Løse systemer med lineære ulikheter med brøker. Ulikhetssystemer - grunnleggende informasjon

se også Løse et lineært programmeringsproblem grafisk, Kanonisk form for lineære programmeringsproblemer

Systemet med begrensninger for et slikt problem består av ulikheter i to variabler:
og objektivfunksjonen har formen F = C 1 x + C 2 y som må maksimeres.

La oss svare på spørsmålet: hvilke tallpar ( x; y) er løsninger på systemet med ulikheter, dvs. tilfredsstiller hver av ulikhetene samtidig? Med andre ord, hva vil det si å løse et system grafisk?
Først må du forstå hva som er løsningen på en lineær ulikhet med to ukjente.
Å løse en lineær ulikhet med to ukjente betyr å bestemme alle par med ukjente verdier som ulikheten gjelder for.
For eksempel ulikhet 3 x – 5y≥ 42 tilfredsstille par ( x , y): (100, 2); (3, –10), osv. Oppgaven er å finne alle slike par.
La oss vurdere to ulikheter: øks + av≤ c, øks + av≥ c. Rett øks + av = c deler planet i to halvplan slik at koordinatene til punktene til ett av dem tilfredsstiller ulikheten øks + av >c, og den andre ulikheten øks + +av <c.
Faktisk, la oss ta et poeng med koordinat x = x 0 ; deretter et punkt som ligger på en linje og har abscisse x 0, har en ordinat

La for sikkerhet en< 0, b>0, c>0. Alle punkter med abscisse x 0 liggende over P(for eksempel prikk M), har y M>y 0 , og alle punkter under punktet P, med abscisse x 0, har y N<y 0 . Fordi det x 0 er et vilkårlig punkt, så vil det alltid være punkter på den ene siden av linjen som øks+ av > c, danner et halvplan, og på den andre siden - punkter som øks + av< c.

Bilde 1

Ulikhetstegnet i halvplanet avhenger av tallene en, b , c.
Dette innebærer følgende metode for grafisk løsning av systemer med lineære ulikheter i to variabler. For å løse systemet trenger du:

1. For hver ulikhet, skriv ligningen som tilsvarer denne ulikheten.
2. Konstruer rette linjer som er grafer for funksjoner spesifisert av ligninger.
3. Bestem halvplanet for hver linje, som er gitt av ulikheten. For å gjøre dette, ta et vilkårlig punkt som ikke ligger på en linje og erstatte dets koordinater i ulikheten. hvis ulikheten er sann, så er halvplanet som inneholder det valgte punktet løsningen på den opprinnelige ulikheten. Hvis ulikheten er falsk, er halvplanet på den andre siden av linjen settet med løsninger på denne ulikheten.
4. For å løse et system med ulikheter, er det nødvendig å finne skjæringsområdet for alle halvplanene som er løsningen på hver ulikhet i systemet.

Dette området kan vise seg å være tomt, da har ulikhetssystemet ingen løsninger og er inkonsekvent. Ellers sies systemet å være konsistent.
Det kan være et endelig antall eller et uendelig antall løsninger. Området kan være en lukket polygon eller ubegrenset.

La oss se på tre relevante eksempler.

Eksempel 1. Løs systemet grafisk:
x + y – 1 ≤ 0;
–2x – 2y + 5 ≤ 0.

• vurdere likningene x+y–1=0 og –2x–2y+5=0 som tilsvarer ulikhetene;
• La oss konstruere rette linjer gitt av disse ligningene.

