Dette er et konsept som generaliserer alle mulige operasjoner utført med matriser. Matematisk matrise - tabell over elementer. Om et bord hvor m linjer og n kolonner, sies denne matrisen å ha dimensjonen m på n.
Generell oversikt over matrisen:
Til matriseløsninger det er nødvendig å forstå hva en matrise er og kjenne dens hovedparametre. Hovedelementer i matrisen:
- Hoveddiagonalen, bestående av elementer a 11, a 22…..a mn.
- Sidediagonal bestående av elementer a 1n , a 2n-1 .....a m1.
Hovedtyper av matriser:
- Kvadrat er en matrise der antall rader = antall kolonner ( m=n).
- Null - der alle matriseelementer = 0.
- Transponert matrise - matrise I, som ble hentet fra den opprinnelige matrisen EN ved å erstatte rader med kolonner.
- Enhet - alle elementer i hoveddiagonalen = 1, alle andre = 0.
- En invers matrise er en matrise som, multiplisert med den opprinnelige matrisen, resulterer i en identitetsmatrise.
Matrisen kan være symmetrisk med hensyn til hoved- og sekundærdiagonalene. Det vil si hvis en 12 = en 21, a 13 =a 31,….a 23 =a 32…. a m-ln =a mn-1, da er matrisen symmetrisk om hoveddiagonalen. Bare kvadratiske matriser kan være symmetriske.
Metoder for å løse matriser.
Nesten alle metoder for matriseløsning består i å finne dens determinant n-te orden og de fleste av dem er ganske tungvinte. For å finne determinanten for 2. og 3. orden finnes det andre, mer rasjonelle metoder.
Finne 2. ordens determinanter.
For å beregne determinanten til en matrise EN 2. orden, det er nødvendig å trekke produktet av elementene i den sekundære diagonalen fra produktet av elementene i hoveddiagonalen:
Metoder for å finne 3. ordens determinanter.
Nedenfor er reglene for å finne 3. ordens determinant.
Forenklet trekantregel som en av metoder for matriseløsning, kan avbildes på denne måten:
Med andre ord, produktet av elementer i den første determinanten som er forbundet med rette linjer tas med et "+"-tegn; Også for den andre determinanten tas de tilsvarende produktene med tegnet "-", det vil si i henhold til følgende skjema:
På løse matriser ved å bruke Sarrus sin regel, til høyre for determinanten, legg til de to første kolonnene og produktene til de tilsvarende elementene på hoveddiagonalen og på diagonalene som er parallelle med den er tatt med et "+" -tegn; og produktene av de tilsvarende elementene i sekundærdiagonalen og diagonalene som er parallelle med den, med tegnet "-":
Dekomponere determinanten i en rad eller kolonne ved løsning av matriser.
Determinanten er lik summen av produktene av elementene i raden av determinanten og deres algebraiske komplementer. Vanligvis velges raden/kolonnen som inneholder nuller. Raden eller kolonnen som dekomponeringen utføres langs vil være indikert med en pil.
Redusere determinanten til trekantform ved løsning av matriser.
På løse matriser metode for å redusere determinanten til en trekantet form, fungerer de slik: ved å bruke de enkleste transformasjonene på rader eller kolonner, blir determinanten trekantet i form, og deretter vil verdien, i samsvar med egenskapene til determinanten, være lik produktet av elementene som er på hoveddiagonalen.
Laplaces teorem for løsning av matriser.
Når du løser matriser ved hjelp av Laplaces teorem, må du kjenne til selve teoremet. Laplaces teorem: La Δ - Dette er en determinant n-te orden. Vi velger hvilken som helst k rader (eller kolonner), oppgitt k≤ n - 1. I dette tilfellet, summen av produktene til alle mindreårige k-te rekkefølgen i den valgte k rader (kolonner), ved deres algebraiske komplementer vil være lik determinanten.
Løse den inverse matrisen.
Rekkefølge av handlinger for invers matriseløsninger:
- Bestem om en gitt matrise er kvadratisk. Hvis svaret er negativt, blir det klart at det ikke kan være en invers matrise for det.
- Vi beregner algebraiske komplementer.
