Treghetsmoment
For å beregne treghetsmomentet, må vi mentalt dele kroppen inn i tilstrekkelig små elementer, hvis punkter kan anses å ligge i samme avstand fra rotasjonsaksen, og deretter finne produktet av massen til hvert element ved kvadratet av avstanden fra aksen og summerer til slutt alle de resulterende produktene. Det er klart at dette er en veldig tidkrevende oppgave. Å telle
Treghetsmomentene til legemer med vanlig geometrisk form kan brukes i en rekke tilfeller ved bruk av metoder for integralregning.
Vi vil erstatte bestemmelsen av den endelige summen av treghetsmomenter til kroppselementene ved å summere et uendelig stort antall treghetsmomenter beregnet for uendelig små elementer:
lim i = 1 ∞ ΣΔm i r i 2 = ∫r 2 dm. (på Δm → 0).
La oss beregne treghetsmomentet til en homogen skive eller en solid sylinder med en høyde h i forhold til dens symmetriakse
La oss dele disken inn i elementer i form av tynne konsentriske ringer med sentre på symmetriaksen. De resulterende ringene har en indre diameter r og eksterne r+dr, og høyden h. Fordi dr<< r
, så kan vi anta at avstanden til alle punktene i ringen fra aksen er lik r.
For hver enkelt ring, treghetsmomentet
i = ΣΔmr 2 = r 2 ΣΔm,
Hvor ΣΔm− masse av hele ringen.
Ringevolum 2πrhdr. Hvis tettheten av diskmaterialet ρ
, deretter massen til ringen
ρ2πrhdr.
Ringens treghetsmoment
i = 2πρt 3 dr.
For å beregne treghetsmomentet til hele disken, er det nødvendig å summere treghetsmomentene til ringene fra midten av disken ( r = 0) til kanten av det ( r = R), dvs. beregne integralet:
I = 2πρh 0 R ∫r 3 dr,
eller
I = (1/2)πρhR 4.
Men massen til disken m = ρπhR 2, derfor,
I = (1/2)mR2.
La oss presentere (uten beregning) treghetsmomentene for noen kropper med vanlig geometrisk form, laget av homogene materialer 
1.
Treghetsmomentet til en tynn ring i forhold til en akse som går gjennom dens sentrum vinkelrett på planet (eller en tynnvegget hul sylinder i forhold til dens symmetriakse):
I = mR 2.
2.
Treghetsmoment for en tykkvegget sylinder i forhold til symmetriaksen:
I = (1/2)m(R 1 2 − R 2 2)
Hvor R 1− intern og R 2− ytre radier.
3.
Treghetsmomentet til skiven i forhold til en akse som faller sammen med en av dens diametre:
I = (1/4)mR2.
4.
Treghetsmomentet til en solid sylinder i forhold til en akse vinkelrett på generatrisen og som går gjennom midten:
I = m(R 2 /4 + h 2 /12)
Hvor R− radius til sylinderbasen, h− høyden på sylinderen.
5.
Treghetsmoment for en tynn stang i forhold til en akse som går gjennom midten:
I = (1/12)ml 2,
Hvor l− lengden på stangen.
6.
Treghetsmoment for en tynn stang i forhold til en akse som går gjennom en av endene:
I = (1/3)ml 2
7. Treghetsmomentet til kulen i forhold til en akse som sammenfaller med en av dens diametre:
I = (2/5)mR2.
Hvis treghetsmomentet til et legeme er kjent om en akse som går gjennom massesenteret, kan treghetsmomentet rundt en hvilken som helst annen akse parallelt med den første finnes på grunnlag av den såkalte Huygens-Steiner-setningen.
Kroppens treghetsmoment Jeg i forhold til enhver akse er lik treghetsmomentet til kroppen Er i forhold til en akse parallelt med den gitte og som går gjennom kroppens massesenter, pluss kroppens masse m, multiplisert med kvadratet av avstanden l mellom akser:
I = I c + ml 2.
Som et eksempel, la oss beregne treghetsmomentet til en kule med radius R og masse m, opphengt på en gjenge med lengde l, i forhold til en akse som går gjennom opphengspunktet OM. Massen på tråden er liten sammenlignet med massen til ballen. Siden treghetsmomentet til ballen i forhold til aksen som går gjennom massesenteret Ic = (2/5)mR2, og avstanden
mellom akser ( l + R), deretter treghetsmomentet om aksen som går gjennom opphengspunktet:
I = (2/5)mR2 + m(l + R) 2.