Figur 2

La oss definere halvplanene definert av ulikhetene. La oss ta et vilkårlig poeng, la (0; 0). La oss vurdere x+ y– 1 0, bytt inn punktet (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. Dette betyr at i halvplanet der punktet (0; 0) ligger, x + y – 1 ≤ 0, dvs. halvplanet som ligger under linjen er en løsning på den første ulikheten. Ved å erstatte dette punktet (0; 0) i det andre får vi: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, dvs. i halvplanet der punktet (0; 0) ligger, –2 x – 2y+ 5≥ 0, og vi ble spurt hvor –2 x – 2y+ 5 ≤ 0, derfor i det andre halvplanet - i det over den rette linjen.
La oss finne skjæringspunktet mellom disse to halvplanene. Linjene er parallelle, slik at planene ikke krysser hverandre noe sted, noe som betyr at systemet med disse ulikhetene ikke har noen løsninger og er inkonsekvent.

Eksempel 2. Finn grafiske løsninger på ulikhetssystemet:

Figur 3
1. La oss skrive ut ligningene som tilsvarer ulikhetene og konstruere rette linjer.
x + 2y– 2 = 0

x	2	0
y	0	1

y – x – 1 = 0

x	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. Etter å ha valgt punktet (0; 0), bestemmer vi tegnene på ulikheter i halvplanene:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, dvs. x + 2y– 2 ≤ 0 i halvplanet under den rette linjen;
0 – 0 – 1 ≤ 0, dvs. y –x– 1 ≤ 0 i halvplanet under den rette linjen;
0 + 2 =2 ≥ 0, dvs. y+ 2 ≥ 0 i halvplanet over den rette linjen.
3. Skjæringspunktet mellom disse tre halvplanene vil være et område som er en trekant. Det er ikke vanskelig å finne toppene i regionen som skjæringspunktene til de tilsvarende linjene


Dermed, EN(–3; –2), I(0; 1), MED(6; –2).

La oss vurdere et annet eksempel der det resulterende løsningsdomenet til systemet ikke er begrenset.

ulikhetsløsning i modus på nett løsning nesten enhver gitt ulikhet på nett. Matematisk ulikheter på nettå løse matematikk. Finn raskt ulikhetsløsning i modus på nett. Nettstedet www.site lar deg finne løsning nesten hvilken som helst gitt algebraisk, trigonometrisk eller transcendental ulikhet på nettet. Når du studerer nesten hvilken som helst gren av matematikk på forskjellige stadier, må du bestemme deg ulikheter på nett. For å få svar umiddelbart, og viktigst av alt et nøyaktig svar, trenger du en ressurs som lar deg gjøre dette. Takket være nettstedet www.site løse ulikhet på nett vil ta noen minutter. Den største fordelen med www.site når du løser matematiske ulikheter på nett- dette er hastigheten og nøyaktigheten til svaret som gis. Siden er i stand til å løse eventuelle algebraiske ulikheter på nettet, trigonometriske ulikheter på nettet, transcendentale ulikheter på nettet, og ulikheter med ukjente parametere i modus på nett. Ulikheter tjene som et kraftig matematisk apparat løsninger praktiske problemer. Med hjelp matematiske ulikheter det er mulig å uttrykke fakta og sammenhenger som kan virke forvirrende og komplekse ved første øyekast. Ukjente mengder ulikheter kan finnes ved å formulere problemet i matematisk språk i formen ulikheter Og Bestemme seg for mottatt oppgave i modus på nett på nettsiden www.site. Noen algebraisk ulikhet, trigonometrisk ulikhet eller ulikheter inneholder transcendental funksjoner du enkelt kan Bestemme seg for online og få det nøyaktige svaret. Når du studerer naturvitenskap, møter du uunngåelig behovet løsninger på ulikheter. I dette tilfellet må svaret være nøyaktig og må innhentes umiddelbart i modusen på nett. Derfor for løse matematiske ulikheter på nett vi anbefaler nettstedet www.site, som vil bli din uunnværlige kalkulator for løse algebraiske ulikheter på nettet, trigonometriske ulikheter på nettet, og transcendentale ulikheter på nettet eller ulikheter med ukjente parametere. For praktiske problemer med å finne nettbaserte løsninger på ulike matematiske ulikheter ressurs www.. Løsning ulikheter på nett selv, er det nyttig å sjekke det mottatte svaret ved hjelp av online løsning av ulikheter på nettsiden www.site. Du må skrive ulikheten riktig og umiddelbart få nettløsning, hvoretter det bare gjenstår å sammenligne svaret med din løsning på ulikheten. Å sjekke svaret tar ikke mer enn et minutt, det er nok løse ulikhet på nett og sammenligne svarene. Dette vil hjelpe deg å unngå feil i beslutning og korriger svaret i tide når løse ulikheter på nett enten algebraisk, trigonometrisk, transcendental eller ulikhet med ukjente parametere.