- Vi komponerer en unionsmatrise (gjensidig, tilstøtende). C.
- Vi komponerer den inverse matrisen fra algebraiske addisjoner: alle elementer i den adjoint matrisen C dividere med determinanten til den opprinnelige matrisen. Den endelige matrisen vil være den nødvendige inverse matrisen i forhold til den gitte.
- Vi sjekker arbeidet som er utført: multipliser den innledende matrisen og den resulterende matrisen, resultatet skal være en identitetsmatrise.
Løse matrisesystemer.
Til løsninger av matrisesystemer Gaussmetoden brukes oftest.
Gauss-metoden er en standardmetode for å løse systemer med lineære algebraiske ligninger (SLAE) og den består i at variabler elimineres sekvensielt, dvs. ved hjelp av elementære endringer bringes ligningssystemet til et ekvivalent system av trekantet system. form og fra den, sekvensielt, start fra sistnevnte (etter tall), finn hvert element i systemet.
Gauss metode er det mest allsidige og beste verktøyet for å finne matriseløsninger. Hvis et system har et uendelig antall løsninger eller systemet er inkompatibelt, kan det ikke løses ved hjelp av Cramers regel og matrisemetoden.
Gauss-metoden innebærer også direkte (redusere den utvidede matrisen til en trinnvis form, dvs. oppnå nuller under hoveddiagonalen) og revers (oppnå nuller over hoveddiagonalen til den utvidede matrisen). Forovertrekket er Gauss-metoden, det motsatte trekket er Gauss-Jordan-metoden. Gauss-Jordan-metoden skiller seg fra Gauss-metoden bare i rekkefølgen av å eliminere variabler.
Ligninger generelt, lineære algebraiske ligninger og deres systemer, samt metoder for å løse dem, inntar en spesiell plass i matematikk, både teoretisk og anvendt.
Dette skyldes det faktum at de aller fleste fysiske, økonomiske, tekniske og til og med pedagogiske problemer kan beskrives og løses ved hjelp av en rekke ligninger og deres systemer. Nylig har matematisk modellering vunnet særlig popularitet blant forskere, forskere og praktikere innen nesten alle fagområder, noe som forklares med dens åpenbare fordeler i forhold til andre velkjente og utprøvde metoder for å studere objekter av forskjellig natur, spesielt det såkalte komplekset. systemer. Det er et stort utvalg av forskjellige definisjoner av en matematisk modell gitt av forskere til forskjellige tider, men etter vår mening er den mest vellykkede følgende uttalelsen. En matematisk modell er en idé uttrykt ved en ligning. Dermed er evnen til å komponere og løse ligninger og deres systemer en integrert egenskap for en moderne spesialist.
For å løse systemer med lineære algebraiske ligninger er de mest brukte metodene Cramer, Jordan-Gauss og matrisemetoden.
Matriseløsningsmetode er en metode for å løse systemer med lineære algebraiske ligninger med en determinant som ikke er null ved å bruke en invers matrise.
Hvis vi skriver ut koeffisientene for de ukjente mengdene xi i matrise A, samler de ukjente mengdene i vektorkolonnen X, og de frie leddene i vektorkolonnen B, så kan systemet med lineære algebraiske ligninger skrives i form av følgende matriseligning A · X = B, som har en unik løsning bare når determinanten til matrise A ikke er lik null. I dette tilfellet kan løsningen til ligningssystemet finnes på følgende måte X = EN-1 · B, Hvor EN-1 er den inverse matrisen.
Matriseløsningsmetoden er som følger.
La oss få et system av lineære ligninger med n ukjent:
Det kan skrives om i matriseform: ØKS = B, Hvor EN- hovedmatrisen til systemet, B Og X- kolonner med henholdsvis gratis vilkår og løsninger for systemet:
La oss multiplisere denne matriseligningen fra venstre med EN-1 - matrise invers av matrise EN: EN -1 (ØKS) = EN -1 B
Fordi EN -1 EN = E, vi får X= A -1 B. Høyre side av denne ligningen vil gi løsningskolonnen til det opprinnelige systemet. Betingelsen for anvendeligheten av denne metoden (så vel som den generelle eksistensen av en løsning til et inhomogent system av lineære ligninger med antall ligninger lik antall ukjente) er ikke-degenerasjonen til matrisen EN. En nødvendig og tilstrekkelig betingelse for dette er at determinanten til matrisen ikke er lik null EN:det EN≠ 0.