Dimensjon av treghetsmoment:
[I] = [m] × = ML 2.
Applikasjon. Treghetsmoment og dets beregning.
La den stive kroppen rotere rundt Z-aksen (Figur 6). Det kan representeres som et system av forskjellige materialpunkter m i som ikke endres over tid, som hver beveger seg i en sirkel med en radius r jeg, liggende i et plan vinkelrett på Z-aksen. Vinkelhastighetene til alle materialpunkter er de samme. Treghetsmomentet til et legeme i forhold til Z-aksen er mengden:
Hvor 
– treghetsmoment for et enkelt materialpunkt i forhold til OZ-aksen. Det følger av definisjonen at treghetsmomentet er additiv mengde, dvs. treghetsmomentet til et legeme som består av enkeltdeler er lik summen av delenes treghetsmomenter.
Figur 6
Åpenbart, [ Jeg] = kg×m 2. Betydningen av begrepet treghetsmoment uttrykkes i tre formler:
; 
; 
.
Den første av dem uttrykker vinkelmomentet til et legeme som roterer rundt en fast akse Z (det er nyttig å sammenligne denne formelen med uttrykket for momentumet til et legeme P = mV c, Hvor Vc– massesenterets hastighet). Den andre formelen kalles den grunnleggende ligningen for dynamikken i rotasjonsbevegelsen til et legeme rundt en fast akse, dvs. med andre ord Newtons andre lov for rotasjonsbevegelse (sammenlign med bevegelsesloven til massesenteret: 
). Den tredje formelen uttrykker den kinetiske energien til et legeme som roterer rundt en fast akse (sammenlign med uttrykket for den kinetiske energien til en partikkel 
). En sammenligning av formlene lar oss konkludere med at treghetsmomentet i rotasjonsbevegelse spiller en rolle som ligner masse i den forstand at jo større treghetsmomentet til et legeme, jo mindre vinkelakselerasjon får det, alt annet likt ( kroppen, billedlig talt, er vanskeligere å spinne). I virkeligheten kommer beregningen av treghetsmomenter ned til å beregne trippelintegralet og kan bare gjøres for et begrenset antall symmetriske legemer og bare for symmetriakser. Antall akser som et legeme kan rotere rundt er uendelig stort. Blant alle aksene er den som skiller seg ut den som passerer gjennom et bemerkelsesverdig punkt på kroppen - massesenter
(et punkt, for å beskrive bevegelsen hvis det er nok å forestille seg at hele systemets masse er konsentrert i massesenteret og en kraft lik summen av alle krefter påføres til dette punktet). Men det er også uendelig mange akser som går gjennom massesenteret. Det viser seg at for ethvert solid legeme med vilkårlig form er det tre innbyrdes vinkelrette akser C x, C y, C z, kalt akser for fri rotasjon
, som har en bemerkelsesverdig egenskap: hvis et legeme blir vridd rundt noen av disse aksene og kastet opp, vil aksen under den påfølgende bevegelsen av kroppen forbli parallell med seg selv, dvs. vil ikke ramle. Vridning rundt en hvilken som helst annen akse har ikke denne egenskapen. Verdiene av treghetsmomentene til typiske legemer rundt de angitte aksene er gitt nedenfor. Hvis aksen går gjennom massesenteret, men lager vinklene a, b, g med aksene C x, C y, C z Følgelig er treghetsmomentet rundt en slik akse lik
I c = I cx cos 2 a + I cy cos 2 b + I cz cos 2 g (*)
La oss kort vurdere beregningen av treghetsmomentet for de enkleste kroppene.
1.Treghetsmomentet til en lang tynn homogen stav rundt en akse som går gjennom stangens massesenter og vinkelrett på den.
La T - stangmasse, l – dens lengde.
, 
Indeks " Med» i treghetsøyeblikket jeg c betyr at dette er treghetsmomentet rundt aksen som går gjennom punktet til massesenteret (kroppens symmetrisenter), C(0,0,0).
2. Treghetsmoment av en tynn rektangulær plate.
; 
;
3. Treghetsmoment av et rektangulært parallellepiped.
, t. C(0,0,0)
4. Treghetsmoment av en tynn ring.
;
, t. C(0,0,0)
5. Treghetsmoment for en tynn skive.
På grunn av symmetri
; 
;
6. Treghetsmoment for en solid sylinder.
;
På grunn av symmetri:
7. Treghetsmoment for en solid kule.
, t. C(0,0,0)
8. Treghetsmoment av en solid kjegle.
, t. C(0,0,0)
Hvor R- radius av basen, h– høyden på kjeglen.