Ulikheter og ulikhetssystemer er et av temaene som tas opp i algebra på videregående. Når det gjelder vanskelighetsgrad er det ikke det vanskeligste, siden det har enkle regler (mer om dem litt senere). Som regel lærer skolebarn å løse ulikhetssystemer ganske enkelt. Dette skyldes også det faktum at lærere ganske enkelt "opplærer" elevene sine i dette emnet. Og de kan ikke la være å gjøre dette, fordi det studeres i fremtiden ved å bruke andre matematiske størrelser, og testes også på Unified State Exam og Unified State Exam. I skolebøker er temaet ulikheter og ulikhetssystemer dekket i stor detalj, så hvis du skal studere det, er det best å ty til dem. Denne artikkelen oppsummerer kun større materiale, og det kan være noen mangler.

Konseptet med et system av ulikheter

Hvis vi vender oss til vitenskapelig språk, kan vi definere begrepet "system av ulikheter". Dette er en matematisk modell som representerer flere ulikheter. Denne modellen krever selvfølgelig en løsning, og dette vil være det generelle svaret for alle ulikhetene i systemet foreslått i oppgaven (vanligvis er dette skrevet i den, for eksempel: "Løs systemet med ulikheter 4 x + 1 > 2 og 30 - x > 6..."). Men før du går videre til typene og metodene for løsninger, må du forstå noe annet.

Systemer av ulikheter og likningssystemer

Når man lærer et nytt emne, oppstår det ofte misforståelser. På den ene siden er alt klart og du vil begynne å løse oppgaver så snart som mulig, men på den annen side forblir noen aspekter i "skyggen" og blir ikke fullt ut forstått. Noen elementer av allerede ervervet kunnskap kan også være sammenvevd med nye. Som et resultat av denne "overlappingen" oppstår ofte feil.

Derfor, før vi begynner å analysere emnet vårt, bør vi huske forskjellene mellom likninger og ulikheter og deres systemer. For å gjøre dette må vi nok en gang forklare hva disse matematiske begrepene representerer. En ligning er alltid en likhet, og den er alltid lik noe (i matematikk er dette ordet betegnet med tegnet "="). Ulikhet er en modell der en verdi enten er større eller mindre enn en annen, eller inneholder et utsagn om at de ikke er like. I det første tilfellet er det derfor hensiktsmessig å snakke om likhet, og i det andre, uansett hvor åpenbart det kan høres ut fra selve navnet, om ulikheten i de opprinnelige dataene. Systemer av ligninger og ulikheter skiller seg praktisk talt ikke fra hverandre, og metodene for å løse dem er de samme. Den eneste forskjellen er at i det første tilfellet brukes likheter, og i det andre tilfellet brukes ulikheter.

Typer ulikheter

Det er to typer ulikheter: numeriske og med en ukjent variabel. Den første typen representerer gitte mengder (tall) som er ulik med hverandre, for eksempel 8 > 10. Den andre er ulikheter som inneholder en ukjent variabel (angitt med en bokstav i det latinske alfabetet, oftest X). Denne variabelen må finnes. Avhengig av hvor mange det er, skiller den matematiske modellen mellom ulikheter med én (de utgjør et system av ulikheter med én variabel) eller flere variabler (de utgjør et ulikhetssystem med flere variabler).