For et homogent system av lineære ligninger, det vil si når vektoren B = 0 , faktisk den motsatte regelen: systemet ØKS = 0 har en ikke-triviell (det vil si ikke-null) løsning bare hvis det EN= 0. En slik sammenheng mellom løsninger av homogene og inhomogene systemer av lineære ligninger kalles Fredholm-alternativet.
Eksempel løsninger til et inhomogent system av lineære algebraiske ligninger.
La oss sørge for at determinanten til matrisen, sammensatt av koeffisientene til de ukjente til systemet med lineære algebraiske ligninger, ikke er lik null.
Det neste trinnet er å beregne de algebraiske komplementene for elementene i matrisen som består av koeffisientene til de ukjente. De vil være nødvendige for å finne den inverse matrisen.
Matrisemetode SLAU løsninger brukes til å løse ligningssystemer der antall ligninger tilsvarer antall ukjente. Metoden brukes best for å løse lavordenssystemer. Matrisemetoden for å løse systemer av lineære ligninger er basert på anvendelsen av egenskapene til matrisemultiplikasjon.
Denne metoden, med andre ord invers matrisemetode, så kalt fordi løsningen reduserer til en vanlig matriseligning, for å løse den må du finne den inverse matrisen.
Matriseløsningsmetode En SLAE med en determinant som er større eller mindre enn null er som følger:
Anta at det er en SLE (system av lineære ligninger) med n ukjent (over et vilkårlig felt):
Dette betyr at det enkelt kan konverteres til matriseform:
AX=B, Hvor EN— hovedmatrisen til systemet, B Og X– kolonner med henholdsvis gratis vilkår og løsninger for systemet:
La oss multiplisere denne matriseligningen fra venstre med A−1— invers matrise til matrise A: A −1 (AX)=A −1 B.
Fordi A −1 A=E, Midler, X=A −1 B. Høyre side av ligningen gir løsningskolonnen til det opprinnelige systemet. Betingelsen for anvendeligheten av matrisemetoden er at matrisen ikke er degenerert EN. En nødvendig og tilstrekkelig betingelse for dette er at determinanten til matrisen ikke er lik null EN:
detA≠0.
Til homogent system av lineære ligninger, dvs. hvis vektor B=0, gjelder den motsatte regelen: systemet AX=0 det er en ikke-triviell (dvs. ikke lik null) løsning bare når detA=0. Denne forbindelsen mellom løsninger av homogene og inhomogene systemer av lineære ligninger kalles Fredholm alternativ.
Således utføres løsningen av SLAE ved bruk av matrisemetoden i henhold til formelen 
. Eller løsningen på SLAE finnes ved hjelp av invers matrise A−1.
Det er kjent at for en kvadratisk matrise EN rekkefølge n på n det er en invers matrise A−1 bare hvis determinanten ikke er null. Dermed systemet n lineære algebraiske ligninger med n Vi løser ukjente ved hjelp av matrisemetoden bare hvis determinanten til hovedmatrisen til systemet ikke er lik null.
Til tross for at det er begrensninger for anvendeligheten av en slik metode og vanskelighetene med beregninger for store verdier av koeffisienter og høyordenssystemer, kan metoden enkelt implementeres på en datamaskin.
Et eksempel på å løse en ikke-homogen SLAE.
Først, la oss sjekke om determinanten til koeffisientmatrisen til ukjente SLAEer ikke er lik null.
Nå finner vi fagforeningsmatrise, transponer den og sett den inn i formelen for å bestemme den inverse matrisen.
Bytt ut variablene i formelen:
Nå finner vi de ukjente ved å multiplisere den inverse matrisen og kolonnen med frie ledd.
Så, x=2; y=1; z=4.