Husk at cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1. Til slutt, hvis O-aksen ikke passerer gjennom massesenteret, kan treghetsmomentet til kroppen beregnes ved å bruke Huygens Steiner-setningen
I o = I s + md 2, (**)
Hvor jeg o– kroppens treghetsmoment i forhold til en vilkårlig akse, Er- treghetsmoment om en akse parallelt med det, som går gjennom massesenteret,
m- kroppsmasse, d– avstand mellom akser.
Prosedyren for å beregne treghetsmomenter for legemer med standardform i forhold til en vilkårlig akse er redusert til følgende.
La oss nå vurdere problemet bestemme treghetsmomentet ulike organer. Generell formel for å finne treghetsmoment objekt i forhold til z-aksen har formen
Med andre ord, du må legge sammen alle massene, multiplisere hver av dem med kvadratet på avstanden til aksen (x 2 i + y 2 i). Legg merke til at dette gjelder selv for en tredimensjonal kropp, selv om avstanden har et slikt "todimensjonalt utseende". Imidlertid vil vi i de fleste tilfeller begrense oss til todimensjonale kropper.
Som et enkelt eksempel, betrakt en stang som roterer rundt en akse som går gjennom enden og vinkelrett på den (fig. 19.3). Vi må nå summere alle massene multiplisert med kvadratene av avstanden x (i dette tilfellet er alle y null). Med sum mener jeg selvfølgelig integralet av x 2 multiplisert med "elementene" av masse. Hvis vi deler stangen i stykker med lengde dx, vil det tilsvarende masseelementet være proporsjonalt med dx, og hvis dx var lengden på hele stangen, ville massen være lik M. Derfor
Dimensjonen til treghetsmomentet er alltid lik massen ganger kvadratet av lengden, så den eneste signifikante størrelsen vi har beregnet er faktoren 1/3.
Hva vil treghetsmomentet jeg være lik hvis rotasjonsaksen går gjennom midten av stangen? For å finne det, må vi igjen ta integralet, men denne gangen i området fra -1/2L til +1/2L. La oss imidlertid merke oss ett trekk ved denne saken. En slik stang med en akse som går gjennom midten kan tenkes som to stenger med en akse som går gjennom enden, hver av dem har en masse på M/2 og en lengde på L/2. Treghetsmomentene til to slike stenger er lik hverandre og beregnes ved hjelp av formel (19.5). Derfor er treghetsmomentet til hele stangen lik
Dermed er det mye lettere å vri stangen på midten enn ved enden.
Vi kan selvfølgelig fortsette å beregne treghetsmomentene til andre kropper av interesse for oss. Men siden slike beregninger krever mye erfaring med å beregne integraler (som er veldig viktig i seg selv), er de ikke av stor interesse for oss som sådan. Imidlertid er det noen veldig interessante og nyttige teoremer her. La det være litt kropp og vi vil vite det treghetsmoment om en eller annen akse. Dette betyr at vi ønsker å finne dens treghet når vi roterer rundt denne aksen. Hvis vi beveger kroppen ved at stangen støtter massesenteret slik at den ikke snur når den roterer rundt sin akse (i dette tilfellet virker ingen treghetskrefter på den, så kroppen vil ikke snu når vi begynner å bevege den) , så for å snu den, vil nøyaktig samme kraft være nødvendig som om all massen var konsentrert i massesenteret og treghetsmomentet rett og slett var lik I 1 = MR 2 c.m. , hvor R c.m er avstanden fra massesenteret til rotasjonsaksen. Imidlertid er denne formelen selvfølgelig feil. Det gir ikke det riktige treghetsmomentet til kroppen. Tross alt, i virkeligheten, når du snur, roterer kroppen. Ikke bare roterer massesenteret (noe som ville gitt verdien I 1), kroppen selv må også rotere i forhold til massesenteret. Til treghetsmomentet I 1 må du altså legge til I c - treghetsmomentet i forhold til massesenteret. Det riktige svaret er at treghetsmomentet om enhver akse er lik
Denne teoremet kalles parallellakse-translasjonsteoremet. Det kan bevises veldig enkelt. Treghetsmomentet om enhver akse er lik summen av massene multiplisert med summen av kvadratene av x og y, dvs. I = Σm i (x 2 i + y 2 i). Vi vil nå fokusere oppmerksomheten på x, men alt kan gjentas nøyaktig for y. La x-koordinaten være avstanden til dette bestemte punktet fra origo; La oss imidlertid se hvordan alt endres hvis vi måler avstanden x` fra massesenteret i stedet for x fra origo. For å finne ut må vi skrive
x i = x` i + X c.m.