De to siste typene, i henhold til graden av deres konstruksjon og kompleksitetsnivået til løsningen, er delt inn i enkle og komplekse. De enkle kalles også lineære ulikheter. De er på sin side delt inn i strenge og ikke-strenge. De strenge "sier" spesifikt at en mengde nødvendigvis må være mindre eller mer, så dette er ren ulikhet. Det kan gis flere eksempler: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 osv. Ikke-strenge inkluderer også likhet. Det vil si at én verdi kan være større enn eller lik en annen verdi («≥»-tegnet) eller mindre enn eller lik en annen verdi («≤»-tegnet). Selv i lineære ulikheter er variabelen ikke ved roten, kvadratet eller delelig med noe, og det er derfor de kalles "enkle". Komplekse involverer ukjente variabler som krever mer matematikk å finne. De er ofte plassert i en firkant, kube eller under en rot, de kan være modulære, logaritmiske, brøkdeler osv. Men siden vår oppgave er behovet for å forstå løsningen av ulikhetssystemer, vil vi snakke om et system med lineære ulikheter . Men før det bør det sies noen ord om egenskapene deres.

Egenskaper ved ulikheter

Egenskapene til ulikheter inkluderer følgende:

1. Ulikhetstegnet blir reversert hvis en operasjon brukes for å endre rekkefølgen på sidene (for eksempel hvis t 1 ≤ t 2, så t 2 ≥ t 1).
2. Begge sider av ulikheten lar deg legge til det samme tallet til seg selv (for eksempel hvis t 1 ≤ t 2, så t 1 + tall ≤ t 2 + tall).
3. To eller flere ulikheter med et tegn i samme retning gjør at venstre og høyre side kan legges til (for eksempel hvis t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, så t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
4. Begge deler av ulikheten kan multipliseres eller divideres med det samme positive tallet (for eksempel hvis t 1 ≤ t 2 og et tall ≤ 0, så tallet · t 1 ≥ tall · t 2).
5. To eller flere ulikheter som har positive ledd og et tegn i samme retning lar seg multiplisere med hverandre (for eksempel hvis t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 deretter t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
6. Begge deler av ulikheten lar seg multiplisere eller dividere med det samme negative tallet, men i dette tilfellet endres tegnet på ulikheten (for eksempel hvis t 1 ≤ t 2 og et tall ≤ 0, så tallet · t 1 ≥ nummer · t 2).
7. Alle ulikheter har egenskapen transitivitet (for eksempel hvis t 1 ≤ t 2 og t 2 ≤ t 3, så t 1 ≤ t 3).

Nå, etter å ha studert de grunnleggende prinsippene for teorien knyttet til ulikheter, kan vi gå direkte videre til vurderingen av reglene for å løse systemene deres.

Løse ulikhetssystemer. Generell informasjon. Løsninger

Som nevnt ovenfor er løsningen verdiene til variabelen som passer for alle ulikhetene i det gitte systemet. Å løse ulikhetssystemer er implementering av matematiske operasjoner som til slutt fører til en løsning på hele systemet eller beviser at det ikke har noen løsninger. I dette tilfellet sies variabelen å tilhøre et tomt numerisk sett (skrevet som følger: bokstav som angir en variabel∈ (tegn «hører til») ø (tegn «tomt sett»), for eksempel x ∈ ø (les: «Variabelen «x» tilhører det tomme settet»). Det er flere måter å løse ulikhetssystemer på: grafisk, algebraisk, substitusjonsmetode. Det er verdt å merke seg at de refererer til de matematiske modellene som har flere ukjente variabler. I tilfellet der det bare er en, er intervallmetoden egnet.

Grafisk metode

Lar deg løse et system av ulikheter med flere ukjente størrelser (fra to og oppover). Takket være denne metoden kan et system med lineære ulikheter løses ganske enkelt og raskt, så det er den vanligste metoden. Dette forklares med det faktum at plotting av en graf reduserer mengden av å skrive matematiske operasjoner. Det blir spesielt hyggelig å ta en liten pause fra pennen, plukke opp en blyant med linjal og begynne videre handlinger med deres hjelp når mye arbeid er gjort og du vil ha litt variasjon. Noen mennesker liker imidlertid ikke denne metoden fordi de må bryte seg fra oppgaven og bytte mental aktivitet til tegning. Dette er imidlertid en svært effektiv metode.