Når du går fra den vanlige formen for SLAE til matriseformen, vær forsiktig med rekkefølgen på de ukjente variablene i systemets likninger. For eksempel:
Det KAN IKKE skrives som:
Det er først nødvendig å bestille de ukjente variablene i hver ligning i systemet og først etter det fortsette til matrisenotasjon:
I tillegg må du være forsiktig med utpekingen av ukjente variabler, i stedet x 1, x 2, …, x n det kan være andre bokstaver. F.eks:
i matriseform skriver vi det slik:
Matrisemetoden er bedre for å løse systemer med lineære ligninger der antall ligninger sammenfaller med antall ukjente variabler og determinanten til hovedmatrisen til systemet ikke er lik null. Når det er mer enn 3 ligninger i systemet, vil det å finne den inverse matrisen kreve mer beregningsinnsats, derfor er det i dette tilfellet tilrådelig å bruke Gauss-metoden for å løse.
Denne online kalkulatoren løser et system med lineære ligninger ved hjelp av matrisemetoden. En meget detaljert løsning er gitt. For å løse et system med lineære ligninger, velg antall variabler. Velg en metode for å beregne den inverse matrisen. Skriv deretter inn dataene i cellene og klikk på "Beregn"-knappen.
×
Advarsel
Vil du slette alle celler?
Lukk Slett
Instruksjoner for dataregistrering. Tall legges inn som heltall (eksempler: 487, 5, -7623 osv.), desimaler (eks. 67., 102.54 osv.) eller brøker. Brøken må angis på formen a/b, der a og b er heltall eller desimaler. Eksempler 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 osv.
Matrisemetode for å løse systemer av lineære ligninger
Tenk på følgende system med lineære ligninger:
Gitt definisjonen av en invers matrise, har vi EN −1 EN=E, Hvor E- identitetsmatrise. Derfor kan (4) skrives som følger:
For å løse systemet med lineære ligninger (1) (eller (2)), er det nok å multiplisere inversen til EN matrise per begrensningsvektor b.
Eksempler på løsning av et system med lineære ligninger ved hjelp av matrisemetoden
Eksempel 1. Løs følgende system med lineære ligninger ved å bruke matrisemetoden:
La oss finne inversen til matrise A ved å bruke Jordan-Gauss-metoden. På høyre side av matrisen EN La oss skrive identitetsmatrisen:
La oss ekskludere elementene i den første kolonnen i matrisen under hoveddiagonalen. For å gjøre dette, legg til linjene 2,3 med linje 1, multiplisert med henholdsvis -1/3, -1/3:
La oss ekskludere elementene i den andre kolonnen i matrisen under hoveddiagonalen. For å gjøre dette, legg til linje 3 med linje 2 multiplisert med -24/51:
La oss ekskludere elementene i den andre kolonnen i matrisen over hoveddiagonalen. For å gjøre dette, legg til linje 1 med linje 2 multiplisert med -3/17:
Skill høyre side av matrisen. Den resulterende matrisen er den inverse matrisen til EN :
Matriseform for å skrive et system med lineære ligninger: Ax=b, Hvor
La oss beregne alle algebraiske komplementer til matrisen EN:
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 .
|
Den inverse matrisen beregnes fra følgende uttrykk.
I den første delen så vi på noe teoretisk materiale, substitusjonsmetoden, samt metoden for ledd-for-ledd addisjon av systemligninger. Jeg anbefaler alle som har besøkt siden gjennom denne siden å lese den første delen. Kanskje noen besøkende vil finne materialet for enkelt, men i prosessen med å løse systemer med lineære ligninger kom jeg med en rekke svært viktige kommentarer og konklusjoner angående løsning av matematiske problemer generelt.
Nå skal vi analysere Cramers regel, samt løse et system av lineære ligninger ved å bruke en invers matrise (matrisemetode). Alt materiell presenteres enkelt, detaljert og tydelig, nesten alle lesere vil kunne lære å løse systemer ved hjelp av metodene ovenfor.
Først skal vi se nærmere på Cramers regel for et system med to lineære ligninger i to ukjente. For hva? – Tross alt kan det enkleste systemet løses ved hjelp av skolemetoden, metoden med termin-for-termin addisjon!