Kvadring av dette uttrykket finner vi
x 2 i = x` 2 i + 2X c.m. x` i + X 2 c.m.
Hva skjer hvis du ganger det med m i og summerer det over hele r? Ved å ta konstante mengder utover summeringstegnet finner vi
I x = Σm i x` 2 i + 2X c.m. Σm i x` i + X2 c.m. Σm jeg
Det tredje beløpet er enkelt å beregne; det er bare MX 2 c.m. . Det andre leddet består av to faktorer, hvorav den ene er Σm i x` i ; den er lik x`-koordinaten til massesenteret. Men dette bør være lik null, fordi x' måles fra massesenteret, og i dette koordinatsystemet er gjennomsnittsposisjonen til alle partiklene, veid av massene deres, lik null. Det første leddet representerer åpenbart del x av I c. Dermed kommer vi til formel (19.7).
La oss sjekke formel (19.7) ved å bruke ett eksempel. La oss bare sjekke om det vil være aktuelt for stanga. Vi har allerede funnet at treghetsmomentet til stangen i forhold til dens ende bør være lik ML 2/3. Og massesenteret til stangen er selvfølgelig i en avstand L/2. Dermed bør vi få at ML 2 /3=ML 2 /12+M(L/2) 2. Siden en fjerdedel + en tolvtedel = en tredjedel, så har vi ikke gjort noen feil.
For å finne treghetsmomentet (19,5) er det forresten slett ikke nødvendig å beregne integralet. Du kan ganske enkelt anta at den er lik verdien av ML 2 multiplisert med en ukjent koeffisient γ. Etter dette kan du bruke resonnement om to halvdeler og få en koeffisient på 1/4γ for treghetsmomentet (19.6). Ved å bruke nå teoremet om parallell translasjon av aksen, beviser vi at γ = 1/4γ + 1/4, hvorav γ = 1/3. Du kan alltid finne en rundkjøring!
Ved bruk av parallellaksesetningen er det viktig å huske at I-aksen må være parallell med aksen som vi ønsker å beregne treghetsmomentet rundt.
Det er kanskje verdt å nevne en egenskap til, som ofte er svært nyttig for å finne treghetsmomentet til visse typer kropper. Det er som følger: hvis vi har en plan figur og en trippel av koordinatakser med origo plassert i dette planet og z-aksen rettet vinkelrett på det, så er treghetsmomentet til denne figuren i forhold til z-aksen lik summen av treghetsmomentene i forhold til x- og y-aksene. Dette kan bevises ganske enkelt. Legg merke til det
Treghetsmomentet til en homogen rektangulær plate, for eksempel med masse M, bredde ω og lengde L om en akse vinkelrett på den og som går gjennom dens sentrum, er ganske enkelt
siden treghetsmomentet i forhold til aksen som ligger i platens plan og parallelt med dens lengde er lik Mω 2 /12, dvs. nøyaktig det samme som for en stang med lengde ω, og treghetsmomentet i forhold til en annen akse i samme plan er lik ML 2 / 12, det samme som for en stang med lengde L.
Så, la oss liste egenskapene til treghetsmomentet om en gitt akse, som vi vil kalle z-aksen:
1. Treghetsmomentet er lik
2. Hvis et objekt består av flere deler, og treghetsmomentet til hver av dem er kjent, så er det totale treghetsmomentet lik summen av treghetsmomentene til disse delene.
3. Treghetsmomentet om en gitt akse er lik treghetsmomentet om en parallell akse som går gjennom massesenteret, pluss produktet av den totale massen og kvadratet på avstanden til den gitte aksen fra massesenteret .
4. Treghetsmomentet til en plan figur i forhold til en akse vinkelrett på planet er lik summen av treghetsmomentene i forhold til to andre innbyrdes vinkelrette akser som ligger i figurens plan og skjærer den vinkelrette aksen.
I tabellen Tabell 19.1 viser treghetsmomentene til noen elementære figurer med ensartet massetetthet, og tabell. 19,2 - treghetsmomenter for noen figurer, som kan hentes fra tabellen. 19.1 ved å bruke egenskapene som er oppført ovenfor.