For å løse et system med ulikheter ved hjelp av en grafisk metode, er det nødvendig å overføre alle ledd i hver ulikhet til venstre side. Tegnene vil bli reversert, null skal skrives til høyre, så må hver ulikhet skrives separat. Som et resultat vil funksjoner oppnås fra ulikheter. Etter dette kan du ta ut en blyant og en linjal: nå må du tegne en graf for hver oppnådd funksjon. Hele settet med tall som vil være i intervallet til deres skjæringspunkt vil være en løsning på systemet med ulikheter.

Algebraisk måte

Lar deg løse et system av ulikheter med to ukjente variabler. Dessuten må ulikheter ha det samme ulikhetstegnet (det vil si at de må inneholde enten bare «større enn»-tegnet, eller bare «mindre enn»-tegnet osv.) Til tross for sine begrensninger er denne metoden også mer kompleks. Den påføres i to trinn.

Den første innebærer handlinger for å bli kvitt en av de ukjente variablene. Først må du velge den, og deretter se etter tilstedeværelsen av tall foran denne variabelen. Hvis de ikke er der (da vil variabelen se ut som en enkelt bokstav), så endrer vi ikke noe, hvis det er (variabeltypen vil for eksempel være 5y eller 12y), så er det nødvendig å lage sikker på at i hver ulikhet er tallet foran den valgte variabelen det samme. For å gjøre dette må du multiplisere hvert ledd av ulikhetene med en felles faktor, for eksempel hvis 3y er skrevet i den første ulikheten og 5y i den andre, må du multiplisere alle leddene til den første ulikheten med 5 , og den andre med 3. Du får henholdsvis 15y og 15y.

Andre trinn av løsningen. Det er nødvendig å overføre venstre side av hver ulikhet til deres høyre side, endre tegnet for hvert ledd til det motsatte, og skrive null til høyre. Så kommer den morsomme delen: å bli kvitt den valgte variabelen (ellers kjent som "reduksjon") mens du legger til ulikhetene. Dette resulterer i en ulikhet med én variabel som må løses. Etter dette bør du gjøre det samme, bare med en annen ukjent variabel. Resultatene som oppnås vil være løsningen av systemet.

Substitusjonsmetode

Lar deg løse et system med ulikheter hvis det er mulig å introdusere en ny variabel. Vanligvis brukes denne metoden når den ukjente variabelen i en term av ulikheten heves til fjerde potens, og i den andre termen blir den kvadratisk. Dermed er denne metoden rettet mot å redusere graden av ulikheter i systemet. Prøveulikheten x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 løses på denne måten. En ny variabel introduseres, for eksempel t. De skriver: "La t = x 2," så skrives modellen om i en ny form. I vårt tilfelle får vi t 2 - t - 1 ≤0. Denne ulikheten må løses ved hjelp av intervallmetoden (mer om det litt senere), så tilbake til variabelen X, og gjør det samme med den andre ulikheten. Svarene som mottas vil være løsningen på systemet.

Intervall metode

Dette er den enkleste måten å løse ulikhetssystemer på, og samtidig er den universell og utbredt. Det brukes på ungdomsskoler og til og med på videregående skoler. Dens essens ligger i det faktum at studenten ser etter intervaller med ulikhet på en talllinje, som er tegnet i en notatbok (dette er ikke en graf, men bare en vanlig linje med tall). Der ulikhetsintervallene krysser hverandre, finnes løsningen på systemet. For å bruke intervallmetoden må du følge disse trinnene:

1. Alle ledd i hver ulikhet overføres til venstre side med tegnet som endres til det motsatte (null er skrevet til høyre).
2. Ulikhetene skrives ut separat, og løsningen på hver av dem bestemmes.
3. Skjæringspunktene av ulikheter på tallinjen finnes. Alle tall som ligger i disse kryssene vil være en løsning.