Faktum er at, om enn noen ganger, oppstår en slik oppgave - å løse et system med to lineære ligninger med to ukjente ved å bruke Cramers formler. For det andre vil et enklere eksempel hjelpe deg å forstå hvordan du bruker Cramers regel for et mer komplekst tilfelle - et system med tre ligninger med tre ukjente.
I tillegg er det systemer med lineære ligninger med to variabler, som er tilrådelig å løse ved hjelp av Cramers regel!
Tenk på ligningssystemet
På første trinn beregner vi determinanten, heter det hoveddeterminanten for systemet.
Gauss metode.
Hvis , så har systemet en unik løsning, og for å finne røttene må vi beregne ytterligere to determinanter:
Og
I praksis kan de ovennevnte kvalifiseringene også betegnes med en latinsk bokstav.
Vi finner røttene til ligningen ved å bruke formlene:
,
Eksempel 7
Løs et system med lineære ligninger 
Løsning: Vi ser at koeffisientene til ligningen er ganske store på høyre side er det desimalbrøker med komma. Kommaet er en ganske sjelden gjest i praktiske oppgaver i matematikk. Jeg tok dette systemet fra et økonometrisk problem.
Hvordan løse et slikt system? Du kan prøve å uttrykke en variabel i form av en annen, men i dette tilfellet vil du sannsynligvis ende opp med forferdelige fancy brøker som er ekstremt upraktiske å jobbe med, og utformingen av løsningen vil se rett og slett forferdelig ut. Du kan multiplisere den andre ligningen med 6 og subtrahere ledd for ledd, men de samme brøkene vil også oppstå her.
Hva å gjøre? I slike tilfeller kommer Cramers formler til unnsetning.
;
;
Svar: ,
Begge røttene har uendelige haler og finnes omtrentlig, noe som er ganske akseptabelt (og til og med vanlig) for økonometriske problemer.
Kommentarer er ikke nødvendig her, siden oppgaven løses ved hjelp av ferdige formler, men det er ett forbehold. Når du bruker denne metoden, obligatorisk Et fragment av oppgavedesignet er følgende fragment: "Dette betyr at systemet har en unik løsning". Ellers kan anmelderen straffe deg for å ikke respektere Cramers teorem.
Det ville ikke være overflødig å sjekke, noe som enkelt kan utføres på en kalkulator: vi erstatter omtrentlige verdier på venstre side av hver ligning i systemet. Som et resultat, med en liten feil, bør du få tall som er på høyre side.
Eksempel 8
Presenter svaret i vanlige uekte brøker. Gjør en sjekk.
Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd (et eksempel på det endelige designet og svaret på slutten av leksjonen).
La oss gå videre til å vurdere Cramers regel for et system med tre ligninger med tre ukjente: 
Vi finner hoveddeterminanten for systemet: 
Hvis , så har systemet uendelig mange løsninger eller er inkonsekvent (har ingen løsninger). I dette tilfellet vil ikke Cramers regel hjelpe du trenger å bruke Gauss-metoden.
Hvis , så har systemet en unik løsning, og for å finne røttene må vi beregne ytterligere tre determinanter: 
, 
, 
Og til slutt beregnes svaret ved hjelp av formlene: 
Som du kan se, er "tre ganger tre"-tilfellet fundamentalt ikke forskjellig fra "to og to"-tilfellet, "går" sekvensielt fra venstre til høyre langs kolonnene til hoveddeterminanten.
Eksempel 9
Løs systemet ved å bruke Cramers formler. 
Løsning: La oss løse systemet ved å bruke Cramers formler. 
, som betyr at systemet har en unik løsning.
Svar: 
.
Her er det faktisk ikke noe spesielt å kommentere, på grunn av at løsningen følger ferdige formler. Men det er et par kommentarer.
Det hender at som et resultat av beregninger oppnås "dårlige" irreduserbare fraksjoner, for eksempel: .