Legemer i forhold til enhver akse kan bli funnet ved beregning. Hvis materien i et legeme er distribuert kontinuerlig, reduseres beregningen av treghetsmomentet til å beregne integralet
i hvilken r- avstand fra masseelement dm til rotasjonsaksen.
Treghetsmoment av en tynn homogen stav om en vinkelrett akse. La aksen passere gjennom enden av stangen EN(Fig. 4.4).
For treghetsøyeblikket kan vi skrive I A = kml 2 hvor l- stanglengde, k- proporsjonalitetskoeffisient. Sentrum av stangen MED er dens massesenter. I følge Steiners teorem I A = I C + m(l/2) 2 . Størrelse jeg C kan representeres som summen av treghetsmomentene til to stenger, SA Og NE, lengden på hver av dem er lik l/2, masse m/2, og derfor er treghetsmomentet således, I C = km(l/ 2) 2 . Ved å erstatte disse uttrykkene i formelen for Steiners teorem får vi
,
hvor k = 1/3. Som et resultat finner vi
(4.16)
Treghetsmoment av en uendelig tynn sirkulær ring(sirkler). Treghetsmoment om aksen Z(Fig. 4.5) er lik
IZ = mR 2 , (4.17)
Hvor R- ringens radius. På grunn av symmetri I X = I Y.
Formel (4.17) gir åpenbart også treghetsmomentet til en hul homogen sylinder med uendelig tynne vegger i forhold til dens geometriske akse.
Ris. 4.5 Fig. 4.6
Treghetsmoment av en uendelig tynn skive og en solid sylinder. Det antas at skiven og sylinderen er homogene, det vil si at stoffet er fordelt i dem med en konstant tetthet. La aksen Z går gjennom midten av disken MED vinkelrett på planet (fig. 4.6). Tenk på en uendelig tynn ring med en indre radius r og ytre radius r+dr. Området til en slik ring dS = 2 s rdr. Treghetsmomentet kan finnes i henhold til formel (4.17), det er lik dIz = r 2 dm. Treghetsmomentet til hele skiven bestemmes av integralet På grunn av diskens homogenitet dm = 
, Hvor S= s R 2 er arealet av hele disken. Ved å introdusere dette uttrykket under integrertegnet, får vi
(4.18)
Formel (4.18) gir også treghetsmomentet til en homogen solid sylinder i forhold til dens langsgående geometriske akse.
Beregning av treghetsmomentet til et legeme i forhold til en akse kan ofte forenkles ved først å beregne treghetsmoment hans i forhold til punktet. Treghetsmomentet til en kropp i forhold til et punkt i seg selv spiller ingen rolle i dynamikken. Det er et rent hjelpekonsept som tjener til å forenkle beregninger. Treghetsmomentet til kroppen i forhold til punkt O kalt summen av produktene av massene til de materielle punktene som utgjør kroppen ved kvadratene av deres avstander R til punkt O:q = Σ mR 2. Ved en kontinuerlig massefordeling reduseres denne summen til integralet q = ∫R 2 dm. Det sier seg selv at momentet θ ikke skal forveksles med treghetsmomentet Jeg i forhold til aksen. I tilfelle øyeblikk Jeg masser dm multipliseres med kvadratene av avstandene til denne aksen, og i tilfelle av et moment θ - til et fast punkt.
La oss først vurdere ett materialpunkt med masse m og med koordinater x, på,z i forhold til det rektangulære koordinatsystemet (fig. 4.7). Kvadrater av avstandene til koordinataksene X,Y,Z er like hhv y 2 + z 2,z 2 + x 2,x 2 + y 2, og treghetsmomenter om de samme aksene
jeg X= m(y 2 + z 2), Jeg = m(z 2 + x 2),
I Z = m(x 2 + y 2).
La oss legge til disse tre likhetene og få I X + I Y + I Z = 2m(x 2 + y 2 + z 2).
Men X 2 + y 2 + z 2 = R 2 hvor R- avstand til punkt m fra origo OM. Derfor
I X + I Y + I Z = 2θ . (4.19)
Dette forholdet gjelder ikke bare for ett materiell punkt, men også for et vilkårlig organ, siden kroppen kan betraktes som en samling av materielle punkter. Dermed, summen av treghetsmomentene til et legeme i forhold til tre innbyrdes perpendikulære akser som skjærer hverandre i ett punkt O er lik to ganger treghetsmomentet til samme legeme i forhold til dette punktet.
