 1 og –1.

For x = 1:
Serien konvergerer i henhold til Leibniz sitt kriterium (se Leibniz sitt tegn.).

Ved x = -1:
serien divergerer (harmoniske serier).

Abels teoremer.

(Nils Henrik Abel (1802 – 1829) – norsk matematiker)

Teorem. Hvis kraftserien
konvergerer klx = x 1 , så konvergerer det og dessuten for absolutt alle
.

Bevis. I henhold til betingelsene for teoremet, siden betingelsene for serien er begrenset, da

Hvor k- et konstant tall. Følgende ulikhet er sann:

Fra denne ulikheten er det klart at når x< x 1 de numeriske verdiene til medlemmene i serien vår vil være mindre (i hvert fall ikke mer) enn de tilsvarende medlemmene av serien på høyre side av ulikheten skrevet ovenfor, som danner en geometrisk progresjon. Nevneren for denne progresjonen i henhold til betingelsene for teoremet er det mindre enn én, derfor er denne progresjonen en konvergent serie.

Derfor, basert på sammenligningskriteriet, konkluderer vi med at serien
konvergerer, som betyr serien
konvergerer absolutt.

Dermed hvis kraftserien
konvergerer på et punkt X 1 , så konvergerer den absolutt når som helst i intervallet av lengde 2 sentrert på et punkt X = 0.

Konsekvens. Hvis kl x = x 1 serien divergerer, så divergerer den for alle
.

For hver potensserie er det således et positivt tall R slik at for alle X slik at
serien er absolutt konvergent, og for alle
raden divergerer. I dette tilfellet kalles tallet R konvergensradius. Intervallet (-R, R) kalles konvergensintervall.

Merk at dette intervallet kan lukkes på én eller begge sider, eller ikke lukkes.

Konvergensradiusen kan bli funnet ved å bruke formelen:

Eksempel. Finn konvergensområdet til serien

Finne konvergensradiusen
.

Derfor konvergerer denne serien for enhver verdi X. Den vanlige termen i denne serien har en tendens til null.

Teorem. Hvis kraftserien
konvergerer for en positiv verdi x=x 1 , så konvergerer den jevnt i ethvert intervall inne
.

Handlinger med kraftserier.