Hvilken metode bør jeg bruke?

Åpenbart den som virker enklest og mest praktisk, men det er tilfeller når oppgaver krever en bestemt metode. Oftest sier de at du må løse enten ved hjelp av en graf eller intervallmetoden. Den algebraiske metoden og substitusjonen brukes ekstremt sjelden eller ikke i det hele tatt, siden de er ganske komplekse og forvirrende, og dessuten er de mer brukt til å løse likningssystemer i stedet for ulikheter, så du bør ty til å tegne grafer og intervaller. De bringer klarhet, som ikke kan annet enn å bidra til effektiv og rask utførelse av matematiske operasjoner.

Hvis noe ikke fungerer

Mens du studerer et bestemt emne i algebra, kan det naturligvis oppstå problemer med forståelsen av det. Og dette er normalt, fordi hjernen vår er utformet på en slik måte at den ikke er i stand til å forstå komplekst materiale på en gang. Ofte må du lese et avsnitt på nytt, ta hjelp av en lærer eller trene på å løse standardoppgaver. I vårt tilfelle ser de for eksempel slik ut: "Løs systemet med ulikheter 3 x + 1 ≥ 0 og 2 x - 1 > 3." Dermed hjelper personlig lyst, hjelp fra utenforstående og praksis til å forstå et komplekst tema.

Løser?

En løsningsbok egner seg også veldig godt, men ikke for å kopiere lekser, men til selvhjelp. I dem kan du finne systemer med ulikheter med løsninger, se på dem (som maler), prøve å forstå nøyaktig hvordan forfatteren av løsningen taklet oppgaven, og prøv deretter å gjøre det samme på egen hånd.

konklusjoner

Algebra er et av de vanskeligste fagene på skolen. Vel, hva kan du gjøre? Matematikk har alltid vært slik: for noen er det lett, men for andre er det vanskelig. Men uansett bør man huske at det generelle utdanningsprogrammet er bygget opp på en slik måte at enhver student kan takle det. I tillegg må man huske på det enorme antallet assistenter. Noen av dem er nevnt ovenfor.