Treghetsmoment av en hul kule med uendelig tynne vegger.
La oss først finne treghetsmomentet θ i forhold til midten av ballen. Det er åpenbart lik θ = mR 2 . Deretter bruker vi formel (4.19). Tror på det på grunn av symmetri I X = I Y = I Z = I. Som et resultat finner vi treghetsmomentet til en hul kule i forhold til dens diameter
Treghetsmomentet til et legeme i forhold til en akse og i forhold til et punkt. Treghetsmomentet til et materialpunkt i forhold til aksen er lik produktet av punktets masse med kvadratet av avstanden til punktet til aksen. For å finne treghetsmomentet til et legeme (med en kontinuerlig fordeling av materie) i forhold til aksen, er det nødvendig å mentalt bryte det ned i så små elementer at hver av dem kan betraktes som et materiell punkt med uendelig liten masse dm = dV. Da er treghetsmomentet til kroppen i forhold til aksen lik integralet over kroppens volum:
Å beregne treghetsmomentet til et legeme rundt en akse er ofte forenklet hvis du først beregner det treghetsmoment om et punkt . Det beregnes ved hjelp av en formel som ligner på (1):
(2)
Hvor r– elementavstand dm til det valgte punktet (i forhold til det det beregnes ). La dette punktet være opprinnelsen til koordinatsystemet X, Y, Z(Figur 1). Kvaderte elementavstander dmå koordinere akser X, Y, Z og til opprinnelsen er henholdsvis like y 2 + z 2 , z 2 + x 2 , x 2 + y 2 , x 2 + y 2 + z 2 . Treghetsmomenter av kroppen i forhold til aksene X, Y, Z og i forhold til opprinnelsen
Av disse relasjonene følger det at
Dermed, summen av treghetsmomentene til et legeme i forhold til tre innbyrdes perpendikulære akser som går gjennom ett punkt er lik to ganger treghetsmomentet til kroppen i forhold til dette punktet.
Treghetsmoment av en tynn ring. Alle elementene i ringen dm(Fig. 2) er i samme avstand, lik radiusen til ringen R, fra dens symmetriakse (Y-aksen) og fra dens sentrum. Ringens treghetsmoment i forhold til Y-aksen
(4)Treghetsmoment for en tynn skive. La en tynn homogen skive masse m med et konsentrisk hull (fig. 3) har indre og ytre radier R 1 Og R 2 . La oss mentalt dele disken inn i tynne ringer med radius r, tykkelse dr. Treghetsmomentet til en slik ring i forhold til aksen Y(Fig. 3, den er vinkelrett på figuren og ikke vist), i samsvar med (4):
Treghetsmoment for plate:
(6)
Spesielt, forutsatt i (6) R 1 = 0, R 2 = R, vi får en formel for å beregne treghetsmomentet til en tynn solid homogen skive i forhold til dens akse:
Treghetsmomentet til skiven i forhold til dens symmetriakse er ikke avhengig av tykkelsen på skiven. Derfor, ved å bruke formlene (6) og (7), er det mulig å beregne treghetsmomentene til de tilsvarende sylindrene i forhold til deres symmetriakser.
Treghetsmomentet til en tynn skive i forhold til sentrum beregnes også ved hjelp av formel (6), = J y , og treghetsmomentene rundt aksene X Og Z er like med hverandre J x = J z. Derfor, i samsvar med (3): 2 J x + J y = 2 J y , J x = J y /2, eller
(8)
Treghetsmoment for hele sylinderen
Sylinderens treghetsmoment om aksen Z (pendelens rotasjonsakse) finner vi ved å bruke Huygens–Steiner-teoremet
Hvor d– avstand fra sylinderens massesenter til aksen Z . I ref. 16 er dette treghetsmomentet betegnet som J ts
(11)
MINSTE KVADRATISK METODE
Å plotte eksperimentelle punkter og tegne en graf på dem "med øyet", i tillegg til å bestemme abscissen og ordinatene til punktene fra grafen, er ikke særlig nøyaktige. Den kan økes hvis du bruker analysemetoden. Den matematiske regelen for å konstruere en graf er å velge slike verdier av parametere "a" og "b" i et lineært forhold til formen y = ah + b slik at summen av kvadrerte avvik på Jeg (Fig. 5) av alle eksperimentelle punkter fra graflinjen var den minste ( minste kvadratmetode"), dvs. slik at verdien
(1)