Jeg anbefaler følgende "behandlings"-algoritme. Hvis du ikke har en datamaskin for hånden, gjør dette:
1) Det kan være feil i beregningene. Så snart du møter en "dårlig" brøkdel, må du umiddelbart sjekke Er betingelsen omskrevet riktig?. Hvis betingelsen skrives om uten feil, må du beregne determinantene på nytt ved å bruke utvidelse i en annen rad (kolonne).
2) Hvis ingen feil blir identifisert som et resultat av sjekking, har det mest sannsynlig vært en skrivefeil i oppgavebetingelsene. I dette tilfellet jobbe rolig og NØYE gjennom oppgaven til slutten, og deretter sørg for å sjekke og vi tegner det opp på et rent ark etter vedtaket. Å sjekke et brøksvar er selvfølgelig en ubehagelig oppgave, men det vil være et avvæpnende argument for læreren, som virkelig liker å gi minus for noe tull som . Hvordan håndtere brøker er beskrevet i detalj i svaret på eksempel 8.
Hvis du har en datamaskin for hånden, så bruk et automatisert program for å sjekke, som kan lastes ned gratis helt i begynnelsen av leksjonen. Forresten, det er mest lønnsomt å bruke programmet med en gang (selv før du starter løsningen vil du umiddelbart se mellomtrinnet der du gjorde en feil); Den samme kalkulatoren beregner automatisk løsningen til systemet ved hjelp av matrisemetoden.
Andre bemerkning. Fra tid til annen er det systemer i ligningene hvor noen variabler mangler, for eksempel: 
Her i den første ligningen er det ingen variabel, i den andre er det ingen variabel. I slike tilfeller er det svært viktig å skrive ned hoveddeterminanten riktig og NØYE: 
– Nuller plasseres i stedet for manglende variabler.
Det er forresten rasjonelt å åpne determinanter med nuller i henhold til raden (kolonnen) der nullen er plassert, siden det er merkbart færre beregninger.
Eksempel 10
Løs systemet ved å bruke Cramers formler. 
Dette er et eksempel på en uavhengig løsning (et utvalg av det endelige designet og svaret på slutten av leksjonen).
For tilfellet med et system med 4 ligninger med 4 ukjente, er Cramers formler skrevet i henhold til lignende prinsipper. Du kan se et levende eksempel i leksjonen Egenskaper til determinanter. Redusere rekkefølgen til determinanten - fem fjerde ordens determinanter er ganske løsbare. Selv om oppgaven allerede minner mye om en professorsko på brystet til en heldig student.
Løse systemet ved hjelp av en invers matrise
Den inverse matrisemetoden er i hovedsak et spesialtilfelle matriseligning(Se eksempel nr. 3 i den angitte leksjonen).
For å studere denne delen må du kunne utvide determinanter, finne inversen til en matrise og utføre matrisemultiplikasjon. Relevante lenker vil bli gitt etter hvert som forklaringene skrider frem.
Eksempel 11
Løs systemet ved hjelp av matrisemetoden 
Løsning: La oss skrive systemet i matriseform:
, Hvor 
Vennligst se på systemet med likninger og matriser. Jeg tror alle forstår prinsippet som vi skriver elementer inn i matriser etter. Den eneste kommentaren: hvis noen variabler manglet i ligningene, måtte nuller plasseres på de tilsvarende stedene i matrisen.
Vi finner den inverse matrisen ved å bruke formelen:
, hvor er den transponerte matrisen av algebraiske komplementer til de tilsvarende elementene i matrisen.
La oss først se på determinanten:
Her utvides determinanten på første linje.
Merk følgende! Hvis , eksisterer ikke den inverse matrisen, og det er umulig å løse systemet ved hjelp av matrisemetoden. I dette tilfellet løses systemet med metoden for å eliminere ukjente (Gauss-metoden).
Nå må vi beregne 9 mindreårige og skrive dem inn i mindreårige matrisen 
Henvisning: Det er nyttig å vite betydningen av doble abonnenter i lineær algebra. Det første sifferet er nummeret på linjen der elementet er plassert. Det andre sifferet er nummeret på kolonnen der elementet er plassert: 
Det vil si at en dobbel subscript indikerer at elementet er i første rad, tredje kolonne, og for eksempel elementet er i 3. rad, 2. kolonne