Løse ulikheter. Det finnes ulike typer ulikheter og krever ulike tilnærminger for å løse dem. Hvis du ikke ønsker å bruke tid og krefter på å løse ulikheter eller løst ulikheten selv og ønsker å sjekke om du fikk riktig svar, så foreslår vi at du løser ulikheter på nett og bruker vår Math24.su-tjeneste til dette. Den løser både lineære og kvadratiske ulikheter, inkludert irrasjonelle og fraksjonelle ulikheter. Sørg for å skrive inn begge sider av ulikheten i de aktuelle feltene og velg ulikhetstegnet mellom dem, og klikk deretter på "Løsning"-knappen. For å demonstrere hvordan tjenesten implementerer løsningen av ulikheter, kan du se ulike typer eksempler og deres løsninger (valgt til høyre for "Løs"-knappen). Tjenesten gir både løsningsintervaller og heltallsverdier. Brukere som kommer til Math24.su for første gang beundrer den høye hastigheten til tjenesten, fordi du kan løse ulikheter online i løpet av sekunder, og du kan bruke tjenesten helt gratis et ubegrenset antall ganger. Tjenestens arbeid er automatisert av et program, ikke en person. Du trenger ikke å installere noen programvare på datamaskinen din, registrere deg, skrive inn personlige data eller e-post. Skrivefeil og beregningsfeil er også utelukket. Resultatet kan stoles 100 % på. Fordeler med å løse ulikheter på nett. Takket være sin høye hastighet og brukervennlighet har Math24.su-tjenesten blitt en pålitelig assistent for mange skolebarn og elever. Ulikheter finnes ofte i skoleplaner og instituttkurs i høyere matematikk, og de som bruker vår nettjeneste får store fordeler fremfor andre. Math24.su er tilgjengelig hele døgnet, krever ikke registrering eller avgifter for bruk, og er også flerspråklig. Netttjenesten bør ikke neglisjeres av de som leter etter løsninger på ulikheter på egenhånd. Tross alt er Math24.su en utmerket mulighet til å sjekke riktigheten av beregningene dine, finne hvor feilen ble gjort og se hvordan ulike typer ulikheter løses. En annen grunn til at det vil være mer effektivt å løse ulikheter på nett er når det å løse ulikheter ikke er hovedoppgaven, men bare en del av det. I dette tilfellet er det rett og slett ingen vits i å bruke mye tid og krefter på beregninger, og det er bedre å overlate det til en online tjeneste, mens du fokuserer på å løse hovedproblemet. Som du kan se, vil den elektroniske tjenesten for å løse ulikheter være nyttig både for de som selvstendig løser denne typen matematiske problemer, og for de som ikke ønsker å kaste bort tid og krefter på lange beregninger, men trenger å raskt få svar. Derfor, når du møter ulikheter, ikke glem å bruke tjenesten vår til å løse eventuelle ulikheter på nettet: lineær, kvadratisk, irrasjonell, trigonometrisk, logaritmisk. Hva er ulikheter og hvordan utpekes de. Ulikhet er baksiden av likhet og er som begrep assosiert med sammenligning av to objekter. Avhengig av egenskapene til objektene som sammenlignes, sier vi høyere, lavere, kortere, lengre, tykkere, tynnere osv. I matematikk går ikke betydningen av ulikheter tapt, men her snakker vi om ulikheter i matematiske objekter: tall, uttrykk, verdier av mengder, figurer, etc. Det er vanlig å bruke flere ulikhetstegn: , ≤, ≥. Matematiske uttrykk med slike tegn kalles ulikheter. Tegnet > (større enn) er plassert mellom større og mindre objekter. Tegnet angir strenge ulikheter. Ikke-strenge ulikheter beskriver situasjonen når ett uttrykk er «ikke mer» («ikke mindre») enn et annet. "Ikke mer" betyr mindre eller det samme, og "ikke mindre" betyr mer eller det samme.

System av ulikheter Det er vanlig å kalle ethvert sett med to eller flere ulikheter som inneholder en ukjent mengde.

Denne formuleringen er tydelig illustrert, for eksempel av det følgende ulikhetssystemer:

Løs ulikhetssystemet - betyr å finne alle verdier av en ukjent variabel der hver ulikhet i systemet er realisert, eller å rettferdiggjøre at slike ikke eksisterer .

Dette betyr at for hver enkelt systemulikheter Vi beregner den ukjente variabelen. Deretter, fra de resulterende verdiene, velger du bare de som er sanne for både den første og andre ulikheten. Derfor, når du erstatter den valgte verdien, blir begge ulikhetene i systemet korrekte.

La oss se på løsningen på flere ulikheter:

La oss plassere et par talllinjer under hverandre; sett verdien på toppen x, som den første ulikheten om ( x> 1) blir sann, og nederst - verdien X, som er løsningen på den andre ulikheten ( X> 4).

Ved å sammenligne dataene på talllinjer, merk at løsningen for begge ulikheter vil X> 4. Svar, X> 4.

Eksempel 2.

Beregner den første ulikhet vi får -3 X< -6, или x> 2, andre - X> -8, eller X < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения X, hvor den første blir realisert ulikhetssystem, og til den nedre talllinjen, alle disse verdiene X, hvor den andre ulikheten i systemet realiseres.

Ved å sammenligne dataene finner vi at begge deler ulikheter vil bli implementert for alle verdier X, plassert fra 2 til 8. Sett med verdier X betegne dobbel ulikhet 2 < X< 8.

Eksempel 3. Vi finner